Beuth Hochschule für Technik Berlin. Nachweis in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit für Biegung und Längskraft

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1 Seite 1 Nachweis in den Grenzzuständen der Tragähigkeit ür Biegung und Längskrat Es ist nachzuweisen, dass das Bauteil im maßgebenden Querschnitt die aus den Schnittgrößen inolge äußerer Einwirkung resultierenden Belastungen aunehmen kann. Die Bemessung erolgt durch Ermittlung einer erorderlichen Biegebewehrung oder ür große Längsdruckkräte durch Ermittlung einer entsprechenden Druckbewehrung. Voraussetzungen sind: Ebenbleiben der Querschnitte (Dehnung der Fasern verhalten sich wie ihre Abstände von der Dehnungsnulllinie) starrer Verbund zwischen Beton und Bewehrung Vernachlässigung der Betonzugestigkeit Druckspannungsverteilung im Beton entsprechend dem Spannungs- Dehnungs-Diagramm ür Beton Zugspannungen im Betonstahl entsprechend dem Spannungs-Dehnungs- Diagramm ür Betonstahl σc εc2 Bild 1: Spannungs-Dehnungs-Diagramm ür Beton εc2u εc σs td,cal 2,175 %o 25 %o εs Bild 2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm ür Betonstahl

2 Seite 2 Die extremalen Dehnungen sind zu begrenzen: bei mittigem Druck ür den Beton bis zur Festigkeitsklasse C50/60 au -2,0 ; bei höheren Festigkeitsklassen steigen die zulässigen Dehnungen betragsmäßig au 2,2 an (Dehnung ε c2 in Tabelle 2 -Baustoe-) steht der Querschnitt nicht vollständig unter Druck (innere Zugkräte), so ist die Betondehnung (Stauchung) bis zur Festigkeitsklasse C50/60 au -3,5 zu begrenzen. Bei höheren Festigkeitsklassen sinken die zulässigen Dehnungen betragsmäßig au 2,2 ab (Dehnung ε c2u in Tabelle 2 -Baustoe-) bei vollständig überdrückten Querschnitten ist die Dehnung im Punkt C des Dehnungsdiagramms au ε c2 zu begrenzen Daraus ergeben sich die olgenden möglichen Dehnungsverteilungen: 3,5 %o AS2 εs2 εc2 h d C AS1 εs1 εc1 d1 25 %o 2,0 %o Bild 3: Zulässige Dehnungsverteilungen im Querschnitt 1. Biegung mit geringer Längskrat Der Nachweis im Grenzzustand der Tragähigkeit wird hier in Form der durchgeührt. Es wird die erorderliche Bewehrung zur Aunahme der Zugkräte ermittelt. Bei hoher Beanspruchung kann eine zusätzliche Druckbewehrung zur Aunahme von Druckkräten in der Biegedruckzone erorderlich werden. Für die stehen verschiedene Hilsmittel in Form von Tabellen und Graiken zur Verügung, die in diesem Kapitel näher erläutert werden.

3 Seite 3 εc2 σc MEd x FC h d NEd z zs1 AS1 d1 AS1 FS b εs1 σs Bild 4: Querschnitt unter Belastung Es sind: h Querschnittshöhe d statische Höhe (Oberkante Druckzone bis Schwerachse der Bewehrung) M Ed, N Ed Schnittgrößen inolge Einwirkung z s1 Schwerachse der Biegezugbewehrung bis Schwerachse des Querschnitts d 1 Schwerachse der Biegezugbewehrung bis Betonrand b Breite der Druckzone A s1 Biegezugbewehrung zur Aunahme von F s1 ε c2 Betondehnung am Druckzonenrand x Höhe der Druckzone = ξ d ε s1 Stahldehnung z Hebelarm der inneren Kräte = ζ d (Abstand zwischen F s1 und F c ) F s1 innere resultierende Biegezugkrat (Stahl) innere resultierende Biegedruckkrat (Beton) F c Es muss nachgewiesen werden ob der Beton die innere Druckkrat F c aunehmen kann, der Stahl die innere Zugkrat F s1 aunehmen kann. Die Teilsicherheitswerte ür Beton (γ c = 1,5) und Stahl (γ s = 1,15) sowie α = 0,85 sind in den Bemessungstabellen bereits eingearbeitet. Wurden bei der Schnittgrößenermittlung die Momente umgelagert, so ist die Druckzonenhöhe x = ξ d zu begrenzen. Beindet sich die Stahlspannung oberhalb der Streckgrenze ε s1 = 2,175, so dar ür die Bemessung ein weiter steigender Ast der Stahlspannung verwendet werden. In beiden Bemessungstabellen zeigt die Spalte ür σ Ed die zugehörige Stahlspannung. Sinkt die Stahldehnung unter den Wert der Streckgrenze ür die Bemessung (σ Ed = yk /γ s ) von 2,175, so kann aus wirtschatlichen Gründen eine Druckbewehrung sinnvoll sein.

4 Seite Das k d Verahren (ohne Druckbewehrung) Dieses Verahren ist nur ür BSt 500 verwendbar. Es ist au die Verwendung der vorgegebenen Einheiten zu achten. Voraussetzung ist eine rechteckige Druckzone. Ragt bei Plattenbalken die Druckzone in den Steg, so sind genäherte Ersatzbreiten zu ermitteln. b b x Bild 5: Querschnitte mit rechteckiger Druckzone Das Vorgehen zur Bemessung ist wie olgt: 1. Querschnittsabmessungen des Bauteils und Lage der Bewehrung mit Betondeckung estlegen. 2. Einwirkendes Moment M Eds in knm ermitteln. M Eds = M Ed [knm] (bei reiner Biegung) M Eds = M Ed [knm] N Ed [kn] z s1 [m] (bei Biegung und Längskrat) M Ed = Bemessungsmoment mit Teilsicherheitsbeiwerten ür Lasten N Ed = Bemessungslängskrat mit Teilsicherheitsbeiwerten ür Lasten (N bei Zug positiv einsetzen) 3. k d ermitteln k d = M d[cm] Eds [knm] b[m] Ist vorh. k d größer als der kleinste angegebene Wert ür k d, so kann der vorhandene Beton die Druckkrat aunehmen. 4. Unter der entsprechenden Betonestigkeitsklasse in die Tabelle gehen und beim nächst kleineren k d -Wert (sichere Seite) die zugehörigen Beiwerte ablesen: -k s ür die erorderliche Stahlmenge; -ξ (xi) ür die Druckzonenhöhe; -ζ (zeta) ür den Hebelarm der inneren Kräte; -ε c2 ür die Betonstauchung; -ε s1 ür die Stahldehnung.

5 Seite 5 5. Ermitteln der erorderliche Zugbewehrung in [cm²]: A s1 MEds[kNm] = ks bei reiner Biegung, d[cm] A s1 = k S MEds[kNm] + d[cm] σed NEd [kn] 10 [ N / mm²] bei Biegung mit Längskrat. 6. Bei Plattenbalken kontrollieren, ob die Nulllinie in der Platte liegt; Druckzonenhöhe x = ξ d Plattendicke h. 1.2 Bemessungstabelle mit dimensionslosen Beiwerten (ohne Druckbewehrung) Bei diesem Verahren kann ür Betonestigkeitsklassen C 50/60 (mit ε C2u = - 3,5 ) und beliebige Stahlestigkeitsklassen angewendet werden. Es handelt sich um ein dimensionsreines Verahren, d.h. ür alle Größen sind gleiche Dimensionen zu verwenden. Es ist zu empehlen, das MN-m-System zu verwenden. Voraussetzung ist auch hier eine rechteckige Druckzone Vorgehensweise ür die Bemessung: 1. Querschnittsabmessungen und Lage der Bewehrung mit Betondeckung estlegen. 2. Einwirkendes Moment M Eds in knm ermitteln. M Eds = M Ed [knm] (bei reiner Biegung) M Eds = M Ed [knm] N Ed [kn] z s1 [m] (bei Biegung und Längskrat) M Ed = Bemessungsmoment mit Teilsicherheitsbeiwerten ür Lasten N Ed = Bemessungslängskrat mit Teilsicherheitsbeiwerten ür Lasten (N bei Zug positiv einsetzen) 3. Bezogenes Moment μ Eds ermitteln μ Eds = MEds b d² MNm MN m m² m²

6 Seite 6 4. Aus der Tabelle ür den nächstgrößeren μ Eds -Wert (sichere Seite) die zugehörigen Beiwerte ablesen (gg. sind die Werte zu interpolieren): -ω ür die erorderliche Stahlmenge; -ξ (xi) ür die Druckzonenhöhe; -ζ (zeta) ür den Hebelarm der inneren Kräte; -ε c2 ür die Betonstauchung; -ε s1 ür die Stahldehnung. 5. Ermitteln der erorderliche Zugbewehrung in [cm²]: A s1 = ω b d bei reiner Biegung A s1 = ω b d N + σ Ed Ed bei Biegung und Längskrat 6. Bei Plattenbalken kontrollieren, ob die Nulllinie in der Platte liegt; Druckzonenhöhe x = ξ d Plattendicke h. Bei reiner Biegebeanspruchung kann hier auch ür eine bereits vorhandene Bewehrung das zulässige Bemessungsmoment ermittelt werden, indem man: A s1 ω = d b errechnet, das zugehörige bezogene Moment μ Eds abliest und max. M Ed = μ Eds b d² errechnet. 2. Druckbewehrung bei Biegung mit geringer Längskrat Die Anordnung von Druckbewehrung kann aus olgenden Gründen erorderlich werden: Ist die Biegebeanspruchung des Querschnitts so groß, dass die Werte ür k d und μ Eds nicht mehr vertaelt sind, muss Druckbewehrung eingelegt werden. Ist die Biegebeanspruchung des Querschnitts so groß, dass die zugehörige Stahlzugdehnung ε s1 unter den Wert 2,175 absinkt, kann die Bemessung unwirtschatlich werden. Ist die Druckzonenhöhe au einen Wert x = ξ d zu begrenzen, weil eine Umlagerung der Biegemomente durchgeührt wurde oder um den

7 Seite 7 Nachweis der Rotationsähigkeit zu erbringen, muss Druckbewehrung eingelegt werden. εc2 σc AS2 d2 zs2 AS2 MEd εs2 x FS2 FC h d NEd z zs1 AS1 d1 AS1 FS1 b εs1 σs Bild 6: Querschnitt unter Belastung mit Druckbewehrung A s2 ist die Druckbewehrung mit der zugehörigen Dehnung ε s2. Auch hier stehen unterschiedliche Bemessungshilen (z.b. Betonkalender 2000) zur Verügung. Durch die Begrenzung der Druckzonenhöhe au verschiedene Größen sowie die unterschiedlichen Grenzdehnungen bei den Festigkeiten ab C55/67 werden Tabellen unübersichtlich und man sollte ein Programm verwenden. Eine Bemessung von Hand ist auch leicht möglich. 1. Erorderliche Druckzonenhöhe ermitteln oder wählen x = ξ d 2. In den Tabellen die zugehörigen Werte k d oder μ Eds ablesen 3. Das zugehörig Moment M Eds und die zugehörige Bewehrung A s1 ermitteln zug. M Eds = b d kd 2 bzw. zug. M Eds = μ Eds b d² 4. Das Dierenzmoment ermitteln, ür das zusätzliche Bewehrung einzulegen ist Δ M Eds = M Eds - zug. M Eds 5. Zusätzlich erorderlichen Stahlquerschnitt ΔA s1 und A s2 ermitteln ΔA s1 = A s2 = ΔM zy Eds mit z y Abstand zwischen A s1 und A s2 6. Endgültige Bewehrung A s1 = zug. A s1 + ΔA s1 A s2 = A s2

8 Seite 8 3. Längsdruckkrat mit geringer Ausmitte (ohne Knickgeahr) Bei überwiegend durch Längskrat beanspruchten Bauteilen mit geringer Ausmitte, also in erster Linie Stützen mit geringer Momentenbeanspruchung, lieern die bisher genannten Bemessungsverahren keine sinnvolle Bewehrung. Es empiehlt sich bei Stützen eine symmetrische Bewehrung. Au Stabilitätsprobleme wird an dieser Stelle nicht eingegangen. 3.1 Mittige Längskrat Bei mittigem Längsdruck ist die Betonstauchung au ε c2 begrenzt (siehe Tabelle 2 -Baustoe-). Für die Festigkeitsklassen bis C50/60 beträgt die Stauchung höchstens -2,0 und steigt mit steigenden Festigkeiten bis au -2,2. Dies hat zur Folge, dass der Stahl bis zur Streckgrenze ausgenutzt werden kann. Die Grenztraglast bei mittigem Druck ergibt sich aus der Summe der vom Beton und vom Stahl aunehmbaren Druckkrat. N Rd = F + F sd N Rd = A c + (A s1 + A s2 ) As A s AAc c Es sind beliebige Querschnittsormen möglich, soern in jeder Ecke ein Längsstab 12 mm liegt (beim Kreisquerschnitt mindestens 6 Stäbe) und der Abstand der Längsstäbe 30 cm ist. Für Querschnitte mit b 40 cm genügt je ein Bewehrungsstab in den Ecken. Es sind olgende Mindest- und Höchstbewehrungen einzuhalten: A s,min = N Ed 0,15 0,003 A c A s,max = 0,09 A c mit N Rd N Ed α ck yk γ c γ s Aunehmbare Last Bemessungslast meist 0,85 z.b. 20 MN/m² ür C20/ N/mm² meist 1,50 meist 1,15

9 Seite Längskrat mit geringer Ausmitte Hier ist die Verwendung des ür symmetrische Bewehrung vorgesehenen Interaktionsdiagramms sinnvoll. Mit Hile der bezogenen Schnittgrößen ν Ed und μ Ed kann der mechanische Bewehrungsgrad ω tot abgelesen werden und daraus die erorderliche Gesamtbewehrung errechnet werden. Auch rückwärts können ür eine vorhandene Bewehrung die aunehmbare Längskrat und Biegebeanspruchung ermittelt werden. Vorgehensweise: 1. Ermittlung der bezogenen Größen ν Ed und μ Ed ν Ed = N Ed b h MEd μ Ed = b h² N Ed Bemessungslängskrat M Ed Bemessungsmoment 2. Mit Betonestigkeitsklasse und bezogenem Randabstand d 1 /h das entsprechende Diagramm wählen 3. Im Schnittpunkt von ν Ed und μ Ed erorderlichen mechanischen Bewehrungsgrad ω tot ablesen (ist der Bewehrungsgrad kleiner als in dem Diagramm ablesbar, so ist Mindestbewehrung vorzusehen). 4. Erorderliche Bewehrung ermitteln: A s,tot = A s1 + A s2 = ω tot b h Bild 7: Interaktionsdiagramm ür den symmetrisch bewehrten Rechteckquerschnitt