Beschreibung von Daten

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1 Kapitel 2 Beschreibung von Daten In diesem Kapitel geht es um die Beschreibung von empirisch erhobenen Daten Größere Datenmengen sind schwer zu überblicken Weil ein Bild leichter als eine Ansammlung von Zahlen zu interpretieren ist, sind grafische Darstellungen sehr populär ,,Ein Bild sagt mehr als 1000 Zahlen Weitere Möglichkeiten, sich einen Überblick über Daten zu verschaffen, bieten das Erstellen von Tabellen und das Berechnen von Maßzahlen Damit können relevante Informationen in den Daten auf wenige Zahlen komprimiert werden Die erwähnten Möglichkeiten zur Datenaufbereitung sind oft nicht Endzweck, sondern werden dazu verwendet, einen ersten Überblick über eine Stichprobe zu verschaffen (Explorative Datenanalyse) Die so gewonnenen Informationen sind sehr hilfreich, um ein geeignetes Verfahren für eine komplexere statistische Analyse auszuwählen Anhand von Beispielen werden wir einige Methoden der deskriptiven Statistik kennenlernen und deren Anwendungsbereich diskutieren 15

2 16 Beschreibung von Daten 21 Tabellen und grafische Datenaufbereitung Merkmale wie Lieblingsfach, Automarke, Haarfarbe, die zwar durch einen Zahlenwert codiert werden können, bei denen die Zuordnung zu den einzelnen Merkmalsausprägungen aber willkürlich ist, nennt man nominalskaliert Neben der Häufigkeitstabelle sind Kreis- und Balkendiagramme beliebte Darstellungsformen für nominalskalierte Merkmale Diese werden auch bei ordinalskalierten Merkmalen verwendet Das sind Merkmale bei denen der Zahlenwert nur eine Reihung darstellt Beispiel: Das Merkmal erreichter Platz bei einem Skirennen ist ordinalskaliert Platz 1 ist besser als Platz drei, und Platz 2 ist besser als Platz 4 Obwohl 3 1=4 2 ist, kann daraus nicht geschlossen werden, dass der Unterschied zwischen dem Ersten und dem Drittplatzierten gleich dem Unterschied zwischen dem Zweiten und dem Vierten ist Schüler werden befragt, welches von den drei Fächern Mathematik, Deutsch und Englisch sie am liebsten mögen Der mit der Ergebnisreihe 1, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 1 (Mathematik 1, Deutsch 2, Englisch 3) konfrontierte Schuldirektor schlägt vor, ein Balkendiagramm und ein Kreisdiagramm (heißt auch Tortendiagramm) zu diesen Daten zu erstellen Erstelle die gewünschten Diagramme! (1) (2) (3) Lösung: Kreisdiagramme eignen sich besonders zum Ablesen des Anteils, den eine Gruppe an der Gesamtheit hat Bei Balkendiagrammen ist das Vergleichen und Ordnen der einzelnen Gruppen nach der Größe einfacher Zur Lösung erstellen wir zunächst eine Häufigkeitstabelle: Lieblingsfach Anzahl Die Balkenhöhen ergeben sich unmittelbar aus den Häufigkeiten Das Balkendiagramm vermittelt allerdings nur dann optisch einen richtigen Eindruck, wenn die Balkenhöhe bei 0 beginnt! Für das Kreisdiagramm be-

3 Beschreibung von Daten 17 rechnen wir die relativen Häufigkeiten und daraus, durch Multiplizieren mit 360,dieWinkel Lieblingsfach rel Häufigkeiten Winkel Deutsch Englisch Mathem Mathem Deutsch Englisch Balkendiagramm Kreisdiagramm Merkmale, bei denen das Bilden von Differenzen der Werte sinnvoll ist, nennt man intervallskaliert (zb Temperatur: Differenzen sind sinnvoll, nicht jedoch Aussagen der Form:,,20 Grad sind doppelt so warm wie 10 Grad ) Hat die Skala einen absoluten Nullpunkt (zb Größe, Alter, Temperatur in Kelvin), so ist außerdem auch das Bilden von Quotienten sinnvoll Man spricht dann von verhältnisskalierten Merkmalen Man nennt ein Merkmal auch metrisch skaliert (oder kurz metrisch), wenn es intervall- oder verhältnisskaliert ist Metrisch skalierte Merkmale können entweder diskrete oder kontinuierliche Wertebereiche haben Beispiele für diskrete Merkmale sind etwa die Punktezahl bei einem Test, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann, oder die Schuhgröße, die in Vielfachen von 1/2 gemessen wird Ein kontinuierlich (oder stetig) skaliertes Merkmal ist etwa die Füllmenge einer Wasserflasche in Litern, die jeden beliebigen Wert aus dem Intervall [0, 1] annehmen kann Für metrisch skalierte Merkmale ist das (Flächen-) Histogramm eine beliebte und oftmals verwendete Darstellungsform Ein Flächenhistogramm ist einem Balkendiagramm ähnlich, jedoch werden die Daten hier in Klassen aggregiert Insbesondere für kontinuierlich skalierte Merkmale, bei denen jeder einzelne Wert im Allgemeinen höchstens einmal angenommen wird, ist die Zusammenfassung von Werten in einem Intervall zu einer Klasse naheliegend und sinnvoll für die grafische Darstellung von

4 18 Beschreibung von Daten Häufigkeiten Im Unterschied zum Balkendiagramm enthält die Breite der Flächenstücke Information - sie repräsentiert die Länge des Intervalls, aus dem Messungen zur jeweiligen Klasse zusammengefasst werden Unterschiedliche Klassenbreiten wird man dann verwenden, wenn die Messungen in verschiedenen Teilbereichen des Wertebereichs unterschiedlich dicht liegen; Bereiche großer Dichte wird man feiner unterteilen, während Bereiche mit sehr niederer Dichte zu einer Klasse zusammengefasst werden, um leere Klassen zu vermeiden Aufgrund der frei wählbaren Klassenbreite wird die Häufigkeit einer Klasse durch die Fläche der Balken wiedergegeben, nicht durch die Höhe (wie beim Balkendiagramm) In diesem Buch werden wir stets als Konvention annehmen, dass die obere Klassengrenze zur jeweiligen Klasse gehört Wir bedienen uns zudem stets der im folgenden Beispiel verwendeten Notation Klassen- Klassen- Klassen- Absolute Klasse grenzen breiten mitten Häufigkeit 1 a 0 <a 1 b 1 = a 1 a 0 x 1 =(a 0 + a 1)/2 h 1 2 a 1 <a 2 b 2 = a 2 a 1 x 2 =(a 1 + a 2)/2 h 2 i a i 1 <a i b i x i h i k a k 1 <a k b k = a k a k 1 x k =(a k 1 + a k )/2 h k Summe H Tabelle 21: Notation für klassifizierte Daten In jeder Klasse i gilt für das Merkmal x, dassa i 1 <x a i Die Klassengrenze a i gehört also zur Klasse i Relative Histogramm- Kumulierte Häufigkeit Klasse Häufigkeit Balkenhöhe absolut relativ 1 f 1 = h 1/H f1 = f 1/b 1 H 1 = h 1 F 1 = f 1 2 f 2 = h 2/H f2 = f 2/b 2 H 2 = H 1 + h 2 F 2 = F 1 + f 2 i f i fi H i F i k f k = h k /H f k = f k /b k H k = H k 1 + h k F k = F k 1 + f k Tabelle 22: Notation für klassifizierte Daten (Die angegebene Histogrammbalkenhöhe führt zu Histogrammen mit Fläche 1 Beachte, dass H k = H = h 1 + h h k ist)

5 Beschreibung von Daten Aus der österreichischen Volkszählung 1991 wurde unter anderem die Bevölkerungsverteilung nach dem Alter ermittelt Diese ist in Tabelle 23 zusammengefasst a) Zeichne vergleichbare (Flächen-)Histogramme der Bevölkerungsverteilung, getrennt für Männer und Frauen! b) Fasse nun die Personen zwischen 50 und 100 zu einer Altersklasse zusammen und erstelle ein Histogramm für die weibliche Bevölkerung Welche Probleme ergeben sich, wenn die relativen Häufigkeiten fälschlicherweise als Balkenhöhen aufgetragen werden? Alters- Geschlecht klasse männlich weiblich Insgesamt Tabelle 23: Altersverteilung der österreichischen Bevölkerung 1991 c) Erstelle ein Histogramm für die weibliche Bevölkerung, das auf der Klasseneinteilung 0 20, und beruht Lege dann ein Häufigkeitspolygon über das Histogramm d) Zeichne Summenpolygone zu den Daten in der Tabelle und ermittle grafisch (ungefähr) den Median 1, getrennt für Männer und Frauen Lösung: Zur Lösung erstellen wir die folgende Tabelle (Vgl Tab 21 und 22) 1 Der Median ist eine Zahl m, die erfüllt, dass sowohl mindestens 50% der Beobachtungen kleiner gleich m sind, als auch mindestens 50% der Daten größer gleich m sind Der Median wird in Abschnitt 22 genauer besprochen, die Berechnung kann nach Formel (220) erfolgen

6 20 Beschreibung von Daten Alters- rel Häufigkeiten (f i ) kum rel Häufigk (F i ) Klassenklasse männlich weiblich männlich weiblich breiten b i a) Um vergleichbare Histogramme zu erhalten, normieren wir auf Fläche 1 Das erreicht man, indem man die relativen Häufigkeiten f i in obiger Tabelle durch die Klassenbreiten b i dividiert und die resultierenden Größen als Balkenhöhen fi aufträgt Man erhält als Histogramme: Männer Frauen Die Normierung auf Fläche 1 hat auch den Vorteil, dass die Einheiten der y-achse als relative Häufigkeit pro Einheit der x-achse interpretiert werden können In unserem Beispiel sind die Einheiten der x-achse Jahre Daher kann zb beim Histogramm zur männlichen Bevölkerung aus der Balkenhöhe von zur Altersklasse geschlossen werden, dass auf jedes Lebensjahr zwischen 20 und 30 im Mittel 184% (relative Häufigkeit: 00184) der männlichen Bevölkerung entfallen Je höher ein Histogrammbalken ist, desto höher ist die Personendichte in der zugehörigen Klasse, dh desto mehr Personen entfallen im Mittel auf jedes Lebensjahr Dieser Sachverhalt erklärt, warum die Balkenhöhen fi auch als Klassendichten bezeichnet werden b) Für die neu gebildeten Klassen berechnen wir wieder die relativen Häufigkeiten, Breiten und Klassendichten f i

7 Beschreibung von Daten 21 Klasse f i b i fi Betrachten wir nun das links abgebildete nach den obigen Angaben korrekt erstellte Histogramm Von der Struktur her sieht es dem korrespondierenden Histogramm aus a) ziemlich ähnlich Dagegen suggeriert das rechte Histogram, bei dem fälschlicherweise die relativen Häufigkeiten f i als Balkenhöhen aufgetragen wurden, dass es wesentlich mehr Frauen im Alter zwischen 50 und 100 Jahren gibt, als zwischen 0 und 50 Das entspricht offensichtlich nicht den Tatsachen korrektes Histogramm falsches Histogramm c) Die folgende Tabelle enthält relativen Häufigkeiten, sowie die Klassenbreiten und Klassendichten f i Klasse f i b i fi Für das Häufigkeitspolygon verbindet man die Balken an den Klassenmitten, also die Punkte (x i,f i )(1 i k), durch Geradenstücke Die ersten und letzten Klassenmitten, also (x 1,f1 ) und (x k,f k ), werden schließlich soweit sinnvoll mit den Punkten (a 0 b 1 /2, 0) bzw (a k +b k /2, 0) verbunden In unserem Fall ergeben sich die Punkte ( 10, 0), (10, 0011), (40, 0013), (80, 0006) und (120, 0) Beim Verbinden der Punkte ist zu beachten, dass eine Fortsetzung

8 22 Beschreibung von Daten des Polygons unter das Alter von 0 Jahren sinnlos ist und daher unterbleiben sollte Histogramm mit Häufigkeitspolygon d) Durch Verbinden der Punktepaare (a i,f i )für 0 i k (wobei F 0 := 0) ergeben sich die Summenpolygone: Fi Fi Median Median Männer Frauen Durch Ablesen von der Kurve bei 05 auf der y-achse sieht man, dass der Median (das 50% Quantil) für Männer bei ca 34 Jahren und für Frauen bei ca 38 liegt (Die exakte Berechnung des Medians bei klassifizierten Daten ist in Aufgabe 2 16 diskutiert)

9 Beschreibung von Daten 23 Wie wir im obigen Beispiel gesehen haben, kann das Summenpolygon zum Ablesen des Medians bzw allgemeiner zum Ablesen von Quantilen 2 verwendet werden Von der x-achse kann außerdem der Anteil der Beobachtungen abgelesen werden, der in ein interessierendes Intervall fällt: Anteil für Intervall (a, b] istgleich (Summenpolygon bei b) - (Summenpolygon bei a) 2 3 Bei einem Tortenwettessen mit 60 Teilnehmern bekam jeder eine Sachertorte zu essen Von jedem Teilnehmer wurde festgestellt, welchen Anteil der Torte er essen konnte Die Verteilung dieser Essleistungen findet sich in folgendem Histogramm (Die Essleistung (Tortenanteil) ist auf der horizontalen Achse, die Klassendichte auf der vertikalen Achse aufgetragen) Essleistung (Tortenanteil) Wie viele der 60 Teilnehmer schafften es, mindestens die Hälfte der vorgesetzten Torte zu essen? Lösung: Beim vorliegenden Histogramm ergibt die Summe aller Balkenflächen eins Daher ist die relative Häufigkeit für eine Klasse gleich der zugehörigen Balkenfläche, also gleich dem Produkt von Balkenhöhe und Klassenbreite (Wäre die Fläche des Histogramms ungleich eins, müssten wir das Ergebnis noch durch die Histogrammfläche dividieren, um die gesuchte relative Häufigkeit zu erhalten) In unserem Fall erhalten wir für die von 05 bis 1 gehende Klasse eine relative Häufigkeit von 1/4 Durch Multiplikation mit 60 ergibt sich als Lösung eine absolute Häufigkeit von 2 Ein 100α% Quantil ist eine Zahl q, die erfüllt, dass sowohl mindestens 100α% der Beobachtungen kleiner gleich q sind, als auch mindestens 100(1 α)% der Daten größer gleich q sind Quantile werden im nachfolgenden Abschnitt Maßzahlen näher behandelt, die rechnerische Ermittlung von Quantilen für klassifizierte Daten kann nach Formel 220 erfolgen

10 24 Beschreibung von Daten 15 Personen Histogramm, Summenpolygon und Häufigkeitspolygon geben die Verteilung von Klassenhäufigkeiten wieder; wollen wir Urdaten, dh, die Daten, die (noch) nicht in Klassen zusammengefasst sind, beschreiben und darstellen, so führen wir folgende Bezeichnungen ein: Notation: (n Anzahl der Beobachtun- Beobachtungen: x 1,x 2,,x n gen) x [1] x [2] x [n] bezeichnet die der Größe nach sortierten Beobachtungen (x [1] kleinste Beobachtung aus x 1,,x n, x [2] zweitkleinste Beobachtung usw) Beispiel: Für x 1 = 3, x 2 =5,x 3 =3,x 4 =1istx [1] =1,x [2] =3,x [3] =3,x [4] =5 F n (x) bezeichnet die empirische Verteilungsfunktion: Zur Berechnung an einem Punkt x ermittelt man jenes j, für das x [j] x und x [j+1] >xund setzt F n (x) =j/n (21) Die empirische Verteilungsfunktion F n (x) an der Stelle x ist auch gleich der durch n dividierten Anzahl der Beobachtungen x j,die kleiner oder gleich x sind Bei klassifizierten Daten haben wir Summenpolygone zur Beschreibung der Verteilung verwendet Wenn die Daten nicht in Klassen zusammengefasst sind, so kann stattdessen die empirische Verteilungsfunktion verwendet werden Stellen die Beobachtungen eine Stichprobe dar, dann kann die empirische Verteilungsfunktion als Approximation der tatsächlichen unbekannten Verteilung 3 in der Grundgesamtheit aufgefasst werden 3 Verteilungsfunktionen werden in Kapitel 41 und 42 besprochen