Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen
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- Bettina Boer
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1 Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen Deskriptive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh
2 Agenda 1 Graphische Darstellungsmöglichkeiten 2 Histogramm 3 Summenhäufigkeitsfunktion Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 2
3 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Ziele graphischer Darstellungen Größere Übersichtlichkeit Größere Einprägsamkeit Größere Attraktivität Aufgabe Zahlen (bei absoluten Häufigkeiten) bzw. Anteile (bei relativen Häufigkeiten) graphisch so repräsentieren, dass ihre Größe aus der zeichnerischen Darstellung verglichen werden kann. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 3
4 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Ziele graphischer Darstellungen Größere Übersichtlichkeit Größere Einprägsamkeit Größere Attraktivität Aufgabe Zahlen (bei absoluten Häufigkeiten) bzw. Anteile (bei relativen Häufigkeiten) graphisch so repräsentieren, dass ihre Größe aus der zeichnerischen Darstellung verglichen werden kann. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 3
5 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Ziele graphischer Darstellungen Größere Übersichtlichkeit Größere Einprägsamkeit Größere Attraktivität Aufgabe Zahlen (bei absoluten Häufigkeiten) bzw. Anteile (bei relativen Häufigkeiten) graphisch so repräsentieren, dass ihre Größe aus der zeichnerischen Darstellung verglichen werden kann. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 3
6 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Ziele graphischer Darstellungen Größere Übersichtlichkeit Größere Einprägsamkeit Größere Attraktivität Aufgabe Zahlen (bei absoluten Häufigkeiten) bzw. Anteile (bei relativen Häufigkeiten) graphisch so repräsentieren, dass ihre Größe aus der zeichnerischen Darstellung verglichen werden kann. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 3
7 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Beispiel Vergleicht man die Zahlen 1 und 8, so kann man sie z.b. darstellen (1) als 1 cm bzw. 8 cm lange Strecken (eindimensional) (2) als Flächen mit den Flächeninhalten 1 cm 2 bzw. 8 cm 2 (zweidimensional) (3) als Volumina mit den Volumeninhalten 1 cm 3 bzw. 8 cm 3 (dreidimensional) (4) als Bildsymbole (Piktogramm) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 4
8 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Beispiel Vergleicht man die Zahlen 1 und 8, so kann man sie z.b. darstellen (1) als 1 cm bzw. 8 cm lange Strecken (eindimensional) (2) als Flächen mit den Flächeninhalten 1 cm 2 bzw. 8 cm 2 (zweidimensional) (3) als Volumina mit den Volumeninhalten 1 cm 3 bzw. 8 cm 3 (dreidimensional) (4) als Bildsymbole (Piktogramm) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 4
9 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Beispiel Vergleicht man die Zahlen 1 und 8, so kann man sie z.b. darstellen (1) als 1 cm bzw. 8 cm lange Strecken (eindimensional) (2) als Flächen mit den Flächeninhalten 1 cm 2 bzw. 8 cm 2 (zweidimensional) (3) als Volumina mit den Volumeninhalten 1 cm 3 bzw. 8 cm 3 (dreidimensional) (4) als Bildsymbole (Piktogramm) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 4
10 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Beispiel Vergleicht man die Zahlen 1 und 8, so kann man sie z.b. darstellen (1) als 1 cm bzw. 8 cm lange Strecken (eindimensional) (2) als Flächen mit den Flächeninhalten 1 cm 2 bzw. 8 cm 2 (zweidimensional) (3) als Volumina mit den Volumeninhalten 1 cm 3 bzw. 8 cm 3 (dreidimensional) (4) als Bildsymbole (Piktogramm) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 4
11 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Repräsentation von Zahlen durch Strecken, Flächen und Volumina Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 5
12 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Repräsentation von Zahlen durch Bildsymbole Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 6
13 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Stab-, Linien- oder Säulenendiagramm (Balkendiagramm): Darstellung der Zahlen durch Stäbe bzw. Säulen über einer horizontalen Achse, auf der die Merkmalsausprägungen aufgetragen sind. Die Höhe der Stäbe bzw. Säulen spiegelt die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten wider. ( höhenproportional) Flächendiagramm: Darstellung der Häufigkeiten durch Flächen entsprechender Größe ( flächenproportional) Volumenproportionale Darstellung: Darstellung der Häufigkeiten durch Volumina entsprechender Größe ( volumenproportional) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 7
14 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Stab-, Linien- oder Säulenendiagramm (Balkendiagramm): Darstellung der Zahlen durch Stäbe bzw. Säulen über einer horizontalen Achse, auf der die Merkmalsausprägungen aufgetragen sind. Die Höhe der Stäbe bzw. Säulen spiegelt die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten wider. ( höhenproportional) Flächendiagramm: Darstellung der Häufigkeiten durch Flächen entsprechender Größe ( flächenproportional) Volumenproportionale Darstellung: Darstellung der Häufigkeiten durch Volumina entsprechender Größe ( volumenproportional) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 7
15 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Stab-, Linien- oder Säulenendiagramm (Balkendiagramm): Darstellung der Zahlen durch Stäbe bzw. Säulen über einer horizontalen Achse, auf der die Merkmalsausprägungen aufgetragen sind. Die Höhe der Stäbe bzw. Säulen spiegelt die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten wider. ( höhenproportional) Flächendiagramm: Darstellung der Häufigkeiten durch Flächen entsprechender Größe ( flächenproportional) Volumenproportionale Darstellung: Darstellung der Häufigkeiten durch Volumina entsprechender Größe ( volumenproportional) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 7
16 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Beispiel Die Spieler eines Bundesligavereins (17 Spieler) wurden nach ihrem letzten Schul- bzw. Hochschulabschluss 1 befragt: Spieler s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 Abschluss A H H H U R B H B B Spieler s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 s 17 Abschluss R R FO H A A R Zugehörige Urliste ist also: A, H, H, H, U, R, B, H, B, B, R, R, FO, H, A, A, R. 1 H Hauptschule, B Berufsschule, R Realschule, A Abitur, FO Fachoberschule, FH Fachhochschule, U Universität Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 8
17 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Beispiel Die Spieler eines Bundesligavereins (17 Spieler) wurden nach ihrem letzten Schul- bzw. Hochschulabschluss 1 befragt: Spieler s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 Abschluss A H H H U R B H B B Spieler s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 s 17 Abschluss R R FO H A A R Zugehörige Urliste ist also: A, H, H, H, U, R, B, H, B, B, R, R, FO, H, A, A, R. 1 H Hauptschule, B Berufsschule, R Realschule, A Abitur, FO Fachoberschule, FH Fachhochschule, U Universität Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 8
18 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Stabdiagramm zu Beispiel 5.2 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 9
19 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Säulendiagramm zu Beispiel 5.2 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 10
20 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Säulendiagramm mit runden Säulen zu Beispiel 5.2 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 11
21 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Anmerkung: Obwohl in Abbildung 5.4 bzw. 5.5 Flächen bzw. Volumina dargestellt sind, wird intuitiv nur die Höhe der Säule zum Vergleich herangezogen. Die Grundseite bzw. -fläche stimmt bei allen Säulen überein. Die weiteren Dimensionen dienen lediglich der besseren Erkennbarkeit gegenüber dem Stabdiagramm. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 12
22 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Flächendiagramm zu Beispiel 5.2 Abbildung Volumendiagramm zu Beispiel 5.2 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 13
23 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Weitere Volumenproportionale Darstellung Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 14
24 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Piktogramm zu Beispiel 5.2 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 15
25 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Kreissektorendiagramm: Graphische Darstellung relativer Häufigkeiten durch sektorale Aufteilung einer Kreisfläche oder Kreisscheibe, wobei die Größe der Sektoren proportional zu den relativen Häufigkeiten ist. Anmerkung: Dies ist nur eine Möglichkeit, eine geometrische Einheit (Strecke, Fläche, Volumen) entsprechend den Anteilen (relativen Häufigkeiten) aufzuteilen. Bei der Darstellung der relativen Häufigkeiten können ebenfalls Stab- und Säulendiagramme oder Flächendiagramme verwendet werden. Werden verschiedene statistische Massen hinsichtlich desselben Merkmals untersucht, so kann die unterschiedliche Größe der Massen bei der Größe der Kreisflächen berücksichtigt werden. Der Radius des Kreises ist dann proportional zur Wurzel aus der jeweiligen Anzahl statistischer Einheiten. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 16
26 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Kreissektorendiagramm: Graphische Darstellung relativer Häufigkeiten durch sektorale Aufteilung einer Kreisfläche oder Kreisscheibe, wobei die Größe der Sektoren proportional zu den relativen Häufigkeiten ist. Anmerkung: Dies ist nur eine Möglichkeit, eine geometrische Einheit (Strecke, Fläche, Volumen) entsprechend den Anteilen (relativen Häufigkeiten) aufzuteilen. Bei der Darstellung der relativen Häufigkeiten können ebenfalls Stab- und Säulendiagramme oder Flächendiagramme verwendet werden. Werden verschiedene statistische Massen hinsichtlich desselben Merkmals untersucht, so kann die unterschiedliche Größe der Massen bei der Größe der Kreisflächen berücksichtigt werden. Der Radius des Kreises ist dann proportional zur Wurzel aus der jeweiligen Anzahl statistischer Einheiten. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 16
27 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Beispiel für ein Kreissektorendiagramm Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 17
28 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Bemerkung: Die graphische Darstellung sollte die Struktur der Menge der Merkmalsausprägungen berücksichtigen. Dies bedeutet, dass bei ordinalskalierten und kardinalskalierten Merkmalen die natürliche Reihenfolge bei der Darstellung berücksichtigt werden muss. Bei einem Rangmerkmal oder einem diskreten quantitativen Merkmal erfolgt dies z.b. in einem Stab- oder Säulendiagramm durch die natürliche Anordnung der Merkmalsausprägungen in horizontaler Richtung. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 18
29 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Beispiel Im Leistungskurs Mathematik eines Jahrgangs eines Gymnasiums wurden folgende Ergebnisse erzielt: Schüler s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 Punktzahl Schüler s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s 18 s 19 s 20 Punktzahl Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 19
30 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Beispiel Im Leistungskurs Mathematik eines Jahrgangs eines Gymnasiums wurden folgende Ergebnisse erzielt: Schüler s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 Punktzahl Schüler s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s 18 s 19 s 20 Punktzahl Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 19
31 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Stabdiagramm zu Beispiel 5.3 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 20
32 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Darstellung von Summenhäufigkeiten: Bei diskreten quantitativen Merkmalen genügt die Darstellung der Summenhäufigkeit als Punkt, zur besseren Übersichtlichkeit werden jedoch die Punkte durch waagerechte Linien nach rechts fortgesetzt. ( Ähnlichkeit in Darstellung und Interpretation zur empirischen Verteilungsfunktion) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 21
33 Graphische Darstellungsmöglichkeiten Abbildung Summenhäufigkeiten zu Beispiel 5.3 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 22
34 Agenda 1 Graphische Darstellungsmöglichkeiten 2 Histogramm 3 Summenhäufigkeitsfunktion Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 23
35 Histogramm Bei der graphischen Darstellung von klassierten Merkmalen sind die Häufigkeiten für die jeweiligen Klassen aufzutragen. Jede Klasse entspricht einem Intervall auf der x-achse, das durch die obere und untere Klassengrenze definiert ist. Jede obere Klassengrenze ist die untere Klassengrenze der nächsten Klasse, da jede Merkmalsausprägung in einer Klasse enthalten sein muß. Zur Darstellung der Häufigkeiten bildet man nun ein Flächendiagramm mit Rechtecken, wobei man als eine Seite des Rechtecks das Intervall der Klasse verwendet. Achtung: Für offene Randklassen kann eine solche Darstellung nicht durchgeführt werden, sofern nicht eine festlegbare Klassenober- bzw. Klassenuntergrenze existiert. Ist der Anteil dieser Randklasse an der statistischen Masse gering, so kann man 0 als Höhe des Rechtecks wählen. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 24
36 Histogramm Bei der graphischen Darstellung von klassierten Merkmalen sind die Häufigkeiten für die jeweiligen Klassen aufzutragen. Jede Klasse entspricht einem Intervall auf der x-achse, das durch die obere und untere Klassengrenze definiert ist. Jede obere Klassengrenze ist die untere Klassengrenze der nächsten Klasse, da jede Merkmalsausprägung in einer Klasse enthalten sein muß. Zur Darstellung der Häufigkeiten bildet man nun ein Flächendiagramm mit Rechtecken, wobei man als eine Seite des Rechtecks das Intervall der Klasse verwendet. Achtung: Für offene Randklassen kann eine solche Darstellung nicht durchgeführt werden, sofern nicht eine festlegbare Klassenober- bzw. Klassenuntergrenze existiert. Ist der Anteil dieser Randklasse an der statistischen Masse gering, so kann man 0 als Höhe des Rechtecks wählen. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 24
37 Histogramm Sei I die Klassenbreite, h(i)(p(i)) die absolute ( ) (relative) Häufigkeit der Klasse I, so ist h(i) I bzw. p(i) I die Höhe des Rechtecks in einer geeigneten Längeneinheit. Beispiel Bei den 40 Beschäftigten einer Behörde wurden folgende Altersangaben (in vollendeten Lebensjahren) ermittelt: 37, 58, 63, 17, 28, 46, 57, 26, 39, 47, 16, 62, 44, 39, 48, 27, 35, 59, 19, 26, 55, 36, 37, 48, 28, 46, 18, 62, 25, 37, 38, 45, 59, 61, 29, 36, 28, 42, 29, 37. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 25
38 Histogramm Sei I die Klassenbreite, h(i)(p(i)) die absolute ( ) (relative) Häufigkeit der Klasse I, so ist h(i) I bzw. p(i) I die Höhe des Rechtecks in einer geeigneten Längeneinheit. Beispiel Bei den 40 Beschäftigten einer Behörde wurden folgende Altersangaben (in vollendeten Lebensjahren) ermittelt: 37, 58, 63, 17, 28, 46, 57, 26, 39, 47, 16, 62, 44, 39, 48, 27, 35, 59, 19, 26, 55, 36, 37, 48, 28, 46, 18, 62, 25, 37, 38, 45, 59, 61, 29, 36, 28, 42, 29, 37. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 25
39 Histogramm Nach Klassierung ergibt sich die Häufigkeitstabelle: Alter abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit unter bis unter bis unter bis unter bis unter über Anmerkung: Für die offenen Randklassen kann man als vertretbare untere bzw. obere Klassengrenze 15 bzw. 65 ansetzen, da in einer Behörde sicherlich keine Personen unter 15 und kaum Personen über 65 beschäftigt sein können. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 26
40 Histogramm Nach Klassierung ergibt sich die Häufigkeitstabelle: Alter abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit unter bis unter bis unter bis unter bis unter über Anmerkung: Für die offenen Randklassen kann man als vertretbare untere bzw. obere Klassengrenze 15 bzw. 65 ansetzen, da in einer Behörde sicherlich keine Personen unter 15 und kaum Personen über 65 beschäftigt sein können. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 26
41 Histogramm Abbildung Histogramm zu Beispiel 5.4 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 27
42 Histogramm Beispiel Für eine Verbrauchsstudie wurden die Nettojahreseinkommen von 100 Männern und 150 Frauen festgestellt: Männer Frauen Einkommen in TEuro abs. H. rel. H. abs. H. rel. H. unter bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 28
43 Abbildung Histogramm zur Einkommensverteilung der Männer Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 29
44 Abbildung Histogramm zur Einkommensverteilung der Frauen Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 30
45 Histogramm Anmerkung: Sollen zwei Häufigkeitsverteilungen an Hand der Histogramme verglichen werden, deren Grundgesamtheiten einen unterschiedlichen Umfang haben, so sind die relativen Häufigkeitsdichten zu verwenden. Auf diese Weise wird erreicht, dass eine Flächeneinheit demselben Anteil an der Grundgesamtheit entspricht. In diesem Fall können die Histogramme wie in Abbildung 5.16 übereinandergelegt werden. Häufigkeitsdichte Sie entspricht der Höhe des Rechtecks in einem Histogramm: h(i) I bzw. p(i) I Bei nicht übereinstimmender Klassenbreite ist die Höhe der Rechtecke nicht einfach proportional zur Häufigkeit, sondern zum Verhältnis aus Häufigkeit und Klassenbreite. Die Rechtecke sind demnach umso höher, je größer die Anzahl der Beobachtungen ist, die in einen Bereich vorgegebener Länge fallen. Damit ist die Höhe des Rechteckes davon abhängig, wie dicht die Beobachtungen beieinander liegen. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 31
46 Histogramm Anmerkung: Sollen zwei Häufigkeitsverteilungen an Hand der Histogramme verglichen werden, deren Grundgesamtheiten einen unterschiedlichen Umfang haben, so sind die relativen Häufigkeitsdichten zu verwenden. Auf diese Weise wird erreicht, dass eine Flächeneinheit demselben Anteil an der Grundgesamtheit entspricht. In diesem Fall können die Histogramme wie in Abbildung 5.16 übereinandergelegt werden. Häufigkeitsdichte Sie entspricht der Höhe des Rechtecks in einem Histogramm: h(i) I bzw. p(i) I Bei nicht übereinstimmender Klassenbreite ist die Höhe der Rechtecke nicht einfach proportional zur Häufigkeit, sondern zum Verhältnis aus Häufigkeit und Klassenbreite. Die Rechtecke sind demnach umso höher, je größer die Anzahl der Beobachtungen ist, die in einen Bereich vorgegebener Länge fallen. Damit ist die Höhe des Rechteckes davon abhängig, wie dicht die Beobachtungen beieinander liegen. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 31
47 Histogramm Abbildung Histogramm zur Einkommensverteilung der Frauen bzw. Männer Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 32
48 Histogramm Anmerkung: Stimmen die Klassenbreiten aller Klassen überein, so entspricht das Flächendiagramm auch einem Säulendiagramm. In diesem Fall sind die Höhen der Rechtecke aussagekräftig, d.h. die Ordinate kann mit einer Skala für die absoluten und/oder relativen Häufigkeiten versehen werden. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 33
49 Histogramm Beispiel Gegeben sei folgende, gegenüber der ursprünglichen leicht modifizierte Einkommensverteilung der Männer: Männer Einkommen in TEuro abs. H. rel. H. unter bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 34
50 Histogramm Abbildung Histogramm zur modifizierten Einkommensverteilung der Männer Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 35
51 Histogramm Häufigkeitspolygon Polygonzug, der durch die Verbindung der Mittelpunkte der oberen Rechteckkanten entsteht. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 36
52 Histogramm Abbildung Häufigkeitspolygon zur modifizierten Einkommensverteilung der Männer Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 37
53 Histogramm Beispiel Fragt man in Beispiel 5.5 etwa nach der Anzahl der männlichen Beschäftigten mit einem Einkommen zwischen und Euro, so ist aus der Tabelle zu ersehen, dass die Zahl zwischen 45 und 55 liegen muss und zu vermuten, dass sie zwischen 45 und 50 liegen dürfte. Die Anzahl der Flächeneinheiten beträgt 23.75, man erhält als Näherung 47.5 Personen. Anmerkung: Bei dem Histogramm der Häufigkeitsverteilung besteht die Möglichkeit, die aufsummierte Häufigkeit mehrerer Klassen dadurch zu bestimmen, dass man die Fläche über den Klassen und unter der oberen Begrenzung durch das Histogramm bestimmt. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 38
54 Histogramm Beispiel Fragt man in Beispiel 5.5 etwa nach der Anzahl der männlichen Beschäftigten mit einem Einkommen zwischen und Euro, so ist aus der Tabelle zu ersehen, dass die Zahl zwischen 45 und 55 liegen muss und zu vermuten, dass sie zwischen 45 und 50 liegen dürfte. Die Anzahl der Flächeneinheiten beträgt 23.75, man erhält als Näherung 47.5 Personen. Anmerkung: Bei dem Histogramm der Häufigkeitsverteilung besteht die Möglichkeit, die aufsummierte Häufigkeit mehrerer Klassen dadurch zu bestimmen, dass man die Fläche über den Klassen und unter der oberen Begrenzung durch das Histogramm bestimmt. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 38
55 Histogramm Abbildung Histogramm zur Einkommensverteilung der Männer zu Beispiel 5.7 Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 39
56 Summenhäufigkeitsfunktion (Absolute bzw. relative) Summenhäufigkeitsfunktion: Bei der graphischen Darstellung eines klassierten stetigen Merkmals werden die einzelnen Punkte bei den Klassengrenzen, da nur für diese eine Summenhäufigkeit definiert ist, näherungsweise durch Geradenstücke verbunden. Dadurch wird unterstellt, dass die absolute und relative Summenhäufigkeit zwischen den Klassengrenzen gleichmäßig zunimmt, d.h. man geht von der idealisierten Vorstellung aus, dass die Merkmalswerte gleichmäßig zwischen den Klassengrenzen verstreut liegen. Die so ermittelte Funktion nennt man die absolute bzw. relative Summenhäufigkeitsfunktion. Anmerkung: Die relative Summenhäufigkeitsfunktion stimmt nicht mit der empirischen Verteilungsfunktion überein, sondern ist nur eine Näherung dieser. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 40
57 Summenhäufigkeitsfunktion (Absolute bzw. relative) Summenhäufigkeitsfunktion: Bei der graphischen Darstellung eines klassierten stetigen Merkmals werden die einzelnen Punkte bei den Klassengrenzen, da nur für diese eine Summenhäufigkeit definiert ist, näherungsweise durch Geradenstücke verbunden. Dadurch wird unterstellt, dass die absolute und relative Summenhäufigkeit zwischen den Klassengrenzen gleichmäßig zunimmt, d.h. man geht von der idealisierten Vorstellung aus, dass die Merkmalswerte gleichmäßig zwischen den Klassengrenzen verstreut liegen. Die so ermittelte Funktion nennt man die absolute bzw. relative Summenhäufigkeitsfunktion. Anmerkung: Die relative Summenhäufigkeitsfunktion stimmt nicht mit der empirischen Verteilungsfunktion überein, sondern ist nur eine Näherung dieser. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 40
58 Summenhäufigkeitsfunktion Beispiel Bei der Einkommensverteilung der Männer haben wir folgende Summenhäufigkeitstabelle: Klassengrenze Summenhäufigkeit abs Summenhäufigkeit rel Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 41
59 Summenhäufigkeitsfunktion Abbildung Summenhäufigkeitsfunktion zur Einkommensverteilung der Männer Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 42
60 Summenhäufigkeitsfunktion Formale Darstellung: Sei p(i) die relative Häufigkeit der Klasse I und I habe die Klassengrenzen α I und β I. Dann nimmt die relative Summenhäufigkeit von α I nach β I um den Betrag p(i) zu. Sei z ein Wert zwischen α I und β I. Verbindet man nun die Werte an den Stellen α I und β I durch eine Gerade, so erhält z den Wert SF (z) mit: SF (z) = F (α I ) + z α I β I α I p(i) Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 43
61 Summenhäufigkeitsfunktion Beispiel Sei I die Klasse der Einkommen von bis unter Euro, z = Euro. Für die weiblichen Beschäftigten erhält man mit p(i) = 0.28 und α I = 20, z = 22 und β I = 25 SF (z) = F (α I )+ z α I p(i) = = β I α I also bis z eine Zunahme der relativen Summenhäufigkeit um Anmerkung: Aufgrund der durchgeführten Überlegungen ergibt sich zwischen Histogramm und Summenhäufigkeitsfunktion ein Zusammenhang. Die Fläche des Histogramms links von einem Punkt z ergibt den Wert der Summenhäufigkeitsfunktion an der Stelle z, wenn die Gesamtfläche des Histogramms als Flächeneinheit verwendet wird. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 44
62 Summenhäufigkeitsfunktion Beispiel Sei I die Klasse der Einkommen von bis unter Euro, z = Euro. Für die weiblichen Beschäftigten erhält man mit p(i) = 0.28 und α I = 20, z = 22 und β I = 25 SF (z) = F (α I )+ z α I p(i) = = β I α I also bis z eine Zunahme der relativen Summenhäufigkeit um Anmerkung: Aufgrund der durchgeführten Überlegungen ergibt sich zwischen Histogramm und Summenhäufigkeitsfunktion ein Zusammenhang. Die Fläche des Histogramms links von einem Punkt z ergibt den Wert der Summenhäufigkeitsfunktion an der Stelle z, wenn die Gesamtfläche des Histogramms als Flächeneinheit verwendet wird. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 44
63 Summenhäufigkeitsfunktion Abbildung Zusammenhang zwischen Histogramm und Summenhäufigkeitsfunktion Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 45
64 Summenhäufigkeitsfunktion Anmerkung: Die korrekten Werte erhält man demgegenüber aus der empirischen Verteilungsfunktion. Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 46
65 Beispiel Die Messung der Körpergröße von 20 Personen ergab folgende Urliste: 1.49, 1.87, 1.91, 1.53, 1.68, 1.75, 1.66, 1.82, 1.76, 1.80, 1.92, 1.71, 1.77, 1.69, 1.57, 1.83, 1.84, 1.47, 1.79, Durch eine geeignete Klassierung erhält man folgende Tabelle: Klasse b.u b.u b.u Absolute H Relative H Klasse b.u b.u b.u Absolute H Relative H Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 47
66 Beispiel Die Messung der Körpergröße von 20 Personen ergab folgende Urliste: 1.49, 1.87, 1.91, 1.53, 1.68, 1.75, 1.66, 1.82, 1.76, 1.80, 1.92, 1.71, 1.77, 1.69, 1.57, 1.83, 1.84, 1.47, 1.79, Durch eine geeignete Klassierung erhält man folgende Tabelle: Klasse b.u b.u b.u Absolute H Relative H Klasse b.u b.u b.u Absolute H Relative H Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 47
67 Abbildung Summenhäufigkeitsfunktion als Näherung der empirischen Verteilungsfunktion Kapitel V - Graphische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen 48
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