Probeklausur Lösungen

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1 Probeklausur Lösungen Aufgabe A B = {, 4, 6, 8, 0} = {x N x 0 x gerade} A C = {,, 5, 7, } = {x N x x prim} alternativ {x P x } B C = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 0, } = {x N x x 9} Aufgabe Es sei x die Anzahl der normalen und y die Anzahl der ermäßigten Karten. Dann gilt: Demnach wäre die Lösung: 5 Aufgabe x + y = 46 x + 5 y = 460 x 46 = y 460 Zu berechnen ist A b. Mit dem Falk-Schema ergibt dies: Gerechnet wird = = und = 5 =. 6 6

2 Aufgabe 4 Falk-Schema: Demnach ist A NICHT die Inverse der Matrix A, da das Matrixprodukt NICHT die Einheitsmatrix mit en auf der Hauptdiagonalen und sonst 0 ist. Aufgabe 5 Standardverfahren zur Kurvendiskussion:. Ableitungen bestimmen: fx = x 6x + 9x f x = x x + 9 f x = 6x f x = 6. Nullstellen NST bestimmen:. NST klar ersichtlich x NST = 0 Polynomdivision liefert x 6x + 9x : x 0 = x 6x + 9 p-q-formel auf Ergebnis der Polynomdivison angewandt liefert x NST = und x NST =.. Extrema E bestimmen: Extrema sind, insofern sie existieren, die Nullstellen der. Ableitung. Durch Division mit der. Ableitung und anwenden der p-q-formel erhalten wir: x E = und x E = 4. Wendepunkte W bestimmen: Wendepunkte sind, insofern sie existieren, die Nullstellen der. Ableitung. Durch lösen der Gleichung 6x = 0 erhalten wir x W =. 5. Die y-koordinaten der Punkte bestimmen. Nullstellen: fx NST = f0 = 0 und fx NST = f = 0 mit fx NST = fx NST NST = 0 0 und doppelte Nullstelle im Punkt NST = 0.

3 Extrema: fx E = f = 4 und fx E = f = 0 E = 4 und E = 0 Wendepunkt: fx W = f = W = 6. Eigenschaften der Extrema und Wendepunkte bestimmen: Damit ist gemeint ob ein Extrema ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, bzw. ein Wendepunkt eine Rechts-Links-Krümmung oder eine Links-Rechts-Krümmung aufweist. Diese Information erhalten wir durch einsetzen der betreffenden x-werte in eine Ableitung höher als zur Ermittlung des x-wertes nötig war. Das heißt, zur Ermittlung der Extrema wurde die. Ableitung benötigt. Also f x E = f = 6 und f x E = f = 6. Merke: Bei negativem Vorzeichen besteht ein Hochpunkt, bei positivem Vorzeichen ein Tiefpunkt. Demnach ist E ein Hochpunkt und E ein Tiefpunkt. Analoge Anwendung auf den Wendepunkt liefert: f x W = f = 6. Bei Wendepunkten gilt: Positives Vorzeichen heißt Rechts-Links-Krümmung und negatives Vorzeichen heißt Links-Rechts-Krümmung. Demnach liegt in W ein Rechts-Links-Krümmungswechsel vor. 7. Durch Zeichnung überprüfen: Aufgabe 6 Zur Lösung dieser Aufgabe werden die Werte der Finanzprodukte A und B getrennt berechnet und zum Schluß addiert.

4 Finanzprodukt A Da es sich um eine gemischte Verzinsung handelt wird die Formel: K t = K 0 + r k + r n + r y m k, y aus der Formelsammlung genutzt. Zur Veranschaulichung erstellen wir uns folgende Zeichnung: Aus dieser Abbildung erhalten wir die Zeit bis zur ersten vollen Zinsperiode 7 Tage, die Anzahl der vollen Zinsperioden im ersten Jahr, die Anzahl volle Jahre 0, die Anzahl der vollen Zinsperioden im letzten Jahr und die Anzahl der Tage nach der letzten vollen Zinsperiode 9. Achtung: Immer dran denken, erster Tag zählt mit, letzter nicht!!! Dies ist schon vollkommen ausreichend um die Funktion mit Zahlen zu füttern: K 0 = 0.000, r = 5%, d bzw. k = 7, y = 66 0 ist ein Schaltjahr, m = 4 Anzahl Zinsperioden pro Jahr, n = = 45 Anzahl volle Zinsperioden, d bzw. k = 9, y = 65 0 ist kein Schaltjahr. Alles in die Funktion einsetzen und ausrechnen liefert: K t = , , , = 7.599,66. Finanzprodukt B Dieses Finanzprodukt enthält eine stetige Verzinsung. Demnach verwenden wir die Formel der Formelsammlung für stetige Verzinsung: K t = K 0 e rt. 4

5 Hier liegt das Problem in der Bestimmung des Parameters t, da K 0 = und r = 7% bekannt sind. Zur Ermittlung von t verwenden wir die Zinstagezählmethode 0E/60 und berechnen, wie in der Formelsammlung steht N 60E/60. N60E = Y Y 60 + M M0 + D/E D/E Hier bezeichnet Y das Jahr 0, Y das Jahr 0, M den 7. Monat des Jahres und M den 6. Monat des Jahres. Die Bezeichnungen D/E und D/E bezeichnen das Minimum also den kleineren Wert von 0 und dem Wert D bzw. D. Also kurz gesagt: }{{}. }{{} }{{} D M Y und }{{} 0 D. }{{} 07 M. 0 }{{}. Y Hier ist also explizit D/E = min {0, D} = min {0, } =, sowie D/E = min {0, D} = min {0, 0} = 0 und es folgt: N60E = = 998. Damit erhalten wir t = N60E/60 = 998/60,056 und dies führt zu: K t = e 0,07,056 = 0.878,95. Also ist der faire Preis Wert der beiden Produkte 7.599, ,95 = 8.478,6. Bemerkung: Wahrscheinlich werden Sie niemlas eine Bank finden, welche solche Konditionen liefert. 5