Digitale Signalverarbeitung Juli 2004

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1 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für Angewandte Physik xperimentelle Übungen für Fortgeschrittene Digitale Signalverarbeitung Juli 2004 In der Digitaltechnik ist es nicht möglich, physikalische Signale kontinuierlich zu bearbeiten, wie dies in der Analogtechnik der Fall ist. Digitale Komponenten werden im Allgemeinen getaktet, d.h. es werden Zeitmarken ausgegeben, bei denen dann jeweils ein Arbeitsschritt pro Takt ausgeführt wird. Um physikalische Signale mit digitaler Technik zu erfassen und zu bearbeiten, müssen die Signale abgetastet bzw. zeitdiskretisiert werden, d. h. die Werte werden nur zu bestimmten Zeitpunkten erfasst und bearbeitet. Außerdem können die erfassten Messwerte nur mit endlicher Genauigkeit gespeichert werden, so dass bei der Digitalisierung eine Wertdiskretisierung stattfindet. Die Probleme, die beim Übergang von analoger zu digitaler Signaltechnik auftreten, werden in diesem Versuch behandelt. In dem xperiment wird eine Soundkarte als Analog/Digital-Wandler benutzt. Zeitlich variierende analoge Signale werden von einem Frequenzgenerator erzeugt und mit der Soundkarte digitalisiert. Dabei wird der influss verschiedener ffekte auf das digitalisierte Signal untersucht. Als reale zeitlich variierende Signale werden Töne einer Stimmgabel, eines Tongebers für das Tonwahlverfahren sowie die menschliche Stimme aufgenommen und analysiert. Kenntnisse Analog-Digital-Wandler, Digital-Analog-Wandler, Sample & Hold Theoretische Beschreibung von Signalen Fouriertransformation, diskrete Fouriertransformation Abtastung, Abtasttheorem Aliasing-ffekt, Leakage-ffekt Tiefpassfilter Literatur [1] Stearns: Digitale Verarbeitung analoger Signale, Oldenbourg Kapitel 3: Überblick über kontinuierliche Transformationen, Übertragungsfunktionen... Kapitel 4: Das Abtasten und Messen von Signalen Kapitel 5: Die diskrete Fouriertransformation Kapitel 7: Spektrale Berechnung bei abgetasteten Signalen [2] M. Meyer: Signalverarbeitung, Vieweg, 2000 Kapitel 5: Digitale Signale [3] Ohm, Lüke: Signalübertragung, Springer-Verlag, 2002 Kapitel 3: Diskrete Signale und Systeme [4] Hering, Bressler, Gutekunst: lektronik für Ingenieure, Springer, 2001 Kapitel 9: Digital-Analog- und Analog-Digital-Wandler 1

2 1 Grundlagen 1.1 Vorkenntnisse In diesem Abschnitt werden Grundlagen zusammengefasst, die zum Verständnis der nachfolgenden Theorie unbedingt erforderlich sind Die Fourier-Transformation Die Fourier-Integraltransformation (FIT) Die Theorie der linearen Signalverarbeitung lässt sich auf harmonische Funktionen gründen. Diese sind igenfunktionen der LTI- Systeme (Linear Time Invariant Systems) und können, da sie eine vollständige orthonormale Basis des Raumes der quadratintegrablen Funktionen bilden, als Grundlage für entsprechende Betrachtungen dienen. Das Verhalten komplizierter Zeitfunktionen g(t) lässt sich also studieren, wenn man deren Frequenzanteile G(f) kennt. Die FIT leistet genau diesen Basiswechsel vom Zeit- in den Frequenzraum: sie stellt eine Funktion über der Basis der harmonischen Funktionen dar. Die Umkehrtransformation macht dies rückgängig. Die Fourier-Transformation (FT) und die inverse Fourier-Transformation sind wie folgt definiert: FT: F(ω) = 1 2π Weitere wichtige igenschaften sind: f(t)e iωt dt FT 1 : f(t) = 1 2π F(ω)e iωt dt (1) f(t) periodisch F(ω) diskret (2) f(t) diskret F(ω) periodisch (3) f(t) reell F(ω) = F ( ω) F(ω) gerade (4) Die Faltung Im Folgenden werden wir gelegentlich in die Situation kommen, dass wir zwei Signale, deren Spektren wir kennen, miteinander multiplizieren. Das Spektrum des Produktes kann dann leicht über die Faltung bestimmt werden. Der Faltungssatz besagt: FT [f(t) g(t)] = F(ω) G(ω) FT [F(ω) G(ω)] = f(t) g(t). (5) ine Multiplikation im Zeitraum geht also in eine Faltung im Frequenzraum über. Die Faltung ist durch folgendes Integral definiert: [f(τ) g(τ)] (t) = f(τ) g(t τ) dτ. (6) Das rgebnis einer Faltung ist also eine Funktion mit dem Argument t. Anschaulich bedeutet die Faltung, dass die Funktion g an der y-achse gespiegelt wird, um das Argument t der Faltung entlang der x-achse verschoben wird und dann die Korrelation der beiden Funktionen berechnet wird Die Fourier-Reihe Gleichung 2 besagt, dass das Spektrum einer periodischen Funktion nur aus diskreten Werten besteht. Diese igenschaft macht sich die Fourier-Reihenentwicklung zu Nutze, um eine Funktion mit der Periodenlänge T zu transformieren. 2

3 c m = 1 T T 0 f(t) e i2π T m t dt f(t) = m= c m e i2π T m t (7) Die diskrete Fourier-Transformation Sollen digitalisierte Zeitreihen transformiert werden, so benötigt man die diskrete Fourier-Transformation (DFT). Sie transformiert einen Vektor aus N Werten x n in einen neuen Vektor aus N Werten c m. Die diskrete Fourier- Transformation kann aus der Fourier-Reihe abgeleitet werden, indem das Integral durch eine Riemann sche Summe ersetzt wird. c m = 1 N N 1 n=0 x n e i2π N mn x n = N 1 m=0 c m e i2π N mn (8) Dabei kann der Faktor 1/N nach belieben auch in die Definition von x n verschoben werden. Die DFT erbt von der Fourier-Reihe die igenschaft, dass das zu transformierende Zeitintervall als periodisch fortgesetzt interpretiert wird. Dieser Umstand wird bei der Anwendung der DFT noch eine Rolle spielen Die db-skala In der Signalverarbeitung interessiert man sich häufig für das Verhältnis zweier Signalleistungen P/P 0. Das kann z.b. die Leistungsverstärkung eines Verstärkers oder die Dämpfung einer Übertragungsstrecke sein. Hat man eine Kette von z. B. Übertragungsstrecken und Verstärkern, so müssen die Verstärkungen und Dämpfungen der einzelnen Glieder miteinander multipliziert werden, um die Gesamtdämpfung zu erhalten. s ist daher praktisch, diese Leistungsverhältnisse logarithmisch anzugeben, da eine Übertragungskette dann durch die Summe der Verstärkungen/Dämpfungen ihrer Bestandteile beschrieben werden kann. Außerdem hat eine logarithmische inheit den Vorteil, einen sehr großen Wertebereich mit einfach zu handhabenden Zahlen abdecken zu können. Daher wird der Leistungspegel mit der inheit 1 Bel definiert: L P (Bel) = log 10 P P 0 L P (db) = 10log 10 P P 0 = 20log 10 U U 0 (9) Um die Zahlenwerte noch schöner zu machen, wird in der Praxis der zehnte Teil, also das dezi-bel (db) benutzt. Da man üblicherweise Amplituden, z. B. Spannungen misst, wird der quadratische Zusammenhang zwischen Leistung und Amplitude vor den Logarithmus gezogen. 1.2 Digitale Signale in analoges Signal kann dargestellt werden als eine Funktion der Zeit mit reellem Wertebereich: s(t) R. Soll eine solche Funktion in einem Rechner dargestellt werden, ergeben sich zwei Probleme. Zum einen stehen in einem Rechner einzelne Speicherplätze zur Verfügung, so dass aus der Funktion eine Folge von Zahlen werden muss. Zum anderen hat jeder der Speicherplätze nur eine endliche Genauigkeit, so dass der Wertebereich diskret sein muss. Aus dem analogen Signal muss also eine Zahlenfolge mit diskretem Wertebereich werden: s t Z. Im Folgenden soll geklärt werden, welche Konsequenzen diese inschränkungen haben Wertdiskretisierung Die Wertdiskretisierung ist eine Rundung des analogen, reellen Wertes auf eine ganze Zahl. Die Abweichung des digitalisierten Wertes vom Analogen wird Quantisierungsfehler genannt 3

4 und liegt im Intervall [ 1 2 ; 1 2 ]. Wenn die Diskretisierung der einzelnen Werte fein genug ist, dann ist bei der Digitalisierung einer Zeitreihe von Werten die Folge von Quantisierungsfehlern stochastisch verteilt und enthält keine Informationen über das Signal mehr. Daher kann das Fehlersignal, das dem Originalsignal überlagert werden muss, um das quantisierte Signal zu erhalten, als Rauschen aufgefasst werden. Um das Rauschen im Verhältnis zum eigentlichen Signal zu quantisieren, wird das Signal- Rausch-Verhältnis (SNR, Signal-Noise-Ratio) eingeführt. SNR(dB) = 20log 10 S A N A = 20log 10 2 N /2 1/2 = 20 N log N (10) Dabei ist S A die Signalamplitude und N A die Rauschamplitude. Wenn man, wie in der Praxis üblich, annimmt, dass die Werte im Dualsystem mit N Stellen gespeichert werden, so ist die maximale Signalamplitude 2 N /2, da positive und negative Halbwellen in den Wertebereich passen müssen Zeitdiskretisierung Wird ein zeitkontinuierliches Signal erfasst, indem sein Wert periodisch mit der Abtastfrequenz f s (Samplingfrequenz) gemessen wird, so ist sofort offensichtlich, dass es eine maximale Signalfrequenz gibt, die erfasst werden kann. Man stelle sich ein Signal mit nur einer Frequenzkomponente z. B. ein Sinussignal vor. Dieses muss mindestens in jedem Minimum und in jedem Maximum erfasst werden, sonst ist die Signalfrequenz im zeitdiskretisierten Signal nicht mehr erkennbar. Folglich findet durch die Zeitdiskretisierung eine Bandbreitenbegrenzung des erfassten Signals statt. Die maximal erfassbare Signalfrequenz wird Nyquist-Frequenz genannt und beträgt f N = f s /2. s(t) (t) s d (t) t t t S(f) (f) S d (f) fs f fs f fs f Abbildung 1: Oben: Diskretisierung der Werte im Zeitraum. Unten: Periodisierung des Spektrums. s soll nun erläutert werden, wie ein digitalisiertes Signal wieder analog ausgegeben werden kann. Dazu werden alle Signale auch im Frequenzraum betrachtet. In Abb. 1 ist eine analoges Signal s(t) mit dem dazugehörigen Leistungsspektrum S(f) dargestellt (durchgezogene Linie). Die Abtastung des Signals entspricht einer Multiplikation mit einer Folge äquidistanter δ-pulse, die -Funktion genannt wird ( kyrillischer Buchstabe Scha ). Das Leistungsspektrum der -Funktion ist wieder eine -Funktion, wobei der Abstand der δ-pulse jetzt der Abtastfrequenz f s entspricht. Um das Spektrum S d (f) der Abtastwerte s d (t) zu erhalten, werden gemäß dem Faltungssatz aus Gleichung 5 das Signalspektrum S(f) und das Spektrum der Abtastfunktion (f) miteinander gefaltet. Das rgebnis ist in Abb. 1 zu sehen (Durchgezogene Linie). Das ursprüngliche Signalspektrum ist im Abstand f s periodische fortgesetzt worden. Soll also ein digitalisierte Signal wieder analog ausgegeben werden, so müssen die neu hinzugekommenen Frequenzen herausgefiltert werden. Das geschieht mit einem Tiefpass-Filter mit der Grenzfrequenz f g = f N = f s /2. 4

5 s ergibt sich nun ein Problem, wenn das ursprüngliche analoge Signal Frequenzen enthält, die oberhalb der Nyquist-Frequenz f N liegen. Das Spektrum eines solchen Signals ist in Abb. 1 in S(f) gestrichelt eingezeichnet. Betrachtet man dessen periodisiertes Spektrum S d (f) so erkennt man, dass die periodisch wiederholten Spektren überlappen. Im Bereich des gültigen, bandbreitenbegrenzten Spektrums [0;f N ] kommen dadurch auch die Frequenzen zu liegen, die eigentlich außerhalb dieses Bereiches liegen sollten. Die bei einer Abtastung mit f s nicht erfassbaren Frequenzen größer f N = f s /2 tauchen also an falscher Stelle wieder auf. Dieser ffekt wird Aliasing-ffekt genannt. Um ihn zu verhindern muss schon das analoge Signal bandbreitenbegrenzt sein. Auch das kann mit einem Tiefpass-Filter geschehen. 1.3 Technische Realisierung Analog-Digital-Wandler Damit Signale in digitaler Form verarbeitet werden können, müssen die analogen ingangssignale erst in eine digitale Form gebracht werden. Hierzu benutzt man Analog-Digital-Wandler, die nach verschiedenen Prinzipien arbeiten können (Parallelverfahren, Zählverfahren, Wägeverfahren,...). Die verwendeten Verfahren unterscheiden sich in der Genauigkeit und Schnelligkeit. Hier soll kurz auf zwei Verfahren eingegangen werden Das Zählverfahren Abbildung 2 (links) zeigt den schematischen Aufbau eines A/D- Wandlers, der nach dem Sägezahn- oder Single-Slope-Verfahren arbeitet. Der Wandlungsvorgang wird mit einem Impuls am ingang Start ausgelöst. Dadurch wird der Binärzähler auf Null gesetzt und der Sägezahngenerator beginnt, eine Spannungsrampe zu erzeugen. Die Ausgangsspannung des Sägezahngenerators wird mit der ingangsspannung verglichen. Solange die ingangsspannung U e größer als die Ausgangsspannung des Sägezahngenerators ist, ist der Ausgang des Komparators auf logisch 0. Der Zähler ist also am ingang (N, enable) aktiviert und zählt die Taktimpulse. Sobald die Sägezahnspannung die ingangsspannung U e übersteigt, schaltet der Komparator seinen Ausgang auf logisch 1. Dadurch wird der Zähler angehalten und der Ausgang Fertig signalisiert der nachfolgenden lektronik, üblicherweise ein Mikroprozessor, dass der Wandlungsvorgang abgeschlossen ist. Der digitalisierte Wert kann vom Ausgang gelesen werden Das Wägeverfahren Abbildung 2 (rechts) zeigt das Blockschaltbild eines A/D-Wandlers, der die digitalen Werte nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation ermittelt. Der Wandlungsvorgang wird durch einen Impuls am ingang Start ausgelöst. Dadurch wird der Digitalwert auf null gesetzt. Über den D/A-Wandler wird stets die dem Zahlenwert entsprechende Spannung auf den invertierenden ingang des Komparators gegeben. Dann werden, beginnend beim höchstwertigen Bit (MSB, most significant bit), folgende Schritte durchlaufen: Das betreffende Bit wird auf 1 gesetzt. Der Komparator zeigt nun an, ob die ingangsspannung U e größer (Ausgang auf 1) oder kleiner (Ausgang auf 0) als die dem Zahlenwert entsprechende Spannung Ue Sägezahn Generator Takt N Zähler Ausgang Fertig Ue Takt grösser/ kleiner Steuerlogik Ausgang Fertig Start Reset Reset D/A Wandler Start Abbildung 2: Blockschaltbilder von A/D-Wandlern. Links: Single-Slope Verfahren, rechts: A/D- Wandler nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation 5

6 ist. Sollte die ingangsspannung kleiner sein, der Digitalwert also zu groß sein, dann wird das soeben gesetzte Bit wieder gelöscht. Dann wird mit dem nächst kleineren Bit genau so verfahren, bis alle Bits bestimmt sind. Die Geschwindigkeit, mit der die Bits bestimmt werden, wird vom Signal am ingang Takt bestimmt. Das nde des Wandlungsvorgangs wird der nachfolgenden lektronik über ein Signal am Ausgang Fertig mitgeteilt, und der digitalisierte Wert kann ausgelesen werden Sample & Hold-Schaltung Für viele A/D-Wandler ist es notwendig, dass die analoge ingangsspannung während des Wandlungsvorgangs konstant bleibt. Die beiden oben vorgestellten A/D-Wandler gehören dazu. Diese Aufgabe wird von der Sample & Hold Schaltung übernommen, die in Abb. 3 dargestellt ist. Herzstück dieser Schaltung ist ein Kondensator, der über einen Schalter mit der ingangsspannung verbunden werden kann. Die Spannung über dem Kondensator wird mit einem als Impedanzwandler geschalteten Operationsverstärker (OP) gepuffert. Zu Beginn eines Digitalisierungsvorgangs wird der Schalter für eine kurze Zeit geschlossen. Währenddessen wird der Kondensator vom linken OP ge- oder entladen, so dass die Spannung über dem Kondensator, also die Spannung am Ausgang, der ingangsspannung entspricht. Sobald der Schalter geöffnet ist, steht die Spannung am Kondensator unverändert am Ausgang zur Verfügung. Der rechte OP ist nötig, um einen Strom am Ausgang der Schaltung zu liefern ohne den Kondensator zu entladen. Der linke OP wird gebraucht, um einen hohen Ladestrom für den Kondensator zur Verfügung zu stellen, um ihn in kurzer Zeit laden zu können. Der Schalter ist in der Praxis aus ein oder mehreren Transistoren aufgebaut und wird über die Leitung ein elektronisch gesteuert Digital-Analog-Wandler in einfacher Digital-Analog- (DA) Wandler ist in Abb. 3 dargestellt. DA-Wandler erhalten am ingang eine binär kodierte Zahl (Digitalwort). ine konstante Referenzspannung speist über digital gesteuerte Schalter und binär gestufte Widerstände Strom in den Knoten eines addierenden Operationsverstärkers ein. Der vom Netzwerk in den Knoten fließende Strom ist dem Produkt aus der Referenzspannung und der angelegten Digitalzahl proportional. Der Operationsverstärker stellt die Ausgangsspannung so ein, dass der Strom durch den Rückführwiderstand R S den Strom aus dem Netzwerk genau kompensiert. Die Ausgangsspannung ist dem angelegten Digitalwort proportional, ihre Polarität ist der Referenzspannung entgegengesetzt Tiefpassfilter Die Aufgabe eines Tiefpass-Filters ist es, alle Frequenzen, die kleiner als eine festgelegte Grenzfrequenz f g sind, ungehindert vom ingang zum Ausgang passieren zu lassen und Frequenzen Uref R S Uin ein C Uout 32R 16R 8R 4R 2R R Ua Abbildung 3: Links: Schaltbild eines Abtast-Halte-Gliedes, rechts: Schaltbild eines D/A-Wandlers 6

7 größer f g vollständig zu unterdrücken. Die Übertragungsfunktion eines idealen Tiefpassfiters ist im Frequenzraum also eine Stufenfunktion bei f g. Aus kausalen Gründen ist es allerdings nicht möglich, einen idealen Tiefpass zu bauen (Man überlege sich wie ein teifpassgefilterter δ-impuls aussieht.). Daher haben reale Tiefpassfilter eine Übertragungsfunktion, die für kleine Frequenzen etwa ins ist und für große Frequenzen allmählich gegen Null geht. Die Flanke dieser Übertragungsfunktion ist je nach Qualität des Filters unterschiedlich steil und der Durchlassbereich mehr oder weniger wellig. Die Grenzfrequenz eines Filters wird definiert als die Frequenz, bei der die Leistung des Ausgangssignals auf die Hälfte des Durchlassbereiches abgefallen ist. Das entspricht einer Dämpfung von 3 db. 1.4 ine Anwendung: Spektralanalyse Die Bestimmung des Leistungsspektrums eines Signals auf analogem Wege ist keine triviale Aufgabe (Der geneigte Leser überlege sich, wie so etwas geht.). Wenn ein Signal jedoch einmal digitalisiert ist, so ist es ein leichtes, das Spektrum auszurechnen. Im einfachsten Falle braucht man nur die Koeffizienten der DFT aus Gleichung 8 auszurechnen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die DFT von der Fourier-Reihe abstammt und daher voraussetzt, dass der zu transformierende Zeitabschnitt periodisch fortgesetzt wird. Wird von einem unbekannten Signal aber ein beliebiger Ausschnitt digitalisiert, so ist nicht damit zu rechnen, dass die periodische Fortsetzung auch dem originalen Signal entspricht. xn xn xn 32 n 32 n 32 n In Abb. 4 sind links oben als durchgezogene Linie ein analoges Signal und mit die zugehörigen Abtastwerte in einem 32 Werte langen Puffer dargestellt. s passen etwas mehr als drei Schwinc m c m c m m m m Abbildung 4: Links: Abgetastetes Signal und dessen DFT, Mitte: diskretisiertes Hanning-Fenster mit diskretem Spektrum, rechts: Mit Hanning-Fenster multipliziertes Signal und diskretes Spektrum. Das Zeitfenster ist 32 Werte lang (von 0 bis 31), gehören zur periodischen Fortsetzung. In den Spektren sind rein reelle Werte mit gekennzeichnet. gungen in den Puffer. Die mit außerhalb des Puffers dargestellten Werte zeigen die periodische Fortsetzung des Signals, die dem gestricheltem Analogsignal entsprechen. Im zugehörigen Spektrum darunter sind zwei δ-pulse eingezeichnet, die das Spektrum des Analogsignals darstellen. Das rgebnis der DFT, die ein diskretes Spektrum liefert, ist mit und dargestellt. bezeichnet den Betrag eines komplexen Fourier-Koeffizienten, stellt rein reelle Werte dar. Die Werte des Spektrums sind in den Kanälen drei und vier, zwischen denen die Frequenz des analogen Signals liegt, am größten. Aber auch alle anderen Werte des Spektrums sind von Null verschieden. Dieses Breitlaufen der Pulse wird als Leakage-ffekt bezeichnet und kommt daher, dass die periodischen Fortsetzungen des Signals nicht zusammenpassen. Um dem Leakage-ffekt entgegenzuwirken, können die Abtastwerte mit einer Fensterfunktion multipliziert werden, die das Signal an den Fensterrändern stetig auf Null abfallen lässt. ine solche Fensterfunktion ist in Abb. 4 oben in der Mitte zu sehen. s gibt eine Vielzahl von Fensterfunktionen; in den meisten Fällen ist allerdings das Hanning-Fenster mit den Werten 7

8 x n = cos ( 2π N n ) (11) günstig. Das Spektrum des Hanning-Fensters hat also in den Frequenzkanälen Null und ins einen von Null verschiedenen Wert. Damit hat es das schmalste in der DFT mögliche Spektrum überhaupt. Rechts in der Abb. 4 sind die schon zuvor gezeigten Messdaten nach der Multiplikation mit dem Hanning-Fenster zu sehen. Die periodische Fortsetzung des Fensters verläuft glatt, da die Werte durch die Bearbeitung an dieser Stelle stetig und differenzierbar Null werden. Das in der DFT ermittelte Spektrum des bearbeiteten Signals ergibt sich aus der Faltung des Spektrums des Hanning-Fensters mit dem des analogen Signals. Die Kanäle drei und vier haben die größten Werte, und durch die Faltung mit dem Hanning-Spektrum erhalten auch die benachbarte Kanäle, also zwei und fünf, von Null verschiedene Werte. Alle anderen Kanäle sind Null. Im allgemeinen Fall eines Signals mit beliebiger Frequenz ist die DFT der mit dem Hanning-Fenster bewerteten Messdaten die beste Annäherung an den tatsächlichen δ-puls im Frequenzraum. 2 Geräte und Zubehör Computer mit Soundkarte und Labview, Software Frequenzgeneratoren (HP und Wavetek) Mikrophon mit Vorverstärker Stimmgabel (nur am Körper anzuschlagen) Tongeber für das Tonwahlverfahren Multipliziereinheit mit Spannungsversorgung 3 Aufgaben & Hinweise 3.1 Qualität des A/D-Wandlers Der ingang der Soundkarte wird auf 0 V gelegt. s werden 5120 Messwerte mit voller Auflösung (16 Bit) aufgenommen und gespeichert. Wie groß ist das Rauschen der Soundkarte? Wieviel Bit des Messwertes sind wirklich brauchbar? s wird ab jetzt immer mit der ermittelten Auflösung gemessen. Wie groß ist der Durchschnitt der Werte? Welche Bedeutung hat das in der (Audio-)Praxis? 3.2 Qualität des Tiefpassfilters Bei einer Abtastfrequenz von 44,1 khz wird der Frequenzgang der Soundkarte bestimmt. Unter 100 Hz wird in 10 Hz Schritten gemessen, bis 1000 Hz in 100 Hz Schritten, und dann bis zum Verschwinden des Signals im Rauschen in 1000 Hz Schritten. Die kleinste vermessene Frequenz muss ein Minimum und ein Maximum im Puffer haben. Als Signalamplitude kann die Peak-to- Peak Amplitude des Signals festgehalten werden. In einem Diagramm werden die Signalamplituden in db aufgetragen. Bezugsgröße ist die Amplitude bei 1 khz. Die Frequenzachse ist logarithmisch. s wird die obere Grenzfrequenz der Soundkarte bestimmt. 8

9 3.3 Aliasing-ffekt Zur Demonstration des Aliasing-ffektes wird bei einer Abtastfrequenz von 8 khz ein Sinussignal mit 3 khz und eines mit 5 khz aufgenommen und gespeichert. s kann unter Umständen nötig sein, die ingangsverstärkung (IGain) zu erhöhen. s werden von beiden Signalen 10 ms dargestellt. Die ungefähren Frequenzen der Signale werden bestimmt, indem die Anzahl der Maxima gezählt wird. Die erhaltenen Werte werden mit den tatsächlichen Werten verglichen. 3.4 Spektralanalyse Leakage-ffekt Man wähle eine von der Soundkarte unterstützte Abtastrate (8 khz, Hz, Hz, Hz). Man wähle eine natürliche Zahl n [50;100]. s wird am Funktionsgenerator eine Frequenz f 1 eingestellt, bei der genau n Schwingungen in den Puffer passen. s werden die Spektren mit und ohne Hanning-Fenster berechnet und gespeichert. s wird am Funktionsgenerator eine Frequenz f 2 eingestellt, bei der n Schwingungen in den Puffer passen. s werden die Spektren mit und ohne Hanning-Fenster berechnet und gespeichert. Die Auswirkung des Hanning-Fensters auf beide Spektren wird im Protokoll diskutiert. 3.5 Analyse realer Signale Im Folgenden wird mit einer Abtastrate von 8 KHz gearbeitet. Zur Aufnahme der Spektren wird das Hanning-Fenster verwendet. s werden die Frequenzen zweier Stimmgabeln bestimmt. Wie werden die Ziffern und Zeichen beim Tonwahlverfahren in Töne kodiert? s werden Wellenform und Spektrum eines Dreieck- oder Rechtecksignals aufgenommen. Im Protokoll werden die gemessenen Amplituden mit den erwarteten verglichen.welchen influss hat der Tiefpassfilter im Zeit- und Frequenzraum? Vokale Zu rzeugung eines Vokals erzeugen die Stimmbänder einen Frequenzkamm, bestehend aus einer Grundfrequenz und vielen Oberwellen. Der Rachenraum bildet einen Resonanzkörper, der verschiedene Frequenzen hervorhebt und dämpft und so dem Frequenzkamm der Stimmbänder eine inhüllende verleiht. s werden von allen Teilnehmern die Vokale a und i aufgenommen und im Frequenzraum dargestellt, gespeichert und im Protokoll abgebildet. Welche Gemeinsamkeiten haben gleiche Vokale bei verschiedenen Sprechern? s wird die Grundfrequenz von jedem Sprecher bestimmt. 9

10 3.5.2 Amplitudenmodulation In der Radio- und Fernsehtechnik wird einer hochfrequenten Trägerwelle (z. B. 720 khz, WDR 2 auf MW) ein Signal (z. B. Audio, 0 5 khz) aufgeprägt, indem es die Amplitude des Trägers verändert (Amplitudenmodulation, AM). Die Amplitudenmodulation ist eine Multiplikation des Trägers mit dem Signal, das evtl. mit einem Gleichanteil überlagert wird. Um eine AM durchzuführen, wird an einem Funktionsgenerator eine Trägerwelle von etwa 2 khz eingestellt. Der zweite Generator erzeugt eine Signalwelle von 100 Hz. Beide Signale werden der Multipliziereinheit zugeführt. Das AM-Signal wird im Zeit- und im Frequenzraum dargestellt. Welche Frequenzen werden im AM-Signal erwartet und warum? Welche Frequenzen enthält das AM-Signal tatsächlich? Wie können eventuelle Abweichungen erklärt werden? 4 Fragen zur Vorbereitung Wie sieht die Fouriertransformierte einer Sinus- und einer Cosinus-Funktion aus? Wie sehen die Fourier-Reihen von Dreieck- und Rechteckfunktionen aus? Welche Bedeutung haben Real- und Imaginärteil (bzw. Betrag und Phase) der Fourier- Transformierten einer reellen Funktion? Welche Informationen stecken in den negativen Frequenzen, wenn die Zeitfunktion reell ist? Wie sieht die Faltung einer Funktion f(t) mit der Delta-Funktion δ(t) aus? Wie sieht die Faltung mit der verschobenen Delta-Funktion δ(t τ) aus? Wie ändern sich Pegelangaben in db, wenn die Bezugsleistung P 0 geändert wird? Wie ändern sich die Pegelwerte, wenn die Leistung P mit einem konstanten Faktor multipliziert wird? Welche Größen werden diskretisiert, wenn ein analoges Signal in ein digitales übergeht? Wie lässt sich die Abweichung der quantisierten Größe von ihrem analogen Ausgangswert charakterisieren? Wann wird die Abtastung kritisch? Was kann man dagegen tun? Was sind typische Abtastraten in der Praxis? Was versteht man unter Aliasing-ffekt? rläutern Sie zwei Verfahren, um analoge Spannungswerte zu digitalisieren. Wie ist der zeitliche Verlauf der Ausgangssignale bei den verschiedenen Wandlungsverfahren? Was passiert, wenn sich das ingangssignal während des Wandlungsvorgangs ändert? Was sind die Vor- und Nachteile der einzelnen Verfahren? Was sind typische Wandlungstiefen für A/D-Wandler in der Praxis? Was sind typische Abtastfrequenzen? Was ist die Ursache für den Leakage-ffekt? Wie sieht das DFT-Spektrum eines Sinussignals aus, von dem genau 7 Wellen in den Messspeicher passen? Wie sieht die DFT aus, wenn das Signal zuvor mit dem Hanning- Fenster bewertet wird? Wie sehen die Spektren von periodischen aber nicht sinusförmigen Signalen aus? Welche Ähnlichkeit haben sie mit den Spektren gesprochener Vokale? 10