Lineare Algebra Übungen mit Lösungen

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1 Dr Andreas Maurischat Aachen September Lineare Algebra Übungen mit Lösungen Vorkurs Mathematik RWTH Aachen Aufgaben um Kapitel (Matrixbegriff Grundlagen der Matrixrechnung Aufgabe Geben Sie die folgenden Matrien A expliit an a A (a ij R mit a ij i j für alle i j { b A (a ij R mit a ij i j (die j-te Poten von i für alle i j { c A (a ij R mit a ij i j für alle i { und j { d A (a ij R mit a ij (i + (j für alle i { und j { a 6 b c 9 7 ( d 6 8 Aufgabe Wie lauten die Einträge ( ( ( ( beiehungsweise ( (falls sie existieren der folgenden Matrien Es gilt A B ( A 7 A A 6 A A und C (? 7 B 8 B B B 7 Der Eintrag B existiert nicht C C C Die Einträge C und C existieren nicht Aufgabe Geben Sie die Diagonalelemente der Matrien an A ( B ( 7 C und D 7 Die Diagonalelemente der Matrix A sind a und a Das Diagonalelement der Matrix B ist b Die Diagonalelemente der Matrix C sind c c und c Das Diagonalelement der Matrix D ist d Aufgabe Geben Sie bei den folgenden Matrien jeweils an ob es sich um eine Nullmatrix eine Einheitsmatrix eine Diagonalmatrix eine obere Dreiecksmatrix und/oder untere Dreiecksmatrix handelt: A G ( B ( H ( C ( D I Nullmatrien sind A und B Einheitsmatrien sind C und H Diagonalmatrien sind A C H und I Obere Dreiecksmatrien sind A C G H und I Untere Dreiecksmatrien sind A C F H und I Aufgabe Sei A ( R und B Geben Sie ( A B expliit an ( ( ( R F 7 und J

2 Die Matrix lautet Aufgabe 6 Geben Sie alle Möglichkeiten ur Wahl der Matrien A B C und D an sodass gilt ( A B C D Es gibt die folgenden vier Möglichkeiten: A ( B ( ( ( C D A ( B ( ( ( C D ( ( A B C ( D ( ( A B ( C ( D ( Aufgabe 8 Welche der folgenden Matrien sind gleich? A (a ij R mit a ij i j B (b ij R mit b ij i + j C (c ij R mit c ij max{i j D (d ij R mit d ij i+j + j i ( E (e ij R mit e ij i j j+ + F ( f ij R mit f ij (i + + (j Argumentieren Sie geschickt Welche der gegeben Matrien sind symmetrisch? Auch hier brauchen Sie die Einträge nicht expliit u berechnen Zur Gleichheit: Es gilt A E B F und C D Es genügt die Definitionen der Matrien u vergleichen Die Gleichheit der Matrien A und E sieht man ein wenn man die dritte binomische Formel bei e ij verwendet Bei der Gleichheit der Matrien B und F muss lediglich in den f ij usammengerechnet werden Für die lette Gleichheit muss man die Fälle unterscheiden dass j i ist bw dass j < i ist Im ersten Fall ist nämlich j i j i und der Term bei d ij vereinfacht sich u j und auch max{i j ist gleich j Im weiten Fall ist j i i j und der Term bei d ij vereinfacht sich u i was wiederum gleich dem Maximum max{i j ist Zur Symmetrie: Aus der Definition der Matrien A B und C kann man direkt sehen dass diese alle symmetrisch sind (denn in jeder Definition können i und j vertauscht werden Da E A und F B und D C ist sind diese auch symmetrisch Aufgabe 7 Geben Sie u jeder der folgenden Matrien die transponierte Matrix an: ( Die transponierten Matrien sind Aufgabe 9 Berechnen Sie jeweils (sofern möglich A + B und A B a A ( ( 6 9 B b A 8 6 c A 8 B ( ( a 7 b nicht definiert c 9 9 B

3 Aufgabe Führen Sie jeweils die Skalarmultiplikation durch ( a b 6 ( a b ( Aufgabe Bilden Sie jeweils sofern möglich alle Produkte von je wei der folgenden Matrien also A AB BA B AC CA BC CB C A E ( ( B C ( D F Es sind genau die folgenden Produkte definiert: ( ( ( A 8 AB AH ( ( 7 BE BF 6 6 ( 9 6 CF 7 DC G ( ( H ( BD ( ( CD CE 9 8 DG EA EB EH 6 8 ( FE F GA ( ( ( GH HA HB FD 7 ( GB 8 ( H Aufgabe a Bestimmen Sie für welche Matrien A und B sowohl das Produkt A B als auch das Produkt B A definiert ist b Geben Sie Beispiele von Matrien A und B wie in a an für die A B und B A von verschiedenem Format sind (verschiedene Anahlen Spalten bw Zeilen c Geben Sie Beispiele von Matrien A und B wie in a an für die A B und B A war vom gleichen Format aber nicht gleich sind a Genau dann sind beide Produkte definiert wenn die Anahl der Spalten von A gleich der Anahl der Zeilen von B und die Anahl der Spalten von B gleich der Anahl der Zeilen von A ist b A ( ( B ( 6 7 c A B 8 9 ( A B ( B A ( ( 6 A B B A 8 ( 6 7 Aufgabe Zeigen Sie dass für alle reellen ( -Matrien A und B gilt: (A B T B T A T Für A (a ij B (b ij R gilt: ( (A B T a b + a b a b + a b B T A T a b + a b a b + a b Aufgabe Beweisen Sie das Assoiativgeset für die Matrixmultiplikation von reellen ( -Matrien Für Matrien A (a ij B (b ij und C (c ij R gilt einerseits (( ( ( a a a a ( b b b b a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b ( c c c c ( c c c c (a b + a b c + (a b + a b c (a b + a b c + (a b + a b c (a b + a b c + (a b + a b c (a b + a b c + (a b + a b c 6

4 und andererseits ( (( a a a a ( ( a a a a ( b b b b ( c c c c b c + b c b c + b c b c + b c b c + b c a (b c + b c + a (b c + b c a (b c + b c + a (b c + b c a (b c + b c + a (b c + b c a (b c + b c + a (b c + b c Ausmultipliieren der Einträge eigt dass diese Matrien gleich sind Aufgabe Bildet die Menge der reellen (n n - Matrien einen Körper? Geben Sie gegebenenfalls an welche Regel(n verlett ist (sind Für n stimmt die Menge der ( -Matrien mit R überein und R ist nach der Grundlagen Vorlesung ein Körper Gilt aber n so ist um einen die Matrixmultiplikation nicht kommutativ wie man um Beispiel an folgenden Matrien sieht (die sich beliebig auf (n n - Matrien erweitern lassen: ( ( ( ( ( ( Zum anderen ist die Existen eines inversen Elements nicht gesichert wie das folgende Beispiel eigt (welches sich ebenfalls beliebig auf (n n - Matrien erweitern lässt: ( Angenommen diese Matrix besäße ein inverses Element ( a b c d so müsste gelten ( ( ( ( a b a b c d was offensichtlich einen Widerspruch darstellt Aufgabe 6 Beweisen Sie dass Man rechnet nach ( ( n (( ( für alle n N gilt ( ( ( Daraus schließt man (aufgrund der Assoiativität der Matrixmultiplikation: ( n ( ( n ( n ( Alternativ kann die Aufgabe auch mit vollständiger Induktion gelöst werden Aufgabe 7 Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe vollständiger Induktion: ( n ( n a Für alle n N gilt n a a n b Für alle n N gilt a a n dabei seien a a und a a a n reelle Zahlen n n n(n c Für alle n N gilt n n d Für alle n N gilt e Für alle n N gilt Induktionsanfang n : +( n ( n n ( n +( n n ( ( also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : ( n+ ( n ( ( ( IV n ( + n + n + + ( n + Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N 7 8

5 Induktionsanfang n : a a a a a a also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : a a a n+ a n a a a a a a n a IV a n a a n a a n a a n+ a n a a n+ a n a a n+ Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N Induktionsanfang n : ( also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : n+ n n n(n IV n n + n + n(n n + n + n n n + n + n + n +n n + n(n+ n + n + Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N Induktionsanfang n : +( ( ( +( also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : n+ n IV +( n ( n ( n +( ( n +( n +( n+ +( n ( n ( n+ ( n+ +( n+ Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N Induktionsanfang n : 9

6 also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : n+ n IV n + ( ( + + ( ( + n ( ( + + ( ( + ( ( + + ( ( + n n (n+ Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N Aufgabe 8 Sei V eine Menge V heißt reeller Vektorraum oder auch R-Vektorraum falls auf V eine Addition + und eine skalare Multiplikation definiert ist sodass v + v V und r v V für alle v v V und r R erfüllt ist und weiterhin (V (v + v + v v + (v + v (V es existiert ein V V mit V + v v + V v (V es existiert ein v mit v + ( v ( v + v V (V v + v v + v (S r (v + v r v + r v (S (r + r v r v + r v (S (r r v r (r v (S v v für alle r r R und v v v V gilt (a Bildet die Menge der reellen (n m-matrien mit den aus der Vorlesung eingeführten Verknüpfungen + und (skalare Multiplikation einen R-Vektorraum? (b Bildet die Menge der reellen (n n-diagonalmatrien {diag(a a n R n n mit den aus der Vorlesung eingeführten Verknüpfungen + und (skalare Multiplikation einen R-Vektorraum? Beide Mengen bilden mit den aus der Vorlesung bekannten Verknüpfungen R-Vektorräume Rechenregeln siehe Vorlesung Aufgaben um Kapitel (Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren Aufgabe 9 Überseten Sie jeweils die Textaufgabe in ein lineares Gleichungssystem und geben Sie die ugehörige erweiterte Koeffiientenmatrix an a Vor drei Jahren war Monika dreimal so alt wie Peter In vier Jahren ist Monika nur noch doppelt so alt wie Peter Wie alt sind Peter und Monika? b Drei normale Brötchen kosten so viel wie wei Körnerbrötchen Fünf normale Brötchen sind um Cent teurer als drei Körnerbrötchen Wie viel kosten normale Brötchen und Körnerbrötchen? c Drei Metalllegierungen A B und C bestehen aus jeweils unterschiedlichen Gewichtsanteilen an X Y und Z die der folgenden Tabelle entnommen werden können: X Y Z A % % % B % 7 % % C % % 6 % Nun soll durch Mischen von A B und C eine Legierung hergestellt werden in der der Anteil von X % der Anteil von Y % und der Anteil von Z 6 % beträgt Es werden g dieser Legierung benötigt Welche Mengen von A B und C müssen dau in die Mischung gegeben werden? a Das Gleichungssystem lautet in Standardform m (p m + (p + m p 6 m p

7 ( 6 Die ugehörige erweiterte Koeffiientenmatrix u diesem LGS ist Es ist u beachten dass eine andere Benennung der Variablen sowie eine Vertauschung der Gleichungen u unterschiedlichen Koeffiientenmatrien führen können (Vertauschung von Zeilen und Spalten ist möglich b Das Gleichungssystem lautet in Standardform n k n k + n k n k ( Die ugehörige erweiterte Koeffiientenmatrix ist Es ist u beachten dass eine andere Benennung der Variablen sowie eine Vertauschung der Gleichungen u unterschiedlichen Koeffiientenmatrien führen können (Vertauschung von Zeilen und Spalten ist möglich c Das Gleichungssystem lautet a + b + c ( 6 a + 7b + c ( 6 a + b + 6c (6 8 6 und die ugehörige erweiterte Koeffiientenmatrix ist Es ist u beachten dass eine andere Benennung der Variablen sowie eine Vertauschung der Gleichungen u unterschiedlichen Koeffiientenmatrien führen können (Vertauschung von Zeilen und Spalten ist möglich Aufgabe Geben Sie jeweils ein (möglichst einfaches Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten an a das genau eine Lösung hat b das unendliche viele Lösungen hat c das keine Lösung hat Zum Beispiel a x x x b x x x + x c x x x + x Aufgabe Es seien folgende lineare Gleichungssysteme gegeben Geben Sie jeweils die ugehörige Koeffiientenmatrix und erweiterte Koeffiientenmatrix an: a b c x 7x + x + x x + x x x + x + x x x + x x + x x 6x + x + x x + x + x + x x x x + x Die Koeffiientenmatrix beiehungsweise erweiterte Koeffiientenmatrix lauten a b c 7 7 beiehungsweise beiehungsweise 6 6 ( beiehungsweise ( Aufgabe Geben Sie jeweils an durch welche elementare Zeilenoperation die Matrix A in die Matrix B transformiert werden kann Welche Elementarmatrix realisiert diese Zeilenoperation durch Linksmultiplikation?

8 a A und B b A c A und B und B 7 a Vertauschen der ersten und dritten Zeile also V b Multiplikation der weiten Zeile mit also M ( c Addition des Dreifachen der dritten Zeile ur ersten also A ( Aufgabe Geben Sie für jede der folgenden Matrien an ob sie in Zeilenstufenform ist A B C 8 6 D E F In Zeilenstufenform sind alle Matrien außer B und D Aufgabe Transformieren Sie die nachfolgenden Matrien jeweils durch elementare Zeilenoperationen in eine Matrix in Zeilenstufenform A 6 B C D Die Matrix A formt man wie folgt um: 6 A ( M ( 6 6 A ( A ( 6 M ( Die Matrix B wird wie folgt umgeformt: 6 V 6 A ( 6 8 M ( 6 M( 6 A( 6 Bei der Umformung der Matrix C bietet es sich an unächst die erste Zeile durch u teilen um einfacher handhabbare Zahlen u erhalten: M ( A ( A ( A ( A ( V ( M ( 8 8 6

9 Die Matrix D schließlich wird wie folgt umgeformt: A ( A (7 A ( M ( 6 6 A ( A ( Aufgabe Lösen Sie die in Aufgabe 9 aufgestellten linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß- Verfahren a m und p (Umformung: ( 6 ( 6 b n 6 und k 9 (Umformung: ( ( 9 c a und b sowie c (Umformung: ( 6 8 Aufgabe 6 Lösen Sie jeweils das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren a x + y + x + 9y + x + y + b x x + 6x x x + x x + x x x + x x ( c x + y + y + x + y + a {( p p T p R b {( p p q p q T p q R c Aufgabe 8 Transformieren Sie die Matrien aus Aufgabe jeweils durch elementare Zeilenoperationen in eine Matrix in reduierter Zeilenstufenform Die Matrix A formt man unächst wie in Aufgabe in Zeilenstufenform um und fährt dann wie folgt fort: M ( A ( M ( Die Zeilenstufenmatrix u B aus Aufgabe wird wie folgt weiter umgeformt: 6 M ( 6 A ( 6 A ( A ( M ( Die Zeilenstufenmatrix u C aus Aufgabe formt man wie folgt weiter um: A ( 8 A ( 8 A ( M ( A ( A ( Die Zeilenstufenmatrix u D aus Aufgabe wird schließlich wie folgt weiter umgeformt: M ( 6 A ( A ( Aufgabe 7 Geben Sie für jede Matrix aus Aufgabe an ob sie in reduierter Zeilenstufenform ist In reduierter Zeilenstufenform sind genau die Matrien C E und F 7 8

10 Aufgabe 9 Lösen Sie jeweils das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren a x + y x + 6y + 8 x 7y c x + x + y + x + y + 6 e x + x + x x + x + x + x x + x x + x x + x + x b x + 8y 6x + y + x + 8y + d x + x + x + x x + x + x x + x + 6x + x f x + x + 8x x + x + x + 6x x + x + x x + x + x + 8x c Dass die Gerade y x ein Tangente an den Graphen von f an der Stelle x ist ist äquivalent u f ( und f ( Die Bedingung dass die Wendestelle ist ist äquivalent u f ( und f ( 6a (dh a Somit hat man das Gleichungssystem a + b + c + d a + b + c 6a + b sowie die Zusatbedingung a a p und b p sowie c p + und d p für beliebiges p R \ { Aufgabe Gegeben sei das folgende Gleichstromnet: a {( T b {( p p T p R c d {( p p + p T p R e {( T f {( p q p q q T p q R U R I R I R I Aufgabe Bestimmen Sie jeweils alle Parameter a b c d R für die die Funktion f : R R x ax + bx + cx + d die gewünschten Bedingungen erfüllt I R a Es gilt f ( und f ( sowie f ( b Es gilt f ( und f ( sowie f ( c Die Gerade mit der Gleichung y x ist die Wendepunkttangente des Graphen von f und die Wendestelle ist a Gleichungssystem: a + b + c + d 8a + b + c + d a + b c + d a p und b p + sowie c p und d p für beliebiges p R b Gleichungssystem: a + b + c + d a + b + c a + b c + d a p und b p + sowie c p + und d p für beliebiges p R In einem Gleichstromnet gelten die Kirchhoffschen Regeln Die Knotenregel besagt dass in jedem Knoten im Net die Summe der Ströme deren Pfeil auf den Knoten hinweist gleich der Summe der Ströme ist deren Pfeil vom Knoten wegweist Die Maschenregel besagt dass wenn man einen geschlossenen Weg durch das Net läuft und dabei die Produkte ±R k I k an den durchlaufenen Widerständen aufsummiert (mit positivem Voreichen wenn der Weg in Pfeilrichtung verläuft und mit negativem Voreichen wenn der Weg entgegen der Pfeilrichtung verläuft man die Summe der Spannungen der Spannungsquellen auf diesem Weg erhält Berechnen Sie mit diesen Regeln die Stromstärken in obigem Net wenn die Spannungsquelle 6 V hat und für die Widerstände R Ω sowie R Ω und R Ω sowie R Ω gilt Die Knotenregel liefert die Bedingungen I + I I (oberer Knoten und I I + I (unterer Knoten und aus der Maschenregel erhält man R I + R I + R I U (linke Masche gegen den Uhreigersinn durchlaufen sowie R I R I (rechte Masche gegen den Uhreigersinn durchlaufen Man hat also in Standardform (und ohne Einheiten 9

11 das Gleichungssystem I I I I I I I + I + I 6 I + I I und I sowie I und I (jeweils in Ampere Aufgabe Untersuchen Sie jeweils ob das gegebene lineare Gleichungssystem keine genau eine oder unendlich viele Lösungen hat a x + y x + y + y + 6 b x + y + x + y + x + y + c x y + x y + x y + a Zeilenstufenform hat (bei drei Variablen wei Treppenstufen keine davon in der letten Spalte unendlich viele Lösungen b Zeilenstufenform hat (bei drei Variablen drei Treppenstufen keine davon in der letten Spalte genau eine Lösung c Zeilenstufenform hat Treppenstufe in letter Spalte keine Lösung Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in Abhängigkeit von a R auf Lösbarkeit a x + ay + a y a x + (a y + (a + a c x + y a x + (a + y a b x + x + y + (a + x + y + (a + a + d x + a y a x + y a a lösbar genau für a oder a b lösbar genau für a c lösbar genau für a d lösbar genau für a a für a unlösbar für a unendlich viele Lösungen sonst genau eine Lösung b für a unlösbar für a { unendlich viele Lösungen sonst genau eine Lösung Aufgabe Bestimmen Sie aus dem Ergebnis von Aufgabe 6 a die Lösungsmenge von x + y + x + 9y + x + y + (ohne erneutes Lösen eines Gleichungssystems {( p p T p R Aufgabe 6 Untersuchen Sie jeweils für die gegebene Matrix A ob das Gleichungssystem A x y für alle y R lösbar ist a A b A c A 6 6 a Zeilenstufenmatrix u A hat genau Treppenstufen das Gleichungssystem ist nicht für alle y R lösbar b Zeilenstufenmatrix u A hat genau Treppenstufen das Gleichungssystem ist für alle y R lösbar c Matrix A hat nur wei Spalten Zeilenstufenmatrix u A hat höchstens Treppenstufen Gleichungssystem nicht für alle y R lösbar Aufgabe Untersuchen Sie jeweils in Abhängigkeit von a R ob das gegebene lineare Gleichungssystem keine genau eine oder unendlich viele Lösungen hat a x + y + a x + (a + y + 7 x + y + a b ax + y + a ax + (a + y + (a + a (a + ay + (a

12 Aufgaben um Kapitel (Matrixinverse Aufgabe 7 Untersuchen Sie jede der folgenden Matrien auf Invertierbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls die inverse Matrix ( a b c 7 e f 6 7 d ( Die Matrien in b und e sind nicht invertierbar Die Inversen der übrigen Matrien sind: a ( 9 c 8 d 7 ( f Aufgabe 8 Berechnen Sie möglichst geschickt die inverse Matrix u jeder der folgenden Matrien a b c a Wir erkennen die Matrix als Produkt der drei Elementarmatrien die ur ersten Zeile einer beliebigen anderen Matrix mit vier Zeilen das Zweifache der weiten Zeile bw das Dreifache der dritten Zeile bw das Vierfache der vierten Zeile addieren Die inversen Matrien dieser Elementarmatrien sind durch die Elementarmatrien gegeben welche die entsprechende Subtraktion durchführen Ihr Produkt ist b Bei Diagonalmatrien genügt es die Kehrwerte der Diagonaleinträge u bilden Man erhält die inverse Matrix c Das Produkt von wei Matrien mit der vorgegebenen Verteilung von Nulleinträgen ist wieder eine Matrix von dieser Gestalt (möglicherweise mit noch mehr Nulleinträgen Die ( -Einheitsmatrix ist ebenfalls von dieser Gestalt so dass es sinnvoll ist die inverse Matrix unter solchen Matrien u suchen Wenn B der untere rechte ( - Block der gegebenen Matrix A ist und I k die (k k-einheitsmatrix dann erhalten wir durch Invertieren von B tatsächlich eine Matrix C mit A C I C A: ( I ( I B B Aufgabe 9 Geben Sie alle a R an für die die folgenden Matrien invertierbar sind A ( B a ( a C a a Die Matrix A ist für alle a R\{ invertierbar da die Blockmatrix (A E in diesem Fall mit Hilfe von Gauß in die Form (E A transformiert werden kann Die Matrix B ist für alle a R invertierbar da auch hier die Blockmatrix (B E mit Hilfe von Gauß in die Form (E B transformiert werden kann Die Matrix C ist für alle a R\{ invertierbar denn a V a A ( a a a a a a Im nächsten Schritt müssten wir die dritte Zeile mit a multipliieren Hierfür müssen wir a ± fordern (im Fall a ± erhalten wir eine Nulleile auf der linken Seite sodass die Matrix nicht invertierbar ist Unter der Zusatvoraussetung a ± folgt dann a M ( a a a a a a a A ( a

13 a + a a a a a a A ( +a a a a a a a a + a a + a a a a + a a a a a a a a A ( Da wir auf der linken Seite die Einheitsmatrix erhalten ist C nun für alle a ± invertierbar Aufgabe Es seien A B und C invertierbare Matrien deren Produkt A B C definiert ist Folgern Sie aus der Formel (A B B A eine Formel die (A B C durch A B und C ausdrückt Mit dem Assoiativgeset für die Matrixmultiplikation folgt (A B C ((A B C C (A B C (B A C B A Dieses Produkt ist definiert da A B und C quadratische Matrien vom gleichen Format sind Probe: (C B A (A B C I und (A B C (C B A I Aufgabe Folgern Sie aus Aufgabe dass für alle invertierbaren reellen ( -Matrien A gilt: (A T (A T Es sei B A Dann erfüllt die Matrix B A B I und B A I wobei I die ( -Einheitsmatrix ist Transponieren beider Gleichungen liefert wegen (A B T B T A T (siehe Aufgabe : B T A T I T I und A T B T I T I Also ist B T (A T die inverse Matrix u A T Aufgabe Seien A A R m m Ist die Matrix A ungleich der Nullmatrix und gilt A A mm oder A A mm so ist die Matrix A nicht invertierbar (Sat aus der Vorlesung (a Zeigen Sie mit Hilfe dieser Aussage dass die folgenden Matrien nicht invertierbar sind: A B C 6 D 6 E 7 9 (b Schließen Sie mit obiger Aussage und mit Hilfe des Aufgabenteils (a: (i Besitt A R m m eine Nulleile so ist A nicht invertierbar (ii Besitt A R m m eine Nullspalte so ist A nicht invertierbar (iii Besitt A R m m eine Zeile die sich als Linearkombination der anderen Zeilen schreiben lässt so ist A nicht invertierbar (iv Besitt A R m m eine Spalte die sich als Linearkombination der anderen Spalten schreiben lässt so ist A nicht invertierbar Falls der Beweis der Aussage nicht in der Vorlesung geeigt wurde: Angenommen A wäre invertierbar dann existiert A mit AA A A E m Dann liefert aber A E m A (A AA A (AA A mm mm im Fall AA mm beiehungsweise A A E m A (AA (A AA mm A mm im Fall A A mm einen Widerspruch ur Voraussetung A mm (a Wähle A Dann ist A und erfüllt A A also kann Anicht invertierbar sein Wähle B Dann ist B und erfüllt BB 6

14 (b also kann B nicht invertierbar sein Wähle C Dann ist C und erfüllt C C 6 also kann C nicht invertierbar sein Wähle D Dann ist D und erfüllt D D also kann Dnicht invertierbar sein Wähle E Dann ist E und erfüllt also kann E nicht invertierbar sein EE (i Sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit die erste Zeile von A R m m eine Nulleile (sonst multipliiere entsprechend uerst mit V i von links und wähle Dann gilt A A a a a m A mm a m a m a mm Aus obiger Aussage folgt damit dass A nicht invertierbar sein kann (ii Sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit die erste Spalte von A R m m eine Nullspalte (sonst multipliiere entsprechend uerst mit V i von rechts und wähle A Dann gilt a a m AA a a m mm a m a mm Aus obiger Aussage folgt damit dass A nicht invertierbar sein kann (iii Sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit die erste Zeile von A R m m eine Linearkombination der Zeilen bis m (sonst multipliiere entsprechend uerst mit V i von links Dann existieren c i R i m mit Wähle nun A c A + c A + + c m A m c c c m A Dann gilt c c m m k A c ka k m k c ka k m k c ka km a a a m A mm a m a m a mm Aus obiger Aussage folgt damit dass A nicht invertierbar sein kann (iv Sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit die erste Spalte von A R m m eine Linearkombination der Spalten bis m (sonst multipliiere entsprechend uerst mit V i von rechts Dann existieren c i R i m mit Wähle nun A c A + c A + + c m A m c A c c m 7 8

15 Dann gilt m k c ka k a a m AA m k c ka k a a m c c m k c mm ka mk a m a mm c m Aus obiger Aussage folgt damit dass A nicht invertierbar sein kann Aufgabe Prüfen Sie die folgenden Abbildungen auf Wohldefiniertheit Injektivität Surjektivität und Bijektivität ( ( ( (a ϕ : R R x x x 6 x (b ϕ : R R x x x x x x + (c ϕ : R m R m x Ax + b für eine invertierbare Matrix A R m m und ein beliebiges b R m Können Sie mit diesem Aufgabenteil die Aufgabenteile (a und (b schneller lösen? ( (( ( ( ( x (a Für alle R x x x + x liegt der Ausdruck ϕ x x 6 x x + 6x in R also ist die Abbildung wohldefiniert Um auf Injektivität bw Surjektivität u ( y untersuchen muss geprüft werden ob für jeden beliebigen Vektor R die y (( ( x y Gleichung ϕ höchstens eine Lösung bw mindestens eine Lösung besitt x y Die Abbildung ist nicht injektiv denn es gilt (( ( ( ϕ 6 und ( ( ϕ (( ( 6 ( ( ( aber Weiterhin ist ϕ nicht surjektiv denn es liegt um Beispiel ( x nicht im Bild von ϕ denn angenommen es existiert ein R mit ( ϕ (( x x ( 6 x ( ( x x + x x + 6x x ( x + x (x + x ( dann müsste wegen der ersten Zeile bereits x + x gelten damit ist aber auch die weite Zeile der rechten Matrix Null was u einem Widerspruch führt Also existiert ( ( (( x kein R x mit ϕ Da ϕ nicht injektiv und nicht surjektiv ist x x kann ϕ auch nicht bijektiv sein x (b Für alle x R liegt der Ausdruck x x x x + x + ϕ x x + x + x x x x + in R also ist die Abbildung wohldefiniert Die Abbildung ist bijektiv denn für jeden y Vektor y R ist die Gleichung y dh das LGS x + x + x y x + x ϕ x y x + x y x + x y x + x y x y stets eindeutig lösbar wie man durch Lösen des LGS mit dem Gauß-Verfahren sieht Da es stets lösbar ist ist also jeder Vektor y y y im Bild der Abbildung ϕ (dh ϕ ist surjektiv und da es stets nur eine Lösung gibt gibt es keine wei verschiedenen Vektoren die auf den gleichen Vektor abgebildet werden (dh ϕ ist injektiv (c Für alle x R m liegt der Ausdruck ϕ (x Ax + b in R m also ist die Abbildung wohldefiniert Wir wollen eigen dass ϕ bijektiv ist Dau eigen wir unächst die Injektivität Seien dau x y R m mit ϕ(x ϕ(y Ax + b Ay + b A(x y m Da A invertierbar ist besitt das Gleichungssystem A(x y m nur genau eine Lösung nämlich x y m Daraus folgt aber direkt x y wodurch die Injektivität geeigt ist Für die Surjektivität sei y R m beliebig Wählen wir x A (y b R m so folgt ϕ(x A(A (y b + b (AA (y b + b E m (y b + b (y b + b y Demnach ist ϕ auch surjektiv und damit ist unsere Behauptung bewiesen Mit diesem Wissen lässt sich Aufgabenteil (b wesentlich schneller lösen denn wir 9

16 sehen direkt dass die Matrix invertierbar ist mit Inverser Also muss nach diesem Aufgabenteil die Abbildung ϕ aus Aufgabenteil (b bijektiv sein Die Matrix in Aufgabenteil (a ist offensichtlich nicht invertierbar denn es gilt ( ( 6 ( ( und mit Aufgabe folgt dass dann nicht invertierbar sein kann Somit lässt 6 sich hier Aufgabenteil (c nicht anwenden und wir können erst einmal keine Aussage über die Bijektivität treffen Allerdings kann man mit mehr Aufwand auch eigen dass im Falle der Nicht-Invertierbarkeit von A die entsprechende Abbildung ϕ weder injektiv noch surjektiv ist Aufgaben um Kapitel (Determinanten Aufgabe Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrien a ( 6 b c a b c d 6 d Aufgabe Bestimmen Sie für alle mit markierten Einträge die Werte die eine Matrix mit Determinante definieren a b c a b { (x y R x + y (von links nach rechts gelesen c { (x y R 6y (von oben nach unten gelesen Aufgabe 6 Berechnen Sie möglichst geschickt die Determinanten der folgenden Matrien a e b f a (entwickle nach Nulleile 8 7 c d b (entwickle nach erster Zeile oder dritter Spalte c (nute Dreiecksstruktur der Matrix aus d (nute Dreiecksstruktur der Matrix aus e (entwickle nach Nulleile f 8 (nute Blockstruktur der Matrix aus g 8 (nute Dreiecksstruktur der Matrix aus g 6 7 Aufgabe 7 Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion dass für alle n gilt det(a n Induktionsanfang: n Es ist A gegeben durch Daraus berechnen wir n k b n b n b k c k mit A n : R n n b c n c n c A ( b c det(a b c k b k c k Also stimmt die Behauptung für n Induktionsvoraussetung: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n N n

17 Induktionsschluss: n n + Es ist A n+ gegeben durch b n+ b n A n+ : R (n+ (n+ b c n+ c n c Wir entwicklen nach der ersten Spalte und erhalten b n b n+ det(a n+ det b + b n ( n++ c n+ det c n c b Die erste auftretende Determinante ist nach Induktionsvoraussetung gegeben durch b n det n IV b b k c k k c n c Bei der weiten auftretenden Determinante entwicklen wir nun nach der ersten Zeile und erhalten b n+ b n det ( +n b n+ det ( n+ b n+ b {{ E n Zusammen erhalten wir det(a n+ ( n k b kc k + ( n++ c n+ ( n+ b n+ n k b kc k + ( n+ c {{ n+ b n+ n+ k c kb k Dies ist die Behauptung für n + anstelle von n sodass mit dem Induktionsprinip nun die Aussage für alle n N n bewiesen ist Aufgabe 8 Die Spur einer Matrix ist definiert als die Summe ihrer Diagonaleinträge Zeigen Sie dass für alle -Matrien A gilt Wir seten ein und berechnen A Spur(A A + det(a E ( ( ( ( a b a b a b (a + d + (ad bc c d c d c d ( a ( + bc ab + bd a ca + dc cb + d ( + ad ab + bd ad bc ac + dc ad + d + ad bc ( a + bc a ad + ad bc ab + bd ab bd ca + dc ac dc cb + d ad d + ad bc ( Aufgabe 9 Zeigen Sie durch Rechnung mit wei Matrien A B R mit symbolischen Einträgen a ij und b ij : det(ab det(adet(b Einerseits haben wir det(ab (( ( (( a a det b b a b det + a b a b + a b a a b b a b + a b a b + a b (a b + a b (a b + a b (a b + a b (a b + a b a b a b + a b a b + a b a b + a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + a b a b a b a b a b a b andererseits gilt det(adet(b (( (( a a det b b det a a b b (a a a a (b b b b a a b b a a b b a a b b + a a b b Damit stimmen beiden Seiten der Gleichung überein Aufgabe Zeigen Sie durch Rechnung mit einer Matrix mit symbolischen Einträgen a ij : Eine ( - Matrix und ihre transponierte Matrix haben die gleiche Determinante A Spur(A A + det(a E

18 Nach Definition der Determinante einer ( -Matrix gilt: a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Aufgabe Zeigen Sie die folgenden Behauptungen durch Rechnung mit einer ( -Matrix A mit symbolischen Einträgen a ij (Es soll hier jeweils reichen einen Fall u behandeln a Vertauscht man wei Zeilen (oder Spalten der Matrix A so ändert sich das Voreichen ihrer Determinante b Multipliiert man alle Einträge einer Zeile (oder einer Spalte von A mit einer reellen Zahl so wird auch ihre Determinante mit dieser Zahl multipliiert c Addition des r-fachen einer Zeile (bw Spalte u einer anderen Zeile (bw Spalte von A für eine beliebige reelle Zahl r ändert die Determinante nicht a Vertauschen der ersten beiden Zeilen und Entwickeln nach der ersten Spalte liefert: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ( a a a a a a a a a a + a + a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b Multipliieren aller Einträge der weiten Spalte mit der reellen Zahl r liefert: a r a a a r a a r (a a a + a a a + a a a a r a a a a a a a a a a a a a a r a a a a a a c Wir addieren das r-fache der dritten Zeile ur ersten Entwickeln der Determinante dieser Matrix nach der ersten Zeile ergibt mit dem Distributivgeset: a + r a a + r a a + r a a a a a (a + r a a a a a a a a (a + r a a a a + (a a + r a a a a a a a a a a a a a a + a a a a a a +r a a a a r a a a a a + r a a a a a a a a a a a a a a a a a + r a a a a a a a a a a a a a a a denn die Determinante einer Matrix deren Zeilen linear abhängig sind ist gleich Null (siehe Aufgabe Aufgabe Berechnen Sie unter Benutung des Ergebnisses von Aufgabe d und der Rechenregeln für Determinanten aus Aufgabe die Determinanten der folgenden Matrien a b c d 8 a 6 (Matrix entsteht aus der ursprünglichen Matrix durch Vertauschen weier Zeilen b 6 (Matrix entsteht aus der ursprünglichen Matrix durch Zeilenaddition c 7 (Matrix entsteht aus der ursprünglichen Matrix durch Zeilenmultiplikation d 6 (Matrix entsteht aus der ursprünglichen Matrix durch Transponieren Aufgabe Es sei A (v v v R mit v v v R und es gelte det(a Berechnen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für Determinanten aus Aufgabe und Aufgabe a det( v v v b det(v v v c det(v v v d det(v + v v + v v e det(v v v + v + v v v f det(v v v v 7v 6

19 a Es gilt b Es gilt c Es gilt det( v v v ( det(v v v ( det(v v v ( det(v v v ( det(v v v ( det(v v v ( ( det(v v v det(v v v det(v v v ( det(v v v ( ( det(v v v ( ( d Es gilt det(v + v v + v v det(v + v v v det(v v v e Es gilt det(v v v + v + v v v det(v v 7v + v v v det(v v v v v det(v v v v v det( v v v det(v v v det(v v v det(v v v f Es gilt det(v v v v 7v det(v v 7v (Die Determinante einer Matrix mit Nullspalte ist Null Aufgabe Finden Sie ein Beispiel dafür dass im Allgemeinen det(a + B det(a + det(b gilt Wähle A ( und B Dann gilt det A und det B aber det(a + B Aufgabe Welche der Matrien aus Aufgabe sind invertierbar? ( alle mit Ausnahme der Matrix aus Teil b denn dies sind genau die Matrien mit von verschiedener Determinante Aufgabe 6 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel a Man hat det det a x + y + x + y + x y det also b x + y x + x y + x y 7 als eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems b Man hat det det als eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems det 7 det det x also y Aufgabe 7 Bestimmen Sie die u A beiehungsweise B inverse Matrix mit Hilfe der Cramerschen Regel A B Wir beginnen mit der Matrix A und berechnen - um Beispiel mit der Regel von Sarrus - dass gilt det(a + Nun lösen wir mit Hilfe der Cramerschen Regel die folgenden Gleichungssysteme Ax Ay A 7 8

20 Beachten wir dass det(a gilt so berechnen wir weiter x y (( det det(a x (( det det(a (( det det(a Damit ist A gegeben durch det y det (( det det(a (( det(a (( det(a A 6 det x y det (( det(a (( det det(a (( 6 det(a Wir machen noch einmal die Probe: A A 6 Betrachten wir nun die Matrix B Wir berechnen det(b Nun lösen wir mit Hilfe der Cramerschen Regel die folgenden Gleichungssysteme Bx By B Beachten wir dass det(b gilt so berechnen wir weiter x y (( det det(a (( det det(a (( det det(a Damit ist B gegeben durch x y det B (( det 8 det(a (( det det(a (( det(a x y det (( det det(a 6 (( det det(a (( det(a Wir machen noch einmal die Probe: B B 6 Aufgabe 8 Beweisen Sie mit Hilfe von Zeilenumformungen dass jede Matrix in der wei Zeilen übereinstimmen die Determinante hat Seien i und j mit i j die Nummern weier Zeilen die übereinstimmen Addiert man das ( -fache der i-ten Zeile ur j-ten Zeile so hat die Ergebnismatrix dieselbe Determinante wie die Ursprungsmatrix Die Ergebnismatrix enthält aber nach Konstruktion eine Nulleile (nämlich die j-te Zeile hat also Determinante Dies beweist die Behauptung Aufgabe 9 Untersuchen Sie die folgende Abbildung auf Wohldefiniertheit Injektivität Surjektivität und Bijektivität: ϕ : R R A det(a Da die Determinante einer Matrix eine reelle Zahl ist ist die Abbildung wohldefiniert Die Abbildung ist jedoch nicht injektiv da um Beispiel gilt ϕ (( det (( det (( ϕ (( aber ( ( Insbesondere ist ϕ damit auch nicht bijektiv Aber ϕ ist surjektiv denn sei r R beliebig Dann liegt ( r R und erfüllt (( (( ϕ det r r r Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt des von den Vektoren v und w aufgespannten Parallelogramms a v ( w 6 ( b v ( w ( 8 c v ( w Da der Flächeninhalt mit dem Betrag der Determinante übereinstimmt gilt ( 9

21 a (( det b (( 8 det c (( det 8 Aufgaben um Kapitel (Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Aufgabe 6 Untersuchen Sie jeweils durch Lösen eines linearen Gleichungssystems ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind a ( ( ( 7 b ( ( ( 7 c a linear unabhängig b linear abhängig c linear abhängig ( 6 ( ( 7 8 Aufgabe 6 Untersuchen Sie durch Berechnen einer Determinante ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind a ( ( b 6 ( ( ( c ( ( ( 8 a linear abhängig (Determinante b linear unabhängig (Determinante c linear abhängig (Determinante Aufgabe 6 Argumentieren Sie möglichst geschickt ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind a ( ( 6 ( b ( ( ( 6 c 7 a dritter Vektor ist das Negative des ersten Vektors linear abhängig ( ( ( b Das homogene lineare Gleichungssystem dessen Lösungen die Koeffiiententupel sind mit denen sich die drei gegebenen Vektoren um Nullvektor linearkombinieren hat wei Gleichungen und drei Unbekannte Da es sich um ein homogenes lineares Gleichungssystem handelt ist es lösbar Eine Zeilenstufenform der (erweiterten Koeffiientenmatrix hat höchstens wei Treppenstufen so dass mindestens ein Parameter ur Beschreibung der Lösungsmenge notwendig ist Also gibt es unendlich viele Lösungen dieses Gleichungssystems und darunter ist sicherlich ein Koeffiiententupel welches von Null verschiedene Einträge hat Also sind die gegebenen Vektoren linear abhängig c Wir nehmen an dass die Linearkombination der gegebenen Vektoren mit Koeffiienten r s t der Nullvektor ist Aufgrund der ersten Einträge der Vektoren ist dann s Es spielen also nur der erste und der dritte Vektor eine Rolle Ihre dritten Einträge impliieren t Aus dem weiten Eintrag des ersten Vektors folgt dann auch r Also sind die gegebenen Vektoren linear unabhängig Aufgaben um 6 Kapitel (Skalarprodukt Orthogonalität Vektorprodukt Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren ( ( ( ( a b c a b c ( 9 ( Aufgabe 6 Seien a b R m mit a a a b und b b Berechnen Sie a a (a + b b (a + b (a b c ( a + b ( a b Aufgrund des Kommutativ- und Distributivgesetes für das Skalarprodukt gilt a a (a + b a a + a b + b (a + b (a b (a a a b + b a b b (a a b b ( 8 c ( a + b ( a b a a a b + 6 b a 8 b b a a a b 8 b b Aufgabe 66 Bestimmen Sie jeweils alle s R für die v und w senkrecht aufeinander stehen ( ( ( ( s a v w b v w c v w s ( s s+ s s+ ( s

22 a s b s c s { Aufgabe 67 Bestimmen Sie jeweils alle s R für die u senkrecht auf v und w steht a u c u ( s v ( s v ( ( s w w ( b u ( s s d u ( s ( s v ( s ( ss w ( ( s v s w a u v u w + s also s b u v + s u w also s c u v + s (s (s + u w s + s (s also s d u v + s (s + ((s + u w s also erfüllt kein s R gleicheitig u v und u w Aufgabe 68 Berechnen Sie das Kreuprodukt der Vektoren v und w a v w b v w s s c v 9 w d v s w s + 6 s a v w b v w c v w d v w s Aufgabe 69 Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Wohldefiniertheit Injektivität Surjektivität und Bijektivität a ϕ : R n R n R (v w v w b ϕ : R R R (v w v w { c ϕ : (v w R R ; v w linear unabhängig R (v w v w a Da das Skalarprodukt weier reeller Vektoren nach R abbildet ist ϕ wohldefiniert Die Abbildung ist jedoch nicht injektiv denn für v v R n gilt ϕ((v n ϕ((v n aber (v n (v n Insbesondere ist ϕ damit nicht bijektiv Die Abbildung ist aber surjektiv denn sei r R beliebig Wählen wir v (r T R n und w ( T R n so eigt v w r die Behauptung b Da das Kreuprodukt weier reeller Vektoren in den R abbildet ist ϕ wohldefiniert Die Abbildung ist jedoch nicht injektiv denn für v v R gilt ϕ((v v ϕ((v v aber (v v (v v Insbesondere ist ϕ damit nicht bijektiv Die Abbildung ist aber surjektiv denn sei u R beliebig Sei unächst u Wählen wir v (u u T R und w ( u u T R dann folgt v w (u u u T Sei nun u dann wähle v ( u u T R und w ( u u T R Damit berechnen wir v w (u u u T Dies eigt die gewünschte Behauptung c Da das Kreuprodukt weier reeller Vektoren in den R abbildet ist ϕ wohldefiniert Die Abbildung ist jedoch nicht injektiv denn für v ( T R und w ( T R beiehungsweise v ( T R und w ( T R gilt ϕ((v w ϕ((v w ( T aber (v w (v w und v und w beiehunsgweise v und w sind linear unabhängig Insbesondere ist ϕ damit nicht bijektiv Die Abbildung ist auch nicht surjektiv denn nach Vorlesung liefert das Kreuprodukt für linear unabhängige Vektoren immer einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor also liegt R nicht im Bild von ϕ Aufgaben um 7Kapitel (Längen Winkel und Abstände Aufgabe 7 Berechnen Sie jeweils die Länge des Vektors a ( ( b c ( a b c d e f ( ( d e Aufgabe 7 Berechnen Sie jeweils den Winkel wischen den beiden Vektoren a ( a b 9 c 6 ( ( ( b ( 8 f 6 ( ( c

23 a ( T und ( T sowie (7 8 T Aufgabe 7 Bestimmen Sie jeweils die Projektion des Vektors v auf die Ursprungsgerade in R mit Richtungsvektor w ( a v w ( b v ( w ( c v ( ( w Wir normieren uerst den Richtungsvektor der Ursprungsgeraden um die Länge der Projektion als Skalarprodukt ausurechnen a Länge der Projektion: ( ( ( Projektion: ( ( ( b Länge: ( ( ( Projektion: ( ( ( c v und w stehen senkrecht aufeinander Projektion: ( Aufgabe 7 Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt des von den Vektoren v und w aufgespannten Parallelogramms a v ( 6 w ( ( ( 8 b v w c v ( ( w a Norm von v w 7 b Norm von v w 9 c Norm von v w Aufgaben um 8 Kapitel (Geraden und Ebenen Aufgabe 7 Bestimmen Sie jeweils eine Parameterform der Geraden durch die gegebenen Punkte {( a { ( 78 b a ( T und ( T b (7 8 T und ( T ( ( {( p R oder auch p R oder auch {( ( ( p R p R Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen b ( T und ( T sowie ( T c ( T und ( T sowie ( 7 6 T a nein b ja c nein Aufgabe 76 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Geraden (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben genau einen Schnittpunkt; sind windschief und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt a { ( T ( T p R und { ( 9 T ( T q R b { ( T ( T p R und { ( T ( 6 T q R c { ( 6 T ( T p R und { (7 T ( T q R d { ( 6 T ( 6 T p R und { (6 8 T ( 8 T q R e { ( T ( T p R und { ( T ( T q R f { ( 6 T ( T p R und { ( 8 T ( T q R a schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in ( T b parallel aber nicht gleich c schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in ( T d gleich e windschief f schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in ( T Aufgabe 77 Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene welche die angegebenen Punkte bw Geraden enthält a ( T und ( T sowie ( T b ( T und ( T sowie ( T c ( T und { ( T ( T p R d { ( T ( T p R und { ( T ( T q R 6

24 a b c d {( {( {( {( ( ( {( p q R oder auch ( ( ( ( {( ( ( p q R oder auch ( ( ( ( p q R {( p q R oder auch ( Aufgabe 78 Untersuchen Sie jeweils ob die vier Punkte in einer Ebene liegen ( a ( T und ( T sowie ( T und ( 8 T b ( T und ( T sowie ( T und ( T c ( T und ( T sowie ( T und ( 9 T a ja b nein c ja p q R p q R p q R b v w (8 T und E { (x y T R 8x y 7 c v w ( T und E { (x y T R 8x + 9y + 7 Aufgabe 8 Berechnen Sie jeweils eine Normalenform der in Parameterform gegebenen Ebene a {( ( ( {( ( ( p q R b p q R a Eine Normalenform ist gegeben durch ( R (( xy ( b Eine Normalenform ist gegeben durch R ( 6 (( xy ( R x + y R x + y + 6 Aufgabe 79 Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt ( T auf der Geraden bw Ebene liegt a { ( T ( T p R b { ( T ( T p R c { ( 9 T ( T ( T p q R d { (9 T ( T ( T p q R a ja (für p b nein c nein d ja (für p und q Aufgabe 8 Berechnen Sie jeweils das Vektorprodukt v w und geben Sie eine Normalenform der Ebene E { u v w p q R an a u b u c u ( ( ( v v v ( ( ( w w w ( ( ( 7 a v w ( T und E { (x y T R x + y Aufgabe 8 Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der in Normalenform gegebenen Ebene a {(x y T R x + y + b {(x y T R x y {( a ( ( p q R {( ( ( b Aufgabe 8 Berechnen Sie jeweils eine Normalenform der gesuchten Ebene {( ( ( a Ebene senkrecht u p R durch p q R b Ebene die den Punkt ( T enthält und senkrecht auf E und E steht wobei E {( ( ( 7 p q R und E { ( r + s c Ebene die die Gerade g enthält und senkrecht auf die Ebene E steht wobei g {( ( p R 7 6 und E {( 9 6 ( ( r s R ( + r q r R 7 8

25 {( a R xy x y + b R x + y + 7 c R 8x y + Aufgabe 8 Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt ( T auf der gegebenen Ebene liegt a {(x y T R x + y b a nein b ja {(x y T R x + y Aufgabe 8 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben eine Gerade als Schnittmenge und bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade a b c d {( {( {( {( ( ( ( ( ( {( 6 ( p q R und + r ( p q R ( p q R ( p q R 6 {( 9 ( und + r {( ( und + r + s ( + s ( + s ( {( ( ( 6 und + r + s 7 r s R r s R r s R r s R a haben eine Gerade als Schnittmenge: { ( T + r( 7 T r R b haben eine Gerade als Schnittmenge: { ( T + r( T r R c sind gleich d sind nicht gleich aber parallel Aufgabe 86 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (Gerade liegt in der Ebene; Gerade liegt nicht in der Ebene ist aber parallel u ihr; Gerade und Ebene haben genau einen Schnittpunkt und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt a {( 7 {( b 6 ( ( {( 78 p R und p R und {( ( ( ( + r + r ( q r R q r R c {( 6 ( 8 p R und {( ( + r ( q r R a schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in ( T b schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in ( T c die Gerade liegt in der Ebene Aufgabe 87 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (Gerade liegt in der Ebene; Gerade liegt nicht in der Ebene ist aber parallel u ihr; Gerade und Ebene haben genau einen Schnittpunkt und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt a b c {( 6 {( ( {( ( {( xy p R und {( xy p R und ( 7 p R R x y + und R x + y R x y + a schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in (9 T b die Gerade liegt nicht in der Ebene ist aber parallel u ihr c schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in ( T Aufgabe 88 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der Ebenen (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben eine Gerade als Schnittmenge und bestimmen Sie ggf die Schnittgerade a b c d e f g {( R 6 ( x y + und 6 {( 8 6 {( ( ( p q R ( R x y + und 9 p q R 7 ( R ( x y + und p q R {( R xy x + y + 8 und R x + y + {( R xy x + 7y + und R x + 9y + {( R xy x + y + 8 und R x + y + 6 {( R xy x + y + 8 und R x y 8 9

26 h {( R xy x y + und R x y + a haben eine Gerade als Schnittmenge: { ( T + r( T r R b haben eine Gerade als Schnittmenge: { ( T + r( T r R c sind nicht gleich aber parallel d haben eine Gerade als Schnittmenge: { ( T + r( T r R e haben eine Gerade als Schnittmenge: { ( T + r( T r R f haben eine Gerade als Schnittmenge: { ( T + r( T r R g sind nicht gleich aber parallel h haben eine Gerade als Schnittmenge: { (8 T + r( T r R Aufgabe 89 Berechnen Sie jeweils den Schnittwinkel der geometrischen Objekte in R {( 6 ( {( 6 ( a p R und q R b c {( {( ( ( p q R und ( a 9 b 6 c 6 ( {( + r ( r R {( ( ( p q R und + r + s Aufgabe 9 Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der gesuchten Geraden {( ( ( a Gerade senkrecht u p q R durch r s R {( 8 ( {( 8 ( b Gerade senkrecht u p R und q R c Gerade die senkrecht auf g steht und in E enthalten ist wobei {( ( g p R {( ( a + r r R b {( 8 und E {( ( + r ( ( + r {( r R c + r durch ( 8 ( q r R ( r R Aufgaben um 9 Kapitel (Abstandsberechnungen Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils den Lotfußpunkt von P auf der Geraden g bw der Ebene E a P ( T und g { ( 7 T ( T p R b P (9 T und g { ( T ( T p R c P (7 7 T und E { ( T ( T ( T p q R d P ( T und E { ( 7 T ( T ( T p q R a ( T b ( T c ( T d ( T Aufgabe 9 Bestimmen Sie u den Daten aus Aufgabe 9 jeweils den Abstand von P und g bw E a b 86 c d 6 Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes P von der Geraden g bw der Ebene E a P ( T und g { (8 8 T ( T p R b P ( 8 T und g { ( 6 7 T ( T p R c P ( 7 T und E { (8 T ( T ( T p q R d P ( 8 T und E { (6 9 T ( 7 6 T ( T p q R a 6 b 7 c 6 d Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Gerade g von der Geraden h beiehungsweise der Ebene E a g + s s R und h + t t R b g + s 8 s R und h + t 7 t R

27 c g + s s R und E + s + t s t R 7 6 d g + s s R und E + s 6 + t 6 s t R a b c (Gerade und Ebene schneiden sich d 7 Aufgabe 9 Berechnen Sie den Abstand von und Der Abstand ist E + s + t s t R E + s + t s t R Aufgabe 96 Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes P von der Ebene E a P ( 9 T und E { (x y T R x + y b P ( T und E { (x y T R 6x + y + 7 a b Aufgabe 97 Berechnen Sie jeweils eine Hesse-Normalenform von E und bestimmen Sie dann den Abstand von P u E a E {( ( ( 9 p q R und P ( b E {( c E {( ( ( p q R und P ( ( ( p q R und P ( 9 a { (x y T R 7 x + 7 y und d(p E b {(x y T R 9 x + 9 y 8 9 und d(p E c {(x y T R x + y und d(p E (der Punkt P liegt auf E Aufgabe 98 Berechnen Sie jeweils den Abstand von E und E {( ( ( {( xy a E 6 p q R und E 7 {( ( ( {( xy b E p q R und E {( c E R xy x + y + 9 und E a (Ebenen schneiden sich b c R x + y R x + y + R x y Aufgabe 99 Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Geraden g von der Geraden h bw der Ebene E {( ( ( a g p R und h q R b g {( 8 {( ( {( p R und h 7 ( q R {( ( {( ( ( c g p R und E + r {( ( {( 7 d g p R und E e g {( ( p R und E ( 6 + r ( 66 q r R q r R R x + y + a b c (Gerade und Ebene schneiden sich d 7 e Aufgabe Zwei Geraden g und h in R seien in Normalenform gegeben durch a x + b y + c bw a x + b y + c Wir nehmen an dass g und h weder gleich noch parallel sind

28 a Folgern Sie aus der linearen Unabhängigkeit der Richtungsvektoren von g und h dass g und h genau einen Schnittpunkt haben (Von welcher Gestalt ist eine Treppenstufenform der ugehörigen erweiterten Koeffiientenmatrix? f x x R (x x + x + x 8(x + x + x 7 b Stellen Sie mit Hilfe der Cramerschen Regel eine Formel für die Koordinaten des Schnittpunkts von g und h auf Die gemeinsamen Punkte von g und h sind die Lösungen des linearen Gleichungssystems das sich als Kombination der gegebenen Normalenformen ergibt Die Zeilen der ugehörigen Koeffiientenmatrix sind die Normalenvektoren (a b T und (a b T Nach Voraussetung sind die Richtungsvektoren von g und h linear unabhängig Also sind auch die Normalenvektoren linear unabhängig und somit nicht skalare Vielfache voneinander Die Treppen einer Treppenstufenform der erweiterten Koeffiientenmatrix des linearen Gleichungssystems entsprechen also den Unbekannten x und y Also ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar und es gibt genau einen Schnittpunkt von g und h Die rechte Seite ist ( c c T Nach der Cramerschen Regel sind die Koordinaten des Schnittpunkts also c b c b a c a c x a y b a b a b a b Aufgaben um Kapitel (Kreise und Kugeln Aufgabe Welche geometrischen Figuren beschreiben die folgenden Mengen? {( x a R (x + (x + 8 b c d x {( x x {( x x {( x x R (x (x + R x + x + x + 6x R (x + x x (x + + x ( x x e x R (x x x + (x x + x ( + x + x 7 + x ( a Kreis(rand mit Radius um M R : {( x R x + (x + 9 x b Kreis(fläche mit Radius ( um M R : {( x R (x + (x + x c Kreis(rand mit Radius ( um M R : {( x R (x + + (x + x ( d Kreis(rand mit Radius um M R : {( x R (x + (x + x e Vollkugel mit Radius 8 um M R : x x R x x + (x + x 8 f Kugelfläche mit Radius um M R : x x R (x x + (x + (x + Aufgabe Berechnen Sie u denen in Aufgabe angegebenen geometrischen Objekten den Umfang den Flächeninhalt oder das Volumen a Der Umfang beträgt πr π 6π b Der Flächeninhalt beträgt πr π π 6

29 c Der Umfang beträgt πr π π d Der Umfang beträgt πr π π e Das Volumen beträgt πr π 8 8 π f Der Flächeninhalt beträgt πr π π Aufgabe Gegeben sei eine Kugelfläche durch den Mittelpunkt P und einen Punkt Q auf der Kugelfläche Geben Sie jeweils eine expliite Darstellung der Kugelfläche an a P Q b P Q Indem man den Abstand von P u Q berechnet erhält man den Radius der Kugelfläche Entsprechend erhält man a {x R x ( T 9 b {x R x ( T Aufgabe Überprüfen Sie ob die Gerade g Sekante Tangente oder Passante des Kreises K ist und bestimmen Sie gegebenenfalls gemeinsame Punkte: {( ( {( x a g + r r R und K R (x + (x + {( b g {( c g {( d g ( + r ( + r ( + r r R und K x {( x x (( r R und K K {( x r R und K x R x + x x + 8x + 9 R (x + (x a Seten wir x + r und x r in die Kreisgleichung ein so folgt r(r Die Gerade und der Kreis haben also wei Schnittpunkte (die Gerade ist eine Sekante diese sind S ( ( + ( und S ( ( ( 6 + b Die Kreisgleichung formen wir um u K {( x x R (x + (x + 8 Einseten von x + r und x r liefert (r Die Gerade und der Kreis haben also genau einen Schnittpunkt (die Gerade ist eine Tangente dieser ist c Der Kreis ist gegeben durch K S {( x x ( ( ( + R (x + (x 8 Einseten von x + r und x r liefert r oder r Die Gerade und der Kreis haben also wei Schnittpunkte (die Gerade ist eine Sekante und diese sind S ( ( + ( und S ( ( + ( d Seten wir x + r und x r in die Kreisgleichung ein so berechnet man (r + 9 Diese Gleichung ist für kein r R erfüllt somit haben die Gerade und der Kreis keinen Schnittpunkt (die Gerade ist eine Passante Aufgabe Gegeben sei der folgende Kreisrand sowie die Punkte ( P Q (( K {( x ( R x R (x + (x ( S ( ( T + ( und U Welche Punkte liegen innerhalb des Kreises welche liegen genau auf dem Kreisrand und welche liegen außerhalb des Kreises Wir müssen lediglich den Abstand der Punkte um Mittelpunkt M ( T R bestimmen Ist dieser kleiner als so liegt der Punkt im Innern des Kreises ist er gleich liegt der Punkt genau auf dem Kreisrand Ist der Abstand hingegen größer als so liegt der Punkt außerhalb des Kreises Man berechnet 7 8