Lineare Algebra Übungen mit Lösungen

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1 Dr Andreas Maurischat Aachen 9 September 7 Lineare Algebra Übungen mit Lösungen Vorkurs Mathematik 7 RWTH Aachen Vorlesung Aufgaben um Kapitel (Vektorrechnung Aufgabe Im R sind die Punkte P (; ; Q (; ; R ( ; ; gegeben a Bestimmen Sie die Ortsvektoren p q und r der drei Punkte sowie sämtliche Verbindungsvektoren PQ QP PR etc b Welche dieser neun Vektoren sind Vielfache voneinander? c Rechnen Sie nach dass für diese Vektoren die Gleichung q + QP RP gilt a p ( ( q r / ( PQ / ( sowie QP ( PQ RP / ( PR ( RQ QR / b Außer den generellen Vielfachen PQ QP etc gilt in diesem Fall noch r PQ c q + QP ( / + ( / ( + + /+/ ( RP Aufgabe Im R sind die Punkte A (; B (; und C (; gegeben (vgl Abbildung a Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB b Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S auf der Strecke MC der von C doppelt so weit entfernt ist wie von M c Zeigen Sie dass S auch auf der Strecke wischen A und dem Mittelpunkt M der Strecke BC liegt und war doppelt so weit von A entfernt wie von M d Zeigen Sie dass S auch auf der Strecke wischen B und dem Mittelpunkt M der Strecke AC liegt und war doppelt so weit von B entfernt wie von M

2 e* Sind c und d speielle Eigenschaften der drei gewählten Punkte oder gelten Sie für beliebige Punkte A B und C? a m a + ( AB ( + b s m + MC ( 8/ 7/ c m b + ( BC 7/ und m + ( M A 8/ 7/ s d m a + ( AC / / und m + M B s ( 8/ 7/ ( / e* Diese Aussage gilt allgemein denn Und daher m a + AB a + ( b a ( a + b s m + ( c m c + m ( c + a + b Letter Ausdruck bleibt derselbe wenn man a b und c vertauscht weshalb die Aussagen c und d in jedem Dreieck gelten Bemerkung: S ist der sogenannte Schwerpunkt des Dreiecks ABC Aufgabe Im R sind die Punkte P (; ; Q (; ; R ( ; ; gegeben a Bestimmen Sie den Punkt Q den man erhält wenn man Q an P spiegelt b Bestimmen Sie den Punkt R den man erhält wenn man R an P spiegelt

3 c Rechnen Sie nach dass Q R QR gilt d* Zeigen Sie dass c für beliebige Punkte P Q und R gilt a PQ PQ also b r p PR c Q R ( ( q p + PQ p PQ und QR ( ( d* Nach Rechnung gilt allgemein: ( ( ( ( Q R r q ( p ( r p ( p ( q p r + q QR Aufgabe Bestimmen Sie jeweils eine Parameterform der Geraden durch die gegebenen Punkte a (; ; und (; ; b (7; 8; und (; ; c (; und (; {( ( {( ( a + r r R oder auch + r b { ( 78 + r ( c B {( + r ( r R {( ( r R oder auch + r r R r R Aufgabe Untersuchen Sie jeweils ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen a (; ; und (; ; sowie (7; ; 8 b (; ; und (; ; sowie (; ; c (; ; und (; ; sowie (; 7; 6 a nein b ja c nein

4 Aufgabe 6 Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene welche die angegebenen Punkte bw Geraden enthält a (; ; und (; ; sowie (; ; b (; ; und (; ; sowie (; ; {( ( c (; ; und + s s R {( {( ( ( {( ( ( a + r + s r s R oder auch + r + s b c {( ( ( {( ( ( + r + s r s R oder auch + r + s ( ( + r + s r s R r s R r s R Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils ob die gegebenen Vektoren Vielfache voneinander sind a ( ( b ( ( c ( ( 6 d ( ( a keine Vielfachen b weiter ist das -fache des ersten c weiter ist das -fache des ersten d keine Vielfachen Aufgaben um Kapitel (Matrien Grundlagen der Matrixrechnung Aufgabe 8 Geben Sie die folgenden Matrien A expliit an a A (a ij R mit a ij i j für alle i j { b A (a ij R mit a ij i j (die j-te Poten von i für alle i j { c A (a ij R mit a ij i j für alle i { und j { d A (a ij R mit a ij (i + (j für alle i { und j { a 6 b c 9 7 ( d 6 8

5 Aufgabe 9 Wie lauten die Einträge ( ( ( ( beiehungsweise ( (falls sie existieren der folgenden Matrien Es gilt A B ( a 7 a a 6 a a und C b 8 b b b 7 Der Eintrag b existiert nicht (? 7 c c c Die Einträge c und c existieren nicht Aufgabe Welche der folgenden Matrien sind gleich? A (a ij R mit a ij i j B (b ij R mit b ij i + j C (c ij R mit c ij max{i j D (d ij R mit d ij i+j + j i ( E (e ij R mit e ij i j j+ + F ( f ij R mit f ij (i + + (j Argumentieren Sie geschickt Zur Gleichheit: Es gilt A E B F und C D Es genügt die Definitionen der Matrien u vergleichen Die Gleichheit der Matrien A und E sieht man ein wenn man die dritte binomische Formel bei e ij verwendet Bei der Gleichheit der Matrien B und F muss lediglich in den f ij usammengerechnet werden Für die lette Gleichheit muss man die Fälle unterscheiden dass j i ist bw dass j < i ist Im ersten Fall ist nämlich j i j i und der Term bei d ij vereinfacht sich u j und auch max{i j ist gleich j Im weiten Fall ist j i i j und der Term bei d ij vereinfacht sich u i was wiederum gleich dem Maximum max{i j ist

6 Vorlesung Aufgabe Berechnen Sie jeweils (sofern möglich A + B und A B a A ( ( 6 9 B b A 8 6 c A 8 B 8 6 ( a 7 7 ( b nicht definiert c 9 9 B Aufgabe Führen Sie jeweils die Skalarmultiplikation durch a ( b ( 8 7 ( a b Aufgabe Bilden Sie jeweils sofern möglich alle Produkte von je wei der folgenden Matrien also A AB BA B AC CA BC CB C A E ( ( B C ( D F G ( ( H 6

7 Es sind genau die folgenden Produkte definiert: ( ( ( A 8 AB AH ( ( 7 ( BE BF CD 6 6 ( 9 6 CF 7 DC DG EA EB EH FE ( GH F HA ( 8 6 GA HB ( ( BD ( CE 9 8 ( 9 FD 7 ( GB 8 ( H Aufgabe a Bestimmen Sie für welche Matrien A und B sowohl das Produkt A B als auch das Produkt B A definiert ist b Geben Sie Beispiele von Matrien A und B wie in a an für die A B und B A von verschiedenem Format sind (verschiedene Anahlen Spalten bw Zeilen c Geben Sie Beispiele von Matrien A und B wie in a an für die A B und B A war vom gleichen Format aber nicht gleich sind a Genau dann sind beide Produkte definiert wenn die Anahl der Spalten von A gleich der Anahl der Zeilen von B und die Anahl der Spalten von B gleich der Anahl der Zeilen von A ist b A ( ( B ( 6 7 c A B 8 9 ( A B ( B A ( ( 6 A B 8 B A ( 6 7 Aufgabe Beweisen Sie das Assoiativgeset für die Matrixmultiplikation von reellen ( -Matrien 7

8 Für Matrien A (a ij B (b ij und C (c ij R gilt einerseits (( ( ( a a b b c c a a b b c c ( ( a b + a b a b + a b c c a b + a b a b + a b c c ( (a b + a b c + (a b + a b c (a b + a b c + (a b + a b c (a b + a b c + (a b + a b c (a b + a b c + (a b + a b c und andererseits ( (( a a a a ( ( a a a a ( b b b b ( c c c c b c + b c b c + b c b c + b c b c + b c a (b c + b c + a (b c + b c a (b c + b c + a (b c + b c a (b c + b c + a (b c + b c a (b c + b c + a (b c + b c Ausmultipliieren der Einträge eigt dass diese Matrien gleich sind Aufgabe 6 Bildet die Menge der reellen (n n - Matrien einen Körper? Geben Sie gegebenenfalls an welche Regel(n verlett ist (sind Für n stimmt die Menge der ( -Matrien mit R überein und R ist nach der Grundlagen Vorlesung ein Körper Gilt aber n so ist um einen die Matrixmultiplikation nicht kommutativ wie man um Beispiel an folgenden Matrien sieht (die sich beliebig auf (n n - Matrien erweitern lassen: ( ( ( ( ( ( Zum anderen ist die Existen eines inversen Elements nicht gesichert wie das folgende Beispiel eigt (welches sich ebenfalls beliebig auf (n n - Matrien erweitern lässt: ( Angenommen diese Matrix besäße ein inverses Element ( a b c d so müsste gelten ( ( ( ( a b a b c d was offensichtlich einen Widerspruch darstellt 8

9 Aufgabe 7 Beweisen Sie dass Man rechnet nach ( ( n (( ( für alle n N gilt ( ( ( Daraus schließt man (aufgrund der Assoiativität der Matrixmultiplikation: ( n ( ( n ( n ( Alternativ kann die Aufgabe auch mit vollständiger Induktion gelöst werden Aufgabe 8 Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe vollständiger Induktion: ( n ( n a Für alle n N gilt n a a n b Für alle n N gilt a a n dabei seien a a und a a a n reelle Zahlen n n n(n c Für alle n N gilt n n d Für alle n N gilt e Für alle n N gilt +( n ( n n ( n +( n n Induktionsanfang n : ( ( 9

10 also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : ( n+ ( n ( ( + n + n + + ( ( IV n ( n + Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N Induktionsanfang n : a a a a a a also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : a a a n+ a n a a a a a a n a IV a n a a n a a n a a n+ a n a a n+ a n a a n+ Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N Induktionsanfang n : ( also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N

11 Induktionsschritt n n + : n+ n n n(n IV n n + n + n(n n + n + n n n + n + n + n +n n + n(n+ n + n + Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N Induktionsanfang n : +( ( ( +( also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : n+ n IV +( n ( n ( n +( ( n +( n +( n+ +( n ( n ( n+ ( n+ +( n+ Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N

12 Induktionsanfang n : also ist der Induktionsanfang geeigt Induktionsvoraussetung: Es gelte die Behauptung für ein beliebiges aber festes n N Induktionsschritt n n + : n+ n IV n + ( ( + + ( ( + n ( ( + + ( ( + ( ( + + ( ( + n n (n+ Dies ist die Behauptung für n + also folgt mittels Induktionsprinip die Behauptung für alle n N *Aufgabe 9 Sei V eine Menge V heißt reeller Vektorraum oder auch R-Vektorraum falls auf V eine Addition + und eine skalare Multiplikation definiert ist sodass v + v V und r v V für alle v v V und r R erfüllt ist und weiterhin (V (v + v + v v + (v + v (V es existiert ein V V mit V + v v + V v (V es existiert ein v mit v + ( v ( v + v V (V v + v v + v (S r (v + v r v + r v (S (r + r v r v + r v (S (r r v r (r v (S v v für alle r r R und v v v V gilt

13 Bildet die Menge der reellen (n m-matrien mit den aus der Vorlesung eingeführten Verknüpfungen + und (skalare Multiplikation einen R-Vektorraum? Die Menge bildet mit den aus der Vorlesung bekannten Verknüpfungen R-Vektorräume Rechenregeln siehe Vorlesung Nullelement ist die Nullmatrix und das additive Inverse einer Matrix A ist A Aufgaben um Kapitel (Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren Aufgabe Es seien folgende lineare Gleichungssysteme gegeben Geben Sie jeweils die ugehörige Koeffiientenmatrix und erweiterte Koeffiientenmatrix an: a x 7x + x + x x + x x x + x + x b x x + x x + x x 6x + x + x c x + x + x + x x x x + x Die Koeffiientenmatrix beiehungsweise erweiterte Koeffiientenmatrix lauten a 7 7 beiehungsweise b beiehungsweise 6 6

14 c ( beiehungsweise ( Vorlesung Aufgabe Überseten Sie jeweils die Textaufgabe in ein lineares Gleichungssystem und lösen Sie es mit dem Additionsverfahren und/oder Einsetungsverfahren a Vor drei Jahren war Monika dreimal so alt wie Peter In vier Jahren ist Monika nur noch doppelt so alt wie Peter Wie alt sind Peter und Monika? b Drei normale Brötchen kosten so viel wie wei Körnerbrötchen Fünf normale Brötchen sind um 7 Cent teurer als drei Körnerbrötchen Wie viel kosten normale Brötchen und Körnerbrötchen? c Bei Zählungen am Gleisdreieck Mannheim-Friedrichsfeld wird festgestellt dass in dem beobachteten Zeitraum 8 Züge nach Mannheim fuhren oder aus Mannheim kamen Züge passierten das nördliche Ende Richtung Weinheim bw von Weinheim kommend und Züge fuhren nach Heidelberg oder kamen aus Heidelberg Wie viele Züge fuhren auf der Strecke Mannheim Weinheim wieviele auf der Strecke Heidelberg Mannheim und wie viele auf der Strecke Heidelberg Weinheim? a Das Gleichungssystem lautet in Standardform m (p m + (p + m p 6 m p Multipliiert man die erste Gleichung mit und addiert dann die Gleichungen erhält man p p 6 + p In die erste Gleichung eingesett: m 6 also m 6 Eine Probe eigt dass ( p m ( auch wirklich beide Gleichungen erfüllt b Das Gleichungssystem lautet n k n k + 7

15 in Standardform n k n k 7 Löst man die erste Gleichung nach k auf erhält man k n Dies in die weite Gleichung eingesett ergibt: n 9n + 7 n 7 n Daraus erhält man: k Eine Probe eigt dass ( n k ( auch wirklich beide Gleichungen erfüllt c Sind x die Anahl der Züge auf der Strecke Mannheim Weinheim x für die Strecke Heidelberg Mannheim und x für die Strecke Heidelberg Weinheim erhält man x +x 8 (Züge aus/nach Mannheim x +x (Züge aus/nach Weinheim x +x (Züge aus/nach Heidelberg Zieht man die weite von der ersten Gleichung ab erhält man x x 8 Addiert man diese Gleichung ur dritten Gleichung erhält man x + also x Dies in die erste bw dritte Gleichung eingesett ergibt: x 8 und x Eine Probe eigt dass Gleichungen erfüllt ( x x x ( auch wirklich alle drei Aufgabe Geben Sie jeweils ein (möglichst einfaches Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten an a das genau eine Lösung hat b das unendliche viele Lösungen hat c das keine Lösung hat Zum Beispiel a x x x b x x x + x c x x x + x Aufgabe In Abbildung sind verschiedene (sphärische Polyeder abgebildet Für jeden solchen Polyeder gilt dass die Anahl k der Kanten genau um kleiner ist als die Summe der Eckenanahl e und der Flächenanahl f Bestehen alle Flächen aus Dreiecken so ist das Doppelte der Kantenanahl gleich dem Dreifachen der Flächenanahl (ählt man nämlich für jedes Dreieck die Kanten je so hat man am Ende jede Kante doppelt geählt weil jede Kante u wei Seitenflächen gehört Ähnlich erhält man einen Zusammenhang wischen der Eckenanahl und der Kantenanahl wenn an jeder Ecke gleich viele Kanten enden

16 a Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für k e und f für den Fall des Oktaeders (lauter Dreiecke und an jeder Ecke enden Kanten auf und lösen Sie dieses b Stellen Sie entsprechend ein lineares Gleichungssystem auf für ein Polyeder dessen Seitenflächen lauter Dreiecke sind und bei dem an jeder Ecke fünf Kanten enden Lösen Sie auch dieses c Stellen Sie entsprechend ein lineares Gleichungssystem auf für ein Polyeder dessen Seitenflächen lauter Fünfecke sind und bei dem an jeder Ecke drei Kanten enden d Gibt es ein Polyeder aus lauter Dreiecken bei dem an jeder Ecke sechs Kanten enden? e Gibt es ein Polyeder aus lauter Fünfecken bei dem an jeder Ecke vier Kanten enden? Abbildung : Verschiedene Polyeder a b e + f k f k e k Zweite Gleichung nach f auflösen und dritte nach e Dann beides in erste Gleichung einseten liefert k Anschließend rechnet man mit weiter und dritter Gleichung aus dass f 8 und e 6 sind Probe nicht vergessen! e + f k f k e k c Ausrechnen wie oben: Lösung ist e f und k (Ikosaeder e + f k f k e k Fast das gleiche LGS Lediglich die Rollen von e und f sind vertauscht (Ohne nochmal etwas u rechnen Lösung ist e f und k (Dodekaeder 6

17 d e e + f k f k 6e k Löst man hier die weite und dritte Gleichung nach f bw e auf und sett in die erste ein erhält man k + k k Also k was nicht erfüllbar ist Es gibt daher kein solches Polyeder e + f k f k e k Hier erhält man nach obigem Schema die Gleichung k + k k k k Das Gleichungssystem ist lösbar mit Lösung k e und f 8 Da die Anahlen aber natürliche Zahlen sein müssen ergibt das keine Lösung für das Problem Aufgabe Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme a x x x + x b x +x x x x +x c x +y + x +9y + x +y + a L {( {( r r b L a L r R Aufgabe Geben Sie jeweils an durch welche elementare Zeilenumformung die Matrix A in die Matrix B transformiert werden kann a A und B 7

18 b A c A und B und B 7 a Vertauschen der ersten und dritten Zeile b Multiplikation der weiten Zeile mit c Addition des Dreifachen der dritten Zeile ur ersten Aufgabe 6 Geben Sie für jede der folgenden Matrien an ob sie in (Zeilen-Stufenform bw sogar reduierter Stufenform ist A B C 8 6 D E F In Stufenform sind die Matrien A C E und F aber nicht B und D Die Matrien C E und F sind sogar in reduierter Stufenform Aufgabe 7 Transformieren Sie die nachfolgenden Matrien jeweils durch elementare Umformungen in eine Matrix in reduierter Stufenform 6 A B 6 C D 6 8

19 Die Matrix A formt man wie folgt um: (ZSF 6 6 (red ZSF Die Matrix B wird wie folgt umgeformt: (ZSF (redzsf Die Matrix C wird wie folgt umgeformt: 8 8 (ZSF (red ZSF Die Matrix D schließlich wird wie folgt umgeformt: (ZSF (red ZSF 6 7 9

20 Aufgabe 8 Lösen Sie die in Aufgabe aufgestellten linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß- Verfahren Alle angegebenen Umformungen sind diejenigen die man erhält wenn man dem in der Vorlesung angegebenen Gauß-Verfahren streng folgt a Umformungen: ( 6 ( 6 ( Einige Lösung ( m p ( b Umformungen: ( ( ( ( Einige Lösung ( n k ( c Umformungen: ( 8 Einige Lösung ( 8 ( 8 ( 8 ( x x x ( ( 8 ( ( ( 8 Aufgabe 9 Lösen Sie jeweils das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren a x + y + x + 9y + x + y + b x x + 6x x x + x x + x x x + x x c x + y + y + x + y + a {( p p p R b {( p p q p p q R c q

21 Aufgabe Lösen Sie jeweils das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren a x + y x + 6y + 8 x 7y c x + x + y + x + y + 6 e x + x + x x + x + x + x x + x x + x x + x + x b x + 8y 6x + y + x + 8y + d x + x + x + x x + x + x x + x + 6x + x f x + x + 8x x + x + x + 6x x + x + x x + x + x + 8x a {( T b {( p p T p R c d {( p p + p T p R e {( T f {( p q p q q T p q R Aufgabe Bestimmen Sie jeweils alle Parameter a b c d R für die die Funktion f : R R x ax + bx + cx + d die gewünschten Bedingungen erfüllt a Es gilt f ( und f ( sowie f ( b Es gilt f ( und f ( sowie f ( c Die Gerade mit der Gleichung y x ist die Wendepunkttangente des Graphen von f und die Wendestelle ist a Gleichungssystem: a + b + c + d 8a + b + c + d a + b c + d a p und b p + sowie c p und d p für beliebiges p R b Gleichungssystem: a + b + c + d a + b + c a + b c + d a p und b p + sowie c p + und d p für beliebiges p R

22 c Dass die Gerade y x ein Tangente an den Graphen von f an der Stelle x ist ist äquivalent u f ( und f ( Die Bedingung dass die Wendestelle ist ist äquivalent u f ( und f ( 6a (dh a Somit hat man das Gleichungssystem a + b + c + d a + b + c 6a + b sowie die Zusatbedingung a a p und b p sowie c p + und d p für beliebiges p R \ { *Aufgabe Gegeben sei das folgende Gleichstromnet: R I U R I R I I R In einem Gleichstromnet gelten die Kirchhoffschen Regeln Die Knotenregel besagt dass in jedem Knoten im Net die Summe der Ströme deren Pfeil auf den Knoten hinweist gleich der Summe der Ströme ist deren Pfeil vom Knoten wegweist Die Maschenregel besagt dass wenn man einen geschlossenen Weg durch das Net läuft und dabei die Produkte ±R k I k an den durchlaufenen Widerständen aufsummiert (mit positivem Voreichen wenn der Weg in Pfeilrichtung verläuft und mit negativem Voreichen wenn der Weg entgegen der Pfeilrichtung verläuft man die Summe der Spannungen der Spannungsquellen auf diesem Weg erhält Berechnen Sie mit diesen Regeln die Stromstärken in obigem Net wenn die Spannungsquelle 6 V hat und für die Widerstände R Ω sowie R Ω und R Ω sowie R Ω gilt Die Knotenregel liefert die Bedingungen I + I I (oberer Knoten und I I + I (unterer Knoten und aus der Maschenregel erhält man R I + R I + R I U (linke Masche gegen den Uhreigersinn durchlaufen sowie R I R I (rechte Masche gegen den Uhreigersinn durchlaufen Man hat also in Standardform (und ohne Einheiten

23 das Gleichungssystem I I I I I I I + I + I 6 I + I I und I sowie I und I (jeweils in Ampere Vorlesung Aufgabe Untersuchen Sie jeweils ob das gegebene lineare Gleichungssystem keine genau eine oder unendlich viele Lösungen hat a x + y x + y + y + 6 b x + y + x + y + x + y + c x y + x y + x y + a Zeilenstufenform hat (bei drei Variablen wei Treppenstufen und eine ( -Zeile unendlich viele Lösungen b Zeilenstufenform hat (bei drei Variablen drei Treppenstufen genau eine Lösung c Zeilenstufenform hat wei Treppenstufen und eine ( -Zeile keine Lösung Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in Abhängigkeit von a R auf Lösbarkeit a x + ay + a y a x + (a y + (a + a c x + y a x + (a + y a b x + x + y + (a + x + y + (a + a + d x + a y a x + y a a lösbar genau für a oder a b lösbar genau für a c lösbar genau für a d lösbar genau für a

24 Aufgabe Untersuchen Sie jeweils in Abhängigkeit von a R ob das gegebene lineare Gleichungssystem keine genau eine oder unendlich viele Lösungen hat a x + y + a x + (a + y + 7 x + y + a b ax + y + a ax + (a + y + (a + a (a + ay + (a a für a unlösbar für a unendlich viele Lösungen sonst genau eine Lösung b für a unlösbar für a { unendlich viele Lösungen sonst genau eine Lösung Aufgabe 6 Bestimmen Sie aus dem Ergebnis von Aufgabe 9 a die Lösungsmenge von x + y + x + 9y + x + y + (ohne erneutes Lösen eines Gleichungssystems { ( p p p R Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils für die gegebene Matrix A ob das Gleichungssystem A x b für alle b R lösbar ist a A b A c A 6 a Zeilenstufenmatrix u A hat genau Treppenstufen das Gleichungssystem ist nicht für alle b R lösbar b Zeilenstufenmatrix u A hat genau Treppenstufen das Gleichungssystem ist für alle b R lösbar c Matrix A hat nur wei Spalten Zeilenstufenmatrix u A hat höchstens Treppenstufen Gleichungssystem nicht für alle b R lösbar

25 Aufgabe 8 Aufgaben um Kapitel (Lagebestimmungen Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt (; ; auf der Geraden bw Ebene liegt {( ( a + r r R b c d {( {( 9 {( 9 ( + s s R ( ( + s + t ( ( + r + s s t R r s R a ja (für p b nein c nein d ja (für p und q Aufgabe 9 Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt P auf der Geraden QR liegt a P (; ; Q (; ; und R (7; ; 8 b P (; ; Q (; ; und R (; ; c P (; ; Q (; ; und R (; 7; 6 Genau die gleiche Rechnung wie in Aufgabe Lösungen sind also: a nein b ja c nein Aufgabe Untersuchen Sie jeweils ob die vier Punkte in einer Ebene liegen a (; ; und (; ; sowie (; ; und ( ; ; 8 b (; ; und (; ; sowie (; ; und (; ; c (; ; und (; ; sowie (; ; und ( ; 9; a ja b nein c ja

26 Aufgabe Untersuchen Sie jeweils durch Lösen eines linearen Gleichungssystems ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind a ( ( ( 7 b ( ( ( 7 c a linear unabhängig b linear abhängig c linear abhängig ( 6 ( 7 ( 8 Aufgabe Untersuchen Sie jeweils durch Lösen eines linearen Gleichungssystems ob der dritte Vektor linear abhängig von den ersten beiden Vektoren ist a ( ( ( b ( ( ( 7 c a nicht linear abhängig b nicht linear abhängig c linear abhängig ( ( ( 9 Aufgabe Argumentieren Sie möglichst geschickt ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind a ( ( 6 ( b ( 7 ( ( 6 c a dritter Vektor ist das Negative des ersten Vektors linear abhängig ( ( ( b Das homogene lineare Gleichungssystem dessen Lösungen die Koeffiiententupel sind mit denen sich die drei gegebenen Vektoren um Nullvektor linearkombinieren hat wei Gleichungen und drei Unbekannte Da es sich um ein homogenes lineares Gleichungssystem handelt ist es lösbar Eine Zeilenstufenform der (erweiterten Koeffiientenmatrix hat höchstens wei Treppenstufen so dass mindestens ein Parameter ur Beschreibung der Lösungsmenge notwendig ist Also gibt es unendlich viele Lösungen dieses Gleichungssystems und darunter ist sicherlich ein Koeffiiententupel welches von Null verschiedene Einträge hat Also sind die gegebenen Vektoren linear abhängig c Wir nehmen an dass die Linearkombination der gegebenen Vektoren mit Koeffiienten r s t der Nullvektor ist Aufgrund der ersten Einträge der Vektoren ist dann s Es spielen also nur der erste und der dritte Vektor eine Rolle Ihre dritten Einträge impliieren t Aus dem weiten Eintrag des ersten Vektors folgt dann auch r Also sind die gegebenen Vektoren linear unabhängig 6

27 Aufgabe Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Geraden (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben genau einen Schnittpunkt; sind windschief und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt {( ( {( a + p p R und + q b c d e f {( {( 6 {( 6 {( {( 6 9 ( {( + p p R und + q ( {( 7 ( + r r R und + s ( {( 6 ( + r r R und + s 6 ( {( ( + t t R und + u ( + t t R und {( u ( q R ( 6 q R 8 ( s R s R u R u R a schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in (; ; b parallel aber nicht gleich c schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in (; ; d gleich e windschief f schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in (; ; Vorlesung Aufgabe Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (Gerade liegt in der Ebene; Gerade liegt nicht in der Ebene ist aber parallel u ihr; Gerade und Ebene haben genau einen Schnittpunkt und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt {( ( {( 78 ( ( a + s s R und + q + r q r R b c 7 {( 6 {( 6 ( {( ( + r r R und + s + t 8 ( ( {( ( ( + p p R und + r + s a schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in (; ; b schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in (; ; s t R r s R 7

28 c die Gerade liegt in der Ebene Aufgabe 6 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben eine Gerade als Schnittmenge und bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade {( ( a + p + q b c d {( {( {( ( + r + s ( + q + r ( + t + u ( {( 6 ( ( p q R und + r + s ( r s R ( q r R ( t u R 6 {( 9 ( ( und + t + u {( ( ( und + s + t {( ( ( 6 und + r + s {( ( a haben eine Gerade als Schnittmenge: + t {( ( b haben eine Gerade als Schnittmenge: + x c sind gleich d sind nicht gleich aber parallel 7 t R x R 7 r s R t u R s t R r s R Aufgabe 7 Ein Parallelogramm ist ein Viereck dessen gegenüberliegende Seiten jeweils parallel sind Bestimmen Sie u den Punkten A (; ; B ( ; ; und D (; ; einen vierten Punkt C so dass die vier Punkte ein Parallelogramm ABCD bilden indem Sie die Gerade durch B welche parallel u AD ist mit der Geraden durch D welche parallel u AB ist schneiden Erste Parallele (dh Gerade BC ist { b + r( d a r R und weite Parallele (dh Gerade DC ist { d + s( b a s R Durch Berechnung des Schnittpunktes oder genau hinschauen erhält man dass man den Schnittpunkt für r s bekommt (im Allgemeinen sowie im Zahlenbeispiel also c d + b a ( 8

29 *Aufgabe 8 Seien A B C und D im R vier Punkte die in einer gemeinsamen Ebene liegen Definitionsgemäß ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm wenn gegenüberliegende Seiten ueinander parallel sind wenn also AB parallel u CD und AD parallel u BC ist a Zeigen Sie dass für ein Parallelogramm ABCD sogar AB DC und AD BC gelten (vgl Aufg 7 b Zeigen Sie dass genau dann AB DC ist wenn AD BC erfüllt ist c Zeigen Sie dass in einem Parallelogramm der Schnittpunkt der Diagonalen genau der Mittelpunkt beider Diagonalen ist d Zeigen Sie dass jedes Viereck dessen Diagonalen sich in ihren Mittelpunkten schneiden ein Parallelogramm ist a Im Parallelogramm gilt c b + d a (vgl Lösung u Aufg 7 und AB b a c d DC AD d a c b BC b Beide Gleichungen sind äquivalent u c b + d a c Mittelpunkt M von AC hat Ortsvektor m ( a + c (vgl Aufg bw Vorlesung und Mittelpunkt M von BD hat m ( b + d Nach Gleichung in a ist damit M M d Wenn die Mittelpunkte gleich sind gilt also ( a + c ( b + d c b + d a a AB DC und AD BC Also AB parallel u CD und AD parallel u BC Aufgaben um Kapitel (Skalarprodukt Längen und Winkel Aufgabe 9 Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren a ( ( b ( ( c ( ( d ( ( a b c d 9

30 Aufgabe Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren ( ( ( ( a b c a b c ( 9 ( Aufgabe Seien a b R m mit a a a b und b b Berechnen Sie a a ( a + b b ( a + b ( a b c ( a + b ( a b Aufgrund des Kommutativ- und Distributivgesetes für das Skalarprodukt gilt a a (a + b a a + a b + b (a + b (a b (a a a b + b a b b (a a b b ( 8 c ( a + b ( a b a a a b + 6 b a 8 b b a a a b 8 b b Aufgabe Berechnen Sie jeweils die Länge des Vektors ( ( ( a b c d a b c d e f ( e ( f ( 8 6 Aufgabe Die drei Punkte A (; ; B (; ; und C ( ; ; bilden ein Dreieck Untersuchen Sie ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist (dh wei Seiten gleich lang sind oder sogar gleichseitig ist (dh alle drei Seiten gleich lang sind Die Seitenlängen sind d(a B AB ( + ( + ( d(a C AC ( + ( + ( d(b C BC ( + ( + ( 9 Das Dreieck ist also gleichschenklig mit Schenkeln AC und BC aber nicht gleichseitig

31 Aufgabe Die drei Punkte A (; ; B ( ; ; und C (; ; bilden ein Dreieck Untersuchen Sie ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist (dh wei Seiten gleich lang sind oder sogar gleichseitig ist (dh alle drei Seiten gleich lang sind Die Seitenlängen sind d(a B AB ( + ( + + ( d(b C BC ( + + ( + ( d(c A CA ( + ( + ( Das Dreieck ist also gleichseitig Aufgabe Welche der folgenden Vektoren sind ueinander senkrecht? u ( v ( w ( ( u ist u allen drei anderen senkrecht Außerdem sind w und ueinander senkrecht Aufgabe 6 Bestimmen Sie jeweils alle s R für die v und w senkrecht aufeinander stehen a v ( w ( a s b s c s { s ( s ( b v w s+ s ( s c v s+ ( w s Aufgabe 7 Bestimmen Sie jeweils alle s R für die u senkrecht auf v und w steht a u c u ( s v ( w ( ( s s v w ( b u ( s v ( s ( ( ( s s s d u v s ( ss w ( s w

32 a u v u w + s also s b u v + s u w also s c u v + s (s (s + u w s + s (s also s d u v + s (s + ((s + u w s also erfüllt kein s R gleicheitig u v und u w Aufgabe 8 Gegeben seien die drei Punkte A (; 6; B ( ; ; und C (; ; a Zeigen Sie dass das Dreieck ABC rechtwinklig mit rechtem Winkel bei B ist b Bestimmen Sie den Punkt D so dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist a BA ( BC b Mit Skie sieht man dass Also D (6; ; ( also sind die Seiten AB und BC ueinander senkrecht d a + AD a + BC ( 6 ( ( Vorlesung Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils eine Koordinatenform der Geraden g { u + r v r R im R wobei a u ( und v ( b u ( und v ( c u ( und v ( a { x R x + x b { x R x + x c { x R x x Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der in Koordinatenform gegebenen Geraden a {( x y R x + y b { ( x x R x

33 Mögliche Lösungen: a {( + r ( r R b {( + r ( r R Aufgabe 6 Berechnen Sie das Kreuprodukt der Vektoren v und w a v w b v w s s c v 9 w d v s w s + 6 s a v w b v w c v w d v w s Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils das Kreuprodukt v w und geben Sie eine Normalenform und Koordinatenform der Ebene E { u + p v + q w p q R an a u b u c u ( ( ( a v w b v w c v w v v v ( ( 8 ( ( ( ( w w w ( ( ( 7 und E R x + y und E R 8x y 7 und E R 8x + 9y + 7 Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils eine Normalenform und Koordinatenform der in Parameterform gegebenen Ebene {( ( a + p + q ( p q R {( ( b + p ( + q p q R

34 a Eine Normalenform und Koordinatenform ist gegeben durch ( R (( xy ( b Eine Normalenform und Koordinatenform ist gegeben durch ( R 6 (( xy ( R x + y R x + y + 6 Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der in Koordinatenform gegebenen Ebene {( a R xy x + y + b R x y {( ( ( {( ( ( a + p + q p q R b + p + q p q R Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der gesuchten Geraden {( ( ( a Gerade senkrecht u + p + q p q R durch (; ; {( 8 ( {( 8 ( b Gerade senkrecht u + p p R und + q q R durch (; 8; c* Gerade die senkrecht auf g steht und in E enthalten ist wobei {( ( g + p p R {( und E + q ( + r {( ( {( 8 ( {( a + r r R b + r r R c + r ( q r R ( r R Aufgabe 66 Berechnen Sie jeweils eine Normalenform und Koordinatenform der gesuchten Ebene {( ( a Ebene senkrecht u + p p R durch (; ; b Ebene die den Punkt (; ; enthält und senkrecht auf E und E steht wobei {( E + p ( ( 7 { ( + q p q R und E r + s ( r s R

35 c Ebene die die Gerade g enthält und senkrecht auf die Ebene E steht wobei {( 9 6 ( ( g + p p R und E + q + r {( 7 ( 6 {( a R xy x y + b c R 8x y + R x + y + 7 q r R Aufgabe 67 Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt (; auf der gegebenen Geraden liegt a ja b nein a { ( x x R x + x b { ( x x R x x Aufgabe 68 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der Geraden und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt a { ( + r ( R r R und { ( x x R x + x b { ( + r ( R r R und { ( x x R x x a Schnittpunkt bei ( ; 7 b kein Schnittpunkt; echt parallel Aufgabe 69 Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt (; ; auf der gegebenen Ebene liegt a a nein b ja R x + y b R x + y Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (Gerade liegt in der Ebene; Gerade liegt nicht in der Ebene ist aber parallel u ihr; Gerade und Ebene haben genau einen Schnittpunkt und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt

36 a b c {( 6 {( {( ( {( xy + p p R und + p ( {( xy p R und ( 7 {( xy + p p R und R x y + R x + y R x y + a schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in (9; ; b die Gerade liegt nicht in der Ebene ist aber parallel u ihr c schneiden sich in genau einem Punkt nämlich in (; ; Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der Ebenen (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben eine Gerade als Schnittmenge und bestimmen Sie ggf die Schnittgerade a b c d e f g h {( R 6 ( ( x y + und + p + q {( R 8 ( ( 9 x y + und + p + q {( R ( x y + und + p + q {( R xy x + y + 8 und {( R xy x + 7y + und {( R xy x + y + 8 und {( R xy x + y + 8 und {( R xy x y + und {( ( a haben eine Gerade als Schnittmenge: + r {( b haben eine Gerade als Schnittmenge: + r c sind nicht gleich aber parallel {( ( d haben eine Gerade als Schnittmenge: + r e haben eine Gerade als Schnittmenge: 6 6 ( R x + y + p q R 7 p q R p q R R x + 9y + R x + y + 6 R x y 8 R x y + {( + r ( ( r R r R r R r R 6

37 {( ( f haben eine Gerade als Schnittmenge: + r g sind nicht gleich aber parallel {( 8 ( h haben eine Gerade als Schnittmenge: + r r R r R Aufgabe 7 Berechnen Sie jeweils den Winkel wischen den beiden Vektoren a ( a b 9 c 6 ( b ( ( c ( ( Aufgabe 7 Berechnen Sie jeweils den Schnittwinkel der geometrischen Objekte in R {( 6 ( {( 6 ( a + p p R und + q q R b c {( {( ( ( {( ( + p + q p q R und + r + p ( + q a 9 b 6 c 6 ( r R {( ( ( p q R und + r + s r s R Aufgabe 7 Bestimmen Sie jeweils die Projektion des Vektors v in Richtung w a v ( w ( b v ( w ( c v ( ( w Wir normieren uerst den Richtungsvektor w um die Länge der Projektion als Skalarprodukt ausurechnen a Länge der Projektion: ( ( ( Projektion: ( ( ( b Länge: ( ( ( Projektion: ( ( ( c v und w stehen senkrecht aufeinander Projektion: ( 7

38 7 Vorlesung Aufgabe 7 Aufgaben um 6 Kapitel (Abstände Bestimmen Sie jeweils den Lotfußpunkt L von P auf der Geraden g bw der Ebene E {( 7 ( a P (; ; und g + r r R b P (9; ; und g {( ( + r r R {( ( ( c P (7; ; 7 und E + r + s {( ( ( d P (; ; und E + r + s 7 r s R r s R a L ( ; ; b L (; ; c L (; ; d L (; ; Aufgabe 76 Bestimmen Sie u den Daten aus Aufgabe 7 jeweils den Abstand von P und g bw E a b 86 c d 6 Aufgabe 77 Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes P von der Geraden g bw der Ebene E {( 88 ( a P ( ; ; und g + r r R b P (; 8; und g {( 6 7 ( + r r R {( 8 ( ( c P (; ; 7 und E + r + s {( 6 ( 7 ( d P ( ; 8; und E + r + s a 6 b 7 c 6 d 9 6 r s R r s R 8

39 Aufgabe 78 Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes P von der Ebene E a P ( ; 9; und E R x + y b P (; ; und E R 6x + y + 7 a b Aufgabe 79 Berechnen Sie jeweils eine Normalenform oder Koordinatenform von E und bestimmen Sie dann den Abstand von P u E {( ( ( 9 a E + p + q p q R und P (; ; {( ( ( b E + p + q p q R und P (; ; c E {( + p ( ( + q p q R und P ( ; ; 9 a R x + y und d(p E b R x + y 8 8 und d(p E c R x + y und d(p E (der Punkt P liegt auf E Aufgabe 8 Untersuchen Sie jeweils ob die Gerade g ur Ebene E parallel ist und bestimmen Sie gegebenfalls den Abstand a g + s s R und E + s + t s t R 7 6 b g + s s R und E + s 6 + t 6 s t R a Gerade und Ebene schneiden sich b Abstand 7 9

40 Aufgabe 8 Untersuchen Sie jeweils ob die Ebenen E und E parallel sind und berechnen Sie gegebenenfalls den Abstand von E und E {( ( ( {( xy a E 6 + p + q p q R und E 7 {( ( ( {( xy b E + p + q p q R und E {( c E R xy x + y + 9 und E a Ebenen schneiden sich b c R x + y R x + y + R x y Aufgabe 8 Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Gerade g von der Geraden h a g + s s R und h + t t R b g + s 8 s R und h + t 7 t R a b Aufgabe 8 Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Geraden g von der Geraden h bw der Ebene E sofern sie sich nicht schneiden {( ( a g + p p R und h {( ( {( b g + p p R und h 8 {( ( + q 7 + q ( q R q R {( ( {( ( ( c g + p p R und E + q + r {( ( {( 7 ( 6 ( 66 d g + p p R und E + q + r {( ( {( xy e g + p p R und E q r R q r R R x + y + a b c Gerade und Ebene schneiden sich d 7 e

41 8 Vorlesung Aufgabe 8 Aufgaben um 7 Kapitel (Kreise und Kugeln Welche geometrischen Figuren beschreiben die folgenden Mengen? {( x a R (x + (x + 8 b c d e f x {( x x {( x x {( x x R (x (x + R x + x + x + 6x R (x + x x (x + + x ( x {( x x R (x x x + (x x + x ( + x + x 7 + x {( x x R (x x + x + x 8(x + x + x 7 a Kreis(rand mit Radius um M (; R : {( x R x + (x + 9 x b Kreis(fläche mit Radius {( um M (; R : x R (x + (x + x c Kreis(rand mit Radius um M ( ; R : {( x x R (x + + (x + d Kreis(rand mit Radius um M ( ; R : {( x x R (x + (x + e Vollkugel mit Radius {( 8 um M (; ; R : x x R x x + (x + x 8 f Kugelfläche {( mit Radius um M (; ; R : x x R (x + (x x + (x +

42 Aufgabe 8 Berechnen Sie u denen in Aufgabe 8 angegebenen geometrischen Objekten den Umfang den Flächeninhalt oder das Volumen a Der Umfang beträgt πr π 6π b Der Flächeninhalt beträgt πr π π c Der Umfang beträgt πr π π d Der Umfang beträgt πr π π e Das Volumen beträgt πr π 8 8 π f Der Flächeninhalt beträgt πr π π Aufgabe 86 Gegeben sei eine Kugelfläche durch den Mittelpunkt P und einen Punkt Q auf der Kugelfläche Geben Sie jeweils eine expliite Darstellung der Kugelfläche an a P (; ; Q ( ; ; b P (; ; Q (; ; Indem man den Abstand von P u Q berechnet erhält man den Radius der Kugelfläche Entsprechend erhält man ( a { x R x 9 b { x R x ( Aufgabe 87 Überprüfen Sie ob die Gerade g Sekante Tangente oder Passante des Kreises K ist und bestimmen Sie gegebenenfalls gemeinsame Punkte: {( ( {( x a g + r r R und K x {( ( {( x b g + r r R und K x {( ( c g + r r R und K K((; ; {( ( {( x d g + r r R und K x R (x + (x + R x + x x + 8x + 9 R (x + (x

43 a Seten wir x + r und x r in die Kreisgleichung ein so folgt r(r dh r oder r Die Gerade und der Kreis haben also wei Schnittpunkte (die Gerade ist eine Sekante deren Ortsvektoren gegeben sind durch s ( ( + ( und s ( ( + b Die Kreisgleichung formen wir um u {( x K R (x + (x + 8 x ( 6 Einseten von x + r und x r liefert (r Die Gerade und der Kreis haben also genau einen Schnittpunkt (die Gerade ist eine Tangente Dessen Ortsvektor ist ( ( ( s + c Der Kreis ist gegeben durch K {( x x R (x + (x 8 Einseten von x + r und x r liefert r oder r Die Gerade und der Kreis haben also wei Schnittpunkte (die Gerade ist eine Sekante und deren Ortsvektoren sind s ( ( + ( und s ( ( + ( d Seten wir x + r und x r in die Kreisgleichung ein so berechnet man (r + 9 Diese Gleichung ist für kein r R erfüllt somit haben die Gerade und der Kreis keinen Schnittpunkt (die Gerade ist eine Passante Aufgabe 88 Gegeben sei der folgende Kreisrand K((; ; {( x x R (x + (x sowie die Punkte ( P Q ( R ( S ( ( T + und U ( Welche Punkte liegen innerhalb des Kreises welche liegen genau auf dem Kreisrand und welche liegen außerhalb des Kreises

44 Wir müssen lediglich den Abstand der Punkte um Mittelpunkt M ( T R bestimmen Ist dieser kleiner als so liegt der Punkt im Innern des Kreises ist er gleich liegt der Punkt genau auf dem Kreisrand Ist der Abstand hingegen größer als so liegt der Punkt außerhalb des Kreises Man berechnet ( ( M P ( + 7 > Der Punkt P liegt also außerhalb des Kreises ( ( ( M Q 9 + > Der Punkt Q liegt also außerhalb des Kreises ( ( ( M R + Der Punkt R liegt also auf dem Kreisrand ( ( ( M S + < Der Punkt S liegt also innerhalb des Kreises ( ( ( M T + + Der Punkt T liegt also auf dem Kreisrand ( ( M U ( Der Punkt U liegt also innerhalb des Kreises + < Aufgabe 89 Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge der Kugelfläche K mit der Geraden g {( ( ( a g + p p R und K { x R x 6 b g {( 7 8 ( 9 + p p R und K 9 { x R x ( {( ( { ( c g + p p R und K x R x a {(; ; (; 7; b {(8; ; ( ; ; c 7