Lösungen zu Übung 1 (Kap. 1.5) Prof. Dr.B.Grabowski

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1 Lösungen zur Übung1: Skript I (Beschreibende Statistik), Kap. 1.5 Aufgabe 1 1. Sind folgende Merkmale diskret oder stetig? a) Die durch eine wahlberechtigte Person der BRD gewählte Partei bei der Bundestagswahl. b) Kraftstoffverbrauch eines Personenkraftwagens auf 100 km. c) Zahl der pro Stunde in einem Geschäft eintreffenden Kunden. d) Lebensdauer einer bestimmten Leuchtstoffröhrenart. e) Plazierung beim 100-Meter-Lauf (von Studenten der HTW) Geben Sie jeweils das Merkmal, die Objektmenge und den Wertebereich des Merkmals an. Welche Art Skalierung liegt hier vor? Lösung Zu a) Zu b) Zu c) Wahlverhalten Alle wahlberechtigten Personen der BRD zur Bundestagswahl zugelassene Parteien (SPD, CDU, Grüne, FDP) Nominalskala Kraftstoffverbrauch alle PKWs R + 0, stetig Proportionalitätsskala Anzahl der Kunden, die ein bestimmtes Geschäft pro Stunde betreten Menge von Zeitintervallen von einer Stunde während der Öffnungszeiten (z.b. von 8-18 Uhr) N 0, diskret Proportionalitätsskala (Spezialfall) Achtung: Man kann die Aufgabenstellung zu c) auch anders interpretieren: Anzahl der Kunden, die ein Geschäft in einer bestimmten Stunde (z.b. von 8-9 Uhr) betreten Menge von Geschäften N 0, diskret Proportionalitätsskala (Spezialfall) Zu d) Zu e) Lebensdauer Menge von Leuchtstoffröhren dieser bestimmten Leuchtstoffröhrenart R + 0 (in Stunden), stetig Proportionalitätsskala Platznummer Menge von Personen, die am 100 Meterlauf teilnehmen. N 0, diskret Proportionalitätsskala (Spezialfall) 1 12/2005

2 Aufgabe 2 2. An einem Bankschalter werden die Kundenankünfte (Anzahl der pro 10-Minuten-Zeitintervall ankommenden Kunden) beobachtet. Für 40 derartige Zeitintervalle erhält man folgende Ergebnisse: 0, 0, 1, 3, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 0, 2, 0, 1, 3, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 6, 1, 0, 2, 3, 1, 1, 4, 2, 3, 2, 0, 3, 0, 1, 2, Ermitteln Sie absolute und relative Häufigkeiten der Kundenankünfte und stellen Sie Häufigkeitsverteilung und Summenhäufigkeitsfunktion grafisch dar! Lösung i a i H n (a i ) h n (a i ) H(i) h(i) ,2 8 0, , , , , , , , , , , /2005

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4 Aufgabe Motoren eines bestimmten Typs weisen folgende Lebensdauerverteilung auf: Lebensdauer in Anzahl der Motoren Jahren bis 2 33 über 2 bis über 4 bis über 6 bis über 8 bis Tab.: Lebensdauerverteilung Stellen Sie diese Häufigkeitsverteilung und die dazugehörende Summenhäufigkeitsfunktion grafisch dar und bestimmen Sie den Anteil der Motoren mit einer Lebensdauer von mehr als 5 Jahren! Lösung: i K i H n (K i ) h n (K i ) H(i) h(i) bis , ,033 2 über 2 bis , ,309 3 über 4 bis , ,713 4 über 6 bis , ,95 5 über 8 bis , /2005

5 Den Anteil der Motoren mit einer Lebensdauer von mehr als 5 Jahren kann man ablesen: ca. 50%! Rechnerische Lösung: Vorgehensweise: Ermitteln sie die Klasse K i in der das Merkmal [ x = 5 Jahre ] liegt [ i = 3 ]. Ermitteln sie die relative Summenhäufigkeit (Flächeninhalt im Histogramm) bis zur darunter liegenden Klasse [ h(i 1) = 0,309]. Addieren sie den verbleibenden Anteil (Restfläche im Histogramm) in der ermittelten Klasse K i hinzu. Den Anteil ermitteln sie, in dem sie vom gegebenen Wert [ x = 5 Jahre ] den Wert der Klassenuntergrenze [ a i u = 4 Jahre ] abziehen und die Differenz durch die Klassenbreite [ Κ i =2] teilen und anschließend mit der relativen Häufigkeit [ h n (K i ) =0,404] der Klasse multiplizieren. Um den Anteil der Motoren, die länger als 5 Jahre halten, zu ermitteln ziehen sie den errechneten Wert von 100% ab. Also: Der Anteil der Motoren, die bis 5 Jahre halten ist: u ( x ai ) h( i 1) + hn ( K i ) * K i 5 4 = 0, ,404 * = 0,511 2 Anteil der Motoren die länger als 5 Jahre halten: 1 0,511 = 0,489 48,9% der Motoren halten länger als 5 Jahre. 5 12/2005

6 Aufgabe 4 Werten Sie nachstehende Urliste aus! Wählen Sie eine geeignete Klassenzahl und den unteren Wert der 1. Klasse! Stellen Sie die absoluten, relativen Klassenhäufigkeiten, sowie die relativen (Klassen-) Summenhäufigkeiten tabellarisch und grafisch (Histogramm, Summenhäufigkeitsfunktion) dar! Tab.: Lebensdauer x i von 30 Glühbirnen in Stunden i x i 375,3 392,5 467,9 503,1 591,2 657,8 738,5 749,6 752,0 765,8 772,5 799,4 799,6 803,9 808,7 810,5 812,1 848,6 867,0 904,3 918,3 935,4 951,1 964,9 968,8 1006,5 1014,7 1189,0 1215,6 1407,2 6 12/2005

7 Lösung: Anzahl der Klassen: k = 30 = 5,48 für n 25 ; 5 k 25 k = 5 Klassenbreite: xmax xmin + 2ε b =, ε = 0, 05 (halbe Messgenauigkeit) k 1407,2 375,3 + 0,1 b = = 206,4 5 Klassenuntergrenze der ersten Klasse: (Messgenauigkeit ist 0.1. Demzufolge ist die halbe Messgenauigkeit ε=0.05) a u 1 = xmin ε = 375,3 0,05 = 375,25 i K i H n (K i ) h n (K i ) H(i) h(i) 1 375,25 bis 581,65 4 0, , ,65 bis 788,05 7 0, , ,05 bis 994, , , ,45 bis 1200,85 3 0, , ,85 bis 1407,25 2 0, , /2005

8 (Achtung: Üblicherweise ist die Skalierung der y-achse in Histogrammen : h n ( Ki )/Klassenbreite. Aus Gründen der Übersichtlichkeit haben wir hier H n (K i ) gewählt. Das entstehende Bild ist bei beiden Skalen das gleiche). 8 12/2005

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