Darstellung von Häufigkeitsverteilungen

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1 Darstellung von Häufigkeitsverteilungen Tabellarische Darstellung Tabellarische Darstellung einzelner Merkmale Häufig betrachtet man einzelne Merkmale (=eindimensionale Merkmale) in einer Tabelle. Als Beispiel wollen wir einen Test betrachten und die Punktezahlen, die die Studierenden erhalten haben. Insgesamt haben 142 den Test mitgemacht. Als Punkte wurden bis 7 vergeben. Bis 4 Punkte war die Arbeit negativ. Tabelle 1: Tabellarische Darstellung der Häufigkeitsverteilung einer Prüfung. Punkte Häufigkeit Relative Relative Summenhäufig. Häufigkeit 1,7,7,7 1 3,21 2,1,28 2 1,7 7, ,113 11,3, ,2 22,,436 44,31 31, ,141 14,1, ,113 11,3 1 Die Häufigkeit gibt an, wie oft eine Punktezahl vorkommt. Früher musste man dafür Strichlisten machen, heute gibt es dafür unter Excel die Funktion HÄUFIGKEIT(). Die relative Häufigkeit: Häufigkeit dividiert durch die Gesamtanzahl der Fälle. Z. B. 16 Fälle von 142 gibt (gerundet),113. Die allgemeine Formel lautet: p i = Wobei p vom Lateinischen pro portione = im Verhältnis kommt; i bezeichnet den einzelnen Fall, N steht für die Gesamtanzahl der Fälle. Diese relative Häufigkeit kann Seite 1 von 8 h i N

2 man einfach mit 1 multiplizieren, so kommt man zur Häufigkeit angegeben in. Die relative Summenhäufigkeit: dabei werden die Ergebnisse der relativen Häufigkeit einfach addiert: Punkte:,7, 1 Punkt:,7 +,21 =,28. Mit dieser Angabe kann man z. B. rasch sehen, dass bei der Annahme dass mindestens 4 Punkte für eine positive Prüfung notwendig sind etwas über 4 % der Arbeiten negativ waren. Tabellarische Darstellung einer Häufigkeitsverteilung eines in Intervalle zerlegten Merkmals Häufig ist es notwendig, um übersichtliche Tabellen darstellen zu können, stetige (Alter) oder diskrete (DNA-Gehalte, Größen) Merkmale (meist metrisch) in Intervallen anzugeben. Dabei werden die Werte in Intervalle (von. bis), sog. Klassen, angegeben: z. B. Alter: bis unter 1 Jahre, 1 bis unter 3, 3 bis unter 4 usw. Bei stetigen Merkmalen kommt es dabei zu gewissen Unschärfen, die aber nicht ins Gewicht fallen. Tabelle 2: Tabellarische Darstellung der Häufigkeitsverteilung eines in Intervalle zerlegten Merkmals am Beispiel der Bevölkerungsstruktur Österreichs im Jahre. Punkte Häufigkeit Relative Relative Summenhäufig. Häufigkeit bis unter ,16 1,6,16 1 bis unter ,178 17,8,334 3 bis unter ,244 24,4,78 4 bis unter ,198 19,8,776 6 bis unter ,14 14,,921 Über ,79 7,9 1 Bei der relativen Summenhäufigkeit können durch Rundungs fehler auch Werte von,9999 oder 1,1 auftreten. Auch ist bei einem stetigen Merkmal zu berücksichtigen, dass die Angaben mehr oder weniger genau sind (unter 1, unter 3 usw.). Seite 2 von 8

3 Tabellarische Darstellung der gemeinsamen Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale Tabelle 3: Anzahl der Studierenden pro Studienrichtung, getrennt nach Geschlecht Studienrichtung Geschlecht Bio Mol Chem Physik EW Summe Weiblich Männlich Summe Die eindimensionalen Verteilungen in einer Tabelle einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung nennt man wegen ihres Standortes in der Tabelle die Randverteilungen (dunkler blau in Tabelle 3). Grafische Darstellung Eine häufige Darstellungsart ist ein Säulendiagramm. Die Angaben aus Tabelle 1 sind in als eine Säulengrafik dargestellt Punkte Abbildung 1: angaben aus Tabelle 1 in Form eines Säulendiagramms dargestellt Seite 3 von 8

4 Bei Grafiken soll die Darstellung sich auf das Wesentliche konzentrieren. Wichtig ist hier der erste Eindruck. Mit Tabellen beschäftigt man sich wesentlich länger. Grafiken eignen sich besonders, Zusammenhänge aufzuzeigen (siehe Abbildung 2): die zeitliche Entwicklung der Durchgefallenen kann leicht abgelesen werden. Man erkennt eine geringfügige Abnahme in den letzten vier Jahren. Entwicklung der Durchfallsquoten 3 Durchfallsquote [%] Jahre Abbildung 2: Entwicklung der Durchfallsquoten 2 bis 27 Fehler in grafischen Darstellungen Verschobener Nullpunkt auf der y-achse Dieser Fehler wird häufig gemacht. Es wird ein vollkommen falscher Eindruck vermittelt. Oft wird das wahrscheinlich auch bewusst gemacht. In seriösen naturwissenschaftlichen Arbeiten ist so etwas strikt zu vermeiden. Seite 4 von 8

5 K 1 mg 2 mg Abbildung 3: Wirkung eines Medikaments auf die Todesfälle pro 1., verfälschte Darstellung In Abbildung 3 wird eine positive Wirkung eines Medikaments suggeriert, die gar nicht vorhanden ist, wie man aus Abbildung 4 leicht erkennen kann K 1 mg 2 mg Abbildung 4: Wirkung eines Medikaments auf die Todesfälle pro 1., korrekte Darstellung Seite von 8

6 Fehlender Bezug Erst kürzlich wurden in der Zeitung die Zahlen über gestohlene PKWs in Österreich veröffentlicht. Hier führt VW vor Ford usw.. Wesentlich aussagekräftiger wären aber die Angeben bezogen auf die Anzahl der in Österreich zugelassenen Fahrzeugtypen. So könnte man feststellen, welche Marken tatsächlich von den Dieben bevorzugt gestohlen werden. Falsche Anordnung Wenn man das Ergebnis von Abbildung 1 anders sortiert, so wird ein völlig falsches Bild vermittelt: Abbildung. Dass die Säulen nicht in gleichmäßiger Reihenfolge an der x-achse angeordnet sind, erkennt man nur schwer Punkte Abbildung : angaben aus Tabelle 1 in Form eines Säulendiagramms dargestellt Falsche Farb- und Mustergebung In Abbildung 6 kann man die Farben nur sehr schwer zuordnen Seite 6 von 8

7 Studienrichtung Molekularbio Biologie Chemie Physik Erdwiss. 1 Abbildung 6: Säulendiagramm mit Legende Studienrichtung Molekularbio Biologie Chemie Physik Erdwiss. 1 Abbildung 7: Säulendiagramm mit Legende Seite 7 von 8

8 In Abbildung 7 kommen zu der schlechten Möglichkeit der Zuordnung noch optische Täuschungen hinzu. Die 3-D Darstellung in Abbildung 8 trägt nichts zur besseren Lesbarkeit bei, im Gegenteil, sie ist verwirrend Punkte R1 Abbildung 8: angaben aus Tabelle 1 in Form eines 3-D Diagramms dargestellt Seite 8 von 8