Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 3/4 Prof. Dr. R. Lauterbach Dr. K. Rothe Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungen zu Präsenzblatt Aufgabe A: Ein Tank enthalte Liter Wasser, in dem 6 kg Salz gelöst sind. Beginnend mit der Zeit t = sollen ständig pro Minute 5 Liter Salzlösung abfließen, aber auch 5 Liter Wasser mit einem Salzgehalt von 3 kg zufließen, mit anschließender sofortiger Durchmischung. a) Wie groß ist der Salzgehalt m(t) in kg im Tank zur Zeit t >? b) Auf welchem Niveau stabilisiert sich der Salzgehalt im Tank? a) Anfangssalzmenge im Tank: m() = 6 kg Salzmenge zum Zeitpunkt t je Liter im Tank: abfließende Salzmenge in der Zeit t: zufließende Salzmenge in der Zeit t: m(t) kg m(t) 5 t 3 t Salzmengenänderung in der Zeit t: m = m(t) 5 t + 3 t Differentialgleichung für den Salzgehalt: m (t) = 3 4 m(t) + 3 Lösung der Differentialgleichung über Trennung der Veränderlichen: m (t) = 3 4 m(t) + 3 = 3 m (t) (m(t) 4) 4 m(t) 4 dt = dm m 4 = 3t 4 + C ln m 4 = 3t 4 + C m(t) 4 = Ce 3t 4 m(t) = 4 + Ke 3t 4 mit K IR 3 4 dt

2 Differentialgleichungen I, R.Lauterbach/K.Rothe, WiSe 3/4, Präsenzblatt Mit dem Anfangssalzgehalt wird K bestimmt: 6 = m() = 4 + K K = 34 Damit ergibt sich der Salzgehalt in kg im Tank zur Zeit t : 3 b) Es gilt lim m(t) = 4 = t 5, m(t) = 4 34e 3t/4. d.h. der Salzgehalt im Tank pendelt sich auf den der zufließenden Salzlösung ein.

3 Differentialgleichungen I, R.Lauterbach/K.Rothe, WiSe 3/4, Präsenzblatt 3 Aufgabe B: Gegeben sei die Differentialgleichung y = y x. a) Man zeichne das Richtungsfeld, b) berechne Lösungen und c) die Lösung, für die y() = gilt. a) Eine Differentialgleichung der Form y = f(x, y) wird gelöst durch eine Funktion y(x), wenn y (x) = f(x, y(x)) gilt. Ordnet man jedem Punkt (x, y) den Wert y = f(x, y) zu, deutbar als Steigung möglicher Lösungen y, so erhält man das zur Differentialgleichung gehörige Richtungsfeld. Das Richtungsfeld wird veranschaulicht, indem man jedem Punkt (x, y) ein kleines Geradenstück in Tangentialrichtung, das sogenannte Linienelement, anheftet. Zur zeichnerische Umsetzung ordnen wir dazu jedem Punkt (x, y(x)) seinen auf kurze Länge c skalierten Tangentialvektor zu: ( x y ) ( c + f (x, y) f(x, y) ) ( = c + (y ) ( y ) ). Vektorwertige Funktionen der Form g : IR n D IR n werden als Vektorfelder bezeichnet. Wir zeichnen das obige Richtungsfeld also durch ein Vektorfeld ( n = ) der Form ( ) ( ) x g (x, y) =: g (x, y). y g (x, y) Die MATLAB-Befehle für das Richtungsfeld, dargestellt nur an einigen (Gitter-) Punkten (x, y), lauten: [X,Y] = meshgrid(-.5:.:.5,-.5:.:.5) N=sqrt(+Y.^./X.^) U=./N V=-Y./X./N quiver(x,y,u,v,.5)

4 Differentialgleichungen I, R.Lauterbach/K.Rothe, WiSe 3/4, Präsenzblatt /x x Bild A Richtungsfeld mit c =.5 y(x) = x b) Das Lösen der Differentialgleichung erfolgt durch Trennung der Veränderlichen (mit y ) und Integration unter Verwendung der Kettenregel: y = y x y (x) y(x) = y x (x) y(x) dx = y dy = x dx ln y(x) = ln x + C y(x) = x e C y(x) = C x, C IR Für y = ergibt sich die triviale Lösung y(x) = für alle x. Diese berechneten Lösungen sind nach a) die Kurven, deren Tangentialrichtungen durch das Richtungsfeld dargestellt werden, die sich sozusagen in das Richtungsfeld einschmiegen. c) = y() = C C = y(x) = x

5 Differentialgleichungen I, R.Lauterbach/K.Rothe, WiSe 3/4, Präsenzblatt 5 Aufgabe C: Ein Fallschirmspringer hat im Moment des Öffnens seines Fallschirmes eine Geschwindigkeit von v = 55 (in ms ). Die Gesamtmasse des Springers mit Fallschirm sei M (in kg ) und die Bremskraft des Schirmes sei Mg v (in N ) mit g = 9.8 (in ms ) als Erdbeschleunigung. Man berechne die Geschwindigkeit des Springers nach dem Öffnen des Schirmes als Funktion der Zeit und gegebenenfalls die Grenzgeschwindigkeit ( t ). Hängt die Grenzgeschwindigkeit von der Öffnungsgeschwindigkeit ab? Erdanziehungskraft: M g Bremskraft zum Zeitpunkt t : Mg v (t), mit v() = v = 55 Kraftbilanz am Fallschirmspringer mit Verzögerung a(t) = v(t), falls v > 5 : Ma(t) = M v(t) = Mg Mg v (t) Die Fallgeschwindigkeit v(t) ergibt sich damit aus der Differentialgleichung: v(t) = g ( v (t) ) = g ( v (t)) = g (v(t) 5)(v(t) + 5) Trennung der Veränderlichen, Integration mit Substitutionsregel und Partialbruchzerlegung ergibt: t gt g t dτ = v(τ) (v(τ) 5)(v(τ) + 5) dτ = v(t) v() = (ln(v 5) ln(v + 5)) v(t) v = ln v 5 v + 5 (v 5)(v + 5) dv = v(t) v v(t) v v 5 v + 5 dv = ln v(t) 5 v(t) + 5 ln v 5 v + 5 = ln (v + 5)(v(t) 5) (v 5)(v(t) + 5) (v + 5)(v(t) 5) (v 5)(v(t) + 5) = e gt/ (v + 5)(v(t) 5) lim t (v 5)(v(t) + 5) = lim t e gt/ = lim v(t) = 5 t Die Grenzgeschwindigkeit hängt also nicht von der Öffnungsgeschwindigkeit ab. Speziell für v = 55 ergibt sich: (v + 5)(v(t) 5) (v 5)(v(t) + 5) = 6(v(t) 5) 5(v(t) + 5) = e gt/ v(t) = e gt/ 6 5e gt/ Bearbeitungstermin: