Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens

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1 in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2014 Hochschule Augsburg

2 : Gliederung 1 Finanzmathematik 2 Lineare Programme 3 Differentialgleichungen 4 Statistik: 5 Deskriptive Statistik 6 Wahrscheinlichkeitstheorie 7 Induktive Statistik 7 Induktive Statistik

3 der induktiven Statistik Beispiel Vollerhebung of unmöglich, Deshalb: Beobachte Teilgesamtheit und schließe auf Grundgesamtheit Warensendung von 1000 Stück; darunter M Stück Ausschuss. M ist unbekannt. Zufällige Entnahme von n = 30 Stück ( Stichprobe ). Darunter 2 Stück Ausschuss. Denkbare Zielsetzungen: 2 Schätze M durch eine Zahl (z.b = 66,67) Schätze ein Intervall für M (z.b. M [58; 84]) Teste die Hypothese, dass M > 50 ist. 208

4 Grundbegriffe Grundgesamtheit (G): Menge aller relevanten Merkmalsträger. Verteilung von G: F(x) = P(X x) = Wahrscheinlichkeit, dass ein Merkmalsträger ausgewählt wird, der beim untersuchten Merkmal maximal die Ausprägung x aufweist. Uneingeschränkte (reine) Zufallsauswahl: Jedes Element von G hat die selbe Chance, ausgewählt zu werden. Stichprobenumfang (n): Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe. Einfache Stichprobe: Uneingeschränkte Zufallsauswahl und unabhängige Ziehung. Alle Stichprobenvariablen X 1,..., X n sind iid. Stichprobenergebnis: n-tupel der Realisationen der Stichprobenvariablen, (x 1,..., x n ). 209

5 Wichtige Stichprobenfunktionen Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n, Beliebige Verteilung mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ 2 Stichprobenfunktion V Bezeichnung E(V) Var(V) n X i Merkmalssumme nµ nσ 2 i=1 X = 1 n σ 2 X i Stichprobenmittel µ n n i=1 X µ n Gauß-Statistik 0 1 σ 1 n (X i µ) 2 mittlere quadr. Abw. bezüglich µ σ 2 n i=1 1 n (X i X) 2 n 1 mittlere quadr. Abw. n n σ2 i=1 S 2 = 1 n (X i X) 2 Stichprobenvarianz σ 2 n 1 i=1 S = S 2 Stichproben-Standardabw. X µ n S t-statistik 210

6 Testverteilungen Chi-Quadrat-Verteilung Sind X 1,..., X n iid N(0; 1)-verteilte Zufallsvariablen, so wird die Verteilung von n Z = i=1 als Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet. X 2 i 0,1 0,05 f(x) x Kurzschreibweise: Z χ 2 (n) Beispiel: χ 2 (30): x 0,975 = 46,98 211

7 Quantilstabelle der χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden α\n α\n

8 Testverteilungen: t-verteilung Ist X N(0; 1), Z χ 2 (n), X, Z unabhängig, so wird die Verteilung von T = X 1 n Z als t-verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet. 0,2 f(x) William Sealy Gosset ,1 x Kurzschreibweise: T t(n) Beispiel: t(10) x 0,6 = 0,260, x 0,5 = 0, x 0,1 = x 0,9 = 1,

9 Quantilstabelle der t-verteilung mit n Freiheitsgraden α\n

10 t-verteilung vs. Normalverteilung Dichtefunktion t-verteilung mit 1 (blau), 3 (grün) und 10 (lila) Freiheitsgraden Standardnormalverteilung (rot) dnorm(x) x 215

11 Ein unbekannter Parameter ϑ der Verteilung von G soll auf Basis einer Stichprobe geschätzt werden. Zum Beispiel: σ von N(10; σ) Schätzwert: ˆϑ Vorgehen: Verwendung einer Schätzfunktion ˆΘ = g(x 1,..., X n ) Beachte: Der Schätzwert ˆϑ ist die Realisierung der ZV (!) ˆΘ. Frage: Welche Stichprobenfunktion ist zur Schätzung geeignet? Kriterien für die Beurteilung/Konstruktion von Schätzfunktionen! Im Folgenden: Vorliegen einer einfachen Stichprobe, d.h. X 1,..., X n iid. 216

12 Erwartungstreue und Wirksamkeit Eine Schätzfunktion ˆΘ = g(x 1,..., X n ) heißt erwartungstreu oder unverzerrt für ϑ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt: E( ˆΘ) = ϑ Beispiel Sind ˆΘ = X, ˆΘ = X 1+X n 2, ˆΘ = 1 n 1 a) ˆΘ: E( X) = µ ˆΘ ist erwartungstreu. b) ˆΘ : E ( X 1 +X n 2 ˆΘ ist erwartungstreu. ( c) ˆΘ : E n ) X i n 1 n 1 i=1 n X i erwartungstreu für µ? i=1 ) = 1 2 [E(X 1) + E(X n)] = 1 2 = 1 n 1 i=1 ˆΘ ist nicht erwartungstreu E(X i ) = 1 n 1 (µ + µ) = µ n i=1 µ = n n 1 µ µ 217

13 Erwartungstreue und Wirksamkeit Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen ˆΘ, ˆΘ ist besser? Von zwei erwartungstreuen Schätzfunktionen ˆΘ, ˆΘ für ϑ heißt ˆΘ wirksamer als ˆΘ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt: Beispiel: ( ˆΘ = X, Wegen Var( ˆΘ) = Var( X) Var( ˆΘ ) = Var ( X 1 +X n 2 ˆΘ = X 1+X n 2 ) ) = 1 Var( ˆΘ) < Var( ˆΘ ) = σ2 n 4 (σ2 + σ 2 ) = σ2 2 Var( ˆΘ) < Var( ˆΘ ) (falls n > 2) ist ˆΘ wirksamer als ˆΘ. 218

14 Für einen unbekannten Verteilungsparameter ϑ soll auf Basis einer Stichprobe ein Intervall geschätzt werden. Verwendung der Stichprobenfunktionen V u, V o, so dass V u V o und P(V u ϑ V o) = 1 α stets gelten. [V u; V o] heißt Konfidenzintervall (KI) für ϑ zum Konfidenzniveau 1 α. Beachte: Das Schätzintervall [v u; v o] ist Realisierung der Zufallsvariablen (!) V u, V o. Irrtumswahrscheinlichkeit α (klein, i.d.r. α 0,1) Frage: Welche Konfidenzintervalle sind zur Schätzung geeignet? Hängt von Verteilung von G sowie vom unbekannten Parameter (µ, σ 2 ) ab! Im Folgenden: Einfache Stichprobe X 1,..., X n mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ 2 219

15 Wichtiger Spezialfall: Symmetrische Konfidenzintervalle Symmetrisch heißt nicht, dass die Dichte symmetrisch ist, sondern übereinstimmende Wahrscheinlichkeiten für Über-/Unterschreiten des Konfidenzintervalls, d.h. P(V u > ϑ) = P(V o < ϑ) = α 2 f(x) 0,1 0,05 x Wichtig: Eine Verkleinerung von α bewirkt eine Vergrößerung des Konfidenzintervalls. 220

16 Konfidenzintervall für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ 2 Vorgehensweise: 1 Festlegen des Konfidenzniveaus 1 α ( 2 Bestimmung des 1 α ) -Fraktils c der N(0, 1)-Verteilung 2 3 Berechnen des Stichprobenmittels x 4 Berechnen des Wertes σc n 5 Ergebnis der : [ x σc n ; x + σc ] n 221

17 Intervallschätzung: Beispiel Beispiel Normalverteilung mit σ = 2,4 (x 1,..., x 9 ) = (184.2, 182.6, 185.3, 184.5, 186.2, 183.9, 185.0, 187.1, 184.4) Gesucht: Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau 1 α = 0, α = 0,99 2. N(0; 1): c = x 1 α = x 2 1 = x 0,01 0,995 = 2,576 (Tab. 3; 2 Interpolation) 3. x = 1 9 (184, ,4) = 184,8 σc 4. n = 2,4 2,576 9 = 2,06 5. KI = [184,8 2,06; 184,8 + 2,06] = [182,74; 186,86] Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ [182,74; 186,86]. 222

18 Wichtige Fraktilswerte Wichtige N(0; 1)-Fraktilswerte: α x α 0,9 1, ,95 1, ,975 1, ,99 2, ,995 2, (I.d.R. genügen drei Nachkommastellen.) 223

19 Intervalllänge Im Fall gilt offenkundig L = V o V u = 2σc n Welcher Stichprobenumfang n sichert eine vorgegebene (Maximal-)Länge L? Nach n auflösen! ( 2σc n L Eine Halbierung von L erfordert eine Vervierfachung von n! Angewendet auf letztes Beispiel: ) 2 L = 4 n ( ) 2 2,4 2, = 9,556 n 10 L = 2 n ( ) 2 2,4 2, = 38,222 n

20 Konfidenzintervall Konfidenzintervall für µ bei Normalverteilung mit unbekanntem σ 2 Vorgehensweise: 1 Festlegen des Konfidenzniveaus ( 1 α 2 Bestimmung des 1 α 2 ) -Fraktils c der t(n 1)-Verteilung 3 Berechnen des Stichprobenmittels x und der Stichproben-Standardabweichung s 4 Berechnen des Wertes sc n 5 Ergebnis der : [ x sc n ; x + sc ] n Zu Schritt 2: Falls n 1 > 30 wird die N(0; 1)-Verteilung verwendet. 225

21 Konfidenzintervalllänge Beispiel: Wie das letzte Beispiel, jedoch σ unbekannt. 1 1 α = 0,99 2 t(8): c = x 1 α = x 2 1 = x 0,01 0,995 = 3,355 (Tab. 4) 2 3 x = 1 9 (184, ,4) = 184,8 1 s = 8 [(184, ,4 2 ) 9 184,8 2 ] = 1,31 4 sc n = 1,31 3,355 9 = 1,47 5 KI = [184,8 1,47; 184,8 + 1,47] = [183,33; 186,27] Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ [183,33; 186,27]. 226

22 R Beispiel R-Code > # require(mass) > # require(rcolorbrewer) > # palette(brewer.pal(11,"rdylgn")) > # par(oma=c(0,0,0,0)) > # par(cex=3, cex.axis=3, cex.names=3) > x <- c(184.2, 182.6, 185.3, 184.5, 186.2, 183.9, 185.0, 187.1, 184.4) > t.test(x,conf.level=.99) One Sample t-test data: x t = , df = 8, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 99 percent confidence interval: sample estimates: mean of x

23 Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung Voraussetzung: n > 30, bzw. falls G dichotom: 5 n x i n 5 Vorgehensweise: 1 Festlegen des Konfidenzniveaus 1 α 2 Bestimmung des ( ) 1 α 2 -Fraktils c der Standardnormalverteilung N(0; 1) 3 Berechnung des Stichprobenmittels x sowe eines Schätzwertes ˆσ für die Standardabweichung σ der GG mittels σ, falls σ bekannt ˆσ = x(1 x), falls GG dichotom s, sonst 4 Berechnung von ˆσc n 5 Ergebnis der Intervallschätzung: [ x ˆσc ; x + ˆσc ] n n i=1 Zu Schritt 3: Manchmal kann anderer Schätzwert ˆσ sinnvoller sein. 228

24 Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung Beispiel: Poisson-Verteilung mit λ (= µ = σ 2 ) unbekannt. (x 1,..., x 40 ) = (3; 8;... ; 6) Gesucht: KI für λ zum Konfidenzniveau 1 α = 0,9 1 1 α = 0,9 2 N(0; 1) : c = x 1 α = x 2 1 = x 0,1 0,95 = 1, x = 1 ( ) = 6,5 40 ˆσ = x = 6,5 = 2,55 (da σ 2 = λ) ˆσc 2,55 1,645 4 = = 0,66 n 40 5 KI = [6,5 0,66; 6,5 + 0,66] = [5,84; 7,16] 229

25 Konfidenzintervall für σ 2 bei Normalverteilung Vorgehensweise 1 Festlegen eines Konfidenzniveaus 1 a 2 Bestimmung der α 2 - bzw. (1 α 2 )-Fraktile (c 1 bzw. c 2 ) der χ 2 (n 1)-Verteilung 3 Aus der Stichprobe: Berechnung der Größe (n 1)s 2 = n (x i x) 2 = i=1 4 Berechnung des Konfidenzintervalls [ (n 1)s 2 c 2 ; n x 2 i n x 2 v i=1 ] (n 1)s2 c 1 230

26 KI für σ 2 bei Normalverteilung Beispiel: G N(µ; σ); (x 1,..., x 5 ) = (1, 1.5, 2.5, 3, 2) Gesucht: KI für σ 2 zum Konfidenzniveau 1 α = 0, α = 0,99 2 χ 2 (5 1) : c 1 = x α 2 = x 0,005 = 0,21 c 2 = x 1 α 2 = x 0,995 = 14,86 3 x = 1 5 (1 + 1,5 + 2, ) = 2 5 x 2 i 5 x2 = , , = 2,5 i=1 [ ] 2,5 4 KI = 14,86 ; 2,5 = [ 0,17; 11,9 ] 0,21 (Extrem groß, da n klein.) 231

27 Vorliegen einer Hypothese über die Verteilung(en) der Grundgesamtheit(en). Beispiele: Der Würfel ist fair. Die Brenndauern zweier unterschiedlicher Glühbirnensorten sind gleich. Hypothese soll anhand einer Stichprobe überprüft werden. Prinzip: Hypothese verwerfen, wenn signifikanter Widerspruch zur Stichprobe. Ansonsten: Hypothese nicht verwerfen. Eine verworfene Hypothese gilt als statistisch widerlegt. Nicht-Verwerfung ist dagegen ein Freispruch aus Mangel an Beweisen. Zu Beachten: Nicht-Verwerfung ist kein statistischer Beweis, dass Hypothese wahr ist! ( Trick : Hypothese falsch Gegenhypothese wahr!) 232

28 Einstichproben-Gaußtest Zunächst: G N(µ; σ) mit σ bekannt Einfache Stichprobe X 1,..., X n (Null-)Hypothese H 0 : µ = µ 0 Beispiel: X 1,..., X 25 mit X i = Füllmenge der i-ten Flasche N(µ; 1,5) Nullhypothese H 0 : µ = 500, d.h. µ 0 = 500 Je nach Interessenlage sind unterschiedliche Gegenhypothesen möglich: a) H 1 : µ µ 0 b) H 1 : µ < µ 0 c) H 1 : µ > µ 0 Entscheidung: H 0 : µ = µ 0 wird abgelehnt gegenüber a) H 1 : µ µ 0, wenn x µ 0 sehr groß ist b) H 1 : µ < µ 0, wenn x weit kleiner als µ 0 ist c) H 1 : µ > µ 0, wenn x weit größer als µ 0 ist 233

29 Einstichproben-Gaußtest Alternatives Kriterium: v = x µ 0 n σ Vorteil: Verteilung bekannt: N(0; 1) Dann: H 0 : µ = µ 0 wird abgelehnt gegenüber a) H 1 : µ µ 0, wenn v sehr groß ist b) H 1 : µ < µ 0, wenn v sehr negativ ist c) H 1 : µ > µ 0, wenn v sehr positiv ist H 0 richtig H 0 falsch Mögliche Fehlentscheidungen Ablehnung von H 0, obwohl H 0 richtig ist: Fehler 1. Art Nicht-Ablehnung von H 0, obwohl H 0 falsch ist: Fehler 2. Art H 0 beibehalten H 0 ablehnen H 0 beibehalten H 0 ablehnen Signifikanzniveau α: Maximal erlaubte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art. 234

30 Einstichproben-Gaußtest Mithilfe von α und V kann geklärt werden, was sehr groß usw. heißt: Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art im Fall a): v > x, obwohl H 0 richtig: P( V > x) = P(V > x) + P(V < x) = 2 P(V > x) (Symmetrie der Normalverteilung) = 2 [1 P(V x)] = 2 [1 Φ(x)]! = α Φ(x) = 1 α 2 x = x 1 α 2 H 0 wird demnach verworfen, wenn v > x 1 α bzw. v B ist. 2 B = ( ; x 1 α ) (x 2 1 α ; ) heißt Verwerfungsbereich. 2 Analoge Vorgehensweise für die Fälle b) und c) 235

31 Einstichproben-Gaußtest Rezept 1 Ein Signifikanzniveau α wird festgelegt. 2 Der Testfunktionswert v = x µ 0 n wird berechnet. σ 3 Der Verwerfungsbereich B = ( ; x 1 α/2 ) ( x1 α/2 ; ) im Fall a) B = ( ; x 1 α ) im Fall b) B = (x 1 α ; ) im Fall c) wird festgelegt, wobei x 1 α/2 bzw. x 1 α das (1 α/2)- bzw. das (1 α)-fraktil der N(0,1)-Verteilung ist. 4 H 0 wird genau dann verworfen, wenn v B gilt. 236

32 Einstichproben-Gaußtest Beispiel: X 1,..., X 25 mit X i N(µ; 1,5) und x = 499,28 Prüfe H 0 : µ = 500, H 1 : µ 500 zum Signifikanzniveau α = 0,01 Lösung: Einstichproben-Gaußtest, Fall a) 1 α = 0,01 2 v = 499, ,5 25 = 2,4 3 N(0; 1) : x 1 α 2 = x 1 0,005 = x 0,995 = 2,576 B = ( ; 2,576) (2,576; ) 4 v / B H 0 nicht verwerfen Interpretation: Zum Signifikanzniveau 1 % kann der Brauerei keine Abweichung vom Sollwert µ 0 = 500 nachgewiesen werden. 237

33 Aufbau und Klassifikation von Der jeweils geeignete Test hängt ab von... dem zu testenden Hypothesenpaar H 0, H 1 ; unterscheide: Parametrische Hypothesen: Beziehen sich auf unbekannte(n) Verteilungsparameter (µ, σ 2,... ) Nichtparametrische Hypothesen: Beinhalten sonstige Aussagen, z.b. Alter und Einkommen sind unabh. den Voraussetzungen an die Verteilung/parameter (z.b. G N(µ; σ)) den Voraussetzungen an den Stichprobenumfang (z.b. n > 30) Art und Anzahl der Stichproben; unterscheide: bei einer einfachen Stichprobe bei mehreren unabhängigen Stichproben bei zwei verbundenen Stichproben In dieser Vorlesung: Nur einfache Stichproben 238

34 Klassifizierung von bei einer einfachen Stichprobe G ist N(µ, σ)-verteilt G ist dichotom und 5 x i n 5 σ bekannt σ unbekannt Einstichproben Gaußtest Einstichproben t-test H 0 : µ = µ 0 Approximativer Gaußtest eine einfache Stichprobe parametrisch nicht parametrisch H 0 : σ 2 = σ 2 0 G ist beliebig verteilt und n > 30 G ist N(µ, σ)-verteilt Approximativer Gaußtest χ 2 -Test für die Varianz H 0 : F genügt einem Verteilungstyp (z.b. einer Normalverteilung) χ 2 -Anpassungstest (Umfangreichere Übersicht über alle möglichen Fälle siehe Bamberg u. a. (2011), Seite 171ff.) 239

35 Einstichproben-t-Test und approximativer Gaußtest Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ 2 Hypothesenpaare: mit a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 b) H 0 : µ = µ 0 (oder µ µ 0 ), H 1 : µ < µ 0 c) H 0 : µ = µ 0 (oder µ µ 0 ), H 1 : µ > µ 0 Voraussetzungen: 1 Normalverteilung mit σ unbekannt (Einstichproben-t-Test) oder 2 Beliebige Verteilung mit n > 30 bzw. 5 x i n 5 (bei B(1; p)) (approximativer Gaußtest) 240

36 Einstichproben-t-Test, approximativer Gaußtest Ablauf: 1 Festlegen des Signifikanzniveaus α 2 Berechnen des Testfunktionswertes: v = x µ 0 n s x µ 0 n σ x µ 0 n falls GG gemäß B(1; µ)-verteilt, n > 30 µ0 (1 µ 0 ) 3 Festlegen des Verwerfungsbereichs B: falls Grundgesamtheit N(µ; σ)-verteilt, σ unbekannt oder falls Verteilung der GG beliebig, n > 30, σ unbekannt falls Verteilung der GG beliebig, n > 30, σ bekannt Falls H 1 : µ µ 0 : B = ( ; x 1 α/2 ) (x 1 α/2 ; ) Falls H 1 : µ < µ 0 : B = ( ; x 1 α ) Falls H 1 : µ > µ 0 : B = (x 1 α ; ) Dabei steht x 1 α/2 bzw. x 1 α für das jeweilige Fraktil der t(n 1)-Verteilung bei n 29 bzw. der N(0; 1)-Verteilung bei n

37 Einstichproben-t-Test: Beispiel Beispiel t-test: Energieaufnahme von Frauen Empfohlene täglich Energieaufnahme für Frauen: 7724 kj (1845 kcal) Nehme einfache Stichprobe von 11 Frauen und teste zum Signifkanzniveau α = 0,05 für H 0 : Der Erwartungswert der täglichen Energieaufnahme für Frauen ist 7724 kj (µ 0 ) gegen H 1 : µ µ 0 [1] One Sample t-test data: daily.intake t = , df = 10, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x

38 Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest Beispiel: X 1,..., X 2000 B(1; p) mit { 1, falls i-te Person Wähler einer bestimmten Partei X i = 0, sonst Ergebnis der Stichprobe: 2000 x i = 108 i=1 Prüfe H 0 : p 0,05 gegen H 1 : p > 0,05 zum Signifikanzniveau 2 % Lösung: approximativer Gaußtest bei dichotomer (zweiwertiger) Verteilung; Voraussetzung 2 erfüllt: α = 0,02 2 v = ,05 0,05 (1 0,05) 2000 = 0,82 3 N(0; 1) : x 1 α = x 0,98 = 2,05 (Tabelle) B = (2,05; ) 4 v / B H 0 nicht verwerfen Zusatzfrage: Entscheidung, falls α = 0,01? Keine Änderung! 243

39 Chi-Quadrat-Test für die Varianz Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n N(µ; σ) Hypothesenpaare: a) H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 b) H 0 : σ 2 = σ 2 0 (oder σ 2 σ 2 0), H 1 : σ 2 < σ 2 0 c) H 0 : σ 2 = σ 2 0 (oder σ 2 σ 2 0), H 1 : σ 2 > σ 2 0 Vorgehensweise: 1 Festlegen des Signifikanzniveaus α. 2 Berechnung des Testfunktionswertes: (n 1)s2 v = σ 2 0 = 1 σ 2 0 n (x i x 2 ) i=1 3 Festlegen des Verwerfungsbereichs: B = [ 0; x α/2 ) ( x1 α/2 ; ) im Fall a) B = [0; x α) im Fall b) B = (x 1 α ; ) im Fall c) 244

40 Chi-Quadrat-Test für die Varianz Beispiel: G N(µ; σ) (x 1,..., x 10 ) = (2100; 2130; 2150; 2170; 2210; 2070; 2230; 2150; 2230; 2200) Prüfe H 0 : σ = 40, H 1 : σ 40 zum Signifikanzniveau α = 0,1 Lösung: χ 2 -Test für die Varianz, Hypothese Fall a); Voraussetzungen sind erfüllt 1 α = 0,1 2 x = 1 10 ( ) = 2164 v = [( ) ( ) 2 ] = 16,65 3 χ 2 (9) : x α 2 = x 0,05 = 3,33; x 1 α 2 = x 0,95 = 16,92 (Tabelle der χ 2 -Verteilung) 4 v / B H 0 nicht verwerfen B = [0; 3,33) (16,92; ) 245

41 Zwei verbundene einfache Stichproben: Kontingenztest Situation: In Grundgesamtheit G: Zwei verbundene einfache Stichproben, also Beobachtung zweier Merkmale X, Y Hypothese: H 0 : Die beiden Merkmale X und Y sind in G unabhängig. H 1 : X und Y sind in G abhängig. Vorgehensweise Kontingenztest: 1 Festlegen des Signifikanzniveaus α. 2 Unterteilung der x-achse in k 2 und die y-achse in l 2 disjunkte, aneinander angrenzende Intervalle A 1,..., A k bzw. B 1,..., B l 3 Erstellen einer Kontingenztabelle mit Randhäufigkeiten: x y B 1 B 2 B l A 1 h 11 h 12 h 1l h 1 A 2 h 21 h 22 h 2l h A k h k1 h k2 h kl h k h 1 h 2 h l n 246

42 Zwei verbundene einfache Stichproben: Kontingenztest Vorgehensweise Kontingenztest (Fortsetzung): 4 Zu jeder Kombination aus i = 1,..., k und j = 1,..., l: Berechnung der Größe h ij = h i h j n 5 Berechnung des Testfunktionswerts v: v = k i=1 j=1 ( ) l 2 h ij h ij = h ij k l i=1 j=1 h 2 ij h ij n 6 Mit dem Fraktilswert x 1 α der χ 2 -Verteilung mit (k 1) (l 1) Freiheitsgraden: Berechnung des Verwerfungsbereichs B = (x 1 α ; ) 7 Ablehnung von H 0 genau dann, wenn v B. 247

43 Zwei verbundene einfache Stichproben: Kontingenztest Kontingenztest: Beispiel 400 Erstkandidaten einer praktischen Führerscheinprüfung schneiden abhängig von der besuchten Fahrschule folgendermaßen ab: Fahrschule A B C bestanden durchgefallen Zum Signifikanzniveau von 5 % soll getestet werden, ob das Bestehen der Prüfung unabhängig von der besuchten Fahrschule ist. Testdurchführung 1 Signifikanzniveau α = 5 % 2 entfällt, da Skalenniveau nominal 3 Kontingenztabelle: A B C best durchg Berechnung der h ij : A B C best ,2 51,8 durchg ,8 22,2 ( )2 5 v = (12 22,2)2 + 22,2 9,077 6 χ 2 -Verteilung mit (3 1) (2 1) = 2 Freiheitsgraden: x 1 0,05 = x 0,95 = 5,99: B = (5,99; ) 7 v B: Also wird H 0 abgelehnt, die Prüfungsergebnisse sind abhängig von der Fahrschule. 248

44 Binomialverteilung X B(n; p), Verteilungsfunktion F(x) = P(X x) n = 2 x p n = 3 x p n = 4 x p n = 5 x p Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 249

45 Binomialverteilung X B(n; p), Verteilungsfunktion F(x) = P(X x) n = 6 x p n = 7 x p n = 8 x p Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 250

46 Binomialverteilung X B(n; p), Verteilungsfunktion F(x) = P(X x) n = 10 x p n = 15 x p Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 251

47 Binomialverteilung X B(n; p), Verteilungsfunktion F(x) = P(X x) n = 20 x p Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 252

50 Poissonverteilung X λ P(λ), Verteilungsfunktionen F λ (x) = P(X λ x) x λ x λ Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 255

51 Poissonverteilung X λ P(λ), Verteilungsfunktionen F λ (x) = P(X λ x) x λ Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 256

52 Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung Dabei bedeutet Φ(x) zum Beispiel: Φ(2,13) = Φ(2,1 + 0,03) = 0,9834. Diesen Wert findet man in der Zeile mit x 1 = 2,1 und der Spalte mit x 2 = 0,03. x 1 \x Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 257

53 α-fraktile der χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden α \ n α \ n Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 258

54 α-fraktile der t-verteilung mit n Freiheitsgraden n \ α Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 259

55 α-fraktile der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden ν 1 und ν 2 α =0,95 ν 1 \ν α =0,99 ν 1 \ν Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 260

56 übersicht Bücher Bamberg, Günter, Franz Baur und Michael Krapp (2011). Statistik. 16. Aufl. München: Oldenbourg Verlag. ISBN: Fahrmeir, Ludwig, Rita Künstler, Iris Pigeot und Gerhard Tutz (2009). Statistik: Der Weg zur Datenanalyse. 7. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer. ISBN: Luderer, Bernd (2003). Starthilfe Finanzmathematik. Zinsen, Kurse, Renditen. 2. Aufl. Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden: Teubner. Opitz, Otto (2004). Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Aufl. München: Oldenbourg. 261

57 übersicht zu Bildern und Daten Anscombe, Francis (1973). Graphs in Statistical Analysis. In: The American Statistician, S Bach, Axel, Reinhard Brüning, Katrin Krieft, Hilmar Liebsch und Martin Rosenberg (2006). Mit Zahlen lügen. URL: quarks/sendungsbeitraege/2006/1017/000_zahlen.jsp. Fahrmeir, Ludwig, Rita Künstler, Iris Pigeot und Gerhard Tutz (2009). Statistik: Der Weg zur Datenanalyse. 7. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer. ISBN: Kramer, Walter (2011). So lügt man mit Statistik Piper Verlag. ISBN: 262