T D Durchlass. Abb. AF1: Idealer und realer Tiefpaß. Einen TP n-ter Ordnung kann man sich aus n entkoppelten TP 1. Ordnung zusammengesetzt vorstellen:

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1 AF AF. Aktive Filter AF. Allgemeines "Aktiv", weil zur ealisierung der Übertragungsfunktion neben den Elementen und auch aktive Elemente (--> Verstärker, Gyratoren, NI) benötigt werden. Meist Verwendung von O.P. Manchmal auch diskrete Transistorverstärker. Bevorzugter Frequenzbereich: mhz...einige 00 khz. Darüber sind L-Schaltungen günstiger. Mit digitalen Signalprozessoren lassen sich sehr genaue und stabile hochpolige Filter bauen. Nachteil: Hoher Aufwand. AF. Arten von Filtern (lineare Filter) ideal real v T D v Durchlass Sperr T D Gruppenlaufzeit fg f (log) fg f (log) fg f (log) fg f (log) Abb. AF: Idealer und realer Tiefpaß AF.. Übertragungsfunktion eines Tiefpasses n-ter Ordung Einen TP n-ter Ordnung kann man sich aus n entkoppelten TP. Ordnung zusammengesetzt vorstellen: (+ K P)(+ K P)...(+ KnP) = (AF) = für n= 3 + (K + K + K3)P+ (K K 3 + K K 3 + K K )P + K K K 3 P 3 = + c P+ c P + c 3 P 3 Hierin ist P die normierte komplexe Frequenz. P = j Ω = j ω ; bzw. p = jω = P ωg ωg Verallgemeinert ensteht die Übertragungsfkt. eines TP n-ter Ordung mit n als höchster Potenz von P: + c P+ c P +...cnp n (AF) In der Praxis werden Filter höherer Ordung aus Filtern erster und zweiter Ordnung zusammengesetzt. Deshalb wird das Nennerpolynom in Faktoren zerlegt, die jeweils einem Filter. bzw.. Ordnung entsprechen. A 0 A0 A 03 (+ a P)(+ a P+ b P )(+ a 3 P+ b 3 P ) (AF3)

2 AF Teilfilter A 0 A 0 A03 (+ a P)(+ a P+ b P )(+ a 3 P+ b 3 P ) E.Ordnung.Ordnung.Ordnung A Teilfilter Gesamtfilter 5. Ordung Abb.AF: Zusammengesetztes Filter eihenfolge der Einzelfilter: Bemessungsgesichtspunkt Frequenzgang Aussteuerbarkeit auschen Die Teilfilter entsprechen weder in Grenzfrequenz noch in der Filtercharakteristik dem Gesamtfilter. Erst die Zusammenschaltung ergibt die Gesamteigenschaften. eihenfolge beliebig Grenzfrequenz der Teilfilter zum Eingang hin abnehmend anordnen Grenzfrequenz der Teilfilter zum Ausgang hin abnehmend anordnen Die Koeffizienten ai und bi werden aus Filtertabellen entnommen (siehe später) Dieses Prinzip der Filteraufteilung ist für alle Filterarten und -harakteristiken anwendbar. AF.. Tiefpaß. Ordnung z. B. -Glied. Mit ωg = U Entkopplungsverstärker Ao U Abb. AF3: -Tiefpaß A 0 + P Betrag: A ( P) = und j ω = p = P ωg wird A0 + Ω Verstärkungsabfall im Sperrbereich: 0dB Dekade (AF4) AF..3 Tiefpaß. Ordnung Die auf ωg normierte Form der Übertragungsfunktion des TP.. Grades wird verglichen mit der unnormierten Form. Normiert: A 0 A ( p) = + ap+ bp mit p = Pωg, a,b = Filterkoeffizienten (AF5a) Unnormiert: A ( p) = + A 0 p Qi ω0 + p ω 0 mit ωo = Kennfrequenz, Qi = Polgüte (AF5b)

3 AF3 Durch Koeffizientenvergleich und Einsetzen von p = Pωg ist abzulesen: p a P = >a = ωg Qi ω 0 Qi ω0 b P = p ω > b = ωg 0 ω0 Daraus errechnet sich für die normierte Kennfrequenz: Ω0 = ωo ωg = b = a Qi und für die Polgüte: Qi = b a Der Betrag der Verstärkung errechnet sich zu A ( p) = (AF6a) (AF6b) Ao + (a b)ω + b Ω 4 mit Ω = ω ωg (ist nicht auf ω 0 bezogen!) (AF6c) Die maximale Amplitudenüberhöhung tritt auf bei ωm = ω 0 Q ω 0 für ausreichend große Güte. bzw: Ωm = ωm ωg = aqi b Q = Q Durch Einsetzen in (AF6c) wird nach echnung: A (p)max Ao log A 3dB A ( p) max = Ao Qi 4Qi 4 Ao Qi ( für Qi 3 Fehler < 3% ) (AF6d) db/oktave m g Abb. AF4: Güte und Peaking (log) Die Übertragungsfunktion A0 + ap+ bp mit den Polstellen P, = a b ± a b b liefert für Schaltungen mit nur einer Art von Blindwiderständen nur dann eine reelle Lösung, wenn a b. Die Pole liegen dann auf der reelen Achse der P - Ebene. Dabei ist keine größere Polgüte als Qi = 0,5 zu erreichen. Im P P /b -a b j komplexe Frequenzebene P- Ebene auf Grenzfreq. normiert r Abb. AF4a: Pole für Nenner. Ordnung Polgüte: Qi = δ = b a ; mit a b wird : Qi 0,5 Für Schaltungen. Ordnung mit höherem Qi muß ein konjugiert komplexes Polpaar entstehen. P, = a b ± j b a b (AF7) Die ealisierung solcher Schaltungen ist nur durch die Verwendung von Blindwiderständen verschiedenen Vorzeichens (L-Schaltungen) oder durch aktive -Schaltungen erreichbar.

4 AF4 AF..4 Sperrdämpfung und Ordnungszahl Um eine bestimmte Sperrdämpfung zu erreichen, bedarf es eines Mindestwerts der Ordungszahl. Überschlägige Berechnung: Im asymptotischen Bereich der Ü-Funktion gilt: Ω > > ; d.h. es überwiegen die Terme mit der höchsten Ordnungszahl. z.b. für TP. Ordung: A 0 + jω und A (P) = A0 + Ω A 0 Ω Für ein Filter n-ter Ordnung gilt verallgemeinert : A ( P) A 0 Ω n A0 Benötigte Ordungszahl:. Wobei Ω = ω ωg = f fg. n log A 0 A log Ω (AF8) (AF9) A f (log) fg f Abb. AF5: Sperrdämpfung und Ordungszahl Beispiel: Ein TP mit fg =,4 khz soll bei f = 6 khz eine Dämpfung von a= 40 db aufweisen. log 00 n = log( 6 = 5,0 >5.Ordung,4 ) AF..5 Filtercharakteristik Abb. AF6: L-TP.Grades Frequenzgang A(f) Je nach Wahl der Elemente,L,oder kann -bei gleichem fg - der Frequenzgang des Filters verschieden sein. L Außer der Ordnungszahl eines TP ist auch seine harakteristik festzulegen! Unterscheidung der 3 wichtigsten optimierten Filtercharakteristiken: fo f (log) Filtercharakteristik Bessel- harakteristik (auch Thomson- Approximation) Butterworth Tschebyscheff Eigenschaften Gruppenlaufzeit über weiten Übertragungsbereich konstant---> optimale Impulsübertragung. Übergang zum Sperrbereich nicht so scharf wie bei den folgenden harakteristiken Frequenzgang im Durchlaßbereich über möglichst weiten Bereich horizontal, knickt kurz vor fg scharf ab. ("maximal flach") Überschwingen der Sprungantwort beträchtlich, erhöht sich mit zunehmender Ordnungszahl Abfall oberhalb von fg am steilsten, im Durchlaßbereich welliger Verlauf des Amplitudengangs. (Tschebyscheff-F mit Welligkeit 0 geht in Butterworth über) Überschwingen der Sprungantwort noch stärker als bei Butterworth.

5 AF5 Neben den angegebenen Filtercharakteristiken (Approximationen) sind noch andere gebräuchlich: Inverse Tschbyscheff-harakteristik: Im Durchlassbereich maximal flache und im Sperrbereich gleichmäßig wellige Amplitudencharakreristik. Elliptische (auer-) harakteristik: Im Durchlass- wie im Sperrbereich gleichmäßige Welligkeit der Amplitudencharakreristik. Mit einer gegebenen Schaltung ist mit entsprechender Dimensionierung jede harakteristik zu erzielen. (Bei aktiven Schaltungen durch entsprechende Bemessung der s, s und der Verstärkung der akt. Elemente) In Abb. AF7 sind die Unterschiede von Sprungantwort und Amplitudengang von TP-Filtern 4. Ordnung und unterschiedlicher harakteristik zu erkennen. Legende zu Abb. AF7: : passiver TP : Bessel-TP 3: Butterworth-TP 4: Tschebyscheff-TP mit 0,5 db Welligkeit im Durchlaßbereich 5: Tschebyscheff-TP mit 3 db Welligkeit im Durchlaßbereich Abb. AF7: Sprungantwort und Ampl.-Gang von TP s 4. Grades

6 AF6 AF..6 Optimierte Tiefpässe AF..6. Butterworth-TP A /db 0-0 n= Optimierungsgesichtspunkt: A(P) soll unterhalb ωg möglichst horizontal verlaufen und erst kurz vor ωg scharf abknicken A 0 + c P+ cp +...cnp n Abb: AF8: Amplitudengang von Butterworth-Tiefpässen Betragsquadrat: A ( P) Ao = + B Ω + B 4 Ω B n Ω n (AF0) Der Optimierungsgesichtspunkt wird am besten erfüllt, wenn möglichst nur die höchste Potenz von Ω in die echnung eingeht. Daraus folgt die Bedingung: A ( P) Ao = + B n Ω n Bei Ω = (normierte Grenzfrequenz) soll A(P) um 3 db abgenommen haben. A ( P) = Ao für Ω= eingesetzt: A 0 = A 0 + >B n = Bn somit gilt beim Butterworth-TP: A ( P) Ao = + Ω n (AF) Der Koeffizientenvergleich mit dem Betragsquadrat der Ü-Fkt. eines allgemeinen TP liefert die Koeffizienten. Für einen TP. Ordnung entsteht entspr. Gln. (AF): A ( P) A0 = + (a b ) Ω (AFa) + b Ω 4 und der Koeffizientenvergleich mit (AF) ergibt: a b = 0 und b =. Daraus erhält man die Koeffizienten ai und bi für die Schaltungsdimensionierung. Die Koeffizienten beziehen sich auf Gln. (AF3). Ordnungszahl n Koeffizient ai Koeffizient bi allgemein 0 a = b

7 AF7 AF..6. Tschebyscheff-Tiefpässe Bei Tschebyscheff-TP schwankt die Verstärkung im Durchlaßbereich in Wellen gleichen Ausschlags, ab f> fg sinkt die Verstärkung monoton ab. Die Grundlage der Berechnung ist das Tschebyscheff-Polynom, welches für jede Ordnungszahl ein bestimmtes Polynom liefert: (Hier bis n= 4) Ordnungszahl Polynom n= T ( x) = x schwankt für n= T ( x) = x 0 x n= 3 T 3( x) = 4x 3 3x zwischen n= 4 T 4( x) = 8x 4 8x bzw Das Betragsquadrat der Ü-Fkt. eines Tschebyscheff-TP lautet: A(x) k A 0 = + ε Tn( x) k wird so gewählt, daß A ( x= 0) = A 0 Der Verlauf wird von der Ordnungszahl abhängig: Ordnungszahl Schwankungsbereich der Verstärkung gerades n schwankt zwischen A 0 und A 0 + ε ungerades n schwankt zwischen A 0 und A 0 + ε Die Ordnungszahl gibt an, wie oft die Extremalwerte berührt werden, bevor der untere Grenzwert erreicht ist. Je steiler der Abfall im Sperrbereich desto größer die Wellingkeit im Durchlaßbereich. Steilheit des Abfalls mit ε stufenlos einstellbar. Dimensionierung meist nach Tabellenwerten mit festen Abstufungen der Welligkeit. A Ao Ao A n=5 n=4 x Abb. AF9: Welligkeit beim Tschebyscheff-TP 3 4 x AF..6.3 Bessel-Tiefpaß Optimierungsgesichtspunkt: Optimales echteckübertragungsverhalten. Erreichbar durch möglichst frequenzunabhängige Gruppenlaufzeit unterhalb der Grenzfrequenz fg, d.h die Phasenverschiebung muß frequenzproportional sein. Verfahren am TP. Ordnung erläutert: A 0 + ap+ b P = A 0 + jaω bω daraus entsteht für den Betrag: A ( P) A0 = + (a b ) Ω + b Ω 4 Phase: ϕ = arctan Im e = arctan a Ω b Ω Gruppenlaufzeit: tgr = dϕ wird normiert auf die Periodendauer bei ωg dω Normierte Gruppenlaufzeit: Tgr = tgr Tg = ωg dϕ tgr ωg = π π dω = dϕ π dω Tg = fg = π ωg (AF) (AF3) (AF4) (AF5)

8 AF8 mit Gln. (AF3) wird: Tgr = π a (+ b Ω ) + (a b )Ω + b Ω 4 (AF6) Für Frequenzen weit unterhalb von fg gilt Ω < <. Damit geht Term mit Ω 4 nicht mehr ein. Es wird Tgr = a (+ b Ω ) π + (a b )Ω = a π. + b Ω + (a b )Ω (AF7) Die Gruppenlaufzeit wird von Ω unabhängig, wenn b = a b bzw. a = 3 b (AF8) Zugleich muß bei Ω = gelten: A ( P) = (3-dB-Grenze). Dies liefert aus Gln AF() : a b + b = und man kann mit Gln. (AF8) die Koeffizienten für einen Bessel-TP. Ordnung berechnen: a =.366 b = (AF9) Bei Besselfiltern erfahren Signale unterschiedlicher Frequenz ein Minimum an Zeitverschiebung im Durchlaßbereich. Sie sind deshalb vorteilhaft bei oberwellenhaltigen Signalen. Amplitudengang der Verstärkung von Bessel-Tiefpässen n-ter Ordnung Abb. AF0: Frequenzgang u. Gruppenlaufzeit Frequenzgang der Gruppenlaufzeit von TP-Filtern 4. Ordnung. Graph : Passiver TP Graph : Bessel-TP Graph 3: Butterworth-TP Graph 4: Tschb.-TP, Well. 0.5 db Graph 5: Tschb.-TP, Well. 3 db Graph 6: Allpaß

9 AF9 AF..7. Hochpaßfilter Die Übertragungsfunktion eines Hochpasses entsteht durch Spiegelung eines TP an der Grenzfrequenz fg. 3dB A Ao HP TP A Tiefpaß - Hochpaß - Transformation: Ω > Ω P > P A 0 > A (A ist die Verst. bei f = ) fg Abb. AF: Zur TP-HP-Transformation f (log) TP A 0 Es war: Πi (+ ai P+ bi P ) (Tiefpaß) Nach Transformation wird für den äquivalenten Hochpaß: HP A Πi + ai P + bi P Ansonsten Berechnung wie beim Tiefpaß! (AF0) AF..8 Benutzung von Filtertabellen. Wie unter AF.. erwähnt, werden TP und HP höherer Ordnung meist aus Filtern. und. Ordnung zusammengesetzt. A0 A 0 A 03 (+ a P)(+ a P+ b P )(+ a 3 P+ b 3 P ) Die Indices i=,,...,m der Koeffizienten entsprechen den Teilfiltern,,...,m. E Teilfilter. Teilfilter.Teilfilter 3. Teilfilter i= i= i=3 Gesamtfilter n. Ordung Abb. AF: Aufspaltung in Teilfilter Die zur Berechnung der Bauelemente der Filter benötigten Koeffizienten ai und bi sind den nachstehend wiedergegebenen, stark verkürzten Tabellen zu entnehmen. Umfangreichere Tabellen unter < >. Die Umsetzung der Koeffizienten in Bauelementewerte hängt von der jeweils gewählten Schaltung ab und wird in Kap. AF.3 erläutert. Für die Berechnung der Elemente der Teilfilter ist die Grenzfrequenz fg des Gesamtfilters einzusetzen. Die in den Tabellen angegebene fgi der Teilfilter ist nur als Hilfsangabe für das Austesten der Einzelstufen vorgesehen. A

10 AF0 AF..9 Filtertabellen (gekürzt) AF..9. Filter mit kritischer Dämpfung (Gauß-Typ) n i ai bi fgi/fg (td+ tr) fg n Qi AF..9. Besselfilter n i ai bi fgi/fg (td+ tr) fg n Qi AF..9.3 Butterworth-Filter n i ai bi fgi/fg (td+ tr) fg n Qi

11 AF AF..9.3 Tschebyscheff-Filter mit 0.5 db Welligkeit n i ai bi fgi/fg (td+ tr) fg n Qi AF..9.4 Tschebyscheff-Filter mit 3 db Welligkeit n i ai bi fgi/fg (td+ tr) fg n Qi n = Ordnungszahl des Filters i = Nummer des Teilfilters ai, bi = Koeffizienten des i-ten Teilfilters fgi/fg = Grenzfrequenz des Teilfilters i bezogen auf die Grenzfrequenz des Gesamtfilters Qi = Polgüte des Teilfilters i. (td+ tr) = auf Tg = /fg normierte Verzögerungsund Anstiegszeit des Gesamtfilters Beispiel: Für einen Bessel - TP 5. Ordnung sind die Filterkoeffizienten zu ermitteln. Bessel, n= 5: i - tes Filter ai bi Ordnungszahl des Teilfilters Ordnung O O.

12 AF AF..0 Bandpaß Ein Bandpaß kann als eihenschaltung eines TP und eines HP dargestellt werden. A BP = A TP. A HP (AF) 3dB A HP f H fm TP f (log) Abb: AF3: Frequenzgang eines Bandpasses B f T Bandbreite: B = f = ft fh (AFa) Mittenfrequenz: fm = ft fh (meist auch f0 ) (AFb) Güte: Q = fm B (AFc) Fallen ft und fh zusammen, entsteht ein selektives Filter Sind die Frequenzgänge des HP und des TP symmetrisch zueinander, spricht man von Schwingkreisverhalten. Selektives Filter. Ordnung (Schwingkreis) Serienschaltung je eines TP und HP. Ordnung: A TP A 0 ( P) = und A HP ( P) = A + ap + a A 0 A P a + a = + P+ P a P durch Multiplikation der Frequenzgänge entsteht: α P + βp+ P Übertragungsfunktion eines Schwingkreises (AF3) Hierbei wird p auf die esonanzfrequenz ω 0 normiert: P = p ω 0 ; bzw. p = ω0 P Die Bedingung, daß an den Grenzfrequenzen fgu, fgo die Verstärkung um 3 db abgesunken sein muß, liefert : Q = f 0 β = Güte des Kreises (AF4) fgo fgu Ar = α β = Verstärkung bei esonanzfrequenz (AF5) B = f 0 Q = Bandbreite (AF6) β = B f 0 = normierte Bandbreite (AF7) Gln. (AF4, 5) in Gln. (AF3) ergibt: Ar β Ar P Q P + = P+ P + (AF8) Q Q P+ P Gln.(AF8) liefert den unmittelbaren Zusammenhang zwischen Frequenzgang und den charakteristischen Größen Q und Ar eines selektiven Filters. Betrag der Verstärkung eines selektiven Filters: Ar Q Ω A ( P) = mit Ω = ω + Ω ( ω (AF9) 0 Q ) + Ω4

13 AF3 AF.. Bandsperre Die Addition der Übertragungsfunktionen eines TP und eines HP ergeben eine Bandsperrenfunktion. 3dB A Ao TP B HP E TP HP + A Abb. AF4a: Enstehung einer Bandsperre f fm f 0 f f (log) Abb. AF4: Ü-Funktion einer Bandsperre Man definiert wieder: Bandbreite: B = f = f f Mittenfrequenz: fm = f 0 = f f Unterdrückungsgüte: Q = f 0 B (AF30a) (AF30b) (AF30c) Mit einem TP und einem HP jeweils. Ordnung mit f = f = f0 entsteht ein selektives Sperrfilter oder Notch-Filter. Ordnung. Frequenzgang eines Notch-Filters. Ordnung: α(+ P ) + β P+ P mit: α = A0 = A (Ω= 0) (AF3) Ähnlich wie beim selektiven Filter. Ordnung errechnen sich: Ω = ± β + β 4 (AF3) Q = f0 B = β AF(33) Die Unterdrückungsgüte gibt an, wie schmal der Sperrbereich ist, aber nicht wie groß die Sperrdämpfung bei der Sperrfrequenz f0 ist. Die Sperrdämpfung ist im Idealfall unendlich, in der Praxis aber von der Genauigkeit der Schaltelemente eines Sperrfilters abhängig. A 0(+ P ) + (AF34) Q P+ P A0( Ω ) A ( P) = +Ω ( Q ) + Ω4 (AF35)

14 AF4 AF.. Allpaß-Filter (AP) Allpässe übertragen alle Frequenzanteile mit konstanter Verstärkung aber einer frequenzabhängigen Phasenverschiebung. Hauptanwendung sind Signalverzögerung und Phasenentzerrung oder -Verschiebung. Das Merkmal der Übertragungsfunktion eines Allpasses ist, dass Nenner- und Zählerpolynom konjugiert komplex aufgebaut sind, weshalb der Betrag der Ü-Funktion frequenzunabhängig konstant bleibt. Auch bei Allpässen werden Filter höherer Ordung sinnvollerweise nach dem Prinzip von Kap. AF.. aus Filtern. und. Ordung aufgebaut. Der grundsätzliche echnungsgang wird an einem Allpass. Ordnung gezeigt: In der Ü-Funktion eines TP. Ordnung wird der Zähler durch den konjugiert komplexen Nenner ersetzt. Vergleiche echnung beim Bessel-Tiefpass in Kap. AF es entsteht die Übertragungsfunktion eines Allpasses. Ordnung: a P+ b P + ap+ b P = ja Ω b Ω + ja Ω bω = bω + b Ω 4 + a Ω e jβ =. e jβ bω + b Ω 4 + a Ω e + jβ aω mit der Phase ϕ = β = arctan bω Gruppenlaufzeit: tgr = dϕ wird normiert auf Tg = dω = π fg ωg Normierte Gruppenlaufzeit: Tgr = tgr Tg = tgr. fg = π tgr ωg = ωg dϕ π dω = dϕ π dω = (AF 36) (AF 37) = a (+ b Ω ) π + (a b )Ω + b Ω 4 (AF 38) Bei tiefen Frequenzen wird die normierte Gruppenlaufzeit Tgr0 = a π (für AP. Ordnung), sonst allgemein: Tgr0 = π ai (AF 38a) i Für die Anwendung zur Signalverzögerung muß gelten: Verstärkung frequenzunabhängig (erfüllt!) Gruppenlaufzeit im Übertragungsfrequenzbereich konstant. Besselfilter erfüllen die Bedingung einer frequenzunabhängigen Gruppenlaufzeit am besten, daher kann deren Optimierungsalgorithmus angewendet werden. Umnormierung: Der Begriff der Grenzfrequenz als 3-dB-Abfall der Verstärkung verliert hier seinen Sinn, daher werden die Filterkoeffizienten so berechnet, dass bei der "Grenzfrequenz" fg (Ω = ) die Gruppenlaufzeit auf das -fache des Werts bei tiefen Frequenzen abgesunken ist. Verkürzte Tabelle mit Koeffizienten für Allpässe normiert auf Tgr = T gr0 bei f = fg. n i ai bi Tgr0 0, ,049,678 0,883 0,58 3,45 0 0,8437,509,0877 4,3370,4878,738,3506,837 5,974 0,5060,4,5685 Vollständige Tabelle in < >

15 AF5 3,6,330 Zahlenbeispiel: Ein Signal mit einem Frequenzspektrum von 0 -,4 khz soll um tgr0 = 0,45 ms verzögert werden. Der gesamte Allpass muss eine normierte Gruppenlaufzeit von Tgr0 = tgr0. fg = 0,45 ms.,4khz =,08 haben. --> Man benötigt einen Allpass 4.Ordnung mit der Grenzfrequenz Abb.5: Gruppenlaufzeit eines AP der Ordnung n fg = Tgr0 (4) =,738 tgr0 0,45ms =,6kHz.

16 AF6 AF.3 ealisierung aktiver - Filter mit Operationsverstärkern Das Berechnungsprinzip ist stets gleich: Aufstellen der Übertragungsfunktion der in Frage kommenden Schaltung Normierung auf kleinste Potenz von P Koeffizientenvergleich mit der in Kap. AF..xx für die entsprechenden Filtertypen hergeleiteten oder angegebenen Normalform der Übertragungsfunktion. Entnahme der Filterkoeffizienten ai, bi aus den Tabellen Berechnung der Schaltelemente AF.3. Aktive Filterschaltungen. Ordnung AF.3.. Tiefpaß. Ordnung Abb. AF6: Aktiver TP. Ordnung ( ) ( ) = + p Koeffizientenvergleich mit (AF4): = ωg und A 0 = + P ωg daraus folgt bei Vorgabe von fg, und A0: = πfg und = πfg A 0 (AF39) (AF40a,b) AF.3.. Hochpaß. Ordnung Ähnliche echnung liefert: = πfg = A bei Vorgabe von fg, und A. (AF4a) (AF4b) Abb. AF7: Aktiver HP. Ordnung Beispiel zur Ermittlung der Beziehungen (AF4a,b) + = = + + p p und liefert dann: A = ( ) und ai = = ωg HP = wird verglichen mit (AF0): A ( P) P ωg πfg = (s. Filtertab. n= ) A ai + P

17 AF7 AF.3..3 Allpass. Ordnung Allpässe werden - neben anderen Schaltungskonzepten - meist aus passiven oder aktiven Brückenschaltungen entwickelt. U- U+ Abb. 8: Passiver und aktiver Allpass. Ordnung Berechnung der Übertragungsfunktion der aktiven Schaltung: U = (+ ) U p + = + = + p p Die Bedingung U + = U liefert nach echnung: A ( p) = p = + p Normiert auf ωg mit P = p wird die Übertragungsfunktion: ωg ωgp.. + ωgp.. = j Ωωg.. + jωωg.. Der Koeffizientenvergleich mit Gln.(AF36) liefert: a =ωg > = a (daraus Berechnung von bei vorgegebenem ) πfg Gruppenlaufzeit bei tiefen Frequenzen: tgr0 = Tgr0 = a =. fg πfg Frequenzabhängige Phase (aus Gln.(AF38a): f ϕ = arctan (a ) = arctan (πf ) (AF47) fg (AF4a,b) (AF43) (AF44) (AF45) (AF46)

18 AF8 AF.3. Aktive Filterschaltungen. Ordnung Es bestehen grundsätzlich mehrere Möglichkeiten zur ealisierung von Filten. Ordnung. Als günstige Lösungen hinsichtlich Schaltungsaufwand und Empfindlichkeit auf Änderung der Werte der Bauelemente haben sich Schaltungen erwiesen mit Einfachgegenkopplung Mehrfachgegenkopplung Einfachmitkopplung (sog. SALLEN-KEY-Schaltung) Sallen-Key-Prinzip wird am häufigsten verwendet. ---> hier behandelt. AF.3.. Allgemeine Einfachmitkopplung (Sallen-Key-Schaltung) Z Z3 Z Durch die Gegenkopplung mit o wird die Verstärkung des O.P. auf einen bestimmten Wert eingestellt. Die Analyse ergibt für die Übertragungsfunktion: (k-)o Z4 o k Z 3 Z 4 Z Z 3 + Z Z 3 + Z Z + Z 4 Z 3 + Z 4 Z ( k) (AF48) Abb. AF9: Allgem. Einfachmitkopplung AF.3.. TP. Grades mit Einfachmitkopplung 3 4 (k-)o o Es ist zu beachten, daß die Eingänge des O.P. einen Gleichstrompfad vorfinden, über den die Eingangsruheströme fließen können! Im vorliegenden Fall darf die Signalquelle den Gleichstrom nicht sperren. man setzt Z 3 = p 3 und Z 4 = und erhält mit p = ωg P: p 4 Abb. AF0: TP.Grades k + ωg P ( k) 3 +ωg P 3 4 (AF49) Häufig setzt man k= (Spannungsfolger), dann kann auch ein Emitterfolger verwendet werden. + ωg P 4 ( + )+ ωg P (AF50) 3 4 Koeffizientenvergleich mit Gln.(AF5): A TP ( P) = A 0 + ap+ bp liefert: A0 =, a = ωg 4 ( + ) und b = ωg 3 4 (AF50a)

19 AF9 Daraus errechnen sich die Widerstände: = a 3+ a 3 4b3 4 ωg 3 4 = a 3 a 3 4b3 4 ωg 3 4 Damit reele Werte für, enstehen, muß gelten: 3 4b 4 a In der Praxis soll 3 nur wenig größer als die Bedingung sein! 4 (AF5a) (AF5b) (AF5c) Sonderfall: 3 = 4 = und = = (k-)o o Abb. AF: Sonderfall d. Sallen-Key-TP k + ωg P (3 k)+ (ωg P) (AF5) Durch Koeffizientenvergleich mit A TP ( P) = a = ωg (3 k) ---> ωg = b = ωg = a 3 k A 0 = k bzw. k = 3 a b a 3 k A 0 + ap+ bp wird: Das Verhältnis von a/b ist nur mehr von der Wahl der Verstärkung k abhängig. Die Filtercharakteristik kann allein durch k festgelegt werden! (AF53a,b) Bessel Butterworth Tscheby. db ungedämpft (schwingt) a > 0 b > k = Ao,68,5857,4 ---> o o Abb. AF: Abstimmbarer Butterworth-Tiefpaß Filtercharakteristik nicht von und abhängig. Grenzfrequenz durchstimmbar, ohne die Filtercharakteristik zu ändern. Beispiel: Der nebenstehende abstimmbare Butterworth-TP. Ordnung benötigt bei fg =.4 khz und einem gewählten = 0 nf Widerstände im Wert von a = (3 k) πfg = = = 6.63KΩ (3.5857) π s F

20 AF0 AF.3..3 HP.Grades mit Einfachmitkopplung 3 Durch Einsetzen entsprechender Schaltelemente in die Grundschaltung von Abb. AF8 entsteht ein HP. Ordnung. 4 (k-)o o Die Herleitung der Dimemsionierungs-Beziehungen wird nur skizziert. Genaueres im Anhang zu diesem Kapitel. A(P) = + ωgp 4 + k 4 + k + 3 P ωg 3 4 (AF54) Abb. AF3: HP. Grades Koeffizientenvergleich mit Gln. (AF0) liefert: k = A und 4 ωg ( k)b 4 a ωg + + = 0 Daraus errechnen sich die Widerstände für k : 4 = a ± a 4b ( k)( + ) ωg b( k) und 3 = b ωg 4 (AF55a,b) Die häufige Spezialisierung k = vereinfacht die Dimensionierungsbeziehungen zu: 4 = + a ωg und 3 = a b ωg ( + ) (durch Einsetzen in Gln.(AF54)) (AF56a,b) Die Werte für a, b werden wieder aus den Filtertabellen entnommen. AF.3..4 Selektives Filter Erweiterte Grundschaltung der Einfachmitkopplung : Z Z3 Z (k-)o Z5 Z4 o Abb. AF4: Erweiterung der Einfachmitkopplung kz 3 Z 4 Z 5 Z Z Z 3 + ZZ3Z4+ Z Z 3 Z 5 + Z Z 3 Z 5 + Z 4 Z 3 Z 5 + Z Z Z 5 + Z Z 4 Z 5 ( k) (AF57)

21 AF (k-)o o Durch Einsetzen der Schaltelemente in Gln. (AF57) erhält man die Übertragungsfunktion des Selektiven Filters: k ω 0 P + ω 0 (3 k)p+ ω 0 P (AF58) K-vergleich mit Gln. (AF8) (ω 0 ) = ---> ω 0 = Ar Q P + liefert: Q P+ P (AF59) Abb. AF5: Selektives Filter. Ordnung Die Ü-Fkt. vereinfacht sich durch Einsetzen in (AF58) zu: k P + (3 k)p+ P (AF60) und weiter durch Vergleich: Q = und Ar = α 3 k β = k (AF6) 3 k Vorteil: Güte Q ist unabhängig von ω 0 durch k einstellbar Nachteil: Ar und Q sind voneinander abhängig. Bei k = 3 Selbsterregung (Q > ). Bei hohen Güten kritisch einzustellen. Eine weitere sehr vorteilhafte Schaltung für ein selektives Filter ist die Mehrfachgegekopplung: Für die Dimensionierung gelten die Beziehungen: ω 0 = + 5 esonanzfrequenz Ar = 3 Verstärkung bei ω 0 5 ω0 3 Q = Güte (AF6ff) Abb. AF.6: Selektives Filter mit Mehrfachgegenkopplung B = π 3 Bandbreite Vorteile: ω 0, Ar, Q frei wählbar ist wählbar ω 0 ist durch Variation des Widerstands 5 durchstimmbar, ohne Äenderung von B und Ar. Nachteil: Um die Schleifenverstärkung der Gegenkopplung groß gegen zu halten muß A 0 >> Q sein. ( A0= Leerlaufverst. des O.P. bei der Arbeitsfrequenz)

22 AF AF.3..5 Sperrfilter (Notch-Filter) Neben der grundsätzlichen Möglichkeit, Sperrfilter durch Zusammenschltung von HP- und TP-Filtern zu bauen, ist die häufigste Schaltung das Doppel-T-Filter.. Das passive Doppel-T-Filter. 3 3 Abb. AF7: Passives Doppel-T-Filter Die Analyse liefert Polynome 3. Grades, die durch die eduktionsbezehung 3 ( + ) = 3 auf Polynome. Grades reduziert werden können. Für die optimale Dimensionierung + 3 = ; = = ; 3 = ; = = wird: + P + 4P+ P (AF63 ff) Q = 0,5 maximale Unterdrückungsgüte ω 0 = Sperrfrequenz A0 = Verstärkung bei tiefen Frequenzen Für eine höhere Unterdrückungsgüte als 0,5 ist ein aktives Sperrfilter nötig!. Aktives Doppel-T-Filter in Sallen-Key-Schaltung / (k-)o o Übertragungsfunktion: Q = ( k) ω 0 = A0 = k k(+ P ) + ( k)p+ P (AF64 ff) Unterdrückungsgüte Sperrfrequenz Verstärkung bei tiefen Frequenzen Abb. AF8: Aktives Notchfilter Es besteht ebenso die Möglichkeit, ückkopplung und Masseanschluß an den T-Elementen zu vertauschen. Für gute Sperrdämpfung müssen die Werte von und sehr genau sein..3 Notchfilter aus Bandpaß (sel. Filter. Ordnung) und Subtrahierer E BP Subtrahierer A Die allgemeine Übertragungsfunktion eines Notch. Ordnung (Gln. AF34) kann wie folgt zerlegt werden: A 0 (+ P A ) 0 + P Q + P A0 Q P + = N P+ P Q = A 0 A 0 Q P + P Bandpaß (AF65) Q + P Dies wird von einer Schaltung gem. Abb. AF9 realisiert. Abb. AF9: Notchfilter.Ordnung

23 AF3 AF.3..6 Allpass-Filter. Grades. Erweiterte Brückenschaltung mit Mehrfachgegenkopplung ähnlich wie in Kap. AF.3.. Weitere Schaltungsvarianten und Übertragungsfunktionen in <8 >. Abb. 30: Allpass mit Mehrfachgegenkopplung. Allpass aus Bandpass (sel. Filter. Ordnung) und Subtrahierer (s. auch Kap. AF Sperrfilter) E BP Subtrahierer A Stellt man am Subtrahierer die Verstärkung am nichtinvertierenden Eingang auf ein, entsteht die Übertragungsfunktion Ar = Q. P + P (AF66) Q + P Mit Ar = (esonanzverstärkung des sel. Filters. Ordnung) ist: Abb. AF3: Allpass.Ordnung + P Q + P P P Q Q + P + P = Q + P + P Q + P (AF67) Dies ist die Ü-Funktion eines Allpasses. Ordnung, allerdings normiert auf die esonanzfrequenz des sel. Filters zweiter Ordnung P = p ω. 0 Normiert man die p auf die Grenzfrequenz des Allpasses (ωg, bei der Tgr auf Tgr0 abgesunken ist), entsteht: P = p ωg = p und P = m.p (AF68a) m ω 0 Damit wird die Übertragungsfunktion auf die Grenzfrequenz des Allpasses normiert: mp Q + m P + mp Q + m P Durch Koeffizientenvergleich erhält man: a = m Q ; b = m und für den Bandpass: f 0 = fg = fg b m ; Q = m a = b a Gesamtverst. im invertierenden Pfad: A i = - nichtinvertierenden Pfad: A n = + (AF68b) (AF69ff)

24 AF4 AF.3.3 Entwurf aktiver Filter nach dem Analogrechner-Verfahren (Zustands-Variablen-Verfahren) Mit dieser Entwurfsmethode ist (nahezu) jede Übertragungsfunktion zu realisieren. Als Bausteine werden die aus der Analogrechentechnik bekannten Integratoren und Summierer bzw. Subtrahierer verwendet. AF.3.3. Elemente a ) Invertierender Integrator Darstellung im Stromlaufplan Symboldarstellung in Analogrechentechnik /k k - /P Abb. AF3: Einfach-Integrator Die Einführung eines Gewichtungsfaktors k ergibt folgende Schreibweise: A ( p) = = p k mit p = ωg P und ωg = k ωg P = k P (bei Ap = ) wird (AF70 ff) = k P oder aufgelöst in die Komponenten = () (k) ( ) ( P ) (AF7 ff) b) Invertierend summierender Integrator 3 /k /k3 k = 3 Abb. AF33: Summierender Integrator k = k k 3 - /P Die Ausgangsspannung schreibt man im State-Variable-Verfahren = P k P k 3 3 P (AF7)

25 AF5 c) Invertierer, invertierender Summierer /k k Abb. AF34: Invertierer - = k (AF73 ) 3 /k k= - k - /k 3 k 3 + /k* Abb. AF35: Invertierender Summierer und Subtrahierer = k k + k3 3 ; k = k3 + k k3 + k k3 (AF74) AF.3.3. Synthese einer Schaltung bei gegebener Übertragungsfunktion Arbeitsschritte: ) Angabe der Übertragungsfunktion möglichst in Normalform ) Ausmultiplizieren der Übertragungsfunktion 3) Gleichung ggf. durch höchste Potenz von P dividieren, um Ausdrücke der Art P oder zu erhalten. P 4) Ordnen, daß links vom Gleichheitszeichen nur mehr "" zu stehen kommt. 5) ealisierung und Zusammensetzen der Summanden der rechten Gleichungsseite. Beispiel: Selektives Filter. Ordnung ) Übertragungsfunktion: = α P + βp+ P ) Ausmultiplizieren: + β P+ P = α P 3) Division mit P : P + β P + U a = α P 4) Ordnen: = P β P + α P 5) ealisieren:. Summand: P = ( P ) ( ) ( ) P ealisierung: () - - /P - /P Term Abb. AF36

26 AF6. Summand: β P = β ( P ) ealisierung: () - /P Term Abb. AF37 3. Summand: α P = α ( P ) ealisierung: - - /P Term 3 Abb. AF38 Zusammenfassen der Funktionen: - - /P /P - Abb: AF39: Selektives Filter in Symboldarstellung ealisierung als Stromlaufplan: - / Abb. AF40: Schaltung eines selektiven Filters Gemäß Kap. AF.. gilt: Q = β ; Ar = α β ; ω 0 = Damit lassen sich bei Vorgabe von z.b. Q, Ar, und ω 0 die Widerstände berechnen. Alle Filter. Ordnung weisen gleiche Nennerpolynome auf; deshalb sind die Schaltungen sehr ähnlich, nur die Einkopplung von ist unterschiedlich. Daraus lassen sich leicht sog. Universalfilter entwickeln.

27 AF7 AF Universalfilter. Ordnung v f f q Notch HP BP TP Abb. AF4: Beispiel eines Universalfilters. Ordnung HP, TP: fg = BP, Notch: f 0 = πf ; Q = Qi ; V = π f ; Q = Q ; V = A 0 ; Qi = bi A 0 Qi ai (für Notch BP ) = Polgüte (AF75) AF(76) Je nach Auskopplung von wirkt die Schaltung als TP,HP,BP,Notch. Nachteil: Wenn das Filter seine Universalität behalten soll, sind keine beliebig großen Güten mehr zu erreichen. Universalfilter werden als handelsübliche Analogbausteine angeboten. Abb. AF4 zeigt ein Beispiel für ein handelsübliches Universalfilter. In Abb. AF43 ist eine Beschaltungsmöglichkeit als sog. BI-QUAD-Filter gezeigt. Die Beschaltung und die Dimensionierung der externen Bauelemente sind den Applikationsmitteilungen der Hersteller zu entnehmen. Abb. AF4: Handelsübliches Universalfilter Abb. AF43: Universalfilter in BI-QUAD-Schaltung

28 AF8 AF.3.4 Berechnungsbeispiele. Beispiel: Es ist ein Tiefpaß 4. Ordnung mit Butterworth-harakteristik für fg = khz und A0= mit Operationsverstärkern aufzubauen. Als Schaltung ist die Einfach-Mitkopplung mit Spannungsfolger zu verwenden. Lösung: Es werden TP zweiter Ordnung verwendet O.P.:TL Abb. AF44: Butterworth-TP 4. Ordnung Koeffizienten aus Filtertabelle:. Filter a=.8478 b=. Filter a= b= Für die Berechnungen wird die Grenzfrequenz des Gesamtfilters eingesetzt. Berechnung des. Filters: Da es leichter ist, auch nicht normgerechte Widerstandswerte zu realisieren, werden zuerst die Kapazitäten bestimmt. Zur Abschätzung der Größenordnung setzt man Widerstandswerte in der Nähe von 0 kω an. Gln. (AF4a) liefert:.85 a = ωg 4 ( + ) ---> 4 π 0 3 0k = 4.7 nf gewählt: 4 = 5 nf mit Gln. (AF4c) wird: 3 4b 4 a = 5 nf 4 (.8478) 7.6 nf gewählt: 3 = 8 nf Genaue Widerstandswerte: = a 3 + a 3 4b3 4 = ωg 3 4 = ( ) π =.33kΩ Das Minuszeichen vor der Klammer liefert: = 8.93 kω Berechnung des. Filters: Größenordnung, = 0 k π k = 6.09nF 3 4 4b a gewählt: 4 = 6.8 nf = 6.8 nf. 4 = 46 nf gewählt: 3 = 47 nf Ähnlich wie für Filter errechnen sich: = kω = 7.97 kω

29 AF9 Damit ergibt sich folgende dimensionierte Schaltung, die mit PSPIE simuliert wurde: 8n 47n.3k 8.9k 5n k 7.97k 6 O.P.:TL n 8 Steuerdatei zur Simulation: Butterworthfilter 4.O. Sallen-Key khz A0=.options nopage nomod limpts 000 r.33k r k c3 5 8n c n r k r k c n c n xop tl08 Abb. AF45: Dimensionierter Butterworth-TP 4. Ordnung xop tl08 * Vplus 9 0 dc 5 vminus 0 0 dc -5 vin 0 ac 0m sin(0 V 800Hz) *.ac dec 0 meg *.tran 30u 3m 0 30u.lib opnom.lib.probe.end Butterworth-filter 4.O. Sallen-Key khz A0= Date/Time run: 05/3/00 09:54:0 Temperature: Filter Filter Gesamtfilter h 0h 00h.0Kh 0Kh 00Kh.0Mh vdb(8)-vdb(5) db(v(5)/v()) db(v(8)/v()) Frequency Abb. AF46: Frequenzgang des Butterworth-TP 4. Ordnung

30 AF30. Beispiel: Dimensionierung eines Filters nach Zustandsvariablenverfahren gemäß Schaltung Abb. AF40 Vorgaben: Q = 50; Ar = 5; f0 = khz; = 5 nf - Daraus berechnen sich die Werte: = π = 0.6 kω 9 0 / β = Q = 50 ; α = Ar. β = 0 β = kω α = 06. kω Abb.AF47: Beispiel eines sel. Filters. Ordung für khz Steuerdatei: selfi selektives Filter. Ordnung Analogrech- Verf..options nopage r k r k r k r4 06.k r k r k c 3 4 5n c 7 5n vin 0 ac 0m xop tl08 xop tl08 xop tl08.lib lstnw.lib.ac lin probe

31 AF3 3. Beispiel: Es soll ein Allpass. Grades mit fg = khz und einer normierten Gruppenlaufzeit v. Tgr0 = 0,58 aus einer Kombination eines sel. Filters. Ordnung mit einem Subtrahierer aufgebaut werden. (k-)o o b c a a ---> Koeffizienten: a =,678; b = 0,883 Als selektives Filter. Ordnung wird die Schaltung gemäß Abb. AF5 verwendet. Vorgewählte Bauelemente: = 0 nf; a = 0 kω. sel. Filter. Grades Subtrahierer Abb. 48: Allpass. Ordnung Sel. Filter: Gln. (AF59ff) und AF(69ff) liefern: f 0 = π = fg m > = b πfg = 0,883 π. khz. 0nF = 4,96kΩ Q = (3 k) = b > k = 3 a =,679 a b Ar = k 3 k = k Q = 0,73 Subtrahierer: Es müssen die Bedingungen von Gln. (AF69ff) eingehalten werden. Für die Berechnung werden die Ergebnisse einer Übungsaufgabe aus dem Fach Schaltungstechnik herangezogen. Für den invertierenden Pfad gilt: Ai = Ar. a = ; > b b = A a r = 3,66kΩ Für den nichtinvertierenden Pfad gilt: a (a+ b) a An = =+ ; > c = b (a+ c) (a+ b) b a = 7,3kΩ 4.96k 4.96k k 0k 3 0n 6 e=,68 0n 9.9k 7 e= k 0k Mit dieser Dimensionierung wird nebenstehende Schaltung simuliert: Der Nichtinvertierer des Sel. Filters wird durch einen idealen Verstärker mit dem Verstärkungsfaktor k =,68 modelliert, und beim Subtrahierer ein id. O.P. mit der Leerlaufverstärkung 0 5 verwendet. Simulationsergebnisse umseitig! Abb. 49: Dimensionierter Allpass. Grades

32 AF3 Abb. 50: Frequenzgang eines Allpasses. Grades Die Ergebnisse der Simulation decken sich mit der echnung: Die Gruppenlaufzeit bei tiefen Frequenzen ist: tgr0 = a π =,678 fg π. = 58 us (Sim. -Ergebnis: 58 us). khz Bei fg muss tgr auf tgr = 58us = 366,38us abgesunken sein. (Sim.-Ergebnis: 366,4us). Der Verstärkungsbetrag ist,0 frequenzunabhängig. (Sim.-Ergebnis:,00).

33 AF33 AF.A. Anhang zu Kapitel MO/AF AF.A. Herleitung der Ü-Funktion einer Bandsperre. Grades Ein Sperrfilter. Ordnung entsteht durch Parallel-Schaltung je eines HP und TP. Ordnung. E TP HP + A Abb. AF.5: Entstehung einer Bandsperre TP TP: HP HP: A0 + ap+ bp (AF77) A + α P + β P = A β P + α β P+ β P (AF78) Für ein symmetrisches Sperrfilter müssen HP und TP spiegelbildlich liegen. DerKoeffizientenvergleich liefert: a = α β ; b = β ; A0 = A β ; außerdem muß bei Symmetrie A 0 = A sein. Daraus folgt: β = ; b = ; α = a Dies in Gln. (AF64,65) eingesetzt ergibt die Übertragungsfunktion BS A0 + ap+ P + A P + ap+ P = A 0(+ P ) + ap+ P (AF79) AF.A. Herleitung der Ü-Funktion der erweiterten Einfachmitkopplung Z Z5 Z3 Z Z4 (k-)o o i 3 Z i Z5 Z3 i 5 i Z Z4 i=0 k Abb. AF5: Erweiterte Einfachmitkopplung Abb: AF53: Ersatzbild zu Abb. AF40 A: i+ i 3 = i 5 + i B: = i Z + i 5 Z 5 : i 5 Z 5 k i Z = 0 D: k = i Z 4 E: + i 3 Z 3 + i (Z + Z 4 ) = 0 i aus Gln.(D) in () liefert: ( ): i 5 = + Z k Z 5 Z 4 Z 5 i aus Gln.(D) in (E) liefert: (E ): i 3 = (Z + Z4) Z 3 kz4z 3 i5 aus Gln.( ) in (B) liefert: (B ): i = k + Z Z 4 Z

34 AF34 alle Ströme in (A): k + Z Z 4 + Z Z3 geordnet: Nach Umstellung: (Z + Z4) = kz 4 Z 3 k Z k Z Z4 + k Z Z = U e Z 3 Z 4 Z 3 Z 3 Z 5 Z 4 Z 5 Z 4 Z Z 5 + Z Z 4 Z 5 + kz 4 = A (P) = kz 3 Z 4 Z 5 Z Z Z 3 + Z Z3Z 4 + Z Z3Z 5 + ZZ 3 Z 5 + Z4Z 3 Z 5 + ZZ Z 5 + Z Z4Z5( k) (AF80) Mit dieser Beziehung sind die Übertragungsfunktionen aller Filterschaltungen mit Einfachmitkopplung durch Einsetzen der jeweiligen Schaltelemente abzuleiten.