Simulation des dynamischen und akustischen Verhaltens aktiver Systeme im Zeitbereich

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1 Simulation des dynamischen und akustischen Verhaltens aktiver Systeme im Zeitbereich Vom Fachbereich Maschinenbau der Technischen Universität Darmstadt zur Erlangung des akademischen Grades Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.) genehmigte DISSERTATION vorgelegt von Dipl.-Ing. Sven Herold aus Bad Frankenhausen Berichterstatter: Mitberichterstatter: Prof. Dr.-Ing. Holger Hanselka Prof. Dr. rer. nat. Michael Schäfer Tag der Einreichung: Tag der mündlichen Prüfung: Darmstadt 2003 D 17

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3 Zusammenfassung Hohe Effizienz, Funktionalität und Qualität bei gleichzeitig hoher Rentabilität sind die Hauptanforderungen an Erzeugnisse in der heutigen Zeit. Im Maschinenbau äußern sich diese Anforderungen unter anderem in der Anwendung des Leichtbauprinzips. Mechanische Leichtbaustrukturen neigen allerdings oft zu unerwünschten Vibrationen oder strahlen Schall ab. Eine neue Qualität im Entwicklungsprozeß stellt die Einbeziehung aktiver Systeme dar. Mit Hilfe des aktiven Strukturkonzeptes wird es möglich, die Vibrationsanfälligkeit und die Neigung zur Schallabstrahlung von Leichtbaustrukturen zu vermindern. In der Arbeit wird eine Strategie zur Berechnung aktiver Struktursysteme im Zeitbereich entwickelt. Diese Aufgabe umfaßt die Modellierung von mechanischen Leichtbaustrukturen, Aktuatoren, Sensoren, Regelungsalgorithmen und Fluiden. Außerdem werden die komplexen Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Mechanismen modelliert. Oben genannte Schritte dienen der Vorbereitung einer modularen Simulation des aktiven Gesamtsystems im Zeitbereich, bestehend aus Struktur, Sensoren, Aktuatoren und Regelung. Für die transienten Simulationen werden zur Verringerung des Berechnungsaufwandes modal reduzierte Zustandsraummodelle verwendet. Die Kopplung von mechanischer Struktur und Fluid erfolgt ebenfalls im Modalraum. Für die Modellierung der Schallabstrahlung mechanischer Strukturen in das akustische Freifeld wird die Punktstrahlersynthese angewandt. Eine neue Strategie der Modellierung piezokeramischer Folien auf Leichtbaustrukturen wird hergeleitet und diskutiert. Zusätzlich werden die Wechselwirkungen zwischen Signalverstärkern und piezokeramischen Folien betrachtet. Durch die Anwendung der modalen Regelung wird die Steuerung einzelner Freiheitsgrade der Struktur möglich. Die Kombination von Positiver Positionsrückführung (PPF) mit der modalen Separation wird zur Implementierung auf Signalprozessoren mit Hilfe des Impulsinvarianzdesigns digitalisiert. Eine Verbesserung der Leistungsfähigkeit digitalisierter PPF-Regler wird durch die Berücksichtigung von Anti-Aliasing- und Rekonstruktionsfiltern bei der Reglerauslegung erreicht. Die Zeitbereichssimulation ermöglicht die Berücksichtigung zeitvarianter Regler. Hierzu wird ein adaptiver feed forward Algorithmus mit gefiltertem Fehlersignal (FELMS) implementiert und getestet. Die Verifikation der Simulationsergebnisse der aktiven Gesamtsysteme erfolgt anhand von drei Experimenten. Hier wird gezeigt, daß die vorgestellte Methode, trotz der getroffenen Vereinfachungen und Annahmen, eine sehr gute Abbildung des Verhaltens aktiver Struktursysteme erlaubt.

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5 Vorwort Die vorliegende Dissertation entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter im Innovationskolleg,,Adaptive mechanische Systeme (ADAMES), im BMBF-Leitprojekt,,Adaptronik und am Lehrstuhl für Adaptronik des Institutes für Mechanik der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg. An dieser Stelle möchte ich mich bei allen bedanken, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben: Ich danke Herrn Prof. Dr.-Ing. Holger Hanselka für die Anregung zum Thema, für die Betreuung und Förderung. Prof. Dr. rer. nat. Michael Schäfer danke ich für die Übernahme des Koreferates sowie die Aufmerksamkeit und das Interesse, das er dieser Arbeit entgegenbrachte. Grit Triebel, Dirk Mayer, Bernd Vogel, Christof Linz und den Kollegen des Lehrstuhls für Adaptronik für die Unterstützung, die fachlichen Gespräche und Anregungen. Weiterhin möchte ich mich für die freundliche Arbeitsatmosphäre und die gute Zusammenarbeit bedanken. Mein Dank geht an meine Freunde Thomas Gerber und Gunter Hanf für die Anregungen und die Diskussionen zur Gestaltung. Ich danke meiner Freundin Ellen Eilert für die Toleranz und die Unterstützung während der Fertigstellung der Arbeit. Schließlich danke ich meiner Familie für die Förderung und große Geduld, die sie mir in all den Jahren entgegenbrachte. Darmstadt den 27. November 2003 Sven Herold

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7 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Stand der Forschung Aktive Strukturen Mechanische Strukturen Akustik und Struktur-Fluid Interaktion Aktuatoren und Sensoren Regelung Zielstellung und Aufbau der Arbeit Struktur-Fluid Interaktion Dynamik schwach gedämpfter Strukturen Modale Transformation Zustandsraumdarstellung Modale Reduktion Mechanik des kompressiblen Fluides Verhalten im Freifeld (Kugel- und Punktstrahler) Strahlersynthese Verhalten im abgeschlossenen Raum Struktur-Akustik Interaktion Struktur-Fluid Schnittstelle Gekoppelte Feldgleichungen Abstrahlung einer Struktur ins Fernfeld Abstrahlung im Zeitbereich Modale Abstrahlung Rekonstruktion des Abstrahlverhaltens im Fernfeld Rekonstruktion im Zeitbereich Rekonstruktion mit Hilfe modaler Parameter Rekonstruktion im Frequenzbereich Sensoren und Aktuatoren Punktförmig messende Sensoren Piezokeramische Foliensensoren Drucksensoren für Fluide Punktförmig wirkende Aktuatoren Piezokeramische Folienaktuatoren v

8 INHALTSVERZEICHNIS 5 Regelung Positionierung Filterung Modales Regelkonzept Direkte Geschwindigkeitsrückführung als modales Regelgesetz Positive Position Feedback (PPF) als modales Regelgesetz Adaptives Regelkonzept (FELMS) Simulation und experimentelle Verifikation Simulation im Zeitbereich Zeitintegration Signalverarbeitung Darstellung des aktiven Gesamtsystems Plattenstruktur mit modalem PPF-Regelkonzept Regelung des Abstrahlverhaltens einer Plattenstruktur im Fernfeld mit adaptivem feed forward Regler (FELMS) Struktur-akustisch gekoppeltes System (Plattenstruktur mit abgeschlossenem Luftvolumen) Verifikation der Simulationsergebnisse Plattenstruktur mit modalem PPF-Regelkonzept Regelung des Abstrahlverhaltens einer Plattenstruktur im Fernfeld mit adaptivem feed forward Regler (FELMS) Struktur-akustisch gekoppeltes System (Plattenstruktur mit abgeschlossenem Luftvolumen) Schlußfolgerungen und Ausblick 117 A Simulations- und Versuchsergebnisse 119 A.1 Vergleich von Fluid-Struktur gekoppelten Eigenformen A.2 Ergebnisse der Algorithmen-Tests zur Sensorauslegung A.2.1 Genauigkeit des Integrationsalgorithmus A.2.2 Genauigkeit des Interpolationsalgorithmus A.3 Folienpositionierung A.3.1 Positionierung für modale Regelung A.3.2 Positionierung für nichtmodale Regelung A.4 PPF-Parameter A.4.1 PPF 2. Ordnung ohne Filter (Eckfrequenz ) A.4.2 PPF 2. Ordnung mit Filter (Eckfrequenz bei dem Zwanzigfachen der Eigenfrequenz) A.4.3 PPF 2. Ordnung mit Filter (Eckfrequenz bei dem Zehnfachen vi A.4.4 der Eigenfrequenz) PPF 2. Ordnung mit Filter (Eckfrequenz bei dem Fünffachen der Eigenfrequenz) A.5 Aufbau der Simulationsmodelle A.5.1 Adaptiver feed forward Regler A.5.2 Modaler digitaler PPF-Regler A.5.3 Mikrofon

9 INHALTSVERZEICHNIS A.6 Verifikation der Gesamtsystemsimulationen A.6.1 Plattenstruktur mit modalem PPF-Regelkonzept A.6.2 Regelung des Abstrahlverhaltens einer Plattenstruktur im Fernfeld mit adaptivem feed forward Regler (FELMS) vii

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11 Abbildungsverzeichnis 2.1 Auslegung aktiver Gesamtsysteme unter Berücksichtigung der Struktur- Fluid Interaktion Rechteckstoß der Kraft im Zeitbereich und im Frequenzbereich Übertragungsverhalten eines Systems mit fünf modalen Freiheitsgraden Übertragungsverhalten bei Vernachlässigung des fünften Freiheitsgrades Statisches Gleichgewicht am differentiellen Fluidelement Ermittlung des Abstandes r für die Strahlersynthese Der Fehler in Abhängigkeit von Teilstrahlergröße und Kreisfrequenz Die Fluid-Struktur Wechselwirkung Die Fluid-Struktur Randbedingung Koordinatensystem und natürliche Koordinaten eines ebenen Elementes mit 4 Knoten Koordinatensystem und natürliche Koordinaten eines 3D Elementes mit 8 Knoten Aufbau des Simulationsexperimentes zur Verifikation der Struktur-Fluid- Interaktion Mögliche Simulationspunkte zur räumlichen Druckbestimmung Flächenbestimmung zur Ermittlung der abgestrahlten Schalleistung Die ersten sechs Eigenformen der Platte und deren modale Abstrahlcharakteristik Platte mit vollflächiger PVDF-Folie und verteilten PZT-Sensoren Ergebnisse der Rekonstruktion der Volumenverschiebung mit Zeitsignalen im Zeitbereich und im Frequenzbereich Rekonstruktion der Volumenverschiebung mit modalen Parametern im Zeitbereich und im Frequenzbereich Ergebnisse der Rekonstruktion der Volumenverschiebung mit Frequenzgängen im Zeitbereich und im Frequenzbereich Prinzipskizze zur Signalwandlung von Aktuatoren und Sensoren Transversal punktförmig messende Sensoren ( a) Lasertriangulator, b) Laservibrometer, c) Beschleunigungsaufnehmer) Auf einer Platte applizierte PZT-Folie Diskretisierung einer PZT-Folie (Beispiel mit 16 Stützstellen) Diskretisierte Struktur mit applizierter Folie Lage der PZT-Sensoren Elektrisches Ersatzschaltbild des Sensors mit Meßverstärker ix

12 ABBILDUNGSVERZEICHNIS x 4.8 Übertragungsverhalten einer PZT-Folie bei verschiedenen Eingangswiderständen des Meßverstärkers Meßmikrofon (Drucksensor für Fluide) Transversal punktförmig wirkende Aktuatoren ( a) Inertialmassenaktuator, b) elektrodynamischer Erreger) Lasteinleitung durch piezokeramische Folienaktuatoren Prinzipielles mechanisches Hystereseverhalten piezokeramischer Folienaktuatoren Versuchsaufbau zur Hysteresebestimmung von PZT-Folienaktuatoren Hysteresekurve auf einem Balken applizierter PZT-Folien Ersatzschaltbild für einen Verstärker mit kapazitiver Last Übertragungsverhalten eines Verstärkers (PI E ) bei verschiedenen Lasten Signalflußplan eines geregelten Systems Struktogramm der Positionierung von Sensoren und Aktuatoren für die modale Regelung Verteilung von 8 Sensoren und 8 Aktuatoren für eine modale Regelung von 6 Moden einer allseitig gelenkig gelagerten Platte Berechnete und korrigierte Positionen von 8 Sensoren und 8 Aktuatoren für eine modale Regelung von 6 Moden einer allseitig gelenkig gelagerten Platte Struktogramm der Positionierung von Sensoren und Aktuatoren für die nichtmodale Regelung Verteilung von 8 Sensoren und 8 Aktuatoren für eine nichtmodale Regelung einer allseitig gelenkig gelagerten Platte Berechnete und korrigierte Positionen von 8 Sensoren und 8 Aktuatoren für eine nichtmodale Regelung einer allseitig gelenkig gelagerten Platte Einsatz der Tiefpaßfilter als Anti-Aliasing- und Rekonstruktionsfilter Amplituden- und Phasengang eines elliptischen Tiefpaßfilters PPF erster und zweiter Ordnung für einen Einmassenschwinger Blockschaltbild zur Ermittlung der optimalen Reglerparameter unter Einbeziehung von Anti-Aliasing- und Rekonstruktionsfiltern Optimale Reglerparameter für bestimmte Dämpfungsgrade des Reglers in Abhängigkeit vom Verhältnis ω E /ω Optimale Reglerparameter bei reduzierter Verstärkung für bestimmte Dämpfungsgrade des Reglers in Abhängigkeit vom Verhältnis ω E /ω Simulationsexperiment zum Nachweis der Auslegung der Reglerparameter unter Berücksichtigung der Anti-Aliasing- und Rekonstruktionsfilter Reduktion der Schwingungsamplituden am Beispiel eines Frequenzganges (w 3 /F 3 ) Blockdiagramm des FELMS Algorithmus Struktur eines FIR-Filters Unterschied zwischen gefiltertem und ungefiltertem Fehlersignal Simulationsexperiment zum FELMS Vergleich zwischen geregeltem und ungeregeltem Fehlersignal (w 3 /F 3 ). 87

13 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 6.1 Fehler des Runge-Kutta-Verfahrens für ein Einfreiheitsgradsystem in Abhängigkeit von der normierten Zeitschrittweite (ω 0 t s ) Darstellung des aktiven Gesamtsystems mit unterschiedlichen Zeitschrittweiten Schematische Darstellung des aktiven Gesamtsystems FE-Modell der Plattenstruktur mit diskreten Torsionsfedern Sensor- und Aktuatorverteilung auf der Plattenstruktur MAC-Kriterium für die gewählte Sensorverteilung (links) und Aktuatorverteilung (rechts) Simulationsexperiment des aktiven Gesamtsystems (Platte) mit modalem digitalem PPF-Regler 2. Ordnung zur Regelung von 5 Moden Frequenzgänge des aktiven Gesamtsystems (vom Erregerpunkt zum Meßpunkt) Konfiguration der Platte mit Sensoren und Aktuatoren Gesamtsystem mit Sensoren, Aktuatoren und adaptivem Regler (FELMS) Vergleich zwischen den Frequenzgängen der Volumenverschiebung und der rekonstruierten Volumenverschiebung Frequenzgänge der Volumenverschiebung (W vol /F D ), des Mikrofonsignals (p M /F D ) und einer Verschiebung (w 3A /F D ) Vergleich zwischen geregelter und ungeregelter Volumenverschiebung Vergleich zwischen geregeltem und ungeregeltem Schalldruck (Mikrofonsignal) Skizze der Anordnung von elastischer Struktur, abgeschlossenem Luftvolumen und der Lage von Erreger und Meßpunkten Modell der Platte mit Luftvolumen in Simulink Frequenzgang zwischen Erregerkraft F E und Schwinggeschwindigkeit ẇ M Frequenzgänge zwischen Erregerkraft F E und Fluiddruck p P 1 (links) und zwischen Erregerkraft F E und Fluiddruck p P 2 (rechts) Versuchsobjekt (links) mit applizierten Funktionsmodulen und Versuchsaufbau zur Simulation des digitalen PPF-Reglers (rechts) Skizze der Einspannung des Plattenversuchsstandes MAC-Vergleich zwischen berechneten und gemessenen Eigenvektoren der Platte Vergleich zwischen gemessenen und berechneten Frequenzgängen (mit Frequenzupdate) Gemessene Frequenzgänge des aktiven Gesamtsystems (vom Erregerpunkt zum Meßpunkt) Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus MAC-Vergleich zwischen berechneten und gemessenen Eigenvektoren Rekonstruktion der Volumenverschiebung (gemittelt) im Experiment (links) mit den zugehörigen Koeffizienten α i (rechts) Vergleich zwischen geregelter und ungeregelter Volumenverschiebung Vergleich zwischen geregeltem und ungeregeltem Schalldruck (Mikrofonsignal) Versuchsstand einer Plattenstruktur mit abgeschlossenem Luftvolumen im schallisolierten Meßraum xi

14 ABBILDUNGSVERZEICHNIS xii 6.30 Vergleich der Frequenzgänge von Simulation und Experiment zwischen Erregerkraft F E und Schwinggeschwindigkeit ẇ M Vergleich der Frequenzgänge von Simulation und Experiment zwischen Erregerkraft F E und Fluiddruck p P 1 (links) und zwischen Erregerkraft F E und Fluiddruck p P 2 (rechts) A.1 Mit Sysnoise berechnete gekoppelte Eigenformen Nr. 1-3 (oben modale Verschiebung der Platte, unten modale Druckverteilung im Luftvolumen) 120 A.2 Mit Matlab berechnete gekoppelte Eigenformen Nr. 1-3 (oben modale Verschiebung der Platte, unten modale Druckverteilung im Luftvolumen) 120 A.3 Mit Sysnoise berechnete gekoppelte Eigenformen Nr. 4-6 (oben modale Verschiebung der Platte, unten modale Druckverteilung im Luftvolumen) 121 A.4 Mit Matlab berechnete gekoppelte Eigenformen Nr. 4-6 (oben modale Verschiebung der Platte, unten modale Druckverteilung im Luftvolumen) 121 A.5 Mit Sysnoise berechnete gekoppelte Eigenformen Nr. 7-9 (oben modale Verschiebung der Platte, unten modale Druckverteilung im Luftvolumen) 122 A.6 Mit Matlab berechnete gekoppelte Eigenformen Nr. 7-9 (oben modale Verschiebung der Platte, unten modale Druckverteilung im Luftvolumen) 122 A.7 Mit Sysnoise berechnete gekoppelte Eigenformen Nr (oben modale Verschiebung der Platte, unten modale Druckverteilung im Luftvolumen) A.8 Mit Matlab berechnete gekoppelte Eigenformen Nr (oben modale Verschiebung der Platte, unten modale Druckverteilung im Luftvolumen) 123 A.9 Lage der PZT-Sensoren bei verschiedenen Konfigurationen A.10 Diskretisierung der PZT-Sensoren A.11 Optimale Position von 4 Aktuatoren und 4 Sensoren für die modale Regelung mit 4 Moden A.12 Optimale Position von 8 Aktuatoren und 8 Sensoren für die modale Regelung mit 4 Moden A.13 Optimale Position von 8 Aktuatoren und 8 Sensoren für die modale Regelung mit 8 Moden A.14 Optimale Position von 12 Aktuatoren und 12 Sensoren für die modale Regelung mit 8 Moden A.15 Optimale Position von 12 Aktuatoren und 12 Sensoren für die modale Regelung mit 12 Moden A.16 Optimale Position von 4 Aktuatoren und 4 Sensoren für die modale Regelung mit 4 Moden A.17 Optimale Position von 8 Aktuatoren und 8 Sensoren für die modale Regelung mit 4 Moden A.18 Optimale Position von 8 Aktuatoren und 8 Sensoren für die modale Regelung mit 8 Moden A.19 Optimale Position von 12 Aktuatoren und 12 Sensoren für die modale Regelung mit 8 Moden A.20 Optimale Position von 12 Aktuatoren und 12 Sensoren für die modale Regelung mit 12 Moden A.21 Optimale Position von 4 Aktuatoren und 4 Sensoren für die Regelung mit 4 Moden

15 ABBILDUNGSVERZEICHNIS A.22 Optimale Position von 8 Aktuatoren und 8 Sensoren für die Regelung mit 4 Moden A.23 Optimale Position von 8 Aktuatoren und 8 Sensoren für die Regelung mit 8 Moden A.24 Optimale Position von 12 Aktuatoren und 12 Sensoren für die Regelung mit 8 Moden A.25 Optimale Position von 12 Aktuatoren und 12 Sensoren für die Regelung mit 12 Moden A.26 Optimale Position von 4 Aktuatoren und 4 Sensoren für die Regelung mit 4 Moden A.27 Optimale Position von 8 Aktuatoren und 8 Sensoren für die Regelung mit 4 Moden A.28 Optimale Position von 8 Aktuatoren und 8 Sensoren für die Regelung mit 8 Moden A.29 Optimale Position von 12 Aktuatoren und 12 Sensoren für die Regelung mit 8 Moden A.30 Optimale Position von 12 Aktuatoren und 12 Sensoren für die Regelung mit 12 Moden A.31 Frequenzgang des elliptischen Filters mit einer Eckfrequenz A.32 Mögliche Amplitudenreduktion bei Variation der Reglerparameter G R, ω R und ϑ R A.33 Frequenzgang des elliptischen Filters mit einer Eckfrequenz bei dem Zwanzigfachen der Eigenfrequenz A.34 Mögliche Amplitudenreduktion bei Variation der Reglerparameter G R, ω R und ϑ R A.35 Frequenzgang des elliptischen Filters mit einer Eckfrequenz bei dem Zehnfachen der Eigenfrequenz A.36 Mögliche Amplitudenreduktion bei Variation der Reglerparameter G R, ω R und ϑ R A.37 Frequenzgang des elliptischen Filters mit einer Eckfrequenz bei dem Fünffachen der Eigenfrequenz A.38 Mögliche Amplitudenreduktion bei Variation der Reglerparameter G R, ω R und ϑ R A.39 Aufbau des adaptiven feed forward Reglers mit Identifikationspfad (AFFC)143 A.40 Aufbau des adaptiven feed forward Reglers (FFC) A.41 Aufbau des digitalen modalen PPF-Reglers zweiter Ordnung (PPF2) für 8 Moden A.42 Aufbau des Simulationsmodells eines Mikrofones zur Schalldruckbestimmung A.43 Erste bis fünfte berechnete (links) und gemessene (rechts) Eigenformen der Platte A.44 Sechste bis zehnte berechnete (links) und gemessene (rechts) Eigenformen der Platte A.45 Vergleich zwischen gemessenen und berechneten Frequenzgängen (ohne Frequenzupdate) A.46 Vergleich der ersten bis fünften berechneten (links) und gemessenen (rechts) Eigenformen der Aluminiumplatte xiii

16 ABBILDUNGSVERZEICHNIS A.47 Vergleich der Eigenformen der Aluminiumplatte (links - berechnet [Nr.: 7, 8, 11, 12, 13], rechts-gemessen [Nr.: 6-10]) xiv

17 Tabellenverzeichnis 3.1 Vergleich der Eigenfrequenzen zwischen ungekoppeltem und gekoppeltem Zustand Eigenfrequenzen und Eigenformen einer allseitig gelenkig gelagerten Aluminiumplatte Parameter der PZT-Keramiken (Quelle: [Phy, 2001]) Lage der PZT-Keramiken Struktur- und Reglerparameter Eigenschaften des FE-Modells der Plattenstruktur Eigenfrequenzen der Plattenstruktur und zugehörige Modenformen Reglerparameter Parameter der Aluminiumplatte und der PZT-Sensoren Eigenfrequenzen der Plattenstruktur und zugehörige Modenformen Vergleich der Eigenfrequenzen zwischen ungekoppeltem und gekoppeltem Zustand Vergleich zwischen gemessenen und berechneten Parametern Vergleich zwischen gemessenen und berechneten Parametern A.1 Modale Sensorspannung der piezokeramischen Foliensensoren, berechnet mit analytischer Beschreibung der Moden (Konfiguration 1) A.2 Relativer Fehler der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Foliensensoren gegenüber der analytischen Lösung (Konfiguration 1) A.3 Modale Sensorspannung der piezokeramischen Foliensensoren, berechnet mit analytischer Beschreibung der Moden (Konfiguration 2) A.4 Relativer Fehler der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Foliensensoren gegenüber der analytischen Lösung (Konfiguration 2) A.5 Modale Sensorspannung der piezokeramischen Foliensensoren, berechnet mit analytischer Beschreibung der Moden (Konfiguration 3) A.6 Relativer Fehler der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Foliensensoren gegenüber der analytischen Lösung (Konfiguration 3) A.7 Ergebnisse der Interpolation der elektrischen Freiheitsgrade (modale Sensorspannung in V) der piezokeramischen Foliensensoren (Konfiguration 1) A.8 Relativer Fehler der Interpolation der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Foliensensoren gegenüber der analytischen Lösung (Konfiguration 1) xv

18 TABELLENVERZEICHNIS A.9 Ergebnisse der Interpolation der elektrischen Freiheitsgrade (modale Sensorspannung in V) der piezokeramischen Foliensensoren (Konfiguration 2) A.10 Relativer Fehler der Interpolation der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Foliensensoren gegenüber der analytischen Lösung (Konfiguration 2) A.11 Ergebnisse der Interpolation der elektrischen Freiheitsgrade (modale Sensorspannung in V) der piezokeramischen Foliensensoren (Konfiguration 3) A.12 Relativer Fehler der Interpolation der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Foliensensoren gegenüber der analytischen Lösung (Konfiguration 3) A.13 MAC-Werte des Vergleichs der berechneten und gemessenen Eigenformen der Platte in [%] A.14 MAC-Werte des Vergleichs der berechneten und gemessenen Eigenformen der Aluminiumplatte in [%] xvi

19 Formelzeichenverzeichnis Kapitel 3 n p q u u e w x y z a a b c c 0 e i f f(t) j k l p q r t u i x i z A B C E F Normalenvektor Druckvektor Vektor modaler Koordinaten Vektor der Partikelgeschwindigkeit Eingangsvektor Verschiebungsvektor Koordinatenvektor Ausgangsvektor Vektor der Auslenkung im Zustandsvektor Radius eines Kugelstrahlers (Länge) Stützwerte der Ansatzfunktionen Stützwerte der Ansatzfunktionen Schallgeschwindigkeit (allgemein) Schallgeschwindigkeit (Konstante) Einheitsvektor in Richtung i Frequenz Kraft (im Zeitbereich) imaginäre Einheit Wellenzahl Länge Druck modale Koordinate Radius (Länge) Zeit Komponente der Partikelgeschwindigkeit in Richtung i Koordinate in Richtung i akustische Impedanz Massenmatrix Dämpfungsmatrix Steifigkeitsmatrix Elastizitätsmatrix Kraftvektor xvii

20 FORMELZEICHENVERZEICHNIS G Matrix der Übertragungsfunktionen H Kompressionsmatrix (Fluid) I Einheitsmatrix K Elementkoppelmatrix L Projektionsmatrix N Vektor von Ansatzfunktionen P Vektor der akustischen Kräfte Q Mobilitymatrix (Fluid) U b beobachtbarkeitsmatrix U s Steuerbarkeitsmatrix U sens Matrix der Vektoren der Sensorspannungen A Systemmatrix B Steuermatrix C Beobachtungsmatrix D Durchgangsmatrix K Koppelmatrix à Struktur-Fluid gekoppelte Massenmatrix B Struktur-Fluid gekoppelte Dämpfungsmatrix C Struktur-Fluid gekoppelte Steifigkeitsmatrix A Fläche A i i-te Teilfläche B i komplexe Konstante E Elastizitätsmodul F (jω) kraft (im Frequenzbereich) G Schubmodul H Übertragungsfunktion, Frequenzgang H H 2 -Norm K Kompressionsmodul N Ansatzfunktion N El Anzahl von Elementen N El Anzahl von Knoten P rad abgestrahlte Schalleistung R Gaskonstante S Entropie S i i-te durchstrahlte Teilfläche S rad abstrahlende Oberfläche T Temperatur U i element der Matrix der Sensorspannungen V vol Volumengeschwindigkeit W vol Volumenverschiebung φ Eigenvektor φ Index modaler Steuerbarkeits- oder Beobachtbarkeitsindex ζ Zustandsvektor Abstrahlgrad σ rad xviii

21 FORMELZEICHENVERZEICHNIS α Konstante γ Konstante κ isentropenexponent λ Lame scher Parameter µ Lame scher Parameter ν Querkontraktionszahl ω kreisfrequenz ω Eigenkreisfrequenz π Ludolf sche Zahl ( ) ρ Dichte ρ 0, ρ f Fluiddichte (Konstante) τ Zeitkonstante ε fehlerschranke ε ij element des Vektors der mechanischen Dehnungen ϑ modaler Dämpfungsgrad ϑ i modaler Dämpfungsgrad des i-ten Modes ξ natürliche Koordinate Φ Modalmatrix Γ lk Matrix (Beteiligung des Modes l an der Schwingung mit der Kreisfrequenz ω k ) ẍ zweite Ableitung von x nach der Zeit ẋ erste Ableitung von x nach der Zeit x T Transponierte von x x gemittelte Größe Differenz Nabla-Operator Laplace-Operator Divergenz-Operator diag(...) Diagonalmatrix I Imaginärteil einer komlexen Zahl R Realteil einer komlexen Zahl F(x) Fourier-Transformierte von x L(x) Laplace-Transformierte von x Kapitel 4 d f p s d ij j p r Matrix der piezoelektrischen Ladungskonstanten Kraftvektor Druckvektor Nachgiebigkeitsmatrix Element der Matrix der piezoelektrischen Ladungskonstanten imaginäre Einheit Druck Radius (Länge) xix

22 FORMELZEICHENVERZEICHNIS x i Koordinate in Richtung i D Vektor der elektrischen Verschiebung E Elastizitätsmatrix E el Vektor des elektrischen Feldes L Projektionsmatrix S Vektor der mechanischen Dehnungen U sens Vektor der Sensorspannungen A Fläche C Kapazität D i element des Vektors der elektrischen Verschiebung E Elastizitätsmodul H Übertragungsfunktion, Frequenzgang I elektrische Stromstärke Q Ladung R elektrischer Widerstand U elektrische Spannung X imaginärer Widerstand h Dicke (Länge) σ vektor der mechanischen Spannungen ε premittivitätsmatrix ν Querkontraktionszahl ω kreisfrequenz ω Eigenkreisfrequenz ρ Dichte σ ij element des Vektor der mechanischen Spannungen Φ Modalmatrix Φ A Modalmatrix der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Folienaktuatoren Φ S Modalmatrix der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Foliensensoren Φ A Modalmatrix mit elektrischen Freiheitsgraden der piezokeramischen Folienaktuatoren Φ S Modalmatrix mit elektrischen Freiheitsgraden der piezokeramischen Foliensensoren ẍ zweite Ableitung von x nach der Zeit ẋ erste Ableitung von x nach der Zeit x T Transponierte von x x,i partielle Ableitung von x nach i diag(...) Diagonalmatrix Kapitel 5 a(n) q Koeffizientenvektor des adaptiven FIR-Filters Vektor modaler Koordinaten xx

23 FORMELZEICHENVERZEICHNIS w Verschiebungsvektor d n durch die Störung verursachtes Sensorsignal e n Fehlersignal e n Vektor des Fehlersignals g n durch den Aktuator verursachtes Sensorsignal k ij Element der Reglermatrix t sa Zeitschrittweite (analoges System) t sd Zeitschrittweite (digitales System) x(n) Vektor der Störung y n Aktuatorsignal F Kraftvektor K Regelmatrix K Reglermatrix Ŝ(z) Modell der Sekundärstrecke C(z) Filterfunktion F Kraft G R Reglerverstärkung G opt optimale Reglerverstärkung G R Reglerverstärkung H Übertragungsfunktion, Frequenzgang H H 2 -Norm P (z) Primärpfad S(z) Sekundärstrecke W (z) FIR-Filter µ Adaptionskonstante ω kreisfrequenz ω Eigenkreisfrequenz ω R Eigenkreisfrequenz (Reglerparameter) φ Eigenvektor φ Index modaler Steuerbarkeits- oder Beobachtbarkeitsindex Φ Modalmatrix Φ A Modalmatrix der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Folienaktuatoren Φ S Modalmatrix der elektrischen Freiheitsgrade der piezokeramischen Foliensensoren ẍ zweite Ableitung von x nach der Zeit ẋ erste Ableitung von x nach der Zeit x T Transponierte von x max (x) Maximum von x min (x) Minimum von x x y Logischer Operator (Vereinigung x und y) diag(...) Diagonalmatrix xxi

24 FORMELZEICHENVERZEICHNIS Kapitel 6 c T i Torsionsfederzahl (wirkt in Richtung i) f Frequenz f p Kraft (piezokeramischer Aktuatoren) h Dicke (Länge) l Länge n Konstante p Druck t Zeit t sa Zeitschrittweite (analoges System) t sd Zeitschrittweite (digitales System) D S Biegesteifigkeit der Struktur D S;P.. Biegesteifigkeit der Struktur im Bereich applizierter piezokeramischer Folien E Elastizitätsmodul F Kraft G Schubmodul G opt optimale Reglerverstärkung G R Reglerverstärkung H Übertragungsfunktion, Frequenzgang H H 2 -Norm U elektrische Spannung µ Adaptionskonstante ν Querkontraktionszahl ω kreisfrequenz ω Eigenkreisfrequenz ω R Eigenkreisfrequenz (Reglerparameter) ρ Dichte modaler Dämpfungsgrad (Reglerparameter) ϑ R xxii

25 Kapitel 1 Einleitung Die steigenden Anforderungen auf den internationalen Märkten in den Bereichen Maschinenbau, Luft- und Raumfahrttechnik, Feinmechanik und Optik führten in den letzten Jahren zu einem wachsenden Entwicklungsdruck, auch in der deutschen Industrie. Forderungen nach der Verbesserung der Effizienz, der Leistungsfähigkeit und anderer Eigenschaften der Produkte stehen dabei im Vordergrund. Dazu zählen, neben wirtschaftlichem Materialeinsatz, auch Komfort- und Arbeitsschutzaspekte (Vibrationsund Schallemmission). Durch Gewichts- und Strukturoptimierung wird es möglich Prozeßabläufe in kürzeren Zeiten zu realisieren. Die konsequente Umsetzung der Prinzipien des Leichtbaus wirkt sich in schlanken Strukturen mit gleichzeitig geringer Masse aus. Diese Systeme neigen allerdings oft zu unerwünschten Vibrationen oder strahlen Schall ab. Eine neue Qualität im Entwicklungsprozeß stellt die Einbeziehung aktiver Strukturen dar. Sie vereinigen die Vorteile von geringer Masse und optimierter Form bei gleichzeitiger geringer Vibrationsanfälligkeit und geringer Schallabstrahlung. Mit Hilfe von Sensoren und Aktuatoren aus multifunktionalen Materialien und einer Regelung werden bestehende Strukturen ausgestattet, um ihr Systemverhalten in günstiger Weise zu beeinflussen. Zukünftig ist aber auch die Integration der Auslegung aktiver Strukturen in die Entwicklungsabläufe anzustreben. Dadurch wird das Potential des aktiven Strukturkonzeptes ausgeschöpft, was sich in einer weiteren Optimierung der Strukturen niederschlagen und deshalb die Marktfähigkeit der Produkte entscheidend verbessern wird. Aktuatoren und Sensoren werden durch die Nutzung verschiedenster physikalischer Effekte (z.b. piezoelektrischer Effekt, magnetostriktiver Effekt, Formgedächtniseffekt) zu Schnittstellen zwischen Struktur und Regeltechnik. Den piezokeramischen Werkstoffen ist dabei besondere Bedeutung zuzuschreiben [Han, 1999], [Rus, 1995]. Als Aktuatoren sind sie in der Lage Verformungen bzw. Kräfte in die Struktur einzuleiten. Sensoren aus piezokeramischem Material sind in der Lage Verformungen und Bewegungen der Struktur oder deren Auswirkungen zu detektieren. Die Möglichkeit des strukturkonformen Einbaus ist durch die Verwendung piezokeramischer Folien gegeben. Die Positionierung von Aktuatoren und Sensoren beeinflußt wesentlich das, mit Hilfe der Regelung, erreichbare Ergebnis der Verbesserung der Eigenschaften von aktiven Strukturen. Für die Regelung existieren viele verschiedenartige Ansätze die nach der jeweiligen Problemstellung angewandt werden. Die Ziele der verschiedenen Ansätze in der 1

26 1 Einleitung Strukturdynamik und Akustik sind im Wesentlichen die Reduktion der Schwingungsamplituden, Verhinderung der Abstrahlung von Körperschall und die Verringerung der Schallpegel. Die Regler können in verschiedener Weise klassifiziert werden. Hier soll die Unterteilung in digitale und analoge Regler erfolgen. Die digitalen Regler gewinnen mit der fortschreitenden Entwicklung der Rechentechnik zunehmend an Bedeutung. Allerdings existieren auch verschiedene Methoden zur Transformation analoger Regler in den Digitalbereich, womit die Realisierung analoger Regler auf digitalen Signalprozessoren (DSP) vereinfacht werden kann. Die Weiterentwicklung digitaler Regler erscheint im Zusammenhang mit deren Implementierung auf moderner Rechentechnik (DSP) sinnvoll. Zur Verhinderung von Digitalisierungseffekten werden Antialiasing- und Rekonstruktionsfilter eingesetzt, deren Berücksichtigung bei der Auslegung einiger Regler besondere Aufmerksamkeit verdient. Das Hauptanliegen der Arbeit ist die Erfassung und die genügend genaue Abbildung der Gesamtheit aller oben angesprochenen physikalischen Vorgänge innerhalb eines Modells. Die vorgestellte Auslegung, Berechnung und Simulation des Gesamtsystemverhaltens mehrfach gekoppelter Probleme (Strukturdynamik, Elektrik, Akustik, Regelungstechnik) erfordert die Modellierung der Einzelphänomäne, der Koppelmechanismen und deren Zusammenführung über geeignete Schnittstellen. Die Simulation beinhaltet die Möglichkeit der Implementierung zeitvarianter Regelgesetze und nichtstationärer Lasten. Der Vergleich mit experimentellen Ergebnissen dient der Verifikation der berechneten Daten. In der Arbeit werden für die Modellierung der aktiven Gesamtsysteme die Entwicklungsumgebungen Matlab und Simulink genutzt. Ein möglicher Weg zur Auslegung und Simulation aktiver Strukturen unter Berücksichtigung der Struktur-Akustik Interaktion und instationärer Vorgänge im Zeitbereich wird vorgestellt und erprobt. 2

27 Kapitel 2 Stand der Forschung Das Ziel dieses Kapitels ist die Erörterung des derzeitgen Entwicklungsstandes auf dem Gebiet der aktiven Strukturen. Die Diskussion der Berechnung, der Simulation und der experimentellen Untersuchung aktiver Strukturen und deren Komponenten bilden die Grundlage der Literaturübersicht. Aufbauend auf dem Stand der Forschung wird die Strategie und die Gliederung der Arbeit erläutert. 2.1 Aktive Strukturen Die Berechnung und Modellierung auf dem Gebiet der aktiven Strukturen erfordert eine interdisziplinäre Kooperation verschiedener Wissenschaftszweige. Aktive Strukturen sind mit Sensoren, Aktuatoren und Regelung ausgestattete Systeme. Dabei werden die Sensorsignale durch den Regelungsalgorithmus verarbeitet und an die Aktuatoren weitergeleitet. Strukturdynamik, elektro-mechanische Kopplung, akustisch-mechanische Kopplung und Regelungstechnik werden durch geeignete Beschreibung der Mechanismen miteinander verknüpft. Die Berechnung aller dieser Mechanismen in einer Simulation ist allerdings in der Literatur nur selten zu finden. Ebenso ist die experimentelle Verifikation aktiver Systeme selten Gegenstand von Veröffentlichungen. Eine Einführung und ein Überblick in das Gebiet der aktiven Strukturen wird von [RBJ, 1989], [Cro, 1999], [HBV+, 2001], [Inm, 2001] u.a. gegeben. Die Begriffe der aktiven, adaptiven und intelligenten Strukturen erläutern Rogers, Barker und Jaeger in [RBJ, 1989]. Weiterhin wird in [RBJ, 1989] der Stand der Technik auf den Gebieten der passiven und aktiven Schwingungsreduktion diskutiert. Zur Verbesserung der Handhabung wird die Integration aktuatorischer und sensorischer Elemente in Faserverbundstrukturen vorgeschlagen und nachfolgend ausführlich die Definition intelligenter Strukturen behandelt. Eine Darstellung intelligenter Materialien, wie piezoelektrische Werkstoffe, elektrorheologische Flüssigkeiten und Formgedächtnislegierungen, schafft einen umfassenden Überblick des Standes der Entwicklung auf diesem Gebiet. Crocker beschreibt in [Cro, 1999] den Entwicklungsstand auf den Gebieten der Akustik und der Vibrationen. Dabei werden die Forschungsergebnisse der Gebiete Numerik, Meßtechnik und der aktiven Schall- und Schwingungsreduktion ausführlich behandelt. Aber auch Techniken der Sprachkodierung und -erkennung und Ultraschallanwendungen in der Medizintechnik sind Gegenstand der Betrachtungen. Als Schlußfolgerung aus der beschleunigten Entwicklung der Rechentechnik und verbesserten Meßmethoden kann eine zunehmende Bedeutung aktiver Materialien und ak- 3