3 Untergrundbenetzung, Verlaufen, Ablaufen, Kantenflucht

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3 Untergrundbenetzung, Verlaufen, Ablaufen, Kantenflucht"

Transkript

1 3 Untergrundbenetzung, Verlaufen, Ablaufen, Kantenflucht 3.1 Untergrundbenetzung Die erste Voraussetzung für die Beschichtbarkeit (Lackierbarkeit, Bedruckbarkeit usw.) eines Untergrundes (Substrates) ist, dass dieser vom Beschichtungsstoff benetzbar ist. Zur Erläuterung dieses Begriffes diene der einfache Modellfall eines auf einer Substratoberfläche befindlichen Lacktropfens, wie in Abbildung 3.1 dargestellt. Der Tropfen ist keine Kugel mehr, wie z.b. als Tröpfchen im Lacknebel, sondern durch die Schwerkraft und durch Ober- und Grenzflächenkräfte zu einer mehr oder weniger abgeflachten Kugelkalotte deformiert. Die kreisförmige Grenzlinie zwischen dem Tropfenrand und der freien Festkörperoberfläche bildet eine Randlinie. An jedem beliebig kleinen Abschnitt dl dieser Randlinie greifen drei Kräfte an, die wenn sich zeitlich nichts verändert folgendes Kräftegleichgewicht bilden (s. Abbildung 3.1): und nach Dividieren durch dl: Untergrundbenetzung df s = df s,l + df l cos α σ s dl = σ s,l dl + σ l dl cos α 37 Gleichung 3.1: σ s = σ s,l + σ l cos α σ s σ s,l σ l α Oberflächenenergie (Oberflächenspannung) des Substrates Grenzflächenspannung zwischen Flüssigkeit und Substrat Oberflächenspannung der Flüssigkeit (des Lackes) Randwinkel (Kontaktwinkel, Benetzungswinkel) Diese Gleichung heißt Young-Gleichung. Sie ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten, σ s und σ s,l. Der Randwinkel α lässt sich mit entsprechenden Randwinkelmessgeräten optisch bestimmen, und die Messung der Oberflächenspannung σ l des Beschichtungsstoffes ist ebenfalls im Prinzip kein Problem [13]. Nun gilt folgendes: Je flacher der Tropfen, desto kleiner ist der Randwinkel größer ist der cos α (maximal 1) besser ist die Benetzung der Substratoberfläche durch den Tropfen. Abbildung 3.1: Kräftegleichgewicht an einem Tropfen auf einer Festkörperoberfläche. (Statt der Kräfte selbst sind nur die entsprechenden Spannungen notiert) Die Umstellung der Young-Gleichung zu Gleichung 3.2: σs σ α = arc cos σ zeigt, dass der Wert von cos α bei fest angenommener Grenzflächenspannung σ s,l (grobe Näherung) um so größer und damit der Wert von α selbst umso kleiner wird, je kleiner σ l und je größer σ s ist. Schließlich wird im Grenzfall, in dem Zähler und Nenner des Bruches gleich sind, gerade eben cos α = 1, α = 0. In diesem Fall ist die Benetzung gerade eben vollständig. l s, l

2 38 Untergrundbenetzung, Verlaufen, Ablaufen, Kantenflucht Kleinere, d.h. negative Werte für α sind physikalisch nicht möglich, d.h. α bleibt auch bei noch besserer Benetzung als im obigen Grenzfall stets gleich Null, und die Young-Gleichung verliert ihre Gültigkeit. Für diesen Zustand definiert man eine weitere Größe, den sog. Spreitungskoeffizienten: S = σ s (σ s,l + σ l ) =σ s σ s,l σ l Wie man leicht nachprüfen kann, ist S im oben beschriebenen Grenzfall gerade gleich Null, und für Werte des Bruches über Eins in Gleichung 3.2 ist S größer als Null. Letzteres heißt aber, dass die am Rand des Tropfens nach außen (weg vom Zentrum) ziehende Kraft stets größer ist als die Summe der Gegenkräfte. Es existiert kein Gleichgewicht, und der Tropfen zieht sich als immer dünner werdender Film ständig weiter auseinander, d.h. er spreitet, bis er am Rand verdunstet bzw. vom Rauheitsgebirge des Untergrundes aufgehalten wird. Zusammengefasst gilt: Ein (flüssiger) Beschichtungsstoff muss zur Erreichung eines gleichmäßig dicken Films und einer gut haftenden Lackierung den Untergrund gut benetzen, möglichst auf ihm spreiten. Dies wird erreicht, wenn die Oberflächenenergie (Oberflächenspannung) des Substrates mindestens so groß ist wie die Oberflächenspannung des Beschichtungsstoffes. (σ s,l ist, in diesem Fall sehr niedrig bzw. praktisch Null [3, 7].) Da man die Oberflächenenergie von Festkörpern nicht einfach und genau messen kann, gibt es für die Praxis eine mit Testflüssigkeiten leicht und schnell bestimmbare Ersatzgröße für die Oberflächenenergie des Substrates, die sog. kritische Oberflächenspannung [13, 26]. Aus einer Serie von Testflüssigkeiten mit verschiedenen bekannten Oberflächenspannungen wird durch einfache Benetzungsversuche (Auftropfen, Aufpinseln) diejenige ermittelt, die gerade eben auf dem Untergrund spreitet (α 0, cos α 1). Dann hat Gleichung 3.1 die spezielle Form σ s σ s,l/kr + σ l/kr (kr = kritisch), und da hier σ s,l/kr 0, ist σ s σ l/kr = σ kr. Die kritische Oberflächenspannung σ kr des Substrates ist also gleich der Oberflächenspannung einer Flüssigkeit, die auf der vorliegenden Substratoberfläche gerade eben spreitet (zerläuft). Alle Flüssigkeiten (Lacke u.ä.), die eine niedrigere Oberflächenspannung als σ kr haben, benetzen das Substrat vollständig. In Tabelle 3.1 sind beispielhaft die Oberflächenspannungswerte verschiedener Lösemittel, Substratmaterialien und Bindemittel aufgelistet. Aus Tabelle 3.1 lässt sich allgemein etwa Folgendes entnehmen: Die Oberflächenspannung ist von organischen Lösemitteln niedrig bis mittelhoch Wasser sehr hoch Bindemitteln mittelhoch (i.a. höher als von Lösemitteln) Substraten niedrig (PTFE, Polyolefine PE, PP) bis mittelhoch (je nach Reinheitszustand) Verunreinigungen mit niedriger Oberflächenspannung wie Fettschmutz, Handschweiß, bestimmte Staubpartikel oder Verarbeitungshilfstoffe auf dem Untergrund verschlechtern die Benetzbarkeit (und die spätere Lackhaftung) generell, so dass es im Extremfall nach der Applikation zur partiellen oder vollständigen Entnetzung kommen kann; der Lackfilm

3 Untergrundbenetzung 39 Flüssigkeit 1 σ [mn m 1 ] Substrat 2 σ [mn m 1 ] Hexamethyldisiloxan (Silicon) 16 PTFE 20 n-octan 21 Polypropylen Propanol 22 Polyethylen Aceton 24 Polycarbonat Butylacetat 26 Polyester Toluol 29 Aluminium (unbehandelt) Butylglykol 30 Stahl (phosphatiert) Dioxan 37 Stahl (unbehandelt) 29 4 Wasser 73 Glas 73 Bindemittel 3 σ [mn m 1 ] Poly(meth)acrylate Alkydharze Polyvinylacetat 36 Polyvinylalkohol 37 Melaminharze Epoxidharze Chlorkautschuk 57 Tabelle 3.1: Oberflächenspannungswerte ausgewählter Lösemittel, Substrate und Bindemittel 1 aus [20, 27] (Abgaben geringfügig unterschiedlich) 2 aus [3, 7, 13] (Angaben z.t. deutlich unterschiedlich) 3 aus [3] 4 kritische Oberflächenspannung bekommt dünnere Stellen, Löcher, Krater, oder er zieht sich großflächig, inselartig zurück (s. Abbildung 3.2). Die Untergrundbenetzung lässt sich grundsätzlich durch zwei Maßnahmen verbessern: Erhöhen bzw. Vergleichmäßigen der Oberflächenspannung des Substrates durch Reinigen, Entfetten gezieltes Aufrauen (Schleifen, Strahlen) chemisches Vorbehandeln (Oxidieren von Polyolefinen, Konversionsbehandlung von Metallen wie Phosphatieren oder Chromatieren) Erniedrigen der Oberflächenspannung des Beschichtungsstoffes durch Substratnetzadditive (spezielle Tenside bzw. tensidartige Substanzen) Die Additive können die Oberflächenspannung eines Lackes bis ca. Abbildung 3.2: Benetzungsstörungen (Entnetzungen) auf einem unreinen Untergrund, aus [25]

4 40 Untergrundbenetzung, Verlaufen, Ablaufen, Kantenflucht 20 mn m -1 erniedrigen, aber dadurch entstehen mitunter auch negative Begleiterscheinungen wie Schaumbildungoder schlechte Zwischenschichthaftung (nach späterem Überlackieren). Sie müssen deshalb sehr gezielt ausgesucht und dosiert werden [27, 28]. Wasserbasierte Beschichtungsstoffe (Wasserlacke u.ä.) haben tendenziell natürlich eine höhere Oberflächenspannung als lösemittelbasierte Produkte. Aber auch sie können mit Hilfe geeigneter Additive sogar unpolare (vorbehandelte) Kunststoffe wie Polypropylen benetzen. Eine an sich nicht auseichende Substratbenetzung kann auch durch Erzeugen einer höheren Schichtdicke und/oder durch eine höhere Viskosität quasi kaschiert werden. Ein rascher Viskositätsanstieg nach der Applikation durch einen schnellen Rückgang der thixotropen Scherverdünnung und/oder durch schnelles Antrocknen kann die Entnetzung gewissermaßen zeitlich überholen. Die Gefahr hierbei ist, dass sich der Lack beim anschließenden Aufheizen wegen des damit verbundenen Viskositätsabfalls nachträglich zurückzieht, oder dass trotz befriedigender optischer Filmausbildung die Lackhaftung stellenweise mangelhaft bleibt. 3.2 Verlaufen Hier wird nur das Verlaufen von flüssigen Beschichtungsstofffilmen behandelt. Zum Verlauf von Pulverlacken s. Kap Die Applikationsverfahren erzeugen den Nassfilm mit einer mehr oder weniger ausgeprägten Unebenheit (Struktur) der Oberfläche. Pinselfurchen, Walzstrukturen oder eine vom Spritzen herrührende Welligkeit sind Beispiele dafür. I.d.R. soll sich der Nassfilm selbstständig einebnen, um nach dem Trocknen eine plane Beschichtungsoberfläche zu ergeben. Als Beispiel für diesen Einebnungsprozess sei das nach dem Spritzen anfänglich vorliegende Tröpfchengebirge betrachtet (s. Abbildung 3.3). Zunächst müssen die Tröpfchen miteinander Verfließen; man nennt diesen Vorgang Koaleszenz. Danach liegt immer noch eine stark unebene Oberfläche mit Bergen und Tälern vor, und der eigentliche Verlauf beginnt. Wellenlänge λ Nassfilmkontur nach dem Tröpfchenverlauf gemittelte Nassfilmdicke Lacktröpfchen gemittelte Trockenfilmdicke Substrat Abbildung 3.3: Tröpfchengebirge nach Spritzapplikation direkt vor Koaleszenz und Verlaufen, aus [3] Triebkraft des Verlaufs ist die Tendenz des Films, seine Oberflächenenergie durch Verkleinerung der Oberfläche zu erniedrigen, so wie sich auch ein Bettlaken glattzieht, wenn man es von den Ecken bzw. Kanten her unter Spannung setzt. Man kann also erwarten, dass ein Lackfilm umso schneller verläuft, je höher seine Oberflächenspannung ist. Das Verlaufen ist aber mit einem Materialfluss aus den Bergen in die Täler verbunden, und dies erfolgt umso langsamer, je höher die Viskosität ist. Für einen guten Verlauf ist es deshalb wichtig, dass

5 Verlaufen 41 die Viskosität nach der Applikation nicht zu schnell ansteigt. Ursachen für den Viskositätsanstieg sind bzw. können sein: Lösemittel-/Wasserverdunstung (physikalische Antrocknung) Molekülvergrößerung (beginnende Härtung) Rückgang der von der Applikation herrührenden thixotropen Scherverdünnung Die grundlegende physikalisch-mathematische Beschreibung des primären Verlaufsvorganges stammt von Orchard [13, 29]. Er geht modellhaft von einem gleichmäßigen, sinusförmigen Profilquerschnitt aus (s. Abbildung 3.4) und erhält folgende Gleichung (Orchard-Gleichung): Gleichung 3.3: a 0 Anfangsamplitude (t = 0) a t x σ λ η(t) Amplitude nach der Zeit t mittlere Filmdicke Oberflächenspannung des Films Wellenlänge der Sinuskurve (konstant) Viskosität (zeitabhängig) Eine häufige Ursache für einen unbefriedigenden Verlauf ist ein zu schneller Viskositätsanstieg. Die Viskosität ist zwar gemäß Gleichung 3.3 mathematisch nur von mäßiger Bedeu- a ln a 0 t 4 3 t 16π σx 1 = ( t) dt 4 3λ η Das Integral heißt Fluiditätsintegral. Falls die Viskosität ungefähr konstant bleibt, kann es durch das Produkt η t ersetzt werden. (Die präzise Herleitung der Gleichung ist mathematisch sehr aufwändig. Eine vereinfachte Herleitung, die mit Ausnahme des Zahlenfaktors (16π 4 /3) ebenfalls zur Orchard-Gleichung führt, ist im Anhang 1 gegeben.) 0 Aus Gleichung 3.3 kann man Folgendes entnehmen: die Einebnung schreitet mit der Zeit immer langsamer fort, wird durch steigende Oberflächenspannung mäßig beschleunigt und durch steigende Viskosität verlangsamt. Eine steigende Filmdicke hat einen stark positiven und eine steigende Wellenlänge einen sehr stark negativen Effekt auf den Verlauf. Letzteres führt dazu, dass sich kurze Wellen schneller einebnen als lange. Abbildung 3.4: Profilmodell zur Berechnung des Lackverlaufs nach Orchard, aus [13] In der Literatur ist verschiedentlich zu lesen, dass auch die Schwerkraft für den Verlauf mitverantwortlich sei. Überschlägige Rechnungen zeigen jedoch, dass der Schweredruck eines Lackberges der Höhe a (p = g ρ a) gegenüber dem durch den Krümmungsradius r verursachten Überdruck (p = 2 σ / r) praktisch vernachlässigbar ist. ( While a person unacquainted with the field might first think that leveling results from gravitational effects, this is clearly not, to a significant degree, the case. [22])

6 42 Untergrundbenetzung, Verlaufen, Ablaufen, Kantenflucht tung, sie ändert sich aber durch die oben genannten Ursachen schon vor der eigentlichen Verfilmung zeitlich oft relativ stark nicht selten um eine Zehnerpotenz oder mehr und ist deshalb praktisch doch von erheblichem Einfluss. Da eine niedrige Viskosität des Lackfilms den Verlauf zwar begünstigt, aber leider auch das unerwünschte Ablaufen an senkrechten Flächen (s. Kap. 3.3), ist nicht eine niedrige Viskosität an sich, sondern ein optimales zeitliches Viskositätsprofil unmittelbar nach der Applikation anzustreben. Dies bedeutet praktisch, dass die Flüchtigkeit der Lösemittel die Temperaturführung und die Luftströmung in der Trockenzone (Abdunstzone, Ofen) die chemische Reaktivität des Lackes (falls härtend) und die Art und Menge von Rheologieadditiven (falls vorhanden) aufeinander abgestimmt sein müssen, was nur durch eine konstruktive Zusammenarbeit von Lackentwickler und Lackverarbeiter möglich ist. Eine weitere Ursache eines unbefriedigenden Verlaufes kann das Vorliegen einer Fließgrenze sein. Eine Fließgrenze liegt vor, wenn die Flüssigkeit unterhalb einer bestimmten Schubspannung praktisch nicht mehr fließt (s. Kap ). Dies bedeutet in Hinblick auf den Verlauf, dass es ab dem Erreichen eines bestimmten Verlaufsgrades nicht zu einem weiteren Verlauf kommt. Fließgrenzen findet man z.b. bei Wasserlacken auch Klarlacken auf Dispersionsbasis. Nun könnte man meinen. dass nach Optimierung der Parameter in Gleichung 3.3 bzw. bei Einhalten aller genannten Bedingungen mit Sicherheit ein guter Verlauf bzw. eine ebene Lackierung zu erwarten sei. Das ist leider nicht so! Während nämlich die Oberflächenspannung die treibende Kraft für die Einebnung ist, führen unvermeidliche Differenzen der Oberflächenspannung in der Verdunstungsphase zur Strukturbildung, selbst wenn der Film vorübergehend schon nahezu eben war. Zunächst sei festgestellt, dass die Oberflächenspannung mit fallender Temperatur und zunehmender Aufkonzentrierung des Bindemittels durch Lösemittelverdunstung steigt (Bei Verdunstung von Wasser fällt die Oberlächenspannung i.d.r.) Da die Verdunstungsgeschwindigkeit bzw. die damit verbundene Aufkonzentrierung und Abkühlung (Verdunstungskälte) über die Oberfläche von Ort zu Ort etwas unterschiedlich sind, kommt es zu Oberflächenspannungsdifferenzen in der Filmoberfläche. Nun gilt grundsätzlich: Wenn eine Oberflächenspannungsdifferenz auftritt, fließt Material aus dem Gebiet niedriger in das Gebiet hoher Oberflächenspannung Die Folge ist, dass sich Strukturen (Unebenheiten) ausbilden, die sich auch örtlich und zeitlich ändern können, bis der Prozess u.a. durch Viskositätszunahme zur Ruhe kommt. Besteht nun z.b. wegen beginnender Vernetzung bzw. Gelierung des Lackes keine Möglichkeit mehr für die Unebenheiten, spätestens beim Aufheizen im Trockenofen zu verfließen, entsteht eine unebene Lackierung. Ein typisches Erscheinungsbild für unebene Spritzlackierungen ist die in Abbildung 3.5 gezeigte sog. Orangenschalenstruktur (Orange Peel). Sie kann mit Wellenlängen zwischen 0,2 und 10 mm auftreten und wird messtechnisch heute meist mit laseroptischen Handgeräten direkt auf dem fertig lackierten Objekt erfasst [30].

7 Ablaufen 43 Eine gelegentlich auftretende Sonderform der Strukturbildung sind die Bénard-Zellen. Dabei handelt es sich um Zirkulationsströmungen von Lackmaterial zwischen dem Untergrund und der Lackoberfläche in Form überwiegend sechseckiger Säulen, die durch lokale Temperatur-, Konzentrations- und Dichtedifferenzen entstehen (s. Abbildung 3.6). Bénard-Zellen führen nicht nur zu Unebenheiten des Films, sondern bei Vorliegen von mindestens zwei Pigmenten mit stark unterschiedlicher Teilchengröße bzw. Teilchenbeweglichkeit, z.b. Titandioxid mit Ruß oder Phthalocyaninblau, auch zu als Ausschwimmen oder Floating bezeichneten Entmischungserscheinungen, die optisch als eine Art Wabenstruktur sichtbar sind [7, 13]. Zur Verhinderung von Verlaufstörungen setzt man häufig Verlaufs(hilfs)mittel ein. Diese lassen sich nach Art und Wirkmechanismus in drei Klassen einteilen: Hochsiedende, das Bindemittel sehr gut lösende Lösemittel: Verhindern ein zu schnelles Antrocknen (Verfestigen) der Filmoberfläche und die Entstehung zu großer Oberflächenspannungsunterschiede. Abbildung 3.5: Schlecht verlaufene Spritzlackierung (Orangenschalenstruktur, Orange Peel), aus [25] Spezielle Acrylharze (z.b. Butylacrylat- Copolymere): Überziehen den Lackfilm mit einer dünnen Schicht mit gleichmäßiger, aber kaum abgesenkter Oberflächenspannung. (Möglicher Zusatzeffekt: Entgasung) Modifizierte Silicone: Erniedrigen und vergleichsmäßigen die Oberflächenspannung. (Häufige Zusatzeffekte: Substratbenetzung, Slip). 3.3 Ablaufen Das Ablaufen eines Nassfilms bzw. einer Schmelze an schrägen oder senkrechten Flächen ist kein Teilprozess der Filmbildung, kann aber die Ausbildung eines ebenen Filmes stören bzw. verhindern. Abbildung 3.6: Entstehung und Gestalt einer Bénard- Zelle; Querschnitt (unten) und Aufsicht (oben)

8 44 Untergrundbenetzung, Verlaufen, Ablaufen, Kantenflucht An senkrechten oder schrägen Flächen läuft ein fließfähiger Film immer mehr oder weniger schnell nach unten, wenn er nicht durch eine ausreichend hohe Fließgrenze daran gehindert wird. In der Lacktechnologie meint man mit Ablaufen nicht diesen primären Fließvorgang, sondern die sich daraus entwickelnde Bildung von sog. Läufern. Diese werden gemäß ihrem Aussehen mit Begriffen wie Gardinen (breit) oder Nasen (schmal) charakterisiert (s. Abbildung 3.7). Würde der Lackfilm auf der gesamten Substratfläche gleich schnell fließen, gäbe es keine Läufer in der Fläche. Da aber die Fließgeschwindigkeit mit zunehmender Schichtdicke gemäß Gleichung 3.4: v max 2 gρx sinα = 2η v max g ρ α η x Fließgeschwindigkeit der Filmoberfläche Erdbeschleunigung Lackdichte Neigungswinkel zur Horizontalen dynamische Viskosität Filmdicke Abbildung 3.7: Ablaufen von Lack in Form von Nasen und Gardinen, aus [25] stark ansteigt, führen die stets vorhandenen Unebenheiten des Films zusammen mit lokalen Viskositätsunterschieden zu ungleichen Fließgeschwindigkeiten und damit zu lokalen Materialanhäufungen, die sich dann zu den Läufern auswachsen. Die maximale Schubspannung in einem Lackfilm beträgt τ max = g rx sin α. Ist die Schichtdicke x so klein, dass τ max unterhalb der Fließgrenze (Mindestschubspannung für das Fließen) liegt, kommt es überhaupt nicht zum Fließen bzw. Ablaufen. Dieser Fall wird durch Gleichung 3.4 insofern miterfasst, als bei einer Fließgrenze die Viskosität gegen unendlich und die Abfließgeschwindigkeit damit gegen Null geht. Das Abfließen des Films wird durch die Viskosität gebremst, und somit führt die Erhöhung der Viskosität zu einer Hinauszögerung der Läuferbildung. Ist die viskositätserhöhende Antrocknung schnell genug, kann sich ein sichtbares Ablaufen gar nicht erst entwickeln. Reicht dieser Effekt aber nicht aus, wie z.b. besonders bei den lösemittelarmen High-Solid-Lacken, muss das Ablaufen durch Verdickungsmittel oder besser Thixotropierungsmittel, hier auch speziell Antiablaufmittel genannt, unterdrückt werden. Letztere führen bei richtiger Auswahl und Dosierung dazu, dass das Verlaufen bei niedriger Viskosität abgeschlossen ist, bevor das Ablaufen durch das Anziehen der Viskosität verhindert wird. Allgemein wird die Neigung zur Läuferbildung durch zunehmende Schichtdicke größer, und zwar nicht nur aus rein mechanischen Gründen (gemäß Gleichung 3.4), sondern auch, weil die Verdickung durch physikalische Trocknung mit wachsender Schichtdicke langsamer von

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

2.8 Grenzflächeneffekte

2.8 Grenzflächeneffekte - 86-2.8 Grenzflächeneffekte 2.8.1 Oberflächenspannung An Grenzflächen treten besondere Effekte auf, welche im Volumen nicht beobachtbar sind. Die molekulare Grundlage dafür sind Kohäsionskräfte, d.h.

Mehr

Das große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten

Das große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Projekt 2HEA 2005/06 Formelzettel Elektrotechnik

Projekt 2HEA 2005/06 Formelzettel Elektrotechnik Projekt 2HEA 2005/06 Formelzettel Elektrotechnik Teilübung: Kondensator im Wechselspannunskreis Gruppenteilnehmer: Jakic, Topka Abgabedatum: 24.02.2006 Jakic, Topka Inhaltsverzeichnis 2HEA INHALTSVERZEICHNIS

Mehr

Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand

Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Mathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung

Mathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung Mathematik UND/ODER Verknüpfung Ungleichungen Betrag Intervall Umgebung Stefan Gärtner 004 Gr Mathematik UND/ODER Seite UND Verknüpfung Kommentar Aussage Symbolform Die Aussagen Hans kann schwimmen p und

Mehr

Übung 5 : G = Wärmeflussdichte [Watt/m 2 ] c = spezifische Wärmekapazität k = Wärmeleitfähigkeit = *p*c = Wärmediffusität

Übung 5 : G = Wärmeflussdichte [Watt/m 2 ] c = spezifische Wärmekapazität k = Wärmeleitfähigkeit = *p*c = Wärmediffusität Übung 5 : Theorie : In einem Boden finden immer Temperaturausgleichsprozesse statt. Der Wärmestrom läßt sich in eine vertikale und horizontale Komponente einteilen. Wir betrachten hier den Wärmestrom in

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben

Mehr

Physik & Musik. Stimmgabeln. 1 Auftrag

Physik & Musik. Stimmgabeln. 1 Auftrag Physik & Musik 5 Stimmgabeln 1 Auftrag Physik & Musik Stimmgabeln Seite 1 Stimmgabeln Bearbeitungszeit: 30 Minuten Sozialform: Einzel- oder Partnerarbeit Voraussetzung: Posten 1: "Wie funktioniert ein

Mehr

Lichtbrechung an Linsen

Lichtbrechung an Linsen Sammellinsen Lichtbrechung an Linsen Fällt ein paralleles Lichtbündel auf eine Sammellinse, so werden die Lichtstrahlen so gebrochen, dass sie durch einen Brennpunkt der Linse verlaufen. Der Abstand zwischen

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der

Mehr

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y

Mehr

Aufgaben Wechselstromwiderstände

Aufgaben Wechselstromwiderstände Aufgaben Wechselstromwiderstände 69. Eine aus Übersee mitgebrachte Glühlampe (0 V/ 50 ma) soll mithilfe einer geeignet zu wählenden Spule mit vernachlässigbarem ohmschen Widerstand an der Netzsteckdose

Mehr

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten "bedingten Wahrscheinlichkeit".

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten bedingten Wahrscheinlichkeit. Mathematik- Unterrichts- Einheiten- Datei e. V. Klasse 9 12 04/2015 Diabetes-Test Infos: www.mued.de Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, das mit 8 % in der Bevölkerung verbreitet ist. Dabei werden

Mehr

Herzlich Willkommen beim Webinar: Was verkaufen wir eigentlich?

Herzlich Willkommen beim Webinar: Was verkaufen wir eigentlich? Herzlich Willkommen beim Webinar: Was verkaufen wir eigentlich? Was verkaufen wir eigentlich? Provokativ gefragt! Ein Hotel Marketing Konzept Was ist das? Keine Webseite, kein SEO, kein Paket,. Was verkaufen

Mehr

3. Mechanik deformierbarer Körper Gasdruck: Gesetz von Boyle-Mariotte

3. Mechanik deformierbarer Körper Gasdruck: Gesetz von Boyle-Mariotte Gasdruck: Gesetz von Boyle-Mariotte Bei konstanter Teilchenzahl und Temperatur ist das Produkt aus Druck p und Volumen V konstant VL 13/1 30.10.2012 Brustkorb Lungenaktion 3. Mechanik deformierbarer Körper

Mehr

Anleitung über den Umgang mit Schildern

Anleitung über den Umgang mit Schildern Anleitung über den Umgang mit Schildern -Vorwort -Wo bekommt man Schilder? -Wo und wie speichert man die Schilder? -Wie füge ich die Schilder in meinen Track ein? -Welche Bauteile kann man noch für Schilder

Mehr

Skript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!

Skript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten! Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright

Mehr

Technical Note Nr. 101

Technical Note Nr. 101 Seite 1 von 6 DMS und Schleifringübertrager-Schaltungstechnik Über Schleifringübertrager können DMS-Signale in exzellenter Qualität übertragen werden. Hierbei haben sowohl die physikalischen Eigenschaften

Mehr

Outlook. sysplus.ch outlook - mail-grundlagen Seite 1/8. Mail-Grundlagen. Posteingang

Outlook. sysplus.ch outlook - mail-grundlagen Seite 1/8. Mail-Grundlagen. Posteingang sysplus.ch outlook - mail-grundlagen Seite 1/8 Outlook Mail-Grundlagen Posteingang Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um zum Posteingang zu gelangen. Man kann links im Outlook-Fenster auf die Schaltfläche

Mehr

PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN

PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN Karlsruhe, April 2015 Verwendung dichte-basierter Teilrouten Stellen Sie sich vor, in einem belebten Gebäude,

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Festigkeit von FDM-3D-Druckteilen

Festigkeit von FDM-3D-Druckteilen Festigkeit von FDM-3D-Druckteilen Häufig werden bei 3D-Druck-Filamenten die Kunststoff-Festigkeit und physikalischen Eigenschaften diskutiert ohne die Einflüsse der Geometrie und der Verschweißung der

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Und was uns betrifft, da erfinden wir uns einfach gegenseitig.

Und was uns betrifft, da erfinden wir uns einfach gegenseitig. Freier Fall 1 Der einzige Mensch Der einzige Mensch bin ich Der einzige Mensch bin ich an deem ich versuchen kann zu beobachten wie es geht wenn man sich in ihn hineinversetzt. Ich bin der einzige Mensch

Mehr

Eigenen Farbverlauf erstellen

Eigenen Farbverlauf erstellen Diese Serie ist an totale Neulinge gerichtet. Neu bei PhotoLine, evtl. sogar komplett neu, was Bildbearbeitung betrifft. So versuche ich, hier alles einfach zu halten. Ich habe sogar PhotoLine ein zweites

Mehr

= i (V) = d 2. v = d! p! n da v 1 = v 2 gilt auch d 1 ÿ p ÿ n 1 = d 2 ÿ p ÿ n 2 (III) p kürzen (Division durch p) d 1 ÿ n 1 = d 2 ÿ n 2 (IV) oder

= i (V) = d 2. v = d! p! n da v 1 = v 2 gilt auch d 1 ÿ p ÿ n 1 = d 2 ÿ p ÿ n 2 (III) p kürzen (Division durch p) d 1 ÿ n 1 = d 2 ÿ n 2 (IV) oder v = d! p! n da v 1 = v 2 (I) (II) gilt auch d 1 ÿ p ÿ n 1 = d 2 ÿ p ÿ n 2 (III) p kürzen (Division durch p) d 1 ÿ n 1 = d 2 ÿ n 2 (IV) oder i = Übersetzungsverhältnis n 1 n 2 = d 2 d 1 = i (V) Beispiel

Mehr

Schülervorstellungen und Konsequenzen für den Unterricht. V.-Prof. Dr. Martin Hopf Österr. Kompetenzzentrum für Didaktik der Physik

Schülervorstellungen und Konsequenzen für den Unterricht. V.-Prof. Dr. Martin Hopf Österr. Kompetenzzentrum für Didaktik der Physik Schülervorstellungen und Konsequenzen für den Unterricht V.-Prof. Dr. Martin Hopf Österr. Kompetenzzentrum für Didaktik der Physik Ablauf Konstruktivismus Schülervorstellungen in der Physik Konsequenzen

Mehr

Kapitalerhöhung - Verbuchung

Kapitalerhöhung - Verbuchung Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.

Mehr

Berechnungen in Access Teil I

Berechnungen in Access Teil I in Access Teil I Viele Daten müssen in eine Datenbank nicht eingetragen werden, weil sie sich aus anderen Daten berechnen lassen. Zum Beispiel lässt sich die Mehrwertsteuer oder der Bruttopreis in einer

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

4.4 ASM: Stromverdrängungsläufer Seite 1

4.4 ASM: Stromverdrängungsläufer Seite 1 4.4 ASM: Stromverdrängungsläufer Seite 1 Stromverdrängung Mit zunehmender Größe wird das Anlaufmoment von Asynchronmaschinen im Verhältnis zum Kipp- und Nennmoment kleiner weil die ohmschen Widerstände

Mehr

1 Aufgabe: Absorption von Laserstrahlung

1 Aufgabe: Absorption von Laserstrahlung 1 Aufgabe: Absorption von Laserstrahlung Werkstoff n R n i Glas 1,5 0,0 Aluminium (300 K) 25,3 90,0 Aluminium (730 K) 36,2 48,0 Aluminium (930 K) 33,5 41,9 Kupfer 11,0 50,0 Gold 12,0 54,7 Baustahl (570

Mehr

Metallring Flüssigkeitslamelle Flüssigkeit (Wasser +/-Pril)

Metallring Flüssigkeitslamelle Flüssigkeit (Wasser +/-Pril) Name: PartnerIn in Crime: Datum : Versuch: Oberflächenspannung und innere Reibung 1105B Einleitung: Oberflächenspannung wird durch zwischenmolekulare Kräfte kurzer Reichweite hervorgerufen (Kohäsionskräfte).

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernwerkstatt für die Klassen 7 bis 9: Linsen und optische Geräte

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernwerkstatt für die Klassen 7 bis 9: Linsen und optische Geräte Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Lernwerkstatt für die Klassen 7 bis 9: Linsen und optische Geräte Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Physik 4, Übung 8, Prof. Förster

Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls

Mehr

Auswertung des Fragebogens zum CO2-Fußabdruck

Auswertung des Fragebogens zum CO2-Fußabdruck Auswertung des Fragebogens zum CO2-Fußabdruck Um Ähnlichkeiten und Unterschiede im CO2-Verbrauch zwischen unseren Ländern zu untersuchen, haben wir eine Online-Umfrage zum CO2- Fußabdruck durchgeführt.

Mehr

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

Chemie Zusammenfassung KA 2

Chemie Zusammenfassung KA 2 Chemie Zusammenfassung KA 2 Wärmemenge Q bei einer Reaktion Chemische Reaktionen haben eine Gemeinsamkeit: Bei der Reaktion wird entweder Energie/Wärme frei (exotherm). Oder es wird Wärme/Energie aufgenommen

Mehr

Kapitel 13: Laugen und Neutralisation

Kapitel 13: Laugen und Neutralisation Kapitel 13: Laugen und Neutralisation Alkalimetalle sind Natrium, Kalium, Lithium (und Rubidium, Caesium und Francium). - Welche besonderen Eigenschaften haben die Elemente Natrium, Kalium und Lithium?

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Thermodynamik. Basics. Dietmar Pflumm: KSR/MSE. April 2008

Thermodynamik. Basics. Dietmar Pflumm: KSR/MSE. April 2008 Thermodynamik Basics Dietmar Pflumm: KSR/MSE Thermodynamik Definition Die Thermodynamik... ist eine allgemeine Energielehre als Teilgebiet der Chemie befasst sie sich mit den Gesetzmässigkeiten der Umwandlungsvorgänge

Mehr

Durch Wissen Millionär WerDen... Wer hat zuerst die Million erreicht? spielanleitung Zahl der spieler: alter: redaktion / autor: inhalt:

Durch Wissen Millionär WerDen... Wer hat zuerst die Million erreicht? spielanleitung Zahl der spieler: alter: redaktion / autor: inhalt: Spielanleitung Durch Wissen Millionär werden... Diesen Traum kann man sich in diesem beliebten Quiz-Spiel erfüllen. Ob allein oder in der geselligen Runde dieses Quiz enthält 330 Fragen und 1.320 Multiple-Choice-Antworten.

Mehr

Meinungen der Bürgerinnen und Bürger in Hamburg und Berlin zu einer Bewerbung um die Austragung der Olympischen Spiele

Meinungen der Bürgerinnen und Bürger in Hamburg und Berlin zu einer Bewerbung um die Austragung der Olympischen Spiele Meinungen der Bürgerinnen und Bürger in Hamburg und Berlin zu einer Bewerbung um die Austragung der Olympischen Spiele 4. März 2015 q5337/31319 Le forsa Politik- und Sozialforschung GmbH Büro Berlin Schreiberhauer

Mehr

Im Original veränderbare Word-Dateien

Im Original veränderbare Word-Dateien Computergrafik Bilder, Grafiken, Zeichnungen etc., die mithilfe von Computern hergestellt oder bearbeitet werden, bezeichnet man allgemein als Computergrafiken. Früher wurde streng zwischen Computergrafik

Mehr

Technische Analyse der Zukunft

Technische Analyse der Zukunft Technische Analyse der Zukunft Hier werden die beiden kurzen Beispiele des Absatzes auf der Homepage mit Chart und Performance dargestellt. Einfache Einstiege reichen meist nicht aus. Der ALL-IN-ONE Ultimate

Mehr

Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005

Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005 Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005 Mit CAS S./5 Aufgabe Alternative: Ganzrationale Funktionen Berliner Bogen Das Gebäude in den Abbildungen heißt Berliner Bogen und steht in Hamburg. Ein

Mehr

EINMALEINS BEZIEHUNGSREICH

EINMALEINS BEZIEHUNGSREICH EINMALEINS BEZIEHUNGSREICH Thema: Übung des kleinen Einmaleins; operative Beziehungen erkunden Stufe: ab 2. Schuljahr Dauer: 2 bis 3 Lektionen Materialien: Kleine Einmaleinstafeln (ohne Farben), Punktefelder

Mehr

Übungen zur Experimentalphysik 3

Übungen zur Experimentalphysik 3 Übungen zur Experimentalphysik 3 Prof. Dr. L. Oberauer Wintersemester 2010/2011 7. Übungsblatt - 6.Dezember 2010 Musterlösung Franziska Konitzer (franziska.konitzer@tum.de) Aufgabe 1 ( ) (8 Punkte) Optische

Mehr

Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern

Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Ausgewählte Ergebnisse einer Befragung von Unternehmen aus den Branchen Gastronomie, Pflege und Handwerk Pressegespräch der Bundesagentur für Arbeit am 12. November

Mehr

Erstellen einer Collage. Zuerst ein leeres Dokument erzeugen, auf dem alle anderen Bilder zusammengefügt werden sollen (über [Datei] > [Neu])

Erstellen einer Collage. Zuerst ein leeres Dokument erzeugen, auf dem alle anderen Bilder zusammengefügt werden sollen (über [Datei] > [Neu]) 3.7 Erstellen einer Collage Zuerst ein leeres Dokument erzeugen, auf dem alle anderen Bilder zusammengefügt werden sollen (über [Datei] > [Neu]) Dann Größe des Dokuments festlegen beispielsweise A4 (weitere

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Wie oft soll ich essen?

Wie oft soll ich essen? Wie oft soll ich essen? Wie sollen Sie sich als Diabetiker am besten ernähren? Gesunde Ernährung für Menschen mit Diabetes unterscheidet sich nicht von gesunder Ernährung für andere Menschen. Es gibt nichts,

Mehr

Im Folgenden werden einige typische Fallkonstellationen beschrieben, in denen das Gesetz den Betroffenen in der GKV hilft:

Im Folgenden werden einige typische Fallkonstellationen beschrieben, in denen das Gesetz den Betroffenen in der GKV hilft: Im Folgenden werden einige typische Fallkonstellationen beschrieben, in denen das Gesetz den Betroffenen in der GKV hilft: Hinweis: Die im Folgenden dargestellten Fallkonstellationen beziehen sich auf

Mehr

Aufgaben. 2.1. Leiten Sie die Formeln (9) und (10) her! Vorbetrachtungen. Der High-Fall

Aufgaben. 2.1. Leiten Sie die Formeln (9) und (10) her! Vorbetrachtungen. Der High-Fall Aufgaben 2.1. Leiten Sie die Formeln (9) und (10) her! Vorbetrachtungen I. Die open-collector-gatter auf der "in"-seite dürfen erst einen High erkennen, wenn alle open-collector-gatter der "out"-seite

Mehr

Was ist das Budget für Arbeit?

Was ist das Budget für Arbeit? 1 Was ist das Budget für Arbeit? Das Budget für Arbeit ist ein Persönliches Geld für Arbeit wenn Sie arbeiten möchten aber nicht mehr in einer Werkstatt. Das gibt es bisher nur in Nieder-Sachsen. Und in

Mehr

ONLINE-AKADEMIE. "Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht" Ziele

ONLINE-AKADEMIE. Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht Ziele ONLINE-AKADEMIE Ziele Wenn man von Menschen hört, die etwas Großartiges in ihrem Leben geleistet haben, erfahren wir oft, dass diese ihr Ziel über Jahre verfolgt haben oder diesen Wunsch schon bereits

Mehr

Was ich als Bürgermeister für Lübbecke tun möchte

Was ich als Bürgermeister für Lübbecke tun möchte Wahlprogramm in leichter Sprache Was ich als Bürgermeister für Lübbecke tun möchte Hallo, ich bin Dirk Raddy! Ich bin 47 Jahre alt. Ich wohne in Hüllhorst. Ich mache gerne Sport. Ich fahre gerne Ski. Ich

Mehr

Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien

Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die

Mehr

Gitterherstellung und Polarisation

Gitterherstellung und Polarisation Versuch 1: Gitterherstellung und Polarisation Bei diesem Versuch wollen wir untersuchen wie man durch Überlagerung von zwei ebenen Wellen Gttterstrukturen erzeugen kann. Im zweiten Teil wird die Sichtbarkeit

Mehr

Viele Bilder auf der FA-Homepage

Viele Bilder auf der FA-Homepage Viele Bilder auf der FA-Homepage Standardmäßig lassen sich auf einer FA-Homepage nur 2 Bilder mit zugehörigem Text unterbringen. Sollen es mehr Bilder sein, muss man diese als von einer im Internet

Mehr

LED Beleuchtung - Fehlerbetrachtung bei der Beleuchtungsstärkemessung

LED Beleuchtung - Fehlerbetrachtung bei der Beleuchtungsstärkemessung LED Beleuchtung - Fehlerbetrachtung bei der Beleuchtungsstärkemessung Bei einem Beleuchtungsstärkemessgerät ist eines der wichtigsten Eigenschaften die Anpassung an die Augenempfindlichkeit V(λ). V(λ)

Mehr

Die Übereckperspektive mit zwei Fluchtpunkten

Die Übereckperspektive mit zwei Fluchtpunkten Perspektive Perspektive mit zwei Fluchtpunkten (S. 1 von 8) / www.kunstbrowser.de Die Übereckperspektive mit zwei Fluchtpunkten Bei dieser Perspektivart wird der rechtwinklige Körper so auf die Grundebene

Mehr

ES GEHT NICHTS ÜBER EX-AZUBIS, Leiter der Fertigung, Produktbereich Blech, bei

ES GEHT NICHTS ÜBER EX-AZUBIS, Leiter der Fertigung, Produktbereich Blech, bei 20 Vertrauen aufbauen ES GEHT NICHTS ÜBER EX-AZUBIS, Leiter der Fertigung, Produktbereich Blech, bei ThyssenKrupp schwört auf seine Azubis. Einer von ihnen,, wurde sogar Deutschlands Bester. Was sagt der

Mehr

h- Bestimmung mit LEDs

h- Bestimmung mit LEDs h- Bestimmung mit LEDs GFS im Fach Physik Nicolas Bellm 11. März - 12. März 2006 Der Inhalt dieses Dokuments steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html Inhaltsverzeichnis

Mehr

14. Minimale Schichtdicken von PEEK und PPS im Schlauchreckprozeß und im Rheotensversuch

14. Minimale Schichtdicken von PEEK und PPS im Schlauchreckprozeß und im Rheotensversuch 14. Minimale Schichtdicken von PEEK und PPS im Schlauchreckprozeß und im Rheotensversuch Analog zu den Untersuchungen an LDPE in Kap. 6 war zu untersuchen, ob auch für die Hochtemperatur-Thermoplaste aus

Mehr

Mean Time Between Failures (MTBF)

Mean Time Between Failures (MTBF) Mean Time Between Failures (MTBF) Hintergrundinformation zur MTBF Was steht hier? Die Mean Time Between Failure (MTBF) ist ein statistischer Mittelwert für den störungsfreien Betrieb eines elektronischen

Mehr

Versuch: Siedediagramm eines binären Gemisches

Versuch: Siedediagramm eines binären Gemisches Versuch: Siedediagramm eines binären Gemisches Aufgaben - Kalibriermessungen Bestimmen Sie experimentell den Brechungsindex einer gegebenen Mischung bei unterschiedlicher Zusammensetzung. - Theoretische

Mehr

Induktivitätsmessung bei 50Hz-Netzdrosseln

Induktivitätsmessung bei 50Hz-Netzdrosseln Induktivitätsmessung bei 50Hz-Netzdrosseln Ermittlung der Induktivität und des Sättigungsverhaltens mit dem Impulsinduktivitätsmeßgerät DPG10 im Vergleich zur Messung mit Netzspannung und Netzstrom Die

Mehr

Was bedeutet Inklusion für Geschwisterkinder? Ein Meinungsbild. Irene von Drigalski Geschäftsführerin Novartis Stiftung FamilienBande.

Was bedeutet Inklusion für Geschwisterkinder? Ein Meinungsbild. Irene von Drigalski Geschäftsführerin Novartis Stiftung FamilienBande. Was bedeutet Inklusion für Geschwisterkinder? unterstützt von Ein Meinungsbild - Irene von Drigalski Geschäftsführerin Novartis Stiftung FamilienBande Haben Sie Kontakt zu Geschwistern schwer chronisch

Mehr

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable

Mehr

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik

Grundlagen der Elektrotechnik Grundlagen der Elektrotechnik Was hat es mit Strom, Spannung, Widerstand und Leistung auf sich Michael Dienert Walther-Rathenau-Gewerbeschule Freiburg 23. November 2015 Inhalt Strom und Spannung Elektrischer

Mehr

Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut wird, dass sie für sich selbst sprechen können Von Susanne Göbel und Josef Ströbl

Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut wird, dass sie für sich selbst sprechen können Von Susanne Göbel und Josef Ströbl Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut Von Susanne Göbel und Josef Ströbl Die Ideen der Persönlichen Zukunftsplanung stammen aus Nordamerika. Dort werden Zukunftsplanungen schon

Mehr

4.12 Elektromotor und Generator

4.12 Elektromotor und Generator 4.12 Elektromotor und Generator Elektromotoren und Generatoren gehören neben der Erfindung der Dampfmaschine zu den wohl größten Erfindungen der Menschheitsgeschichte. Die heutige elektrifizierte Welt

Mehr

1. Kennlinien. 2. Stabilisierung der Emitterschaltung. Schaltungstechnik 2 Übung 4

1. Kennlinien. 2. Stabilisierung der Emitterschaltung. Schaltungstechnik 2 Übung 4 1. Kennlinien Der Transistor BC550C soll auf den Arbeitspunkt U CE = 4 V und I C = 15 ma eingestellt werden. a) Bestimmen Sie aus den Kennlinien (S. 2) die Werte für I B, B, U BE. b) Woher kommt die Neigung

Mehr

HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN

HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN Zinsen haben im täglichen Geschäftsleben große Bedeutung und somit auch die eigentliche Zinsrechnung, z.b: - Wenn Sie Ihre Rechnungen zu spät

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................

Mehr

Die Größe von Flächen vergleichen

Die Größe von Flächen vergleichen Vertiefen 1 Die Größe von Flächen vergleichen zu Aufgabe 1 Schulbuch, Seite 182 1 Wer hat am meisten Platz? Ordne die Figuren nach ihrem Flächeninhalt. Begründe deine Reihenfolge. 1 2 3 4 zu Aufgabe 2

Mehr