Physik 2. Elektrodynamik und Optik

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1 Physik 2 Elektrodynamik und Optik Thomas Klinker Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg 2007

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Elektrostatik Das COULOMBsche Gesetz Das elektrische Feld Das elektrische Potential Potential und Feld eines elektrischen Dipols Das GAUSSsche Gesetz für das elektrische Feld Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik Das elektrische Feld einer ebenen Ladungsverteilung Das elektrische Feld einer linearen Ladungsverteilung Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel Elektrische Felder von Leitern Der FARADAYsche Käfig Influenz Kapazität Die Energie des elektrischen Feldes Das elektrische Feld in Materie Der elektrische Strom Strom und die Bewegung von Ladungen Elektrische Leitfähigkeit und das OHMsche Gesetz Mikroskopisches Modell für das OHMsche Gesetz Die elektrische Leistung eines Stromes an einem Widerstand Die KIRCHHOFFschen Regeln Das magnetische Feld Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld Das BIOT-SAVARTsche Gesetz Das GAUSSsche Gesetz für das Magnetfeld Das AMPEREsche Gesetz

3 2 INHALTSVERZEICHNIS 4.5 Drehmoment auf eine Leiterschleife im Magnetfeld Der HALL-Effekt Bahnen freier Ladungen im Magnetfeld Induktion Das FARADAYsche Induktionsgesetz Die LENZsche Regel Beispiele zum Induktionsgesetz Gegeninduktion Selbstinduktion Der RL-Kreis Die Energie des magnetischen Feldes Materie im Magnetfeld Elektromagnetische Wellen Das AMPERE-MAXWELLsche Gesetz Die MAXWELLschen Gleichungen Grundlagen der Wellenausbreitung Wellengleichung für das elektrische und magnetische Feld Energiedichte und Intensität einer elektromagnetischen Welle Geometrische Optik Das HUYGENSsche Prinzip Prämisse der geometrischen Optik Reflexion und Brechung Brechung an sphärischen Grenzflächen Abbildung durch Linsen Das menschliche Auge Optische Instrumente Vergrößerung durch optische Instrumente Lupe Mikroskop Fernrohr Beugung FRAUNHOFERsche und FRESNELsche Beugung Beugung am Spalt Beugung an einer kreisförmigen Öffnung Beugung am Gitter A Aufgaben mit Lösungen 177

4 INHALTSVERZEICHNIS 3 B Lineare Differentialgleichungen 199 C Literaturverzeichnis 203 D Physikalische Konstanten 205 E Das Griechische Alphabet 207

5 4 INHALTSVERZEICHNIS

6 Kapitel 1 Grundlagen der Elektrostatik 1.1 Das COULOMBsche Gesetz Durch Reiben eines Plastikstabes an einem Fell oder eines Glasstabes an Seide kann man Körper elektrisch aufladen. Dabei zeigt sich, dass sich die aufgeladenen Gegenstände entweder anziehen oder abstoßen. Die Erklärung ist, dass alle Materie zwei Arten von Ladung besitzt, positive und negative. Ungeladene Körper haben gleich viel positive wie negative Ladung. Durch Reiben kann nun Ladung von einem Körper auf einen anderen übergehen. Ist dieser Aufladungsvorgang beendet, hat der eine Körper einen Überschuss an positiver Ladung, der andere einen Überschuss an negativer Ladung. Weiter zeigt sich, dass sich Objekte mit gleicher Ladung abstoßen, während sich Objekte mit ungleicher Ladung anziehen. Reibt man einen Glasstab an Seide, so gibt er beispielsweise Elektronen an die Seide ab. Träger der Ladung sind die Protonen und Elektronen der Atome. Es zeigt sich weiter, dass die Ladung quantisiert ist, d.h. Ladung tritt in der Natur nur als ganzzahliges Vielfaches einer Elementarladung auf. Diese Elementarladung konnte zum ersten Mal 1909 von MILLIKAN mit seinem berühmten Öltröpfchenversuch bestimmt werden. Sie hat den Wert e = 1, C. (1.1) Das Coulomb (C) ist hierbei die Einheit der Ladung, auf die wir weiter unten zu sprechen kommen. Ein weiteres fundamentales Gesetz ist das Gesetz der Ladungserhaltung: In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung erhalten, egal welche Vorgänge in diesem System im Detail ablaufen. Die Kraft zwischen ruhenden elektrischen Ladungen wurde von COULOMB untersucht, und er fand ein Gesetz ähnlich dem NEWTONschen Gravitationsgesetzt. Es lautet: 5

7 6 1 Grundlagen der Elektrostatik Eine Ladung q 1 übt auf eine Ladung q 0 eine Kraft aus, die dem Produkt aus beiden Ladungen proportional und dem Quadrat des Abstandes beider Ladungen umgekehrt proportional ist. Die Kraft wirkt in Richtung der Verbindungslinie zwischen beiden Ladungen, in Zeichen F = k q 0q 1 ˆ r r (1.2) Hierbei ist r 01 der Vektor, der vom Ort der Ladung q 1 zum Ort der Ladung q 0 zeigt, ˆ r 01 der zugehörige Einheitsvektor und r 01 der Abstand beider Ladungen. Der Wert der Proportionalitätskonstanten k hängt von dem verwendeten Einheitensystem ab. Im SI-Einheitensystem setzt man die Proportionalitätskonstante k zu k = 1 4πε 0, (1.3) wobei die elektrische Feldkonstante ε 0 den Wert erhält. Damit hat k den Wert ε 0 = 8, C 2 m 2 N 1 (1.4) k = 1 4πε 0 = 8, Nm 2 C 2. (1.5) Hierbei steht C für die Einheit der Ladung, das Coulomb. Der exakte Wert von ε 0 kann erst später genau begründet werden. Er ergibt sich dadurch, das die Einheit der Ladung nicht durch Gl. (1.2) festgelegt wird, sondern an die Definition der Einheit der Stromstärke, das Ampere (A), geknüpft ist, siehe Kap Mit der in Kap. 6.4 hergeleiteten Gleichung c = 1 ε0 µ 0, wobei µ 0 die magnetische Feldkonstante und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist, ergibt sich obiger Wert für ε 0. Wir wollen dies hier nicht weiter verfolgen, sondern verweisen auf die entsprechenden späteren Kapitel. Aus Gl. (1.2) läßt sich aber ablesen, das für die Ladungseinheit Coulomb gilt: Ein Coulomb ist diejenige Ladung, die eine gleichgroße Ladung in einem Abstand von 1 m mit einer Kraft von etwa N abstößt.

8 1.1 Das COULOMBsche Gesetz 7 Wirken auf eine Ladung q 0 mehrere Ladungen q i (i = 1,...,n), so zeigt die experimentelle Beobachtung, dass sich die Gesamtkraft auf die Ladung q einfach durch Addition der einzelnen Kräfte gemäß dem COULOMBschen Gesetz (1.2) ergibt, in Zeichen F = 1 4πε 0 n i=1 q 0 q i r 2 0i ˆ r 0i. (1.6) Hierbei ist r 0i der Vektor, der vom Ort der Ladung q i zum Ort der Ladung q 0 zeigt, ˆ r 0i der zugehörige Einheitsvektor und r 0i der Abstand beider Ladungen. Diese Gleichung kann auch in der folgenden Form geschrieben werden: F = 1 4πε 0 n i=1 q 0 q i r r i 2 r r i r r i. (1.7) Hierbei bezeichnet r den Ort der Ladung q 0 und r i den Ort, an dem sich die Ladung q i befindet, siehe Abb r 0i = r r i ist der Vektor, der vom Ort r i der Ladung q i zum Ort r der Ladung q 0 zeigt. ˆ r 0i = ( r r i )/ r r i ist der zugehörige Einheitsvektor und r r i der Abstand, den die Ladungenq 0 und q i voneinander haben. Die in Gl. (1.7) beschriebene vektorielle Addition der Einzelkräfte zur Gesamtkraft wird auch als Superpositionsprinzip bezeichnet. Abbildung 1.1: Kraft auf eine Ladung q 0 am Ort r verursacht von mehreren Punktladung q i an den Orten r i (i = 1,...,n).

9 8 1 Grundlagen der Elektrostatik 1.2 Das elektrische Feld Das elektrische Feld E einer Ladungsverteilung an einem Ort r wird definiert als die Kraft, die diese Ladungsverteilung auf eine Probeladung q 0 am Orte r bewirkt, dividiert durch den Wert dieser Probeladung, in Zeichen E := F q 0. (1.8) Damit lässt sich die Kraft auf die Probeladung q 0 schreiben in der Form F = q 0 E. (1.9) Die im COULOMBschen Gesetz beschriebene Fernwirkung der elektrostatischen Kraft auf eine Ladung wird auf diese Weise gedeutet als lokale Wechselwirkung dieser Ladung mit einem von den übrigen Ladungen erzeugten Feld. Diese Idee geht auf FARADAY zurück. Aus der Definitionsgleichung des elektrischen Felds Gl. (1.8) und Gl. (1.7) folgt direkt für das elektrische Feld E am Orte r, bewirkt von n Punktladungen q i (i = 1,...,n), die sich an den Raumpunkten r i befindet: E( r) = 1 4πε 0 n i=1 q i r r i 2 r r i r r i. (1.10) Für das elektrische Feld einer einzigen Punktladung q, die sich im Koordinatenursprung befindet, ergibt sich insbesondere E( r) = 1 4πε 0 q r 2 ˆ r. (1.11) Hierbei ist ˆ r der Einheitsvektor in Richtung von r. Gl. (1.11) werden wir im folgenden noch sehr oft verwenden. Ist die Ladungsverteilung nicht punktförmig, sondern kontinuierlich, so muss sie durch eine Dichtefunktion ( r) beschrieben werden. Die Funktion ( r) gibt dabei die Ladungsdichte an der Stelle r an. Sie ist definiert durch Q ( r) = lim V 0 V. (1.12) Hierbei ist Q die Ladung eines Volumens V, welches sich bei der Grenzwertbildung in Gl. (1.12) auf den Raumpunkt r zusammenzieht. Die Einheit der Ladungsdichte ergibt sich zu C/m 3. Um das elektrische Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung zu berechnen, teilt man das Gesamtvolumen

10 1.2 Das elektrische Feld 9 Abbildung 1.2: Zur Berechnung des elektrischen Feldes einer kontinuierlichen Ladungsverteilung. V, über das sich die Ladung erstreckt, in kleine Volumenelemente V i mit i = 1,...,n. Sind die Volumenelemente V i hinreichend klein, so kann die Ladungsdichte über jedem Volumenelement V i als konstant angesehen werden mit dem Wert ( r i ), wobei r i der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt des Volumenelementes V i ist. Das Volumenelementes V i trägt damit die Ladung Q i = ( r i ) V i. Das elektrische Feld der gesamten Ladungsverteilung ergibt sich dann mit Gl. (1.10) zu E( r) = lim V i 0 1 4πε 0 n i=1 ( r i ) r r i 2 r r i r r i V i. (1.13) Bei obiger Grenzwertbildung streben alle Volumenelemente V i gegen 0 und ihre Gesamtzahl n damit gegen. Der Grenzwert in Gl. (1.13) wird als Volumenintegral bezeichnet und geschrieben in der Form: E( r) = 1 4πε 0 V ( r ) r r 2 r r r r dv. (1.14) dv ist hierbei das differentielle Volumenelement (siehe Abb. 1.2), welches bei Verwendung kartesischerkoordinaten die Form hat dv = dx dy dz. Mit den Gln. (1.10) und (1.14) kann im Prinzip das elektrische Feld jeder Ladungsverteilung berechnet werden. Allerdings bringt die Auswertung des Volumenintegrals in Gl. (1.14) manchmal erhebliche mathematische Probleme mit sich. Wir verfolgen dies deshalb hier nicht weiter, weil wir später auch noch andere Methoden kennenlernen werden, elektrische Felder zu berechnen.

11 10 1 Grundlagen der Elektrostatik 1.3 Das elektrische Potential In der Mechanik wird die potentielle Energie E p eines Teilchen in einem konservativen Kraftfeld F eingeführt durch r E p ( r) = r 0 F d r. (1.15) Die potentielle Energie entspricht der Arbeit, die für eine Verschiebung des TeilchensvomPunkte r 0 zumpunkte rgegendaskraftfeld F verrichtetwerden muß. Sie kann interpretiert werden als Lageenergie, welche das Teilchen im Punke r besitzt. r 0 ist der Bezugspunkt der potentiellen Energie. In r 0 gilt E p ( r 0 ) = 0. Wir betrachten nun eine Probeladung q 0 in einem elektrischen Feld E. Sie erfährt die Kraft F = q 0E und hat damit gemäß Gl. (1.15) die potentielle Energie E p ( r) = q 0 r r 0 E d r. (1.16) Das elektrische Potential ist nun einfach definiert als die potentielle Energie pro Ladungseinheit, in Zeichen ϕ( r) = E p( r) q 0 r = r 0 E d r. (1.17) Die Einheit des elektrischen Potentials ϕ wird als Volt (V) festgesetzt, wobei gemäß Gl. (1.17) gilt V = J/C. Für die Einheit des elektrischen Feldes E ergibt sich damit V/m. Damit die Definition (1.17) sinnvoll ist, muss das dort auftretende Kurvenintegral wegunabhängig sein. Das ist aber genau dann der Fall, wenn für jede beliebige geschlossene Kurve C gilt: E d r = 0. (1.18) C Wir werden im folgenden nachweisen, dass dieser Sachverhalt für statische elektrische Felder gilt. Wir betrachten dazu zunächst das elektrische Feld einer Punktladung, E = 1 q ˆ r. (1.19) 4πε 0 r 2 Wir betrachten außerdem zunächst eine spezielle geschlossene Kurve, wie sie in Abb. 1.3 dargestellt ist. Sie besteht aus den zwei konzentrischen Kreisbögen

12 1.3 Das elektrische Potential 11 Abbildung 1.3: Eine spezielle geschlossene Kurve im Feld einer Punktladung bestehend aus zwei konzentrischen Kreisbögen C 1 und C 2, die verbunden sind durch zwei geradlinige, radial verlaufende, Wegstücke C 3 und C 4. Die gesamte Kurve werde im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. C 1 mit dem Radius r 1 und C 2 mit dem Radius r 2, die verbunden sind durch die geradlinigen radial verlaufenden, Wegstücke C 3 und C 4. Die gesamte Kurve werde im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. Die Wegintegrale längs der Kreisbogensegmente C 1 und C 2 verschwinden, da das elektrische Feld E in jedem Punkt dieser Kurvenstücke senkrecht auf d r steht, also E d r = E d r = 0. C 1 C 2 Für die radial verlaufenden geradlinigen Wegstücke gilt: bzw. also: C 3 E d r = C 4 E d r = r 2 r 1 E dr = q 4πε 0 r 1 r 2 E dr = q 4πε 0 r 2 r 1 1 r 2 dr = q 4πε 0 r 1 r 2 1 r 2 dr = q 4πε 0 E d r = E d r. C 4 C 3 ( 1 r1 1 r2 ) ( 1 r2 1 r1 ),,

13 12 1 Grundlagen der Elektrostatik Damit gilt für die geschlossene Kurve in Abb. 1.3: E d r = 0. (1.20) C Dieser Sachverhalt lässt sich nun direkt auf beliebiege geschlossene Kurven verallgemeinern. Wie in Abb. 1.4 dargestellt, kann eine beliebige geschlossene Kurve C beliebig genau approximiert werden durch kleine konzentrische Kreisbögen, die durch kleine radial verlaufende, geradlinige Wegstücke verbunden sind. Die Anteile zum Kurvenintegral entlang der Kreisbögen verschwin- Abbildung 1.4: Eine beliebige geschlossene Kurve im Feld einer Punktladung. den wieder, da das elektrische Feld E senkrecht auf diesen Wegstücken steht. Die Anteile entlang der geradlinigen Wegstücke, z.b. entlang C 1 und C 2 in Abb. 1.4, heben sich paarweise auf, ganz ähnlich wie bei der in Abb. 1.3 dargestellten Konfiguration. Damit gilt die Beziehung in Gl. (1.20) für beliebige geschlossenen Kurven im Feld einer Punktladung. Auf Grund des Prinzips der Superposition und wegen der Linearität des Integrals gilt die Beziehung schließlich aber auch für beliebige Ladungsverteilungen. Zusammenfassend haben wir damit folgenden Sachverhalt bewiesen: Das Integral des elektrostatischen Feldes längs einer beliebigen geschlossenen Kurve C ist Null, in Zeichen: E d r = 0. (1.21) C Man kann dies auch so formulieren: Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei.

14 1.3 Das elektrische Potential 13 Damit ist aber auch die Definition des elektrischen Potentials in Gl. (1.17) sinnvoll. Aus dieser Definition ergibt sich direkt, dass die Flächen gleichen Potentials, die sogenannten Äquipotentialflächen stets senkrecht zum elektrischen Feld E verlaufen. Es sei noch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass Gl. (1.21) nur für statische elektrische Felder gilt, nicht aber, wie wir später sehen werden, für zeitabhängige elektromagnetische Felder. Wir wollen nun das elektrische Potential einiger konkreter Ladungsverteilungen berechen. Wir bestimmen zunächst das Potential einer Punktladung q, welche sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet. Aus Symmetriegründen hängt das Potential nur vom Abstand r vom Zentrum ab. Wegen der Wegunabhängigkeit des Integrals in Gl. (1.17) können wir einen radial verlaufenden, geradlinigen Weg wählen. Als Bezugspunkt werde das Unendliche, r 0 =, gewählt. Mit Gl. (1.17) und (1.19) folgt r ϕ(r) = E dr = r E dr = q 4πε 0 r 1 r dr = q 1 2 4πε 0 r. Das elektrische Potential einer Punktladung q lautet somit: ϕ(r) = 1 4πε 0 q r. (1.22) Wird das elektrische Feld von mehreren Punktladungen q i (i = 1,...,n) hervorgerufen,wobeisichdieladungq i amort r i befinde,sofolgtausdemsuperpositionsprinzip und der Linearität des Integrals für das elektrische Potential am Ort r ϕ( r) = 1 4πε 0 n i=1 q i r r i. (1.23) Dabei ist r r i der Abstand des betrachteten Punktes r vom Ort r i der i-ten Punktladung. Liegt schließlich eine kontinuierliche Ladungsverteilung mit der Ladungsdichte ( r ) vor, so erhält man für das elektrische Potential ϕ( r) = 1 4πε 0 V ( r ) r r dv. (1.24) Die Potentiale weiterer Ladungsverteilungen werden wir in Kap. 2 im Zusammenhang mit Kondensatoren berechen. DiePotentialdifferenzzwischenzweiPunkten r 1 und r 2 ineinemelektrischen Feld hat große praktische Bedeutung. Sie wird als elektrische Spannung U bezeichnet. Sie gibt die Arbeit an, die notwendig ist, eine Einheitsladung in

15 14 1 Grundlagen der Elektrostatik dem elektrischen Feld E von r 1 nach r 2 zu bewegen. Aus Gl. (1.17) folgt direkt r 2 U = ϕ( r 2 ) ϕ( r 1 ) = r 1 E d r. (1.25) DieSpannungU wirdnatürlichwiedaspotentialϕinvolt(v)gemessen.dain praktischen Anwendungen immer nur Potentialdifferenzen eine Rolle spielen, ist man bei der Wahl des Bezugspunktes r 0 in Gl. (1.17) frei. Die Festlegung, das Potential einer Punktladung im Unendlichen (r 0 = ) auf den Wert Null zu setzen, ist bequem, aber willkürlich und keinesfalls notwendig. Die Gleichung r ϕ( r) = E d r. (1.26) r 0 liefert den Zusammenhang zwischen dem Potential ϕ und dem elektrischen Feld E in Form eines Integrals. Man kann mit Gl. (1.26) bei bekanntem Feldverlauf das zugehörige Potential berechnen. Man kann aus Gl. (1.26) aber auch einen differentiellen Zusammenhang zwischen dem Feld und dem Potential herleiten. Dieser ermöglicht die Berechnung des elektrischen Feldes, wenn das elektrische Potential bekannt ist. Dies ist in der Praxis hilfreich, da das Potential einer Ladungsverteilung manchmal einfacher zu berechenen ist als das elektrische Feld. Wir betrachten dazu die Potentialdifferenz dϕ = ϕ( r + d r) ϕ( r) zweier benachbarter Punkte r = (x,y,z) und r+d r = (x+dx,y +dy,z +dz). Die Änderung des Potentials, wenn man vom ersten zum zweiten Punkt übergeht, ist gegeben durch dϕ = ϕ x dx+ ϕ y dy + ϕ z dz. (1.27) ϕ/ x, ϕ/ y und ϕ/ z sind die partiellen Ableitungen der Funktion ϕ. Die partielle Ableitung ϕ/ x beschreibt dabei die Änderung von ϕ in x-richtung, wobei die übrigen Variablen y und z konstant gehalten werden. Den Ausdruck in Gl. (1.27) bezeichnet man auch als totales Differential. Aus Gl. (1.26) ergibt sich andererseits für dϕ dϕ = Ed r = (E x dx+e y dy +E z dz), (1.28) mit E = (E x,e y,e z ). Durch Vergleich von Gl. (1.27) und (1.28) folgt E x = ϕ x, E y = ϕ y, E z = ϕ z, (1.29)

16 1.4 Potential und Feld eines elektrischen Dipols 15 oder oder E = ( ) ϕ x, ϕ y, ϕ z, (1.30) E = gradϕ, (1.31) wobei der Gradient einer Funktion definiert ist durch gradϕ = ( ) ϕ x, ϕ y, ϕ z. (1.32) Der Gradient einer Funktion zeigt allgemein in Richtung des stärksten Anstiegs, und er steht senkrecht auf den Flächen, auf denen die Funktion konstant ist. Das elektrische Feld zeigt demzufolge in Richtung der stärksten Abnahme des Potentials und steht senkrecht auf den Äquipotentialflächen, was uns bereits bekannt ist. 1.4 Potential und Feld eines elektrischen Dipols In diesem Abschnitt wollen wir das Potential und das Feld eines elektrischen Dipols berechenen. Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei Punktladungen +q und q, die in einem Abstand d voneinander angeordnet sind, siehe Abb Der Dipol sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit parallel zur z-achse angeordnet. Die Ladung +q befindet sich am Ort r + = (0,0,d/2) und die Ladung q am Ort r = (0,0, d/2). Der Koordinatenursprung liegt somit in der Mitte zwischen beiden Ladungen. Das elektrische Potential ϕ(x, y, z) eines solchen Dipols im Raumpunkt r = (x,y,z) ergibt sich gemäß Gl. (1.17) zu: ϕ(x,y,z) = 1 q 4πε 0 x 2 +y 2 +(z + q. (1.33) d 2 )2 x 2 +y 2 +(z + d 2 )2 Häufig interessiert man sich für das Potential in einem großen Abstand r = x 2 +y 2 +z 2 vom Dipol, d.h. d r bzw. d/r 1. In diesem Fall gilt die Näherung ( x 2 +y 2 +z 2 zd+ d2 4 ) 1 ( ( 2 = r 2 1 zd )) 1 ( r + d zd ) 2 4r 2 r 2r 2.

17 16 1 Grundlagen der Elektrostatik Abbildung 1.5: Zur Berechnung des Potentials eines elektrischen Dipols im Punkte r = (x,y,z). Eingezeichnet sind auch die Polarkoordinaten r und θ. Hierbei haben wir zunächst den Term d 2 /4r 2 vernachlässigt, da er quadratisch in d/r ist, und somit gilt d 2 /4r 2 zd/r 2. Schließlich haben wir noch die Beziehung (1+x) 1/2 1 x/2 für x 1 ausgenutzt. Analog gilt ( x 2 +y 2 +z 2 +zd+ d2 4 ) 1 ( zd ) r 2r 2. Mit Gl. (1.33) folgt für das Potential des Dipols im Fernfeld (r d): Wir führen nun das Dipolmoment p ein gemäß ϕ(x,y,z) = 1 4πε 0 (qd) z r 3. (1.34) p = q d, wobei d = r + r = (0,0,d) der Abstandsvektor ist, der von der negativen zur positiven Ladung zeigt. Führen wir noch, wie in Abb. 1.5 dargestellt, θ als Winkel zwischen den Vektoren p und r ein, so gilt z/r = cosθ. Damit erhalten

18 1.4 Potential und Feld eines elektrischen Dipols 17 wir aus Gl. (1.34) das Potential eines Dipols in folgender Form, die unabhängig von der speziellen Lage des Dipols im Koordinatensystem ist: ϕ( r) = 1 4πε 0 p cosθ r 2 = 1 4πε 0 p r r 3. (1.35) Für die weitere Berechnung sei der Dipol der Einfachheit halber wieder parallel zur z-achse orientiert, also p = (0,0,p) mit p = qd, womit sich das Potential ergibt zu ϕ(x,y,z) = 1 pz. (1.36) 4πε 0 r 3 Das elektrische Feld E des Dipols erhält man gemäß Gl. (1.29) durch Gradientenbildung aus dem elektrischen Potential, Gl. (1.33), bzw. im Fernfeld aus Gl. (1.36). Wir beschränken uns auf die Berechnung des elektrischen Feldes im Fernfeld und erhalten aus Gl. (1.36) E x = ϕ x = p ( ϕ z 4πε 0 x (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 E y = ϕ y E z = ϕ z = p ϕ 4πε 0 y = p ϕ 4πε 0 z = ( p 4πε 0 3 cos 2 θ 1 r 3. z ) ) (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 ( z ) (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 = p 4πε 0 3zx r 5, = p 3zy, 4πε 0 r 5 = p ( ) 1 4πε 0 r 3z2 3 r 5 Da das Feld rotationssymmetrisch um die Dipolachse (z-achse) ist, ist es sinnvoll das elektrische Feld E in zwei Komponenten zu zerlegen, von denen die eine ( E ) parallel zur Dipolachse und die andere ( E ) senkrecht dazu steht. Aus den obigen Beziehungen folgt E = Ex 2 +Ey 2 = p 3z x 4πε 0 r 2 +y 2 = p 3 cosθ sinθ,(1.37) 5 4πε 0 r 3 E = E z = p 4πε 0 3 cos 2 θ 1 r 3, (1.38) wobei wir die Beziehung x 2 +y 2 /r = sinθ benutzt haben, welche man direkt aus Abb. 1.5 ablesen kann. Der Verlauf des Potentials und des Feldes eines elektrischen Dipols ist in Abb. 1.6 dargesellt. Der Verlauf des Feldes im Fernfeld wird durch die Gln. (1.37) und (1.38) wiedergegeben. Insbesondere zeigt sich,

19 18 1 Grundlagen der Elektrostatik dass ( E ) verschwindet für θ = 0 0 und θ = Die parallele Feldkomponenete ( E ) hat für θ = 0 0 den Wert und für θ = 90 0 den Wert E = p 2πε 0 r 3 für θ = 0 0, (1.39) E = p 4πε 0 r 3 für θ = (1.40) Sie ist damit bei gleichem Abstand r für θ = 0 0 doppelt so groß wie für θ = 90 0 und sie ist umgekehrt gerichtet. Die Gln. (1.37) und (1.38) zeigen außerdem, dass das Feld des elektrische Dipols in alle Richtungen proportional zu 1/r 3 nach außen abfällt. Abbildung 1.6: Die Äquipotentialflächen (gestrichelt) und die Feldlinien eines elektrischen Dipols.

20 1.5. DAS GAUSSSCHE GESETZ FÜR DAS ELEKTRISCHE FELD Das GAUSSsche Gesetz für das elektrische Feld Wir wollen in diesem Kapitel einen Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld und seinen Quellen, den elektrischen Ladungen herleiten. Zur Formulierung des GAUSSschen Gesetzes müssen wir zunächst den Begriff des Flusses eines Vektorfeldes erläutern. Für die strömenden Teilchen eines Gases oder einer Flüssigkeit hat der Fluss eine ganz anschauliche Bedeutung, die wir zunächst betrachten. In Abb. 1.7 ist eine kleine Fläche A gezeigt, durch die Teilchen mit der Geschwindigkeit v strömen. Die Geschwindigkeit v sei über dem ganzen Bereich der Fläche A konstant. Weiter sei die Zahl der Teilchen pro Volumeneinheit. Steht die Fläche A senkrecht auf dem Vektorfeld v, so ist der Teilchenfluss durch die Fläche A gegeben durch Φ = va, liegt die Fläche parallel im Teichenstrom, so verschwindet der Fluss, Φ = 0. Im allgemeinen Fall schließlich, die Flächennormle n bildet dann den Winkel θ mit dem Vektorfeld v, ist der Fluss durch die Fläche A gegeben durch Φ = va cosθ. (1.41) Führt man den Flächenvektor A = na und die Teilchenstromdichte j = v ein, so kann man den Fluss in Gl. (1.41) auch schreiben in der Form Φ = j A. Ist der Teilchenfluss inhomogen oder die Fläche A gekrümmt oder beides, so muss man die Fläche A in viele kleine Flächenelemente A i = n i A i unterteilen, durch die dann jeweils der Teilchenstrom j i tritt. Der Gesamtfluss des Teichenstroms durch die Fläche A ist dann gegeben durch n Φ = lim j i A i, A i 0 i=1 Abbildung 1.7: Der Teilchenfluss Φ durch eine Fläche A bei unterschiedlicher Orientierung der Fläche.

21 20 1 Grundlagen der Elektrostatik oder Φ = j da, (1.42) A wobei Gl. (1.42) das Flächenintegral des Teilchenflusses j über die Fläche A darstellt. Es liefert hier die Zahl der Teilchen, die pro Sekunde durch die betrachtete Fläche treten. Wir wollen nun diese Definition des Flusses, die für beliebige Vektorfelder gilt, auf das elektrische Feld E anwenden. Dann ergibt sich der Fluss des elektrischen Feldes durch eine Fläche A zu Φ = E da. (1.43) A Nach diesen Vorbetrachtungen können wir nun das GAUSSsche Gesetz für für das elektrische Feld formulieren: Der Fluss des elektrischen Feldes E durch eine geschlossene Oberfläche A ist gleich der gesamten Ladung Q, die sich innerhalb dieser Fläche befindet, dividiert durch ε 0, in Zeichen: A E d A = Q ε 0. (1.44) Obige Aussage kann man auch so formulieren: Ladungen sind die Quellen und Senken des elektrischen Feldes. Die elektischen Feldlinien beginnen demzufolge bei den positiven Ladungen und enden bei den negativen. Im Folgenden wollen wir zeigen, dass das GAUSSsche Gesetz (1.44) aus dem COULOMBschen Gesetz hergeleitet werden kann. Wir betrachten dazu zunächst das elektrische Feld einer Punktladung q (wobei wir q > 0 voraussetzen), welche sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet. Nach dem COULOMBschen Gesetz ist das Feld gegeben durch E = 1 4πε 0 q r 2 ˆ r. Wir betrachten nun den Fluss des elektrischen Feldes durch ein Kugelsegment, welches sich außerhalb der Ladung q befindet, siehe Abb Das Kugelsegment wird innen und außen berandet durch die Flächen A 1 und A 2, die jeweils Ausschnitte aus einer Kugeloberfläche sind mit dem Radius r 1 bzw. r 2, und die an den Ecken begrenzt werden durch vier radial vom Ursprung nach außen laufende Strahlen. Die Flächenvektoren sind alle, wie stets bei geschlossenen

22 1.5 Das GAUSSsche Gesetz für das elektrische Feld 21 Abbildung 1.8: Der Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung q durch ein Kugelsegment, welches sich außerhalb der Ladung befindet. Oberflächen, nach außen gerichtet. Der Fluß durch die vier planaren Seitenflächen, die durch die radial nach außen verlaufenden Geraden berandet werden, ist Null, da das elektrische Feld tangential in diesen Flächen liegt, bzw. die Flächennormale dort senkrecht auf E steht. Der Fluss durch die Fläche A 2 ist positiv, da die Richtung von E parallel ist zu der des Flächenvektors da. Da das elektrische Feld in jedem Punkt der Fläche A 2 den konstanten Betrag E 2 = q/4πε 0 r2 2 hat, berechnet sich der Fluss durch das Flächenstück A 2 zu E d q A = E2 A 2 = A 4πε 0 r A 2 Ganz ähnlich erhält man den Fluss durch die Fläche A 1, wobei der Fluss hier negativ ist, da die Richtung von E hier entgegengesetzt ist zu der von da. Da das elektrische Feld in jedem Punkt der Fläche A 1 den konstanten Betrag E 1 = q/4πε 0 r1 2 hat, ergibt sich der Fluss durch das Flächenstück A 1 zu E da = E1 A 1 = q A 4πε 0 r A 1 Da die beiden sphärischen Flächenelemente A 1 und A 2 durch die selben radial nach außen verlaufenden Strahlen begrenzt sind, gilt A 2 /A 1 = r 2 2/r 2 1 oder A 2 = (r 2 2/r 2 1)A 1. Für den Fluss durch die Fläche A 2 erhält man damit A 2 E d A = q 4πε 0 r 2 2 r2 2 r1 2 A 1 = q A 4πε 0 r1 2 1 = E da. (1.45) A 1

23 22 1 Grundlagen der Elektrostatik Abbildung 1.9: Der Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung q durch eine beliebige geschlossenen Fläche, welche die Ladung nicht umschließt. Der Fluss durch die Fläche A 2 ist also genau entgegengesetzt gleich groß dem Fluß durch die Fläche A 1. Damit ist der gesamten Fluss des elektrischen Feldes durch die geschlossene Oberfläche des in Abb. 1.8 dargestellten Kugelsegmentes gleich Null. Dieser Sachverhalt lässt sich nun direkt verallgemeinern auf beliebige geschlossene Flächen, welche die Ladung q nicht umschliessen. Eine beliebige Fläche kann, wie in Abb. 1.9 dargestellt wird, beliebig genau durch eine immer feiner werdende Überlagerung von geeigeten Kugelsegmenten aufgebaut werden. Die geschlossene Fäche wird dabei angenähert durch sphärische Flächenstücke, die miteinander verbunden sind durch radial nach außen verlaufende, planare Flächenstücke. In Abb. 1.9 ist dies in Form eines Schnittbildes dargestellt. Der Fluss durch die planaren Flächenstücke verschwindet, da die elektrische Feldstärke tangential in diesen Flächenstücken liegt. Der Fluss durch die sphärischen Flächenstücke, z.b. durch die Flächenstücke A 1 und A 2 in Abb. 1.9, hebt sich paarweise auf, wie wir weiter oben an Hand der in Abb. 1.8 dargestellten Konfiguration ausführlich begründet hatten. Damit ist aber der Fluß durch die gesamte geschlossene Fläche gleich Null. Wir haben somit gezeigt, dass der Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung durch eine beliebige geschlossene Fläche, welche die Ladung nicht umschließt, verschwindet. Als nächstes berechnen wir den Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung q durch eine Kugeloberfläche, in deren Zentrum sich die Ladung befindet. Der Radius der Kugel sei r. Der Fluss ist positiv, da die Richtung von E in

24 1.5 Das GAUSSsche Gesetz für das elektrische Feld 23 Abbildung 1.10: Der Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung q durch eine beliebige geschlossenen Fläche, welche die Ladung umschließt. Diese Fläche kann beliebig genau aufgebaut werden durch Kugeloberflächensegment, die verbunden sind durch planare, radial nach außen verlaufende Seitenflächen. jedem Punkt der Kugeloberfläche parallel ist zu der des Flächenvektors da. Da das elektrische Feld in jedem Punkt der Kugeloberfläche A den konstanten Betrag E = q/4πε 0 r 2 hat, und die Oberfläche A der Kugel gegeben ist durch A = 4πr 2, ergibt sich der Fluss des elektrischen Feldes durch eine Kugeloberfläche mit der Ladung q im Zentrum E da q = 4πε 0 r 2 4πr2 = q. (1.46) ε 0 A Dieser Sachverhalt lässt sich nun direkt verallgemeinern auf beliebige geschlossene Flächen, welche die Ladung q umschliessen. Eine beliebige Fläche, welche die Ladung q umschließt, kann nämlich, wie in Abb dargestellt wird, beliebig genau aufgebaut werden durch eine immer feiner werdende Überlagerung von geeigeten Ausschnitten aus Kugeloberflächen, die verschiedene Radien haben und in deren Zentrum sich die Ladung q befindet, sowie planaren Seitenflächen, die diese verbinden. Der Fluß durch die planaren, radial nach außen verlaufenden Seitenflächen ist aber Null, da das elektrische Feld tangential in diesen Flächen liegt. Der Fluss durch die weiter außen liegenden Kugeloberflächensegmente kann direkt in Beziehung gesetzt werden mit dem Fluss durch Flächensegmente auf einer weiter innen liegenden Kugel. Der Fluss beispielsweise durch das Kugeloberflächensegment A 2 in Abb ist gleich dem

25 24 1 Grundlagen der Elektrostatik Fluss durch das entsprechende Kugeloberflächensegment A 1 auf der weiter innen liegenden Kugel. Die Argumentation hierbei ist ähnlich der, die wir weiter oben an Hand der in Abb. 1.8 dargestellten Konfiguration geführt hatten. Der Flächenvektor ist jetzt aber bei beiden Flächen A 2 und A 1 nach außen gerichtet, also in Richtung des elektrischen Feldes E. Der Fluss durch die Fläche A 2 ist somit positiv und berechnet sich zu A 2 E d A = E2 A 2 = q A 4πε 0 r (1.47) Der Fluss durch die Fläche A 1 mit dem Radius r 1 ist ebenfalls positiv ist und berechnet sich zu E d q A = E1 A 1 = A 4πε 0 r 2 1. (1.48) 1 A 1 Da die beiden sphärischen Flächenelemente A 1 und A 2 durch die selben radial nach außen verlaufenden Strahlen begrenzt sind, gilt A 2 /A 1 = r 2 2/r 2 1 oder A 2 = (r 2 2/r 2 1)A 1. Für den Fluss durch die Fläche A 2 erhält man damit A 2 E d A = q 4πε 0 r 2 2 r2 2 r1 2 A 1 = q A 4πε 0 r1 2 1 = E da. (1.49) A 1 Der Fluss durch die Fläche A 2 ist also genau gleich groß dem Fluß durch die innen liegende Fläche A 1. Summiert man nun den Fluß durch alle außen liegende Kugeloberflächensegmente auf, so ergibt sich, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch die beliebig geformte Fläche A gleich dem Fluss durch die Oberfläche einer weiter innen liegenden Kugel ist. Dieser ist aber gemäß Gl. (1.46) gleich q/ε 0. Wir haben damit gezeigt, dass der Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung durch eine beliebige geschlossene Fläche, welche die Ladung umschließt, gleich q/ε 0 ist. Bislang haben wir den elektrischen Fluss lediglich einer Ladung q berachtet. Wir wollen nun sehen, was sich ergibt, wenn wir für eine beliebige Ladungsverteilung den Fluss des von diesen Ladungen erzeugten elektrischen Feldes durch eine beliebeige Fläche berechnen wollen. Im allgemeinen wird die Fläche einen Teil der Ladungen einschließen, die restlichen aber nicht. Wir betrachten dazu die in Abb dargestellte Situation. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, das elektrische Feld werde lediglich von drei Ladungen erzeugt. Die Fläche A umschließe nur die Ladungen q 1 und q 3 nicht aber q 2. Nach dem Superpositionsprinzip ergibt sich das Feld der drei Ladungen in jedem Raumpunkt zu E = E 1 + E 2 + E 3, wobei E i, i = 1,2,3, das elektrische Feld der jeweiligen Punktladung q i bedeutet. Damit ergibt sich für den Fluß des elektrischen

26 1.5 Das GAUSSsche Gesetz für das elektrische Feld 25 Abbildung 1.11: Der Fluss des elektrischen Feldes von drei Punktladung q 1,q 2,q 3 durch eine beliebige geschlossenen Fläche, welche die Ladung q 1 und q 3 umschließt, nicht aber q 2. Feldes der drei Ladungen E da = ( E1 + E 2 + E 3 ) d A. A A Da das Integral der Summe von Funktionen gleich der Summe der Integrale ist, folgt E da = E 1 da+ E 2 da+ E 3 da. (1.50) A A Die Integrale auf der rechten Seite von Gl. (1.50) stellen den Fluss des elektrischen Feldes der einzelnen Punktladung q i durch die Fläche A dar. Nach dem oben Bewiesenen ist der Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung durch eine beliebige geschlossene Fläche gleich q/ε 0, wenn die Ladung von dieser Fläche umschlossen wird, sonst ist er Null. Das liefert A A E d A = q 1 ε q 3 ε 0 = Q ε 0, wobei Q = q 1 +q 3 die gesamte von der Fläche A umschlossene Ladung ist. Da die obige Argumentation direkt auf beliebige Ladungsverteilungen übertragen werden kann, ist das GAUSSsche Gesetz damit bewiesen. Es sei noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass in dem GAUSSschen Gesetz (1.44) das elektrische Feld E in dem Flussintegral das Feld ist, das von allen Ladungen herrührt, sowohl die innerhalb, als auch die außerhalb der geschlossenen Fläche liegen, während Q auf der rechten Seite der Gl. (1.44) nur die Ladungen umfasst, die sich innerhalb der geschlossenen Fläche befinden. A

27 26 1 Grundlagen der Elektrostatik Wir wollen hier schnell noch eine Folgerung aus dem GAUSSschen Gesetzt ziehen. Wir brauchen dazu den Begriff der Feldlinie. Eine Feldlinie ist nichts anderes, als eine Kurve die überall tangential zu dem elektrischen Feld verläuft, siehe Abb Der Feldlinienverlauf gibt somit zunächst nur die Richtung des Feldes wieder. Wir werden aber sehen, dass der Feldlinien Verlauf auch eine Aussage über den Betrag des Feldes macht. Wir betrachten dazu eine kleine Querschnittsfläche A 1, die senkrecht zum Feldlinienverlauf orientiert sei. Folgt man dem Verlauf der Feldlinien, so ändert sich diese Fläche, verkleinert sich z.b. auf die in Abb dargestellten Fläche A 2. Wir betrachen nun den Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberfläche des röhrenförmigen Gebildes bestehend aus den Frontflächen A 1 und A 2 und einer Mantelfläche die parallel zum Verlauf der Feldlinien liegt. Da die Flächen A 1 und A 2 als sehr klein vorausgesetzt wurden, kann das elektrische Feld auf ihnen als konstant angenommen werden. Es habe auf der Fläche A 1 den Betrag E 1 und auf der Fläche A 2 den Betrag E 2 und steht jeweils senkrecht auf diesen Flächen. Der Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberfläche dieses röhrenförmigen Körpers (die Flächennormalen sind wie üblich überall nach außen orientiert) ergibt sich zu E da = E 1 A 1 +E 2 A 2. A Da die geschlossene Oberfläche keine Ladungen umschließt, muss nach dem GAUSSschen Gesetz der Fluss des elektrischen Feldes durch diese Oberfläche verschwinden, also E 2 A 2 = E 1 A 1. Das bedeutet aber, dass der Betrag des elektrischen Feldes groß ist, da wo die Feldlinien eng beieinanderliegen, und umgekehrt. Der Feldlinienverlauf macht also auch eine Aussage über den Betrag des elektrischen Feldes. Abbildung 1.12: Die Feldlinien eines elektrischen Feldes.

28 Kapitel 2 Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik Das elektrostatische Feld wird vollständig durch die folgenden beiden Gesetze beschrieben. Zum einen gilt das GAUSSsche Gesetz: A E d A = Q ε 0, (2.1) welches aussagt, dass der Fluss des elektrischen Feldes E durch eine geschlossene Oberfläche A gleich der gesamten Ladung Q ist, die sich innerhalb dieser Fläche befindet, dividiert durch ε 0. Zum anderen gilt E d r = 0, (2.2) C welches aussagt, dass die Zirkulation des elektrischen Feldes E gleich Null ist. In diesem Kapitel wollen wir diese Gesetze benutzen, um das elekrische Feld von verschieden Ladungskonfigurationen zu berechnen. 2.1 Das elektrische Feld einer ebenen Ladungsverteilung Als erstes wollen wir das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten, ebenen, homogenen Ladungsverteilung berechnen. Aus Symmetriegründen folgt sofort, dass E nur senkrecht auf der geladenen Ebene stehen kann, sowie rechts und links von der Ebene den gleichen Betrag haben muss, siehe Abb Für die Anwendung des GAUSSschen Satzes wird eine geeignete geschlossene Fläche 27

29 28 2 Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik Abbildung 2.1: Zur Berechnung des elektrischen Feldes einer unendlich ausgedehnten, ebenen Ladungsverteilung. mit den planaren Seitenflächen A 1 und A 2 verwendet, die einen Teil Q der Flächenladung umschließt, siehe Abb Wir berechnen nun den Fluss durch diese geschlossenen Fläche. E steht senkrecht auf den beiden großen Seitenflächen A 1 und A 2, liegt dagegen aber parallel zu den übrigen vier schmalen Teilflächen. Daher tragen nur die Flächen A 1 und A 2 zum Fluss bei, und das GAUSSsche Gesetz liefert: Mit A 1 = A 2 = A und E 1 = E 2 = E folgt: E 1 A 1 + E 2 A 2 = Q ε 0. (2.3) E = 1 2ε 0 Q A = σ 2ε 0, (2.4) wobei σ = Q/A die Flächenladungsdichte der geladenen Schicht ist. Bemerkenswert ist, dass das elektrische Feld in jedem Abstand von einer unendlich ausgedehneten, geladenen Schicht den gleichen Wert hat. 2.2 Das elektrische Feld einer linearen Ladungsverteilung In diesem Abschnitt berechnen wir das elektrische Feld einer unendlich langen, lininenhaften Ladungsverteilung, also z.b. das elektrische Feld eines unendlich langen, geraden Drahtes, der homogen geladen sein soll. Aus Symmetriegründen kann das elektrische Feld nur senkrecht zur Drahtachse stehen und hat

30 2.2 Das elektrische Feld einer linearen Ladungsverteilung 29 bei allen Punkten mit demselben Abstand von dem Draht den gleichen Betrag. Außerdem zeigt es bei einem positiv geladen Draht überall nach außen. Wir wollen das elektrische Feld mit Hilfe des GAUSSschen Gesetzes berechen. Wir betrachten dazu den elektrischen Fluss durch einen Zylinder mit dem Radius r und der Länge l, dessen Symmetrieachse mit dem geladenen Draht zusammenfällt, siehe Abb E steht senkrecht auf der Mantelfläche des Zylinders, Abbildung 2.2: Zur Berechnung des elektrischen Feldes einer unendlich ausgedehnten, linearen Ladungsverteilung. liegt aber parallel zu den beiden Kreisflächen A 1 und A 2 des Zylinders. Daher trägt nur die Mantelfläche zum Fluss bei, nicht aber die Flächen A 1 und A 2. Der GAUSSsche Satz liefert dann E2πrl = Q ε 0, (2.5) wobei Q der Teil der Ladung auf dem Draht ist, der von der Zylinderfläche umschlossen wird, und E ist der Betrag des elektischen Feldes auf der Zylindermantelfläche, also im Abstand r vom Draht. Aus Gl. (2.5) folgt E = 1 2πε 0 r Q l = λ 2πε 0 r. (2.6) Hierbei bezeichnet λ = Q/l die Linienladungsdichte, d.h. die Ladung pro Längeneinheit. Das elektrische Feld eines unendlich langen, geraden Drahtes fällt also mit 1/r nach außen ab.

31 30 2 Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik 2.3 Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel In diesem Abschnitt berechnen wir das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel, sowohl im Außenraum der Kugel als auch im Innern der Kugel. Die gesamte Ladung der Kugel sei Q und ihr Radius sei R 0. Auch hier wollen wir für die Berechnung des elektrischen Feldes das GAUSSsche Gesetz anwenden. Dazu betrachten wir eine Kugelfläche A mit dem Radius r, welche, wie in Abb. 2.3 dargestellt, die homogen geladene Kugel konzentrisch umschließt (r > R 0 ). Aus Symmetriegründen kann das elektrische Feld nur radial nach außen gerichtet sein und steht daher senkrecht auf der GAUSSschen Integrationsfläche. Weiter kann der Betrag des elektrischen Feldes aus Symmetriegründen nur vom Abstand r vom Kugelmittelpunkt abhängen. Das GAUSSsche Gesetz Abbildung 2.3: Zur Berechnung des elektrischen Feldes einer homogen geladenen Kugel. angewendet auf die Kugelfläche A mit A = 4πr 2 liefert dann E4πr 2 = Q ε 0 (2.7) oder E = 1 4πε 0 Q r 2 für r > R 0. (2.8) Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel fällt also im Außenraum mit 1/r 2 nach außen ab. Durch Vergleich mit Gl. (1.11) zeigt sich weiter, dass das Feld im Außenraum identisch ist mit dem Feld einer Punktladung, bei welcher die gesamte Kugelladung Q im Kugelmittelpunkt konzentriert ist.

32 2.4 Elektrische Felder von Leitern 31 Nun wollen wir noch das elektrische Feld im Innnern einer homogen geladenen Kugel berechnen. Das elektrische Feld ist aus Symmatriegründen auch im Innern radial nach außen gerichtet. Wir berechen jetzt den Fluss durch eine sphärische Fläche A, die innerhalb der Kugel liegt (r < R 0 ). Sie umschließt den Teil Qr 3 /R 3 0 der Gesamtladung Q. Das GAUSSsche Gesetz angewendet auf die Kugelfläche A mit A = 4πr 2 liefert dann E4πr 2 = 1 ε 0 Q r3 R 3 0 (2.9) oder E = 1 Qr für r < R 4πε 0 R (2.10) Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel wächst also im Innenraum proportional zu r nach außen an. In Abb. 2.4 ist das elektrische Feld innerhalb und außerhalb einer homogen geladenen Kugel als Funktion von r graphisch dargestellt. Abbildung 2.4: Das elektrische Feld innerhalb und außerhalb einer homogen geladenen Kugel als Funktion von r. 2.4 Elektrische Felder von Leitern Elektrische Leiter besitzen frei bewegliche Elektronen. Bringt man eine zusätzliche Ladung Q auf den Leiter, so verteilt sich diese, bis ein Gleichgewichtszustand erreicht ist. Dieser ist dadurch gekennzeichnet, dass im Innern des Leiters E = 0 gelten muss. Denn solange noch irgendwo im Innern des Leiters E 0 gilt, würden die frei beweglichen Ladungsträger eine Kraft erfahren und in Bewegung gesetzt werden, so dass noch nicht von einem stationären Zustand

33 32 2 Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik gesprochen werden kann. Wenn wir also einen Leiter im Kontext der Elektrostatik betrachten, muss das elektrische Feld in seinem Innern verschwinden. Dies bedeutet wegen des GAUSSschen Gesetzes aber auch, dass überall im Innern des Leiters die Ladungsdichte verschwinden muss, d.h. = 0. Man lege dazu, wie in Abb. 2.5 dargestellt, eine beliebige geschlossene GAUSSsche Fläche in das Innere des Leiters. Da im gesamten Leiterinneren E = 0 gilt, ist der Fluss durch die Fläche Null, und damit ist nach dem GAUSSschen Gesetz auch die gesamte von der Fläche umschlossene Ladung gleich Null. Da dies für beliebeige geschlossene Flächen gilt, muss überall im Innern des Leiters = 0 gelten. Abbildung 2.5: Im Innern eines Leiters gilt im elektrostatischen Gleichgewicht E = 0 und = 0. Aus E = 0überallimInnerndesLeitersfolgtferner,dasssichallePunkedes Leiters auf dem gleichen Potential befinden. Das bedeutet aber, dass das eletrische Feld E überall senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen muss. Mit Hilfe des GAUSSschen Gesetzes können wir nun eine Beziehung herleiten zwischen dem elektrische Feld E an der Leiteroberfläche und der dort vorhandenen Flächenladungsdichte σ. Man lege dazu, wie in Abb. 2.6 dargestellt, eine zylinderförmige, geschlossene GAUSSsche Fläche so durch die Oberfläche des Leiters, dass die eine Hälfte innerhalb und die andere Hälfte außerhalb des Leiters liegt. Die Längenausdehnung des Zylinders sei vernachlässigbar klein, so dass nur die beiden kreisförmigen Flächen der Größe A zum elektrische Fluss beitragen. Da im Leiterinnern E = 0 gilt, und E unmittelbar außerhalb des Leiters senkrecht auf der Leiteroberfläche steht, folgt mit dem GAUSSschen

34 2.4 Elektrische Felder von Leitern 33 Gesetz EA = Q ε 0, wobei Q der Teil der Ladung auf der Leiteroberfläche ist, der von dem Zylinder umschlossen wird. Damit folgt für das elektrische Feld an der Oberfläche eines elektrischen Leiters: E = σ ε 0, (2.11) wobei σ = Q/A die Flächenladungsdichte an der Oberfläche des Leiters bezeichnet. Abbildung 2.6: Zur Berechnung des elektrischen Feldes an der Oberfläche eines Leiters. Wir betrachten nun speziell das elektrische Feld einer geladenen Metallkugel mit dem Radius R 0 und der gesamten Ladung Q. Im Innern der Kugel verschwindet das elektrische Feld, d.h. E = 0. Die Flächenladungsdichte ist aus Symmetriegründen auf der ganzen Kugeloberfläche konstant und hat den Wert σ = Q/4πR0. 2 Für das elektrische Feld an der Kugeloberfläche fogt dann aus Gl. (2.11): E 0 = 1 Q. (2.12) ε 0 4πR0 2 Das elektrische Feld im Außenraum erhält man auf die gleiche Weise wie in Kapitel 2.3. Es ergibt sich zu E = 1 4πε 0 Q r 2 (2.13)

35 34 2 Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik und ist somit auch hier identisch mit dem Feld einer Punktladung, bei welcher die gesamte Kugelladung Q im Kugelmittelpunkt konzentriert ist. Das elektrische Potential lautet dann ϕ = 1 4πε 0 Q r. (2.14) Das Potential speziell an der Kugeloberfläche ergibt sich zu ϕ 0 = 1 4πε 0 Q R 0. (2.15) Mit den Gln. (2.12) und (2.15) kann man das elektrische Feld an der Kugeloberfläche auch durch das Potential an der Kugeloberfläche ausdrücken. Es gilt: E 0 = ϕ 0 R 0. (2.16) Das elektrische Feld verhält sich also umgekeht proportional zum Radius der Kugel. Das hat folgende Konsequenz. Wenn wir beispielsweise, wie in Abb. 2.7 dargestellt, eine große und eine kleine Kugel mit einem Draht verbinden, und somit beide auf das gleiche Potential bringen, so ist nach Gl. (2.15) die elektrische Feldstärke an der Oberfläche der kleinen Kugel deutlich größer als an der Oberfläche der großen Kugel. Für beliebig geformte Leiter wie in Abb. 2.8 Abbildung 2.7: Zwei mit einem Draht verbundene Metallkugeln. Sie befinden sich auf dem gleichen Potential. Die elektrische Feldstärke an der Oberfläche der kleinen Kugel ist deutlich größer als an der Oberfläche der großen Kugel. bedeutet das, dass die Feldstärke im Allgemeinen umgekehrt proportional zum Krümmungsradius an der Leiteroberfläche ist. Um bei Hochspannungsgeräten das Auftreten hoher Feldstärken zu verhindern, ist es daher notwendig, nur abgerundete Metallteile mit großem Krümmungsradius zu verwenden und nach Möglichkeit jede Art von Spitzen zu vermeiden. Andererseits kann man sich die hohen Feldstärken an Spitzen zunutze machen. Ein Beispiel hierfür ist

36 2.5 Der FARADAYsche Käfig 35 Ladungsübertragung. Da nach Gl. (2.15) die elektrische Feldstärke an Metalloberflächen proportional zur Flächenladungsdichte σ ist, kann man mit einem Löffel von der Spitze der Leiteroberfläche in Abb. 2.8 eine größere Ladungsmenge abstreifen als von einer weniger stark gekrümmten Stelle der Oberfäche. Eine weiter wichtige Anwendung findet man beim Aufbau eines Feldionen- Mikroskops. Abbildung 2.8: Das elektrische Feld an der Oberfläche eines beliebig geformten Leiters. Die elektrische Feldstärke ist umgekehrt proportional zum jeweiligen Krümmungsradius an der Leiteroberfläche. 2.5 Der FARADAYsche Käfig Als nächstes wollen wir zeigen, dass das elektrische Feld nicht nur im Innern von Leitern verschwindet, sondern auch in Hohlräumen von Leitern. Vorausgesetzt ist dabei, dass der Hohlraum keine Ladungen enthält. Da das elektrische Feld, wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, im Inneren eines Leiters Null ist, verschwindet auch der Fluss des Feldes durch eine beliebige Fläche A, die vollständig im Innern des Leiters liegt und den Hohlraum ganz umschließt, siehe Abb Dies bedeutet nach dem GAUSSschen Gesetz, dass auf der Oberfläche des innneren Hohlraumes die Gesamtladung Null sein muss. Das schließt aber nicht aus, dass beispielsweise positive Ladungen auf der einen und negative Ladungen auf der anderen Seite dieser Oberfläche sitzen, was zu einem elektrischen Feld im Hohlraum führen würde. Um zu beweisen, dass das elektrische Feld tatsächlich im Hohlraum verschwindet, machen wir erstmalig von Gl. (2.2) Gebrauch, die ausdrückt, dass das elektrostatische Feld wirbelfrei ist: E d r = 0. (2.17) C

37 36 2 Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik Abbildung 2.9: Geschlossene GAUSSsche Fläche A im Innern eines Leiters, die den Hohlraum umschließt. Abbildung 2.10: Für die Auswertung des Linienintergrals in Gl. (2.17) wählen wir eine geschlossene Kurve C, die teilweise im Innern des Leiters und teilweise durch den Hohlraum verläuf. Als Integrationsweg für dieses Linienintergral wählen wir eine beliebige geschlossene Kurve C, die teilweise durch den Leiter und teilweise durch den Hohlraum verläuf, siehe Abb Da im Leiter E = 0 gilt, verschwindet der Beitrag zum Integral in Gl. (2.17), entlang des Teils der Kurve, der im Leiter verläuft. Da das Gesamtintegral über die geschlossene Kurve verschwindet, muß auch der Beitrag entlang des Kurvenstücks im Hohlraum Null sein. Da dies für beliebige Integrationswege gilt, die durch den Hohlraum verlaufen, muss im gesamten Hohlraum E = 0 gelten. Natürlich ist hierbei vorausgesetzt,