Das Levy-Levy-Solomon-Modell der Spieltheorie

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1 Das Levy-Levy-Solomon-Modell der Spieltheorie Tobias Fellmeth Inhaltsverzeichnis 1 Was versteht man unter Spieltheorie? 2 2 Was beschreibt das Modell? 2 3 Das Modell RII-Investoren Die Efficient Market Believers (EMB) Abweichungen vom rationalen Simulationparameter Simulation mit 100% RII Simulation mit 5% EMB Einführung einer weiteren Subpopulation Heterogene Akteure Wie realistisch ist das Modell 11 1

2 1 Was versteht man unter Spieltheorie? Die Spieltheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, der Systeme mit mehreren Akteuren (Spieler, Agenten) zu analysieren deren Interaktionen denen in Gesellschaftsspielen ähneln. Die Spieltheorie versucht dabei, das rationale Entscheidungsverhalten in sozialen Konfliktsituationen abzuleiten. Im Unterschied zur Entscheidungstheorie beschreibt die Spieltheorie Entscheidungssituationen, in denen der Erfolg des Einzelnen nicht nur vom eigenen Handeln, sondern auch von den Aktionen anderer abhängt. Der Begriff Spieltheorie beruht darauf, dass am Anfang der mathematischen Spieltheorie den Gesellschaftsspielen wie Schach, Mühle, Dame etc. große Aufmerksamkeit gewidmet wurde. Das LLS-Modell überträgt spieltheoretische Überlegungen auf den Aktienmarkt. Dabei wird ein vereinfachter Markt angenommen, der von empirischen Daten unterfüttert wird. 2 Was beschreibt das Modell? Das Modell beschreibt Kaufentscheidungen von Investoren zwischen Risiko losen Anleihen, mit festem Zins r und risikobehafteten Aktien aber mit höheren Renditenchancen. Es gibt zwei Arten von Investoren. Den Rational-Identical-Informed-Investoren (RII-Investoren), diese sind: rational über die Marktsituation informiert gleich Die 2. Population sind die Efficient Market Believers (EMB). Sie glauben, dass im nächsten Handelszeitraum t+1 die Rendite R t+1 gleich einer Rendite aus m vorherigen Perioden ist. Zuerst wird ein Markt mit 100% RII simuliert. Diesem wird sukzessive EMB hinzugefügt, Entscheidungen werden durch irrationales Verhalten (rauschen), sowie durch heterogene Akteure, ergänzt. 2

3 3 Das Modell Der Handelszeitraum wird diskretisiert durch die Periode t. Die Akteure wickeln ihre Geschäfte in diesen diskreten Zeiträumen ab. Sie kaufen/verkaufen Aktien und Anleihen. Dividenden aus Aktien und Zinsen von Anleihen werden ausgeschüttet. Das heißt der Markt entwickelt sich mit dem fortschreiten der Handelszeiträume. Dabei erstreckt sich die Simulation auf Perioden. Die interessante Größe ist hierbei die Preis-, bzw. Renditenentwicklung der Aktie. Rendite R t und Preis P t in Periode t hängen folgendermaßen voneinander ab: R t = P t + D t P t 1 (1) D t : Dividendenausschüttung einer Aktie in Periode t R t ist dabei ein einheitenloser Wert, der die Wertentwicklung des Aktienpakets in Periode t angibt. Die höhe der Dividende am Ende einer jeder Handelsperiode, wird über eine stochastische variable z generiert. Dabei soll gelten: D t = D t 1 (1 + z) (2) z wird einfach per Zufallsgenerator ermittelt. Dabei soll z auf ein Intervall zɛ[z 1,z 2 ] beschränkt sein. Typischerweise wählt man die Intervallsgrenzen so, dass z 1 < 0 und z 2 > 0 ist. Der Computer würfelt einen z Wert aus, der dann die Aktiendividende für die Periode t festlegt. Dabei kann man auch einen unfairen Wurf einführen, indem man für die Wahrscheinlichkeit eines Wurfs eine Gaussglocke annimmt. Ausschlaggebend für Entscheidungen ist der Nutzen für die Akteure, die sich aus der optimalen Zusammenstellung des Portfolios ergibt. Dieser Nutzen wird von einer von Neumann- Morgenstern Nutzfunktion U(W t ) simuliert. Die Funktion gibt den Nutzen in Abhängigkeit des Wohlstandes W t und eines Risikoparameters α an. Der Wohlstand W t ist der Wert des Portfolios eines jeden Investors in Periode t. Die von Neumann-Morgenstern-Nutzfunktion ist gegeben durch den allgemeinen Ausdruck: U(W ) = W 1 α (3) 1 α Dabei hat sich diese Funktion durch empirische Beobachtungen als geeigneter Ansatz für Präferenzen von Investoren erwiesen. Der Risikoparameter α wurde ebenfalls empirisch untersucht, wobei vernünftige Werte von 0,6 bis 2,0 ermittelt worden sind. Dabei sind α < 0: risikofreudige Investoren und α > 0: risikoscheue Investoren. 3

4 3.1 RII-Investoren Die RII schätzen den Preis der Aktie P f (fundamental value) über Gordon s Dividenden-cash flow-gleichung ab. Um den Preis der Aktie für den Handelszeitraum t+1 berechnen zu können müssen sie die Dividende zur Periode t+2 kennen. Diese ist natürlich unbekannt und muss demnach abgeschätzt werden. Dies ist möglich da die RII wissen, wie die Dividende generiert wird. Sie kennen das Intervall von z und wissen wie der Markt würfelt. Mathematisch gesprochen kennen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(z) des Wurfs und können so den Erwartungswert von D, bzw. z berechnen. Der Erwartungswert von D ergibt sich einfach aus dem Erwartungswert von < z >= z 1 z 2 zf(z)dz g. Die erwartete Dividende in Periode t+2 ergibt sich dann zu: Die Gleichung von Gordon lautet: D t+2 < D t+2 >= D t+1 (1 + g) P f t+1 = < D t+2 > t+1 k g k ist der erwartete Gewinn für die Aktie. Entscheidend für das Modell ist folgende Annahme der RII. Sie glauben, dass in der nächsten Periode der tatsächliche Preis der Aktie gleich dem des geschätzten (fundamental value) ist. Mit Gleichung (2) ergibt das: P f t+1 = P t+1 = D t+1(1 + g) k g = D t(1 + z)(1 + g) k g Die Rendite für den Handelszeitraum t+1 ergibt sich dann mit (1) zu: R t+1 = P t+1 + D t+1 P t = D t(1+z)(1+g) k g + D t (1 + z) P t (4) Der Wohlstand eines jeden RII-Investors setzt sich zusammen aus seinem Portfolio aus Aktien und Anleihen, plus Gewinn aus der Anleihenverzinsung, plus Wertentwicklung aus seinem jeweiligen Akteinpaket. Mit (4) kann der Wohlstand in der nächsten Periode t+1 für den i-ten Investor berechnet werden. W i t+1 = W i t [(1 x)(1 + r) + xr t+1 ] (5) Der erwartete Nutzen für den i-ten RII ergibt sich dann einfach durch den Erwartungswert der von-neumann-morgenstern Nutzfunktion < U(Wt+1) i >= (W i 1 α t ) 1 α z2 z 1 ( (1 x)(1 + r) + xrt+1 (z) ) 1 α f(z)dz (6) x ist der Anteil der Aktien am Portfolio, 1-x der Anteil der Anleihen. Es gibt ein x, der den Nutzen eines jeden RII maximiert. Bilde d<u> dx auf: x x max. = 0 und löse nach x Es gibt also einen Aktienanteil x = x max der den Nutzen für einen Investor in der nächsten Handelsperiode maximiert und damit seinen Wohlstand. Man sieht, dass der Nutzen für jeden Investor unabhängig von dem des anderen ist. Das liegt an der Annahme gleicher Investoren. Jeder RII ist gleich, deshalb treffen alle die gleichen Entscheidungen. Es kommt kein Spiel zwischen den Akteuren zustande. = Einführung einer zweiten Investorengruppe! 4

5 3.2 Die Efficient Market Believers (EMB) Sie machen ihre Kaufentscheidungen von vergangenen m Renditen abhängig. Die EMB glauben: Es gibt eine Wahrscheinlichkeit 1, das die Rendite der Aktie in der nächsten Handelsperiode m R t+1 gleich einer Rendite aus den m vergangenen R t j, (j = 0,...,m) ist. Dabei ist zu beachten, dass jede Rendite aus den vergangenen m Perioden gleich wahrscheinlich ist. Dies ist im ersten Blick etwas unlogisch. Man sollte meinen das jüngere Perioden größeren Einfluss auf die Gegenwart haben als ältere. Das mag auch so sein, aber es ist nicht bekannt wie sich diese Korrelation mathematisch beschreiben lässt. Desweiteren ist die Simulation mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit weniger komplex, liefert aber trotzdem realistische Werte. Somit hängen Entscheidungen der EMB von Renditen der Vergangenheit ab. Der Wohlstand W ergibt sich wie bei den RII zu: W i t+1 = W i t [(1 x)(1 + r) + xr t+1 ] (7) Auch der erwartete Nutzen der EMB ergibt sich wieder über den Erwartungswert der von Neumann-Morgenstern Nutzfunktion. Jetzt muss aber der geänderte Entscheidungsprozess der EMB berücksichtigt werden. Der Erwartungswert ergibt sich nun über Summation der letzten m Perioden. f(z)dz 1 m < U(Wt+1) i >= (W i ) 1 α 1 1 α m m ( ) 1 α (1 x)(1 + r) + xrt j (8) j=0 Den optimalen Aktienanteil x erhält man wieder, wie für die RII, über die Ableitung des zu erwartenden Nutzen. Wichtig: der Aktienanteil x für die EMB ist ein Anderer als für die RII. Später wird sich x auch innerhalb der EMB verändern, wenn heterogene EMB mit berücksichtigt werden Abweichungen vom rationalen Um das Verhalten der Akteure realer zu machen, wird über die Entscheidungen der EMB ein Rauschen gelegt. Das heißt: Obwohl ein optimaler Aktienanteil x bekannt ist, weichen die EMB statistisch davon ab. Zu dem optimalen x wird ein Rauschterm ±ɛ addiert. x = x max ± ɛ Dabei soll ɛ eine stochastische, normalverteilte Variable mit < ɛ >= 0 und σ << 1, sein. 5

6 4 Simulationparameter Bedingungen: Zahl der RII-Investoren: 1000 Risikoparameter α = 1,5 Anzahl an Aktien N=10000 Zeitperiode entspricht einem viertel Jahr Quartalszins Anleihen: r=0,01 durchschnittlich Nettodividende k=0,04 maximale Abnahme der Devidende pro Periode: z 1 =-0,07; Zunahme z 2 = 0,1 jeder Wert für z ist gleich wahrscheinlich 4.1 Simulation mit 100% RII Jeder Investor hat 10 Aktien zum Wert von je $50 und ein Barvermögen von $500. Die Dividende im nullten Handelszeitraum soll D 0 = $0,5 sein. Das Ergebnis der Simulation mit 100% RII Abbildung 1: Für alle zukünftige Graphen gilt: Abszisse: Zeit vierteljährig, Ordinate: Preis sieht man in Abbildung (1). Der Preis fluktuiert wahllos um den Trend, weil die Dividende einen Random walk beschreibt. Wenn man die logarithmische Preisskala auf der Ordinate betrachtet, sieht man dass sich der Preis alles andere als linear entwickelt. Der Preis hängt ja direkt von der Dividende der Aktie ab und da dieser per Definition wie ein Zinseszins steigt, macht es der Preis auch. Fazit: kein realistisches Ergebnis, da keine Boom und Crash Phasen (BC-Phasen) sichtbar. 6

7 4.2 Simulation mit 5% EMB EMB sollen homogen sein. Das heißt, dass jeder der EMB-Investoren auf die gleich Anzahl von jüngsten Handelsperioden m zurück blickt und hinsichtlich derer Entscheidungen trifft. Die Entscheidungen der EMB sind verrauscht. Die Standardabweichung des Rauschens ist σ = 0,2. Ansonsten werden dieselben Bedingungen wie im vorherigen Kapitel zu Grunde gelegt. EMB und RII starten mit dem gleichen Wohlstand. Das Ergebnis der Simulation mit den EMB Abbildung 2: Simulation mit 95% RII und 5% EMB hat sich deutlich verändert. 150 Perioden lang verhält sich die Simulation ähnlich wie in der vorherigen. RII kontrollieren den Markt, da sie mehr Marktmacht als die EMB haben. Nach 150 Perioden etwa verändert sich das Verhalten drastisch. Die EMB induzieren BC-Phasen. Was passiert? In Punkt a wird eine besonders hohe Dividende D 150 ausgeschüttet. Das heißt, z ist besonders nahe an 0,1. Eine hohe Dividende erhöht den Preis der Aktie P 150. Die RII verkaufen Teile ihrer Aktien, da nach ihrer Annahme für t=151 der Preis dem fundamental value angleicht. Also ist: P 151 = P f 151 In ihren Augen sinkt der Wert der Aktie in der nächsten Periode und somit der Preis. Die EMB scheren sich nicht um die Dividende bei t=150, da in ihrer Strategie nur die letzten m=10 Renditen (also: ) wichtig sind. In t=151 wird das Bewertungsensemble der EMB ( ) durch eine sehr große Rendite R 150, die sich ja aus (1) ergibt, ergänzt. Dadurch das R 150 sehr groß ist, verschiebt sich der Nutzen der EMB in Richtung höherem Aktienanteil x etwas. Nach der Strategie der EMB glauben sie, dass sich die Rendite für die Aktie in t=152 weiter erhöht und somit kaufen sie mehr Aktien in t=151. Die erhöhte Nachfrage in t=151 erhöht den Preis der Aktie in t=152, was wiederum R 152, durch (1), erhöht. Im Handelszeitraum t=152 befinden sich schon 2 hohe Renditen im Bewertungsensemble m=10 der EMB. Das wird den Erwartungswert von (8) weiter in Richtung zu höheren Aktienanteilen verschieben. 7

8 = Es entsteht ein Boom der den Preis, bzw. Wert der Aktie in die Höhe treibt bis die EMB ihren Aktienanteil auf x=1 gesteigert haben. Punkt b ist erreicht. In Punkt b geht dem Boom der Treibstoff aus, da die EMB ihren Aktienanteil x nicht weiter erhöhen können. Das Bewertungsensemble bleibt aber gefüllt mit hohen Renditen aus der Boom-Phase - die EMB halten ihren Aktienanteil oben. Da jetzt P t P t+1, wird nach (1), zwischen b und c, m mit niedrigen Renditen gefüllt. Dies verschiebt den Erwartungswert der EMB wieder hin zu kleineren x. Punkt c ist erreicht und ein Crash wird induziert. Die EMB verkaufen ihre Aktien bis der Preis zurück auf den fundamental value P f (Punkt d) gefallen ist. Die RII investieren wieder in Aktien und kaufen ihre Anteile zurück. Der Crash ist gestoppt. Zwischen d und e verhalten sich die EMB passiv, da ihre letzten 10 Renditen durch den Crash im Keller sind und daher mehr auf sichere Anleihen setzen. In Punkt e sind die schlechten Renditen aus dem Bewertungsensemble verschwunden. Die EMB investieren wieder und lösen einen erneuten Boom aus. Fazit: realistisch: BC-Phasen sind zu beobachten unrealistisch: BC-Phasen viel zu regelmäßig und vorhersagbar Die hohe Dynamik des Preises liegt an den unterschiedliche Strategien der Akteure, die in entscheidenden Phasen für konträre Entscheidungen der Akteure sorgt. 4.3 Einführung einer weiteren Subpopulation Die Simulation wird durch eine Gruppe EMB ergänzt die aber nur die letzten 5 Perioden für strategische Entscheidungen nutzen. Dadurch ergibt sich folgende Konstellation: 95% RII 2,5% EMB mit m=15 2,5% EMB mit m=5 Ähnliches Verhalten wie zuvor. Bis etwa t=140 wird das Geschehen von den RII dominiert. Durch die immer komplexer werdende Interaktion der Akteure wird es schwerer eindeutige Aussagen über die Wechselwirkung und Beeinflussung der Subbevölkerungen zu machen. Allgemeinere Aussagen lassen sich treffen, wenn man sich das Diagramm der Wohlstandsverteilung, Abbildung (4), anschaut. In Punkt a wird eine Boom-Phase von den m15 induziert, da diese mehr Marktmacht als die m5 haben. Aufgrund des kleineren Bewertungsensemble sind die m5 flexibler und können auf Markveränderungen schneller reagieren. Die durch die m15 induzierten BC-Phasen werden durch die m5 deutlich besser genutzt und bauen gegenüber den anderen Subbevölkerungen ihre relative Marktmacht aus. Dadurch wird in Punkt b die m5 dominant und induzieren ihrerseits BC-Phasen, die gegenüber der m15 induzierten, höher frequent ist. In Punkt c wird hat sich die Marktmacht der beiden EMB-Bevölkerungen soweit angeglichen, dass die BC-Phasen wieder mit niedrigerer Frequenz oszillieren. 8

9 Abbildung 3: Hinzufügen neuer Akteure verändert die Struktur der BC-Phasen Abbildung 4: Ordinate: Anteil Wohlstand am Ganzen, Abszisse: Anzahl Handelsperioden vierteljährig Fazit: Preismuster weniger Vorraussagbar, somit realistischeres Ergebnis BC-Phasen immer noch zu dramatisch und frequent 9

10 4.4 Heterogene Akteure Der Markt soll aus 90% RII bestehen und aus 10% EMB. Das Bewertungsensemble m ist jetzt durch eine Normalverteilung gegeben, die den Mittelwert m = 40, sowie eine Standardabweichung von σ = 10 hat. m ist also für jeden EMB anders m = m i. Das Preismuster jetzt Abbildung 5: Entwicklung des Preises, wenn heterogene und verrauschte Akteure in der Simulation mit berücksichtigt werden. ist viel realistischer als zuvor. Zyklen sind weicher und regelloser. BC-Phasen sind dramatisch, aber wahllos und unvorhersagbar. In Abbildung (6) sieht man einen realen Kurs der BASF- Abbildung 6: Zum Vergleich der Verlauf der BASF-Aktie über 5 Jahre Aktie über einen Zeitraum von 5 Jahre. Der Verlauf der beiden Kurven ist ähnlich. CB-Phasen sind aber weniger dramatisch. Darüberhinaus ist ein Aktienkurs stark von den wirtschaftlichen Rahmenbedingungen abhängig, die im Modell über den Random walk der Aktiendividende modelliert wird. Man könnte das Modell verbessern in dem man wirtschaftliche Rahmenbedingungen in das Modell mit integriert. So müsste in wirtschaftlich besseren Phasen eher höhere Dividenden generiert werden und in rezessiven niedrigere. 10

11 5 Wie realistisch ist das Modell Eine Reihe von empirischen Zusammenhängen von realen Märkten sind auch im simulierten wiederzufinden. Wie: short-term-momentum: -Hohe Renditen führen wiederum zu hohen Renditen und umgekehrt longer-term mean reversion -Mittelfristig gleicht sich der Marktpreis an den fundamental value an excess volatility -Preisdynamik, BC-Phasen heavy trading volume -zu jeder Zeit hohes Handelsvolumen positiv correlation between volume and absolute returns -Proportionalität zwischen Handelsvolumen und Rendite endogene (marktinduziert) BC-Phasen - Vergleich: Crash nach war exogen 11

12 Literatur [1] Moshe Levy, Haim Levy, Sorin Solomon Microscopic Simulation of Financial Markets, ACADEMIC PRESS, 2000 [2] [3] 12