Hier geht es um E ekte, die durch die zeitliche Änderung der Feldgrößen ~ E und ~B hervorgerufen werden. 9.1 Faradaysches Induktionsgesetz

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1 Kapitel 9 ZETABHÄNGGE FELDER Hier geht es um E ekte, die durch die zeitliche Änderung der Feldgrößen ~ E und ~B hervorgerufen werden. Aus der zweiten Gleichung folgt, dass ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld Ursache für eine endliche Zirkulation im ~E-Feld ist. Dieser Zusammenhang wurde 1831 von Faraday gefunden. Analoges sagt der letzte Term in der vierten Gleichung. Ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld ist Ursache für eine Zirkulation des ~ B-Feldes. Diesen Term interpretierte Maxwell als Verschiebungsstrom. Dynamik ~r ~E = 1 0 ~r ~ E = ~r ~B ~ B ~r ~ B = µ 0 ~j + 1 c ~ E 9.1 Faradaysches nduktionsgesetz 1831 induzierten Michael Faraday und Joseph Henry mit einem bewegten Stabmagneten Ströme in einer Leiterschleife. Grundlegende Versuche dazu sind die Beobachtungen, dass ein Strom in der Schleife fließt, 1. wenn ein Permanentmagnet in eine Leiterschleife hinein bzw. aus ihr heraus bewegt wird, 2. wenn bei zeitlich konstantem Magnetfeld die Schleife aus dem Feldbereich gezogen wird oder in das Feld bewegt wird, 3. wenn der Permanentmagnet durch eine Spule ersetzt wird und ein Strom in dieser Spule ein- bzw. ausgeschaltet wird. Schluss: Ein sich zeitlich verändernder magnetischer Fluß erzeugt ein elektrisches 83

2 . 5 * L 5 * 84 KAPTEL 9. ZETABHÄNGGE FELDER Feld. n einem Leiter äußert sich dieses Feld als Potentialdi erenz über die Länge des Leiters. An den Leiterenden (Anfang und Ende der geschlossenen Kurve C, siehe Seite 11) kann die sogenannte nduktionsspannung abgegri en werden. Aus der zweiten Maxwell Gleichung folgt mit dem Stoke schen Satz Z S ~r E ~ B/ ~ Z ~r E ~ d S = ~B d S ~ S ~E d~s = ~B d S ~ das nduktionsgesetz U ind = ~E d~s = C C S ~B d S ~ S m (9.1) Die Fläche S wird von der Kurve C umrandet. Das Vorzeichen ( )istnicht willkürlich festgelegt. Es gilt die Lenz sche Regel, die besagt, dass die induzierte Spannung über den Leiter einen Strom und damit ein Magnetfeld erzeugt, das der Flussänderung entgegen wirkt. Die Leiterschleife versucht, den magnetischen Fluss, der sie durchsetzt, konstant zu halten. Die nduktionspannung bewirkt in der Leiterschleife den Stromfluss = U ind /R. Dabei wird die Leistung P = 2 R verbraucht. Diese Energie stammt aus der kinetischen Energie der Bewegung. / A A 9 E H > A J H A K F B A H K F B A H E A A H 5 F K A Aluminiumring auf einem Elektromagnet: Beim Einschalten wird im Ring ein Strom induziert. Das dadurch entstehende Magnetfeld wirkt dem primären Feld entgegen und beschleunigt den Ring. (Ring mit kleinem Schlitz?) Das Waltenhofen Pendel wird durch Wirbelströme gebremst. Die Lorentz-Kraft wirkt auf jeden Abschnitt des induzierten Wirbelstromes. Sie ist aber im Gebiet des stärkeren Magnetfeldes größer, hindert also die Bewegung. Bei einer Begrenzung der Wirbelstrombahnen (z.b. dünne, isolierte Bleche im Transformatorkern) können Wirbelstromverluste minimiert werden. B 1 B 2 F 1 F 2 v

3 M 5 * L 9.1. FARADAYSCHES NDUKTONSGESETZ 85 Eine gut leitende Drahtschleife versucht mit Hilfe des nduktionsstromes den magnetischen Fluss durch ihren Querschnitt konstant zu halten. Dies gelingt umso besser, je höher die Leitfähigkeit des Leiters ist. Wenn infolge des induzierten Stromes der magnetische Fluss durch den Leiterring (bzw. die leitende Platte) nahezu konstant ist, dann werden also die Feldlinien von einem guten Leiter, der sich bewegt (wenigstens teilweise) mitgenommen. 4 E C Diese Mitnahme erklärt die Verformung des Dipolfeldes der Erde in großer Höhe durch die geladenen Teilchen des Sonnenwindes, eines elektrisch leitenden Mediums aus Protonen und Elektronen. Ein Wa ensystem (HEMP, huge electromagentic pulse) ist seit 1950 in Diskussion. Mit ihm soll die Elektronik des Gegeners, durch Wirbelströme in Folge von riesigen Werten ~ B/, ausgeschaltet werden. Mit mplosionstechniken (Mitnahme von Magnetfeldlinien) wurden kurzzeitig Magnetfelder über 10 3 Tesla demonstriert. Wechselstromgenerator: Eine rechteckige Leiterschleife mit N Windungen und der Fläche A dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit im homogenen Magnetfeld. Dabei ändert sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife periodisch Z ~B d S ~ = BNAcos '(t) (9.2) m = Der Winkel ändert sich mit der Zeit gemäss '(t) =!t. Die Zirkulation von ~E und damit die induzierte Spannung ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit und zum Produkt BNA.Eine Wechselspannung wird induziert. U ind = d m =!B N A sin!t (9.3) Die Kurve C in Gl. (9.1) muß nicht mit einer Leiterschleife zusammenfallen.

4 5 86 KAPTEL 9. ZETABHÄNGGE FELDER Ein freies Elektron mit der Masse m und dem mpuls p erfährt die zeitliche Änderung des Magnetfeldes als Beschleunigung: ~E d~s = 2R E ( B R 2 = ee er 2 p = mv = 1 er B B wobei B die mittlere Feldstärke innerhalb des Sollkreises mit dem Radius R angibt. Nach diesem Prinzip werden im Betatron Elektronen im B-Feld ~ auf eine Kreisbahn mit dem Radius R gezwungen und gleichzeitig beschleunigt, da B ~ mit der Zeit anwächst. Die Elektronen bleiben auf dem Sollkreis, wenn die Zentrifugalkraft die Lorentz-Kraft kompensiert. Die Magnetfeldstärke am Sollkreis ist B s = mv er und damit B =2B s (Wideroe-Bedingung). Mit einem radial inhomogenen Magnetfeld (erzeugt durch geeignet geformte Polschuhe) erreicht man im Betatron Elektronenenergien bis 200 MeV,z.B.für harte Röntgenquellen. Der Drehstrommotor ist ein Beispiel für die Mitnahme eines guten Leiters durch ein rotierendes Magnetfeld. Drei Wechselströme geeigneter Phasenverschiebung ( = 120 o ) speisen drei jeweils um 120 o versetzte Spulenpaare. Damit entsteht im nneren ein magnetisches Drehfeld. Dieses nimmt einen um das Zentrum drehbaren, gut leitenden Rotor mit. Ein Vorteil ist, dass dieser Rotor keine leitende Verbindung nach außen benötigt. Er dreht sich mit der Netzfrequenz. Wirbelstromverluste: n einem Leiter mit dem Radius R entsteht durch ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld B = B 0 cos(!t)einelektrischeswirbelfeld r E ~ = Ḃ.Näherungsweise ist das induzierte Feld aus dem Stokesschen Satz E 2R = ḂR2 Dieses Feld erzeugt im Leiter die Stromdichte j = E. Der Stromfluß der durch die Potentialdi erenz U ind entsteht, leistet die Joulsche Wärme P = U ind.mit = jdrdz und U ind = E 2R ist die Joulsche Wärmeleistung pro Volumseinheit, p (im zeitlichen Mittel hpi ) p = P 2R dr dz = j E p = E 2 = 1 4 R2 Ḃ 2 = 1 4 R2! 2 B 2 0 sin 2!t db hpi = 1 8 R2! 2 B 2 0 dr j R dz Wegen hpi /R 2 baut man Transformatorenkerne aus dünnen, isolierten Blechen.

5 9.2. SELBSTNDUKTON Selbstinduktion n einer Spule L 1 bewirkt ein zeitabhängiger Strom ein zeitabhängiges Magnetfeld, db/. Der nduktionse ekt ist in einer zweiten Spule L 2 nachweisbar,aber auch in der ersten Spule selbst. Hat die erste Spule N Windungen, erzeugt das sich ändernde Magnetfeld in ihr die nduktionsspannung (9.1) U ind = N d m. n der Näherung einer unendlich langen Spule (7.17) ist das Feld der ersten Spule gleich B = µ 0 w, wobei w = N/` ist und ` die Länge der Spule angibt. Damit erhalten wir mit dem Spulenvolumen V = `Afür den magnetischen Fluß m = BA, m = µ 0 w V /`. (9.4) Für die in der ersten Spule induzierte Spannung gilt U ind = N d m = µ 0 w 2 V d = L d 1. (9.5) Den Proportionalitätsfaktor L 1 nennt man nduktivität. DieGröße der nduktivität L hängt von der Spulengeometrie ab. Für eine lange Spule mit w Windungen pro Meter und dem Spulenvolumen V gilt näherungsweise L µ 0 w 2 V. (9.6) Für die nduktivität einer beliebigen Leiteranordnung definiert man L = U ind d/. (9.7) Die Dimension der nduktivität ist [L] = Vs A = Wb = H = Henry. (9.8) A Beispiel: Eine 10 cm lange Spule mit 100 Windungen mit dem Durchmesser von 1 cm hat die nduktivität L = µh. Füllt man das Spulenvolumen mit einem Eisenkern der Permeabilität µ dann erhöht sich die nduktivität etwa um den Wert µ. 9.3 Transformatoren Transformatoren nutzen die gegenseitige nduktion zweier Spulen in vielen technischen Anwendungen. Ein Strom 1 fließt in der ersten Spule L 1 mit Windungszahldichte w 1 und erzeugt das Magnetfeld B 1.Für das Magnetfeld B 1 gilt: B 1 = µ 0 w 1 1. (9.9)

6 2 * 88 KAPTEL 9. ZETABHÄNGGE FELDER Eine zweite Spule spürt diesen magnetischen Fluss am Ort (2). Für eine feste Spulenanordnung ist der magnetische Fluss durch die zweite Spule m(2) / 1 also m(2)/ 1 = const. Wenn sich der Strom 1 zeitlich ändert, dann wird in der zweiten Spule die Spannung U 2 = L 21 d 1 (9.10) induziert. Die Größe L 21 bezeichnet man als Gegeninduktivität, sie wird von der Geometrie beider Spulen bestimmt. Wenn die zweite Spule N 2 Windungen und die Fläche A hat, und wenn der gesamte magnetische Fluss durch die zweite Spule dringt, gilt U 2 = N 2 A db 1 = µ 0 N 2 Aw 1 d 1. Damit ist die Gegeninduktivität L 21 = µ 0 w 1 N 2 A = µ 0 w 1 w 2 V. m allgemeinen Fall gilt L 21 = k p L 1 L 2, (9.11) = F A wobei k die Güte der Kopplung zwischen beiden Spulen angibt (0 <k<1). Mit einem Eisenkern scha t man eine feste Kopplung zwischen beiden Spulen. Man erreicht in guter Näherung, dass der gesamte Fluss der ersten Spule durch die zweite Spule dringt, m(1) = m (2) = m. 5 2 Legt man an die Primärspule die Eingangsspannung U 1 = U 0 cos!t, dann fließt ein Strom 1, der einen magnetischen Fluß und damit eine nduktionsspannung U ind = L d1 d = N m 1 bewirkt. Da im geschlossenen Stromkreis auf der Eingangsseite das Kirchho sche Gesetz i U i = 0 gilt, ist U ind = U 1.Bei vollständiger Kopplung gilt U 2 = N 2 d m, und damit U 2/U 1 = N 2 /N 1. (9.12) Diese Beziehung gilt nur im Leerlauf. Liegt ein Lastwiderstand an der zweiten Spule an, dann fließt durch die zweite Spule ein Strom, der zu einem Spannungsabfall am nnenwiderstand der zweiten Spule führt und so U 2 erniedrigt. 9.4 R-L Leiterkreis Wir untersuchen die zeitliche Entwicklung des Stromes in einem R-L Leiterkreis. Am Kreis liegt die feste äußere Spannung U 0 an.

7 4 = > R-L LETERKRES 89 Einschalten: Wird der Schalter geschlossen (Position a), dann gilt für die Summe der Spannungen U 0 = R U ind = R + L d. (9.13) 7 Ohne Selbstinduktion L würde der Strom sofort auf den Wert = U 0 /R ansteigen. nfolge der Selbstinduktion entsteht in der Spule einen Gegenspannung, sodass der Stromanstieg d/ den Wert U 0 /L nicht übertre en kann. Mit der Abkürzung für die Zeitkonstante = L/R (9.14) ist die Lösung der inhomogenen linearen Di erentialgleichung (9.13) (t) = U 0 1 e t/. (9.15) R Beispiel: Mit L = 600 Henry und R = 200 steigt der Strom im Kreis mit der Zeitkonstante 3 Sekunden an. Nach einer Zeit t = erreicht der Strom (1 1/e) 0.63 des Endwertes U 0 /R. A K? D J J B B H D H A * E A J = 7 Ausschalten: Wenn wir den Stromkreis plötzlich ö nen, wird d unendlich groß und eine hohe nduktionsspannung kann entstehen (Funke am Schalter). Die hohe nduktionsspannung verwendet man z.b. bei der Zündung von Leuchtsto röhren. Anfänglich fließt ein Strom über den Bimetallstreifen und die Spule, = U 0 /R. Nach Erwärmen ö net sich der Bimetallschalter. Durch die Unterbrechung des Stromes über den Bimetall entsteht eine hohe nduktionsspannung, die zum Zünden der Gasentladung in der Leuchtsto röhre ausreicht. Bringen wir den Schalter in der Abbildung oben rechts auf Position b, dann ist der maximale Stromfluss durch den Widerstand begrenzt: max = U ind /R. Den zeitlichen Verlauf des Stromes erhalten wir aus als 0=R + L d (9.16) (t) = max e t/. (9.17) R-C Leiterkreis: Eine Spule hat für das magnetische Feld eine ähnliche Bedeutung wie die Kapazität (C = Q/U) für das elektrische Feld. Wir schließen eine Spannungsquelle U 0 an einen R C Kreis um den Kondensator aufzuladen. Zur Zeit t =0istdie Spannung am Kondensator U(t=0) = 0. Für den Ladestrom muss gelten: (t) = 1 R (U 0 U(t)) = U 0 R Q(t) R C. (9.18)

8 90 KAPTEL 9. ZETABHÄNGGE FELDER Dabei ist Q(t) die zur Zeit t am Kondensator anliegende freie Ladung. Nach Di erentiation erhalten wir d(t) = 1 (t). (9.19) R C Damit ergibt sich für den Ladestrom (t) = 0 e t/(r C), (9.20) und für die zeitliche Entwicklung der Spannung am Kondensator ( = R C) beim Einschalten U(t) =U 0 (1 e t/ ). (9.21) 9.5 Energie des Magnetfeldes n der Elektrostatik hatten wir für die im Kondensator gespeicherte Energie W el = 1 2 CU2 = 1 2 A 0 d E2 d 2 = 1 2 0E 2 V (9.22) und für die Energiedichte des elektrischen Feldes: w el = 1 2 0E 2. (9.23) Asu den S-Einheiten für die elektrische Feldstärke [w el ]= J apple 1 m 3 = 2 0E 2 = As Vm V2 m 2 = AVs m 3 = Ws m 3. lässt sich die Dimension verifizieren (Energie pro Volumen). Beim Entladen der Spule wird die Energie des magnetischen Feldes im Widerstand in Joulsche Wärme umgewandelt. Die zeitliche Entwicklung des Stromes ist (t) = 0 e t/ und damit die Leistung P (t) = dw = 2 R = R 2 0 e 2t/ (9.24) Da die Leistung gleich ist der Energie pro Zeiteinheit, gilt für die gesamte, im Magnetfeld gespeicherte Energie W mag = Z 1 0 P (t) = R 2 0 Z 1 0 e 2t/ = 2 R2 0 = 1 2 L2 0. (9.25) Um die Energiedichte des magnetischen Feldes zu bestimmen, gehen wir von einem homogenen Feld im nneren der Spule aus. Die magnetische Feldstärke in der Spule ist B = µ 0 w 0.MitderSelbstinduktivität der Spule L = µ 0 w 2 V (V ist das Volumen der Spule, w is die Windungszahldichte) wird W mag = 1 2 L2 0 = 1 B 2 V (9.26) 2 µ 0

9 VERSCHEBUNGSSTROM 91 und die Energiedichte des magnetischen Feldes (µ 0 0 c 2 =1) w mag = 1 2µ 0 B 2 = c 2 B 2 (9.27) Für die Dimension gilt: [w mag ]= J apple 1 m 3 = 2 0c 2 B 2 = As Vm m2 s 2 V2 s 2 m 4 = Ws m 3. Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist w em = E 2 + c 2 B 2. (9.28) 9.6 Verschiebungsstrom Noch fehlt die Behandlung zeitlich veränderlicher elektrischer Felder variable Ladungsverteilungen und deren Felder). Dazu wiederholen wir das Beispiel von Seite 11: Beim Aufladen des Kondensators fließt ein Strom (t) für einige Zeit, obwohl der Stromkreis durch den Kondensator unterbrochen ist. (zeitlich Wir denken uns eine Kurve C um den Draht mit der Fläche S 1.Gemäß der Stromdichte auf der rechten Seite von Gl.(7.15) erwarten wir ~B d~s / Fluss von durch S 1 (9.29) C Jetzt zeichnen wir eine neue Oberfläche S 2,mitdergleichen Berandung C. Diese Fläche ähnelt einem Fingerhut, sie schneidet den Leiter nicht, sie schließt sich zwischen den Kondensatorflächen. Kein herkömmlicher Strom fließt durch diese Oberfläche, aber die Zirkulation von ~ B um C (9.29) muss die gleiche bleiben. Die Erklärung dazu kam von Maxwell: m Kondensator baut sich im Laufe der Zeit ein elektrisches Feld auf. Die zeitliche Änderung dieses Feldes ist Ursache für die Zirkulation von ~ B. Maxwell führte das Konzept eines Verschiebungssstroms ein, der zwischen den Elektroden des Plattenkondensators (in dem sich ein elektrisches Feld ~ E aufbaut) fließt. Mit dem Ansatz für die Verschiebungsstromdichte ~j s = ~ E, (9.30) in der verallgemeinerten Ampere schen Beziehung Z ~B d~s = µ 0 = µ 0 ~ j + ~j s d S, ~ (9.31) C S

10 92 und dem Stokes schen Satz Z ~B d~s = ~r B ~ d S, ~ (9.32) C S ergibt sich die di erentielle Form der Maxwell Gleichung als ~r ~ B = µ 0 ~j + µ 0 ~ E. (9.33) Magnetfelder entstehen durch freie oder atomare Ströme und durch zeitlich sich ändernde elektrische Felder. 9.7 Ursprung elektrischer Felder Es gibt zwei Ursachen für das Auftreten eines elektrischen Feldes: 1. Elektrisches Feld durch ruhende Ladungen: (Statik) ~r ~ E =0 und ~ r ~ E = 1 0. (9.34) Die Feldlinien starten in + Ladungen und enden in Dieses Feld ist konservativ, E ~ = r ~. Ladungen. 2. Elektrisches Feld durch Magnetfeldänderung: (Dynamik) ~r ~ E (9.35) Dabei entstehen (in Abwesenheit von Ladungen) elektrische Feldlinien die geschlossen sind. Dieser Anteil des elektrischen Feldes kann nicht durch den Gradienten eines skalaren Potentials angegeben werden. Zur Berechnung von ~ E muß man die Zeitabhängigkeit des Vektorpotentials mit hinzunehmen, ~E = ~ ~ A. (9.36) Da das Vektorpotential über ~ B = ~ r ~ A definiert wurde (siehe Gl. 7.24) erfüllt der Ansatz (9.36) die zweite Maxwell Gleichung (9.35).