Signifikanztests Einführung / Einstichproben-Gaußtest

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1 Signifikanztests Vorliegen einer Hypothese über die Verteilung(en) der Grundgesamtheit(en). Z.B. Der Würfel ist fair. Die Brenndauern zweier unterschiedlicher Glühbirnensorten sind gleich. Die Hypothese soll anhand einer Stichprobe überprüft werden. Prinzip: Hypothese verwerfen, wenn signifikanter Widerspruch zur Stichprobe. Ansonsten: Hypothese nicht verwerfen. Eine verworfene Hypothese gilt als statistisch widerlegt. Nicht-Verwerfung ist dagegen ein Freispruch aus Mangel an Beweisen. Nicht-Verwerfung ist kein statistischer Beweis, dass Hypothese wahr ist! ( Trick : Hypothese falsch Gegenhypothese wahr!) 14. Signifikanztests Einführung / Einstichproben-Gaußtest Zunächst: G N(µ;σ) mit σ bekannt Einfache Stichprobe X 1,..., X n (Null-)Hypothese H 0 : µ = µ 0 Beispiel (BB-Beispiel 75): X 1,...,X 25 mit X i = Füllmenge der i-ten Flasche N(µ; 1,5) Nullhypothese H 0 : µ = 500, d.h. µ 0 = 500 Je nach Interessenlage sind unterschiedliche Gegenhypothesen möglich: a) H 1 : µ µ 0 b) H 1 : µ < µ 0 (110) c) H 1 : µ > µ Signifikanztests 203

2 14.1 Einführung / Einstichproben-Gaußtest Aus Kapitel 12 (Folie 170) bekannt: X ist wirksamster erwartungstreuer Schätzer für µ. Entscheidung: H 0 : µ = µ 0 wird abgelehnt gegenüber a) H 1 : µ µ 0, wenn x µ 0 sehr groß ist b) H 1 : µ < µ 0, wenn x weit kleiner als µ 0 ist c) H 1 : µ > µ 0, wenn x weit größer als µ 0 ist (111) 14. Signifikanztests Einführung / Einstichproben-Gaußtest Alternatives Kriterium: v = x µ 0 σ n statt X µ 0. Vorteil: Verteilung bekannt: N(0; 1) (Folie 164), falls µ = µ 0, d.h. H 0 Dann: H 0 : µ = µ 0 wird abgelehnt gegenüber a) H 1 : µ µ 0, wenn v sehr groß ist b) H 1 : µ < µ 0, wenn v sehr negativ ist c) H 1 : µ > µ 0, wenn v sehr positiv ist wahr. Mögliche Fehlentscheidungen: Ablehnung von H 0, obwohl H 0 richtig ist: Fehler 1. Art Nicht-Ablehnung von H 0, obwohl H 0 falsch ist: Fehler 2. Art 14. Signifikanztests 205

3 14.1 Einführung / Einstichproben-Gaußtest H 0 richtig H 0 beibehalten H 0 ablehnen Freispruch aus Mangel an Beweisen Fehler 1. Art H 0 falsch H 0 beibehalten Fehler 2. Art H 0 ablehnen Bestätigung von H 1 Signifikanzniveau α: Maximal erlaubte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art. 14. Signifikanztests Einführung / Einstichproben-Gaußtest Mithilfe von α und V kann geklärt werden, was sehr groß usw. heißt: Fehler 1. Art im Fall a): v > x, obwohl µ = µ 0, d.h. V N(0; 1) Wahrscheinlichkeit dafür: P( V > x) = P(V > x) + P(V < x) = 2 P(V > x) (Symmetrie der Normalverteilung) = 2 [1 P(V x)] = 2 [1 Φ(x)]! = α Φ(x) = 1 α 2 x = x 1 α 2 H 0 wird demnach verworfen, wenn v > x 1 α 2 bzw. v B ist. B = ( ; x 1 α 2 ) (x 1 α 2 ; ) heißt Verwerfungsbereich. 14. Signifikanztests 207

4 14.1 Einführung / Einstichproben-Gaußtest Analoge Vorgehensweise für die Fälle b) und c): 14. Signifikanztests Einführung / Einstichproben-Gaußtest Insgesamt: H 0 ist zu verwerfen, wenn v B ist, wobei B = ( ; x 1 α 2 ) (x 1 α 2 ; ) im Fall a) B = ( ; x 1 α ) im Fall b) B = (x 1 α ; ) im Fall c) (113) 14. Signifikanztests 209

5 14.1 Einführung / Einstichproben-Gaußtest Beispiel (BB-Beispiel 76): X 1,..., X 25 mit X i N(µ; 1,5) und x = 499,28 Prüfe H 0 : µ = 500, H 1 : µ 500 zum Signifikanzniveau α = 0,01 Lösung: Test gemäß Kapitel 14.1 (Einstichproben-Gaußtest), Fall (110 a) 1. α = 0,01 2. v = 499, ,5 25 = 2,4 3. N(0; 1) : x 1 α 2 = x 1 0,005 = x 0,995 = 2,576 (Folie 191) B = ( ; 2,576) (2,576; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen Interpretation: Zum Signifikanzniveau 1 % kann der Brauerei keine Abweichung vom Sollwert µ 0 = 500 nachgewiesen werden. 14. Signifikanztests Einführung / Einstichproben-Gaußtest Hinweis: Im Fall a) ist auch eine Entscheidung mithilfe von KI möglich (BB S. 178): Man errechne, wenn α das vorgeschriebene Signifikanzniveau ist, ein symmetrisches Schätzintervall [v u ;v o ] für ϑ zum Konfidenzniveau 1 α und lehne H 0 : ϑ = ϑ 0 gegen H 1 : ϑ ϑ 0 genau dann ab, wenn ϑ 0 nicht in [v u ;v o ] liegt. Hier: KI für µ gemäß (Folie 188): 1. 1 α = 1 0,01 = 0,99 2. N(0; 1) : c = x 1 α 2 = x 1 0, x = 499,28 4. σc n = 1,5 2, = 0,77 = x 0,995 = 2,576 (Folie 191) 5. KI = [499,28 0,77; 499,28 + 0,77] = [498,51; 500,05] µ 0 = 500 KI H 0 nicht verwerfen 14. Signifikanztests 211

6 14.2 / 14.3 Aufbau und Klassifikation von Signifikanztests Einheitliches Schema aller Tests: Der jeweils geeignete Test hängt ab von... dem zu testenden Hypothesenpaar H 0, H 1 ; unterscheide: Parametrische Hypothesen (H 0 : ϑ Θ 0, H 1 : ϑ Θ 1 = Θ Θ 0 ): Beziehen sich auf unbekannte(n) Verteilungsparameter (µ,σ 2,... ) Nichtparametrische Hypothesen: Beinhalten sonstige Aussagen, z.b. Alter und Einkommen sind unabh. 14. Signifikanztests / 14.3 Aufbau und Klassifikation von Signifikanztests den Voraussetzungen an die Verteilung/parameter (z.b. G N(µ; σ)) den Voraussetzungen an den Stichprobenumfang (z.b. n > 30) Art und Anzahl der Stichproben; unterscheide: Signifikanztests bei einer einfachen Stichprobe ( Fig. 48): Eine Grundgesamtheit, ein Merkmal. ( Ist die erwartete Füllmenge einer Abfüllanlage gleich 500 cm 3? ) Signifikanztests bei mehreren unabhängigen Stichproben ( Fig. 49) Mehrere GG (od. disjunkte Stichproben aus einer GG), ein Merkmal. ( Hängt die Abiturnote von der beruflichen Stellung des Vaters ab? ) Signifikanztests bei zwei verbundenen Stichproben ( Fig. 50) Eine Grundgesamtheit, zwei Merkmale. ( Besteht ein Zusammenhang zwischen Mathe- und Statistiknote? ) 14. Signifikanztests 213

7 Signifikanztests bei einer einfachen Stichprobe (Fig. 48) 14. Signifikanztests 214 Signifikanztests bei mehreren unabh. Stichproben (Fig. 49) 14. Signifikanztests 215

8 Signifikanztests bei zwei verbundenen Stichproben (Fig. 50) 14. Signifikanztests Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest, Differenzentests Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ 2 Einstichprobentests: Voraussetzungen: a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 b) H 0 : µ = µ 0 (oder µ µ 0 ), H 1 : µ < µ 0 (115) c) H 0 : µ = µ 0 (oder µ µ 0 ), H 1 : µ > µ 0 1. Normalverteilung mit σ unbekannt (Einstichproben-t-Test) oder 2. Beliebige Verteilung mit n > 30 bzw. 5 x i n 5 (bei B(1; p)) (approximativer Gaußtest) 14. Signifikanztests 217

9 Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest; Vorgehensweise 14. Signifikanztests 218 Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest; Vorgehensweise Beispiel (BB-Beispiel 80): X 1,..., X 2000 B(1; p) mit X i = 2000 x i = 108 i=1 { 1, falls i-te Person Wähler der Partei 0, sonst Prüfe H 0 : p 0,05 gegen H 1 : p > 0,05 zum Signifikanzniveau 2 % Lösung: approx. Gaußtest, Fall (115 c); Voraussetzung 2 erfüllt: α = 0,02 2. v = , = 0,82 0,05 (1 0,05) 3. N(0; 1) : x 1 α = x 0,98 = 2,05 (Tab. 3) B = (2,05; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen Zusatzfrage: Entscheidung, falls α = 0,01? Keine Änderung! 14. Signifikanztests 219

10 Binomialtest Geeignet, falls G B(1; p) (5 x i n 5 muss nicht erfüllt sein!) a) H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 b) H 0 : p = p 0 (oder p p 0 ), H 1 : p < p 0 c) H 0 : p = p 0 (oder p p 0 ), H 1 : p > p 0 Vorgehensweise: 1. Ein Signifikanzniveau α wird festgelegt. 2. Der Testfunktionswert v = n x i wird errechnet. i=1 3. Mit F der B(n; p 0 )-Vtlg. wird der Verwerfungsbereich festgelegt: a) B = {0,...,c 1 } {c 2,...,n} mit F(c 1 ) α 2, F(c 1 + 1) > α 2, F(c 2 1) 1 α 2, F(c 2 2) < 1 α 2 b) B = {0,..., c} mit F(c) α, F(c + 1) > α c) B = {c,...,n} mit F(c 1) 1 α, F(c 2) < 1 α 4. H 0 wird genau dann abgelehnt, wenn v B gilt. 14. Signifikanztests 220 Binomialtest Beispiel (BB-Beispiel 79): { 1, falls das i-te geprüfte Stück defekt ist X 1,..., X 20 B(1;p) mit X i = 0, sonst Entscheidung zw. H 0 : p 0,3, H 1 : p < 0,3 in Abh. von x i (α = 0,05) Lösung: Binomialtest, Fall b); Voraussetzungen erfüllt 1. α = 0, B(20; 0,3) : F(2) = 0,0355 0,05, F(3) = 0,1071 > 0,05 B = {0, 1, 2} 4. H 0 ablehnen, falls in der Stichprobe höchstens 2 defekte Stücke Hinweis: Falls p 0 > 0,5 Nutze den Hinweis auf Folie 93 z.b. F B(11;0,6) (4) = 1 F B(11;0,4) (6) = 1 0,9006 = 0, Signifikanztests 221

11 Differenzentests Gegeben: Zwei verbundene einfache Stichproben X 1,..., X n und Y 1,..., Y n mit E(X i ) = µ 1, E(Y i ) = µ 2 Hypothesenpaare: a) H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 b) H 0 : µ 1 = µ 2 (oder µ 1 µ 2 ), H 1 : µ 1 < µ 2 c) H 0 : µ 1 = µ 2 (oder µ 1 µ 2 ), H 1 : µ 1 > µ 2 Trick : Übergang zu Z i = X i Y i mit E(Z i ) = µ = µ 1 µ 2 Teste (115) mit µ 0 = Signifikanztests 222 Änderungen gegenüber Folie ) Alternativ: v = h 10 h 01 h10 +h 01 mit y = 0 y = 1 x = 0 h 00 h 01 x = 1 h 10 h Signifikanztests 223

12 Differenzentests Beispiel (BB-Aufgabe 100): X 1,..., X 500 B(1; p 1 ) mit X i = Y 1,...,Y 500 B(1; p 2 ) mit Y i = { 1, falls i-te Person KKW-Bau ablehnt 0, sonst { 1, falls i-te Person Sparen befürwortet 0, sonst y i = 0 y i = 1 x i = x i = Prüfe H 0 : p 1 = p 2, H 1 : p 1 > p 2 zum Signifikanzniveau α = 0, Signifikanztests 224 Differenzentests Lösung: Differenzentest auf Basis des approx. Gaußtests, Fall (115 c) Voraussetzungen gem. BB S. 190 erfüllt: 1. α = 0,05 2. v = = 3, = x i = y i N(0; 1) : x 1 α = x 0,95 = 1,645 (Folie 191) B = (1,645; ) 4. v B H 0 verwerfen Interpretation: Zum Signifikanzniveau 5 % kann statistisch bestätigt werden, dass der Anteil der KKW-Gegner größer ist als der der Spar-Befürworter. 14. Signifikanztests 225

13 14.5 Chi-Quadrat-Test für die Varianz Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n N(µ; σ) Hypothesenpaare: a) H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 b) H 0 : σ 2 = σ 2 0 (oder σ 2 σ 2 0 ), H 1 : σ 2 < σ 2 0 (116) c) H 0 : σ 2 = σ 2 0 (oder σ 2 σ 2 0 ), H 1 : σ 2 > σ 2 0 Vorgehensweise, falls µ unbekannt: Folie 227 Falls µ bekannt: n Schritt 2: Testfunktion v = 1 (x σ 2 i µ) 2. 0 i=1 Schritt 3: Ersetze χ 2 (n 1) durch χ 2 (n). 14. Signifikanztests Chi-Quadrat-Test für die Varianz Falls µ unbekannt: 14. Signifikanztests 227

14 14.5 Chi-Quadrat-Test für die Varianz Beispiel (BB-Aufgabe 101): G N(µ; σ) (x 1,...,x 10 ) = (2100; 2130; 2150; 2170; 2210; 2070; 2230; 2150; 2230; 2200) Prüfe H 0 : σ = 40, H 1 : σ 40 zum Signifikanzniveau α = 0,1 Lösung: χ 2 -Test für die Varianz, Fall (116 a); Voraussetzungen erfüllt 1. α = 0,1 2. x = 1 10 ( ) = 2164 v = 1 [( ) 2 + ( ) ( ) 2 ] = 16, χ 2 (9) : xα 2 = x 0,05 = 3,33; x 1 α 2 = x 0,95 = 16,92 (Tab. 5) B = [0; 3,33) (16,92; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen 14. Signifikanztests Zweistichprobentests Gegeben: Zwei unabhängige einfache Stichproben X 1,...,X n1 und Y 1,...,Y n2 mit Stichprobenumfängen n 1 bzw. n 2 Erwartungswerten E(X i ) = µ 1 bzw. E(Y i ) = µ 2 Varianzen Var(X i ) = σ 2 1 bzw. Var(Y i ) = σ 2 2 Stichprobenmittel X bzw. Ȳ Stichprobenvarianzen S 2 1 bzw. S 2 2 Gesucht: Aussagen über den Vergleich der Erwartungswerte Aussagen über den Vergleich der Varianzen Signifikanztests 229

15 Vergleich zweier Erwartungswerte Hypothesenpaare: Vorgehensweise: a) H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 b) H 0 : µ 1 = µ 2 (oder µ 1 µ 2 ), H 1 : µ 1 < µ 2 (117) c) H 0 : µ 1 = µ 2 (oder µ 1 µ 2 ), H 1 : µ 1 > µ Signifikanztests Vergleich zweier Erwartungswerte Zweistichproben- Gaußtest Zweistichpobent-Test approximativer Zweistichproben- Gaußtest approximativer Zweistichproben- Gaußtest 14. Signifikanztests 231

16 Vergleich zweier Erwartungswerte Beispiel: { 1, falls i-tes Teil Ausschuss X 1,..., X 80 B(1; p 1 ) mit X i =, 0, sonst { 1, falls i-tes Teil Ausschuss Y 1,...,Y 100 B(1; p 2 ) mit Y i =, 0, sonst Lässt sich zum Signifikanzniveau 10 % nachweisen, dass p 1 < p 2 80 i=1 100 i=1 x i = 20 y i = 50 Lösung: H 0 : p 1 p 2, H 1 : p 1 < p 2 ; approx. Zweistichproben-Gaußtest, Fall (117 b) Voraussetzungen 3 gem. Fig. 51 erfüllt: , α = 0,1 2. x = = 0,25; ȳ = 100 = 0,5; v = 0,25 0,5 (20+50)( ) (80+100) = 3,42 3. N(0; 1) : x 1 α = x 0,9 = 1,282 (Folie 191) B = ( ; 1,282) 4. v B H 0 verwerfen, d.h. p 1 < p 2 bestätigen 14. Signifikanztests 232 ist? Vergleich zweier Varianzen / Zweistichproben-F-Test Voraussetzung: X i N(µ 1 ; σ 1 ), Y i N(µ 2 ; σ 2 ) (sonst: BB S. 195, Fußnote 1) a) H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 H 1 : σ 2 1 σ 2 2 b) H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 (oder σ 2 1 σ 2 2 ), H 1 : σ 2 1 < σ 2 2 c) H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 (oder σ 2 1 σ 2 2 ), H 1 : σ 2 1 > σ 2 2 (118) 14. Signifikanztests 233

17 Vergleich zweier Varianzen / Zweistichproben-F-Test Beispiel: X 1,..., X 9 N(µ 1 ; σ 1 ) mit s 2 1 = 4 Y 1,...,Y 7 N(µ 2 ; σ 2 ) mit s 2 2 = 3 Kann σ 2 1 > σ 2 2 zum Signifikanzniveau 5 % bestätigt werden? Lösung: H 0 : σ 2 1 σ 2 2, H 1 : σ 2 1 > σ 2 2 Zweistichproben-F-Test, Fall (118 c); Voraussetzungen erfüllt 1. α = 0,05 2. v = F(8, 6) : x 1 α = x 0,95 = 4,15 (Tab. 6) B = (4,15; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen, d.h. σ 2 1 > σ 2 2 kann nicht bestätigt werden 14. Signifikanztests Einfache Varianzanalyse Voraussetzungen: r > 2 unabhängige einfache Stichproben X j1,...,x jnj X ji N(µ j ; σ) (Beachte: identische Varianzen!) Alle X ji unabhängig Hypothesenpaar: mit H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ r gegen H 1 : mindestens zwei der µ j sind verschieden (119) Hilfsgrößen: Gesamtstichprobenumfang: n = r n j j=1 14. Signifikanztests 235

18 14.7 Einfache Varianzanalyse Stichprobenmittel der j-ten Stichprobe: Gesamtstichprobenmittel: Gesamtstichprobenvarianz: X j = 1 n j n j X Ges = 1 n i=1 X ji r n j X j j=1 S 2 Ges = 1 n r j (X ji X j ) r n j ( X j X Ges ) 2 n 1 n 1 j=1 i=1 j=1 } {{ } } {{ } interne Stichprobenvarianz externe Stichprobenvarianz 14. Signifikanztests Einfache Varianzanalyse Interne Stichprobenvarianz: n 1 r j (X ji X j ) 2 = 1 n 1 n 1 j=1 i=1 n r j X 2 ji j=1 i=1 r n j X 2 j = Q 2 n 1 j=1 Externe Stichprobenvarianz: 1 n 1 r n j ( X j X Ges ) 2 = j=1 1 n 1 r n j X 2 j n X 2 Ges = Q 1 n 1 j=1 Es gilt: S 2 Ges = Q 1 + Q 2 n 1 mit Q 1 = W n X 2 Ges, Q 2 = r n j j=1 i=1 X 2 ji W, W = r n j X 2 j j=1 Variationen denkbar, z.b.: Q 1, S 2 Ges gegeben Q 2 = (n 1)S 2 Ges Q Signifikanztests 237

19 14.7 Einfache Varianzanalyse Vorgehensweise: Bemerkungen: ➀ v ändert sich nicht, wenn man alle x ji linear transformiert gemäß y ji = a + bx ji a, b IR, b 0 ➁ r = 2 Einfache Varianzanalyse = Zweistichproben-t-Test, Fall (117 a) 14. Signifikanztests 238 Klausuraufgabe 133 a) (gekürzt) Der Hersteller des Hundefutters Schnappi möchte wissen, ob von der Farbe des Etiketts ein Einfluss auf den Marktanteil (gemessen an der Preiseinschätzung) von Schnappi ausgeht. Dazu werden 18 Testpersonen in drei gleich große Gruppen aufgeteilt, und jeder Gruppe wird eine andersfarbig etikettierte Dose vorgelegt. Sodann sollen die Testpersonen einer jeden Gruppe angeben, wieviel sie für eine solche Dose Hundefutter zu zahlen bereit wären. Die folgende Tabelle gibt die Antworten der Probanden wieder: Gelb 1,5 1,3 1,8 1,6 2,5 0,9 Hellblau 4,0 3,4 3,7 4,3 2,1 4,1 Rosa 1,2 2,1 2,8 2,3 1,3 2,3 Betrachten Sie die Erhebung der Preiseinschätzung in jeder Gruppe als eine einfache Stichprobe. Die Preiseinschätzung sei jeweils normalverteilt, wobei die Varianz in allen Gruppen gleich ist. Kann zum Signifikanzniveau 0,05 statistisch bestätigt werden, dass die Etikettenfarbe einen Einfluss auf die Preiseinschätzung hat? 14. Signifikanztests 239

20 14.8 Chi-Quadrat-Anpassungstest Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n mit Verteilungsfunktion F Hypothesenpaare: a) H 0 : F = F 0, wobei F 0 hypothetische Verteilungsfunktion H 1 : F F 0 b) H 0 : F gehört zu einer Menge von Verteilungsfunktionen, deren Elemente sich nur durch endlich viele Parameter ϑ 1,...,ϑ r voneinander unterscheiden H 1 : F gehört nicht zu dieser Menge (120) Grundgedanke: Unterteile die x-achse in möglichst viele Intervalle und vergleiche für jedes Intervall die tatsächliche mit der theoretischen (gem. F 0 ) Häufigkeit. 14. Signifikanztests 240 Chi-Quadrat-Anpassungstest; Vorgehensweise für Fall (120 a) 14. Signifikanztests 241

21 14.8 Chi-Quadrat-Anpassungstest Bemerkungen: ➀ Test nur anwendbar, wenn np j 5 bzw. h j 5 j = 1,..., k (prüfen!) Falls nicht erfüllt Intervalle zuammenlegen! ➁ I.A. sinkt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn k steigt ➂ G diskret verteilt pro Ausprägung ein Intervall; Schritt 2.1 entfällt (falls nicht np j 5 eine Zusammenlegung erzwingt) Vorgehensweise für Fall (120 b): Schritt 2: Schätze F 0 durch ˆF 0 auf Grund von ML-Schätzwerten ˆϑ 1,..., ˆϑ r Schritt 3: Fraktil nun zwischen dem von χ 2 (k r 1) und χ 2 (k 1) 14. Signifikanztests Chi-Quadrat-Anpassungstest Beispiel: Gegeben ist folgendes Stichprobenergebnis: a j h j Prüfe zum Signifikanzniveau 5 %, ob G B(20; 0,15) gilt. Lösung: Chi-Quadrat-Anpassungstest, Fall (120 a) Voraussetzung 30 p j 5 wird in Schritt 2.3 geprüft 1. α = 0, A j gegeben (sofern Voraussetzung erfüllt) 14. Signifikanztests 243

22 14.8 Chi-Quadrat-Anpassungstest 2.2 h j gegeben (sofern Voraussetzung erfüllt) 2.3 p 1 = P(X 0 F 0 ) = F 0 (0) = 0,0388 p 2 = P(0 < X 1 F 0 ) = F 0 (1) F 0 (0) = 0,1756 0,0388 = 0,1368 p 3 = P(1 < X 2 F 0 ) = F 0 (2) F 0 (1) = 0,4049 0,1756 = 0,2293 p 4 = P(2 < X 3 F 0 ) = F 0 (3) F 0 (2) = 0,6477 0,4049 = 0,2428 p 5 = P(3 < X 4 F 0 ) = F 0 (4) F 0 (3) = 0,8298 0,6477 = 0,1821 p 6 = P(X 5 F 0 ) = 1 F 0 (4) = 1 0,8298 = 0,1702 a j h j p j 0,0388 0,1368 0,2293 0,2428 0,1821 0, p j 1,164 4,104 6,879 7,284 5,463 5,106 Die ersten beiden Intervalle erfüllen 30 p j 5 nicht! Zusammenlegen! 14. Signifikanztests Chi-Quadrat-Anpassungstest 2. A j ( ; 1] (1; 2] (2; 3] (3; 4] (4; ) h j p j 0,1756 0,2293 0,2428 0,1821 0,1702 v = 1 30 ( 32 0, , , , ) 30 = 4,53 0, χ 2 (4) : x 1 α = x 0,95 = 9,49 (Tab. 5) B = (9,49; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen 14. Signifikanztests 245

23 14.9 Kontingenztest Gegeben: Zwei verbundene einfache Stichproben X 1,...,X n und Y 1,..., Y n Hypothesenpaar: H 0 : die beiden Merkmale X und Y sind in G unabhängig H 1 : X und Y sind in G abhängig (121) Vorgehensweise entspricht dem Chi-Quadrat-Anpassungstest Basiert aber auf einer Kontingenztabelle 14. Signifikanztests Kontingenztest 14. Signifikanztests 247

24 14.9 Kontingenztest Bemerkungen: ➀ Test nur anwendbar, wenn h ij 5 bzw. h ij 5 i = 1, j (prüfen!) Falls nicht erfüllt Intervalle zuammenlegen! ➁ X, Y diskret verteilt pro Ausprägung ein Intervall; Schritt 2.1 entfällt (falls nicht h ij 5 eine Zusammenlegung erzwingt) ➂ Falls k = l = 2: Schritt 2.3: Kann entfallen Schritt 2.4: Berechne Testfunktionswert gemäß v = n(h 11h 22 h 12 h 21 ) 2 h 1. h 2. h.1 h.2 ➃ Falls Randw keiten p i = P(X A i ), q j = P(Y B j ) bekannt sind: Schritt 2.3: Entfällt Schritt 2.4: Ersetze h ij durch n p i q j Schritt 3: Ersetze χ 2 ((k 1) (l 1)) durch χ 2 (k l 1) 14. Signifikanztests Kontingenztest Beispiel: Gegeben ist folgende Kontingenztabelle: X Y Prüfe zum Signifikanzniveau 1 %, ob X und Y unabhängig sind. Lösung: Kontingenztest Voraussetzung h ij 5 erfordert Zusammenlegung von Y = 2 und Y = Signifikanztests 249

25 14.9 Kontingenztest 1. α = 0, A i, B j gegeben 2.2 h ij B 1 B 2 h i. A A h.j Entfällt (k = l = 2) 2.4 v = 100 ( ) = 6,18 3. χ 2 (1) : x 1 α = x 0,99 = 6,63 (Tab. 5) B = (6,63; ) 4. v / B H 0 nicht verwerfen 14. Signifikanztests Vorzeichentest Gegeben: Zwei einfache Stichproben X 1,..., X n, und Y 1,...,Y n, die entweder verbunden oder unabhängig sind (dann: künstl. Zusammenfassen gleichnummerierter Paare) und (in beiden Fällen) den gleichen Stichprobenumfang besitzen Hypothesenpaare: a) H 0 : P(X > Y) = P(X < Y), H 1 : P(X > Y) P(X < Y) b) H 0 : P(X > Y) P(X < Y), H 1 : P(X > Y) < P(X < Y) c) H 0 : P(X > Y) P(X < Y), H 1 : P(X > Y) > P(X < Y) (122) 14. Signifikanztests 251

26 14.10 Vorzeichentest 14. Signifikanztests Vorzeichentest Bemerkungen: ➀ Bei unabhängigen Stichproben gilt: F 1 = F 2 P(X > Y) = P(X < Y), d.h. mit (122 a) wird auch H 0 : F 1 = F 2 gegen H 1 : F 1 F 2 getestet. ➁ α wird i.d.r. nicht voll ausgeschöpft (da B(n; p) diskret) ➂ Test wird mit wachsendem n schlechter 14. Signifikanztests 253

27 Klausuraufgabe 149 a) (gekürzt) Eine Studentin trinkt an den 5 Werktagen einer Woche am Morgen den Fitness- Trunk Red Bear. An den 5 Werktagen der nächsten Woche trinkt sie den Beruhigungstrunk Blue Bull. Die Studentin beobachtet nun, wie lange sie sich an dem jeweiligen Tag fit fühlt. Dabei ergeben sich der Reihe nach folgende Fitness-Dauern x i bei Einnahme von Red Bear und y i bei Einnahme von Blue Bull (jeweils in Stunden). x i 4,7 9,6 7,5 6,9 7,6 y i 4,7 9,5 9,4 8,9 8,5 Gehen Sie davon aus, dass die Werte x i unabhängige Realisierungen der Zufallsvariablen X mit Verteilungsfunktion F 1 und die Werte y i unabhängige Realisierungen der Zufallsvariablen Y mit Verteilungsfunktion F 2 sind. Alle Zufallsvariablen seien voneinander unabhängig. Testen Sie mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau α = 0,125 die Nullhypothese H 0 : F 1 = F 2 gegen die Alternative H 1 : F 1 F Signifikanztests Gütefunktion Gütekriterien für einen Hypothesentest: a) Die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art muss gleich α sein. b) Unter Einhaltung von a) sollte die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art möglichst klein gehalten werden. Gütefunktion: Geeignet zur Beurteilung von parametrischen Tests Parametrischer Test: H 0 : ϑ Θ 0 gegen H 1 : ϑ Θ 1 wobei Θ 0 Θ 1 = Θ IR. Beispiel: Binomialtest: H 0 : p 0,6 gegen H 1 : p > 0,6 entspricht ϑ = p, Θ = [0; 1], Θ 0 = [0; 0,6], Θ 1 = (0,6; 1] 14. Signifikanztests 255

28 14.11 Gütefunktion Bei den Tests H 0 H 1 ϑ = ϑ 0 ϑ ϑ 0 heißt ϑ 0 ϑ (>) = ϑ 0 ϑ < ϑ 0 ϑ (<) = ϑ 0 ϑ > ϑ 0 Hypothesendefinierender Wert. Gütefunktion: (Wahrscheinlichkeit, H 0 g(ϑ) = P(V B ϑ) (123) abzulehnen, wenn wahrer Parameterwert ϑ ist.) 14. Signifikanztests Gütefunktion Ein Test erfüllt Forderung a), wenn gilt sup g(ϑ) = α ϑ Θ 0 d.h. der Maximalwert der Gütefunktion im Bereich Θ 0 ist gleich α. Beachte: Ist Θ 0 = {ϑ 0 } (einfache Hypothese) g(ϑ 0 ) = α Zur Forderung b): Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art: P(V / B ϑ) = 1 P(V B ϑ) = 1 g(ϑ) für ϑ Θ 1 sollte möglichst klein sein, d.h. g(ϑ) möglichst groß (für ϑ Θ 1 ). Merke: Möglichst kleine g-werte ( α) in Θ 0, möglichst große Werte in Θ Signifikanztests 257

29 14.11 Gütefunktion Ein Signifikanztest zum Niveau α heißt unverfälscht, wenn gilt g(ϑ) α für alle ϑ Θ 1 (124) (W keit, H 0 abzulehnen, ist für ϑ Θ 0 nie größer als für ϑ Θ 1.) 14. Signifikanztests 258 Klausuraufgabe 150 Die Gütefunktion eines Tests sei gegeben durch folgende Wertetabelle: ϑ 0 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 0,9 1 g(ϑ) 1 0,9 0,8 0,1 0,03 0,15 0,85 0,95 1 Zwischen den gegebenen Punkten verläuft die Gütefunktion linear. a) Zeichnen Sie die Gütefunktion. b) Bestimmen Sie ein Signifikanzniveau α und ein Hypothesenpaar H 0, H 1 so, dass der Test ein unverfälschter Signifikanztest zum Niveau α ist. c) Der Test mit obiger Gütefunktion werde nun (bei geeignetem Signifikanzniveau) für das Testproblem H 0 : ϑ 0,5 gegen H 1 : ϑ < 0,5 verwendet. Halten Sie dies für sinnvoll (mit Begründung)? d) Wie groß ist die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art in der Lösung von Teilaufgabe b)? 14. Signifikanztests 259

30 p-value Abschließende Bemerkung zu Signifikanztests: Statistik-Software verlangt i.d.r. keine Vorgabe des Signifikanzniveaus α Stattdessen: Ausgabe des sog. p-value α α ist das kleinste Signifikanzniveau, zu dem bei dieser Stichprobe H 0 abgelehnt würde. Entscheidungsregel: α α α < α H 0 verwerfen H 0 nicht verwerfen Je kleiner α, desto signifikanter! 14. Signifikanztests Geschichtete Stichproben Gegeben: Grundgesamtheit G vom Umfang N mit µ unbekannt (soll geschätzt werden) k Teilgesamtheiten G 1,...,G k mit Umfängen N 1,...,N k und Stichprobenmittel X 1,..., X k ; mittlere quadr. Abweichungen σ 2 1,..., σ 2 k Gesucht: Aufteilung n 1,..., n k des Gesamtstichprobenumfangs n Schätzfunktion für µ deren Varianz (Gütekriterium) Unterscheide: Stichproben mit / ohne Zurücklegen Vorgabe von n / Vorgabe eines Budgets c 18. Stichprobenplanung 261

31 18.2 Geschichtete Stichproben Konventionelle Schätzung: ˆΘ = X = 1 n (keine Aufteilung von n) Schichtungseffekt: Genauigkeitsgewinn durch Verwendung einer geschichteten Stichprobe Dann: Schichtschätzfunktion n i=1 X i ˆΘ s = 1 N k N i X i (146) i=1 E( ˆΘ s ) = µ, unabhängig ob Ziehen mit / ohne Zurücklegen 18. Stichprobenplanung Geschichtete Stichproben Varianz: Var( ˆΘ s ) = 1 N 2 1 N 2 k i=1 k i=1 N 2 i N 2 i σ 2 i n i, falls Ziehen mit Zurücklegen σ 2 i n i Ni n i N i 1, falls Ziehen ohne Zurücklegen Problem: Wähle n 1,..., n k so, dass Var( ˆΘ s ) minimal n n k = n n i 1 (i = 1,...,k) bei Ziehen mit ohne Zurücklegen zusätzlich: n i N i (i = 1,..., k) 18. Stichprobenplanung 263

32 Proportionale Aufteilung Wähle n i proportional zu N i : Damit: n i = n N i N Var( ˆΘ s ) Var( X) Aber: Var( ˆΘ s ) erreicht Minimum nicht Proportionale Aufteilung ist i.a. nicht optimal. Sinnvoll, wenn die σ i unbekannt (bzw. gleich) sind. 18. Stichprobenplanung 264 Optimale Aufteilung n wird vorgegeben Erhebungskosten werden nicht berücksichtigt. Falls Stichprobe mit Zurücklegen: n i = n N iσ i (i = 1,..., k) (150) k N i σ i i=1 Falls Stichprobe ohne Zurücklegen: n i = n N i σ i Ni N i 1 k i=1 N i σ i Ni N i 1 (i = 1,...,k) (151) Ergebnisse ggfs. runden 18. Stichprobenplanung 265

33 Allgemeine optimale Aufteilung Gegeben: Budget c sowie Erhebungskosten c i pro Einheit in Schicht i Ersetze n n k = n durch die Budgetrestriktion c 1 n c k n k = c Falls Stichprobe mit Zurücklegen: n i = c k N i σ i ci } i=1 {{ } =α N i σ i ci (i = 1,...,k) (152) Falls c 1 = = c k resultiert (150) mit n = c c i Falls c 1 = = c k und σ 1 = = σ k resultiert proportionale Aufteilung 18. Stichprobenplanung 266 Klausuraufgabe 160 a) bis c) Der mittlere Zeitaufwand µ für die Vorbereitung einer Statistikklausur (in Stunden) in einer Grundgesamtheit von N = 350 Studierenden soll mittels einer Stichprobe vom Umfang n = 20 mit Zurücklegen geschätzt werden. Die mittlere quadratische Abweichung des Untersuchungsmerkmals in der Grundgesamtheit betrage σ 2 = 900. a) Mit welcher Standardabweichung der Schätzfunktion X muss man beim Ziehen einer einfachen Stichprobe gemäß reiner Zufallsauswahl rechnen? Die Grundgesamtheit zerfalle nun in die drei Schichten der Genialen (N 1 = 70), der Fleißigen (N 2 = 210) und der Intuitiven (N 3 = 70). Für die zugehörigen mittleren quadratischen Abweichungen der Schichten gelte: σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2 3 = 1 5 σ2. b) Wie soll n optimalerweise auf die drei Schichten aufgeteilt werden? c) Wie groß ist der Genauigkeitsgewinn bei der Schätzung von µ, der sich durch die Berücksichtigung der Schichtung erzielen lässt? 18. Stichprobenplanung 267