Umdruck zur Vorlesung: Grundlagen der Wärmeübertragung

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1 Umdruck zur Vorlesung: Grundlagen der Wärmeübertragung apl. Prof. Dr.-Ing. K. Spindler Dipl.-Ing. A. Frank Institut für Thermodynamik und Wärmetechnik Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 6, Stuttgart Version:

2 Inhaltsverzeichnis dimensionslose Kennzahlen Wärmeleitung Herleitung der Gleichungen für Temperaturfelder (reine Wärmeleitung) Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Stoffe Kontaktkoeffizienten für verschiedene Materialpaarungen als Funktion des Anpressdrucks Formkoeffizienten der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung Wärmeleitung durch Rippen instationäre, eindimensionale Wärmeleitung: Spezialfälle unendliche Platte unendlicher Zylinder Bi unendlich halbunendlicher Körper, Kurzzeitlösung: Abkühlung einer Platte konvektiver Wärmeübergang Erhaltungssätze für strömende Fluide Kontinuitätsgleichung Energiegleichung Impulsgleichung (Bewegungsgleichungen), Navier-Stokes-Gleichungen Prandtl sche Grenzschichttheorie hydraulische Durchmesser für verschiedene Geometrien Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion freie Konvektion an einer senkrechten Wand Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für freie Konvektion Nu-Korrelationen für freie Konvektion Kondensation Filmkondensation an einer senkrechten Wand: Nusselt sche Wasserhauttheorie Nu-Korrelationen für Kondensation Sieden Nukiyama-Diagramm und Nu-Korrelationen für Behältersieden Strömungsformen und Nusselt-Korrelationen für Strömungssieden typische -Werte Wärmestrahlung Herleitung des Strahlungsaustauschs zwischen zwei parallelen Platten Strahlungsaustausch für verschiedene Geometrien Emissionsverhältnisse verschiedener Stoffe Herleitung der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz für Gleichstrom...56

3 Literatur zur Vorlesung [1] Baehr, H.D./Stephan, K. (Springerlink) Wärme- und Stoffübertragung Springer Verlag 2010 [2] Baehr, H.D./Stephan, K. Heat and Mass Transfer (englische Version von [1]) Springer Verlag 2011 [3] Böckh, P.v./ Wetzel, T. (Springerlink) Wärmeübertragung Springer Verlag, 2011 [4] Herwig H./ Moschallski, A. (Springerlink) Wärmeübertragung Springer Verlag, 2006 [5] Incropera, F.P./ DeWitt, D.P. Introduction to Heat Transfer 5 th Edition, John Wiley & Sons, New York, 2007 [6] Marek, R./ Nitsche, K. Praxis der Wärmeübertragung Carl Hanser Verlag München, 2007 [7] Merker, G.P./ Eiglmeier, C. Fluid- und Wärmetransport Wärmeübertragung B.G. Teubner, Stuttgart, Leipzig, 1999 [8] Polifke, W./ Kopitz, J. Wärmeübertragung Pearson Studium, 2005 [9] Wagner, W. Wärmeübertragung Vogel Verlag 5. Auflage, Würzburg 1998 Konvektion [10] Merker, G.P. Konvektive Wärmeübertragung Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1987 Konvektion mit Phasenübergang [11] Stephan, K. Wärmeübergang beim Kondensieren und Sieden Springer Verlag, Berlin, 1988 Strahlung [12] Siegel, R./ Howell, J.R./ Lorengel, J. Wärmeübertragung durch Strahlung Teil 1: Grundlagen und Materialeigenschaften Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1987 Wärmeleitung [13] Tautz, H. Wärmeleitung und Temperaturausgleich Verlag Chemie GmbH, Weinheim/Bergstr., 1971 Nachschlagewerke [14] Rohsenow, W.M./ Hartnett, J.P./ Handbook of Heat Transfer Young I.C 3 rd Edition, McGraw Hill Book Co., New York, 1998 [15] VDI-Wärmeatlas (Springerlink) Berechnungsbeiblätter für den Wärmeübergang VDI-Verlag, 10. Auflage 2006 [16] VDI Heat Atlas (Springerlink) Berechnungsbeiblätter für den Wärmeübergang 2 nd Edition, VDI-Verlag, 2010

4 Formelzeichen a c m 2 /s Temperaturleitfähigkeit A, f m 2 Fläche ( c) 2 Ws 1/2 /m 2 K Wärmeeindringkoeffizient B m Breite, Tiefe c J/kgK spezifische Wärmekapazität C 1,2 W/m 2 K 4 Strahlungsaustauschkonstante c i kg/m 3, kmol/m 3 Konzentration C Konstante C s W/m 2 K 4 Strahlungskonstante des schwarzen Körpers d, D m Durchmesser d h m hydraulischer Durchmesser D w m Durchmesser der Rohrwendel D m 2 /s Diffusionskoeffizient E J Energie W Energiestrom F N Kraft F p N Druckkraft F * m Formkoeffizient - Formfaktor g m/s 2 Erdbeschleunigung H m Höhe h J/kg spezifische Enthalpie i W/m 2 Intensität i W/m 2 m monochromatische Intensität k W/m 2 K Wärmedurchgangskoeffizient l, L m Länge M kg Masse kg/s Massenstrom kg/m 2 s Massenstromdichte p Pa, bar, N/m 2 Druck P W Leistung Q J Wärmemenge W Wärmestrom W/m 2 Wärmestromdichte W/m 2 Wärmestromdichte an der Wandoberfläche

5 W/m 3 Quellendichte r, R m Radius s m Spaltbreite t s Zeit t s Zeitdifferenz T K thermodynamische Temperatur T s K Sättigungstemperatur bei geg. Druck T w K Wandtemperatur u J/kg spezifische innere Energie U m Umfang V m 3 Volumen v m 3 /kg spezifisches Volumen w m/s Geschwindigkeit w p J/kg spezifische Druckänderungsarbeit m/s Geschwindigkeit der ungestörten Strömung x m Koordinate ab Beginn Wandströmung m Koordinate ab Beginn Wandheizung y m Ortskoordinate Z Zustandsgröße W/m 2 K W/m 2 K W/m 2 K Wärmeübergangskoeffizient * - Absorptionsgrad mittlerer Wärmeübergangskoeffizient örtlicher Wärmeübergangskoeffizient 1/K isobarer thermischer Ausdehnungskoeffizient m/s Stoffübergangskoeffizient Neigungswinkel m Grenzschichtdicke - Emissionsgrad Pas, Ns/m 2, kg/ms Pas, Ns/m 2, kg/ms Pas, Ns/m 2, kg/ms dynamische Viskosität dynamische Viskosität bei Fluidtemperatur dynamische Viskosität bei Wandtemperatur - Sichtfaktor, Einstrahlzahl 1/s 2 Dissipationsfunktion C Temperatur C Bezugstemperatur für Stoffwerte

6 C Anfangstemperatur C Rippentemperatur C Temperatur der ungestörten Strömung C Temperatur der Wandoberfläche C mittlere Eintrittstemperatur 2 C mittlere Austrittstemperatur - 2 K Temperaturänderung eines Fluids - 2 K Temperaturdifferenz, Übertemperatur W/mK Wärmeleitfähigkeit m 2 /s kinematische Viskosität - Druckverlustbeiwert kg/m 3 Dichte kg/m 3 Fluiddichte bei Wandtemperatur - Reflexionsgrad N/m Oberflächenspanung W/m 2 K 4 Stefan-Boltzmann-Konstante ( 2 ) - W 2 - Isentropenexponent N/m 2 Schubspannung - Transmissionsgrad weitere Indizes D F G R x,y,z Stoffdaten des Dampfes Stoffdaten der Flüssigkeit Stoffdaten des Gases Rippe Vektorkomponente in x-/y-/z-richtung Superscripts gesättigte Flüssigkeit (x=0) gesättigter Dampf (x=1)

7 mathematische Hilfsmittel und Operatoren Divergenz eines Vektorfeldes (Skalar) ( ) Gradient eines Skalars (Vektor) [ ] Laplace-Operator eines Skalars (Skalar) ( ) Nabla-Operator eines Skalars Nabla-Operator eines Vektors ( ) partielle Ableitung Rotation eines Vektorfeldes (Vektor) ( ) [ ] Satz von Taylor substantielle Ableitung (vgl. totale Ableitung) totale Ableitung einer Zustandsgröße nach der Zeit

8 dimensionslose Kennzahlen Archimedes-Zahl Biot-Zahl ( des Feststoffs) Euler-Zahl Fourier-Zahl Froude-Zahl Galilei-Zahl Grashof-Zahl Graetz-Zahl Jakob-Zahl Kondensations-Zahl Lewis-Zahl Nußelt-Zahl ( des Fluids) Peclet-Zahl Prandtl-Zahl Rayleigh-Zahl Reynolds-Zahl Schmidt-Zahl Sherwood-Zahl Stanton-Zahl Weber-Zahl 1

9 1. Wärmeleitung 1.1 Herleitung der Gleichungen für Temperaturfelder (reine Wärmeleitung) qz dz infinitesimaler Würfel mit den Kantenlängen dx, dy, dz qy dy qx qx dx z y x qy qz Energiebilanz ( ) ( ) ( ) (1) volumenbezogene Wärmequelle volumenbezogene Wärmesenke ourier sches Gesetz (2) (3) (4) Satz von Taylor (nach erstem Glied abgebrochen) (5) (6) 2

10 (7) innere Energie für Feststoffe und Flüssigkeiten (8) setzt man die Gleichungen (2)-(8) in (1) ein, so folgt für konstante Stoffwerte mit [ ] volumenbezogene Wärmequelle volumenbezogene Wärmesenke Zusammenstellung der Gleichungen für den allgemeinen Fall eines Temperaturfeldes mit konstanten Stoffwerten kartesische Koordinaten [ ] Zylinder-Koordinaten [ ] Kugel-Koordinaten [ ] 3

11 1.2 Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Stoffe 4

12 1.3 Kontaktkoeffizienten für verschiedene Materialpaarungen als Funktion des Anpressdrucks aus: [14] 5

13 1.4 Formkoeffizienten der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung ebene Wand koaxiale Rohre exzentrische Rohre Rohr im Dreickskanal Rohr im quadratischen Kanal Quadratischer Kanal in einem Rohr 6

14 konzentrische Quadrate für für Rohr in einem Rechteck-Kanal b/a 1 1, K 0,0829 0, ,0037 0, ,01* Rohr im ausgedehnten Medium Rohr im Erdboden Hohlkugel Einzelkugel im ausgedehnten Medium Zwei Kugeln im unendlich ausgedehnten Medium Literatur: International Journal of Heat and Mass Transfer Vol. 18 (1975) pp

15 1.5 Wärmeleitung durch Rippen QG dqkonv Q QR Qx Qx dx dx L Energiebilanz für ein infinitesimales Rippenelement (Annahme: Temperatur über Querschnittsfläche A konstant) mit (1) (2) ( ) ( ( ) ) (3) (4) (2), (3), (4) in (1) eingesetzt folgt für konstante Querschnittsfläche, konstanten Umfang mit der Übertemperatur und Mit den Randbedingungen (Rippengrundfläche und Rippenfuß haben dieselbe Temperatur) und (adiabate Rippenspitze) lautet die Lösung für die DGL [ ] Rippenwirkungsgrad Wegen des Wärmeleitwiderstands ist die Temperatur der Rippe Rippengrundfläche kleiner als die Temperatur an der Wärmestrom durch berippte Geometrie (vgl. Skizze) 8

16 1.6 instationäre, eindimensionale Wärmeleitung: Spezialfälle Normierung: für einfache Geometrie (unendliche Platte, Zylinder, Kugel): Reihenentwicklung θ θ(x t) Bi<<1 (Wärmeleitwiderstand bzw. Temperaturgefälle im Körper vernachlässigbar) θ θ(t): Θ exp ( αa mc p t) Bi>>1 (Wärmeleitwiderstand dominant) für t oder t Error-Funktion θ θ(x t) 9

17 1.6.1 unendliche Platte X Q Q x Normierung: Anfangsbedingung: Randbedingungen: Lösung: Eigenwerte für verschiedene -Zahlen 0,000 0,000 0,001 0,032 3,142 6,283 9,425 0,002 0,044 3,142 6,284 9,425 0,005 0,071 3,143 6,284 9,425 0,01 0,100 3,145 6,285 9,426 0,02 0,141 3,148 6,286 9,427 0,05 0,222 3,157 6,291 9,430 0,1 0,311 3,173 6,299 9,435 0,2 0,433 3,204 6,315 9,446 0,5 0,653 3,292 6,362 9,447 1,0 0,861 3,426 6,437 9,529 2,0 1,079 3,644 6,578 9,630 5,0 1,314 4,034 6,910 9, ,428 4,305 7,229 10, ,498 4,491 7,495 10, ,536 4,619 7,703 10,783 10

18 X Q Q θ w θ 0 θ w θ θ 0 θ normierte Temperatur der Plattenoberfläche θ m θ 0 θ m θ θ 0 θ normierte Temperatur der Plattenmitte θ θ 0 θ θ θ 0 θ normierte kalorische Mitteltemperatur der Platte Bi α X λ θ θ 0 θ dv V θ 0 11

19 1.6.2 unendlicher Zylinder R θ w θ 0 θ w θ θ 0 θ normierte Temperatur der Zylinderoberfläche θ m θ 0 θ m θ θ 0 θ normierte Temperatur der Zylinderachse θ θ 0 θ θ θ 0 θ normierte kalorische Mitteltemperatur des Zylinders θ θ 0 θ dv V θ 0 Bi 12 α R λ

20 1.6.3 Bi unendlich 13

21 1.6.4 halbunendlicher Körper, Kurzzeitlösung: Abkühlung einer Platte θ θ(x t ) θ(x t ) θ t t θ W x DGL der eindimensionalen Wärmeleitung für eine ebene, halbunendliche Platte mit der Normierung Mit den Anfangs- und Randbedingungen einheitliche Anfangstemperatur sprunghafte Änderung der Wandtemperatur auf t>0 konstant bleiben soll, die für halbunendlicher Körper bzw. Kurzzeitlösung: Temperatur ändert sich nur im Randbereich; für gilt ( ) Mit Hilfe der Laplace-Transformation ( ) lässt sich diese partielle DGL in eine gewöhnliche DGL im Frequenzbereich umformen. Zu diesem Zweck kann eine Korrespondenztabelle verwendet werden (z.b. [1]). Die allgemeine Lösung für die DGL im Frequenzbereich lautet Die Randbedingungen müssen ebenfalls transformiert werden. Die resultierenden Integrationskonstanten sind in der folgenden Tabelle dargestellt. 14

22 Zeitbereich Frequenzbereich ( ) ( ) Lösung im Frequenzbereich Diese Lösung kann mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation in den Zeitbereich zurücktransformiert werden. Hierfür können ebenfalls Korrespondenztabellen verwendet werden (vgl. [1]). Lösung mit : Gauß sches ehlerintegral rror unction Für die Erwärmung einer halbunendlichen Platte und sonst identischen Anfangs- und Randbedingungen ergibt sich dieselbe Lösung. (hier: umgeformt) Lösung mit Für den übertragenen Wärmestrom gilt Nach Auflösen der Lösung nach und Einsetzen der Definition der Error-Funktion erhält man ( ) Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich folgendermaßen berechnen Für den Wärmestrom gilt schließlich Q λa ( θ x ) x λa(θ θ w ) πat 15

23 16

24 2. konvektiver Wärmeübergang 2.1 Erhaltungssätze für strömende Fluide Kontinuitätsgleichung M z dz M y dy infinitesimaler Würfel mit den Kantenlängen dx, dy, dz z y M x M x dx x M y M z Bilanz (1) (2) (3) (4) (5) Satz von Taylor (nach erstem Glied abgebrochen) (6) (7) (8) Durch Einsetzen von (2)-(8) in (1) und anschließende Division durch folgt [ ] (9) 17

25 Sonderfälle Vereinfachungen resultierende Gleichung stationäre Strömung inkompressible Strömung ( ) 18

26 2.1.2 Energiegleichung infinitesimaler Würfel mit den Kantenlängen dx, dy, dz Hz dz Qz dz Hy dy Qy dy z y Hx Qx Hx dx Qx dx x Hy Qy Hz Qz Unter Vernachlässigung von kinetischer und potentieller Energie gilt: Bilanz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) mit Wärmeleitung volumenbezogene Wärmequelle (+) /Wärmesenke (-) Enthalpiestrom volumenbezogene zeitl. Arbeit der Reibungskräfte zeitliche Druckänderungsarbeit (2) Die Terme in der x-richtung können durch folgende Gleichungen ersetzt werden. (analog für y- und z-richtung) (3) (4) (5) ( ) ( ) (6) (7) 19

27 setzt man die Gleichungen (2)-(8) für alle Koordinatenrichtungen in die Bilanzgleichung (1) ein, folgt (8) Durch teilweises Ausdifferenzieren und Einsetzen der Kontinuitätsgleichung kann Gleichung (8) folgendermaßen geschrieben werden (9) wobei werden kann für ein Newton sches Fluid mit Hilfe des Stokes schen Reibungsgesetzes ausgedrückt [ ( ) ] (10) Sonderfälle ideales Gas, ohne Reibungsterme resultierende Gleichung inkompressible Flüssigkeit mit konstanten Stoffwerten und ohne Reibungsterme ( ) ( ) ( ) ( ) eingesetzt in (9) 20

28 2.1.3 Impulsgleichung (Bewegungsgleichungen), Navier-Stokes-Gleichungen für ein inkompressibles Ne ton sches luid it gilt für die x-,y- und z-richtung (1) (2) (3) 21

29 2.2 Prandtl sche Grenzschichttheorie Für eine ebene, stationäre Plattenströmung eines inkompressiblen Fluids lauten die Gleichungen für Masse, Energie und Impuls wie folgt [ ] Nach Einführung dimensionsloser Größen, abschätzen der Größenordnungen und Rücktransformation auf dimensionsbehaftete Größen folgt schließlich (siehe z.b. [1]) 22

30 2.3 hydraulische Durchmesser für verschiedene Geometrien allgemeine Gleichung: Kreisrohr Rechteckkanal Ringrohr Spalt Rohrbündel offener Rechteckkanal Halbkreis Dreieckkanal 23

31 2.4 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion - Die charakteristische Länge zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen ist der Skizze auf der linken Seite und dem Index der Kennzahlen zu entnehmen. Der Index steht für die lokale Nu- Zahl. - Sind für einen Anwendungsfall mehrere Nu-Korrelationen angegeben, so wird die erste, die im Gültigkeitsbereich liegt, empfohlen (fetter Rahmen). Befindet sich nach der jeweils ersten Korrelation eine Leerzeile, so wurde die erste Korrelation dem VDI-Wärmeatlas entnommen. - Als Bezugstemperatur für die Stoffwerte ist bei der erzwungenen Konvektion der arithmetische Mittelwert zwischen Ein- und Austritt zu verwenden Die Nusseltkorrelationen, die dem VDI-Wärmeatlas entnommen wurden, können zur Erhöhung der Genauigkeit um einen zusätzlichen Term ergänzt werden, der die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte berücksichtigt: Geometrie Fluid Kühlen Heizen Flüssigkeit für für durchströmte Rohre, Ringspalt Gas für CO 2 : für überhitzten H 2O-Dampf : längsangeströmte Platte querangeströmte Rohre, Drähte und Profilzylinder Flüssigkeit Flüssigkeit Gas querangeströmte Rohrbündel Flüssigkeit Gas für Luft 24

32 2.5 Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr längsangeströmte ebene Platte Pohlhausen laminar Petukhov/Popov turbulent ( ) Gnielinski Eckert/Drake laminar Leveque turbulent Reynolds-Analogie Colburn Kays/Crawford laminar teilweise beheizt Kays/Crawford Chapman/Rubesin turbulent laminar [ ] [ ] turbulent 25

33 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr durchströmte Rohre Martin [ ] mit laminar im Einlaufbereich sonst Gnielinksi [ ] turbulent mit ( ) mit Gnielinski Übergangsbereich Hausen [ ] laminar Schlünder laminar Kraussold laminar genau für L/d=200 Elser laminar Sieder /Tate Stephan laminar laminar 26

34 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr durchströmte Rohre Gnielinski turbulent [ ] [ ] Gnielinski turbulent Hausen turbulent Hausen turbulent [ ] Kraussold Elser Michejew Prandtl-Taylor-Analogie durchströmte Rohre [ ] mit laminar im Einlaufbereich sonst Gnielinski [ ] turbulent mit ( ) mit Gnielinski Übergangsbereich 27

35 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr Rohrwendel Schmidt ( ( ) ) mit laminar ( ) ( ) Gnielinski turbulent mit 0 Gnielinski mit Übergangsbereich ( ) 28

36 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr Ringspalt Martin 3 Fälle der Wärmeübertragung I. am Innenrohr (Außenrohr ) II. am Außenrohr (Innenrohr ) III. an beiden Rohren ( ) im Einlaufbereich sonst I. ( ) laminar II. ( ) III. ( ) [ ] im Einlaufbereich sonst I. Petukhov/Roizen II. Petukhov/Roizen turbulent III. Stephan [ ] Gnielinski Übergangsbereich mit 29

37 θ Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr querangeströmte Rohre, Drähte und Profilzylinder : mit Gnielinski w D ( ) w θ w θ w θ w θ w θ w θ w θ querangeströmter Zylinder w θ D Hilpert Reiher Hilpert Reiher Hilpert Hilpert Hilpert Reiher Reiher Reiher Ulsamer Ulsamer Hilpert/Ulsamer Ulsamer King Reiher Hilpert/Ulsamer Eckert Eckert Eckert Whitaker 30

38 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr Kugel Gnielinski w θ D mit ( ) Brunn/Isewin Kutjaktschev ( ) laminare Grenzschicht Whitaker Brauer/Sucker ( ) Mc Adams turbulente Grenzschicht Brunn/Isewin ( ) 31

39 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr querangeströmte Rohrbündel Hohlaumanteil für für Einfluss der Anzahl an Rohrreihen fluchtend für für fluchtend versetzt versetzt fluchtend (Michejew) versetzt (Michejew) 32

40 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr querangeströmte Rohrbündel fluchtend (Zhukauskas) fluchtend Stoffwerte außer bei Einfluss der Anzahl an Rohrreihen für für versetzt versetzt (Zhukauskas) für für Einfluss der Anzahl an Rohrreihen für für bei bei 33

41 2.6 freie Konvektion an einer senkrechten Wand x δ t θ δ t : thermische Grenzschichtdicke δ : hydraulische Grenzschichtdicke w x θ θ θ δ y Für freie Konvektion gelten ebenso wie für erzwungene Konvektion die Grenzschichtgleichungen aus Kapitel 2.2. Zusätzlich werden folgende Annahmen getroffen: 1) alle Stoffwerte außer in den Impulsgleichungen sind konstant 2) Energiedissipation vernachlässigt 3) mit und dynamische Druckänderungen gering ( ) aus 1) folgt, dass die Dichte in einer Taylorreihe um den Referenzpunkt entwickelt werden kann (Abbruch nach dem ersten Glied). Des Weiteren wird der thermische Ausdehnungskoeffizient und eingeführt. (1) Durch Einsetzen der Annahmen 1)-3) und Gleichung (1) in die Grenzschichtgleichungen aus 2.2 erhält man die folgenden Gleichungen Bewegungsgleichung Kontinuitätsgleichung Energiegleichung Des Weiteren gelten folgende Randbedingungen : : 34

42 Diese Gleichungen können durch Einführen einer Stromfunktion ( auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen reduziert werden. ) unter Analogiebetrachtungen Le Fevre ermittelte aus der numerischen Lösung von Ostrach folgende Interpolationsgleichung. Für detaillierte Informationen sei auf [7] und [10] verwiesen. Nu L Ra L ( Pr Pr Pr ) 35

43 2.7 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für freie Konvektion - Die charakteristische Länge zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen ist der Skizze auf der linken Seite und dem Index der Kennzahlen zu entnehmen. Der Index steht für die lokale Nu- Zahl - Sind für einen Anwendungsfall mehrere Nu-Korrelationen angegeben, so wird die erste, die im Gültigkeitsbereich liegt, empfohlen (fetter Rahmen). Befindet sich nach der jeweils ersten Korrelation eine Leerzeile, so wurde die erste Korrelation dem VDI-Wärmeatlas entnommen. - Bezugstemperatur für Stoffwerte alle Stoffwerte außer - Es besteht die Möglichkeit, mit Hilfe der Grashofzahl eine äquivalente Reynoldszahl zu berechnen und Gleichungen für erzwungene Konvektion zu verwenden. 36

44 2.8 Nu-Korrelationen für freie Konvektion Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Ra senkrechte Wand ( [ ] ) Churchill/Chu turbulent/laminar Pr mit ( ) horizontale und schwach geneigte Platte Wärmeabgabe Oberseite/ Kühlung Unterseite ( ) mit ( 0 ) laminar turbulent laminar ( ) turbulent Stewartson allgemein: Reckteckplatte: Kreisplatte: Wärmeabgabe Unterseite/ Kühlung auf Oberseite ( ) mit ( ) laminar allgemein: Reckteckplatte: Kreisplatte: quadratische Platte Kreisplatte unendlich langer Streifen 37

45 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Ra Pr steil geneigte Platte Fuji/Imura ( ) ( mit der Näherungsfunktion ) turbulent senkrechter Zylinder horizontaler Zylinder Churchill/Chu ( ( ) ) mit ( ) Hermann/ Jodlbauer speziell: dünne Drähte laminar Kugel Raithby/Hollands ( [ ] ) mit ( ) 38

46 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Ra Pr Würfel Sparrow/Stretton mit ( ) : Projektionsfläche des Würfels auf eine Fläche senkr. zur Erdbeschleunigung : gesamte Oberfläche Bovy/Woelk ( ) mit ( ) horizontales Rippenrohr glattes Rohr reisri en it lichter Abstand zwischen den Rippen Durchmesser des Kernrohres Rippenhöhe 39

47 3. Kondensation w m s Kondensation w m s ruhende Dämpfe strömende Dämpfe Benetzbarkeit der Wand Filmkondensation Tropfenkondensation 3.1 Filmkondensation an einer senkrechten Wand: Nusselt sche Wasserhauttheorie (W. Nusselt: Die Oberflächenkondensation des Wasserdampfes; Zeitschrift VDI 60 (1916), S.541 ff.) δ x y Kondensatfilm Kräftebilanz für die Flüssigkeit Energiebilanz für die Flüssigkeit p x θ w w x θ s τ y F g τ y dy dq dx dh x w x θ Annahmen: p x dx - Stoffwerte sind konstant; stationäre, eindimensionale Strömung; Tiefe B - Grenzfläche Flüssigkeit-Dampf hat Sättigungstemperatur - Temperaturverteilung im Film ist laminar - Kondensatfilm strömt laminar - Enthalpieunterschiede im Film infolge Unterkühlung sind vernachlässigbar Aus der Bilanz der wirkenden Kräfte (1) im Kondensatfilm (vgl. Skizze) folgt Gleichung (2) Bilanz ( ) ( ) (1) (2) Für ein Ne ton sches luid gilt. Eingesetzt in (2) folgt 40

48 (3) Der Dampf befindet sich in Ruhe. Somit entfallen bei der Impulsbilanz des Dampfraums die Schubspannungen. Man erhält somit (4) Mit Hilfe von Gleichung (4) kann der Druckterm in Gleichung (3) eliminiert werden. Dadurch erhält man folgende gewöhnliche Differentialgleichung (5) Durch zweimalige Integration von Gleichung (5) mit den Randbedingungen erhält man eine Gleichung für die Geschwindigkeit des Kondensatfilms (6). : : [ ] (6) Die mittlere Geschwindigkeit erhält man durch Integration über die Filmdicke Aus der Geschwindigkeit lässt sich mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung der Kondensatmassenstrom berechnen, der eine Funktion von ist. (7) Bei der Kondensation wird die Verdampfungsenthapie frei. Dabei wird angenommen, dass dieser Enthalpiestrom mittels reiner Wärmeleitung durch den Kondensatfilm an die Wand abgegeben wir, da der thermische Widerstand des Kondensatfilm am größten ist. (8) In Gleichung (8) ist sowohl der Massenstrom als auch die Kondensatfilmdicke unbekannt. Dementsprechend wird eine weitere Gleichung benötigt. Zu diesem Zweck wird das totale Differential des Kondensatmassenstroms mit Hilfe von Gleichung (7) herangezogen. 41

49 (9) Mit Hilfe von Gleichung (9) und der Randbedingung kann Gleichung (8) integriert werden. Man erhält [ ] (10) Der örtliche Wärmeübergangskoeffizient berechnet sich zu [ ] (11) Daraus lässt sich schließlich der mittlere Wärmeübergangskoeffizient über der Höhe berechnen [ ] (12) Unter der Voraussetzung, dass folgt α m [ ρ F g Δ v λ F η F (θ s θ w ) H ] 42

50 3.2 Nu-Korrelationen für Kondensation Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Filmkondensation an senkrechter Platte, Innen- und Außenseite senkrechter Rohre [ ] laminar Pr L H x Isashenko δ Rohr: Reynoldszahl des Kondensats an der Stelle x turbulent [ ] Platte: B: Filmbreite H: Höhe der Platte : Filmdicke : Kondensatmassenstrom : mittlere Geschwindigkeit des Kondensats Übergangsbereich Filmkondensation am waagerechten Rohr (außen) [ ] laminar Filmkondensation am Rohrbündel mit z übereinander liegenden waagerechten Rohren [ ] Bezugstemperatur für Stoffwerte Chen laminar 43

51 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr Tropfenkondensation an senkrechten Flächen für reinen H 2 O-Dampf - für Kupferflächen mit in [kw/(m 2 K)] in [kw/m 2 ] - für Flächen, die nicht aus Kupfer sind 44

52 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Pr Filmkondensation strömender Dämpfe im senkrechten Rohr Carpenter & Colburn mit Massenstrom des Dampfes Strömungsquerschnitt Widerstandsbeiwert, z.b. nach Blasius mittlere Massenstromdichte ( ) und sind Massenstromdichten am Ein- bzw Austritt des Rohres. Die Reynoldszahl ist zu berechnen, als ob kein Kondensat im Rohr sei. Filmkondensation strömender Dämpfe im waagerechten Rohr [ ] Chato mit Schichtenströmung tritt auf, wenn am Rohreintritt gilt: Bezugstemperaturen: für den Dampf für das Kondensat 45

53 4. Sieden Sieden w m s w m s Behältersieden Strömungssieden 4.1 Nukiyama-Diagramm und Nu-Korrelationen für Behältersieden (α) Q (T w T s ) Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Ra Pr (1): konvektives laminare Sieden Grenzschicht Grenzschicht turbulente (2): Blasensieden Gorenflo ( ) arithmetischer Mittenrauwert Bezugswert Für die Druckabhängigkeit des Exponenten n gilt: für Fluide außer Wasser und Helium: für Wasser: 46

54 Die Druckfunktion ist für : für Fluide außer Wasser: für Wasser: ( ) Der Bezugswert kann der folgenden Tabelle entnommen werden bar aus [15] 47

55 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Ra Pr (2): Blasensieden Rohsenow ( ) wobei Laplace-Koeffizient Stoffwerte bei Sättigungszustand Konstante (Material/Fluid-Paarung) Wandmaterial Flüssigkeit p [bar] C 1 Platindraht Ø 6mm Wasser 1 bis 170 0,013 Chromplatte waagerecht Chromplatte waagerecht Chromplatte waagerecht Messingrohr waagerecht Ø 38mm Benzol 1 bis 44 0,010 Ethanol 1 bis 52 0,003 n-pentan 1,5 bis 29 0,015 Wasser 0,1 bis 15 0,006 Blasenabreißdurchmesser mit Randwinkel im Gradmaß für Wasser für andere Flüssigkeiten für Tiefsieder Blasenablösefrequenz 48

56 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Ra Pr (3): kritische Wärmestromdichte [ ] Kutateladze/Zuber typisch: (4): Filmsieden Bromley [ ] mit ( ) [ ] horizontale Rohre 0,62 Durchmesser vertikale Rohre 0,80 Länge 49

57 4.2 Strömungsformen und Nusselt-Korrelationen für Strömungssieden waagerechtes Rohr senkrechtes Rohr aus [15] 50

58 Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich Re Strömungssieden Vaihinger Pr mit,,,,,, Sieden bei Ringströmung Blasenabreißdurchmesser Blasenablösefrequenz Dengler und Addoms mit ( ) ( ) ( ) Rohrdurchmesser Massenstromdichte Martinelli-Parameter 51

59 5. typische -Werte Transportmechanismus Medium Bereich von Mittelwert von [ ] [ ] freie Konvektion Gas Wasser Gas erzwungene Konvektion Öl Wasser Blasensieden Wasser Filmkondensation organische Dämpfe Wasser

60 6. Wärmestrahlung 6.1 Herleitung des Strahlungsaustauschs zwischen zwei parallelen Platten Annahme: Strahlung von Platte 1 trifft vollständig auf Platte 2 und umgekehrt Q ab 1 2 Q ab eingesetzt aufgelöst nach bzw. übertragener Nettowärmestrom Q ε ε A C s (T T ) ε ε ε ε ε C s ε A (T T ) 53

61 6.2 Strahlungsaustausch für verschiedene Geometrien Für konzentrische Kugeln, konzentrische Zylinder: A 1 : umschlossene Fläche A 2 : umschließende Fläche Für parallele Platten: A 1 =A 2 =A Für A 2 >>A 1 Diffuse Strahler mit : Q ε ε A φ C s (T T ) Sichtfaktor für die geometrische Anordnung, siehe folgende Tabelle [ ( ) ] [ ] 54

62 6.3 Emissionsverhältnisse verschiedener Stoffe Emissionsverhältnis der Strahlung in Richtung der Flächennormalen und über den halben Raumwinkel für verschiedene Oberflächen bei Temperaturen Oberfläche [ ] Gold 130 0, ,022 Kupfer, poliert 20 0,030 Kupfer, leicht angelaufen 20 0,037 Kupfer, oxidiert 130 0,76 0, ,039 0,049 Aluminium, walzblank 500 0,050 Aluminiumbronzeanstrich 100 0,20-0,40 Eisen, blank geschmirgelt 20 0,24 Eisen, angerostet 20 0,61 Eisen, stark verrostet 20 0,85 Heizkörperlack 100 0,925 schwarzer Lack, matt 80 0,970 Ziegelstein, Mörtel, Putz 20 0,93 Glas 90 0,94 0,876 Eis (glatt), Wasser 0 0,966 0,918 Eis, rauher Reifbelag 0 0,985 Holz (Buche) 70 0,935 0,91 Dachpappe 20 0,93 (nach E. Eckert und E. Schmidt) Näherung: - für blanke Metalloberflächen - für andere Oberflächen (glatt) 55

63 7. Herleitung der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz für Gleichstrom θ ein M c p H dq x H x dx θ aus θ ein M c p H x H x dx θ aus x dx θ θ θ ein θ ein θ ein θ θ aus θ aus θ aus x Energiebilanzen für beide Stoffströme Abkühlung des warmen Mediums 1 (1) Erwärmung des kalten Mediums 2 (2) wobei und Umfang eingesetzt und umgeformt (3) (4) Subtraktion (3)-(4) ( ) (5) nach Einführen der Übertemperatur kann Gleichung (5) integriert werden, wobei angenommen wird, dass und unabhängig von x sind ( ) (6) mit ( ) (7) 56

64 Um aus Beziehung (7) eine Gleichung für den übertragenen Wärmestrom zu gewinnen, müssen die Wärmekapazitätsströme und mit den Energiebilanzen für die beiden Stoffströme eliminiert werden (8) (9) nach Einsetzen von (8) und (9) in (7) und Auflösen mit mittlere treibende Temperaturdifferenz Neben der mittleren treibenden Temperaturdifferenz soll im Folgenden der Temperaturverlauf der beiden Fluidströme bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird Gleichung (5) unbestimmt integriert. Mit der Randbedingung folgt ( ) (10) Durch Einsetzen von (10) in (3) bzw. (4) und der Randbedingung bestimmt werden kann eine Gleichung für [ ( ) ] [ ( ) ] 57