Kapitel 22 Partielle Korrelationen

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1 Kapitel 22 Partielle Korrelationen Bereits im vorhergehenden Kapitel wurden mit der Prozedur KORRELATION, BIVARIAT Korrelationskoeffizienten berechnet. Korrelationskoeffizienten dienen allgemein dazu, die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen Variablen zu messen. Die Koeffizienten können Werte zwischen +1 und -1 annehmen. Das Vorzeichen des Koeffizienten gibt die Richtung des Zusammenhangs an, während der Betrag dessen Stärke kennzeichnet. Im vorhergehenden Kapitel wurde zum Beispiel der Zusammenhang zwischen dem Bruttoinlandsprodukt (BIP) und dem Energieverbrauch eines Landes betrachtet (für beide Größen wurden Pro-Kopf- Werte verwendet). Dabei ergab sich ein Korrelationskoeffizient von ungefähr +0,6, der anzeigt, daß ein mittelstarker positiver Zusammenhang zwischen beiden Größen besteht. Dies bedeutet, daß Länder mit hohem Bruttoinlandsprodukt auch einen hohen Energieverbrauch aufweisen. Die Messung eines linearen Zusammenhangs ist damit scheinbar sehr einfach: Es genügt, einen Korrelationskoeffizienten zu berechnen und dessen Vorzeichen und Betrag richtig zu interpretieren. Eine solche Vorgehensweise kann jedoch - wie jede theoriefreie Auswertung statistischer Ergebnisse - sehr leicht zu falschen Schlußfolgerungen führen, denn die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen wird durch den Korrelationskoeffizienten möglicherweise nicht richtig abgebildet, wenn die beiden Variablen zugleich von weiteren Faktoren beeinflußt werden. In einem solchen Fall ist es möglich, daß der Einfluß der unberücksichtigten Faktoren ebenfalls dem Zusammenhang zwischen den beiden untersuchten Variablen zugeschrieben und dadurch der Korrelationskoeffizient entweder nach oben oder nach unten verzerrt wird. Es ist zum Beispiel denkbar, daß Länder mit größerem Pro-Kopf-BIP im allgemeinen über modernere Technologien und Produktionsverfahren verfügen, die wiederum tendenziell mit einem geringeren Energieverbrauch bei gleicher Produktion verbunden sind. Von einer steigenden Wirtschaftsleistung eines Landes gehen dann zwei entgegengesetzte Effekte auf den Energieverbrauch aus. Die Höhere Produktion bewirkt zunächst eine entsprechend höhere Inanspruchnahme der verschiedenen Produktionsfaktoren wie unter anderem der Energie. Gleichzeitig bewirkt der Einsatz moderner Verfahren eine Verringerung des Ressourcen- und damit des Energieverbrauchs pro produzierter Einheit. Wird nun der Zusammenhang zwischen der Wirtschaftsleistung eines Landes (gemessen durch das BIP)

2 514 Kapitel 22 Partielle Korrelationen und dessen Energieverbrauch untersucht, ohne daß die Unterschiede in den technologischen Standards der einzelnen Länder berücksichtigt werden, wird der Zusammenhang zwischen BIP und Energieverbrauch zu niedrig ausgewiesen. Dies kommt dann unter anderem darin zum Ausdruck, daß Länder mit hohem BIP, die jedoch noch vergleichsweise alte Technologien verwenden, einen besonders hohen Energieverbrauch aufweisen. Die Prozedur STATISTIK KORRELATION PARTIELL... ermöglicht es nun, den Zusammenhang zwischen zwei Variablen unter Berücksichtigung weiterer Einflußfaktoren zu messen. Dazu können sogenannte Kontrollvariablen angegeben werden, von denen vermutet wird, daß sie die Werte der zu vergleichenden Variablen beeinflussen und dadurch den einfachen Korrelationskoeffizienten verzerren. Der lineare Einfluß der Kontrollvariablen auf die Testvariablen wird bei der Berechnung des Koeffizienten berücksichtigt und zu eliminieren versucht. Dies geschieht mit Hilfe zweier linearer Regressionsschätzungen: Soll der lineare Zusammenhang zwischen den Variablen X und Y unter Berücksichtigung der Kontrollvariablen K bestimmt werden, werden zunächst zwei einfache lineare Regressionen geschätzt, von denen eine die Variable X und die zweite die Variable Y jeweils durch die unabhängige Variable K zu erklären versucht. 220 Anschließend wird der partielle Korrelationskoeffizient als Pearson scher Korrelationskoeffizient aus den Residuen der beiden Regressionsschätzungen berechnet. Wenn Sie mehr als eine Kontrollvariable berücksichtigen, werden in die beiden Regressionsschätzungen jeweils alle Kontrollvariablen als erklärende Variablen einbezogen Auswertung partieller Korrelationskoeffizienten Beispiel Auf der Begleit-CD befindet sich die Datendatei Strukturdaten.sav, die Strukturdaten für 177 Länder und Regionen der Erde enthält. Unter anderem sind dort der Anteil der Analphabeten an der Bevölkerung, die Höhe des Bruttoinlandsproduktes (BIP) pro Kopf der Bevölkerung und die durchschnittliche Lebenserwartung angegeben. 221 Im folgenden soll der zu erwartende Zusammenhang zwischen der Höhe des Pro-Kopf-BIP und der Lebenserwartung betrachtet werden. Dabei wird allerdings berücksichtigt, daß neben der Wirtschaftsleistung zahlreiche weitere Faktoren Einfluß auf die Lebenserwartung haben. Einer dieser Faktoren wird das Bildungsniveau der Bevölkerung eines Landes sein. Aus diesem Grund soll als 220 Zur Regressionsanalyse siehe Kapitel 27, Regression. 221 Für eine ausführlichere Beschreibung der Daten aus der Datei Strukturdaten.sav siehe Kapitel 29, Clusterzentrenanalyse.

3 22.1 Auswertung partieller Korrelationskoeffizienten 515 Kontrollvariable die Rate der Analphabeten als Indikator für das Bildungsniveau berücksichtigt werden. Um einen partiellen Korrelationskoeffizienten für die Variablen Pro-Kopf-BIP (bip) und Lebenserwartung (lebenerw) unter Berücksichtigung der Kontrollvariablen Analphabetenquote (analphab) zu berechnen, nehmen Sie bei SPSS folgende Einstellungen vor: ¾ Stellen Sie sicher, daß die Datendatei Strukturdaten.sav geöffnet ist, und wählen Sie anschließend den Befehl STATISTIK KORRELATION PARTIELL... ¾ Verschieben Sie die Variablen bip und lebenerw in das Feld Variablen, und fügen Sie die Variable analphab in das Feld Kontrollvariablen ein. ¾ Kreuzen Sie in dem Dialogfeld der Schaltfläche Optionen die Option Korrelationen nullter Ordnung an. Bei allen übrigen Optionen werden die Voreinstellungen verwendet. Die Abbildungen in Abschnitt 22.2, Einstellungen zum Berechnen partieller Korrelationskoeffizienten, S. 517 ff. zeigen die für dieses Beispiel verwendeten Einstellungen. Korrelationskoeffizienten nullter Ordnung Mit diesen Einstellungen wird der Output aus Abbildung 22.1 erstellt. Der Output hat noch das alte Format von früheren SPSS-Versionen und wird damit als einfacher Textoutput in den Ausgabenavigator eingefügt. Der obere Teil des Output, mit der Überschrift Zero Order Partials (Partielle Korrelationen nullter Ordnung) gibt die einfachen Korrelationskoeffizienten für alle Variablenpaare wieder, die sich aus den Test- und Kontrollvariablen bilden lassen. Dies sind die Pearson schen Korrelationskoeffizienten, die auch mit der Prozedur KORRELATION, BIVARIAT (siehe vorhergehendes Kapitel) berechnet werden können. Die ausgewiesenen Koeffizienten haben zunächst einmal die erwarteten Vorzeichen: Zwischen dem Pro-Kopf-BIP und der Lebenserwartung besteht ein positiver Zusammenhang, die Beziehung zwischen der Analphabetenquote und der Lebenserwartung ist dagegen negativ. In Ländern mit hoher Analphabetenquote besteht somit tendenziell eine geringe Lebenserwartung. Zusätzlich wird der Korrelationskoeffizient für den Zusammenhang zwischen dem Pro-Kopf-BIP und der Analphabetenquote angegeben. Auch dieser weist mit -0,4335 das theoretisch erwartete Vorzeichen auf: Je größer das Pro-Kopf-BIP, desto geringer ist tendenziell die Analphabetenquote. Alle drei Korrelationskoeffizienten sind mit einem Signifikanzwert von 0,000 hochsignifikant von null verschieden. In ihrer Kombination können die drei beobachteten Korrelationskoeffizienten bewirken, daß jeder einzelne Koeffizient verzerrt ist: Ein hohes Pro-Kopf-BIP ist zum einen mit einer hohen Lebenserwartung und zum anderen mit einer geringen Analphabetenquote verbunden. Eine geringe Analphabetenquote wiederum tritt

4 516 Kapitel 22 Partielle Korrelationen ebenfalls gemeinsam mit einer hohen Lebenserwartung auf. Wird die hohe Lebenserwartung in Wirklichkeit zum Teil durch das Pro-Kopf-BIP und zum Teil durch die Bildung (hier gemessen durch die Analphabetenquote) erklärt, wird ein einfacher Korrelationskoeffizient für die Variablen Pro-Kopf-BIP und Lebenserwartung nach oben verzerrt, da auch der Einfluß der Bildung auf die Lebenserwartung dem Bruttoinlandsprodukt zugeschrieben wird. Der partielle Korrelationskoeffizient für das Pro-Kopf-BIP und die Lebenserwartung, der um den Einfluß der Bildung bereinigt ist, müßte also niedriger ausfallen, als der einfache Korrelationskoeffizient, der hier mit 0,5698 angegeben ist P A R T I A L C O R R E L A T I O N C O E F F I C I E N T S Zero Order Partials BIP LEBENERW ANALPHAB BIP 1,0000,5698 -,4335 ( 0) ( 163) ( 163) P=, P=,000 P=,000 LEBENERW,5698 1,0000 -,7554 ( 163) ( 0) ( 163) P=,000 P=, P=,000 ANALPHAB -,4335 -,7554 1,0000 ( 163) ( 163) ( 0) P=,000 P=,000 P=, (Coefficient / (D.F.) / 2-tailed Significance) ", " is printed if a coefficient cannot be computed P A R T I A L C O R R E L A T I O N C O E F F I C I E N T S Controlling for.. BIP ANALPHAB LEBENERW BIP 1,0000,4105 ( 0) ( 162) P=, P=,000 LEBENERW,4105 1,0000 ( 162) ( 0) P=,000 P=, (Coefficient / (D.F.) / 2-tailed Significance) ", " is printed if a coefficient cannot be computed Abbildung 22.1: Partielle Korrelation für die Variablen bip und lebenerw mit der Kontrollvariablen analphab Korrelationskoeffizienten erster Ordnung Der partielle Korrelationskoeffizient wird im zweiten Teil des Output unter der Überschrift Partial Correlation Coefficients angegeben. Dieser ist wie erwartet mit 0,4105 deutlich geringer als der einfache Korrelationskoeffizient. Mit einer

5 22.2 Einstellungen zum Berechnen partieller Korrelationskoeffizienten 517 Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,0% ist er aber weiterhin hochsignifikant von null verschieden. Der einfache Korrelationskoeffizient hat den Korrelationskoeffizienten aufgrund des nicht berücksichtigten Einflusses des Bildungsniveaus somit nach oben verzerrt, allerdings hat er den grundsätzlichen Sachverhalt, daß ein signifikanter positiver Zusammenhang zwischen dem Pro-Kopf-BIP und der Lebenserwartung besteht, richtig wiedergegeben. Grundsätzlich könnte man nun durch Ausprobieren versuchen, weitere Faktoren, von denen ein Einfluß auf die Lebenserwartung ausgeht, zu isolieren und damit das Ergebnis des Korrelationskoeffizienten weiter zu bereinigen. Hierbei sollte jedoch berücksichtigt werden, daß insbesondere bei großen Stichproben sehr leicht eine zumindest schwache Korrelation ausgewiesen wird. Zudem ist zu beachten, daß es Forschungsgebiete gibt, bei denen nahezu alle denkbaren Variablen in Wechselwirkung miteinander stehen, so daß sich für beinahe jedes Variablenpaar signifikante Korrelationskoeffizienten finden lassen. Aus diesen Gründen sollten Korrelationen nicht ziellos auf gut Glück gesucht werden. Vielmehr sollte man zunächst eine Theorie über die möglichen Zusammenhänge entwickeln und diese anschließend mit Hilfe von Korrelationskoeffizienten zu untermauern oder zu widerlegen versuchen Einstellungen zum Berechnen partieller Korrelationskoeffizienten Um partielle Korrelationskoeffizienten zu berechnen, öffnen Sie das Dialogfeld aus Abbildung 22.2 mit dem Befehl STATISTIK KORRELATION PARTIELL... Allgemeine Vorgehensweise Die Variablenliste führt alle numerischen Variablen der Datendatei auf. Um Korrelationskoeffizienten zwischen jeweils zwei Variablen unter Berücksichtigung des Einflusses weiterer Variablen zu berechnen, nehmen Sie folgende Einstellungen vor: ¾ Testvariablen: Geben Sie in dem Feld Variablen mindestens zwei Variablen an, für die Korrelationskoeffizienten berechnet werden sollen. Wenn Sie mehr als zwei Variablen auswählen, werden für alle möglichen paarweisen Kombinationen der Variablen Koeffizienten berechnet. ¾ Kontrollvariablen: Fügen Sie die Kontrollvariablen, deren Einfluß auf die Testvariablen bei der Berechnung der Koeffizienten berücksichtigt werden soll, in das Feld Kontrollvariablen ein. Wenn Sie mehrere Kontrollvariablen angeben, werden diese bei der Berechnung des bzw. der Korrelationskoeffizienten alle gemeinsam berücksichtigt.

6 518 Kapitel 22 Partielle Korrelationen ¾ Test auf Signifikanz: Sie können wählen, ob zwei- oder einseitige Signifikanzniveaus berechnet werden sollen. Zusätzlich können Sie die Angabe der exakten Signifikanzwerte unterdrücken (s.u.). ¾ Optionen: In dem Dialogfeld der Schaltfläche Optionen können Sie Korrelationen nullter Ordnung sowie weitere Statistiken anfordern. Zudem können Sie die Behandlung von Fällen mit fehlenden Werten steuern. Abbildung 22.2: Dialogfeld des Befehls STATISTIK, KORRELATION, PARTIELL Signifikanz Neben den Korrelationskoeffizienten wird im Output auch die Signifikanz für die Nullhypothese, in der Grundgesamtheit sei der Korrelationskoeffizient gleich null, angegeben. Sie können wählen, ob ein zwei- oder ein einseitiger Test durchgeführt werden soll: ¾ Zweiseitig: Per Voreinstellung wird ein zweiseitiger Test durchgeführt. Dabei wird getestet, ob der Koeffizient in der Grundgesamtheit von null verschieden ist, die Nullhypothese lautet also, der unter Berücksichtigung des Einflusses der Kontrollvariablen berechnete Korrelationskoeffizient in der Grundgesamtheit sei gleich null. Die Gegenhypothese besagt, der Koeffizient ist ungleich null. Liegen noch keine Vorinformationen oder theoretischen Überlegungen über eine Richtung des Zusammenhangs vor, ist diese Option zu empfehlen. ¾ Einseitig: Bei einem einseitigen Test wird nicht allgemein geprüft, ob der Koeffizient von null verschieden ist, sondern nur, ob er in eine bestimmte Richtung von null abweicht. Ist der berechnete Korrelationskoeffizient positiv, wird die Nullhypothese getestet, der Koeffizient in der Grundgesamtheit sei null oder negativ. Die Gegenhypothese besagt, der Koeffizient in der Grundgesamtheit sei größer als null. Entspricht diese Annahme der Vorinformationen oder den Ergebnissen einer zugrundeliegenden Theorie über die Koeffizienten, so kann dieser einseitige Test durchgeführt werden.

7 22.2 Einstellungen zum Berechnen partieller Korrelationskoeffizienten 519 Tatsächliches Signifikanzniveau anzeigen: Die Option Tatsächliches Signifikanzniveau anzeigen ist per Voreinstellung angekreuzt, so daß zu den Korrelationskoeffizienten jeweils die Anzahl der Freiheitsgrade sowie die Signifikanz mit einer Genauigkeit von drei Dezimalstellen angegeben wird. Wählen Sie die Option ab, wenn weder die Freiheitsgrade noch die Signifikanz ausgegeben werden soll. Es werden dann lediglich die Koeffizienten mit sehr kleinen Signifikanzen durch Sternchen (*) markiert. Koeffizienten mit einer Signifikanz von höchstens 5% werden durch ein Sternchen (*), Koeffizienten mit einem Signifikanzwert von höchstens 1% durch zwei Sternchen (**) gekennzeichnet. Optionen Die Schaltfläche Optionen öffnet das Dialogfeld aus Abbildung In diesem Dialogfeld können Sie weiteren Output anfordern und den Ausschluß von Fällen mit fehlenden Werten regeln. Abbildung 22.3: Dialogfeld der Schaltfläche Optionen Statistiken: In der Gruppe Statistik kann als Ergänzung zu den partiellen Korrelationskoeffizienten weiterer Output angefordert werden: ¾ Mittelwerte und Standardabweichungen: Kreuzen Sie diese Option an, um für jede der Variablen (Test- und Kontrollvariablen) den Mittelwert, die Standardabweichung und die Anzahl der Fälle angeben zu lassen. Die Fallzahlen hängen von der in der Gruppe Fehlende Werte eingestellten Option ab. Haben Sie die Option Listenweiser Fallausschluß gewählt, basieren alle Maßzahlen auf den gleichen Fällen, die in allen in die Prozedur einbezogenen Variablen gültige Werte haben. Durch die Option Paarweiser Fallausschluß werden die Maßzahlen jeweils auf der Basis der Fälle berechnet, die in der betreffenden Variablen einen gültigen Wert enthalten. Die Statistiken verschiedener Variablen können dann also auf verschiedenen Fällen beruhen. ¾ Korrelationen nullter Ordnung: Es wird eine Matrix der Korrelationen nullter Ordnung ausgegeben. Dies sind die einfachen Pearson schen Korrelationskoeffizienten, die ohne Berücksichtigung der Einflüsse durch die Kontrollvariablen berechnet werden. In die Korrelationsmatrix werden alle Variablen, also auch die Kontrollvariablen, einbezogen.

8 520 Kapitel 22 Partielle Korrelationen Fehlende Werte: Für die Behandlung von Fällen mit fehlenden Werten können Sie zwischen den beiden folgenden Optionen wählen. Die ausgewählte Option beeinflußt nicht nur die Berechnung der Korrelationskoeffizienten, sondern auch die im Dialogfeld Optionen angeforderten Statistiken. ¾ Listenweiser Fallausschluß: Diese Option ist voreingestellt. Damit werden alle Fälle, die in mindestens einer der in die Prozedur einbezogenen Variablen (Test- oder Kontrollvariablen) einen fehlenden Wert aufweisen, aus der gesamten Analyse ausgeschlossen. Alle Koeffizienten sowie alle übrigen durch die Prozedur berechneten Maßzahlen basieren damit auf denselben Fällen aus der Datendatei und sind daher besser miteinander vergleichbar als Koeffizienten, die auf der Basis unterschiedlicher Fälle berechnet wurden. Wird eine größere Anzahl von Variablen in die Prozedur einbezogen, kann der fallweise Ausschluß allerdings zu einer deutlichen Reduktion der verbleibenden Fallzahl führen. ¾ Paarweiser Fallausschluß: Bei der Berechnung der einzelnen Koeffizienten werden nur jeweils die Fälle ausgeschlossen, die in einer der zu vergleichenden Variablen oder in einer der Kontrollvariablen einen fehlenden Wert aufweisen. Fehlende Werte in anderen Testvariablen führen dagegen nicht zu einem Ausschluß des Falles.