Formelsammlung/ Bemessungsalgorithmus Spannbetonbau nach DIN EN 1992 (EC2)

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1 Formelsammlung/ Bemessungsalgorithmus Spannbetonbau nach DIN EN 1992 (EC2) 1 Literaturverzeichnis [1] Deutsches Institut für Normung, DIN EN /NA, Berlin: Beuth Verlag, Januar [2] E. Dutulescu, Zur Ermittlung der Beton- und Stahlspannungen., Beton- und Stahlbetonbau, pp , Mai [3] Deutsches Institut für Normung, DIN EN , Berlin: Beuth Verlag, Januar [4] K. Zilch und G. Zehetmaier, Bemessung im kontruktiven Betonbau, München: Springer Verlag, Juni [5] M. Krüger, Spannbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, 3.Auflage, Berlin: Beuth Verlag, [6] Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 20. Auflage, Köln: Werner Verlag, [7] F. Fingerloos, J. Hegger und K. Zilch, Eurocode 2 fü Deutschland, Kommerntierte Fassung, Berlin: Ernst & Sohn, Beuth, [8] Skript Hochschule 21, Platten, Sept [Online]. Available: [Zugriff am 19 November 2013]. [9] Wommelsdorf, Stahlbeton, Bemessung und Konstruktion Teil1+2, Werner Verlag, [10] Vorlesungsfolien KIT, Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton, Karlsruhe, WS2013/2014. [11] Deutscher Beton- und Bautechnik- Verein, Beispiele zur Bemessung nach DIN Band 1: Hochbau, Berlin: Ernst u. Sohn, [12] Hochschule für Technik Stuttgart, Skript Stahlbetonbau 2, Stuttgart, SS [13] P. D.-I. R. Baumgart, Skript Massivbau Hochschule Darmstadt, Darmstadt, [14] P. D.-. I. B. v. Ufer. [Online]. Available: [Zugriff am 29 Juni 2014]. [15] P. D.-I. R. Avak und D.-I. R. Glaser, Spannbetonbau - Theorie, Praxis, Berechnungsbeispiele, Berlin: Bauwerk Verlag,

2 2 Ermittlung der Betondeckung 2.1 Mindestbetondeckung c min = max c min,b c min,dur + c durγ c dur,st c dur,add 10mm Bei Mechanischer Exposition Opferbeton zu c min dazu addieren! (XM 1: + 5mm, XM2: + 10mm, XM3: +15mm) 2.2 Nennmaß der Betondeckung c nom = c min + c dev [mm] aufrunden auf 5 mm = c vl c min,b: [mm] Mindestbetondeckung aus Verbundanforderungen Betonstahl: c min,b = Stabdurchmesser Spannstahl: c min,b = n (Vergleichsdurchmesser) Rundes Hüllrohr von Spannstahl: c min,b = duct 80mm Rechteckiges Hüllrohr (a b): c min,b = max {a; b/2} 80mm Litzen, profilierte Drähte (s. Verbund): c min,b = 2,5 p c min,dur : [mm] Mindestbetondeckung aus Dauerhaftigkeitsanforderung (siehe Tab. unten) c durγ: [mm] additives Sicherheitselement (siehe Tab. unten) c dur,st: [mm] bei Verwendung von nichtrostendem Stahl (i.d.r. = 0) c dur,add: [mm] bei zusätzlichen Schutzmaßnahmen (i.d.r. = 0) c dev: [mm] Vorhaltemaß für unplanmäßige Abweichungen durch die Bauausführung. Verbundanforderung (c min,b) maßgebend: c dev = 10 mm Dauerhaftigkeitsanforderung (c min,dur) maßgebend: c dev = 15 mm Dauerhaftigkeitsanforderung (c min,dur) maßgebend und XC1: c dev = 10 mm Fund. mit Sauberkeitsschicht von d = 5-10cm: c dev + 20 mm s.din EN (4) Fund. und betonieren gegen Erdreich: c dev + 50 mm s.din EN (4) c vl: [mm] Verlegemaß (muss auf Plänen angegeben werden!) Expositionsklasse X0 XC1 XC2, XC3 XC4 XD1, XS1 XD2, XS2 XD3, XS3 c min,dur c dur,γ Betonstahl Spannstahl Betonstahl Spannstahl diese Tab. entspricht der Tab. 4.4DE und Tab. 4.5DE 2

3 3 Einwirkungskombinationen (vereinfacht) 3.1 Einwirkungskombination im GZT E d = γ G G k + γ Q Q k,1 + γ Q Ψ 0,i Q k,i 3.2 Ermittlung der Einwirkungskombination im GZG Ungünstige Wirkung: γ G: [ ] = 1,35 γ Q: [ ] = 1,5 Günstige Wirkung: γ G: [ ] = 1,0 γ Q: [ ] = 1,5 Ψ 0,i: [ ] siehe Tabelle Charakterisitsche Kombination (früher seltene Kombination) p d,char = g k + q 1,k + i>1 ψ 0,i q i,k [kn/m] Ψ 0,i: [ ] Kombinationsbeiwert; siehe Tabelle Quasi-ständige Kombination p d,perm = g k + i>1 ψ 2,i q i,k [kn/m] Ψ 2,i: [ ] Kombinationsbeiwert; siehe Tabelle Häufige Kombination p d,freq = g k + ψ 1,1 q 1,k + i>1 ψ 2,i q i,k [kn/m] 3.3 Tabelle mit Kombinationsbeiwerten DIN EN 1990/NA Tabelle 1: Kombinationsbeiwerte im Hochbau [1] 3

4 4 Schnittgrößen infolge äußerer Einwirkung 4.1 Zweifeldträger Stützmoment: M g/q = q L2 [knm] 8 Feldmoment: (an der Stelle x = 0,375*L) M g = 0,07 g L² [knm] M q = 0,096 q L² [knm] 5 Schnittgrößen infolge Vorspannung 5.1 Vorspannkraft unmittelbar nach Absetzen der Presse P m0 = σ pm0 A p [kn] 5.2 Statisch bestimmte Systeme A p: [cm²] gewählter Spannstahlquerschnitt σ pm0: [kn/cm²] Zulässige Spannstahlspannung nach Lösen der Verankerung Hinweis zum Vorgehen: Die Schnittgrößen aus Vorspannung können berechnet werden, wenn die Einleitungs- und Umlenkkräfte als äußere Lasten angesehen werden (Umlenkkraftmethode). Die Einleitungs- und Umlenkkräfte werden wie für äußere Lasten üblich auf die Schwerelinie des Querschnitts angesetzt.wenn die Krafteinleitung nicht in Systemebene liegt entstehen zusätzlich Momente Schnittgrößen über Gleichgewicht Kräftegleichgewicht bilden M pm = P m0 z cp [knm] Schnittgrößen über Umlenkkräfte polygonal geführtes Spannglied U = 2 P sin α 2 [kn] U H = U sin α 2 [kn] U V = U cos α 2 [kn] stetig gekrümmtes Spannglied u p = P R [kn/m] oder u p = 8 P f L² [kn/m] P: [kn] Vorspannkraft R: [m] Krümmungsradius 5.3 Statisch unbestimmte Systeme (Schnittgrößen nur über Umlenkkräfte) Ermittlung der Umlenkkräfte Abschnittsweise kreisförmiger Spanngliedverlauf u p = P [kn/m] oder u p = 8 P f [kn/m] R L² Herleitung siehe Anhang Schnittgrößen mit Tabellenwerken nur bei symmetrischen Tragwerken! 2-Feldträger: M p,st = M p,b1 + M p,b2 [knm] M p,f = aus ΣM (maximales Feldmoment bei x 0,4*L ) M p = M p,dir + M p,ind [knm] M p,dir: [knm] Momentenanteil infolge Vorspannung am statisch bestimmten System. M p,dir verläuft affin zur Gesamtmomentenlinie M p,ind: [knm] Momentenanteil infolge Vorspannung am statisch unbestimmten System Schnittgrößen mit Kraftgrößenverfahren δ 10 + X 1 δ 11 + X 2 δ 12 = 0 δ 20 + X 1 δ 21 + X 2 δ 22 = 0 M p (x) = M p 0 (x) + X 1 M 1 (x) + X 2 M 2 (x) P: [kn] Vorspannkraft R: [m] Krümmungsradius L: [m] Länge über die das Spannglied kreisförmig verläuft 4

5 6 Bruttoquerschnittswerte A c = (b i h i ) [cm²] z s = A i z i A cb [cm] I c = b 3 i h i 2 + A i z i 12 W cu = I c z cu W co = I c z co [cm³] [cm³] 7 Nettoquerschnittswerte 7.1 Anwendung: Spannungsberechnung bei Vorspannung mit nachträglichem Verbund für Lastfälle vor Herstellung des Verbundes. Für Vorspannung ohne und mit nachträglichem Verbund. 7.2 Nettoquersschnittswerte mit Hüllrohr: A cn = A c A duct [cm²] e cn = A c e c - A duct e duct A cn [cm²] z cnp = A c z cp [cm] A cn (aus: e cn - e duct = A c e c - A duct e duct - e duct ) A cn I cn = I c + A cn (e cn e c )² - A duct (z cnp )² [cm 4 ] A c: [cm²] Bruttoquerschnittsfläche des Betons A duct: [cm²] Querschnittsfläche des Hüllrohres; A duct = π d2 4 ( engl. duct = Kabelkanal, Rohr, Führung) e cn: [cm] Abbildung 1: Querschnittsbezeichnungen 8 Ideele Querschnittswerte 8.1 Anwendung: Spannungsberechnung bei Vorspannung für alle Lastfälle sobald der Verbund hergestellt ist. Reine Rechengröße A ci = A c + (α p - 1) A p + (α e - 1) A s [cm²] e ci = A c e c + α p - 1 A p e p + α e - 1 A s e s A ci [cm] I ci = I c + A c (e c e ci )² + (α p 1) A p (e ci e p )² + (α e 1) A s (e ci e s )² [cm 4 ] z cip = A c z cp A ci [cm] W i,o = I i h - e ci [cm³] W i,u = I i e ci [cm³] Abbildung 2: Querschnittsbezeichnungen E s: [N/mm²] Litze = Rundstab + Draht = α e = E s E c α p = E p E c 5

6 9 Druckzonenhöhe und Flächenträgheitsmoment im Zustand 2 nach dem Verfahren von Dutulescu 9.1 Biegung und Normalkraft Abbildung 3: [2] e 0 = M Ed,A 100 N Ed [cm] (N Ed mit Vorzeichen!) e c2 = e 0 + z g [cm] e s1 = e c2 d [cm] e s2 = e c2 d 2 [cm] gilt auch für einen Rechteckquerschnitt Abbildung 4: [2] e 0 = M Ed,A 100 N Ed [cm] (N Ed mit Vorzeichen!) e c2 = e 0 + z g [cm] e s1 = e c2 d [cm] e s2 = e c2 d 2 [cm] Druckzonenhöhe: (durch lösen des Polyn. 3.Grades) x 3 + A x 2 + B x + C = 0 Das Polynom 3. Grades kann z.b. mit dem Newton-Raphsen Verfahren gelöst werden: x i+1 = x i f x i f ' x i mit: A = - 3 e c2 B = - 6 b eff D C = + 6 b eff E D = α e (A s1 e s1 + A s2 e s2 ) E = α e (A s1 e s1 d + A s2 e s2 d 2 ) Ideelles Statisches Moment: (um die Nulllinie) S i,nl = 1 2 b eff x 2 + α e A s1 (x d) + α e A s2 (x d 2 ) [cm³] Druckzonenhöhe: (durch lösen des Polyn. 3.Grades) x 3 + A x 2 + B x + C = 0 Das Polynom 3. Grades kann z.b. mit dem Newton-Raphsen Verfahren gelöst werden: x i+1 = x i f x i f ' x i mit: A = - 3 e c2 B = - 3 (2 D + 2 F G) b C = 1 b [ 6 E + h t (3 F G) ] D = α e (A s1 e s1 + A s2 e s2 ) E = α e (A s1 e s1 d + A s2 e s2 d 2 ) F = h t (b eff b) e c2 G = h t 2 (b eff b) Ideelles Statisches Moment: (um die Nulllinie) S i,nl = 1 2 b x 2 + h t (b eff - b) (x h t) + α e A s1 (x d) + α e A s2 (x d 2 ) [cm³] A s1: [cm²] Querschnittsfläche der unteren Zugbewehrung (inklusive Spannstahl) A s2: [cm²] Querschnittsfläche der oberen Zugbewehrung (inklusive Spannstahl) b: [cm] Querschnittsbreite b eff: [cm] effektive Querschnittsbreite des PB d: [cm] statische Nutzhöhe (bezogen auf Schwerpunkt von A s und A p) d 2: [cm] Abstand zwischen Druckbewehrung und Oberkante des Querschnittes α e: [ ] Verhältnis der E-Moduli; α e = E s/e c E s: [N/mm²] E-Modul des Betonstahls; E s = E c: [N/mm²] E-Modul des Beton z g: [cm] Abstand zwischen Schwerpunkt und Oberkante des Querschnittes M Ed,A: [knm] einwirkendes Biegemoment bezogen auf die Schwereachse A M Ed,A = M Ed + N Ed z cp (vorzeichengerecht) M Ed: [knm] Moment infolge äußerer Lasten (maßgebende EWK beachten) N Ed: [kn] einwirkende Normalkraft (Druck negativ) Bei Spannbeton: N Ed = r inf F pd (unterer Grenzwert maßgebend) A s1: [cm²] Querschnittsfläche der unteren Zugbewehrung (inklusive Spannstahl) A s2: [cm²] Querschnittsfläche der oberen Zugbewehrung (inklusive Spannstahl) b: [cm] Querschnittsbreite b eff: [cm] effektive Querschnittsbreite des PB d: [cm] statische Nutzhöhe (bezogen auf Schwerpunkt von A s und A p) d 2: [cm] Abstand zwischen Druckbewehrung und Oberkante des Querschnittes α e: [ ] Verhältnis der E-Moduli; α e = E s/e c E s: [N/mm²] E-Modul des Betonstahls; E s = E c: [N/mm²] E-Modul des Beton z g: [cm] Abstand zwischen Schwerpunkt und Oberkante des Querschnittes M Ed,A: [knm] einwirkendes Biegemoment bezogen auf die Schwereachse A M Ed,A = M Ed + N Ed z cp (vorzeichengerecht) M Ed: [knm] Moment infolge äußerer Lasten (maßgebende EWK beachten) N Ed: [kn] einwirkende Normalkraft (Druck negativ) Bei Spannbeton: N Ed = r inf F pd (unterer Grenzwert maßgebend) 6

7 Druckzonenhöhe: x = 1 3 b h2 3 e c2-2 h + 6 E+ h t (3 F - 2 G) b h 2 e c2 - h + 2 D + 2 F - G h A s1: [cm²] Querschnittsfläche der unteren Zugbewehrung (inklusive Spannstahl) A s2: [cm²] Querschnittsfläche der oberen Zugbewehrung (inklusive Spannstahl) Abbildung 5: [2] e 0 = M Ed,A 100 N Ed [cm] (N Ed mit Vorzeichen!) e c2 = e 0 + z g [cm] e s1 = e c2 d [cm] e s2 = e c2 d 2 [cm] mit: D = α e (A s1 e s1 + A s2 e s2 ) E = α e (A s1 e s1 d + A s2 e s2 d 2 ) F = h t (b eff b) e c2 G = h t 2 (b eff b) Ideelles Statisches Moment: (um die Nulllinie) S i,nl = b h (x h) + h t (b eff - b) (x h t) + α e A s1 (x d) + α e A s2 (x d 2 ) [cm³] b: [cm] Querschnittsbreite b eff: [cm] effektive Querschnittsbreite des PB d: [cm] statische Nutzhöhe (bezogen auf Schwerpunkt von A s und A p) d 2: [cm] Abstand zwischen Druckbewehrung und Oberkante des Querschnittes α e: [ ] Verhältnis der E-Moduli; α e = E s/e c E s: [N/mm²] E-Modul des Betonstahls; E s = E c: [N/mm²] E-Modul des Beton z g: [cm] Abstand zwischen Schwerpunkt und Oberkante des Querschnittes M Ed,A: [knm] einwirkendes Biegemoment bezogen auf die Schwereachse A M Ed,A = M Ed + N Ed z cp (vorzeichengerecht) M Ed: [knm] Moment infolge äußerer Lasten (maßgebende EWK beachten) N Ed: [kn] einwirkende Normalkraft (Druck negativ) Bei Spannbeton: N Ed = r inf F pd (unterer Grenzwert maßgebend) 7

8 10 Bemessung eines Spannbetonträger 10.1 Vorgehensweise wenn der Spannstahlquerschnitt A p bereits gegeben ist, können die Schnittgrößen infolge Vorspannung direkt ermittelt werden. Wenn der Spannstahlquerschnitt nicht gegeben ist, kann die Vorspannkraft über den Nachweis der Dekompression ermittelt werden. Dabei kann als Vorbemessung mit den Bruttoquerschnittswerten gerechnet werden. 11 Spanngliedführung 11.1 Allgemeines Vorgehen 1.) Ansatz für die Spanngliedführung wählen 2.) Bestimmung des Spanngliedverlaufes z(x) durch einsetzen von Randbedingungen und lösen des LGS Quadratischer Ansatz: z(x) = a x² + b x + c z (x) = 2 a x + b z (x) = 2 a 11.2 Ermittlung des Krümmungsradius R R = 1 [m] z (x) gilt nur für eine flache Spanngliedneigung. Herleitung siehe Anhang 11.3 Ermittlung Parabelstich 1. Steigung am Wendepunkt zwischen 2 Parabeln bestimmen 2. Es gilt tan γ = 2 f x 2 z(x) negativ wenn Parabel unterhalb der NL z (x): [ ] 2. Ableitung des Spanngliedverlaufes 3. f = R - R 2 - L 2 2 [m] oder: f = L2 8 R [m] L: [m] Abstand der 2 Wendepunkte 8

9 12 Vordimensionierung des Spannstahlquerschnittes 12.1 Allgemein Die Spannstahlmenge kann innerhalb bestimmer Grenzen gewählt werden. Als Entwurfskriterium für die Dimensionierung der Spannstahlmenge sollte bei überwiegend auf Biegung beanspruchten Bauteilen der Dekompressionsnachweis verwendet werden. Eine weitere Grenze zur Ermittlung von A p stellt der Nachweis der Betondruckspannungen dar. Der Spannkraftverlust infolge Kriechen und Schwinden kann zunächst mit 15% angesetzt werden Vordimensionierung durch vereinfachten Nachweis der Dekompression Beim vereinfachten Nachweis der Dekompression (DAfStb Heft 600) ist der ganze Querschnitt überdrückt. (sichere Seite) Alternativ kann der genauere Nachweis nach DIN EN /NA; NCI zu 7.3.1(5) über die Grenzlinie der Dekompression geführt werden. maßgebender Rand: (in der Regel) Nachweis an der Stütze: oberer Rand zum Zeitpunkt t= Nachweis im Feld: unterer Rand zum Zeitpunkt t= 1. bekannte Werte in folgende Gleichung einsetzen: t = 0: σ c(o/u) = - P 0 ± P 0 z cp z A c I c(o/u) r sup/inf ± M perm 100 z c I c(o/u) 0 c t = : σ c(o/u) = - P 0 α csr ± P 0 α csr z cp z A c I c(o/u) r sup/inf ± M perm 100 z c I c(o/u) 0 c Bei statisch unbestimmten Systemen gilt nicht M p = P 0 z cp! Anstelle z cp kann ein Faktor k, der dem Moment M p an der betrachteten Stelle infolge P = 1MN entspricht, eingesetzt werden. (z.b. M p=1000 = 300 knm k = 30) Falls der Momentenverlauf nicht gegeben ist, muss dieser zunächst für eine Kraft von 1MN ermittelt werden. 2. nach P 0 auflösen: 3. Ermittlung der erforderlichen Anzahl an Spannlitzen: P n = 0 [ ] A p,litze σ p0 M perm: [knm] Moment infolge äußerer Einwirkung (quasi ständige EWK) A c: [cm²] Bruttoquerschnittsfläche Die Vorspannung wirkt immer auf die gesamte Querschnittsfläche I c: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment (Bruttoquerschnitt) an der Stütze: I c infolge b eff,s im Feld: I c mit b eff,f z co: [cm] Abstand zwischen Schwerlinie des Bruttoquerschnitts und oberem Querschnittsrand z cu: [cm] Abstand zwischen Schwerlinie des Bruttoquerschnitts und unterem Querschnittsrand z cp: [cm] Abstand zwischen Schwerlinie und Spanngliedlage r sup: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 1,1 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 1,05 r inf: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r inf = 0,9 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r inf = 0,95 α csr: [ ] Verlust aus Kriechen, Schwinden und Relaxation; i.d.r.: α csr = 0.85 σ p0: [kn/cm²] zulässige Spannstahlspannung nach lösen der Verankerung A p,litze: [cm²] Querschnittsfläche einer Litze (aus der Zulassung) 9

10 12.3 Vordimensionierung durch Nachweis der Betondruckspannungen maßgebend ist der Lastfall, bei dem die größte Druckspannung an einem der Querschnittsränder entsteht. maßgebender Rand: (in der Regel) Im Feld: unterer Rand zum Zeitpunkt t = 0 1. bekannte Werte in folgende Gleichung einsetzen: t = 0: σ c(o/u) = - P 0 ± P 0 z cp z A c I c(o/u) r sup/inf ± M perm,0 100 z c I c(o/u) -0,45 f ck c t = : σ c(o/u) = - P 0 α csr ± P 0 α csr z cp z A c I c(o/u) r sup/inf ± M perm, 100 z c I c(o/u) -0,45 f ck c Bei statisch unbestimmten Systemen gilt nicht M p = P 0 z cp! Anstelle z cp kann ein Faktor k, der dem Moment M p an der betrachteten Stelle infolge P = 1MN entspricht, eingesetzt werden. (z.b. M p=1000 = 300 knm k = 30) Falls der Momentenverlauf nicht gegeben ist, muss dieser zunächst für eine Kraft von 1MN ermittelt werden. M perm, : [knm] Moment infolge äußerer Einwirkung zum Zeitpunkt t = (quasi ständige EWK) M perm,0: [knm] Moment infolge äußerer Einwirkung zum Zeitpunkt t = 0 (quasi ständige EWK) z c1: [cm] Abstand zwischen Querschnittsrand 1 und Schwerlinie des Querschnitts A c: [cm²] Bruttoquerschnittsfläche Die Vorspannung wirkt immer auf die gesamte Querschnittsfläche I c: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment (Bruttoquerschnitt) an der Stütze: I c infolge b eff,s im Feld: I c mit b eff,f r sup: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 1,1 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 1,05 2. nach P 0 auflösen: 3. Ermittlung der erforderlichen Anzahl an Spannlitzen: P n = 0 [ ] A p,litze σ p Vordimensionierung - Platten Maximaler Abstand der Spannglieder: max s = A p zul σ pm0 erf. P m0 [m] erf. P m0 entspricht der Vorspannkraft für 1m Plattenbreite. σ p0: [kn/cm²] zulässige Spannstahlspannung nach lösen der Verankerung A p,litze: [cm²] Querschnittsfläche einer Litze (aus der Zulassung) zul σ pm0: [kn/cm²] Zulässige Spannstahlspannung nach Lösen der Verankerung A p: [cm²] Spannstahlquerschnitt je Spannglied erf. P m0: [kn] erforderliche Vorspannkraft, damit die gewünschte Bedingung erfüllt ist. (z.b.: Biegemoment soll infolge Eigenlast gleich groß wie das Biegemoment infolge Vorspannung sein.) 10

11 13 Reibungsverluste beim Vorspannen 13.1 Planmäßiger Umlenkwinkel Umlenkwinkel bei konstanter Krümmung: θ Ax = 1 r x [rad] Alternativ: (Wendepunkte liegen in einer Ebene) θ AB = arctan 2 f 2 2 π [rad] 0,5 L 360 r: [m] Krümmungsradius x: [m] Längenkoordinate des Trägers L: [m] horizontaler Abstand zwischen zwei Wendepunkten θ Ax: [rad] Umlenkwinkel zwischen Wendepunkt A und Koordinate x θ AB: [rad] Umlenkwinkel zwischen Wendepunkt A und B Alternativ: (Wendepunkte liegen nicht in einer Ebene) θ 1 = arctan (z (x=a)) θ 2 = arctan (z (x=b)) θ AB = (θ 1 + θ 2 ) 2 π [rad] 360 θ AB = (θ 1 - θ 2) 2 π wenn Spannkraftverluste im Bereich 360 einer Tangentensteigung mit gleichem Vorzeichen ermittelt wird. Umlenkwinkel bei Krümmung in zwei Raumrichtungen: θ(x) = θ y (x) 2 + θ z (x) 2 [rad] 13.2 Summe der Umlenkwinkel γ Ax = θ Ax + k x 2 π [rad] 360 γ = γ Ax [rad/m] x 13.3 Spannkraft an der Stelle x P 0 e - µ γ [kn] 13.4 Blockierpunkt beim Nachlassen Umlenkwinkel bis zum Blockierpunkt: γ Bl = 1 ln P 0 (aus: P 0 e -µ γbl = P 0 e -µ γbl ) 2 µ P' 0 x: [m] Längenkoordinate des Trägers k: [ /m] ungewollter Umlenkwinkel k aus Zulassung (zwischen 0,2 und 1,0) θ Ax: [rad] Planmäßiger Umlenkwinkel zwischen A und x; siehe oben γ : [rad/m] Umlenkwinkel je Meter P 0: [kn] Vorspannkraft an der Presse µ: [ ] Reibungsbeiwert; siehe Zulassung mit Verbund: zwischen 0,15 und 0,3 ohne Verbund: ca. 0,06 γ: [rad] Summe der Umlenkwinkel bis zur Stelle x P 0: [kn] Spannkraft an der Presse (z.b. durch Überspannen) P 0: [kn] Nachlasskraft γ : [rad/m] Umlenkwinkel je Meter Grad der Spannkraft am Blockierpunkt: ρ Bl = e -µ γbl [ ] Grad der Spannkraft an der Ankerstelle: ρ 0 = e -2 µ γbl [ ] Lage des Blockierpunktes: Durch lineare Interpolation: x Bl = x Bl,re (ρ Bl ρ Bl,re ) x Bl,re - x Bl,li ρ Bl,li - ρ Bl,re [m] Alternativ: x Bl = γ Bl [m] γ' 11

12 14 Spannwegberechnung 14.1 Berechnung Spannweg Allgemein: Die Flächenintegration des Spannkraftverlaufes (ohne Berücksichtigung des Keilschlupfes) ergibt die Fläche A(ρ) zur Berechnung des Spannweges. Anspannweg: L A = P 0 A [m] E p A p E c A c Nachlassweg: L N = P 0 A N [m] E p A p E c A c Spannweg vor dem Verkeilen: L = L A - L N P 0: [MN] Vorspannkraft vor dem Absetzen der Presse A 0: [m] Fläche unter der Kurve des Spannkraftverlaufs A N: [m] Nachlassfläche; A N = 0,5 [ρ(0) - ρ(0) ] x Bl E p: [N/mm²] E-Modul des Spannstahls E c: [N/mm²] E-Modul des Betons A p: [m²] Spannstahlquerschnittsfläche A c: [m²] Betonquerschnittsfläche 14.2 Einflusslänge des Keilschlupfs 1. Berechnung der Keilschlupffläche: A Keil = L K 1 P 0 Ep Ap + 1 Ec Ac [m] 2. Überprüfen an welcher Stelle der Blockierpunkt liegt A Umlenkstelle1 = (1 ρ Umlenkstelle1 ) x Umlenkstelle1 A Keil A Umlenkstelle Blockierpunkt vor Umlenkpunkt ( x Bl x Umlenkstelle ) A Keil > A Umlenkstelle Blockierpunkt nach 1 Umlenkpunkt ( x Bl > x Umlenkstelle ) P 0: [MN] L k: [m] Einflusslänge des Keilschlupfs L K: [m] Keilschlupf; aus Zulassung L: [m] Abstand zwischen ρ = 1,0 und ρ L ρ L: [ ] Vorspanngrad an der Stelle L E p: [N/mm²] E-Modul des Spannstahls E c: [N/mm²] E-Modul des Betons A p: [m²] Spannstahlquerschnittsfläche A c: [m²] Betonquerschnittsfläche an der Spannstelle 3.1 Blockierpunkt vor Umlenkpunkt: L K = L k L 1 P ρ L Ep Ap + 1 Ec Ac ρ Lk = 1,0 m L k [ ] [m] m: [ ] Steigung des Spannkraftverlaufes im Bereich des Blockierpunktes; m = 1,0 - ρ x1 x 1 Abbildung 6: Spannkraftverlauf ohne Umlenkstellen (z.b. Einfeldträger) 3.2: 1 Blockierpunkt nach einem Umlenkpunkt: L k = A Keil+ ρ x1-1 x 1 + m x 1 2 m [m] (Herleitung: siehe Anhang) m: [ ] Steigung des Spannkraftverlaufes im Bereich des Blockierpunktes; m = ρ x1 - ρ x2 x 2 - x 1 ρ Lk = ρ x1 m (L k x 1 ) [ ] Abbildung 7: Spannkraftverlauf mit Umlenkstellen (z.b. bei Zweifeldträger) Blockierpunkt nach mehreren Umlenkpunkten: Iteratives Vorgehen 12

13 15 Ermittlung von Spannungen im Zustand Sofortiger Verbund Spannungen infolge Eigengewicht σ co,g = N A ci ± M g 100 I ci (h e ci ) [KN/cm²] σ cu,g = N A ci ± M g 100 I ci e ci [KN/cm²] σ cp,g = N A ci ± M g 100 I ci σ p,g = α p σ cp,g [KN/cm²] (e ci e p ) [KN/cm²] Spannungen infolge Vorspannung σ co,p = - P m0 A ci ± M p 100 I ci σ cu,p = - P m0 A ci ± M p 100 I ci σ cp,p = - P m0 A ci ± M p 100 I ci (h e ci ) [KN/cm²] e ci [KN/cm²] (e ci - e p ) [KN/cm²] α p = E p E cm E p: [N/mm²] E-Modul des Spannstahls i.d.r. E p = N/mm² E cm: [N/mm²] E-Modul des Betons z cip: [m] Abstand zwischen Schwerlinie des ideellen Querschnitts und des Spannglieds; z cip = e ci - e p Spannung im Spannstahl nach Lösen der Verankerung σ pm0 = σ p0 - σ cp,p α p [KN/cm²] oder: σ pm0 = P 0 A p (1 α i ) [kn/cm²] α i: [ ] Steifigkeitsbeiwert; α i = α A p 1+ A 2 ci z cip A ci I ci Spannungen infolge Ausbaulast σ co, g = N A ci ± M g 100 I ci (h e ci ) [KN/cm²] σ cu, g = N A ci ± M g 100 I ci e ci [KN/cm²] σ cp, g = N A ci ± M g 100 I ci σ p, g = α p σ cp, g [KN/cm²] (e ci e p ) [KN/cm²] Spannungen infolge Verkehrslast σ co,q = N A ci ± M q 100 I ci (h e ci ) [KN/cm²] σ cu,q = N A ci ± M q 100 I ci e ci [KN/cm²] σ cp,q = N A ci ± M q 100 I ci σ p,q = α p σ cp,q [KN/cm²] (e ci e p ) [KN/cm²] 13

14 15.2 Nachträglicher Verbund Spannungen infolge Eigengewicht σ co,g = N A n ± M g 100 I cn (h e cn ) [kn/cm²] σ cu,g = N A n ± M g 100 I cn e cn [kn/cm²] σ cp,g = N A n ± M g 100 I cn (e cn e p ) [kn/cm²] σ p,g = 0 [kn/cm²] wenn das Eigengewicht nicht aktiviert wird: σ p,g = α p σ cp,g [kn/cm²] Da das Eigengewicht während des Spannens aktiviert wird, wirkt dieses auf den Nettoquerschnitt Spannungen infolge Vorspannung σ co,p = - P m0 A cn ± M p 100 I cn σ cu,p = - P m0 A cn ± M p 100 I cn σ cp,p = - P m0 A cn ± M p 100 I cn σ p,p = σ pm0 [kn/cm²] (h e cn ) [kn/cm²] e cn [kn/cm²] (e cn - e p ) [kn/cm²] Spannungen infolge Ausbaulast σ co, g = N A ci ± M g 100 I ci (h e ci ) [kn/cm²] σ cu, g = N A ci ± M g 100 I ci e ci [kn/cm²] σ cp, g = N A ci ± M g 100 I ci σ p, g = α p σ cp, g [kn/cm²] (e ci e p ) [kn/cm²] Spannungen infolge Verkehrslast σ co,q = N A ci ± M q 100 I ci (h e ci ) [kn/cm²] σ cu,q = N A ci ± M q 100 I ci e ci [kn/cm²] α p = E p E cm E p: [N/mm²] E-Modul des Spannstahls i.d.r. E p = N/mm² E cm: [N/mm²] E-Modul des Betons σ cp,q = N A ci ± M q 100 I ci σ p,q = α p σ cp,q [kn/cm²] (e ci e p ) [kn/cm²] Die Verkehrslast wird nach dem Spannen und dem Verpressen der Hüllrohre aufgebracht und wirkt somit auf den ideellen Querschnitt. 14

15 15.3 Verbundlose Vorspannung Spannungen infolge Eigengewicht σ co,g = N A cn ± M g 100 I cn (h e cn ) [kn/cm²] σ cu,g = N A cn ± M g 100 I cn e cn [kn/cm²] keine Zusatzspannungen Spannungen infolge Vorspannung σ co,p = - P m0 A cn ± M p 100 I cn σ cu,p = - P m0 A cn ± M p 100 I cn σ p,p = σ pm0 [KN/cm²] (h e c ) [kn/cm²] e c [kn/cm²] Spannungen infolge Ausbaulast σ co, g = N A cn ± M g 100 I cn σ cu, g = N A cn ± M g 100 I cn keine Zusatzspannungen (h e cn ) [kn/cm²] e cn [kn/cm²] Spannungen infolge Verkehrslast σ co,q = N A cn ± M q 100 I cn (h e cn ) [kn/cm²] σ cu,q = N A cn ± M q 100 I cn e cn [kn/cm²] keine Zusatzspannungen 15

16 16 Ermittlung von Spannungen im Zustand Term 1 bei Biegung mit Normalkraft σ c2 = - N Ed S i,nl x [kn/cm²] σ s2 = - α e N Ed S i,nl (x d 2 ) [kn/cm²] σ s1 = α e N Ed S i,nl (d x ) [kn/cm²] N Ed: [kn] einwirkende Normalkraft S i,nl: [cm³] statisches Moment; siehe Punkt 9 z : [cm] innerer Hebelarm; z = d x 3 x : [cm] Druckzonenhöhe; siehe Punkt 9 A s1: [cm²] Querschnittsfläche der Biegezugbewehrung d: [cm] statische Nutzhöhe d 2: [cm] Abstand zwischen Druckbewehrung und Oberkante des Querschnittes α e: [ ] Verhältnis der E-Moduli; α e = E s/e c E s: [N/mm²] E-Modul des Betonstahls; E s = E c: [N/mm²] E-Modul des Beton 16.2 Term 2 bei Bauteilen mit im Verbund liegenden Spanngliedern (DIN EN /NA ; NDP zu 7.3.3(2)) Wirksame Betonzugfestigkeit f ct,eff früher Zwang: f ct,eff = 0,5 f ctm [N/mm²] später Zwang: f ctm < 3,0 f ct,eff = 3,0 [N/mm²] f ctm > 3,0 f ct,eff = f ctm [N/mm²] Bewehrungsgrade ρ tot = A s+ A p A c,eff [ ] ρ ρ,eff = A s+ ξ 1 2 Ap A c,eff [ ] mit: ξ 1 = ξ s p [ ] f ctm: [N/mm²] Mittelwert der zentrischen Betonzugfestigkeit; siehe EC 2 Tab. 3.1 früher Zwang: (3-5d) - z.b. durch abfließen der Hydratationswärme später Zwang: (nach 28d) - z.b. aus Last A c,eff: [mm²] Wirkungsbereich der Bewehrung; A c,eff = 2,5 d 1 b (gilt allgemein) A p: [mm²] Querschnittsfläche der Spannglieder, die innerhalb h c,eff = 2,5 d 1 liegen A s: [mm²] Querschnittsfläche der Betonstahlbewehrung ξ: [ ] Verhältnis der mittleren Verbundfestigkeit von Spannstahl und Betonstahl; siehe Abbildung 8; Bei Betondruckfestigkeiten C 70/85 sind die Werte unter sofortiger Verbund zu halbieren. s: [mm] größter Stabdurchmesser des Betonstahls; wenn A s = 0: ξ 1 = ξ p: [mm] äquivalenter Durchmesser des Spannstahls Bündelspannglieder: p = 1,6 A p (A p einer Litze) Einzellitzen mit 7 Drähten: p = 1,75 wire Einzellitzen mit 3 Drähten: p = 1,20 wire Term 2 σ s = σ s,ii + 0,4 f ct,eff 1 ρ ρ,eff - 1 ρ tot [N/mm²] Abbildung 8: Verhältnis ξ [3] f ct,eff: [N/mm²] wirksame Betonzugfestigkeit σ s, : [N/mm²] 16

17 17 Nachweis der zulässigen Betonspannungen 17.1 Allgemein Nachweis erforderlich um Kriechverformungen zu begrenzen: σ c 0,45 f ck in der quasi-ständigen EWK Nachweis für nicht vorgespannte Tragwerke des üblichen Hochbaus i.d.r. nicht erforderlich (s. EC2-1-1/NA, 7.1) 17.2 Quasi-ständige Kombination maßgebend ist der Lastfall, bei dem die größte Druckspannung an einem der Querschnittsränder entsteht. Am besten beide Ränder jeweils zum Zeitpunkt t=0 und t= untersuchen. Querschnittsrand 1: (Zug infolge Vorspannung) t = 0: σ c1,perm = - σ c1,g + r inf σ c1,p [kn/cm²] t = : maßgebend σ c1,perm = - σ c1,g - Ψ 2 σ c1,q + r inf α csr σ c1,p [kn/cm²] Querschnittsrand 2: (Druck infolge Vorspannung) t = 0: maßgebend σ c2,perm = + σ c2,g - r sup σ c2,p [kn/cm²] t = : σ c2,perm = + σ c2,g + Ψ 2 σ c2,q - r sup α csr σ c2,p [kn/cm²] Nachweis: σ c,perm! 0,45 f ck kein nichtlineares Kriechen r sup: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 1,1 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 1,05 r inf: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 0,9 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 0,95 α csr: [ ] Verlust aus Kriechen, Schwinden und Relaxation; i.d.r.: α csr = 0.85 f ck: [N/mm²] charakteristische Zylinderdruckfestigkeit von Beton 17

18 18 Nachweis der zulässigen Spannstahlspannungen 18.1 Allgemein Zu führende Nachweise: σ p,perm 0,65 f pk (s. DIN EN ; 7.2 (NA.5)) σ p,rare min { 0,9 f p0,1k ; 0,8 f pk } (s. DIN EN ; 7.2 (NA.6)) 18.2 Quasi-ständige Kombination (s.din EN , 7.2(5)) σ pm,perm, = α csr P 0 A p + σ p,g + Ψ 2 σ p,q [kn/cm²] Wenn das Eigengewicht beim anspannen bereits aktiviert wurde, (Träger hebt sich von der Schalung) werden die Spannungen aus Eigengewicht nicht berücksichtigt. f pk: [N/mm²] charakteristischer Wert der Zugfestigkeit des Spannstahls St1570/1770: f pk = 1770 N/mm² Nur bei Vorspannung mit Verbund Nachweis: σ pm,perm, 0,65 f pk 18.3 Seltene Kombination (s. DIN EN ; 7.2 (NA.6)) σ p,rare,0 = P m0 A p + σ p,g [kn/cm²] σ p,rare, = α csr P m0 + σ A p,g + σ p,q [kn/cm²] p Wenn das Eigengewicht beim anspannen bereits aktiviert wurde, (Träger hebt sich von der Schalung) werden die Spannungen aus Eigengewicht nicht berücksichtigt. f pk: [N/mm²] charakteristischer Wert der Zugfestigkeit des Spannstahls St1570/1770: f pk = 1770 N/mm² f p0,1k: [N/mm²] charakteristischer Wert der 0,1 %-Dehngrenze des Spannstahls St1570/1770: f p0,1k = 1500 N/mm² Nur bei Vorspannung mit Verbund Nachweis: σ p,rare min 0,8 f pk 0,9 f p0,1k 18.4 Zulässige Spannstahlspannung nach Lösen der Verankerung (s.din EN :2011; (2)) σ p0 = min 0,75 f pk [N/mm²] 0,85 f p0,1k [N/mm²] Zur Vordimensionierung f pk: [N/mm²] charakteristischer Wert der Zugfestigkeit des Spannstahls aus Allgemeiner bauaufsichtlicher Zulassung Für ST1570/1770 z.b.: f pk = 1770 N/mm² f p0,1k: [N/mm²] charakteristischer Wert der 0,1 %-Dehngrenze des Spannstahls aus Allgemeiner bauaufsichtlicher Zulassung Für ST1570/1770 z.b.: f p0,1k = 1500 N/mm² 18.5 Zulässige Spannstahlspannung während des Spannvorgangs (s.din EN :2011; (1)) σ p0 = min 0,8 f pk [N/mm²] 0,9 f p0,1k [N/mm²] Wenn Übergespannt wird: (s. DIN EN : ; (2)) σ p0 = 0,95 f p0,1k [N/mm²] f pk: [N/mm²] charakteristischer Wert der Zugfestigkeit des Spannstahls aus Allgemeiner bauaufsichtlicher Zulassung Für ST1570/1770 z.b.: f pk = 1770 N/mm² f p0,1k: [N/mm²] charakteristischer Wert der 0,1 %-Dehngrenze des Spannstahls aus Allgemeiner bauaufsichtlicher Zulassung Für ST1570/1770 z.b.: f p0,1k = 1500 N/mm² 18

19 19 Nachweis der Dekompression 19.1 Quasi-ständige Kombination Durch den Dekompressionsnachweis sollen Betonrisse im Bereich des Spanngliedes verhindert werden, da diese zu Korrosions- oder Ermüdungsproblemen führen können. Nach EC2/NA; NCI zu 7.3.2(5): genauerer Nachweis bei dem das Spannglied im Druckbereich = max {h/10; 100mm zu beiden Seiten} (Zustand 2) liegen muss. Nach DAfStb Heft 600: Vereinfachter NW bei dem dem der Betonquerschnitt im Zustand 1 vollständig unter Druckspannungen stehen muss. Es müssen beide Ränder jeweils zum Zeitpunkt t = 0 und t = untersucht werden. Die Vorspannung wirkt ungünstig wenn diese am betrachteten Rand Zugspannungen erzeugt. r sup: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 1,1 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 1,05 r inf: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r inf = 0,9 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r inf = 0,95 α csr: [ ] Verlust aus Kriechen, Schwinden und Relaxation; i.d.r.: α csr = 0.85 f ck: [N/mm²] charakteristische Zylinderdruckfestigkeit von Beton Querschnittsrand 1: (Druck infolge Vorspannung) t = 0: σ c1,perm = + σ c1,g - r inf σ c1,p [kn/cm²] t = : σ c1,perm = + σ c1,g + Ψ 2 σ c1,q - r inf α csr σ c1,p [kn/cm²] Querschnittsrand 2: (Zug infolge Vorspannung) t = 0: σ c2,perm = - σ c2,g + r sup σ c2,p [kn/cm²] t = : σ c2,perm = - σ c2,g - Ψ 2 σ c2,q + r sup α csr σ c2,p [kn/cm²] 19

20 20 Beschränkung der Rissbreite 20.1 Hinweise Für biegebeanspruchte Platten der Expositionsklasse XC1 ist der Nachweis nicht erforderlich, wenn die Gesamtdicke 20cm nicht überschreitet (vgl. EC2-1-1, 7.3.3) Der Nachweis ist nicht erforderlich wenn der Querschnitt unter der maßgebenden Kombination im Zustand 1 bleibt. (vgl. EC2/NA; Tabelle 7.1DE) 20.2 Überprüfung ob Rissbreitennachweis erforderlich ist Nachträglicher & sofortiger Verbund: (i.d.r.: häufige EWK) Querschnittsrand 1: (Druck infolge Vorspannung) t = 0: σ c1,freq = σ c1,g - r inf σ c1,p [N/mm²] t = : maßgebend σ c1,freq = σ c1,g + ψ 1,1 σ c1,q1 - r inf α csr σ c1,p [N/mm²] Querschnittsrand 2: (Zug infolge Vorspannung) t = 0: maßgebend σ c2,freq = - σ c2,g + r sup σ c2,p [N/mm²] t = : σ c2,freq = - σ c2,g - ψ 1,1 σ c2,q1 + r sup α csr σ c2,p [N/mm²] r sup: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 1,1 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 1,05 r inf: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r inf = 0,9 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r inf = 0,95 Nachweis: σ c,freq f ctm kein NW erf Ohne Verbund: (quasi ständige EWK) Querschnittsrand 1: (Druck infolge Vorspannung) t = 0: σ c1,perm = σ c1,g - r inf σ c1,p [N/mm²] t = : σ c1,perm = σ c1,g + Ψ 2 σ c1,q - r inf α csr σ c1,p [N/mm²] r sup: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 1,1 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 1,05 r inf: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r rinf = 0,9 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r inf = 0,95 Querschnittsrand 2: (Zug infolge Vorspannung) t = 0: σ c2,perm = - σ c1,g + r sup σ c2,p [N/mm²] t = : σ c2,perm = - σ c1,g - Ψ 2 σ c2,q + r sup α csr σ c2,p [N/mm²] Nachweis: σ c,perm f ctm kein NW erf Grenzwert für die rechnerische Rissbreite Tabelle 2: maximale Rissbreite in mm [1] 20

21 21 Rissbreitennachweis mit direkter Berechnung 21.1 Wirkungsbereich der Bewehrung h c,ef = min 2,5 d 1 [cm] A c,eff = h c,ef b eff [cm²] h - x [cm] (Obergrenze für biegebanspruchte Bauteile) 3 h [cm] (Obergrenze für zentrisch gezogene Bauteile) 2 2,5 d 1 gilt nur für dünne Bauteile (h/d 1 10 bei Biegung; h/d 1 5 bei zentrischem Zwang) und konzentrierte Bewehrungsanordnung. Bei dicken Bauteilen kann h c,ef bis auf 5 d 1 anwachsen. d 1: [cm] Abstand zwischen Betonrand und Schwerpunkt der Zugbewehrung bei zusätzlichem Spannstahl: d 1m h c,ef: [cm] b eff: [cm] effektive Querschnittsbreite bei Plattenbalken mit negativem Moment: b eff = b eff/ ,5 d 1 (nach DIN 1045 sichere Seite) nach EC2: b eff = Breite des Verlegebereichs der Bewehrung (c + s) bei Plattenbalken mit positivem Moment: b eff = b w c: [cm] Betondeckung s: [cm] Stabdurchmesser x : [cm] Druckzonenhöhe im Zustand 2; siehe 9 h: [cm] Querschnittshöhe; bei PB: gesamte Querschnittshöhe 21.2 Effektiver Bewehrungsgrad ρ ρ,eff = A s+ ξ 1 2 Ap A c,eff [ ] mit: ξ 1 = ξ s p [ ] Abbildung 9: Vergrößerung von h c,ef [1] A s: [cm²] vorhandene Zugbewehrung (auch bei zentrischem Zug nur A s1) A c,eff: [cm²] Wirkungsbereich der Bewehrung; siehe oben ξ: [ ] Verhältnis der mittleren Verbundfestigkeit von Spannstahl und Betonstahl; siehe Abbildung 10; Bei Betondruckfestigkeiten C 70/85 sind die Werte sofortiger Verbund zu halbieren. s: [mm] größter Stabdurchmesser des Betonstahls; wenn A s = 0: ξ 1 = ξ p: [mm] äquivalenter Durchmesser des Spannstahls Bündelspannglieder: p = 1,6 A p [mm] Einzellitzen mit 7 Drähten: p = 1,75 wire Einzellitzen mit 3 Drähten: p = 1,20 wire unter 21.3 Wirksame Betonzugfestigkeit f ct,eff früher Zwang: f ct,eff = 0,5 f ctm [N/mm²] später Zwang: f ctm > 3,0 f ct,eff = f ctm [N/mm²] f ctm < 3,0 f ct,eff = 3,0 [N/mm²] 21.4 Differenz der mittleren Dehnungen ε sm ε cm = max σ s f - k t ct,eff (1 + α e ρ ρ,eff ) [ ] E s ρ ρ,eff E s 0,6 σ s E s [ ] Nach DIN EN ; NA7.3.4(2): wirksame Betonzugfestigkeit bei Berechnung von ε sm ε cm ohne Ansatz einer Mindestbetonzugfestigkeit! Abbildung 10: Verhältnis ξ [3] f ctm: [N/mm²] Mittelwert der zentrischen Betonzugfestigkeit; siehe Tab. 3.1 früher Zwang: (3-5d) - z.b. durch abfließen der Hydratationswärme Kann ausgeschloßen werden, wenn es innerhalb der ersten 28 Tage zu keiner Rissbildung kommt. (z.b. durch Nachbehandlung usw.) später Zwang: (nach 28d) - z.b. aus Last σ s: [N/mm²] Spannung in der Zugbewehrung im Zustand 2 für die quasi ständige EWK; siehe Punkt 16 k t: [ ] Völligkeitsbeiwert der Spannungsverteilung zwischen den Rissen. k t = 0,6 bei kurzzeitiger Einwirkung k t = 0,4 bei langfristiger Einwirkung (Regelfall) f ct,eff: [N/mm²] wirksame Betonzugfestigkeit; siehe oben ρ ρ,eff: [ ] effektiver Bewehrungsgrad; siehe oben α e: [ ] Verhältnis der E-Moduli; α e = E s/e c E s: [N/mm²] E-Modul des Betonstahls; E s = E c: [N/mm²] E-Modul des Beton 21

22 21.5 Maximaler Rissabstand für s 5 c + /2: (Regelfall) s r,max = min für s > 5 c + /2: s r,max = 1,3 (h x) 21.6 Rissbreite 3,6 ρ ρ,eff [mm] σ s 3,6 f ct,eff [mm] w k = s r,max (ε sm ε cm ) [mm] 21.7 Nachweis s: [mm] Abstand der Stäbe zueinander c: [mm] Betondeckung bezogen auf die Längsbewehrung : [mm] Durchmesser der vorhandenen Bewehrung ρ ρ,eff: [ ] effektiver Bewehrungsgrad; siehe oben σ s: [N/mm²] Spannung in der Zugbewehrung im Zustand 2 unter der quasi ständigen EWK; siehe Punkt 16 f ct,eff: [N/mm²] wirksame Betonzugfestigkeit; siehe oben w k zul. w k 22

23 22 Rissbreitennachweis ohne direkte Berechnung 22.1 Verfahren über Grenzdurchmesser (mit Tabelle NA 7.2) Grenzdurchmesser σ s: [N/mm²] Spannung in der Zugbewehrung im Zustand 2 für die maßgebende EWK maßgebende EWK: Stahlbetonbau: quasi-ständige EWK Vorspannung ohne Verbund: quasi-ständige EWK Vorspannung mit nachträglichem Verbund: häufige EWK Vorspannung mit sofortigem Verb.: i.d.r. häufige EWK w k: [mm] Rissbreite nach 20.3 Zwischenwerte dürfen linear interpoliert werden Tabelle 3: Tabelle NA.7.2 [1] Wirksame Betonzugfestigkeit f ct,eff früher Zwang: f ct,eff = 0,5 f ctm [N/mm²] später Zwang: f ctm < 3,0 f ct,eff = 3,0 [N/mm²] f ctm > 3,0 f ct,eff = f ctm [N/mm²] Maximal zulässiger Durchmesser lim s = max s * Nachweis s * f ct,eff f ct,0 σ s A s 4 h - d b f ct,0 [mm] [mm] f ctm: [N/mm²] Mittelwert der zentrischen Betonzugfestigkeit; siehe Tab. 3.1 früher Zwang: (3-5d) - z.b. durch abfließen der Hydratationswärme später Zwang: (nach 28d) - z.b. aus Last lim s: maximal zulässiger Durchmesser der Bewehrungsstäbe s * : [mm] Grenzdurchmesser nach Tabelle NA.7.2; siehe oben σ s: [N/mm²] Spannung in der Zugbewehrung im Zustand 2 für die quasi ständige EWK; siehe Punkt 16 Bei Bauteilen mit innerer Zwangsbeanspruchung gilt die bei der Berechnung der Mindestbewehrung ermittelte Stahlspannung σ s A s: [cm²] Querschnitt der vorhandenen Bewehrung h: [cm] Bauteildicke b: [cm] Breite der Zugzone d: [cm] statische Nutzhöhe f ct,0: [N/mm²] f ct,0 = 2,9 f ct,eff: [N/mm²] wirksame Zugfestigkeit; siehe oben lim s vorh. s 22.2 Verfahren über Höchstwerte der Stababstände (nur bei Lastbeanspruchung) Höchstwert des Stababstandes σ s: [N/mm²] Spannung in der Zugbewehrung im Zustand 2 für die maßgebende EWK maßgebende EWK: Stahlbetonbau: quasi-ständige EWK Vorspannung ohne Verbund: quasi-ständige EWK Vorspannung mit nachträglichem Verbund: häufige EWK Vorspannung mit sofortigem Verb.: i.d.r. häufige EWK s: [mm] Abstand zwischen den einzelnen Zugbewehrungsstäben Tabelle 4: Höchstwerte der Stababstände nach 7.3N [3] Nachweis max s vorh. s Zwischenwerte dürfen linear interpoliert werden. s: [mm] Abstand zwischen den einzelnen Zugbewehrungsstäben 23

24 23 Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite 23.1 Hinweise Notwendig bei Bauteilen, die durch Zugsp. aus indirekten Einwirkungen (Zwang) beansprucht werden. Die Mindestbewehrung ist an dem maßgebenden Querschnittsrand einzulegen. Maßgebend ist der Querschnittsrand, der im ungerissenen Zustand zugbeansprucht ist. Um breite Sammelrisse zu vermeiden, soll die Bewehrung über die Zugzone verteilt werden. Bei gegliederten Querschnitten (z.b. Plattenbalken) ist die Mindestbewehrung für jeden Teilquerschnitt einzeln nachzuweisen! Die Mindestbewehrung wird aus dem Gleichgewicht der Betonzugkraft unmittlelbar vor der Rissbildung und der Zugkraft in der Bewehrung ermittelt. (s. DIN EN : ; 7.3.2(1)) A smin σ s = k c k f ct,eff A ct Der Nachweis ist ähnlich dem Nachweis der Mindestbewehrung zur Einhaltung des Duktilitätskriteriums. * Unterschiede: σ s aus s anstelle σ s = 500N/mm² und z = 0,8 d anstelle z = 0,9 d 23.2 Überprüfung ob Mindestbewehrung für Zwang erforderlich ist Spannbeton Hinweise In Bauteilen mit Vorspannung mit Verbund ist keine Mindestbewehrung erforderlich wenn am Querschnittsrand in der seltenen EWK Betondruckspannungen vorhanden sind, die betragsmäßig größer als 1,0 N/mm² sind. (DIN EN /NA: ; NDP zu 7.3.2(4)) Spannung am Querschnittsrand Querschnittsrand 1: (Druck infolge Vorspannung) t= 0: σ c1rare = σ c1,g - r inf σ c1,p [N/mm²] t = : σ c1rare = σ c1,g + σ c1,q - r inf α csr σ c1,p [N/mm²] Querschnittsrand 2: (Zug infolge Vorspannung) t= 0: σ c2,rare = - σ c2,g + r sup σ c2,p [N/mm²] t = : σ c2,rare = - σ c2,g - σ c2,q + r sup α csr σ c2,p [N/mm²] Nachweis Zugspannungen: Mindestbewehrung erforderlich Druckspannungen: σ c,rare 1,0 N/mm² Mindestbewehrung erforderlich Stahlbeton (Mindesbewehrung infolge Hydratation) Dehnung infolge Temperatur ε T = T α T [ ] Wirksame Betonzugfestigkeit f ct,eff früher Zwang: f ct,eff = 0,5 f ctm [N/mm²] später Zwang: f ctm < 3,0 f ct,eff = 3,0 [N/mm²] f ctm > 3,0 f ct,eff = f ctm [N/mm²] Rissdehnung ε c = f ct,eff E cm [ ] Nachweis ε T ε c Risse Mindestbewehrung erf.! r sup: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 1,1 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 1,05 r inf: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r sup = 0,9 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r sup = 0,95 T: [K] Temperaturdifferenz des Bauteils zwischen Ende der Hydration und abgekühltem Zustand α T: [1/K] Wärmeausdehnungskoeffizient des Bauteils; für Stahlbeton: αt 10-5 f ctm: [N/mm²] Mittelwert der zentrischen Betonzugfestigkeit; siehe Tab. 3.1 früher Zwang: (3-5d) - z.b. durch abfließen der Hydratationswärme Kann ausgeschloßen werden, wenn es innerhalb der ersten 28 Tage zu keiner Rissbildung kommt. (z.b. durch Nachbehandlung usw.) später Zwang: (nach 28d) - z.b. aus Last f ct,eff: [N/mm²] wirksame Betonzugfestigkeit; siehe oben E cm: [N/mm²] E-Modul des Beton 24

25 23.3 Ermittlung der Mindestbewehrung Wirksame Betonzugfestigkeit f ct,eff früher Zwang: f ct,eff = 0,5 f ctm [N/mm²] später Zwang: f ctm < 3,0 f ct,eff = 3,0 [N/mm²] f ctm > 3,0 f ct,eff = f ctm [N/mm²] Fläche der Betonzugzone im Zustand 1 und Betonspannungen Rechteckquerschnitt: A ct = 0,5 b h [cm²] (je Bauteilseite) auch bei reiner Zugbelastung wird mit halber Querschnittshöhe gerechnet, da A ct dann auf eine Bewehrungslage bezogen ist Gegliederte Querschnitte: f ctm: [N/mm²] Mittelwert der zentrischen Betonzugfestigkeit; siehe Tab. 3.1 früher Zwang: (3-5d) - z.b. durch abfließen der Hydratationswärme Kann ausgeschloßen werden, wenn es innerhalb der ersten 28 Tage zu kein Rissbildung kommt. (z.b. durch Nachbehandlung usw.) später Zwang: (nach 28d) - z.b. aus Last A ct: [cm²] Zugzone im Zustand 1 (unmittelbar vor der Erstrissbildung) bei gegliederten Querschnitten muss die Mindestbew. Für die einzelnen Teilquerschnitte separat bestimmt werden. Jeweils an einem Rand muss gelten: σ c = f ct,eff Plattenbalken (Zug oben): t = 0: σ c,m = r inf P m0 A c falls keine Normalkraft vorhanden ist gilt: σ c,m = 0 t = : σ c,m = r inf P m A c falls keine Normalkraft vorhanden ist gilt: σ c,m = 0 es wird immer mit dem Wert r inf gerechnet, da daraus das größtes A s,min resultiert. h t = f ct,eff z so f ct,eff + σ c,m [cm] A ct,web = b w h t [cm²] A ct,f = (b eff b w ) h cf [cm²] (für NL im Steg) σ c,web = f ct,eff h ges 2 h t - f ct,eff [N/mm²] σ c,f = f ct,eff 1 - h cf 2 h t [N/mm²] Plattenbalken (Zug unten): t = 0: σ c,m = r inf P m0 A c falls keine Normalkraft vorhanden ist gilt: σ c,m = 0 Abbildung 11: Spannungsverteilung eines Plattenbalken oberer Querschnittsrand zugbeansprucht r inf: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r inf = 0,9 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r inf = 0,95 h cf: [cm] Plattendicke t = : σ c,m = r inf P m A c falls keine Normalkraft vorhanden ist gilt: σ c,m = 0 es wird immer mit dem Wert r inf gerechnet, da daraus das größtes A s,min resultiert. h t = f ct,eff z su f ct,eff + σ c,m [cm] Abbildung 12: Spannungsverteilung eines Plattenbalken - unterer Querschnittsrand zugbeansprucht A ct = b w h t [cm²] σ c,web = f ct,eff h ges 2 h t - f ct,eff [N/mm²] r inf: [ ] Wert zur Berücksichtigung der Streuung der Vorspannkraft Nachträglicher Verbund: r inf = 0,9 Sofortiger Verbund/ Kein Verbund: r inf = 0,

26 Faktor k c bei reinem Zug: k c = 1,0 bei Biegung und Biegung mit Normalkraft: Rechteckquerschnitt, Steg von Hohlkasten, Steg eines T-Querschnitts: k c = 0,4 1 - σ c k 1 h h f ct,eff 1 wenn k c negativ keine Mindestbew. erf. Gurt von Hohlkasten, Gurt eines T- Querschnitts: F k c = 0,9 cr 0,5 A ct f ct,eff Herleitung & Beispiel zu T-Querschnitt: siehe [4] k c: [ ] Faktor zu Erfassung der Spannungsverteilung vor Erstrissbildung σ c: [N/mm²] Betonspannung in Höhe der Schwerlinie des Teilquerschnitts im Zustand 1. (Druck positiv) Bei Rechteckquerschnitt: σ c = N Ed/ (b h) Bei Plattenbalken: σ c = σ c,web bzw. σ c,f N Ed: [N] Normalkraft im GZG (Druckkraft positiv) h: [m] Höhe des Querschnitts/ Teilquerschnitts h*: [m] h < 1m: h* = h h 1m: h* = 1 k 1: [ ] Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkung von Normalkräften auf den Spannungsverlauf σ c Druckspannung: k 1 = 1,5 σ c Zugspannung: k 1 = 2 h* / (3 h) F cr: [N] Zugkraft im Gurt inf. Rissmoment; F cr = A ct σ c,x σ c,x: [N/mm²] Betonspannung im Schwerpunkt der Fläche A ct A ct: [mm²] Zugzone im Zustand 1 (unmittelbar vor der Erstrissbildung) Faktor k äußerer Zwang: k = 1,0 innerer Zwang: h 30cm k = 0,8 30cm < h < 80cm Interp. h 80cm k = 0,5 Interpolation: k = 0,98 0,6 h Grenzdurchmesser Bei Zwangsbeanspruchung aus zentrischem Zug: * s = min s 2,9 f ct,eff [mm] s 2,9 f ct,eff 8 ( h - d ) [mm] k c k h cr Bei Zwangsbeanspruchung aus Biegung: * s = min s 2,9 [mm] f ct,eff s 2,9 4 ( h - d ) [mm] f ct,eff k c k h cr Lastbeanspruchung: * s = min s 2,9 [mm] f ct,eff s 4 ( h - d ) b 2,9 σ *1 [mm] s A s reiner Zug: z.b. durch abfließen der Hydratationswärme k: [ ] Beiwert zur Berücksichtugung von nichtlinear verteilten Eigenspannungen. äußerer Zwang: nur möglich wenn Bauteil statisch unbestimmt gelagert ist. - Temperaturänderung - Stützensenkung innerer Zwang: - durch Schwinden - durch abfließen der Hydratationswärme h ist der kleinere Wert von b und h!! h in m!! s: [mm] vorhandener Stabdurchmesser. (siehe Hinweise) f ct,eff: [N/mm²] wirksame Betonzugfestigkeit; siehe oben h cr: [cm] Höhe der Zugzone, unmittelbar nach Rissbildung senkrecht zur Symmetrieebene des Querschnitts bei Biegung: h cr = h/2 bei zentrischem Zug: h cr = h h: [cm] Gesamthöhe des Querschnittes zur Symmetrieachse der Bewehrung d: [cm] statische Nutzhöhe k: [ ] siehe oben σ s: [N/mm²] Betonstahlspannung im Zustand 2 A s: [cm²] vorhandene Zugbewehrung zentrischer Zug: z.b. durch abfließen der Hydratationswärme *1 da σ s unbekannt ist, kann auf der sicheren Seite mit dem ersten Wert weitergerechnet werden. Hinweise: Auf der sicheren Seite kann stets mit dem ersten Wert gerechnet werden. Wenn obere Bewehrung untere Bewehrung seperater Nachweis für oben und unten erforderlich (2 verschiedene s * bzw. σs ) Alternativ nach DIN EN ; 7.3.3(NA.7): Bei unterschiedlichen Durchmessern in einem Querschnitt darf mit einem mittleren Stabdurchmesser gerechnet werden. m = σ i 2 σ i Bei Stahlbetonmatten mit Doppelstäben: s = eines Einzelstabes Zulässige Spannung in der Bewehrung (damit Risse nicht zu groß werden) σ s = w k 3, (1,5) *1 s * [N/mm²] w k: [mm] s * : [mm] *1: Bei Kurzzeitbeanspruchung darf s * mit dem Faktor 1,5 erhöht werden. Im DVB Merkblatt Rissbildung wird von dieser Erhöhung allerdings abgeraten. 26

27 Mindestquerschnittsfläche innerhalb der Zugzone Stahlbetonbau A s,min(o/u) = k c k f ct,eff A ct σ s Spannbetonbau [cm²] f ct,eff: [N/mm²] σ s: [N/mm²] A ct: [cm²] Spannglieder im Verbund in der Zugzone können bis zu einem Abstand 150 mm von der Mitte des Spannglieds zur Begrenzung der Rissbreite beitragen. ξ 1 = ξ s p [ ] A s,min(o/u) = k c k f ct,eff A ct σ s ξ 1 A p σ p [cm²] A p : [cm²] Querschnittsfläche der in A c,eff liegenden Spannglieder A c,eff: [cm²] Wirkungsbereich der Bewehrung; A c,eff = h c,eff b ξ: [ ] Verhältnis der mittleren Verbundfestigkeit von Spannstahl und Betonstahl; siehe Abbildung 13; Bei Betondruckfestigkeiten C 70/85 sind die Werte unter sofortiger Verbund zu halbieren. s: [mm] größter Stabdurchmesser des Betonstahls; wenn A s = 0: ξ 1 = ξ p: [mm] äquivalenter Durchmesser des Spannstahls Bündelspannglieder: p = 1,6 A p Einzellitzen mit 7 Drähten: p = 1,75 wire ( wire = p,nom/3) Einzellitzen mit 3 Drähten: p = 1,20 wire σ p: [N/mm²] Spannungsänderung in den Spanngliedern bezogen auf den Zustand des ungedehnten Betons; vereinfacht σ p = Nachweis A s,vorh(o/u) A s,min(o,u) Unterschreitung < 3% OK Abbildung 13: Verhältnis ξ [3] 27