Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 7/8 Dr. K. Rothe Analsis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben u Blatt

2 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) Vektorwertige Folgen und Konvergen Folgen im IR n Definition: Unter einer Folge (a k ) k IN im IRn versteht man eine Abbildung der Form IN IR n k a k = a,k. a n,k. (a j,k ) k IN wird als j.te Koordinatenfolge beeichnet. Beispiele für Normen im IR n : x := (x, x,..., x n ) T IR n x := x + x + + x n x := x + x + + x n x := max{ x, x,..., x n } Definition: Eine vektorwertige Folge (a k ) k IN konvergiert gegen den Grenwert a IRn, wenn ( a k a ) k IN eine Nullfolge ist, d.h. wenn lim a k a = bw. k a k a k k gilt. Man schreibt dann auch lim a k = a oder a k a. k Normenäquivalensat: Je wei Normen und im IR n sind äquivalent, d.h. es gibt wei Konstanten C, C >, so dass für alle x IR n gilt: C x x C x. Folgerungen: a) Konvergiert die Folge (a k ) k IN im IRn bgl. einer speiellen Norm gegen den Grenwert a IR n, so konvergiert sie auch gegen a in jeder anderen Norm. b) Im IR n konvergiert die Folge (a k ) k IN genau dann, wenn alle n Koordinatenfolgen konvergieren. c) Im IR n kann der Grenwert einer Folge (a k ) k IN koordinatenweise berechnet werden.

3 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) Aufgabe : Man untersuche die Konvergen der angegebenen Folgen ( ) n a) a n = / n, n IN + /n ( ) ( xn+ (xn b) a n+ := = n )/ ) (x n + n )/, n IN und a IR n+ Tipp: Eine geeignete Norm erleichtert das Leben. Lösung: a) Eine Folge im IR m konvergiert genau dann, wenn die Koordinatenfolgen konvergieren. Der Grenwert lässt sich dann koordinatenweise berechnen. a n = ( xn n ) ( ) n = / n + /n Zur Konvergen der Koordinatenfolge x n = n / n : x =, x = 4 4 =, x = 9 8, x 4 = 6 6 =, x 5 = 5, x 6 = 6 64 Zunächst halten wir fest, dass x n gilt. Aufgrund der Entwicklung der ersten Folgenglieder vermuten wir, dass die Folge ab n = monoton fällt, d.h. es gilt x n x n+, und beweisen dies direkt. Für n gilt Damit ergibt sich (n ) = n n + n + n. x n+ = (n + ) n+ = n + n + n n + n n = x n Damit konvergiert (x n ). Dass der Grenwert Null ist, kann einfach über l Hospital berechnet werden, soll hier jedoch nicht ausgeführt werden. Für die weite Koordinatenfolge gilt: lim n = lim ( + /n) = n n Da beide Koordinatenfolgen konvergieren, konvergiert (a n ). b) Im IR n sind die Normen,, äquivalent. Daher sind Konvergen und Grenwert einer Folge normunabhängig.

4 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 4 Um die Konvergen einer gegebenen Folge nachuweisen, reicht es also aus, sie in einer geeigneten Norm nachuweisen. Wir vermuten, dass lim a n+ := lim n n ( xn+ n+ ) ( (xn = lim n )/ n (x n + n )/ gilt und versuchen die Konvergen über die Definition, d.h. a n+ a = a n+ n nachuweisen. Für die obigen Normen ergibt sich ) = =: a a n+ = x n n + x n + n ( x n + n + x n + n ) = a n ( ) a n ( ) n a n a n+ = max{ x n n, x n + n } max{ x n + n } max{ x n, n } = a n (siehe oben) a n+ = =. = (xn ) ( ) n xn + n + = x n + n ( ) a n = a n ( ) n n a Also konvergiert a n in der Norm und damit in IR.

5 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 5 Definition: a) Für x IR n und r > heißt Kx,r := {x IR n x x < r} offene und Kx,r := {x IR n x x r} abgeschlossene Kugelumgebung um x mit Radius r. Beispiel: x IR, K x,r = {x IR x x < r} =]x r, x + r[. r r x r x x + r b) Für eine Menge D IR n heißt x D innerer Punkt von D, falls es eine Kx,r Umgebung von x gibt, für die Kx,r D gilt. c) x IR n heißt Häufungspunkt einer Menge D, falls es für jede Kx,r Umgebung von x mindestens einen Punkt x x mit x Kx,r D gibt. d) x heißt Randpunkt von D, falls in jeder Kx,r Umgebung von x sowohl ein Punkt aus D liegt, als auch ein Punkt aus IR n \D liegt. e) Man beeichnet mit D die Menge der inneren Punkte, mit D die Menge der Häufungspunkte und mit D die Menge der Randpunkt von D. f) D IR n heißt offen, wenn D = D gilt, d.h. D nur aus inneren Punkten besteht. g) D IR n heißt abgeschlossen, wenn D D gilt, d.h. D alle seine Randpunkte enthält. h) D IR n heißt beschränkt, wenn es eine Konstante C > gibt, so dass für alle x D gilt x C. i) D IR n heißt kompakt, wenn D abgeschlossen und beschränkt ist.

6 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 6 Aufgabe : Man eichne die folgenden Mengen und prüfe, ob sie offen, abgeschlossen, beschränkt oder kompakt sind. {( ) } x a) R = IR x +, {( ) } x b) H = IR x + <, x <, x c) P = IR x + 4, 4 x, x d) Z = IR x + 4 7, <. Lösung: a) x + x x Bild a) Raute R R ist abgeschlossen, da alle Randpunkte u R gehören. R ist beschränkt und damit dann auch kompakt.

7 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 7 b) Bild b) Halbkreis H ohne Rand H ist offen, da kein Randpunkt u H gehört. H ist beschränkt. c) Der MATLAB-Plotbefehl lautet egraph( surf, r*cos(t), r*sin(t), 4-r^,[,,,*pi]) x = r cos ( t ), = r sin ( t ), = 4 -r x - - Bild c) Rotationsparaboloid P. P ist abgeschlossen, da alle Randpunkte u P gehören. P ist beschränkt und damit dann auch kompakt.

8 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 8 d) Bild d) elliptischer Zlinder Z Z ist weder offen noch abgeschlossen, da nur die Randpunkte für = nicht u Z gehören. Z ist beschränkt aber nicht kompakt.

9 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 9 Kurven im IR n Definition: Eine stetig differenierbare Abbildung c : [a, b] IR n t c(t) = x (t). x n (t) heißt Kurve bw. Parameterdarstellung einer Kurve. t heißt der Parameter und [a, b] das Parameterintervall. c(a) = (x (a),, x n (a)) T heißt Anfangspunkt und c(b) = (x (b),, x n (b)) T Endpunkt der Kurve. Gilt für alle t [a, b] ċ(t) ċ(t) = ẋ (t) + + ẋ n(t) >, so beeichnet man c auch als reguläre oder glatte Kurve. Beispiele für Parameterdarstellungen a) Geradengleichung im IR n c(t) = a + tr, t IR Ortsvektor: a, Richtungsvektor: r Soll die Gerade durch die beiden Punkte a, b IR n verlaufen, so kann r = b a gewählt werden. b) Schraubenlinie im IR cos t c(t) = sin t, t [, 6π], a IR. t eplot( cos(t), sin(t), t,[,6*pi]) x = cos (t ), = sin (t ), = t x Bild Schraubenlinie c

10 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) Definitionen: a) Der Vektor t(t) := ċ(t) ċ(t) heißt Tangenteneinheitsvektor der Kurve c an der Parameterstelle t. b) Die Bogenlänge einer Kurve c im Intervall [a, t] berechnet man durch s(t) = t a ċ(τ) dτ (> ). Als Bogenelement beeichnet man ds := ċ(t) dt. Die Parameterdarstellung der Tangentengleichung im Punkt c(t) mit Parameter λ IR, also die Geradengleichung in Orts- und Richtungsvektordarstellung, lautet T(λ) = c(t) + λ ċ(t). Kurven im IR Wegen < t(t), t(t) >= < t(t), ṫ(t) >= stehen ṫ(t) und t(t) senkrecht aufeineinander. Damit erhält man die um Tangenteneinheitsvektor t(t) senkrechten Vektoren der Länge : Hauptnormalenvektor n(t) := ṫ(t) ṫ(t) Binormalenvektor b(t) := t(t) n(t). Definitionen: a) Schmiegebene S an der Stelle t S(λ, µ) = c(t) + λ t(t) + µ n(t). b) Krümmungsvektor der Kurve an der Stelle t t(t ) t(t) lim t t s(t ) s(t) = lim t t t(t ) t(t) t t s(t ) s(t) t t = ṫ(t) ṡ(t). c) Als Krümmung der Kurve an der Stelle t wird die Länge des dortigen Krümmungsvektors beeichnet (beachte ṡ(t) = ċ(t) ): κ(t) := ṫ(t) ċ(t).

11 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) Aufgabe : Gegeben sei die Kurve c : [, π] IR a) Man eichne die Kurve c. c(t) = mit cos t sin t b) Man berechne für c die Bogenlänge und gebe die Tangentengleichung im Punkt t = π/ an. c) Man berechne für c den Tangenteneinheitsvektor, Hauptnormalenvektor und Binormalenvektor. d) Im Punkt t = π/ gebe man die Parameterform der Schmiegebene an und berechne dort den Krümmungsvektor und die Krümmung.. Lösung: a) MATLAB-Plotbefehl eplot( *cos(t), *sin(t),,[,*pi]) x = cos (t ), = sin (t ), = x Bild Kreis c

12 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) b) ċ(t) = sin t cos t Bogenelement: ċ(t) = ( sin t) + ( cos t) = Bogenlänge: s = π ċ(τ) dτ = π dτ = 4π Tangentengleichung im Punkt t = π/: T(λ) = c(π/) + λ ċ(π/) = + λ c) Tangenteneinheitsvektor: t(t) := ċ(t) ċ(t) = ṫ(t) = cos t sin t sin t cos t = sin t cos t ṫ(t) = ( cos t) + ( sin t) = Hauptnormalenvektor: n(t) := ṫ(t) ṫ(t) = Binormalenvektor: b(t) = t(t) n(t) = e e e sin t cos t cos t sin t cos t sin t = d) Schmiegebene: S(λ, µ) = c(π/) + λ t(π/) + µ n(π/) = + λ + µ Krümmungsvektor: ċ(π/) ṫ(π/) = Krümmung: κ(π/) := ṫ(π/) ċ(π/) =.

13 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) Funktionen Definition: Eine Funktion (oder Abbildung) f der reellen vektorwertigen Veränderlichen x ist eine Vorschrift, die jedem Element x D IR n des Definitionsbereiches D genau den Vektor f(x) W IR m aus dem Wertebereich W uordnet: f : D W x = (x,..., x n ) T f(x) = (f (x,..., x n ),..., f m (x,..., x n )) T. Andere Beeichnungen für D bw. W sind Urbildbereich bw. Bildbereich. Speialfälle a) n = m = : f : D IR IR, reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen b) n =, m > : f : D IR IR m, vektorwertige Funktion einer reellen Veränderlichen (Kurve) c) n >, m = : f : D IR n IR, reellwertige Funktion mehrerer reeller Veränderlicher d) n >, m > : f : D IR n IR, vektorwertige Funktion mehrerer reeller Veränderlicher Höhenlinien: (Speialfall einer Niveaumenge im IR n ) Linien, auf denen f : IR IR konstant ist, also f(x, ) = konst! gilt. Funktionsgraph von f : D IR IR: ( Fläche im IR ) graph(f) := { (x,, ) T IR (x, ) D, = f(x, ) } Definition: a) Sei f : D IR n IR eine reellwertige Funktion. f heißt stetig in x D, wenn für alle vektorwertigen Folgen (x n ) D\{x } mit lim n x n = x gilt lim n f(x n) = f(x ). b) Sei f : D IR n IR m eine vektorwertige Funktion. f = (f,..., f m ) heißt stetig in x D, wenn für alle vektorwertigen Folgen (x n ) D\{x } mit lim n x n = x gilt lim f j(x n ) = f j (x ), j =,... m. n Beispiele: elementare stetige Funktionen und deren Verkettung sind im Definitionsbereich stetig.

14 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 4 Aufgabe 4: Für die Funktion f : IR IR, (x, ) f(x, ) eichne man den Funktionsgraphen und die Höhenlinien, dies sind Linien konstanter Höhe, d.h. von der Form {(x, ) IR f(x, ) = c} für c IR. Man überprüfe, ob f stetig ist oder in eventuell vorhandenen Definitionslücken stetig ergänt werden kann. a) f(x, ) = x, b) f(x, ) = x + c) f(x, ) = x, d) f(x, ) = x x +, e) f(x, ) = 5 x Lösung: a) MATLAB-Plotbefehl egraph( surfc, x,, -x,[-,,-,]) x = x, =, = -x x - -

15 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 5 Bild 4 a) Ebene: f(x, ) = x f sett sich aus Polnomen usammen und ist damit stetig. b) MATLAB-Plotbefehl egraph( surfc, r*cos(t), r*sin(t), r,[,,,*pi]) x = r cos (t ), = r sin (t ), = r x Bild 4 b) Kegel: f(x, ) = x + f sett sich aus stetigen Funktionen ohne Definitionslücken usammen und ist damit stetig. c) MATLAB-Plotbefehl egraph( surfc, x,, x*,[-,,-,]) x = x, =, = x x - -

16 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 6 Bild 4 c) Sattel: f(x, ) = x f sett sich aus Polnomen usammen und ist damit stetig. d) MATLAB-Plotbefehl egraph( surfc, x,, x^/(x^+^),[-,,-,]) x = x, =, = x /( x + ) x - - Bild 4 d) f(x, ) = x, Definitionslücke bei (x, ) = (, ) x + f sett sich aus stetigen Funktionen usammen und ist bis auf die Nennernullstelle in (, ) stetig. Eine stetige Ergänung in (, ) ist nicht möglich, denn für die Folgen ( ) ( n, n (, ) und, ) n (, ) n gilt und ( ) lim f (x,) (,) n, = lim (x,) (,) ( lim f, ) = lim (x,) (,) n (x,) (,) e) MATLAB-Plotbefehl ( n) ( n) + = lim (x,) (,) = + ( n ) = lim (x,) (,) =. egraph( surfc, x,, ^5/(x^4+^4),[-,,-,])

17 Analsis III, K. Rothe, WiSe 7/8, Hörsaalübung (Beispielaufgaben -4) 7 x = x, =, = 5 /( x ) x - - Bild 4 e) f(x, ) = 5, Definitionslücke bei (x, ) = (, ) x f sett sich aus stetigen Funktionen usammen und ist bis auf die Nennernullstelle in (, ) stetig. f kann in (, ) stetig ergänt werden durch f(, ) =, denn lim f(x, ) = lim 5 (x,) (,) (x,) (,) x = lim 4 (x,) (,) x lim x (x,) (,) x = lim =. (x,) (,)