Datenblatt Lineare Systemanalyse

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1 Datenblatt Lineare Systemanalyse Übersicht Die Lineare Systemanalyse bietet vielfältige Möglichkeiten, das Verhalten verschiedenster Systeme zu untersuchen. Dabei wird das im Allgemeinen nichtlineare Simulationsmodell im aktuellen Arbeitspunkt linearisiert. Der Arbeitspunkt lässt sich zum Beispiel durch eine vorhergehende Simulation im Zeitbereich oder Gleichgewichtsberechnung festlegen. Die Lineare Systemanalyse unterteilt sich in ein Modul Eigenfrequenzen und Schwingformen zur Berechnung von Eigenfrequenzen und Eigenvektoren Berechnung von Auslenkungen (Schwingformen) Berechnung von Energieverteilungen in Schwingformen Erstellung von Campbell Diagrammen Animation von Schwingformen und ein Modul Übertragungsverhalten zur Frequenzganganalyse (Amplituden-, Phasenfrequenzgang und Ortskurve) Erstellung von Pol-Nullstellenplänen Generierung von exportierbaren Systemmatrizen. Die Funktionen der Linearen Systemanalyse sind für den Entwurf und die Analyse regelungstechnischer Einrichtungen, die Schwingungsanalyse von Antriebssträngen, die Auslegung von Dämpfern, die Ermittlung dynamischer Steifigkeiten, die Modellierung von Schalldämmungsmaßnahmen und vieles andere mehr unverzichtbare Werkzeuge. Die lineare Systemanalyse wird ergänzt durch Module zur Ordnungsanalyse und zur stationären Simulation im Frequenzbereich (siehe zugehörige Datenblätter). Eigenfrequenzen und Schwingformen Das Modul Eigenfrequenzen und Schwingformen der Linearen Systemanalyse erlaubt die Ermittlung des Eigenschwingverhaltens für beliebige Modelle in. Dabei werden sämtliche Modellteile unabhängig von ihrem physikalischen Hintergrund oder dem verwendeten Modellierungsansatz in die Berechnung einbezogen, so dass im Ergebnis eine für das Gesamtmodell und die in ihm vorhandenen Wechselwirkungen gültige globale Aussage zum Schwingverhalten entsteht. Eigenfrequenzen und Dämpfungszeitkonstanten für beliebige Systeme im Arbeitspunkt Eigenschwingformen mit Animation Energieverteilung und Leistungsfluss in Eigenschwingungen Frequenzganganalyse: Amplitude/Phase des Eingangssignals konstant oder frequenzabhängig oder Vorgabe eines periodischen Zeitsignals Pole und Nullstellen: Anzeige als Liste oder Pol/ Nullstellenplan Export der Systemmatrizen: im Arbeitspunkt als linearisiertes System in Differentialgleichungsform oder in Deskriptorform Bild 1: Einfaches Antriebstrangmodell Typische Anwendungen finden sich z.b. in der Berechnung von Fahrzeug- oder Maschinenantriebsträngen. Bild 1 zeigt ein einfaches Modell aus diesem Gebiet. Den Ingenieur interessieren dabei die auftretenden Eigenfrequenzen, das Dämpfungsverhalten der einzelnen Eigenmoden, die sich einstellenden Amplituden und Phasenlagen, sowie die Energieverteilung während der Schwingung.

2 Seite 2 von 5 Eigenwerte Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind grundlegende Ergebnisse der Systemanalyse, aus welchen sich alle nachfolgenden Größen, wie zum Beispiel die Ab- oder Aufklingzeitkonstanten, ableiten lassen. Diese gelten für das System mit Dämpfungen. Darüber hinaus werden von die in der Mechanik gebräuchlichen ungedämpften Eigenfrequenzen und die lehrschen Dämpfungsmaße angezeigt. Auslenkung Die Darstellung von Eigenschwingformen erfolgt in der Mechanik über Auslenkungsdiagramme (Balkendiagramme). Neben der Balkenanzeige werden die Schwingungsamplitude und die Phasenlage auch in numerischer Form dargestellt. Energieverteilung

3 Seite 3 von 5 Anhand von Eigenfrequenzen und Auslenkungsdiagrammen ist es nur schwer möglich, Aussagen darüber zu treffen, welche Modellelemente und Parameter die Herausbildung einer Schwingform maßgeblich beeinflussen. Diese Information erhält man anhand der zu den Schwingformen gehörigen Energieverteilungen. Diese zeigen, welche Elemente im System als maßgebliche Energiespeicher wirken und wo Schwingungsenergie im System abgebaut wird. Daraus kann man Rückschlüsse ziehen, durch welche Veränderungen am Gesamtsystem unerwünschte Schwingungen oder Frequenzen reduziert oder ganz eliminiert werden können. Die Energieverteilung liefert ebenso wertvolle Informationen für die gezielte Modellreduktion und -optimierung. Bei der Analyse der Energieverteilungen separiert automatisch zwischen den unterschiedlichen Schwingungsenergieformen und zu- bzw. abgeführter Leistung. Diese werden den entsprechenden Modellelementen zugeordnet und über Balkendiagramme grafisch repräsentiert. Campbell-Diagramm Campbell-Diagramme erlauben für Triebstränge mit Verbrennungsmotoren eine Zuordnung von Eigenfrequenzen zu Erregerordnungen des Motors. Dies erlaubt eine Identifizierung von potentiell kritischen Resonanzen im Arbeitsbereich des Triebstrangs. Animation von Eigenschwingformen Für das bessere Verständnis des Eigenschwingverhaltens von Modellen können Eigenschwingungen für alle auftretenden Eigenfrequenzen eines Systems animiert werden. Die Animation erfolgt dabei für alle Momentananzeigen (Balken, numerische Werte) und ebenso für die 3D-Darstellungen in der MKS-Mechanik. Übertragungsverhalten Mit dem Modul Übertragungsverhalten in der Linearen Systemanalyse lässt sich das Übertragungsverhalten eines Systems von beliebigen Eingangs- bzw. Erregergrößen zu beliebigen Ausgangs- oder Ergebnisgrößen bestimmen. Die lineare Systemanalyse ist auf alle Modelle anwendbar, die gewöhnlichen oder Algebro-Differenzialgleichungssystemen entsprechen. Das schließt physikalisch modellierte Systeme wie zum Beispiel den in Bild 1 dargestellten Antriebsstrang ein.

4 Seite 4 von 5 Bild 2: Lineare Systemanalyse eines Antriebsstranges Bei der linearen Systemanalyse wird das nichtlineare Simulationsmodell im aktuellen Arbeitspunkt linearisiert. Der Arbeitspunkt lässt sich zum Beispiel durch eine vorhergehende Simulation im Zeitbereich oder eine Gleichgewichtsberechnung festlegen. Anhand des linearisierten Modells wird dann das Übertragungsverhalten zwischen vom Anwender festgelegten Ein- und Ausgängen berechnet. Frequenzganganalyse Eine mögliche Darstellungsform für das Übertragungsverhalten eines linearen Systems ist der komplexe Frequenzgang. Im Bild 2 ist links unten der Frequenzgang für die Übertragungsfunktion vom Antriebsmoment zur Fahrzeugbeschleunigung zu sehen. Als Erregung für die Berechnung des Frequenzganges können folgende Eingangssignale gewählt werden: konstante Eingangsamplitude und Phase frequenzvariable Eingangsamplitude und Phase Festlegung des Eingangsspektrums durch ein periodisches Zeitsignal Die Frequenzstützstellen werden logarithmisch oder linear geteilt vorgegeben und der berechnete Frequenzgang lässt sich in den folgenden Formen grafisch darstellen: Amplituden- und Phasengang (wie in Bild 2) Real- und Imaginärteil Nyquist-Plot (Ortskurve) Pole und Nullstellen Es können die bekannten Smith-Pole und Nullstellen berechnet werden, die auch für Systeme mit mehreren Ein- und Ausgängen sinnvoll sind. Anhand der graphischen Darstellung dieser Punkte in der komplexen Frequenzebene (rechts unten in Bild 2) lassen sich leicht Aussagen über dominante Pole der Regelstrecke und damit über Stabilitätseigenschaften der Strecke treffen. Die genauen Zahlenwerte der Pol- und Nullstellen werden in einer Liste dargestellt. Zoomfunktionen und gleichzeitige Selektion in graphischer Darstellung und Liste erleichtern die Arbeit. Die Liste der Pole lässt sich in Textform kopieren und kann somit in anderen Anwendungen übernommen werden.

5 Seite 5 von 5 Export der Systemmatrizen Programme wie MATLAB oder Scilab stellen umfangreiche Bibliotheken für die Systemanalyse und den Reglerentwurf bereit. Der Export der in berechneten Systemmatrizen im MATLAB- Quelltextformat oder im Modelica-Format macht diese Werkzeuge für das -Modell nutzbar. Stellt die symbolische Analyse von die Systemgleichungen als gewöhnliches Differentialgleichungssystem dar, werden von dem zugehörigen im Arbeitspunkt linearisierten System x = Ax + Bu y = Cx + Du die Matrizen A, B, C und D exportiert. Haben die Modellgleichungen nach der symbolischen Analyse die Form eines Algebro-Differentialgleichungssystems, so werden die Systemmatrizen A, B, C, D und E für die linearisierten Systemgleichungen in Deskriptorform Ex = Ax + Bu y = Cx + Du geliefert.