5.6 Strukturiertes Üben

Transkript

1 Zusammenfassung 5.6 Strukturiertes Üben Strukturiertes Üben 1.) Etwas vereinfacht gesagt, ließen sich im Unterricht solche Schüler beobachten, die geschicktes Vorgehen häufig selbst entwickelten (vgl. Björn), solche, die es relativ schnell von anderen übernahmen (vgl. Achim), und schließlich solche, bei denen keine erkennbare Ader für Rechenstrategien vorhanden zu sein schien (so bei Benni). Bei Schülern wie Benni mußte sich im Laufe des Unterrichtsversuchs erst eine gewisse Sensibilität für geschicktes Vorgehen ausbilden. Dieses gelang zwar vordergründig relativ schnell; langfristig gesehen bedurfte es jedoch im wesentlichen im Hinblick auf die Multiplikation noch weiterer Thematisierung. Das nachvollziehende Anwenden von Rechenstrategien stellte anfangs für diejenigen Kinder eine Erschwerung dar, die zwar die Resultate der jeweiligen Aufgaben bereits auswendig verfügbar hatten, diese aber nicht auf Anhieb zu den geschickten Vorgehensweisen in Beziehung setzen konnten. Hiebei handelte es sich jedoch in der Regel um Schwierigkeiten, die durchaus in Kauf genommen werden konnten, insbesondere, wenn man deren Bedeutsamkeit betrachtet, die weit über das multiplikative Rechnen im zweiten Schuljahr hinausgeht.. 2.) Die bei den spontanen Schülerlösungen zur Multiplikation am häufigsten zu beobachtenden Vorgehensweisen des Verdoppelns sowie des Ableitens, ausgehend von den Aufgaben der kurzen Reihen, eigneten sich natürlich nicht für jede Aufgabe gleichgut. Diese Tatsache mag dazu beigetragen haben, daß es etwa der Hälfte der Schüler nicht leichtfiel, auf Aufforderung zu rechnen wie Martina bzw. Timo und daß die Fehlerquote hierbei etwas höher lag als bei den Geteiltaufgaben. Die Akzeptanz der beiden universell einsetzbaren Strategien zur Division war über mehrere Monate hinweg sehr hoch. Während die besseren Rechner die Division automatisch oder im Laufe der in diesem Kapitel dargestellten Unterrichtseinheiten problemlos an die Multiplikation anknüpften (vgl. etwa Markus), bot sich für diejenigen Mitschüler, die noch nicht so souverän multiplizieren konnten, die Strategie der wiederholten Subtraktion des Divisors unter jeweiliger Kenntlichmachung des Zwischenergebnisses an. Die Verwendung beider Rechenstrategien setzte eine gewisse Kontextunabhängigkeit und ein zumindest ansatzweise integratives Verständnis der Division voraus, über das die Schüler zu diesem Zeitpunkt bereits zu verfügen schienen. 3.) Da natürlich nicht jedes Kind sämtliche Strategien selbst erfinden konnte, waren Phasen der sozialen Interaktion von zentraler Bedeutung. Dabei erweis es sich als sinnvoll, nicht zu viele verschiedene Strategien zu thematisieren. Die Schüler brauchten stets Zeit, um sich in neue Vorgehensweisen hineinzudenken, so daß es vollkommen ausreichte, bei Multiplikation und Division jeweils zwei geschickte Vorgehensweisen gründlich zu behandeln. Im folgenden sollen einige Aufgabenformate beschrieben und durch Eigenproduktionen illustriert werden, die in der Phase des strukturierten Übens eingesetzt wurden. Zur Konstruktion von operativ strukturierten Aufgabenserien ist es bekanntermaßen besonders hilfreich, auf vorhandene Strukturen zurückzugreifen Aufgabenserien aus der Maltafel Die Einmaleins-Tafel (vgl. Kap ) stellt ein derartiges Arbeitsmittel dar, das eine Vielzahl an Strukturen und mathematisch bedeutsamen Beziehungen, andererseits aber auch eine Reihe von Konventionen enthält 246. Abb. 74: Beschreibender Text von Oliver 245 Über die Aktivitäten mit dem pythagoräischen Zahlenfeld (vgl. Kap ) kann an dieser Stelle aus Platzgründen nicht berichtet werden. 246 Damit ist etwa die Anordnung der Rauten oder deren Farbgebung gemeint.

2 Strukturiertes Üben 187 In einer Einführungsphase, die den Schülern hinreichend Gelegenheit bieten sollte, mit diesen vertraut zu werden, verfaßten sie beispielsweise einen Text über die Charakteristika der Maltafel. Die meisten Schüler benannten hierbei zwei oder drei Auffälligkeiten; in Anbetracht der Tatsache, daß sie zum ersten Mal während ihrer Schulzeit gebeten wurden, einen Text über ein Arbeitsmittel zu schreiben, kann man diesen Umfang als durchaus zufriedenstellend bezeichnen. Einige Kinder verfaßten allerdings wie etwa Oliver (Abb. 74) schon einen Aufsatz in der Länge einer DIN-A4-Seite: 100 Felder sind auf der Einmaleins-Tafel. Es gibt rote, gelbe, grüne und blaue Felder. Die roten Felder sind leicht, und die grünen Felder sind auch leicht und die gelben mittelschwer. Die blauen sind leicht, und die weißen sind schwer. 247 Im weiteren wurden diverse Aufgabenbeispiele aus WITTMANN/MÜLLER (1990) behandelt, die hier jedoch nicht näher beschrieben werden können: die Berechnung der Resultate sämtlicher Aufgaben einer 3x3-Raute durch Ausnutzen operativer Beziehungen (ebd., 123), die Addition der Ergebnisse zweier jeweils übereinander bzw. nebeneinander angeordneter Rauten mit sich anschließendem Vergleich der entstehenden Summen (ebd., 125) oder das Fortsetzen von Aufgabenserien, die bestimmte Wege in der Einmaleins-Tafel (horizontal, vertikal, diagonal) repräsentieren (ebd., 123 ff.). Bei einem weiteren Aufgabenformat den Zweierpäckchen wiesen die Resultate jeweils zweier Einmaleins-Aufgaben einen engen Zusammenhang auf: So standen beispielsweise die beiden Aufgaben eines Pärchens in der Einmaleins-Tafel stets untereinander, und die jeweils ersten bzw. zweiten Aufgaben benachbarter Zweierpäckchen waren nebeneinander angeordnet (vgl. Abb. 75) 248. Beginnend mit dieser Unterrichtseinheit, sollten die Schüler vermehrt dazu angeregt werden, kurze beschreibende Texte über Auffälligkeiten bei substantiellen Problemstellungen zu verfassen. Auf den Arbeitsblättern wurde hierzu die sog. Mir-fällt-auf! -Rubrik eingerichtet. Die Schüler gaben anfangs verständlicherweise noch recht kurze Beschreibungen ab, die in der Regel denen von Sascha und Sven sehr nahe kamen ( Immer einer weniger bzw. Es sind immer 2 weniger als oben ) 249. Einige Schüler benutzten das Aufgabenformat zudem, um selbst Zweierpäckchen zu erfinden: Nina beispielsweise notierte fünf Aufgabenpaare, deren Differenz 1 betrug, sowie zwei weitere mit einem Unter- schied von 7 bzw. von 3. Daß sich nicht immer Differenzen von genau 1 ergaben, lag daran, daß sie in den entsprechenden Fällen nicht konsequent was allerdings ja auch nicht verlangt war von den Quadratzahlen, sondern statt dessen von 7 5 bzw. 2 4 ausging. Sascha Sven Abb. 75: Aufgabenpärchen von Sascha, Sven und Nina Nina 247 Es sei an die farbliche Kennzeichnung der einzelnen Rauten erinnert: rot Quadratzahlaufgaben, gelb Aufgaben mit Faktor 5, blau mit Faktor 2, grün mit Faktor 1 oder 10 sowie weiß restliche Aufgaben. 248 M.a.W.: Ausgehend von der ersten Aufgabe eines Pärchens wurde für die Konstruktion der zweiten ein Faktor um 1 erhöht und der andere um 1 erniedrigt. 249 Der Gedanke, Auffälligkeiten durch Umordnungen von Punktmustern mit Hilfe von Plättchen zu erklären, wurde im folgenden von der Lehrperson eingebracht und dann vereinzelt auch von den Schülern selbst genutzt.

3 Strukturiertes Üben Operative Päckchen zur Multiplikation und zur Division Im Mittelpunkt einer weiteren Unterrichtseinheit stand eine Reihe von operativ strukturierten Übungsformen zur Multiplikation, die Verbindungen zur Addition bzw. zur Subtraktion aufwiesen. Für jedes Aufgabenformat waren einige Beispiele vorgegeben worden, die die Kinder jeweils ausrechneten, bevor sie die Serie fortsetzten. Anschließend sollten sie ihre Entdeckungen in der Was-mir-auffällt -Rubrik beschreiben. Das Beweisen der Auffälligkeiten fand dann bei ausgewählten Aufgaben mit Hilfe von Punktmusterdarstellungen im Unterrichtsgespräch statt. Einige der Aufgabenformate bestanden jeweils aus einer Serie von Plus- bzw. von Malaufgaben; hierbei konnten nicht nur Auffälligkeiten innerhalb einer Aufgabenserie, sondern auch Zusammenhänge zwischen den Mal- und den Plusaufgaben beobachtet werden. So mußten beispielsweise jeweils zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen addiert werden (1+3; 3+5; 5+7; ), während parallel dazu Verdopplungsaufgaben zu berechnen waren, die jeweils dasselbe Ergebnis aufwiesen (2 2; 2 4; 2 6; ). Einige Eigenproduktionen sollen illustrieren, wie die Kinder vorgingen (vgl. Abb. 76): Angela hatte lediglich die angegebenen Aufgaben berechnet, die Serie also weder fortgesetzt noch irgendeine Entdeckung verschriftlicht, obwohl sie keinen Rechenfehler begangen hatte, der ihr die Einsicht in Gesetzmäßigkeiten hätte erschweren oder gar verstellen können. dazu seien ; Martin hingegen hatte ein anderes Muster entdeckt und notiert: Die zweite Zahl in der ersten Aufgabe ist wie die erste Zahl in der zweiten Aufgabe. Damit bezog er sich auf die Aufgabenserie zur Addition und das jeweilige Nach-vorne-Rutschen des zweiten Summanden an die erste Stelle der nachfolgenden Aufgabe. Ein weiteres Übungsbeispiel bestand ebenfalls aus jeweils einer Serie zur Addition und zur Multiplikation: Die ersten Summanden der Plusaufgaben waren jeweils die aufeinanderfolgenden Quadratzahlen, zu denen die aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit 3 addiert werden mußten (1+3; 4+5; 9+7; ). In der rechten Spalte wurden die Quadratzahlaufgaben notiert allerdings ab 2 2, so daß die beiden nebeneinanderstehenden Resultate gleich waren (1+3=2 2; 4+5=3 3; ). Diese Auffälligkeit wurde beispielsweise von Sebastian und Jennifer schriftlich formuliert (vgl. Abb. 77). Einige Schüler merkten zudem an, daß bei der Serie von Plusaufgaben das Ergebnis einer Aufgabe zusätzlich als erster Summand der jeweils nachfolgenden Summe auftauche: Markus machte diese Beobachtung durch einen Verbindungsstrich kenntlich, während Jennifer eine verbale Umschreibung wählte: Die Ergebnisse und die Vorderzahlen sind gleich. Sebastian Markus Angela Sebastian Martin Markus Jennifer Abb. 76: Eigenproduktionen von Angela, Martin, Sebastian und Markus Abb. 77: Eigenproduktionen von Sebastian, Markus und Jennifer Die meisten Schüler verbalisierten jedoch irgendwelche Auffälligkeiten jedes Kind jedoch auf die ihm angemessene Art und Weise: Sebastian merkte beispielsweise an, daß die Ergebnisse der Einmaleinsaufgaben immer dieselben seien wie diejenigen der Plus -Aufgaben 250, Markus beschrieb, daß es immer Man beachte die Anführungsstriche in seinem Text! Bei einem weiteren Aufgabenformat mußten jeweils zwei Einmaleinsreihen addiert oder die eine von der anderen subtrahiert werden; beispielsweise waren die Ergebnisse der Vierer- und der Einerreihe zu summieren: In der Regel bezogen sich die Beschreibungen der Schüler auf ein einziges Phänomen, wie etwa: In der mittleren Reihe sind es immer 4, Im Ergebnis kommen immer 5 dazu oder Vorne ist es immer eins mehr. Diese Fokussierung auf eine einzige Auffälligkeit wurde jedoch im Verlauf des Unterrichtsversuchs nach und nach auf-

4 Strukturiertes Üben 191 gebrochen, da die gemeinsamen Reflexionsphasen im Unterricht dazu führten, daß der Suchraum erweitert wurde. Einige Schüler beschrieben allerdings schon zu diesem Zeitpunkt mehrere Entdeckungen, wie etwa Sebastian: In der mittleren Reihe sind die Zahlen immer gleich. Und die Ergebnisse sind immer 5 mehr (vgl. Abb. 78). In der darauffolgenden Stunde wurde u.a. eine Aufgabenserie behandelt, bei der die Fünfer- und die Zweierreihe addiert werden mußten. Einige Schüler beschrieben weiterhin lediglich einen einzigen Sachverhalt, wie etwa Martin (vgl. Abb. 79): Es sind immer die gleiche 5 Zahl, worunter er den konstanten zweiten Faktor 5 verstand. Allerdings hätte er darüber hinausgehend eigentlich nur den jeweils um 1 wachsenden ersten Faktor benennen können, da ihm Einsichten in die anderen Gesetzmäßigkeiten vermutlich verwehrt blieben: Denn erstens erhöhte er den zweiten Summanden nicht wie vorgesehen um jeweils 2, sondern stets um 1, und zweitens verrechnete er sich bei den Aufgaben der siebten und der elften Zeile 251. Jennifer Sebastian Marc-André Martin Daniela Abb. 78: Eigenproduktionen von Sebastian und Marc-André Abb. 79: Eigenproduktionen von Jennifer, Daniela und Martin Natürlich haben manche Kinder die Rechenpäckchen vervollständigt, indem sie lediglich scheinbar mechanisch die jeweils erste und dritte Zahl um 1 und das Ergebnis um 5 erhöhten sowie die zweite Zahl konstant mit 4 angaben. Dieses Vorgehen zeugt jedoch von Einsicht in die Aufbauprinzipien der Serie und ist daher zuerst einmal positiv zu bewerten. Das Beispiel von Marc- André verdeutlicht allerdings, daß auch eine trügerische Sicherheit eintreten konnte; dieses Phänomen wurde dann im Unterrichtsgespräch bewußt thematisiert und diente gewissermaßen als Warnung für alle Mitschüler, nicht zu schematisch vorzugehen: Marc-André hatte die Aufgabenserie bis zur achtzehnten Aufgabe fortgesetzt, zwischenzeitlich jedoch den Überblick verloren und zweimal denselben zweiten Summanden jeweils zwei Aufgaben zugeordnet, so daß seine letzte Gleichung lautete und er statt 100 das Resultat 90 erhielt. Die meisten Schüler hingegen schilderten mittlerweile mehr als eine Auffälligkeit, wie etwa in der Eigenproduktion von Jennifer sichtbar wird (vgl. Abb. 79): Es ist so, daß die Ergebnisse in Siebenern gehen, die zweite Zeile ist mit Fünfern, und die 1. Zeile ist so: 1, 2, 3, 4, 5, und in der dritten Reihe in Zweiern. Auch leistungsschwache Kinder wie etwa Daniela (vgl. Abb. 79) gaben Beschreibungen, deren Ausführlichkeit und sprachliche Gewandtheit freilich nicht mit den Texten der leistungsstärkeren Mitschüler vergleichbar waren, gleichwohl auf Einsicht in zugrundeliegende Sachverhalte schließen ließen: 5er- Reihe, 2er-Reihe, 7er-Reihe. 251 Gesicherte Aussagen über diese Rechenfehler sind jedoch nicht zu machen, da diese Eigenproduktion nicht in einem klinischen Interview, sondern im Unterricht entstand.

5 Strukturiertes Üben 193 Beim Aufgabenformat Zahlentreppen ließ es sich einrichten, daß jeweils ein Erwachsener ein Kind bzw. eine Kindergruppe bei der Bearbeitung beobachten konnte. Somit war es möglich, Rückfragen an die Kinder zu stellen, wenn die Bedeutung ihrer Aufzeichnungen nicht oder mehrdeutig zu verstehen war. Die Kinder sollten jeweils eine Aufgabenserie zur Addition (1+2+3, 2+3+4, usw.) und zur Multiplikation (3 2, 3 3, 3 4 usw.) ausrechnen, sodann fortsetzen sowie Auffälligkeiten beschreiben und ggf. auch begründen 252. Zusätzlich setzten sich die meisten Schüler mit einer erweiterten Variante der Grundaufgabe auseinander, bei der die Summe von jeweils fünf aufeinanderfolgenden Zahlen ermittelt und der jeweils dritte Summand mit 5 multipliziert werden mußte (z.b.: ; 5 3). Die Darstellung der Eigenproduktionen konzentriert sich im folgenden auf die erste Aufgabe, nicht ohne allerdings kurz auch den zweiten Teil einzubeziehen. Die meisten Schüler haben Auffälligkeiten angeführt, die sich aus der Aufgabenstruktur ergaben; eine ganze Reihe von ihnen hat zudem die Gleichheit der Ergebnisse zusammengehöriger Plus- und Malaufgaben angemerkt. Die Erklärungen von Sven und Sebastian sollen eingangs etwas ausführlicher diskutiert werden. Sven beschrieb, der zweite Summand und der zweite Faktor einerseits sowie die beiden Ergebnisse andererseits seien jeweils gleich. Er erklärte dann mit Hilfe der zur Verfügung stehenden Plättchen, warum die Summe dasselbe Resultat ergebe wie das Produkt 3 3 (vgl. Abb. 80): Man könne doch sehen, so Sven, daß es in der oberen Reihe einer weniger und in der unteren Reihe einer mehr sei. Dann zeichnete er ein entsprechendes Treppenmuster und deutete im nächsten Schritt graphisch an, wie er aus der unteren Reihe ein Plättchen in die obere verschieben würde, was er abschließend auch verschriftlichte: Wenn man ein Plättchen weg nimmt und zu der oberen Reihe tut, dann ist es 3 3. Auf die Rückfrage, ob sein Beweis nur bei dieser Aufgabe gelte, antwortete er, daß die Lösungsidee ohne weiteres übertragbar sei. Sebastian begann, indem er einen Zusammenhang zwischen den Plus- und den Malaufgaben herstellen wollte (vgl. Abb. 81). Hierbei war es sein Bestreben, aus der Aufgabe dreimal die 3 herauszuziehen, um die Gleichheit zum Produkt 3 3 erklären zu können: Hierzu addierte er die 2 und die 3 und subtrahierte davon wiederum die 2 ; somit erhielt er ein wenig umständlich die erste 3. In der 4, so Sebastian, sei die zweite 3 enthalten; dieses verdeutlichte er auch durch die Notation des entsprechenden Zahlensatzes ( 4 1=3 ). Die Reste der beiden Gleichungen addierte er ( 1+2 ) und erhielt dadurch wie gewünscht die dritte 3. Dann beschrieb er einige weitere Besonderheiten der Aufgabenstruktur, nämlich, daß die einzelnen Zahlen in der Horizontalen immer in einer Reihenfolge stünden, daß die Resultate stets um 3 wüchsen und daß der erste Faktor ( 3 ) immer derselbe sei. Dann gab er noch an, von Zeile zu Zeile würden die Zahlen jeweils um 1 größer, und verwies abschließend auf die eingangs bereits bewiesene Gleichheit beider Ergebnisse. Abb. 80: Die Eigenproduktion von Sven 252 Den Kindern standen Wendeplättchen zur Verfügung; allerdings machten nur wenige von diesen Gebrauch. Abb. 81: Die Eigenproduktion von Sebastian

6 Strukturiertes Üben 195 Das Verfahren, das er bei der Dreier-Zahlentreppe benutzte, um die Ergebnisgleichheit nachzuweisen, funktioniere, so Sebastian, nicht nur bei den restlichen Aufgaben, sondern sei auch für den zweiten Teil geeignet (die Fünfer- Treppe): Um diese Behauptung zu belegen, faßte er die drei ersten Summanden ( ) zu 3+3 zusammen und zog vom Ergebnis eine 1 ab, um die erste 5 zu erhalten. Die verbliebene 1 kombinierte er mit dem vierten Summanden zur zweiten 5 (3. Zeile) und schrieb zuletzt die Gleichung 5+0=5 auf, um das Entstehen der dritten 5 zu erklären. Genaugenommen handelte es sich nicht um exakt dasselbe Vorgehen, da Sebastian sich bei der ersten Aufgabe an der mittleren Zahl der 3 orientierte, im zweiten Teil hingegen die Anzahl der Summanden als Bezugspunkt nahm und sich dabei jeweils bemühte, den größten Summanden die 5 zu erreichen. Anschließend notierte Sebastian noch einige weitere Entdeckungen, die denen der ersten Teilaufgabe weitgehend entsprachen, mit Ausnahme des Kommentars: Man muß Plus aber Minus rechnen. Damit wollte er nach eigener Aussage bekunden, daß man zwar zuerst zwei Zahlen addieren, dann aber geeignet subtrahieren müsse, um, wie oben beschrieben, die drei Fünfen zu erhalten. Zwar versuchten nicht sämtliche Schüler, ihre Entdeckungen ähnlich wie Sven oder Sebastian zu begründen; Beschreibungen von Auffälligkeiten hingegen finden sich in nahezu allen Eigenproduktionen. Achim beispielsweise vermerkte, daß die Resultate der rechten Aufgabenserie die Dreierreihe darstellten (vgl. Abb. 82); in der linken Spalte seien zudem die jeweils untereinanderstehenden Summanden aufeinanderfolgende Zahlen ( Nach der Reihenfolge ). Außerdem gab er an, die Ergebnisse innerhalb einer Zeile seien jeweils dieselben und unterschieden sich außerdem von Zeile zu Zeile um 2 (!). Diese Äußerung erklärt sich dadruch, daß Achim beim Zählen jeweils die beiden Zahlen zwischen zwei Resultaten berücksichtigte (9, 10, 11, 12). Achim Nina mündlich hinzu, links stets drei zu summierende Zahlen, und rechts stehe immer eine mit 3 zu multiplizierende Zahl. Außerdem bildeten untereinanderund nebeneinanderstehende Zahlen jeweils eine Reihenfolge. Sie notierte zudem, ihr sei aufgefallen, es sei bei Mal immer mehr als bei Plus. Der unmittelbare Bezug zum Aufgabenformat war nicht erkennbar; Nina wollte von ihrer Entdeckung berichten, daß Malaufgaben immer ein größeres Ergebnis hätten als Plusaufgaben, für die man dieselben Zahlen verwendete: Exemplarisch verglich sie das Resultat von mit dem Ergebnis von Daß die Ergebnisse von nebeneinander stehenden Aufgaben gleich waren, bemerkte sie allerdings erst, nachdem sie die zweite Teilaufgabe bearbeitet, dort Vergleichbares festgestellt und einen beschreibenden Satz nachgetragen hatte ( Das sind die gleichen Ergebnisse ). Neben diesen auf die Aufgabenstruktur bezogenen Kommentaren wurden auch einige unerwartete Entdeckungen geäußert: Nachdem beispielsweise Markus die Serie bis zur zehnten Zeile fortgesetzt hatte, beschrieb er recht ausführlich die Art der Aufgabendarbietung (vgl. Abb. 83): Mit dem Satz 4 Aufgaben sind in einer Reihe wollte er nach eigenem Bekunden ausdrücken, daß jede Plusaufgabe aus vier Zahlen bestehe; analog umschrieb er die Bauart der Malaufgaben mit 3 Aufgaben sind in einer Reihe. Außerdem gab er an, daß in der Serie der Plusaufgaben jeweils zehn Zahlen untereinander stünden und daß es bei den Malaufgaben ursprünglich vier gewesen seien und er noch sechs hinzugefügt habe. Markus hatte die Strukturgesetzlichkeiten der Aufgabenserien entdeckt, zu deren Weiterführung benutzt und bis auf eine Ausnahme alle Resultate richtig ausgerechnet, allerdings keine man könnte sagen über Äußerlichkeiten hinausgehenden Auffälligkeiten erwähnt. Seine Eigenproduktion soll stellvertretend für vergleichbare andere verdeutlichen, daß es im Unterricht wichtig war, durch den impliziten Einfluß der Lehrerin behutsam Normierungen entstehen zu lassen, was als mathematisch besonders bedeutsam galt und was im Kontext des Mathematikunterrichts als nicht so zentral erachtet wurde 253. Danielas Eigenproduktion ein letztes Beispiel zeigt, daß ihr aufgefallen war, die links stehenden Aufgaben seien immer länger ( lega ) und die rechts angeordneten immer kürzer ( küza ). Sie setzte jedoch die beiden Serien nicht fort und gab an, sie habe keine weiteren Auffälligkeiten entdeckt ( Mehr fällt mir nicht auf ). Auf Nachfrage schrieb sie dann zwar noch auf, daß die untereinanderstehenden Zahlen nach der Reihe kämen, und merkte außerdem an, sie habe in der vierten Zeile eine falsche Zahl verwendet ( ), doch korrigierte diesen Irrtum nicht (vgl. Abb. 83). Abb. 82: Die Eigenprosuktionen von Achim und Nina Nina hatte die Aufgabenstruktur erkannt und durch die aus der Abb. 82 ersichtliche Anordnung der Zahlen kenntlich gemacht: Es seien, so fügte sie 253 Vgl. die ähnlichen Gedanken über die Effizienz bzw. die Eleganz von Rechenstrategien in Kap. 5.5.

7 Strukturiertes Üben Zusammenfassung Markus Abb. 83: Die Eigenproduktionen von Markus und Daniela Daniela Weitere Unterrichtszeit war dem strukturierten Üben der Division gewidmet; auch dort sollten die Schüler operative Serien berechnen, fortsetzen und Auffälligkeiten beschreiben und ggf. begründen (vgl. WITTMANN/MÜLLER 1992, 52ff.). 1.) Wie zu erwarten gewesen war, fielen die ersten schriftlichen Äußerungen der Schüler in der Regel recht kurz aus. Schließlich handelte es sich beim (schriftlichen) Beschreiben und Begründen von Auffälligkeiten um eine zu diesem Zeitpunkt gänzlich ungewohnte Aktivität. Die Texte wurden jedoch innerhalb kurzer Zeit ausführlicher; außerdem erwiesen sich die Schüler als recht erfindungsreich darin, durch den Gebrauch von graphischen Elementen Informationen zu geben, deren verbale Umschreibung ihnen als noch zu mühsam erschien oder derart treffend gar nicht zum Ausdruck hätte gebracht werden können (vgl. etwa Markus oder Sven). Die Kompetenz zum Schreiben gehaltvoller und verständlicher mathematischer Texte entwikkelt sich natürlich in einem langfristigen Lernprozeß, der sich über die gesamte Schulzeit hinwegzieht. Das bedeutet einerseits, daß man in frühen Phasen nicht zu hohe Ansprüche an den Adressatenbezug der Ausführungen oder an deren stilistische Eleganz erheben sollte. Andererseits ergibt sich die Konsequenz, das Schreiben im Mathematikunterricht durchaus für die ersten Schuljahre zu propagieren, um bereits frühe Lernchancen zu nutzen. 2.) Die orthographische Korrektheit sowie die äußere Form sind bei den spontanen Schreibprodukte zuerst einmal als nachrangig einzustufen. In diesen frühen Phasen des Schreiblernprozesses könnte eine zu starke Betonung formaler Kriterien die Kinder davon abhalten, authentische Gedanken zu äußern, und somit die Konsequenz haben, daß sie nur diejenigen Gesichtspunkte schriftlich formulieren, über deren formale Korrektheit sie sich sicher sind. Nach einer gewissen Anlaufphase sollten jedoch wie auch im Sprachunterricht behutsam Normierungen für die Korrektheit und die Übersichtlichkeit entstehen. Denn es ist keineswegs intendiert, daß mathematische Texte orthographisch und gestalterisch minderwertiger sein sollten als andere Textformen. Zwar sollte das Reguläre das Singuläre nicht überwältigen um die Begrifflichkeiten von GALLIN und RUF zu verwenden, aber es sollte auch das Singuläre langfristig gesehen nicht über das Reguläre dominieren: Gewisse Standards im Bereich bspw. des Rechtschreibens oder auch der Rechenfertigkeiten sollen durch eine stärkere Betonung des Individuellen unter keinen Umständen gesenkt werden. 3.) Zu Beginn dieser Phase des Unterrichtsversuchs wurde deutlich, daß sich ein Beweisbedürfnis bei den Kindern erst entwickeln mußte, eine Aufgabe, die in der zur Verfügung stehenden Zeit nur ansatzweise zu leisten war. Beweisideen wurden anfangs ausschließlich durch die Lehrperson eingebracht; im Laufe des Schulhalbjahrs haben auch einige Schüler in der Regel die leistungsstärkeren entsprechende Ansätze gezeigt.

8 Erkundung und Anwendung 199 Beim Beschreiben von Zusammenhängen und Gesetzmäßigkeiten war es vonnöten, ein Gespür dafür entstehen zu lassen, daß die Aufgabenstellungen häufig mehr als eine Auffälligkeit aufwiesen. Die Kinder haben einige unerwartete, aber durchaus sinnvolle Aspekte als bedeutsam angesehen, die aus Erwachsenensicht als nicht besonders wichtig erschienen, etwa die Anzahl der Pluszeichen in einer Aufgabenserie. Auch hier gelang es immer besser aufgrund der wenigen zur Verfügung stehenden Zeit aber nicht mehr als immer noch ansatzweise, daß sich gewisse Normierungen für die mathematisch bedeutsameren Aspekte entwickelten. 5.7 Erkundung und Anwendung Wie im Kapitel dargestellt, sollten die Schüler am Ende des Halbjahres Erkundungs- und Anwendungsaufgaben bearbeiten, bei denen sie sich mit offenen, strukturorientierten Problemstellungen auseinandersetzten oder das erworbene Wissen auf realitätsbezogene Themengebiete etwa die Verhältnisrechnung anwendeten und dadurch ausbauten 254. Der eigentliche Lerninhalt multiplikatives Rechnen wurde hierbei integrierend geübt, und zudem wurden auch die allgemeinen Lernziele geschult: argumentieren, kreativ sein, mathematisieren oder sich ausdrücken Knobelaufgaben und Aufgaben zur Verhältnisrechnung Ein repräsentatives Beispiel für die in diesen Unterrichtsstunden behandelten sog. Knobelaufgaben bestand darin, sämtliche Produkte zu finden, deren Resultat zwischen 30 und 40 lag 255. Abb. 84: Malaufgaben zwischen 30 und 40 - gefunden von Manuela 254 Kontextaufgaben wurden über den gesamten Lernprozeß hinweg, hier jedoch bevorzugt eingesetzt (vgl. Kap. 5.3). 255 Der Terminus zwischen wurde so interpretiert, daß die Grenzen zum Intervall gehörten.

9 Erkundung und Anwendung 201 Einige Schüler schienen recht unsystematisch vorzugehen; bei den meisten konnte hingegen das Bestreben festgestellt werden, Aufgaben und Ergebnisse geordnet zu notieren. Manuela etwa fand auf diesem Wege sämtliche Mal-Zerlegungen mit Ausnahme von 3 13 und 13 3 sowie den verständlicherweise nicht aufgeführten Produkten mit dem Faktor 1 (vgl. Abb. 84) 256. Bei einer anderen Knobelaufgabe bekamen die Schüler den Auftrag, alle aus zwei Faktoren bestehenden Produkte anzugeben, die sich mit Hilfe der jeweils mehrfach zur Verfügung stehenden Zahlen 3, 4, 5, 6 bilden ließen. In der Regel ließen sich zumindest Ansätze zu einem systematischen Vorgehen beobachten, so etwa die Nutzung der Tauschaufgabe, die Variation des zweiten (ersten) bei konstant gehaltenem ersten bzw. zweiten Faktor oder die Erhöhung bzw. Erniedrigung von Faktoren um jeweils 1. Patricias Eigenproduktion, aus der bis auf 6 3 alle gesuchten Aufgaben hervorgehen, soll nun repräsentativ für diejenigen Lösungen abgebildet werden, bei denen mehrere Vorgehensweisen alternierend eingesetzt wurden (vgl. Abb. 85). Diesen Wechsel zwischen verschiedenen als solche nicht notwendigerweise bewußt verwendeten Strategiekeimen verdeutlichte Patricia durch ihre Anmerkung Ich habe durcheinander gerechnet. Andere Schüler wie beispielsweise Sascha benutzten konsequent eine einzige Strategie (vgl. Abb. 85), und übertrugen diese auch auf das anschließend gestellte Problem, analog alle Produkte mit den Faktoren 7, 8, 9, 10 zu ermitteln: Er erhöhte bei jeweils konstantem ersten Faktor den zweiten stets um 1 mit der kleinsten zur Verfügung stehenden Zahl beginnend und beschrieb seine Vorgehensweise durch den Kurzkommentar nach der Reihe. Ein weiteres Aufgabenformat stellte das sog. Blumenrechnen dar, bei dem einfache Aufgaben zur Verhältnisrechnung behandelt wurden. Ausgehend von der Information, daß drei Blumen 9 DM kosteten, sollten die Schüler beispielsweise herausfinden, welcher Preis für neun Blumen zu entrichten sei. Diese Aufgabe wurde von allen außer von Benni korrekt gelöst; die Abbildung 86 zeigt die vier wesentlich verschiedenen Lösungsstrategien: Multiplikation (Kristina), strukturiertes Zählen (Oliver), eine Mischform aus Multiplikation und Addition (Björn) sowie wiederholte Addition (Patricia) 257. Kristina Oliver Björn Patricia Abb. 86: Lösungswege zur ersten Blumenaufgabe Patricia Sascha Abb. 85: Eigenproduktionen von Patricia und Sascha 256 Aus der Abb. 84 ist derjenige Teil des Arbeitsblatts nicht ersichtlich, in dem die Schüler gebeten wurden, auch Aufgaben anzugeben, bei denen einer der Faktoren größer als 10 war. Aus der Abbildung ist nur die Problemstellung ersichtlich, Einmaleinsaufgaben aus dem entsprechenden Intervall zu notieren. Eine weitere, etwas komplexere Aufgabe hingegen wurde lediglich von der Hälfte der Schüler korrekt bearbeitet: Sechs Blumen kosten 18 DM. Wieviel DM kosten fünf Blumen? (vgl. Abb. 87). Die Fehllösungen ließen sich bis auf zwei Ausnahmen zwei verschiedenen Typen zuordnen: Entweder waren die Kinder der Meinung, drei Blumen kosteten 9 DM, und zur Ermittlung des Preises von fünf also zwei zusätzlichen Blumen seien auch 2 DM zu addieren (Oliver). Oder sie waren der Auffassung, es sei eine Blume weniger und demnach müsse auch 1 DM subtrahiert werden (Jennifer). Bei den korrekten Bearbeitungen gingen die Kinder vom Preis für eine Blume (3 DM) aus und verwendeten eine der drei folgenden Strategien: Subtraktion von 3 DM vom Preis für sechs Blumen (Simone), strukturiertes Zählen bzw. wiederholte Addition von fünfmal 3 DM (Nina) oder Addition von zweimal 3 DM, ausgehend vom Preis für drei Blumen (Sven). 257 Patricia löste die Aufgabe durch wiederholte Addition der 9 zuerst im Kopf und gab den Lösungsweg dann im nachhinein an.

10 Erkundung und Anwendung 203 Jennifer Oliver Simone frage erläuterte er, daß er den Preis für eine Blume mit 3 DM annahm und dann in Dreierschritten vorwärts gezählt habe, bis alle neun (bzw. fünf) Blumen berücksichtigt worden seien. Wenn mehr Zeit zur Verfügung gestanden hätte, wäre es möglich gewesen, unterschiedliche Lösungsstrategien im Unterricht zu diskutieren. Unter den gegebenen Umständen jedoch mußte es leider bei einer kurzen Begegnung mit dem Lerninhalt Verhältnisrechnung bleiben, die jedoch andeutete, wie wertvoll seine Behandlung bereits im zweiten Schuljahr sein kann. Nina Sven Abb. 87: Lösungen zur zweiten Blumenaufgabe Einige Schüler haben zudem kleine Texte über ihr Vorgehen verfaßt (vgl. Abb. 88). Benni beispielsweise hatte anfangs Schwierigkeiten mit der Tatsache, daß einerseits drei Blumen 9 DM kosteten und andererseits der Preis für neun Blumen ermittelt werden sollte. Diesen veranschlagte er zuerst ebenfalls mit 9 DM, was er wie folgt legitimierte: Da sind ja schon 9 Blumen. Nachdem er die zweite Teilaufgabe bearbeitet hatte, kam er nochmals auf den ersten Teil zurück und erklärte ergänzend: Ich habe gerechnet, daß die immer 3 DM kosten; vielleicht kommt da 28 heraus. Benni Achim Abb. 88: Erläuterungen zum Rechenweg von Benni und Achim Achim beschrieb seinen Rechenweg wie folgt: Immer mit Dreiern gerechnet; immer drei dazu gerechnet, bis die Blumen nicht mehr da waren. Auf Rück-

11 Erkundung und Anwendung Kontextaufgaben mit großen Zahlen In einer parallel zum Unterricht durchgeführten Interviewserie bearbeiteten außerdem zwanzig Schüler vier Kontextaufgaben mit Zahlwerten, die über den Bereich des kleinen Einmaleins bzw. der entsprechenden Umkehraufgaben hinausgingen 258. Hierzu wurde ähnlich wie im Rahmen der Standortbestimmung (vgl. Kap. 5.1) jeweils eine Aufgabe zum räumlich-simultanen bzw. zum zeitlich-sukzessiven Aspekt der Multiplikation sowie zum Aufteilen bzw. zum Verteilen gewählt. Im nachhinein hat sich der Kontext der ersten Aufgabe ( In einer Tüte sind 23 Bonbons. Wie viele Bonbons sind in 5 Tüten? ) als nicht besonders geeignet erwiesen, da er vier Kinder dazu veranlaßte, zu dividieren vermutlich, weil die Schüler bei Bonbon-Aufgaben zuvor mehrfach verteilen gemußt hatten. Zwei Schüler schienen zudem die Situation nicht oder anders verstanden zu haben und gaben keine erkennbare Lösungsstrategie n. Die übrigen vierzehn Schüler hingegen versuchten, die Aufgabe durch Addition (bzw. Zählen) oder durch geschickte Zerlegung in Teilprodukte zu lösen; dabei gelangten acht Schüler zum korrekten Resultat 259 : Marc-André beispielsweise berechnete die Aufgabe mit Hilfe des Distributivgesetzes im Kopf und notierte die entsprechenden Zahlensätze auf Bitten des Interviewers (vgl. Abb. 89). Björn verteilte zuerst die Bonbons an fünf Personen (1. und 2. Zeile), bemerkte jedoch seinen Irrtum, gab nach einer kurzen Phase des Kopfrechnens mündlich die Antwort 115, schrieb den Zahlensatz 23 5=015 hin und erläuterte sein Vorgehen (vgl. Abb. 89). Teilsummanden addierte er so, wie aus der letzten Zeile ersichtlich, und gab abschließend das Endergebnis mit Hilfe des Interviewers jetzt auch symbolisch korrekt mit 115 an. Neun derjenigen vierzehn Schüler, die den Aufgabenkontext verstanden hatten, gingen additiv vor (vgl. Abb. 90) 260. Patricia beispielsweise verdoppelte die 23 zweimal, so daß sie zum Resultat von 4 23 kam, zu dem sie nochmals 23 addierte 261 : Wenn man 90 und 20 zusammenzähle, so Patricia, komme man zur 110, was sie allerdings durch die Notation einer 1 im Hunderterund einer 0 im Zehnerstellenwert verdeutlichte. Anschließend addierte sie die 2 von der 92 sowie die 3 von der 23 und vermerkte die Summe in der Einerspalte, so daß sie schließlich zum Endresultat 105 gelangte. Patricia Manuela Achim Marc-André Björn Benni Abb.90: Lösungen durch Addition bzw. Vorwärtszählen Abb. 89: Lösungen durch Multiplikation In der vierte Zeile wollte er durch die Angabe der drei Zahlen ausdrükken, daß er zuerst 20 5 und dann 5 3 berechnet habe; die entsprechenden Die Eigenproduktionen von Manuela und Achim repräsentieren die häufig eingesetzte Strategie, die 23 wiederholt zu addierten und sich die Anzahl der bereits eingerechneten Summanden durch Merkzahlen zu vergegenwärtigen. Manuela bewältigte dabei die einzelnen Rechenschritte ohne Schwierigkeiten; 258 René konnte langfristig nicht am Unterricht teilnehmen, so daß sich die Zahl der Schüler bis zum Ende des Halbjahres auf zwanzig reduzierte. 259 Hierbei benutzten drei Schüler eine ikonische Stütze. 260 Die anderen fünf wählten eine Strategie, die mit der Marc-Andrés oder Björns vergleichbar war. 261 Die schriftliche Addition hatte sie sich bereits von ihrer älteren Schwester erklären lassen.

12 Erkundung und Anwendung 207 Achim hingegen ermittelte die Lösung zählend, wobei ihm bei den letzten beiden Summanden Fehler unterliefen. Benni schließlich schrieb zuerst die Summe hin, stellte dann jedoch fest, daß deren Berechnung ohne zusätzliche Merkhilfen oder anschauliche Stützen recht schwierig werden würden. Daher begann er, die Reihe der natürlichen Zahlen bei 1 beginnend zu notieren, stoppte jedoch bei 16, weil es nach seiner Aussage zu viele Zahlen geworden wären, und rechnete statt dessen im Kopf aus ( 45 ). Anschließend malte er dreiundzwanzig Punkte in linearer Anordnung, zählte von 45 aus weiter und gab das Resultat 68 an. Daraufhin zeichnete er dreiundzwanzig weitere Punkte, strich diese während des Abzählens durch, glich seinen eingangs begangenen Fehler unbewußt durch einen weiteren wieder aus und vermerkte das Zwischenergebnis 92. Zum Schluß wiederholte er seine Prozedur Zeichnen, Abzählen, Durchstreichen und erhielt auf diesem Wege das Ergebnis 115, bei dem er verständlicherweise nicht genau wußte, wie diese Zahl symbolisch zu notieren war; mit Hilfe des Interviewers konnte er zum Schluß aber die entsprechende Darstellung angeben. Vergleichbare Vorgehensweisen ließen sich auch bei der zweiten Aufgabe beobachten: Petra ißt jeden Tag 3 Brötchen. Wie viele Brötchen ißt sie an 28 Tagen? Drei Schüler hatten den Kontext wohl nicht verstanden und dividierten oder schienen eine Antwort zu raten; von den restlichen siebzehn Kindern kamen immerhin elf zu korrekten Lösung. Acht Schüler benutzten dabei recht elegante Lösungsstrategien wie beispielsweise Nadine, die das Distributivgesetz anwendete ( 3 28= ), oder Manuela, die sich des Kommutativgesetzes bediente, indem sie die mit hohem Merkaufwand verbundene und langwierige Berechnung der Summe auf die der kürzeren reduzierte (vgl. Abb. 91). Benni Abb. 92: Lösungen durch Addition oder Vorwärtszählen Angela Stellvertretend für die neun fehlerhaften Bearbeitungen sollen nun zwei Eigenproduktionen vorgestellt werden (vgl. Abb. 93): Martin dividierte vermutlich aufgrund von Verständnisschwierigkeiten 28 durch 3, trug dabei in der linken Spalte die Zwischenergebnisse der schrittweisen Subtraktion von jeweils 3 ein, notierte rechts daneben stets P3 ( Petra - 3 Brötchen ) und gab als Lösung 27 ( 9 3 ) an 262. Simone schließlich bediente sich zwar des Vertauschungsgesetzes, beging dabei einen Rechenfehler (3 8=25) und erzielte somit trotz ihres geschickten Vorgehens am Ende nicht das korrekte Resultat. Nadine Manuela Abb. 91: Lösungen durch Multiplikation und Addition Die restlichen neun Schüler zählten achtundzwanzigmal die 3 zusammen entweder mit Hilfe von gegliederten Punktreihen (wie etwa Benni, Abb. 92) oder indem jeweils die Anzahl der bereits addierten Dreien sowie die entsprechenden Zwischensummen festgehalten wurde: 1 3, 2 6, (vgl. Angela, Abb. 92). Martin Abb. 93: Lösungen mit Fehlern Simone 262 Vgl. seine normalerweise benutzte Vorgehensweise bei der Division (Kap. 6.4).

13 Erkundung und Anwendung 209 Die dritte Aufgabe In einer Turnhalle sind 81 Kinder. Es sollen immer 6 Kinder in eine Mannschaft wurde von vier Kindern inhaltlich anscheinend nicht verstanden, von sieben Schülern mit in der Regel kleineren Fehlern und von neun Schülern vollständig korrekt bearbeitet. Bei den beiden Aufgaben zur Multiplikation wurden nahezu ausschließlich Lösungen auf der symbolischen Ebene produziert; sowohl bei der Turnhallen- als auch bei der nachfolgenden Bonbon-Aufgabe hingegen bediente sich etwa die Hälfte der Schüler des linearen oder des Rechtecksmodells (vgl. Abb. 94) 263. Nadine beispielsweise malte dreizehnmal jeweils sechs untereinander angeordnete Punkte und zählte begleitend bis 84. Sie kennzeichnete sodann die drei überzähligen Punkte, indem sie diese ausmalte, und gab an, daß dreizehn Mannschaften zu bilden seien und drei Kinder übrigblieben ( Man hat dann noch drei übrig ). Da es sich bei letzterem um eine eigene Mannschaft handele, seien es also vierzehn Gruppen. Auch Daniela beabsichtigte, die Punkte rechteckig anzuordnen, hielt jedoch deren Anzahl innerhalb der Zeilen nicht konstant: Zuerst malte sie sechsmal fünf, dann zweimal sechs, daraufhin fünfmal sieben und schließlich einmal vier Punkte. Sie konnte sich jedoch helfen, indem sie jeweils sechs Punkte durch einen waagerechten Strich verband, und erzielte auf diese Weise das korrekte Ergebnis. Sascha benutzte wie auch einige seiner Mitschüler das lineare Modell, gliederte die Punktreihen dabei mit Hilfe von senkrechten Strichen und kam zu der Lösung: Es sind dreizehn Gruppen; drei Kinder bleiben übrig. Diejenigen elf Kinder, die die Problemstellung ohne ikonische Stützen bearbeiteten, benutzten entweder die Addition oder die Multiplikation (vgl. Abb. 95). Björn beispielsweise gab nach einer längeren Phase des Kopfrechnens die Antwort, es seien dreizehn Gruppen, und drei Kinder müßten Ersatzspieler sein. Auf Rückfrage des Interviewers hielt er dann schriftlich fest, daß er das Resultat durch schrittweise Addition der 6 erhalten habe. Sven riet zuerst ein Ergebnis ( 7 ), merkte jedoch umgehend, daß seine Antwort nicht stimmen konnte ( 7 6=42 ), und notierte einen Zahlensatz, der ihm passend zur 81 gerade einfiel ( 9 9=81 ). Dann sagte er, es müßten neun Mannschaften mit jeweils neun Kindern sein, stellte allerdings alsbald fest, daß die Aufgabenstellung es erforderte, jeweils Sechsergruppen zu bilden. Er begann sodann, fortlaufend 6 zu addieren ( 6+6=12 ); dieses Vorgehen wurde ihm jedoch schnell zu umständlich, so daß er den Zahlensatz 10 6=60 benutzte und jeweils 6 dazuzählte, bis er bei 84 angelangt war. Allerdings konnte er hieraus nicht auf Anhieb die Anzahl der Mannschaften ableiten, so daß er, von zwölf Kindern (zwei Teams) ausgehend, zweimal verdoppelte (48 Kinder sind acht Teams) und dazu nochmals vier Mannschaften (24 Kinder) hinzuzählte. Dabei verlor er zwar kurzfristig den Überblick und strich die entsprechende Merkzeile ( ) durch, begann nochmals von vorn und erhielt so das angestrebte Resultat, indem er zu sechzig Kindern (zehn Teams) noch 24 addierte (vier Teams): Dreizehn Mannschaften können spielen. Drei Kinder müssen eine Mannschaft bilden. Nadine Björn Sascha Daniela Abb. 94: Lösungen mit Hilfe von Punktmustern Sven Markus 263 Jeweils neun von zwanzig Kindern benutzten anschauliche Stützen zur Lösung der beiden Geteiltaufgaben; bei den Malaufgaben hingegen war dieses nur bei insgesamt drei von vierzig Bearbeitungen der Fall. Abb. 95: Lösungen durch Addition bzw. Multiplikation

14 Erkundung und Anwendung 211 Markus löste die Aufgabe wie Björn durch wiederholte Addition der 6, notierte sich allerdings nach jedem Rechenschritt das jeweilige Zwischenergebnis als Merkhilfe und gab ebenfalls mündlich an, daß drei Schüler übrigblieben. Abschließend sollen zwei Fehllösungen dargestellt werden, die über einen rationalen Kern verfügten (vgl. Abb. 96). Nadine hatte die Aufgabe so verstanden, daß sie sechs Gruppen mit jeweils 81 Kindern bilden sollte und ermittelte das Resultat der entsprechenden Malaufgabe richtig, indem sie 6 80 auf 8 6 zurückführte und das Resultat von 6 1 zu 480 addierte. Oliver faßte stets zwei Sechser zu einem Zwölfer zusammen, ermittelte die Zwischenergebnisse (12, 24, ) jeweils korrekt, berücksichtigte zum Abschluß jedoch den ersten, oben in der Mitte durch Striche repräsentierten Zwölfer im Gegensatz zu den anderen nur ein- statt zweifach, so daß in seiner Endabrechnung eine Gruppe fehlte ( 12 Gruppen 3 Kinder übrig ). Nadine Abb. 96: Lösungen mit Fehlern Oliver Drei Kinder bearbeiteten die vierte und letzte Aufgabe In einer Tüte sind 84 Bonbons. 7 Kinder teilen sich die Bonbons ohne eine erkennbar aufgabenbezogene Vorgehensweise, zehn Kinder lösten die Aufgabe vollständig korrekt, und sieben begingen einen oder mehrere Fehler. Die letztgenannten siebzehn Schüler benutzten die Rückführung der Division auf die Multiplikation als Lösungshilfe oder wählten Strategien, die der Vorstellung des Ausmessens nahelagen das Aufsplitten konnte hierbei nicht (mehr) beobachtet werden (vgl. Kap ). Wie schon bei der Turnhallenaufgabe haben neun von insgesamt zwanzig Schülern das Problem mit Hilfe einer Zeichung gelöst; die anderen sich hingegen der symbolischen Darstellungsform zur Ermittlung oder zur Dokumentation ihres Ergebnisses bedient. Die gegliederte Punktreihe von Jennifer, die jeden Siebener als eine Ganzheit betrachtete und die Zwischenergebnisse entsprechend mittig notierte, sowie die Gleichungskette von Marc-André, der von 7 7=49 ausging, fortlaufend 7 addierte und die Anzahl der Summanden mit Hilfe von Merkzahlen festhielt, sollen beide Vorgehensweisen exemplarisch illustrieren (vgl. Abb. 97). Abb. 97: Lösungen zur Bonbonaufgabe von Jennifer und Marc-André Jennifer Marc-André Zum Abschluß sollen noch einige repräsentativ ausgewählte Fehllösungen erwähnt werden (vgl. Abb. 98). Nina beispielweise zeichnete zwar ein Rechtecksmodell ( Ich teile erst einmal jedem eins aus! ) und zählte dabei auch laut bis zur 84, hatte allerdings letztendlich aufgrund mehrerer Zählfehler 94 Punkte aufgemalt. Daher behielt sie in der letzten Reihe unten links drei Punkte übrig; diesen Rest vermerkte sie ( 3 ) rechts neben dem Punktefeld. Jedes Kind, so Nina, bekomme somit dreizehn Bonbons. Thilo hatte sein Resultat vermutlich durch Raten erhalten und konnte keine näheren Auskünfte über seine Vorgehensweise geben; Oliver hingegen subtrahierte sieben Bonbons von 84 und war der Meinung, daß nun jedes Kind 7 Bonbons erhalte: Jeder kriegt sieben Bonbons. 84 sieben abzieht, dann kriegt jedes Kind sieben Bonbons. Nina Abb.98: Bearbeitungen zur Bonbonaufgabe mit Fehlern Thilo Oliver

15 Erkundung und Anwendung 213 Den Abschluß des eigentlichen Unterrichtsversuchs bildeten dann drei Stunden, in deren Zentrum Übungsserien bzw. Spiele mit dem Schwerpunktziel der Automatisierung des Einmaleins standen. Es scheint jedoch nicht erforderlich, diese Aktivitäten im Rahmen der vorliegenden Arbeit vorzustellen (vgl. die einleitenden Bemerkungen zu Kap. 5.3) Zusammenfassung 1.) Bei den Kontextaufgaben zur Multiplikation mit großen Zahlen erfolgten lediglich drei von insgesamt vierzig Bearbeitungen unter Zuhilfenahme ikonischer Stützen, bei der Division hingegen wurden achtzehn Aufgaben also nahezu jede zweite mit Unterstützung des linearen bzw. des Rechtecksmodells angegangen. Ohne diesen Daten eine übergroße Bedeutung beizumessen, bestätigte sich die Tendenz, daß die Schüler Malaufgaben zu diesem Zeitpunkt nahezu ausnahmslos auf der symbolischen Ebene bearbeiteten, bei den schwierigen Geteiltaufgaben jedoch häufig die beiden Modellen gebrauchten und diese auch spontan auf größere Zahlräume erweiterten. Als Grundvorstellungen konnten bei der Multiplikation das wiederholte Addieren bzw. die zusammengesetzten Einheiten (vgl. etwa Manuela oder Björn) sowie bei der Division das Anbinden an die Multiplikation bzw. das Ausmessen (vgl. etwa Marc-André oder Jennifer) beobachtet werden. Sämtliche Schüler schienen am Ende des Unterrichtsversuchs ein von lebensweltlichen Kontexten unabhängiges, integratives Verständnis der Division erworben zu haben, denn bei den Verteilaufgaben schien die für große Zahlen ohnehin unpraktikable Vorstellung des Aufsplittens bei keinem Schüler wirksam zu sein. 2.) Von den achtzig Bearbeitungen bei den vier Kontextaufgaben waren 38 also nur geringfügig weniger als 50% vollständig korrekt, 26 wiesen z.t. kleinere Fehler auf, und bei sechzehn Antworten schien es so, als hätten die Schüler den Kontext nicht bzw. anders verstanden, als es intendiert war. Während bei den letzten drei Aufgaben die Verteilung zwischen richtigen, falschen und alternativen Bearbeitungen bei 3:2:1 lag, war dieses Verhältnis bei der Bonbonaufgabe wohl hauptsächlich aus den erwähnten Gründen mit 4:3:3 deutlich ungünstiger. Die Schüler zeigten sich gleichwohl zu einem überwiegenden Teil in der Lage, komplexe Problemstellungen mit ihren eigenen, bisweilen umständlich scheinenden Methoden anzugehen. Dabei wurde im Hinblick auf die halbschriftliche Multiplikation bzw. Division genügend Material für weitere Prozesse der fortschreitenden Schematisierung produziert, denn die Spanne des Vorgehens reichte vom Zeichnen und Zählen jedes einzelnen Objekts bis hin zur geschickten Anwendung von Rechenstrategien. 3.) Bei den Erkundungsaufgaben gingen die meisten Kinder systematisch vor; die guten Lösungen zeichneten sich in der Regel dadurch aus, daß eine einzige Strategie konsequent eingesetzt wurde. Bei den anderen Bearbeitungen hingegen wurden verschiedene Strategien in der Regel jedoch nur in Ansätzen verwendet und waren häufig nicht miteinander koordiniert. 4.) Die Auseinandersetzung mit den Aufgaben zur Verhältnisrechnung fiel aufgrund der zur Verfügung stehenden Zeit sehr kurz aus, so daß keine ge-

16 Rückschau auf den Unterrichtsversuch 215 sicherten Aussagen über die Kompetenzen der Schüler gemacht werden können. Allerdings deutete bereits die flüchtige Begegnung mit diesem Themenbereich an, daß er im Sinne des vorgreifenden Lernens den Unterricht bereichern kann. 5.8 Rückschau auf den Unterrichtsversuch Im Anschluß an die abschließende Phase des eigentlichen Unterrichtskonzepts (vgl. Kap ) schrieben die Schüler u. a. einen Abschlußtest, mittels dessen die Rechenfertigkeiten bei kontextfreien und kontextgebundenen Mal- bzw. Geteiltaufgaben ermittelt wurden (Kap ). Zudem sollten sie sich in der Rückschau über den Lehr-/Lernprozeß bewußtwerden soweit es in dieser Altersstufe möglich schien und ihre diesbezüglichen Überlegungen dokumentieren. Derartige Reflexionsprozesse waren freilich im Verlauf des Schulhalbjahres durch die Eigenproduktionen immer wieder angeregt worden, wurden jedoch zum Abschluß nochmals explizit thematisiert. Daher kommt dem Erstellen von Schulbuchseiten für die Nachfolgeklasse (Kap ) sowie den Texten über den Unterrichtsversuch (Kap ) jeweils ein eigenes Unterkapitel zu Schulbuchseiten für die Nachfolgeklasse Die Schüler sollten abschließend für diejenigen Kinder Schulbuchseiten konzipieren, die sich zu jenem Zeitpunkt noch im ersten Schuljahr befanden. Dadurch, daß sie jeweils eine Seite eigens für Einmaleins-Anfänger und eine andere speziell für Einmaleins-Profis erstellten, sollten die Kinder sowohl über die ersten als auch über die letzten Wochen des Schulhalbjahres und damit indirekt auch über den eigenen Lernfortschritt reflektieren 264. Aufgaben für Einmaleins-Profis zeichneten sich verständlicherweise häufig dadurch aus, daß sie wie etwa bei Benni (Abb. 99) große Zahlen aufwiesen. Für den oberen Teil seiner Seite benutzte er ein Aufgabenformat, das im Kapitel dargestellt wurde, ausgehend vom Preis für ein einzelnes Objekt, die Kosten für eine vorgegebene Anzahl von Objekten zu ermitteln. Benni verwendete die von seinem Tischnachbarn Martin eingeführte Idee, den Gegenwert einer bestimmten Anzahl von Kino-Eintrittskarten zu berechnen, und wandelte diese ursprünglich in der Phase der Einführung eingesetzte Aufgabenstellung so ab, daß sie für Einmaleins-Profis geeignet war: Er gab den Preis einer Karte mit 6 (bzw. 7) DM an und stellte das Problem, die Kosten für achtzehn (bzw. fünfundzwanzig) Eintrittskarten festzulegen. Außerdem notierte Benni zehn Einmaleinsaufgaben, bei denen beide Faktoren größer als 5 waren, und gab fünf 264 Vgl. VAN DEN BRINK (1987). Da die Schüler verständlicherweise nicht den Überblick über das gesamte Schulhalbjahr haben konnten, bekamen sie den Ratschlag, sich bei der Fertigstellung der Buchseiten durch ihre Einmaleins-Mappe inspirieren zu lassen.

17 Rückschau auf den Unterrichtsversuch 217 weitere Produkte an, deren jeweils vier Faktoren glatte Zehnerzahlen darstellten. Der Schwierigkeitsgrad von Aufgabenstellungen wurde jedoch nicht ausschließlich an der Größe der auftretenden Zahlenwerte festgemacht; bisweilen wurden nämlich auch spezielle Aufgabenformate als Entscheidungskriterium herangezogen: Bei Nina beispielsweise fand sich neben einer Geteiltaufgabe mit Rest ( 36:7 ) sowie der vollständig aufgelisteten Achterreihe das Aufgabenbeispiel Aufgaben und ihre Verwandten (vgl. Kap ), das bei der Behandlung von Rechenstrategien eingesetzt wurde und von den Kindern in der Regel zwar gern bearbeitet, aber auch als nicht trivial empfunden wurde. Außerdem gab Nina die Summe zweier Produkte an, die in der Maltafel nebeneinander angeordnet waren ( = ) und dem Übungsformat Nachbaraufgaben entlehnt sein könnten, bei dem jeweils über- bzw. nebeneinanderstehende Aufgaben zu addieren waren (vgl. Kap ). Schließlich erfand sie noch eine Aufgabenserie zum Beschreiben und Begründen, bei der die Resultate der Vierer- und der Einerreihe gemäß dem im Kapitel vorgestellten Unterrichtsbeispiel zum strukturierten Üben addiert werden mußten (vgl. Abb. 99). In Ninas Entwurf mußten die Anfänger nicht nur ein Produkt mit dem Faktor 0 ( 6 0 ) berechnen sowie bei einer ikonisch dargebotenen Aufgabe vom Preis für eine Staude Bananen auf die Kosten für zwei (bzw. vier) Stauden schließen (vgl. Kap ), sondern auch die komplette Einer- sowie die nahezu vollständige Zweierreihe berechnen. Benni Nina Abb. 100: Ausschnitte aus den Schulbuchseiten von Benni und Nina Svens Schulbuchseite für Anfänger bezieht ihre Besonderheit daraus, daß er von der Tatsache fasziniert war, daß die Multiplikation einer Zahl mit dem Faktor 0 stets das Resultat 0 ergibt (vgl. Abb. 101). Benni Nina Abb. 99: Ausschnitt aus den Schulbuchseiten von Benni und Nina Es ist interessant, im Vergleich hierzu die Schulbuchseiten für Einmaleins-Anfänger von Benni und Nina zu analysieren (vgl. Abb. 100). Dabei lassen sich deutliche Unterschiede sowohl in der Größe der verwendeten Zahlen als auch im Grad der Schlichtheit der Aufgabenformate feststellen: Benni wählte neunzehn anscheinend beziehungslose Rechenaufgaben, deren Faktoren in der Regel kleiner als 5 waren. Bei den wenigen Ausnahmen, bei denen er eine größere Zahl notierte, kompensierte Benni den gestiegenen Schwierigkeitsgrad dadurch, daß diese lediglich mit 1 oder mit 2 zu multiplizieren war. Abb. 101: Ausschnitt aus Svens Schulbuchseite für Anfänger Da es sich hierbei doch um eine eigentlich triviale Erkenntnis handele, gehörten auf eine Schulbuchseite für Anfänger seiner Meinung nach viele Aufgaben,

18 Rückschau auf den Unterrichtsversuch 219 bei denen einer der Faktoren eine 0 sei. Im Gespräch konnte ermittelt werden, daß Sven sich dessen bewußt war, daß viele Anfänger diese Erkenntnis zumindest in der symbolischen Darstellungsform noch nicht besäßen. Es bereitete ihm Vergnügen, auf diesem Wege seine Überlegenheit zu demonstrieren und mit der Vorgabe dieser Aufgaben ein subtiles Spiel zu treiben. Als Beispiel für eine besonders gelungene Bearbeitung soll abschließend Jennifers Schulbuchseite für Anfänger vorgestellt werden, zu deren Inhalten sie im nachhinein vom Verfasser befragt wurde (vgl. Abb. 102). malte sie einige Zahlenhäuser (vgl. Kap ) und versah sie mit den Dachzahlen 30, 35 und 12 ; sie empfand dieses Aufgabenformat als recht einfach, nicht zuletzt da man zur Lösung den Malplan benutzen konnte. Außerdem notierte sie drei Textaufgaben, weil ihrer Meinung nach ein Anfänger zuerst einmal Textaufgaben lösen müsse, und ergänzte diese durch die Vorgabe von Zeichnungen bzw. hervorgehobenen Zahlensätzen: In einer Tüte sind 4 Birnen. Wie viele sind in 6 Tüten? Rechne aus und schreib sie auf!, In einem Säckchen sind 10 Murmeln. Wie viele Murmeln sind in 3 Säckchen? sowie In einer Tüte sind 24 Bonbons. 4 Kinder teilen sich die Bonbons. Wie viele Bonbons bekommt ein Kind? Zudem gab sie noch jeweils zwei Aufgabenstellungen für die vier Grundrechenarten an, erfand ein weiteres Zahlenhaus diesmal mit der Dachzahl 42 und notierte zwei Aufgaben in einer Mischform aus ikonischer und symbolischer Darstellungsform: Drei (bzw. vier) Äpfel (jeweils gemalt) geteilt durch 3 (bzw. 2) gleich (jeweils symbolisch dargestellt). Den Abschluß ihrer Schulbuchseite bildete eine Kontextaufgabe, die sie mit Hilfe einer Zeichnung illustrierte: 8 Leute sitzen im Bus. Rechne das Doppelte! Sie malte einen Bus, in dem acht Personen an acht Fenstern zu sehen waren, und erklärte auf Rückfrage, daß man lediglich eine Seite des Busses sähe, auf der anderen jedoch ebenfalls acht Personen säßen und man deshalb verdoppeln müsse. Die Analyse von Jennifers Schulbuchseite läßt den Rückschluß zu, daß sie anscheinend nicht nur in der Lage war, verschiedene Darstellungsformen aufeinander zu beziehen, sondern darüber hinaus die entsprechenden Aktivitäten auch bewußt als Charakteristika der Eingangsphase des Unterrichtsversuchs wahrgenommen hatte. Abb. 102: Schulbuchseite für Anfänger von Jennifer Sie begann, indem sie wie im übrigen auch Sven (s.o.) die Quadratzahlreihe von 1 1 bis notierte, weil es sich hierbei ihrer Meinung nach um schöne und andererseits auch nicht zu schwierige Aufgaben handele. Dann

19 Rückschau auf den Unterrichtsversuch Texte über den Unterrichtsversuch Wie bereits angedeutet, wurden die Kinder des weiteren gebeten, kleine Texte über das Schulhalbjahr und über den eigenen Lernprozeß zu verfassen. Diese Eigenproduktionen entstanden im Rahmen von Einzelinterviews, bei denen sich die Rolle des Erwachsenen im wesentlichen auf die aufmerksame Begleitung des Schreibprozesses beschränkte, so daß gewährleistet werden konnte, daß die Interpretationen von ggf. schwerverständlichen oder mehrdeutigen Verschriftlichungen durch unmittelbare Rückfragen bestätigt oder widerlegt werden konnten 265. Die Schüler hatten ihre Einmaleins-Mappe mitgebracht, um falls es erforderlich war über Schreibanlässe zu verfügen, und wurden jeweils gebeten, zu notieren, was sie im Verlauf der letzten Monate gemacht bzw. gelernt, was sie als schwer bzw. leicht empfunden und welche Aufgaben ihnen besonders gut bzw. schlecht gefallen hätten 266. Eingangs sollen einige Texte komplett vorgestellt werden, bevor sich anhand von Textausschnitten die Diskussion ausgewählter inhaltlicher Schwerpunkte anschließt. Angela beispielsweise war der zu Beginn des Halbjahrs durchgeführte Unterrichtsgang in lebhafter Erinnerung geblieben, auf dem die Schüler Einmaleins-Aufgaben suchen sollten (vgl. Abb. 103): Ein Ausflug in Mathematik. Wir haben mit Gemüse gerechnet. Wir haben mit Fenstern gerechnet, Malaufgaben. Wir haben mit Gläsern gerechnet. Wir haben mit dem Malplan gerechnet. Es hat Spaß gemacht. Partneraufgaben, das hat mir gefallen. Ich habe dazu gelernt, Mal zu rechnen. Plus macht keinen Spaß. Geteilt rechnen ist mir zu leicht manchmal. Sascha vermerkte, daß ihm die Aktivtäten am pythagoräischen Zahlenfeld er nannte es Einmaleinsviereck leichtgefallen seien (vgl. Abb. 103), er hingegen bei denjenigen Aufgaben Schwierigkeiten gehabt habe, bei denen Rechenstrategien anderer Kinder nachvollzogen und angewendet werden mußten. Das in den vorangehenden Kapiteln nicht beschriebene Aufgabenformat Nachbaraufgaben empfand er als recht schwierig 267 ; der Umgang mit dem Malkreuz hingegen habe ihm großen Spaß gemacht insbesondere dann, wenn er bei der Verwendung großer Zahlen seine Kompetenzen demonstrieren konnte 268 : Das 265 Genaugenommen handelte es sich somit eher um eingehend beobachtete Einzelarbeit als um ein Interview im eigentlichen Sinne. 266 In der Regel entstanden Texte von der Länge einer DIN-A4-Seite; vereinzelt konnte der Schreibfluß nur durch Interventionen gestoppt werden. Im Durchschnitt schrieben die Kinder recht konzentriert etwa fünfundzwanzig Minuten, bevor erste Ermüdungserscheinungen festzustellen waren. 267 Hier mußten die Ergebnisse zweier in der Maltafel jeweils über- bzw. nebeneinanderstehender Aufgaben addiert und verglichen werden (vgl. Kap ). 268 Beim Malkreuz handelte es sich um das symbolische Äquivalent zum Folienkreuz (vgl. Kap ), das er im von ihm angegebenen Beispiel allerdings nicht ganz korrekt handhabte: So Einmaleinsviereck war leicht. Wir mußten uns ein Beispiel dran nehmen; ich fand es mittelschwer, und ich habe viele Probleme gehabt. Ich fand die Nachbaraufgaben sehr schwer. Das war toll. 269 Angela Abb. 103: Texte von Angela und Sascha Sascha Nadine verglich die Multiplikation mit der Addition bzw. der Subtraktion und kam zu dem Fazit, daß ihr das Erlernen des Multiplizierens im zweiten Schuljahr schwerergefallen sei, als das der Addition und der Subtraktion in der ersten Klasse (vgl. Abb. 104). Anschließend ließ sie noch einige Ausführungen zu denjenigen Aufgaben folgen, deren Bewältigung sie als leicht bzw. nicht ganz so leicht empfunden hatte 270 : Mit Herrn Selter Mathe gemacht und Malaufgaben. Malaufgaben sind meine Lieblingsaufgaben, weil Plus und Minus haben wir im Ersten gemacht. Im Ersten war Plus und Minus leicht. Weil jetzt sind die Aufgaben schwer. 8+6=14. Zum Beispiel: 8 7= , 2 2, 3 3, Ich konnte die Quadratzahlen. Die Rechensonnen waren nicht ganz leicht, denn da gab es Aufgaben, die man doppelt und halb machen. Wir haben Geteiltaufgaben gemacht. addierte er alle vier Zwischensummen anstatt die beiden jeweils über- bzw. nebeneinanderstehenden. 269 Der Kommentar Das war toll bezog sich auf die vorangehende Zeichnung des Malkreuzes. 270 Mit Rechensonnen meinte Nadine das Unterrichtsbeispiel Aufgaben und ihre Verwandten (vgl. Kap ).

20 Rückschau auf den Unterrichtsversuch 223 Nina artikulierte wie Sascha ein Unbehagen gegenüber dem Aufgabenformat Nachbaraufgaben, gab allerdings auch an, daß ihr das bloße Ausrechnen der Ergebnisse von Aufgaben in neun benachbarten Feldern in der Einmaleins-Tafel gefallen habe, wobei sie sich die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Aufgaben zunutze machen konnte 271. Des weiteren habe es ihr Spaß gemacht, Punktefelder mit Hilfe des Folienkreuzes in zwei Teilfelder zu zerlegen: Nachbaraufgaben haben mir nicht gefallen. Neun Nachbaraufgaben haben mir gefallen. Aus einer Malaufgabe zwei Malaufgaben machen! Das hat mir Spaß gemacht, und es war leicht. Einmaleins-Detektive, und wir sind in verschiedenen Gruppen gegangen. Wir haben das Einmaleins und geteilt kam nicht so oft dran gelernt. benformate Tabula rasa 273 sowie Vermischte Malaufgaben 274 empfunden. Sehr einfach fand Kristina es, Punktefeldern die entsprechenden symbolischen Darstellungen zuzuordnen und deren Resultat zu ermitteln. Außerdem gab sie an, daß ihr die Tischaufgabe (vgl. Kap ) gut gefallen habe und die Multiplikation genauso wie die Addition und die Subtraktion eigentlich gar nicht so schwer sei: Ein bißchen war schwer. Leicht war dieses Arbeitsblatt: Tabula rasa. Nachbaraufgaben, ein bißchen war schwer. Vermischte Malaufgaben, das war leicht. Das war pipileicht: Punkte. Ich mag schwere Aufgaben. Das gefällt mir: Tische 7 4 Kinder. Mal, Plus, Minus geht. Kristina Thilo Abb. 105: Texte von Kristina und Thilo Nadine Abb. 104: Texte von Nadine und Nina Die Texte von Kristina und Thilo, zwei der leistungsschwachen Schüler, sollen den Eindruck von den bei dieser Aktivität entstandenen Eigenproduktionen abrunden (vgl. Abb. 105). Kristina bemerkte eingangs, daß ihr alles ein bißchen schwer gefallen sei, insbesondere die Nachbaraufgaben 272. Als leicht hätte sie die in den vorangehenden Kapiteln nicht näher diskutierten Aufga- 271 Für beide Aufgabenformate vgl. Kap Zur Authentizität der im Text auch durch Interpunktion kenntlich gemachten Interpretationen vgl. die einleitenden Bemerkungen. Nina Thilo schließlich vermerkte, daß ihm die Eintrittskartenrechnung besonders gut gefallen habe darunter verstand er die von Martin entworfene Aufgabenstellung, vom Preis für eine einzige auf die Kosten für eine bestimmte Anzahl von Eintrittskarten zu schließen (vgl. Kap ). Des weiteren führte Thilo das Unterrichtsbeispiel Wo stehen die Aufgaben in der Maltafel? an hierbei handelte es sich um Serien zum operativen Üben, bei denen die Folge der einzelnen Aufgaben mit horizontalen, vertikalen oder diagonalen Wegen durch die Maltafel zu parallelisieren war (vgl. Kap ). Mit dem von ihm erwähn- 273 Hierbei handelt es sich um eine auszufüllende Multiplikationstabelle, in der einige Randzahlen fehlten und dafür einige Mittelzahlen angegeben waren; vgl. WITTMANN/MÜLLER (1990, 132 f.). 274 Hinter dem Unterrichtsbeispiel vermischte Malaufgaben verbirgt sich ein im Kapitel kurz erwähntes Arbeitsblatt, auf dem die Schüler unterschiedlich schwierige, z. T. über das kleine Einmaleins hinausgehende Malaufgaben unter Zuhilfenahme von Rechenstrategien lösen sollten.