Stefan Gärtner (Gr) Mathematik Lineare Funktionen

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1 Stefan Gärtner (Gr) 004 Mathematik Lineare Funktionen

2 Gr Mathematik Lineare Funktonen Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen. Zuordnungen. Koordinatensystem. Graphen: Darstellungen von Zuordnungen 4. Funktionen 4 5. proportionale Funktionen Ursprungsgeraden 5 6. Steigen und Fallen 5 7. Maß für die Steigung (bei Ursprungsgeraden) 6 8. Lineare Funkionen 6 9. Zusammenhänge zwischen dem Funktionsterm f(x) und dem Graph bei Linearen Funktionen 7 0. Besondere Punkte: Achsenschnittpunkte 8. Bestimmen der Geradengleichung aus Vorgaben 9. Schnittpunktbestimmung bei Geraden 0 zum Grundwissen Stefan Gärtner (Gr) 004

3 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite Grundwissen. Zuordnungen Zuordnungen sind Beziehungen zwischen Mengen, bei denen den Elementen einer ersten Menge (Definitionsmenge ) Elemente einer zweiten Menge (Wertemenge ) zugeordnet werden. Wenn nichts anderes angegeben ist, soll stets die größte bekannte Zahlenmenge als Definitionsmenge vereinbart sein.. Koordinatensystem Durch ein Koordinatensystem wird jedem Punkt P der Ebene ein Zahlenpaar (Koordinaten) zugeordnet. Umgekehrt wird auch jedem Zahlenpaar ein Punkt der Ebene zugeordnet. P Æ ( /) kurz: P(/). ist dabei die. Koordinate (x-koordinate) des Punktes und wird auf der x-achse abgetragen. ist die. Koordinate (y-koordinate) des Punktes und wird auf der y-achse abgetragen. Im Schnittpunkt der beiden Parallelen zu den Achsen durch und liegt der Punkt P. Der Schnittpukt der beiden Koordinatenachsen heißt auch Ursprung des Koordinatensystems. Graphen: Darstellungen von Zuordnungen Die bei einer Zuordnung zusammengehörenden Zahlenpaare aus der Definitionsmenge und aus der Wertemenge können in einem Koordinatensystem durch Punkte in der Ebene dargestellt werden. Die dabei entstehende Menge von Punkten heißt Graph der Zordnung. Stefan Gärtner (Gr) 004

4 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 4 Grundwissen 4. Funktionen Eine besondere Bedeutung haben in der Mathematik Funktionen, die besonders einfache Zuordnungen sind: a. Definition Funktionen sind Zuordnungen, bei denen jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird. Beispiele: keine Funktion: Alter Æ Geschlecht, Funktion: Uhrzeit Æ Temperatur b. Schreibweisen und Bezeichnungen: Funktionen werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet (f, g, h, ) Zur Bezeichnung von Elementen der Definitionsmenge wird häufig die Variable x benutzt. Die x-werte werden auch als Stellen (z. B. Nullstelle) bezeichnet. Die Elemente der Wertemenge heißen Funktionswerte. Für sie wird häufig die Variable y benutzt. Funktionswerte werden auch in der Form f(x) [lies: f von x ] geschrieben. f(x) ist der Funktionswert (y-wert), der unter f dem x-wert (der Stelle x) aus der Definitionsmenge zugeordnet ist. c. Darstellung Funktionen können gegeben sein durch i. eine Wertetabelle ii. den Graph iii. eine Gleichung iv. eine Zuordnungsvorschrift v. den Funktionsterm f(x) = x Stefan Gärtner (Gr) 004

5 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 5 Grundwissen 5. Proportionale Funktionen Ursprungsgeraden Eine nicht senkrechte Gerade durch den Ursprung (0/0) heißt Ursprungsgerade und stellt eine besondere Funktion dar, die proportionale Zuordnung. Merkmale von proportionalen Zuordnungen: a. Die zusammengehörenden x- und y- Werte einer proportionalen Zuordnung stehen in einem festen (proportionalen) Verhältnis zueinander. b. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Ursprungsgerade, d. h. eine nicht-senkrechte Gerade durch den Punkt (0/0). c. Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung hat stets die Form y = m x, (m ist eine beliebige Zahl) d. Der Graph einer Ursprungsgerade verläuft i. entweder vom. in den. Quadranten, die Gerade heißt dann steigend. ii. oder vom. in den 4. Quadranten, die Gerade heißt dann fallend. 6. Steigen und Fallen Das Steigen und Fallen von Funktionen kann auch allgemein mit Hilfe der Beziehung zwischen x- und y- Werten ausgedrückt werden: Definition: Eine Funktion heißt a. steigend, wenn mit zunehmenden x-werten auch die y-werte zunehmen. b. fallend, wenn mit zunehmenden x-werten die y - Werte abnehmen. Stefan Gärtner (Gr) 004

6 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 6 Grundwissen 7. Maß für die Steigung (bei Ursprungsgeraden) Für Geraden mit der Gleichung y = m x gelten offenbar (siehe!) die Regeln: Regel : a. Ist m > 0, so ist die Funktion steigend. b. Ist m < 0, so ist die Funktion fallend. c. Für m = 0 ist die Gerade identisch mit der x- Achse. Regel : a. Je größer m (m>0), desto größer ist die Steigung der Geraden. b. Je kleiner m (m<0), desto größer ist negative die Steigung (Gefälle) der Geraden. Damit liegt es nahe, den Faktor m vor der Variablen x als Maß für die Steigung einer Geraden zu verwenden: Definition: Bei der Geraden mit der Gleichung y = m x gibt der Faktor m vor der Variablen x das Maß für die Steigung der Geraden an. Bemerkungen: Bei proportionalen Zuordnungen mit der Gleichung y = m x ist der Faktor m vor der Variablen x: a. Das feste Verhältnis (der Proportionalitätsfaktor), in dem die x- und die y-werte zueinander stehen und zugleich b. das Maß für die Steigung der Ursprungsgeraden. Auch die Größe des Winkels a, den eine Gerade mit der x-achse bildet, könnte als Steigungsmaß für Ursprungsgeraden verwendet werden. Der Vorteil, den Faktor m zu nehmen liegt auf der Hand. Außerdem besteht ein unmittelbarer Zusammenhang zwischen dem Steigungsfaktor und dem Winkel: tan a = m. 8. Lineare Funkionen Definition: Funktionen der Form f: x Æ m x+b mit beliebigen Zahlen m und b heißen Lineare Funktionen. Ihr Graph ist eine Gerade. Die Funktionsgleichung y = m x+b heißt Geradengleichung. Der Term m x+b heißt Funktionsterm und wird mit f(x) [lies: f von x ] abgekürzt. Es ist also f: x Æ f(x) = m x+b = y. Stefan Gärtner (Gr) 004

7 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 7 Grundwissen 9. Zusammenhänge zwischen dem Funktionsterm f(x) und dem Graph bei Linearen Funktionen Allgemein f: x Æ m x + b Der Graph verläuft durch den Punkt P(0/b). Begründung: Für x = 0 gilt immer y = m 0 + b = b b heißt der y-achsenabschnitt. Beispiel f: x Æ x + Der Graph verläuft durch den Punkt P(0/). Begründung: Für x = 0 gilt y = 0 + = ist der y-achsenabschnitt. Der Graph ist eine um b in y- Richtung verschobene Ursprungsgerade mit der Gleichung y = m x Damit ist es sinnvoll, die oben notierten Regeln zur Definition der Steigung für Lineare Funktionen zu übernehmen. Die Gerade ist die um in y- Richtung verschobene Ursprungsgerade mit der Gleichung y = x m gibt die Steigung der Geraden an. Die Steigung der Geraden ist m = Die Steigung kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks und entsprechender Rechnung ermittelt werden: Für zwei Punkte P (x / f(x )) und P (x /f(x )) gilt: m = f ( x x ) f ( x) x = y x y x Dabei steht im Zähler die Differenz der y- Werte der beiden Punkte, im Nenner steht die Differenz der x-werte der beiden Punkte. Der Quotient heißt Differenzenquotient. Stefan Gärtner (Gr) 004

8 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 8 Grundwissen 0. Besondere Punkte: Achsenschnittpunkte Gegeben sei die Geradengleichung f : x Æ m x + b a. y- Achsenabschnitt Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt (0/b). b heißt y-achsenabschnitt. Der y-achsenabschnitt kann unmittelbar aus dem Term abgelesen werden b. Nullstelle Schneidet die Gerade auch die x-achse, so heißt der zugehörige x-wert Nullstelle. Berechnung der Nullstelle: Im Schnittpunkt mit der x-achse ist der y- Wert 0. Daher ist die folgende Gleichung zu lösen: f(x) = 0 Term einsetzen m x + b = 0 -b m x = -b :m, falls m b x = a Falls m π0, schneidet die Gerade die x- b Achse im Punkt ( / 0). a b ist Nullstelle der Geraden. a Beispiel: f(x) = x + f(x) = 0 x + = 0 x = - x = In P(/0) schneidet die Gerade die x-achse. ist Nullstelle der Geraden. Bemerkungen: - Für m=0 und b π0 gibt es keine Nullstelle - Für m=0 und b=0 liegt die Gerade auf der x-achse, d. h. alle x-werte sind Nullstellen. Stefan Gärtner (Gr) 004

9 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 9 Grundwissen. Bestimmen der Geradengleichung aus Vorgaben: a. Vorgabe: Ein Punkt und die Steigung Gegeben ist die Steigung m = 4 und der Punkt P(/) Wie lautet die Geradengleichung? Für die Geradengleichung y = m x +b ist schon m = 4 gegeben. Also gilt y = 4 x + b. Zu bestimmen ist noch b. Da P(/) auf der Geraden liegt, muss die Geradengleichung für x= und y= eine wahre Aussage ergeben. Einsetzen von x= und y= und Auflösen nach b ergibt: = 4 + b ausrechnen = + b - - = b ausrechnen = b Damit lautet die Geradengleichung: y = 4 x +. b. Vorgabe: Zwei Punkte: Gegeben sind die beiden Punkte P(-/) und Q(/-4). Wie lautet die Geradengleichung? Für die Geradengleichung y = m x +b muss m und b bestimmt werden. Bestimmung der Steigung m mit Hilfe des Differenzenquotienten: y y 4 m = = = 7 7 = x x ( ) 7 Zwischenergebnis: y = x + b. - Bestimmung von b (wie oben) 7 = (-) + b ausrechnen 4 4 = + b = b - 5 = b Damit lautet die Geradengleichung: y = 7 5 x -. Stefan Gärtner (Gr) 004

10 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 0 Grundwissen. Schnittpunktbestimmung bei Geraden Gegeben sind die beiden Geraden f: x Æ m x + b und g: x Æ m x + b Die Geraden gleichungen lauten dann für f: y = m x + b und für g: y = m x + b. Im Schnittpunkt S (x s /y s ) sind sowohl die x- als auch die y- Werte bei beiden Gleichungen gleich. Daher gilt im Schnittpunkt: y s = m x s + b und y s = m x s + b. Damit muss gelten m x s + b = m x s + b. Regel: Ansatz zur Schnittpunktbestimmung: Im Schnittpunkt S(x/y) von zwei Funktionen f und g gilt stets f (x) = g (x). Mit Hilfe dieser Gleichung können Schnittpunkte bestimmt werden Beispiel: f: x Æ x - ; g: x Æ - x + Schnittpunktberechnung: a. Bestimmung des x- Wertes: f(x) = g(x) Einsetzen x - = - x + Sortieren 5 x = :5 x = 5 Der Schnittpunkt S liegt an der Stelle x= 5. b. Bestimmung des zugehörigen y-wertes. Einsetzten von x= 5 in eine der beiden Geradengleichungen: 4 y = - = - = Der Schnittpunkt hat die Koordinaten S( / ). 5 5 Stefan Gärtner (Gr) 004

11 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite. The Bus Queue Aufgaben zum Funktionsbegriff Cathy Agatha Barbara Dennis Ernie Freda (8) & (5) (58) () (58) () Baby Gavin (0.5). Each person and each question mark shown in the above queue is represented by a point on the graph below. Label each point with the person it represents. What do you know about the person behind the question mark?. Jane appears. She is as old as Dennis and as tall as Freda. Mark a new point for her in the graph and label it.. Cathy is a twin. Her sister s name is Lara. Mark and label a point for her in the graph. 4. Mark all points, that can not represent any person at all. 5. Fill up the table: NAME Agatha Barbara Cathy Dennis Ernie Freda Gavin?? Jane Lara HEIGHT AGE 58 Stefan Gärtner (Gr) 004

12 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite. Towns Size of town (miles ) X Middleham Z Y Distance from Flaxted to the town s city (miles). Each city on the map above is represented by a point on the graph. Label each point with the name of the city.. The town Middleham is represented by the letter X on the graph. What can you say about the size of Middleham and where on the map can Middleham be found?. The letter Y marks a special point on the graph. What does it mean on the map? 4. The letter Z marks another special point on the graph. What could be the meaning of Z on the map? 5. Where on the graph can we find all the towns in the world, that are bigger [smaller] than Flaxted? 6. Fill up the table: NAME Appleby Grimth. Flaxted Cramth. Dingly Barkham Middleh. Dist. Size Stefan Gärtner (Gr) 004

13 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite. Hunger Andrew has sketched such a graph (see below!) FULL UP HUNGER STARVING Discover from the graph: TIME OF DAY. How many meals does Andrew eat during the day?. Which meal is the biggest? How can you tell?. Does he eat anything at breaktimes?? 4. How long does he spend eating lunch? 5. Fill up the table: TIME HUNGER 6. Now sketch a new graph with a very long and filling breakfast, fast food at lunchtime, an apple in the afternoon and -short before starving - a good dinner at 7 pm. FULL UP HUNGER STARVING TIME OF DAY Stefan Gärtner (Gr) 004

14 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 4 4. Fahrradmiete In einem Park werden Fahrräder vermietet. Die erste Stunde (oder ein Teil davon) kostet 5 Euro und jede weitere angefangene Stunde kostet Euro. Fahrradmiete A Fahrradmiete B 0 0 Miete (EURO) Miete (EURO) Zeit (in Stunden) Zeit (in Stunden) Zeit (Stunden) 0,5,5,5,5 Miete (Euro) Zeit (Stunden) Miete (Euro) 0,5,5,5,5 Fahrradmiete C Fahrradmiete D 0 0 Miete (EURO) Miete (EURO) Zeit (in Stunden) Zeit (in Stunden) Zeit (Stunden) 0,5,5,5,5 Miete (Euro) Zeit (Stunden) Miete (Euro) 0,5,5,5,5. Füllen Sie die Tabellen unter den Graphen aus!. Welches Diagramm gibt die oben beschriebene Mietregelung korrekt wieder? Begründen Sie ihre Entscheidung!. Formulieren Sie mögliche Mietregelungen, die für die anderen Graphen zutreffen! 4. Jemand zahlt 7 Euro Fahrradmiete. Wie lange könnte er nach den verschiedenen Graphen unterwegs gewesen sein? 5. Nach welchem Graph ist die Miete für 70 Minuten am günstigsten? 6. Sie wollen mit dem Spruch werben Je länger desto billiger. Wie könnte die zugehörige Mietregelung graphisch aussehen? Stefan Gärtner (Gr) 004

15 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 5 Zuordnungen Definition: Zuordnungen bestehen aus einer ersten Mengen (Definitionsmenge), einer Zuordnungsvorschrift und einer zweiten Menge (Wertemenge). Die Zuordnungsvorschrift ordnet Elementen der Definitionsmenge Elemente der Wertemenge zu. Beispiel: Definitionsmenge Zuordnungsvorschrift Wertemenge (. Menge) (. Menge) Blumen Farbe, in der die Blume blüht Farben Aster rot Rose gelb Veilchen grün Tulpe blau Narzisse schwarz Schneeglöckchen weiß Enzian Margeritte Dieses Pfeilewirrwarr schreibt man in der Regel besser in anderer Form auf: Tabelle: Blumen Aster Rose Veilchen Tulpe Narzisse Farben rot, gelb, weiß rot, gelb, weiß blau rot, gelb Schneeglöckchen Enzian gelb weiß blau Margeritte weiß, gelb Graph: Zuordnung: F: Blumen Farbe speziell gilt F(Aster) = {rot,weiß,gelb} F(Veilchen) = {blau} usw. Stefan Gärtner (Gr) 004

16 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 6 Aufgaben:. Notieren Sie wie im Beispiel von Seite 6: F(Rose) = F(Tulpe) = F(Narzisse) = F(Schneegl.) = F(Enzian) = F(Margeritte) =. Umkehrung Zuordnungen kann man umkehren. Beschreiben Sie umfassend die Umkehrung B der Zuordnung F: Blumen Farbe durch Angabe der Definitionsmenge, der Wertemenge, der Zuordnungsvorschrift, der Wertetabelle und Angabe des Graphen (s. rechts!). Definitionsmenge: Wertemenge: Zuordnungsvorschrift: B: speziell gilt zum Beispiel: B ( ) =, B ( ) = Tabelle:. Formulieren Sie zu den Beispielen THE BUS STOP, TOWNS, HUNGER und FAHRRADMIETE jeweils Zuordnungsvorschriften und deren Umkehrungen. Geben Sie jeweils einige Beispiele wie in Aufgabe an. 4. Beschreiben Sie, wie man aus einer gegebenen Zuordnung deren Umkehrung findet (Vorschrift, Tabelle, Graph) 5. Die verschiedenen Darstellungsweisen (Graph, Tabelle, Zuordnungsvorschrift) betonen jeweils andere Aspekte derselben Zuordnung. Untersuchen Sie die Beispiele und notieren Sie in Stichworten die Vorteile der einzelnen Darstellungsweisen. Graph Vorteil Tabelle Vorschrift Stefan Gärtner (Gr) 004

17 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 7 Funktionen sind eindeutige Zuordnungen Aufgaben: Betrachten Sie die Zuordnungen aus den Beispielen THE BUS STOP, TOWNS, HUNGER und FAHRRADMIETE sowie deren Umkehrungen.. Stellen Sie fest, ob die Zuordnungen jeweils eindeutig sind oder nicht. Das heißt, es muss gelten, dass jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet ist. Ergänzen Sie die Tabelle entsprechend: Beispiel Zuordnung eindeutig (ja / nein) bei nein: Gegenbeispiel angeben bei ja: Begründung formulieren Bus Stop Größe Alter nein Der Größe 80 wird sowohl das Alter als auch das Alter 58 zugeordnet Hunger Zeit Hunger ja Zu einer bestimmten Zeit gehört eindeutig nur ein einziges bestimmtes Hungergefühl.. Formulieren Sie allgemeine Regeln, anhand derer man am Graph bzw. an der Wertetabelle feststellen kann, ob eine Zuordnung eindeutig ist oder nicht. Ergänzen Sie: a. Am Graph erkennt man eindeutige Zuordnungen daran, dass b. Am Graph erkennt man mehrdeutige Zuordnungen daran, dass c. An der Wertetabelle erkennt man eindeutige Zuordnungen daran, dass d. An der Wertetabelle erkennt man mehrdeutige Zuordnungen daran, dass. Woran erkennt man, ob die Umkehrung einer Funktion wieder eine [keine] Funktion ist? Stefan Gärtner (Gr) 004

18 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 8 Funktionen Von besonderem mathematischem Interesse sind solche Funktionen, deren Definitionsmenge aus Zahlen besteht, deren Wertemenge aus Zahlen besteht und die so regelmäßig sind, dass ihre Zuordnungsvorschrift durch eine Gleichung beschrieben werden kann, denn Terme liefern immer eindeutige Ergebnisse, wenn Zahlen eingesetzt werden und mit Gleichungen kann man Berechnungen durchführen. I. Wasserhahn In einem Experiment wird ein Glas zum Sammeln von Wassers unter einen geöffneten Wasserhahn gestellt. Es wird aufgezeichnet, wie sich die Wasserhöhe im Verlauf der Zeit ändert. Der Graph unter dem Bild zeigt das Beobachtungsergebnis des Experimentes mit Glas A. Aufgaben. Ergänzen Sie die Tabelle unter der Graphik! Wasserhahnexperiment. Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen Zeit und Wasserhöhe mit einer Gleichung Höhe 4. Berechnen Sie nun mit der Gleichung: Wie hoch steht das Wasser nach 5 [ 59] Sekunden? Zeit h(5) = h(59) = Wann ist die Wasserhöhe 8 cm erreicht? Zeit (t) (in Sekunden) Höhe (h) (in Zentimetern) h(?) = 8 Wann ist das Glas voll? 4. Wie viel Liter Wasser fließen in einer Stunde aus dem Wasserhahn? Stefan Gärtner (Gr) 004

19 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 9 Aufgabe: Autofahrt () Ein PKW fährt geichmäßig mit der Geschwindigkeit a) 0 km/h, b) 60 km/h, c) 80 km/h. Ergänzen Sie die Tabellen: zu a) x (min) y (km) zu b) zu c) x (min) y (km) x (min) y (km) d) Stellen Sie den Zusammenhang zwischen Zeit und Weg im Koordinatensystem dar! Stefan Gärtner (Gr) 004

20 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 0 Aufgabe: Autofahrt () a) Auf der Fahrt in die Stadt kann Herr Weiß ein Stück auf der Autobahn fahren. An der Auffahrt stellt er den Tageskilometerzähler auf 0 und liest dann nach jeder Minute ab, wie viel km er zurückgelegt hat. x (min) y (km) Stellen Sie den Zusammenhang zwischen Fahrtzeit und Fahrstrecke im Koordinatensystem dar. Mit welcher Geschwindigkeit fuhr Herr Weiß? a) Auf der Rückfahrt notiert er: x (min) y (km) Wie hat sich die Fahrweise im Vergleich zur Hinfahrt geändert? Stefan Gärtner (Gr) 004

21 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite Aufgabe: a) Ergänzen Sie die unten stehenden Tabellen soweit wie möglich! b) Auf welcher der unten stehenden Geraden liegen die folgenden Punkte? P (0,5/) P (,5/-) P (0,5/) P 4 (0/0) P 5 (-/-,5) P 6 (/) P 7 (/6) x x y y x x - 0 0,5 y y 0, Stefan Gärtner (Gr) 004

22 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite Aufgabe ) Tragen Sie zu folgenden Gleichungen die Geraden ins Koordinatensystem ein! a) y = x b) y = x c) y = - x d) y = -x e) y = x 5 f) y = -4x Aufgabe ) Ergänzen Sie die folgenden Wertetabellen so, dass alle Punkte (x/y) auf der Geraden mit der Gleichung y = x liegen! x y Aufgabe ) Ergänzen Sie die folgenden Wertetabellen so, dass alle Punkte (x/y) auf der Geraden mit der Gleichung y = x liegen! x y Stefan Gärtner (Gr) 004

23 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite Aufgabe ) Tragen Sie zu folgenden Gleichungen die Geraden ins Koordinatensystem ein! 7 5 a) y = x b) y = x c) y = x d) y = x e) y = x f) y = x 4 5 Aufgabe ) Ergänzen Sie die folgenden Wertetabellen so, dass alle Punkte (x/y) auf der Geraden mit der 7 Gleichung y = x liegen! x y Aufgabe ) Begründen sie: Auch die Punkte (x/y), deren Koordinaten durch die Gleichung y = x + beschrieben sind, liegen auf einer Geraden. In welchem Zusammenhang steht diese Gerade zu der Geraden mit der Gleichung y = x? Suchen Sie nach einem einfachen Verfahren, um die Geraden mit der Gleiochung y = x + zu zeichnen. Stefan Gärtner (Gr) 004

24 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 4 Aufgabe ) Geben Sie die Zuordnungsvorschriften (Gleichungen) für die folgenden Ursprungsgeraden an! Ist die Gerade steigend oder fallend? a) g : x Æ, bzw. y = ; steigend /fallend? b) g : x Æ, bzw. y = ; steigend /fallend? c) g : x Æ, bzw. y = ; steigend /fallend? d) g 4 : x Æ, bzw. y = ; steigend /fallend? Aufgabe ) Gegeben ist die Zuordnungsvorschriften : f: x Æ x, also y = x a) Zeichnen Sie die zugehörige Gerade nach möglichst wenig Rechnung. b) Ergänzen Sie die fehlenden Koordinaten so, dass der Punkt auf der Geraden f liegt: P ( 6 / ); P ( / ); P ( -0,5 / ); P 4 ( / -60 ); c) Welcher der folgenden Punkte liegt auf der Geraden f? Q ( / ); Q ( - / ); Q ( /- ); Q 4 ( -/ - ); Aufgabe ) Wie lautet die Zuordnungsvorschrift für die Ursprungsgerade, auf der der Punkt P(0/) liegt? : f: x Æ, also y = Stefan Gärtner (Gr) 004

25 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 5 Aufgabe a) Zeichnen Sie die folgenden Gruppen zu je vier Geraden nach Aufstellung einer geeigneten Wertetabelle in je ein Koordinatensystem: Gruppe Gruppe f : x Æ x + g : x Æ x - f : x Æ x + g : x Æ x - f : x Æ x + g : x Æ - x - f 4 : x Æ -x + g 4 : x Æ x - Gruppe Gruppe 4 h : x Æ x + 4 k : x Æ - x h : x Æ x + k : x Æ - x h : x Æ x + k : x Æ - x h 4 : x Æ x k 4 : x Æ - x b) Was haben die Funktionsvorschriften bzw. die Graphen aller Geraden einer Gruppe gemeinsam? c) Worin unterscheiden sich alle Funktionsvorschriften bzw. Graphen einer Gruppe? d) Was haben alle Funktionsvorschriften der steigenden (fallenden) Graphen gemeinsam? e) Die Zuordnungsvorschrift einer Linearen Funktion lautet allgemein: f : x Æ m x + b (m, b beliebige Zahlen) Welchen Einfluss haben dabei m und b auf den Verlauf der Geraden? Formulieren Sie entsprechende Wenn Dann Sätze! (Was bedeutet z. B.: m = x oder b= -4?) Aufgabe a) Notieren Sie zu den gegebenen Funktionen je zwei weitere, deren Graphen parallel zu der gegebenen Funktion verlaufen: f : x Æ 4 x - 5 f f g : x Æ x + 5 g g b) Notieren Sie zu den unter a) gegebenen Funktionen je zwei weitere, deren Graphen die y-achse im selben Punkt schneidet. f f 4 g g 4 Stefan Gärtner (Gr) 004

26 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 6 Koordinatensysteme zu Aufgabe auf Seite 4 Gruppe Gruppe Gruppe Gruppe 4 Stefan Gärtner (Gr) 004

27 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 7 Aufgabe a) Zeichnen Sie f : x Æ x + b) Berechnen Sie: f(5) = f() = f() = f() = c) Berechnen Sie und deuten Sie den Term im Schaubild (Steigungsdreieck)!: Aufgabe f (5) f () = 5 f (5) f () = 5 f (5) f () = 5 f () f () = a) Zeichnen Sie f : x Æ x - c) Berechnen Sie und deuten Sie den Term im Schaubild (Steigungsdreieck)!: f () f () = f (5) f () = 5 f ( ) f ( ) = ( ) f ( 4) f ( ) = 4 ( ) Stefan Gärtner (Gr) 004

28 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 8 Aufgabe Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Steigung (evtl. mit Hilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks) und geben Sie die Funktionsvorschrift an! a) f: x Æ g: x Æ h: x Æ b) f: x Æ g: x Æ h: x Æ c) f: x Æ g: x Æ h: x Æ d) f: x Æ g: x Æ h: x Æ e) f: x Æ g: x Æ h: x Æ Stefan Gärtner (Gr) 004

29 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 9 Aufgabe Zeichnen Sie jeweils Geraden zu den folgenden Gleichungen (jeweils vier Geraden in ein KOS)! a) y = x 5 b) y = x + c) y = x + d) y = x 4 e) y = 4x f) y = x + g) y = 0 x + h) y = x 5 Untersuchen Sie, ob die folgenden Punkte auf der jeweiligen Geraden liegen: a) P (8/4) b) P (-/-7) c) P (/-0) d) P 4 (0/-5) Bestimmmen Sie zu den Geraden aus e) bis h) jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen! Aufgabe Tragen Sie bei den folgenden Geraden jeweils ein Steigungsdreieck ein und geben Sie die Funktonsvorschrift der Geraden an! Aufgabe Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(/) und hat die Steigung m=. Zeichnen Sie diese Gerade. Welche Gleichung hat sie? In welchen Punkten schneidet die Gerade die beiden Achsen? Die Gerade schließt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Wie groß ist sein Flächeninhalt? Stefan Gärtner (Gr) 004

30 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 0 Aufgabe a) Eine Gerade verläuft durch die Punkte P (/) und P (5/). Bestimmen Sie die Steigung der Geraden und bestimmen Sie die Geradengleichung! b) Ermitteln Sie die Steigung und Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P (-/-) und P (/) verläuft. Aufgabe Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Geraden, die durch die angegebenen Punkte verläuft. In welchen Punkten schneidet die Gerade jeweils die Achsen? Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche des Dreiecks, das die Gerade mit den beiden Koordinatenachsen einschließt? Existiert ein solches Dreieck immer? a) Punkte P (/) und P (/4). b) Punkte P (/4) und P (-/-). c) Punkte P (6/-) und P (-/0). d) Punkte P (0/-) und P (/0). e) Punkte P (5/-,5) und P (-/-5). f) Punkte P (-4/-) und P (/-). g) Punkte P (-/) und P (4/5). g) Punkte P (0/0) und P (4/-6). i) Punkte P (4/ 4 ) und P (-/-). k) Punkte P ( 4 /,) und P ( 4 5 /,). Aufgabe a) Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(/4) und hat die Steigung Wie lautet die Geradengleichung?. 4 b) Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(x 0 /y 0 ) und hat die Steigung m. Wie lautet in diesem allgemeinen Fall die Geradengleichung? Aufgabe 4 Jede Geradengleichung hat die Form y = m x + b. (m, b beliebige Zahlen). Zeichnen Sie jeweils zwei verschiedene Geraden, die die folgenden Bedingungen erfüllen: a) m<0 und zugleich b >0 b) m= und zugleich b<0 c) m>0 und zugleich b =- d) m<0 und zugleich b=0 e) m>0 und zugleich b =- f) m<0 und zugleich b=0 Stefan Gärtner (Gr) 004

31 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite Aufgabe a) In welchem Punkt schneiden sich die beiden Geraden mit den folgenden Zuordnungsvorschriften: f : x Æ x + und f : x Æ - x 4 b) Wie kann man den Schnittpunkt rechnerisch ermitteln? Aufgabe Richtig oder falsch? Begründen Sie jeweils! Die Gerade g mit der Gleichung y = x + a) hat die Steigung 0 b) hat keine Steigung c) hat die Steigung + d) hat die Steigung Aufgabe Gegeben ist die Geradengleichung y = m x + b ( a, b beliebige Zahlen ) Bestimmen Sie a und b so, dass die zugehörige Gerade a) steigend ist b) einen Punkt im. Quadranten hat c) nur durch den. und. Quadranten verläuft d) nicht durch den. Quadranten verläuft e) nicht durch den 4. Quadranten verläuft f) durch alle Quadranten verläuft Aufgabe 4 a) Welche Steigung haben die im Schaubild gezeichneten Geraden? b) Erläutern Sie an diesen Beispielen den Unterschied zwischen steigen und fallend, keine Steigung und Steigung Null. Aufgabe 5 Was ist richtig? Gegeben sind die beiden Punkte P (-/) und P (/-). Die Steigung der Geraden durch diese beiden Punkte ist y a) x = = b) y = = 0, x 5 ( ) c) = = d) = = ( ) e) = = 0 f) = = 0 Stefan Gärtner (Gr) 004

32 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite Aufgabe Zu jeder der gezeichneten Geraden gehört genau eine der unten angegebenen Geradengleichungen. Welche Gleichung gehört zu welcher Geraden? Entscheiden Sie ohne zu rechnen nach Augenmaß! Aufgabe : 5 y = x + y = x y = x + y = 6 x + y = x y = x + y = 4 x y = x + y = 4 a) Der Graph einer Linearen Funktion hat - als Nullstelle und geht durch den Punkt P(/4). Wie lautet die Geradengleichung? b) Der Graph einer Linearen Funktion ist parallel zur x-achse und geht durch den Punkt P(0/00). Wie lautet die Geradengleichung? c) Der Graph einer Linearen Funktion ist parallel zum Graph mit der Gleichung y = -x + und geht durch den Punkt P(-/-). Wie lautet f(x)? d) Der Graph einer Linearen Funktion hat die Steigung und geht durch den Punkt P(5/0). Wie lautet f(x)? e) Der Graph einer Linearen Funktion erfüllt die Bedingung f(x) = -f(-x). Was kann man für den Graph und die Gleichung folgern? Stefan Gärtner (Gr) 004

33 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite Aufgabe: Durch die beiden Punkte P (c/)und P (-c/) (c eine beliebige Zahl) kann je nach Wahl von c eine Gerade gezeichnet werden. a) Zeichnen Sie jeweils eine Gerade für c = -, c = und c = in das KOS: b) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede sind im Verlauf der Geraden festzustellen? Wie hängen diese mit der Vorgabe von c zusammen? Formulieren Sie Vermutungen über diesen Zusammenhang! c) Bestimmen Sie für c = die Geradengleichung! d) Bestätigen Sie durch entsprechende Rechnungen: Im allgemeinen Fall (also für jede Zahl c π 0 lautet die Geradengleichung: y = x +. c e) Überprüfen, korrigieren, ergänzen Sie nun Ihre Vermutungen aus b)! f) Begründen Sie, dass es sinnvoll war, c=0 nicht zuzulassen! g) Ist die folgende Aussage richtig? Je größer c, desto kleiner die Nullstelle der Geraden. h) Bestätigen Sie durch Rechnung: Das Dreieck, das die Gerade mit der Gleichung y = x + mit den c beiden Koordinatenachsen einschließt, hat die Flächenmaßzahl F = c für c>0 und F= - c für c<0. Stefan Gärtner (Gr) 004

34 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 4 Aufgabe Ergänzen Sie die Lücken! a) Das Zahlenpaar (8/5) beschreibt einen im Koordinatensystem. 8 heißt, 5 heißt. b) Die Gleichung y = x beschreibt eine im Koordinatensystem. ist dabei die der Geraden. Die Zahl - gibt den der Geraden an. - ist der y-wert zum x-wert. c) Der Punkt P(8/) liegt auf der Geraden mit der Gleichung y = x. Das erkennt man daran, dass. d) Die Punkte P(/-) und Q(-/ 7 ) liegen auf einer Geraden g. Die Steigung m dieser Geraden kann mit Hilfe einer Formel berechnet werden. Geben Sie die Formel an und berechnen Sie die Steigung! m = Skizzieren Sie nun die Gerade in dem KOS! Machen Sie an diesem Beispiel deutlich, was die Formel zur Berechnung der Steigung anschaulich bedeutet! Kennzeichnen Sie in dem Schaubild die Nullstelle und den y- Achsenabschnitt der Geraden und berechnen Sie anschließend die Nullstelle! Stefan Gärtner (Gr) 004

35 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 5 Aufgabe Gegeben sind die beiden Geraden f und g sowie der Punkt A(-5/-). a) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Geraden! b) Untersuchen Sie, ob der Punkt P(7/) auf einer der beiden Geraden liegt. c) Beschreiben genau den Zusammenhang zwischen den Punkten auf einer Geraden und der Gleichung der Geraden! d) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Geraden! e) Durch den Punkt S und den Punkt A verläuft die Gerade h. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden! f) In welchen Punkten schneidet h die Koordinatenachsen? h) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Gerade h mit den Koordinatenachsen einschließt! i) Die beiden Geraden f und g bilden mit der y-achse ein Dreieck. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks? (Hinweis: Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks, das f und g mit der x-achse einschließen?) j) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch A verläuft und parallel zu g ist. k) Wie lang ist die Hypothenuse in dem rechtwinkligen Dreieck, das die Gerade f mit den beiden Achsen bildet? Stefan Gärtner (Gr) 004

36 Gr Mathematik Lineare Funktionen Seite 6 Aufgabe Gegeben ist die Gerade durch f: x Æ P( / ) und Q (-/ -). x +. Die Gerade g verläuft durch die Punkte a) Fertigen Sie eine Zeichnung an. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g. c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der beiden Geraden. d) Bestimmen Sie die Nullstellen der beiden Geraden! Aufgabe Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geraden aus aus der Aufgabe Seite 0. Nehmen Sie jeweils die Geraden von a) und b), dann von c) und d) usw. Stefan Gärtner (Gr) 004