300 Aufgaben. zur Geometrie und zu Ungleichungen. insbesondere zur Vorbereitung auf Mathematik-Olympiaden. Version 2.5 (Dezember 2000) von

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1 300 ufgaben zur Geometrie und zu Ungleichungen insbesondere zur Vorbereitung auf Mathematik-Olympiaden Version 2.5 (ezember 2000) von r.eckard Specht Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Naturwissenschaften

2 c Kopieren und Vervielfältigung ausdrücklich erlaubt. ieses okument kann jederzeit als PostScript-atei mit anonymous ftp vom Server hydra.nat.uni-magdeburg.de/pub/geometry heruntergeladen werden. Hier die entsprechenden Linux-Kommandos (Tastatureingaben sind unterstrichen): $ ftp onnected to hydra FTPserver (Version wu-2.4(1) Tue ec 5 20:51:15 ST 1995) ready. Name ( :blah): anonymous 331 Guest login ok, send your complete address as password. Password:<your complete address> 230 Guest login ok, access restrictions apply. ftp> cd pub/geometry 250 W command successful. ftp> bin 200 Type set to I. ftp> get geom 2.5.ps 200 PORT command successful. 150 Opening INRY mode data connection for geom 2.5.ps ( bytes). 226 Transfer complete bytes received in secs (1.0e+33 Kbytes/sec) ftp> bye 221 Goodbye. $ Online kann man sich die ufgaben unter ansehen.

3 Vorwort Zu den Gebieten der Mathematik, die von SchülerInnen anscheinend nicht besonders geliebt werden, gehört die Elementargeometrie. Obwohl sie zu den ältesten wissenschaftlichen isziplinen überhaupt zählt, scheint es so, daß eine Vielzahl ihrer Erkenntnisse und bemerkenswerten Entdeckungen seit Euklid ( v. hr.) im Laufe der Jahrhunderte verloren gegangen sind. Selbst ein ufblühen im 19. Jahrhundert, in dem zahlreiche und bis dahin unbekannte oder inzwischen wieder vergessene eziehungen zwischen Punkten, Geraden, Kreisen im reieck gefunden wurden, vermochte die Elementargeometrie offenbar nicht als attraktive Wissenschaft in die Neuzeit hinüberzuretten. So spielen in der heutigen Zeit diese, mit Namen großer Geometer belegter Entdeckungen im llgemeinwissen eigentlich keine Rolle mehr. Mitunter sieht man Mathematiker etwas geringschätzig auf die Elementargeometrie herabblicken. Sicherlich ist sie nicht so abstrakt wie andere Gebiete, die zudem häufig einen eigenen Kalkül entwickelt haben und dessen eherrschung die Mathematiker zu Spezialisten macht. och gerade das Fehlen dieser systematischen Lösungsmethoden macht sie zu einer hochgradig intuitiven ngelegenheit und für jeden verständlich auch ohne absolviertes Studium! Sie ist also bestens geeignet, logisches enkvermögen, usdauer und Konzentration zu trainieren, ganz gleich für welchen Wissenschaftszweig oder ltersgruppe auch immer (sogar rüstige Rentner entdecken sie oft für sich neu). Leider Gottes ist sie streng axiomatisch aufgebaut, so daß ihr Hauptinhalt aus Sätzen und den notwendig zugehörigen eweisen besteht. Und daß das abschreckend ist, kann man dann auch wieder verstehen :-) ie vorliegende ufgabensammlung entstand ursprünglich als Zusammenstellung von Themen, die ich anläßlich der alljährlich im pril in Gardelegen stattfindenden Vorbereitungskurse der nominierten Teilnehmer Sachsen-nhalts an der eutschen Mathematik- Olympiade in den Klassenstufen 9 und 10 behandelte; später kam auch Material für die biturstufe hinzu. In diesen dreieinhalbtägigen Kursen stand vor allem das Training des Lösens von ufgaben und die iskussion von Lösungsansätzen im Vordergrund. ie systematische Vermittlung von Stoffgebieten, wie z.. Trigonometrie, analytische Geometrie oder Vektorrechnung, war dabei nicht vorrangiges Ziel dieser Kurse, obwohl die Erfahrung zeigt, daß auch hier ein Interesse besteht, über den Schulunterricht hinausgehendes Wissen zu erwerben. us diesem Grunde wurden auch einige ältere Olympiade-ufgaben und vor allem historisch interessante geometrische Probleme aufgenommen. Großes Gewicht wurde auf die ausführlichen Lösungen gelegt, wobei eher die Lösungsideen und nicht die strenge eweisführung im Vordergrund standen. Obwohl Ungleichungen augenscheinlich nicht viel mit Geometrie zu tun haben außer der Tatsache, daß es ein ziemlich eigenständiges Gebiet geometrischer Ungleichungen gibt (s. Kapitel G), sind zwei (noch sehr unvollständige) Kapitel hinzugekommen, die dieses Thema näher beleuchten. Gerade in höher angesiedelten Wettbewerben wie der Internationalen Mathematik-Olympiade sind Ungleichungen eine durchaus beliebte Rubrik.

4 4 ie vorliegende roschüre bemüht sich daher, einerseits eine (immer unvollständig bleibende) Faktensammlung zu sein und andererseits auch einige Methoden, Tips und Tricks vorzustellen, die benötigt werden um geometrische Puzzles erfolgreich zu lösen. Für inhaltliche nregungen und Verbesserungshinweise bin ich jederzeit dankbar. Ich wünsche viel Spaß und Erfolg beim Lösen der ufgaben! Magdeburg, 23. ezember 2000 E. Specht

5 Hinweise zur Schreibweise 5 Hinweise zur Schreibweise Es wird eine teilweise vom Schulunterricht abweichende ezeichnung verwendet: kann sowohl eine zwischen zwei Punkten und gelegene Strecke bezeichnen als auch deren Länge (sonst häufig, oder sogar ). us dem Kontext geht jedoch i. a. immer hervor, was gerade gemeint ist. Eine durch, gehende Gerade bezeichnen wir mitunter auch mit g(, ). Wird eine Größe durch eine andere definiert (um sie z.. als bkürzung zu verwenden), schreiben wir l. Kreise k sind durch ngabe des Mittelpunktes O und eines Punktes auf dessen Peripherie eindeutig bestimmt; wir verwenden daher die Schreibweise O. Ist dagegen anstelle eines Punktes auf der Peripherie der Radius r = XY als Strecke gegeben, schreiben wir O r oder O XY. en Flächeninhalt eines Polygons...Z bezeichnen wir kurz mit [...Z]; bei reiecken notieren wir stets. Vektoren erscheinen im Text fett gedruckt und werden in ildern mit einem Pfeil über dem Symbol gekennzeichnet. ufgaben werden einheitlich mit dem Kapitelbuchstaben und einer ein- oder zweistelligen Nummer bezeichnet (z.. M.41). Gleichungen stehen in runden Klammern und werden kapitelweise bei den ufgaben beginnend mit 1, bei den Lösungen beginnend mit 101, durchnumeriert. Literaturhinweise werden von eckigen Klammern eingeschlossen. esteht eine ufgabe nur aus einer ussage lah, blah, blah..., soistalslösung immer der eweis des Satzes gefordert. Gleiches gilt auch für eine einzelne Gleichung oder Ungleichung. ieses kleine Quadrat gibt stets das Ende eines eweises an; es steht also für w. z. b. w. (was zu beweisen war) oder q. e. d. (quod erat demonstrandum). Eine weitere gebräuchliche bkürzung ist o.. d.. (ohne eschränkung der llgemeinheit). Kursiv gesetzte Ländernamen mit Jahreszahlen (z.. Peru, 1857 ) geben an, daß die betreffende ufgabe in jenem Jahr eine Olympiadeaufgabe war.

6 6 bkürzungen bkürzungen IME merican Invitational Mathematics ompetition PMO sian Pacific Mathematical Olympiad IMO Internationale Mathematik-Olympiade IMTS International Mathematical Talent Search NM Nordic Mathematical ontest

7 Inhaltsverzeichnis KONSTRUKTIONEN Euklidische Konstruktionen Geometrische Örter Kreiskonstruktionen Mohr-Mascheronische Konstruktionen Verschiedene Konstruktionen REIEKSKONSTRUKTIONEN ie Grundaufgaben uffinden von Hilfsdreiecken erechnung fehlender Stücke Rekonstruktion aus gegebenen Punkten KRE K ISE K.1 Winkel und Längen K.2 Inversion am Kreis K.2.1 Eigenschaften der Inversion K.2.2 nwendungen zur Inversion K.3 nwendungen REIEKE Klassische Transversalen eva & Menelaus Extremalaufgaben Einige Formeln Lotfußpunktdreiecke Noch mehr über reiecke V VIEREKE V.1 llgemeine Vierecke V.2 Trapeze, Parallelogramme, Rhomben etc V.3 Sehnenvierecke V.4 Tangentenvierecke V.5 Sehnentangentenvierecke M ME THOE N M.1 Vektorrechnung M.2 Winkel jagen M.3 Verwandlung von Figuren M.4 as Flächenprinzip... 44

8 8 Inhaltsverzeichnis W WETTEWERSUFGEN W.1 eutsche Mathematik-Olympiade W.2 Nationale Wettbewerbe W.3 Internationale Wettbewerbe W.4 rux Mathematicorum U UNGLEIHUNGEN U.1 Fundamentale Ungleichungen U.2 Einfache Tips und Tricks U.2.1 Teile und (be)herrsche U.2.2 ie rbeitspferde: M-GM und auchy-schwarz U.2.3 M-HM Kandidaten U.2.4 Ungleichungen unter Nebenbedingungen U.3 Elementare symmetrische Funktionen U.4 Weitere Ungleichungen G GEOMETRISHE UNGLEIHUNGEN G.1 Ungleichungen im reieck G.1.1 Ungleichungen für die Seitenlängen G.1.2 Ungleichungen für die Winkel G.1.3 Ungleichungen für die Radien G.1.4 Ungleichungen für die Seiten- und Winkelhalbierenden G.2 Ungleichungen in Vierecken X HINWEISE Y LITERTUR Y.1 ücher Y.2 Zeitschriften-rtikel Y.3 Zeitschriften Y.4 WWW-dressen... 82

9 KONSTRUKTIONEN Eines der ältesten Spiele der Welt ist das Spiel mit Zirkel und Lineal. ie zugehörigen Spielregeln wurden vor langer Zeit von Plato aufgestellt und legen fest, daß das Lineal nur dazu benutzt werden darf, um gerade Linien durch gegebene Punkte zu ziehen. Mit dem Zirkel dürfen nur Kreise gezeichnet werden, die einen vorgegebenen Punkt als Mittelpunkt haben und durch einen weiteren Punkt gehen. Manchen Spielern ist das zu einfach, sie erlegen sich daher Einschränkungen auf, wie z.. ein fest eingestellter Zirkel. Etwas Verwegene dagegen benutzen allein das Lineal, nachdem sie einen einzigen Kreis gezeichnet haben. Oder sie verzichten ganz auf das Lineal und benutzen allein einen Zirkel. ndere Spieler wiederum verwenden andere Hilfsmittel, etwa das markierte Lineal (ein Lineal mit zwei Marken an seiner Kante) oder Streichhölzer. Wer mehr dazu wissen will, dem sei [ie52], [Mar98] oder [Sma98] empfohlen. as Ziel all dieser Spiele ist es, geometrische Konstruktionen auszuführen, in deren Ergebnis Figuren mit bestimmten Eigenschaften vorliegen. Um die geforderten Eigenschaften nachzuweisen, müssen wir oft die lgebra, nalytische Geometrie oder die Vektorrechnung bemühen. Es gibt umfangreiche mathematische Theorien, aus denen folgt, welche Figuren mit welchen Hilfsmitteln konstruiert werden können und welche nicht. ie berühmtesten drei antiken Probleme, die sich nicht mit Zirkel und Lineal in einer endlichen nzahl von Schritten lösen lassen, kennt jeder: 1. ie reiteilung eines beliebigen Winkels. Gegeben sei ein beliebiger ebener Winkel. Man teile ihn mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile. 2. ie Verdopplung des Würfels (elianisches Problem). Gegeben sei eine Strecke der Länge 1. Man konstruiere daraus mit Zirkel und Lineal eine Strecke der Länge ie Quadratur des Kreises. Gegeben sei eine Strecke der Länge 1. Man konstruiere daraus mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit dem Flächeninhalt π. Es gab in der Vergangenheit zahlreiche Versuche (und es gibt sie noch heute), die behaupten, eine Lösung dieser klassischen Probleme gefunden zu haben, obwohl bewiesen ist, daß es nicht gehen kann. Zu diesem Thema gibt es eine recht unterhaltsame Literatur [ou62], [un94, p ], [ud92] und viele interessante Links [ 3].

10 10 KONSTRUKTIONEN.1 Euklidische Konstruktionen Um ebene Geometrie oder Planimetrie erfolgreich betreiben zu können, benötigen wir das dazu notwendige grundlegende Handwerkszeug. arunter verstehen wir all diejenigen Konstruktionsaufgaben, die den meisten von uns aus der Schule bekannt sind und auf die bei der Lösung schwierigerer ufgaben immer wieder zurückgegriffen wird. Man nennt sie auch die Grundaufgaben der Planimetrie. abei setzen wir nach Plato voraus, daß uns als Hilfsmittel lediglich ein Lineal (ohne Maßeinteilung) und ein Zirkel zur Verfügung stehen. arüber hinaus gibt es auch geometrische Konstruktionen, die mit eingeschränkteren Hilfsmitteln zu bewerkstelligen sind, wie etwa allein mit einem Zirkel; wir verweisen hier auf bschnitt.4. ie folgenden ufgaben, die also gewissermaßen das Fundament aller Fertigkeiten bei geometrischen Konstruktionen darstellen, können daher von geübten Lesern ruhig übersprungen werden..1 Errichten der Senkrechten. In einem Punkt P auf einer Geraden g ist die Senkrechte zu errichten..2 Mittelsenkrechte. Man konstruiere die Mittelsenkrechte einer gegebenen Strecke..3 Fällen des Lotes. Gegeben sei eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt. Man fälle das Lot von P auf g..4 Parallele zu einer Geraden. Gegeben sei eine Gerade g und ein Punkt P,der nicht auf g liegt. Man konstruiere diejenige Gerade, die durch P geht und parallel zu g verläuft..5 Winkelhalbierende. Gesucht ist die Winkelhalbierende eines beliebigen ebenen Winkels..6 btragen eines Winkels. Man trage an eine gegebene Gerade g in einem bestimmten Punkt einen gegebenen Winkel ab. Es gibt noch weitere ufgaben, die ebenfalls als Grundbausteine geometrischer Konstruktionen betrachten werden können, so wie sie in komplexeren Lösungen immer wieder auftreten. Wir betrachten hier nur eine uswahl:.7 rehen einer Strecke. Eine gegebene Strecke ist um einen Punkt P und um einen bestimmten Winkel α zu drehen..8 Kreis durch drei Punkte. Es ist ein Kreis zu beschreiben, der durch drei Punkte,, einer Ebene geht, die nicht sämtlich auf einer Geraden liegen..9 nlegen der Tangenten. Von einem außerhalb eines Kreises liegenden Punkt sind die Tangenten an den Kreis zu legen..10 Gemeinsame Tangenten zweier Kreise. Von zwei gegebenen Kreisen sind die gemeinsamen Tangenten zu bestimmen.

11 Geometrische Örter Vierte Proportionale. Gesucht ist die vierte Proportionale q dreier gegebener Strecken m, n und p; das heißt, es soll gelten: m n = p q..12 Teilen einer Strecke. Wie läßt sich eine gegebene Strecke a) innerlich, b) äußerlich in einem rationalen Verhältnis m : n (m, n > 0) teilen?.13 Stetige Teilung (Goldener Schnitt). Eine Strecke ist durch einen auf ihr liegenden Punkt so zu teilen, daß der größere bschnitt die mittlere Proportionale aus dem kleineren bschnitt und der gesamten Strecke wird: : = :..14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale. Man konstruiere a) das arithmetische, b) das geometrische und c) das harmonische Mittel zweier Strecken l 1 und l Quadratische Gleichung. Wie lassen sich mit Zirkel und Lineal die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 ± px ± q =0 mit x>0 konstruieren, wenn p>0 eine gegebene Länge und q>0 ein gegebener Flächeninhalt (etwa durch die Kantenlänge a q eines Quadrates) ist?.2 Geometrische Örter Oft werden bei der Lösung geometrischer ufgaben Punkte in der Ebene gesucht, die auf einer gewissen (geraden oder krummen ) Linie liegen und gleichzeitig eine bestimmte edingung erfüllen. Gibt es außerhalb dieser Linie keinen weiteren Punkt, der die geforderte Eigenschaft besitzt, so nennt man diese Linie den geometrischen Ort aller Punkte, die gerade jene edingung erfüllen. Einfache eispiele für geometrische Örter sind: 1. er geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt dieser Ebene einen bestimmten bstand haben, ist der Kreis um den gegebenen Punkt mit dem bstand als Radius. 2. er geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind, ist die Mittelsenkrechte auf deren Verbindungsstrecke. 3. er geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einer gegebenen Geraden einen vorgegebenen bstand haben, ist das Parallelenpaar zur gegebenen Geraden in diesem bstand. 4. er geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von zwei festen Parallelen gleichen bstand haben, ist die Mittelparallele zu den beiden gegebenen Parallelen. 5. er geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von zwei sich schneidenden Geraden den gleichen bstand haben, sind die beiden (senkrecht aufeinanderstehenden) Winkelhalbierenden der durch die Geraden gebildeten Winkel.

12 12 KONSTRUKTIONEN 6. Thales-Kreis. er geometrische Ort der Scheitelpunkte aller rechten Winkel, deren Schenkel durch zwei feste Punkte und gehen, ist der Kreis über der Strecke als urchmesser. Ein geometrischer Ort kann aber auch ein einzelner Punkt oder ein flächenhaftes Gebiet der Ebene sein, je nachdem, wieviel edingungen gestellt werden. llgemein ist festzustellen: Je mehr edingungen zu erfüllen sind, desto niedriger ist die Zahl der Freiheitsgrade und damit die imension des geometrischen Ortes. er Vorteil, den der egriff geometrischer Ort bietet, besteht in der einfachen Umsetzung von edingungen, die bestimmte Punkte erfüllen sollen, in eine Konstruktionsvorschrift. abei können durchaus mehrere edingungen miteinander verknüpft sein. er zweifellos am häufigsten auftretende Fall ist der, daß edingung X und edingung Y zu erfüllen sind und somit der gesuchte geometrische Ort der Schnittpunkt X Y (im Sinne eines mengentheoretischen urchschnitts) beider einzelner Orte ist. Wird z.. ein Punkt P gesucht, der von zwei gegebenen Punkten und den bstand r hat, so kann mit Hilfe obiger ussagen sofort gefolgert werden, daß P der Schnittpunkt der beiden Kreise k 1 r und k 2 r sein muß. Weiterhin ist damit auch klar, daß stets zwei Punkte P und P existieren, die diese edingung erfüllen, nämlich diejenigen, für die die reiecke P und P gleichseitig sind. Weitere geometrische Örter werden wir in den folgenden ufgaben betrachten:.21 Konstanter Sehwinkel. Gesucht ist der geometrische Ort aller Punkte P einer Ebene, von denen aus eine gegebene Strecke unter einem konstanten, gegebenenwinkelerscheint,d.h.,essei P α = const..22 Kreis des pollonius. Gesucht ist derjenige geometrische Ort aller Punkte P einer Ebene, für den der Quotient der bstände zu zwei fest vorgegebenen Punkten und einen konstanten Wert P/P q = const annimmt..23 Gesucht ist derjenige geometrische Ort aller Punkte P einer Ebene, für den die Summe der Quadrate der bstände zu zwei fest vorgegebenen Punkten und einen konstanten Wert P 2 + P 2 e 2 = const annimmt..24 Isoscelizer. Gegeben seien zwei nichtparallele Geraden sowie ein beliebiger Punkt P in der Ebene, der nicht mit dem Schnittpunkt beider Geraden zusammenfällt. Welches ist der geometrische Ort aller derjenigen Punkte, für die die Summe der bstände zu den Geraden gleich der bstandssumme von P zu den Geraden ist? Leider gibt es hierfür kein vernünftiges deutsches Wort: Gleichschenkligmacher wäre eine mögliche Übersetzung. Wir belassen es daher bei dem englischsprachigen egriff..25 Welches ist der geometrische Ort der Mittelpunkte aller von ausgehenden Sehnen eines Kreises M?.26 Ein oot mit Schmugglern bewegt sich in Küstennähe senkrecht auf das Ufer zu. Zu einem bestimmten Zeitpunkt wird es von einem Patrouille-Schnellboot geortet. Welchen Kurs muß letzteres zum ufbringen steuern, wenn die Positionen und die (als konstant vorausgesetzten) Geschwindigkeiten beider oote bekannt sind? Nehmen wir spaßenshalber einmal an, der Zoll habe das schnellere oot.

13 Kreiskonstruktionen Gesucht ist derjenige geometrische Ort aller Punkte P einer Ebene, für den der Quotient der bstände zu zwei gegebenen Geraden g und h einen konstanten Wert q hat..3 Kreiskonstruktionen ie wohl bekanntesten Kreiskonstruktionen gehen auf antike Zeiten zurück; man faßt sie auch unter dem Namen erührungsproblem des pollonius zusammen. ie ufgabe besteht darin, Kreise zu finden, die drei gegebene Kreise berühren. abei ist zugelassen, daß die gegebenen Kreise auch in Punkte oder Geraden entartet sein können. Insgesamt ergeben sich zehn verschiedene Fälle der Kombination von vorgegebenen Stücken P (Punkt), G (Gerade) und K (Kreis): 1. drei Punkte (PPP), 2. zwei Punkte und eine Gerade (PPG), 3. ein Punkt und zwei Geraden (PGG), 4. drei Geraden (GGG), 5. zwei Punkte und ein Kreis (PPK), 6. ein Punkt, eine Gerade und ein Kreis (PGK), 7. ein Punkt und zwei Kreise (PKK), 8. zwei Geraden und ein Kreis (GGK), 9. eine Gerade und zwei Kreise (GKK) und 10. drei Kreise (KKK). WirbeginnenmitdenerstenvierFällen:.31 erührungsproblem des pollonius (PPP). Gesucht sind Kreise, die durch drei gegebene Punkte P 1, P 2 und P 3 gehen..32 erührungsproblem des pollonius (PPG). Gesucht sind Kreise, die durch zwei gegebene Punkte P 1 und P 2 gehen und die Gerade g berühren..33 erührungsproblem des pollonius (PGG). Gesucht sind Kreise, die durch einen gegebenen Punkt P gehen und zwei Geraden g 1 und g 2 berühren..34 erührungsproblem des pollonius (GGG). Gesucht sind Kreise, die drei gegebene Geraden g 1, g 2 und g 3 berühren. ie nachfolgende Tabelle.1 enthält eine Zusammenfassung der Lösungsmöglichkeiten des erührungsproblems des pollonius (w(g 1,g 2 ) bedeutet für g 1 g 2 die Winkelhalbierende und für g 1 g 2 die Mittelparallele beider Geraden).

14 14 KONSTRUKTIONEN Tabelle.1. nzahl der Lösungen beim erührungsproblem des pollonius Gegeben edingung nzahl P 1, P 2, P 3 Punkte nicht kollinear 1 Punkte kollinear 0 P 1, P 2, g P 1,P 2 / g und h(p 1,P 2 ) g 2 P 1,P 2 / g und h(p 1,P 2 ) g 1 genau ein Punkt auf g 1 beide Punkte auf g 0 beide Punkte in unterschiedlichen Halbebenen 0 P, g 1, g 2 g 1 g 2 und P nicht auf einer Geraden 2 g 1 g 2 und P zwischen beiden Geraden 2 P auf genau einer Geraden 1 P =(g 1 g 2 ) 0 g 1 g 2 und P nicht zwischen beiden Geraden 0 g 1, g 2, g 3 3 Schnittpunkte der drei Geraden 4 genau zwei Geraden parallel 2 alle drei Geraden parallel 0 nur ein Schnittpunkt der drei Geraden 0.4 Mohr-Mascheronische Konstruktionen In gewohnter Weise verstehen wir unter der ufgabe, eine geometrische Konstruktion durchzuführen, diese mit den Hilfsmitteln Zirkel und Lineal zu bewerkstelligen. Es erscheint aber durchaus angebracht danach zu fragen, ob dieselben ufgaben nicht ebenso mit nur einem dieser Geräte gelöst werden können. ieser bschnitt beschäftigt sich damit, diejenigen geometrischen Konstruktionen zu erörtern, für die ausschließlich der Zirkel zugelassen ist. ls erster nahm sich Georg Mohr dieser Problemstellung an. Sein 1672 erschienenes uch Euclidis anicus war jedoch lange Zeit verschollen, bis es 1927 von J. Hjelmslev in einer Kopenhagener uchhandlung wieder aufgefunden wurde. us diesem Grunde wird häufig der italienische Mathematiker Lorenzo Mascheroni als Wegbereiter der Geometrie des Zirkels angesehen, der ohne Kenntnis von Mohrs Ideen im Jahre 1797 sein Werk La geometria del compasso veröffentlichte. ls Literatur zu diesem Thema sei [ie52], [Enr07], [Mar98] empfohlen. nalysieren wir einmal die einzelnen Schritte, die bei einer herkömmlichen Konstruktion mit Zirkel und Lineal auszuführen sind, so erkennen wir, daß jeder Schritt in eine der drei folgenden Grundkonstruktionen zerfällt: 1. die Schnittpunkte zweier Kreise zu bestimmen, 2. die Schnittpunkte einer Geraden und eines Kreises zu finden und 3. den Schnittpunkt zweier Geraden zu ermitteln.

15 Verschiedene Konstruktionen 15 emgemäß haben wir lediglich zu zeigen, daß sich die beiden Grundkonstruktionen 2 und 3 mit dem Zirkel allein bewerkstelligen lassen. a selbstverständlich mit dem Zirkel keine Gerade gezogen werden kann, gilt in diesem bschnitt eine solche als gegeben oder bestimmt, wenn zwei ihrer Punkte bekannt sind. evor wir zu den beiden Grundkonstruktionen kommen, müssen noch einige Vorarbeiten erledigt werden:.41 urch einen Punkt ist die Parallele zu einer Geraden zu ziehen..42 Es ist eine gegebene Strecke O zu verdoppeln, zu verdreifachen usw..43 Ein gegebener Punkt ist bezüglich einer Geraden zu spiegeln..44 Es ist ein Kreisbogen zu halbieren..45 Gesucht ist die vierte Proportionale q zu drei gegebenen Strecken m, n und p. Nach diesen aufwärmenden Übungen sollte es gelingen, auch Schnittpunkte von Geraden und Kreisen und von Geraden untereinander zu finden. Wir unterscheiden dabei zweckmäßigerweise bei der obigen Grundaufgabe 2 zwischen nichtzentralen und zentralen Geraden sowie bei der Grundaufgabe 3, ob die Geraden senkrecht aufeinander stehen oder nicht..46 Es sind die gemeinsamen Punkte eines Kreises und einer nicht durch seinen Mittelpunkt gehenden (nichtzentralen) Gerade zu finden..47 Es sind die gemeinsamen Punkte eines Kreises und einer durch seinen Mittelpunkt gehenden (zentralen) Gerade zu finden..48 Es ist der gemeinsame Punkt zweier nicht zueinander senkrechter Geraden zu bestimmen..49 Es ist der gemeinsame Punkt zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden zu bestimmen, oder gleichwertig damit: Es ist der Fußpunkt des von einem Punkt auf eine Gerade gefällten Lotes zu bestimmen..50 Man konstruiere den Mittelpunkt einer Strecke..5 Verschiedene Konstruktionen bschließend zum Thema Konstruktionen geben wir noch einige Klassiker an..61 Von einem Winkel sind Teile beider Schenkel gegeben; sein Scheitel sei nicht zugänglich. Gesucht ist die Winkelhalbierende..62 In einen Kreissektor ist ein Kreis einzubeschreiben..63 sei die Mitte der Strecke. Über, und als urchmesser werden Halbkreise nach derselben Seite errichtet. Es soll der Kreis konstruiert werden, welcher die drei Halbkreise berührt.

16 16 KONSTRUKTIONEN.64 In einem Trapez ist eine Gerade parallel zu den Grundseiten und zu konstruieren, die das Trapez halbiert..65 Es ist ein Quadrat zu zeichnen, dessen (ggf. verlängerte) Seiten durch vier gegebene Punkte gehen..66 Es ist ein Kreis zu beschreiben, der durch die Punkte, geht und aus der Geraden g eine Sehne der Länge s herausschneidet..67 Es ist ein gleichseitiges reieck zu beschreiben, dessen Ecken auf drei Parallelen liegen..68 Gegeben sei eine Gerade g sowie zwei nicht auf ihr, aber in derselben Halbebene liegende Punkte und. Gesucht sind diejenigen Punkte auf g, für die die Winkelhalbierende von und g ist..69 Es ist ein gleichseitiges reieck zu beschreiben, dessen Ecken auf den Umfängen dreier konzentrischer Kreise liegen..70 Zauberspiegel. Gegeben seien zwei feste Punkte und sowie eine Gerade g. Gesucht ist derjenige Punkt X auf g, für den der Strahlenverlauf bei einer Reflexion X gerade so ist, daß der Einfallswinkel doppelt so groß wie der usfallswinkel ist. (nach einer Idee inkl. Lösung von Johannes Wutscher).71 Gegeben sind zwei Kreise k 1, k 2 und eine Gerade g. Ein Quadrat ist so zu zeichnen, daß zwei Gegenecken auf die Peripherien von k 1 und k 2, die beiden anderen auf g fallen..72 Gegeben seien zwei feste Punkte und sowie eine Gerade g; aufihrists so zu bestimmen, daß S + S gleich einer gegebenen Strecke s wird.

17 REIEKSKONSTRUKTIONEN ie drei Seiten und die drei Winkel eines reiecks nennt man üblicherweise die sechs estimmungsstücke desselben. aneben gibt es eine Vielzahl weiterer Stücke, wie z.. die Längen der Höhen, Seiten- und Winkelhalbierenden, In- und Umkreisradius usw., die ebenfalls charakteristische Größen eines reiecks darstellen. ie bhängigkeit der reiecksstücke voneinander macht es nun unmöglich, die Größe der einzelnen Stücke beliebig, also unabhängig voneinander festzusetzen und daraus ein reieck herstellen zu wollen. Es stellt sich vielmehr heraus, daß schon drei von den sechs estimmungsstücken das ganze reieck festlegen und somit alle übrigen Stücke mitbestimmen. ls einzige usnahme gilt die Vorgabe von drei Winkeln, da durch zwei Winkel der dritte bereits mitbestimmt ist, in Wirklichkeit also nur zwei Stücke festgelegt sind. Wir wiederholen im bschnitt.1 zunächst die allseits bekannten Kongruenzsätze, um anschließend im bschnitt.2 auf die gebräuchlichste Methode des uffindens von Hilfsdreiecken einzugehen. ie bschnitte.3 und.4 sind noch sehr unvollständig, werden aber in Zukunft noch kräftig erweitert. Ein geplanter bschnitt über nicht mit Zirkel und Lineal durchführbare reieckskonstruktionen wird das Kapitel später abrunden..1 ie Grundaufgaben ie einfachsten Fälle von reieckskonstruktionen liegen vor, wenn nur estimmungsstücke vorgegeben werden. iese werden auch die vier Grundaufgaben für das reieck genannt, und man faßt deren Inhalt in den Kongruenzsätzen zusammen. Wir wiederholen sie an dieser Stelle:.1 Kongruenzsatz SWS. Es ist ein reieck zu zeichnen, von dem zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind..2 Kongruenzsatz WSW. Es ist ein reieck zu zeichnen, von dem eine Seite und zwei Winkel gegeben sind..3 Kongruenzsatz SSS. Es ist ein reieck zu zeichnen, dessen drei Seiten gegeben sind.

18 18 REIEKSKONSTRUKTIONEN.4 Kongruenzsatz SSW. Es ist ein reieck zu zeichnen, von dem zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind. lle anderen reieckskonstruktionen sind weniger geläufig und werden daher gern als Knobelaufgaben gestellt oder zum Ärgern von Schülern (oder Lehrern!) verwendet. Es wird in den folgenden bschnitten der Versuch unternommen, etwas Systematik in dieses Gebiet zu bringen..2 uffinden von Hilfsdreiecken Kommen unter den drei Stücken, die zur Konstruktion eines reiecks gegeben sind, auch andere Stücke als Seiten und Winkel vor, so kann man zur Lösung der ufgabe einen Weg einschlagen, den man als die Lösung durch Hilfsdreiecke bezeichnet. Man zeichnet zunächst ein beliebiges reieck und hebt darin die jeweils gegebenen Stücke kräftig hervor. Hierbei gelangt man im allgemeinen zu weiteren reiecken und untersucht, ob unter diesen neuen reiecken eines ist, das man mit Hilfe der gegebenen Stücke nach einer der soeben behandelten Grundaufgaben konstruieren kann. Schließlich überlegt man, wie nach Konstruktion dieses Hilfsdreiecks das verlangte reieck hergestellt werden kann. iesen Teil der Lösung nennt man die nalysis. arauf folgen dann: die Konstruktion, die auf Grund der in der nalysis angestellten Überlegungen ausgeführt wird, die ehauptung, daß die Konstruktion wirklich das verlangte reieck geliefert hat, und der eweis für die Richtigkeit der ehauptung. ls letzter Teil folgt die etermination (nähere estimmung). In dieser wird untersucht, in welchen Fällen die ufgabe nicht lösbar ist, und ermittelt, ob die möglichen Lösungen das reieck eindeutig oder eventuell mehrdeutig bestimmen. ls eispiele für ausführliche Lösungen mit allen ihren Schritten nalysis, Konstruktion, ehauptung, eweis und etermination mögen folgende ufgaben dienen, wobei die zweite eine ältere Olympiadeaufgabe ist, deren ufgaben- und Lösungstext weitestgehend original übernommen wurde..11 Gesucht ist ein reieck, von dem zwei Seiten b, c und die Höhe h c auf die eine von ihnen gegeben sind..12 Konstruieren Sie ein rechtwinkliges reieck mit dem rechten Winkel bei aus m a =6cm,m b = 8 cm. abei seien m a die Länge der Seitenhalbierenden von und m b die der Seitenhalbierenden von. eschreiben und begründen Sie Ihre Konstruktion. Untersuchen Sie, ob ein derartiges reieck mit den gegebenen Längen m a, m b existiert und bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt ist. (13. Mathematik-Olympiade 1973/74, Klasse 10, Stufe 4 ) Es gibt natürlich eine Unmenge möglicher Kombinationen von drei Stücken, durch deren Vorgabe ein reieck konstruiert werden kann. Eine umfassende Zusammenstellung findet der interessierte Leser in [Her86]. us Platzgründen wird in den weiteren Lösungen auf die arlegung des vollständigen Lösungsweges von nalysis bis etermination verzichtet und meist nur die Lösungsidee mit der Konstruktionsbeschreibung angegeben. Es sei

19 erechnung fehlender Stücke 19 jedoch noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, daß die obigen fünf Schritte bei der schriftlichen Lösung einer Wettbewerbsaufgabe möglichst vollständig abzuarbeiten sind. arüber hinaus ist es angebracht, für häufig auftretende Größen in einem reieck einheitliche Symbole einzuführen. iese sind in Tabelle X.2 aufgeführt. ie gewählten ezeichnungen stimmen zwar nicht in jedem Fall mit den im Unterricht gebräuchlichen überein, wir wollen sie dafür aber überall konsequent verwenden. ei den folgenden Konstruktionsaufgaben besteht der erste Schritt immer im uffinden eines geeigneten Hilfsdreiecks. ieses garantiert jedoch nicht in allen Fällen einen Weg zur Lösung. Oft sind dazu weitere Kenntnisse notwendig, so daß es sich ggf. empfielt, zunächst im Kapitel nachzusehen. Es ist klar, daß es in vielen Fällen auch völlig andere (und teilweise sicherlich kürzere) Lösungsmöglichkeiten gibt..13 Es ist ein reieck aus γ, w c und r zu konstruieren..14 Es ist ein reieck aus γ, m b und R zu konstruieren..15 Es ist ein reieck aus h c, w c und m c zu konstruieren..16 Es ist ein reieck aus γ, h b und m c zu konstruieren..17 Es ist ein reieck aus a, b und m c zu konstruieren..18 Es ist ein reieck aus m a, m b und h c zu konstruieren..19 Es ist ein reieck aus m a, m b und m c zu konstruieren..20 Es ist ein reieck aus γ, h c und s zu konstruieren..21 Es ist ein reieck zu konstruieren, von dem die Länge der Seite c, dielänge der Höhe h c und die ifferenz der Innenwinkel 0 <α β<90 gegeben sind. (35. Mathematik-Olympiade 1995/96, Klasse 10, Stufe 4 ).22 Es ist ein reieck aus α β, h c und R zu konstruieren..23 Es ist ein rechtwinkliges reieck aus c und a + b zu konstruieren..3 erechnung fehlender Stücke In einigen Fällen gelingt es nicht ohne weiteres, mit den vorgegebenen Stückenaneinkonstruierbares Hilfsdreieck zu gelangen. Oft kann man sich dennoch helfen, indem fehlende Stücke durch nwendung bekannter elementarer Sätze berechnet werden, die ihrerseits konstruierbar sind. Meist genügt es, z.. die Strahlensätze oder den Satz des Pythagoras geschickt auszunutzen, wie folgendes eispiel zeigt..41 Es ist ein reieck aus a, b und w c zu konstruieren.

20 20 REIEKSKONSTRUKTIONEN.4 Rekonstruktion aus gegebenen Punkten llgemein schwerer scheint es, reiecke aus vorgegebenen Lagen besonderer Punkte zu (re)konstruieren. iese ufgaben verlangen mitunter die Kenntnis spezieller (aber nicht unbedingt komplizierter) Sachverhalte aus der Geometrie des reiecks. Sie sollten daher erst nach urcharbeiten des Kapitels in ngriff genommen werden..51 Es ist ein reieck aus γ =90, c und der Lage des erührungspunktes F des Inkreises auf der Hypotenuse zu konstruieren. (rux Mathematicorum 2415, März 1999).52 Über jede Seite eines reiecks, dessen Innenwinkel kleiner als 120 sind, werden gleichseitige reiecke, und errichtet. Man (re)konstruiere, wenn die Punkte, und gegeben sind.

21 K KREISE er Kreis ist eine der einfachsten und zugleich schönsten Figuren der Geometrie. Wer hat nicht in den ersten Tagen, als er den Umgang mit einem Zirkel lernte, entlang der Peripherie eines Kreises ein regelmäßiges Sechseck oder blumenartige Ornamente konstruiert und sich an deren Ästhetik erfreut. Wollen wir jedoch mehr über die Wechselbeziehungen zwischen Kreisen und Punkten, Geraden, Winkeln oder Flächen erfahren, kommen wir nicht an den folgenden Sätzen vorbei, die ausnahmslos aus dem Unterricht bekannt sein dürften. Wir beginnen mit Sätzen über Winkel- und Längenbeziehungen am Kreis. K.1 Winkel und Längen In diesem bschnitt wiederholen wir die wichtigsten Sätze über Winkel- und Längenbeziehungen am Kreis, die uns noch aus dem Schulunterricht vertraut sind. K.1 Peripheriewinkelsatz. lle Peripheriewinkel über demselben ogen sind einander gleich. K.2 Peripherie-Zentriwinkel-Satz. ie über einem ogen und einer Sehne liegenden Peripheriewinkel eines Kreises sind untereinander gleich und halb so groß wie der zugehörige Zentriwinkel; Peripheriewinkel, die auf verschiedenen Seiten derselben Sehne liegen, ergänzen sich zu 180. K.3 Satz des Thales. Verbindet man einen Punkt der Peripherie eines Kreises mit den Endpunkten eines beliebigen urchmessers, so stehen die Verbindungslinien senkrecht aufeinander. K.4 Sehnen-Tangentenwinkel-Satz. Ein Sehnen-Tangentenwinkel hat stets die gleiche Größe wie jeder Peripheriewinkel über dem Kreisbogen, der zwischen den Schenkeln des Sehnen-Tangentenwinkels liegt. arüber hinaus gibt es einige Sätze, die ussagen über Längenrelationen zwischen Sehnen, Sekanten bzw. Tangenten am Kreis machen. abei taucht mitunter folgender egriff auf, der auf Jacob Steiner zurückgeht:

22 22 KREISE Potenz. ls Potenz P eines Punktes bezüglich eines Kreises k O r (Mittelpunkt O, Radiusr) bezeichnet man die Größe P() O 2 r 2. Klar, daß alle Punkte auf der Peripherie von k diepotenznullhaben; innerhalb des Kreises ist sie negativ und außerhalb positiv. er geometrische Ort aller Punkte gleicher Potenz bezüglich eines gegebenen Kreises k sind konzentrische Kreise zu k. d k O r K.11 Sehnensatz. Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen, so ist das Produkt der bschnittslängen der einen Sehne gleich dem Produkt der bschnittslängen der anderen. K.12 Sekantensatz. Schneiden sich zwei Sekanten eines Kreises außerhalb des Kreises, so ist das Produkt der bschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. K.13 Sekanten-Tangentensatz. Für jeden Punkt außerhalb eines Kreises ist die Länge des bschnitts bis zum erührungspunkt auf einer vom Punkt an den Kreis gelegten Tangente die mittlere Proportionale zu den Längen der bschnitte, die der Kreis auf einer Sekante durch den Punkt abschneidet. K.14 Netzhaut-Satz. (ild) er bstand der Mittelpunkte zweier Kreise mit den Radien a und b betrage s>a+ b. Zieht man die x Tangenten von einem Mittelpunkt an den jeweils anderen Kreis, dann sind die durch die rückwärtigen Verlängerungen herausge- schnittenen Sehnen x und y untereinander gleich. a s b y K.15 In einem Kreis halbiere der urchmesser die Sehne. Eine weitere Sehne Q schneide in P. ann hat der usdruck P Q unabhängig von der Lage von P stets denselben Wert. K.16 PT und PU seien Tangenten von einem Punkt P an zwei konzentrische Kreise, wobei PT den kleineren Kreis berührt. Weiterhin schneide PT den größeren Kreis in Q. ann gilt: PT 2 PU 2 = QT 2.

23 REIEKE as reieck ist neben dem Kreis die am häufigsten betrachtete Figur der Planimetrie. Zahlreiche eziehungen und Sätze über Größen im reieck wurden im Laufe der Zeit gefunden. Geschichtlich gesehen kann man zwei Epochen ausmachen, in denen wesentliches entstand bzw. hinzukam: die ntike und das 19. Jahrhundert, das mit solchen Namen wie Feuerbach, Gergonne und Nagel verbunden ist ( Neuere reiecksgeometrie, s. [ap92]). ieses Kapitel listet eine Vielzahl von Sätzen über das reieck auf, wobei klar ist, daß Vollständigkeit keinesfalls erreicht werden kann. Je mehr Sachverhalte wir aber kennen, desto leichter wird uns das Problemlösen fallen. ezüglich der Schreibweise halten wir uns an Tabelle X.2. Wir beginnen mit denjenigen bemerkenswerten Punkten und Linien im reieck, die schon im ltertum bekannt waren..1 Klassische Transversalen Jeder kennt aus dem Geometrieunterricht jene Paare von egriffen, die stets zusammengehören: 1. der Umkreismittelpunkt O als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten, 2. der Inkreismittelpunkt I als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden w a, w b, w c, 3. der Schwerpunkt G als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden m a, m b, m c und 4. der Höhenschnittpunkt H als gemeinsamer Punkt der Höhen h a, h b, h c. lle auftretenden Geraden haben gemeinsam, daß sie Transversalen eines reiecks sind, d. h. dieses schneiden. 2 bis 4 sind sogar Ecktransversalen, im Englischen auch cevian genannt. Natürlich sollten wir zunächst zeigen, daß die genannten Schnittpunkte tatsächlich die Schnittpunkte aller drei Transversalen sind. Wir wollen den Nachweis an dieser Stelle jedoch nur für den Umkreismittelpunkt führen; die anderen eweise lassen sich eleganter mit der Umkehrung des Satzes von eva erledigen (s. bschnitt.2)..1 ie Mittelsenkrechten der Seiten eines reiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt O des reiecks.

24 24 REIEKE leiben wir bei unserer Tour quer durch das klassische reieck zunächst beim Umkreis, zu dem es weitere bemerkenswerte inge festzustellen gibt. F.2 (ild) In einem schneide die Mittelsenkrechte der Seite den Umkreis in den beiden Punkten F und F. abei sollen und F auf derselben Seite bezüglich, und F auf unterschiedlichen Seiten liegen. Man zeige, daß dann die Strecke F den Innenwinkel sowie F den zugehörigen ußenwinkel halbiert. F Für zahlreiche Sätzegilt wiewirnochsehenwerden auchdieumkehrung, d.h.,die ehauptung wird zur Voraussetzung und umgekehrt. So ist es auch bei dem vorangegangenen Satz. Wenn wir ihn nicht beachten, gelangen wir mitunter zu kuriosen Resultaten..3 In einem reieck schneiden sich die Mittelsenkrechte einer Seite und die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis..4 Paradoxon: Jedes reieck ist gleichschenklig. (Pseudo)eweis: (ild) Im reieck halbiere deninnenwinkelbei undmsei Mittelsenkrechte auf. ann ist E = F nach Kongruenzsatz E F WSW; die rechtwinkligen reiecke M und M sind nach Kongruenzsatz SWS ebenfalls kongruent. Wegen E = F, =, E = F =90 M folgt daraus E = F. lsoiste = F und somit auch =, d. h., das reieck ist gleichschenklig. Wo steckt der Fehler? uch bei dem bekannten Sinussatz gibt es ein etail, das gern übersehen wird. Es findet sich aber leicht, wenn der Umkreis hinzugenommen wird..5 Erweiterter Sinussatz. In jedem reieck gilt a sin α = b sin β = c sin γ =2R. (.1).6 uf dem Umkreis eines gleichseitigen reiecks liege ein Punkt P,der nicht mit einem Eckpunkt zusammenfällt. ie Sehne P schneide die Seite in Q. Man zeige, daß gilt: a) 1 P + 1 P = 1, b) P + P = P. PQ a es ohnehin nicht möglich ist, die Sätze der Elementargeometrie streng nach beteiligten Gebilden zu ordnen, beziehen wir im weiteren die Winkelhalbierenden eines reiecks in unsere etrachtungen mit ein. Folgendes Resultat ist so einfach, daß es eigentlich nicht in diese Reihe gehört. a wir es aber später häufig zitieren, sei es hier angegeben..7 ie Winkelhalbierenden von Innen- und zugehörigem ußenwinkel eines reiecks stehen senkrecht aufeinander.

25 Klassische Transversalen 25 er wohl am häufigsten benutzte Satz, der im Zusammenhang mit Winkelhalbierenden im reieck steht, ist der folgende:.8 In einem reieck teilt jede Halbierende eines Innenwinkels (ußenwinkels) die gegenüberliegende Seite innerlich (äußerlich) im Verhältnis der anliegenden Seiten..9 er Winkel, unter dem eine reieckseite vom Inkreismittelpunkt aus gesehen wird, ist gleich dem um 90 vermehrten halben Gegenwinkel der Seite. Wenden wir uns nun dem Schwerpunkt eines reiecks zu. Seinen Namen verdankt er folgender eobachtung: Es wird ein beliebiges reieck auf ein Stück Sperrholz gezeichnet und mit der Laubsäge ausgesägt. Versuchen wir nun die reiecksfläche von unten mit einer Nadel zu balancieren, gelingt dies nur, wenn die Nadel das reieck genau im Schwerpunkt unterstützt..10 ie drei Seitenhalbierenden eines reiecks schneiden sich im Schwerpunkt G des reiecks. In welchem Verhältnis teilt der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden?.11 Ein reieck wird durch seine Seitenhalbierenden in sechs kleinere Teildreiecke zerlegt, die untereinander gleichen Flächeninhalt haben..12 Eine Gerade durch den Schwerpunkt G eines reiecks schneide dessen Seiten in den Punkten X, Y, Z. Man beweise, daß dann für die gerichteten Strecken GX, GY, GZ (s. dazu bschnitt.2) gilt: 1 GX + 1 GY + 1 GZ =0..13 Gegeben sei ein reieck mit einer beliebigen Gerade g durch dessen Schwerpunkt. Liegen zwei Eckpunkte des reiecks auf der gleichen Seite von g, so ist die Summe ihrer bstände von g gleich dem bstand des dritten Eckpunktes von g. en bschluß unserer Tour bildet der Höhenschnittpunkt. Er ist der usgangspunkt für ein spezielles reieck im reieck, das Höhenfußpunktdreieck. ie zahlreich vorhandenen rechten Winkel prädestinieren es geradezu für nwendungen der Ähnlichkeitssätze und der besonderen Eigenschaften von Sehnenvierecken..21 ie Höhen in einem spitzwinkligen reieck halbieren die Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks. Oder anders ausgedrückt: er Höhenschnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks..22 In einem reieck teilt der Höhenschnittpunkt jede Höhe so in zwei bschnitte, daß die Produkte ihrer Längen untereinander gleich sind. (14. Mathematik-Olympiade 1974/75, Klasse 9, Stufe 2 ).23 Spiegelt man in einem spitzwinkligen reieck den Höhenschnittpunkt an den Seiten, so liegen die ildpunkte auf dem Umkreis des reiecks..24 Im seien H der Höhenschnittpunkt und O der Mittelpunkt des Umkreises. ann sind die Winkel H und O gleich groß.

26 26 REIEKE er Höhenschnittpunkt führt in Verbindung mit dem Umkreismittelpunkt auf eine ifferenz von Innenwinkeln im reieck, welche mitunter vorgegeben ist, aber ohne Kenntnis dieses Zusammenhangs nicht so einfach anzuwenden ist..25 Im reieck beträgt der Winkel HO = α β..2 eva & Menelaus Es ist schade, daß zwei so überaus nützliche Sätze, wie die von eva und Menelaus sowie deren Umkehrung, nicht zum Standardprogramm im Geometrieunterricht gehören. Sie leisten oft gute ienste, wenn es zu zeigen gilt, daß sich drei Geraden in einem Punkt schneiden (kopunktal sind) bzw. drei Punkte auf einer Geraden liegen (kollinear sind). Ohne diese Sätze lassen sich derartige eweise ungleich aufwendiger führen. Wir demonstrieren dies an den bisher offenen Problemen aus bschnitt.1. Geschichtlich interessant ist die Tatsache, daß 15 Jahrhunderte zwischen beiden Entdeckungen liegen, obwohl sie eigentlich sehr ähnliche ussagen machen. Während Menelaus seinen Satz bereits ca. 80 n. hr. in seinem Werk Sphärik niederschrieb, wurde sein dualer Partner erstmals 1678 von dem Italiener Giovanni eva in seiner Schrift e lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio erwähnt. Wir beschäftigen uns im ersten Teil dieses bschnitts mit der Kopunktualität, d.h.der edingung für das Zusammentreffen dreier Geraden in einem Punkt..31 Satz von eva. (ild) Wenn sich in einem die drei Ecktransversalen X, Y und Z in einem Punkt schneiden, dann hat das Produkt der Teilverhältnisse, das ihre Schnittpunkte mit den Gegenseiten auf diesen bilden, den Wert 1: Z Z X X Y Y =1. (.2) Z.32 Wie lautet die trigonometrische Form des Satzes von eva, wenn anstelle der Längen Z,...,Y die sechs gegenüberliegenden Winkel verwendet werden?.33 Umkehrung des Satzes von eva. Wenn das Produkt der Teilverhältnisse, das die Schnittpunkte der Ecktransversalen eines reiecks mit den Gegenseiten auf diesen bilden, den Wert 1 hat, dann schneiden sich die Ecktransversalen in einem Punkt (vgl. ufgabe.31). Y X Mitunter wird nicht so streng zwischen diesem Satz und seiner Umkehrung unterschieden und bei beiden vom Satz von eva gesprochen. Jetzt sind wir in der Lage, sehr bequem nachzuweisen, daß sich auch die anderen Ecktransversalen aus bschnitt.1 stets in einem Punkt schneiden.

27 eva & Menelaus Unter Verwendung der Umkehrung des Satzes von eva ist zu beweisen, daß sich a) die Seitenhalbierenden, b) die Winkelhalbierenden und c) die Höhen eines reiecks stets in einem Punkt schneiden. amit sind die nwendungsmöglichkeiten des Satzes von eva noch lange nicht erschöpft, wie einige, aus dem 19. Jahrhundert stammende eispiele zeigen. azu benötigen wir allerdings noch folgende efinitionen: Halbumfangspunkte. Fahren wir ausgehend von Eckpunkt entlang der Seiten einmal den Umfang eines reiecks ab, so gibt es auf der gegenüberliegenden Seite einen Punkt,für den der Weg + über Eckpunkt gerade gleich dem Weg + über ist. heißt dann Halbumfangspunkt zu ; ebensodefinieren wir bzw...35 ie erührungspunkte der drei nkreise mit den reieckseiten fallen mit den Halbumfangspunkten zusammen. Isotomische Geraden. (ild) ngenommen, eine Ecktransversale g durch schneide die gegenüberliegende reieckseite im Punkt. ann gibt es auf dieser Seite immer einen Punkt (den zu isotomisch gelegenen Punkt), für den = bzw. = gilt. ie durch und gehende Gerade g heißt dann isotomisch g g zu g. Wir erkennen sofort, daß und auch als spiegelbildliche Punkte aufgefaßt werden können, wobei die Mitte der Seite als Spiegelungszentrum auftritt. Oder anders ausgedrückt: Wenn wir das Teilungsverhältnis / mit x bezeichnen, dann teilt der isotomische Punkt im Verhältnis / =1/x..36 Isotomisch konjugierter Punkt. (ild) P sei ein im Innern des liegender Punkt. ie drei Ecktransversalen P, P, P schneiden die jeweils ge- X Y genüberliegenden Seiten in den Punkten X, Y bzw. Z. Man beweise, daß sich die drei isotomischen Geraden P Y X, Y und Z ebenfalls in einem gemeinsamen P Punkt, dem zu P isotomisch konjugierten Punkt P X, schneiden. Z Z Was bei den isotomischen Geraden die besondere Längenrelation = ist, ist auch für die von zwei Ecktransversalen eingeschlossenen Winkel mit den reieckseiten denkbar. ies führt auf den egriff

28 28 REIEKE Isogonale Geraden. (ild) ie Ecktransversale g durch schneide die gegenüberliegende reieckseite im Punkt. ann gibt es auf dieser Seite immer einen Punkt (den zu isogonal gelegenen Punkt), für den = bzw. = gilt. ie durch und gehende Gerade g heißt dann isogonal zu g. Offensichtlich gehen g und g g g ineinander über, w wenn wir sie an der Winkelhalbierenden w spiegeln. Insbesondere hat sich der Name Symmediane für die an der Winkelhalbierenden gespiegelten zugehörigen Seitenhalbierenden (Mediane) eingeprägt..37 Isogonal konjugierter Punkt. (ild) P sei ein im Innern des liegender Punkt. ie drei Ecktransversalen P, P, P schneiden die jeweils gegenüberliegenden Seiten in den Punkten X, Y bzw. Y X P Z. Man beweise, daß sich die drei isogonalen Geraden X, Y und Z ebenfalls in einem gemeinsa- Y P men Punkt, dem zu P isogonal konjugierten Punkt P X, schneiden. Z Z Nunmehr sind wir in der Lage, auf einige weitere merkwürdige Punkte in einem reieck einzugehen, von denen die antiken Geometer anscheinend noch nichts wußten..38 Gergonnes Punkt. In einem schneiden sich die Strecken X, Y und Z stets in einem Punkt Ge, wobeix, Y, Z die erührungspunkte des Inkreises mit den Seiten,, sind..39 Nagels Punkt. In einem schneiden sich die Strecken X, Y und Z stets in einem Punkt Na, wobeix, Y, Z die erührungspunkte der drei nkreise mit den Seiten,, sind..40 Gergonnes Punkt und Nagels Punkt sind isotomisch konjugierte Punkte..41 Lémoine-Punkt. ie Symmedianen eines reiecks schneiden sich in einem Punkt..42 Welche beiden merkwürdigen Punkte in einem reieck sind ebenfalls isogonal konjugiert? Im zweiten Teil dieses bschnitts geht es um die Kollinearität, d.h.dieedingungfür die gleichzeitige Lage dreier Punkte auf einer Geraden. Eines ist noch vorauszuschicken: eim Satz von Menelaus wird vom egriff der gerichteten Strecke Gebrauch gemacht. efinden sich z.. die Punkte,, Z so auf einer Geraden, daß zwischen und Z liegt, so haben und Z gleichen Richtungssinn und /Z ist positiv. agegen ist in diesem eispiel wegen Z = Z der Quotient Z/Z negativ. iese Unterscheidung, die auf Newton zurückgeht, läßt bereits die nfangsgründe der Vektorrechnung erkennen.

29 Extremalaufgaben Satz von Menelaus. (ild) Eine Gerade schneidet die (ggf. verlängerten) Seiten eines reiecks so, daß das Produkt der Teilverhältnisse, das ihre Schnittpunkte mit Y den drei Seiten bilden, den Wert 1 hat: Z Z X X Y X Y = 1. (.3) Z.44 Umkehrung des Satzes von Menelaus. Wenn für drei Punkte X, Y, Z auf den Seiten eines reiecks die Gleichung (.3) gilt, dann sind X, Y, Z kollinear. Im weiteren finden sich Problemstellungen, in denen ebenfalls die Kopunktualität von Geraden bzw. Kollinearität von Punkten nachzuweisen ist..45 Simson-Gerade. Es sei P ein Punkt auf dem Umkreis des und X, Y, Z die Fußpunkte der von P auf die reieckseiten bzw. deren Verlängerungen gefällten Lote. Man zeige, daß dann X, Y, Z auf einer gemeinsamen Geraden liegen..46 ie Tangenten an den Umkreis eines reiecks in dessen Eckpunkten schneiden die jeweils gegenüberliegenden (verlängerten) Seiten in drei kollinearen Punkten. Singapore Mathematical Society Interschool ompetition, In einem werden in den Eckpunkten, und jeweils gleich große Winkel δ, ε bzw. η nach außen abgetragen. ie freien Schenkel treffen sich in den Punkten, E F, die in dieser Reihenfolge den Eckpunkten,, gegenüberliegen. Man beweise, daß, E und F sich in einem Punkt schneiden. bschließend sei bemerkt, daß wir in bschnitt M.4 noch andere eweise der Sätze von eva und Menelaus unter Verwendung des Flächenprinzips angeben..3 Extremalaufgaben Für illardspieler ist folgende Frage nichts besonderes: Wie ist eine Kugel zu stoßen, damit sie von Punkt nach einer Reflexion an der ande zum Punkt gelangt? Viele erledigen die ufgabe vielleicht intuitiv richtig, aber können sie ihr Vorgehen auch mathematisch erklären? Klar, wir haben diesen nspruch, deswegen formulieren wir das folgende.51 Problem von Heron. Für zwei Punkte auf derselben Seite einer Geraden ist der kürzeste Weg gesucht, der vom ersten Punkt zur Geraden und anschließend zum zweiten Punkt führt. emerkenswert sind ebenso Extremaleigenschaften bestimmter Punkte oder Linien im reieck, die schon seit jeher das Interesse der Mathematiker auf sich zogen. ie erste derartige Extremalaufgabe stammt aus der Mitte des 17. Jahrhunderts von dem französischen Mathematiker Pierre Fermat, der sie u. a. Evangelista Torricelli bekannt machte und die daher nach beiden benannt wurde.