100 db + 30 log 10 1km. [db]

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1 LEHRSTUHL FÜR NACHRICHTENTECHNIK II Digitale Übertragung und Mobilkommunikation μ Professor Dr. Ing. J. Huber G UNIVERSITÄT ERLANGEN NÜRNBERG Schriftliche Prüfung im Fach Nachrichtenübertragung 3. September Aufgaben 120 Punkte Hinweise: ffl Teilaufgaben, die unabhängig von manchen vorausgehenden Teilaufgaben derselben Aufgabe gelöst werden können, sind durch einen Pfeil (!) vor der Teilaufgabennummer gekennzeichnet. ffl Für die Bestnote sind ca. 100 Punkte erforderlich. Die Aufgabenstellung beinhaltet also einen Überhang von 20 Punkten! 1

2 Aufgabe 1: Frequenzmodulation 13 Punkte Zwei aneinander grenzende Gebiete (Gebiet A und B) sollen mit einem Radioprogramm versorgt werden. Dabei wird das Programm mittels Frequenzmodulation ausgestrahlt. Die (einseitige) Bandbreite des Mono Quellensignals beträgt 16 khz, der Aussteuerpegel für das Quellensignal beträgt -10 db. Für die FM Übertragung steht im Versorgungsgebiet A eine Bandbreite von 210 khz und im Versorgungsgebiet B aufgrund einer dichteren Frequenzbelegung nur eine Bandbreite von 200 khz zur Verfügung.!a) Geben Sie für beide Versorgungsgebiete den maximal möglichen Frequenzhub an, wenn eine hohe Qualität des demodulierten Signals verlangt wird. Hinweis: Sollten Sie Aufgabe a) nicht lösen können, verwenden Sie im weiteren f A =80kHz und f B =60kHz. Die Radioprogramme werden je Versorgungsgebiet von einem Sendemast bei unterschiedlichen Trägerfrequenzen omnidirektional abgestrahlt. Die beiden Masten stehen in einem Abstand von 50 km voneinander. Beim Sender A beträgt die Sendeleistung 100 W, beim Sender B 10 W. Die entfernungsabhängige Dämpfung der abgestrahlten Signale wird für l>1 km durch 100 db + 30 log 10 ( l 1km angenähert, wobei l die Entfernung des Empfängers vom Sender bezeichnet. Die (zweiseitige) Rauschleistungsdichte des additiven Gaußschen Rauschens, wirksam am Empfängereingang (AWGN Kanal), beträgt W/Hz.!b) Bestimmen Sie die NF Störabstände in Abhängigkeit des Abstands des Empfängers vom Sender für beide Sender. c) Der PKW Fahrer fährt auf gerader Linie von Sender A zu Sender B und hört das Programm in seinem Auto (siehe Bild 1). Geben Sie (näherungsweise) den Punkt an, an welchem er seinen Empfänger günstigerweise von Sender A auf Sender B umschalten sollte. ) [db] Bild 1: Ein PKW fährt auf gerader Linie von Sender AzuSender B.!d) Skizzieren Sie für den Fall einer rauschfreien Übertragung qualitativ den Lautstärkeeindruck über der Wegstrecke, den der Fahrer empfindet, wenn er zwar am optimalen Punkt von Sender A auf Sender B umschaltet, die Lautstärkeeinstellung des Empfängers aber nicht verändert. e) Zeichnen Sie in die Skizze aus Aufgabe d) auch qualitativ den Verlauf der Lautstärke, wenn anstelle der FM Sender AM Sender verwendet werden! Dabei wird ebenfalls immer das besser zu empfangende Signal ausgewählt. 2

3 Aufgabe 2: Verbesserung des Störabstands bei Einseitenbandmodulation 14 Punkte Ein Quellensignal q(t), das nach einer Bandbegrenzung auf die NF Bandbreite von 4 khz als ein stationärer Gaußprozess mit dem Leistungsdichtespektrum Φ qq (f) ={ 1, (1 jfj/(4 khz)) 4 W Hz 0 für jfj < 4kHz sonst Bild 1: Leistungsdichtespektrum des bandbegrenzten Quellensignals q(t). modelliert wird, soll mittels Einseitenbandmodulation im Kurzwellenbereich drahtlos übertragen werden. Um Verzerrungen durch Übersteuerung bis auf vernachlässigbar seltene Ereignisse zu vermeiden, wird ein Aussteuergrad von -14 db gewählt. Die Senderendstufe ist für eine maximale (Spitzen-)Sendeleistung von 1 W ausgelegt. Bei der Funkübertragung wird das Signal nicht verzerrt, jedoch um 120 db gedämpft und durch additives Gaußsches Rauschen mit einer (zweiseitigen) Rauschleistungsdichte 10 20, wirksam am Empfängereingang, gestört.!a) Bestimmen Sie die mittlere Leistung des Quellensignals!!b) Geben Sie die mittlere Sendeleistung und die mittlere Leistung des Empfangssignals an! c) Welcher Störabstand wird im vom Empfänger abgegebenen Sinkensignal erreicht, wenn ein üblicher Einseitenbandmodulationsempfänger (Synchrondemodulation, kein Frequenzund Phasenfehler) für die NF Bandbreite von 4 khz eingesetzt wird? Da die spektrale Leistungsdichte des Quellensignals bekannt ist und die NF Bandbreite von 4 khz sehr ungleichmäßig genutzt wird, kann durch Verstärkung des Quellensignals bei höheren Frequenzen mittels eines LTI Systems mit einer Übertragungsfunktion H p (f) vor dem Einseitenbandmodulator und einer inversen Filterung des Ausgangssignals des Einseitenbandmodulationsempfänger eine Erhöhung des Störabstands erreicht werden, vgl. Bild 2. W Hz Bild 2: Modell der Übertragungsstrecke. 3

4 Es wird ein Vorfilter mit der Betragsübertragungsfunktion gewählt. jh p (f)j = { α 1 jfj/(4 khz) beliebig für jfj < 4kHz sonst!d) Bestimmen Sie das Leistungsdichtespektrum des Störanteils im Sinkensignal v(t) (vgl. Bild 2).!e) Wie muß der Parameter α gewählt werden, damit das vorverzerrte Quellensignal x(t) die gleiche mittlere Leistung wie das ursprüngliche Quellensignal q(t) aufweist und somit der Aussteuerpegel für das EM Übertragungssystem konstant bleibt? f) Bestimmen Sie den Störabstand im Sinkensignal v(t)! Welcher Störabstandsgewinn (in db) wird durch lineare Vorverzerrung und Nachentzerrung gegenüber gewöhnlicher Einseitenbandmodulation erreicht? 4

5 Aufgabe 3: D/A Umsetzung und Oversampling 30 Punkte Es wird die D/A Umsetzung für einen CD Player betrachtet. Das Digitalsignal wird bekanntlich je Stereokanal mit einer Wortbreite von 16 bit/abtastwert und einer Abtastfrequenz von 44,1 khz von der CD gelesen und dem D/A Umsetzer mit gleichmäßiger Quantisierung zugeführt. Der mittlere Aussteuergrad für das aufgenommene Audiosignal betrage -20 db.!a) Geben Sie Signal- und Quantisierungsgeräuschleistung im Ausgangssignal des 16 bit D/A Wandlers, bezogen auf die Aussteuergrenze, an! Bestimmen Sie auch den Signalstörabstand infolge Quantisierung (in db)! Das Audiosignal wird mit einer Bandbreite von 20 khz dem Verstärker zugeführt. Am Ausgang des D/A Umsetzers liegt das Audiosignal in Form eines Sample&Hold Stufensignals vor.!b) Geben Sie die Übertragungsfunktion eines geeigneten Signalrekonstruktionsfilter an! Bestimmen Sie auch dessen erforderliche relative Flankensteilheit! Steilflankige Filter mit weitgehend linearem Phasengang erfordern bei analoger Implementierung sehr hohen Aufwand.!c) Weshalb will man für CD Player Rekonstruktionsfilter mit möglichst linearem Phasengang verwenden, obwohl das Gehör bzgl. Phasenverzerrung bekanntlich weitgehend unempfindlich ist? Um den Aufwand zur Implementierung eines steilflankigen analogen Filters zu vermeiden, verwendet man Oversamplingverfahren gemäß Bild 1, wobei der Oversamplingfaktor mit γ bezeichnet sei. Oversamplingverfahren. Bild 1: Blockschaltbild der D/A Umsetzung.!d) Skizzieren Sie die Leistungsdichtespektren des Quantisierungsgeräusches im Ausgangssignal von D/A Umsetzer und Rekonstruktionsfilter jeweils ohne und mit Oversamplingverfahren, wobei Sie als Oversamplingfaktor für die Skizze γ =4wählen! Im Folgenden wird als Abtastfrequenz bei Oversampling, d.h. nach der digitalen Interpolation, 2,8224 MHz verwendet. 5

6 !e) Welcher Oversamplingfaktor wird verwendet? Welche Flankensteilheit ist nun für das analoge Rekonstruktionsfilter ausreichend? f) Welche Wortbreite muß der D/A Umsetzer bei der hohen Wandlungsfrequenz von 2,8224 MHz aufweisen, damit innerhalb des Audiosignalfrequenzbereichs (0 Hz bis 20 khz) ein ähnlich hoher Störabstand, wie ohne Oversampling mit 16 bit Wortbreite, erreicht wird (Anteile des Quantisierungsgeräuschs oberhalb des Audiofrequenzbereichs werden durch Verstärker, Lautsprecher und Gehör unterdrückt und sind somit unwirksam)? Zur weiteren Verbesserung wird nun das System gemäß Bild 2 erweitert. Bild 2: Blockschaltbild eines verbesserten Oversamplingverfahren. Dabei wird im Block digitale Quantisierung das Digitalsignal auf die geringere Wortbreite des eingesetzten D/A Umsetzers beschnitten, indem bei der Repräsentation der Signalwerte y[k] als Dualzahlen die niederwertigen Binärstellen nach Rundung abgeschnitten werden. Diese Wortbreitenreduktion (bzw. digitale Quantisierung) wird nachfolgend duch Addition eines gleichverteilten und als weiß angenommenen zeitdiskreten Quantisierungsgeräuschs n[k] mit der Varianz σ 2 n modelliert, vgl. Bild 3. Bild 3: Modellierung der digitalen Quantisierung durch eine weiße, gleichverteilte, additive Störung.!g) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H S (z) für die Verarbeitung des Nutzsignals x[k]! y[k] und H N (z) für die Übertragung des Quantisierungsgeräuschs n[k]! y[k]! Wird das Nutzsignal verzerrt? h) Ermitteln Sie die im Audiofrequenzbereich 0 Hz bis 20 khz wirksame Leistung der Störung 6

7 im Signal y[k] infolge Quantisierung abhängig von der Varianz σ 2 n des weißen Quantisierungsgeräuschs n[k]! i) Welche Wortbreite reicht nun für die D/A Umsetzung des Signals y[k] aus, um eine ähnlich hohe Qualität wie ohne Oversampling mit 16 bit Wortbreite zu erreichen (dabei wird von gleichem Aussteuerbereich ausgegangen)?!j) Tragen Sie qualitativ den Verlauf der Leistungsdichtespektren des im Signal y[k] bzw. im Ausgangssignal des D/A Umsetzers wirksamen Quantisierungsgeräuschs in die Skizze aus Aufgabe d) ein! Erläutern Sie auch, weshalb durch diese digitale Signalverarbeitung von x[k]! y[k] die Wortbreite für die eigentliche D/A Umsetzung ohne Qualitätsverlust so stark reduziert werden kann! 7

8 Aufgabe 4: Amplitudenmodulation 33 Punkte Es soll ein System zur analogen Übertragung von Stereo Audiosignalen entworfen werden. Zu übertragen sind also die beiden Stereo Komponentensignale, d.h. linker und rechter Kanal, q L (t) und q R (t). Zunächst wird das in Bild 1 dargestellte System zur Modulation verwendet. Die Trägerfrequenz f c sei dabei wesentlich größer als die Bandbreite der beiden Stereo Komponentensignale. Bild 1: Modulator.!a) Um welches Modulationsverfahren handelt es sich?!b) Skizzieren Sie einen für den Sender nach Bild 1 passenden Empfänger, welcher bei Übertragung über einen AWGN Kanal die beiden Stereo Komponenten wiedergewinnt! Nehmen Sie dazu an, daß im Empfänger durch geeignete Maßnahmen frequenz- und phasensynchrone Trägerschwingungen vorhanden sind. Leider besitzt der vorliegende Kanal die in Bild 2 dargestellte (reelle) Übertragungsfunktion. Bild 2: Übertragungsfunktion des Kanals.!c) Geben Sie die Kanalübertragungsfunktion H K (f) im äquivalenten komplexen Basisband (ECB Bereich) an. Wählen Sie hierzu die Trägerfrequenz f c als Transformationsfrequenz. Hinweis: Für Frequenzen f < f c im ECB Bereich dürfen Sie die Kanalübertragungsfunktion H K (f) geeignet wählen! d) Stellen Sie die zu H K (f) gehörende Impulsantwort h K (t), d.h. H K (f) = U fh K (t)g, mit U f g: Fouriertransformation, in der Form h K (t) =h I (t)+jh Q (t) dar, wobei h I (t) und h Q (t) reelle Funktionen sind. 8

9 e) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild für die Übertragung der beiden Stereo Komponenten über den vorliegenden Kanal im ECB Bereich. Die Impulsantworten h I (t) und h Q (t) sollen dabei eingesetzt werden. f) Geben Sie die Sinkensignale bei Übertragung über den Kanal nach Bild 2 und Verwendung des Empfängers nach Teilaufgabe b) in Abhängigkeit der Stereo Signale q L (t) und q R (t) an. Als Alternative zum Modulator nach Bild 1 wird nun der Modulator nach Bild 3 betrachtet. H f g bezeichnet dabei die Hilbert Transformation. Bild 3: Alternativer Modulator.!g) Skizzieren Sie das Spektrum von s HF (t) für α) q L (t) 0 β) q R (t) 0 Hinweis: Sie dürfen eine beliebige Form der Spektren der Stereo Teilsignale annehmen. h) Beschreiben Sie die Funktion des Modulators im Hinblick auf die Stereo Übertragung.!i) Skizzieren Sie einen, für den Sender nach Bild 3 geeigneten Empfänger. Hinweis: Nehmen Sie dazu an, daß im Empfänger durch geeignete Maßnahmen frequenzund phasenrichtige Trägerschwingungen vorhanden sind. j) Beschreiben Sie den Höreindruck bei Übertragung des Stereo Signals mittels des Senders nach Bild 3 über den Kanal nach Bild 2. Hinweis: Es ist keine Rechnung erforderlich. k) Durch welche Vorverarbeitung der Stereo Komponenten am Eingang des Modulators nach Bild 3 und zugehöriger Nachverarbeitung im Empfänger kann bei Übertragung über den Kanal nach Bild 2 ein Mono Höreindruck, d.h. 1 2 (q L(t)+q R (t)), erreichtwerden? Bei nichtverzerrendem Kanal sollen beide Stereosignale wiedergewinnbar sein. Skizzieren Sie eine geeignete Schaltung für die Vorverarbeitung und vereinfachen Sie die dabei entstehende Senderstruktur soweit wie möglich. 9

10 Aufgabe 5: Digitale Funkübertragung 30 Punkte Ein Nachrichtenfluß (Datenrate) von 2,4 Mbit/s soll drahtlos übertragen werden, wozu ein Frequenzband mit einer Breite von 1 MHz zur Verfügung steht. Wir vergleichen Übertragungsverfahren mit ASK-, PSK- und QAM Modulation ohne und mit Kanalcodierung. Dabei werden nur quadratische QAM Konstellationen betrachtet.!a) Welche spektrale Effizienz (Bandbreiteneffizienz) muß das verwendete digitale Übertragungsverfahren mindestens besitzen? b) Geben Sie die minimale Stufenzahl M =2 l,l2 N, für ASK, PSK und QAM an, mit der die erforderliche spektrale Effizienz erreicht werden kann. Bestimmen Sie auch die zugehörigen maximal zulässigen roll off Faktoren (Bandwidth Excess Faktoren) für p Nyquist Sendeimpulse g(t). Das Sendesignal wird bei der Übertragung um 130 db gedämpft und von einer additiven Störung überlagert, die als weißes Gaußsches Rauschen mit (zweiseitiger) Rauschleistungsdichte W Hz, wirksam am Empfängereingang, modelliert wird. Für die Zuordnung von binären Datenwörtern der Länge l zu den M Signalpunkten ist zunächst Gray Zuordnung vorausgesetzt. c) Geben Sie für das in Teilaufgabe b) gewählten ASK-, PSK- und QAM Verfahren jeweils die minimal erforderliche Empfangssignalenergie je übertragenem Informationsbit und die dazugehörige minimal notwendige Sendeleistung an, wenn die Bitfehlerwahrscheinlichkeit 10 7 nicht überschreiten soll. d) Welchem der drei Übertragungsverfahren würden Sie unter Berücksichtigung der Kriterien Leistungseffizienz, Implementierungsaufwand und -schwierigkeit sowie Empfängersynchronisation den Vorzug geben? Begründen Sie Ihre Wahl! Nachfolgend wird ein 16 stufiges QAM Verfahren mit Kanalcodierung betrachtet, wobei die Coderate so gewählt wird, daß die Rate der Modulation 3,2 bit beträgt. QAM Symbol!e) Welcher maximale roll off Faktor für p Nyquist Sendeimpulse g(t) ist nun zulässig? Das 16 QAM Verfahren wird als zwei gleichartige, unabhängige 4 stufige ASK Verfahren für die beiden Quadraturkanäle implementiert, vgl. Bild 1 des Senders. Bild 1: Blockschaltbild des 16 QAM Senders. 10

11 Bei den einzelnen 4 ASK Verfahren wird Mapping by Set Partitioning angewendet und jeweils nur für das niederwertige binäre Adreßsymbol c 0 I [k] bzw. c 0 Q[k] ein binäres Kanalcodierungsverfahren angewendet, vgl. Bild 1.!f) Geben Sie die Signalkonstellation und die Zuordnung gemäß Mapping by Set Partitioning für 4 ASK an. Kennzeichen Sie die beiden binären Adreßsymbole c 0 und c 1.!g) Welche Coderate ist für die beiden gleichen binären Kanalcodierungsverfahren zu verwenden, damit die angestrebte Rate der Modulation von 3,2 bit entsteht? QAM Symbol Es wird ein systematischer Faltungscode eingesetzt, für den am Ausgang eines Viterbi Decoders die nachfolgende Kurve für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der (bzgl. der Zuordnung) niederwertigen Adressymbole q 0 I [k] bzw. q 0 Q[k] abhängig vom Störabstand 10 log 10 (E s,4ask /N 0 ) gemessen wurde. (Dabei bezeichnet E s,4ask die mittlere Empfangssignalenergie je 4 ASK Symbol und N 0 die einseitige Rauschleistungsdichte). Bild 2: Bitfehlerwahrscheinlichkeit am Ausgang eines Viterbi Decoders abhängig von Störabstand.!h) Bestimmen Sie die minimale Empfangssymbolenergie je Informationsbit und Quadraturkanal Eb, 0 für die eine Bitfehlerrate von 10 7 für die codierte Übertragung binärer Informationssymbole qi 0[µ] bzw. q0 Q [µ] nicht überschritten wird. Beim Störabstand gemäß Teilaufgabe h) wird die Bitfehlerwahrscheinlichkeit 10 7 auch für die uncodiert übertragenen binären Informationssymbole qi 1 [µ] bzw. qq[µ] 1 nicht überschritten, wenn die decodierten Sequenzen ĉ 0 I [k] bzw. ĉ0 Q [k] der niederwertigen binären Adressymbole bei deren Detektion verwendet werden und Fehlerfortpflanzung vernachlässigt wird (ideale Multistage Decodierung bzw. -Detektion).!i) Weisen Sie diese Behauptung nach! j) Welche Sendeleistung ist somit für die codierte 16 QAM Übertragung minimal erforderlich, damit eine Bitfehlerrate von 10 7 nicht deutlich überschritten wird. Vergleichen Sie mit uncodierter Übertragung und geben Sie den Codegewinn (in db) an! 11

12 Hilfsblätter Graph der Q Funktion Q(x) = 1 x e y2 /2 p dy = 1 ( ( xp 1 erf ))= 12 ( ) xp2 2π 2 2 erfc Einige Integralformeln a 0 (1 x/a) n dx = a n +1 b 0 j1 e jax j 2 dx =2b 2 a sin(ab) 12