Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN

Transkript

1 *UXQGODJHQGHU3K\VLN Vorlesung im Fachbereich VI der Universität Trier Fach: Geowissenschaften Sommersemester 21 'R]HQW 'U.DUOROWHU 'LSORP3K\VLNHU )DFKKRFKVFKXOH7ULHU 7HO )D[ (DLOPROWHU#IKWULHUGH,QIRV]XU9RUOHVXQJXQWHUKWWSZZZIKWULHUGHaPROWHUJGS Version: /LWHUDWXU 6WURSSH: 3K\VLN, Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN HULQJDUWLQ6WRKUHU: 3K\VLNI U,QJHQLHXUH, Springer, Berlin; VDI, 1999, ISBN DXO$7LSOHU: 3K\VLN, Spektrum Akademischer Verlag, 2, ISBN *HUWKVHQ: 3K\VLN, Springer Verlag, 1999, ISBN %URQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHUDWKHPDWLN, Verlag Harri Deutsch, 2, ISBN UJHQ(LFKOHU: 3K\VLN, Vieweg Verlag, 1993, ISBN DQV-3DXV: 3K\VLN, Hanser Verlag, 1995, ISBN ODXV:HOWQHU: DWKHPDWLNI U3K\VLNHU, Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN , erhältlich!) 6WHSKHQ:ROIUDP: 7KHDWKHPDWLFD%RRN, Cambridge University Press, 1999, ISBN

2 Elektrizität und Magnetismus (2) elektrostatisches Potential Influenz Plattenkondensator (OHNWUL]LWlW Å 'DVHOHNWURVWDWLVFKH3RWHQWLDO Aus den vorhergehenden Betrachtungen wissen wir, dass auf elektrische Probeladungen im elektrischen Feld Kräfte wirken. Auf eine Ladung Q wirkt im elektrischen Feld (die Kraft ) = Q (. [1] Es stellt sich nun die Frage, ob die Arbeit, die im elektrischen Feld geleistet werden muß um eine Ladung von A nach B zu verschieben, abhängig ist vom Weg zwischen A und B. Es läßt sich zeigen, dass die Arbeit im elektrischen Feld unabhängig vom Weg ist. Der Grund ist die Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes. Die Arbeit zur Verschiebung einer Ladung Q vom Punkt A nach B ist damit eindeutig definiert als: B B W = Å ) HUL ÇU = Q Å ( HUL ÇU A A [2] Wir können diese Arbeit wie im Gravitationsfeld als potentielle Energie definieren. Wegen der Wegunabhängigkeit besteht zwischen zwei beliebigen Punkten A und B eine eindeutige 3RWHQWLDOGLIIHUHQ], die wir wie folgt definieren: B U HA, BL = Å ( HUL A [3] Man bezeichnet U als die HOHNWULVFKH6SDQQXQJ. Sie wird in Volt [V] gemessen. Die Arbeit im elektrischen Feld ist damit also gleich: W = Q U HA, BL [4] Man definiert üblicherweise eine weitere Größe, die man als Spannung zwischen einem beliebigen Punkt P und dem Unendlichen (Š) bezeichnen könnte: Š j HPL = Å ( HUL ÇU P [5]

3 Man bezeichnet j als das HOHNWULVFKH3RWHQWLDO. Es ist eine skalare Größe (im Gegensatz zum Vektorfeld () und so normiert, dass es im Unendlichen verschwindet (zu Null wird). Aus den Gleichungen [3] bis [5] ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Spannung und Potential: U HA, BL = j Hr A L -j Hr B L [6] Die Gleichung [5] läßt sich auch umgekehrt definieren: ( HUL = -grad j HUL = -J þþþþþþþ x, þþþþþþþ y, þþþþþþþ z N j HUL [7] JUDG ist ein Vektoroperator, der auf skalare Funktionen angewendet wird. Das Ergebnis ist ein Vektor. Das elektrostatische Potential j ist eine zur Feldstärke ( äquivalente Beschreibung des elektrischen Feldes. Da j eine skalare Größe ist, ist sie oft einfacher zu handhaben als (. Für das Potential einer Punktladung Q erhält man durch Anwendung des Integrals in Gleichung [5] auf das bekannte elektrische Feld: j HUL = Q þþþþþþþþþþþþþþþþ 4 pe r [8] Die potentielle Energie : pot einer Ladung 4 in diesem elektrischen Feld am Ort r ergibt sich damit zu: : pot = þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþ 44 = jhul 4 4 pe U [9] Sie entspricht der Arbeit, die zu leisten ist um die Ladung 4 vom Ort der Punktladung Q zu einem Ort im Abstand r davon zu bewegen. Je nachdem ob die Ladungen gleichnamig oder entgegengesetzt sind ist die Arbeit positiv oder negativ. Auch hier gilt wegen der Additivität der Felder einzelner Ladungen, dass sich das elektrostatische Potential von Einzelladungen als Summe über die Beiträge der einzelnen Ladungen ergibt: j HUL = ÅÅÅ r HUL þþþþþþþþþþþþþþþþ 4 pe r Ç V [1]

4 é %HLVSLHOHI U3RWHQWLDOYHUWHLOXQJHQbTXLSRWHQWLDOOLQLHQ Sehen wir uns Potential und Feld verschiedener (Punkt-) Ladungsverteilungen an. Dazu definieren wir eine DWKHPDWLFD Funktion Charge1(n), die das Potential von n entlang einer Geraden verteilter Punktladungen im Abstand 1 mit alternierendem Vorzeichen beschreibt: H-L L &KDUJH@QBD = È þþþþþþþþþþþþþþþþ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! þþþþþþþþþþþþþþþþþþ H[ - LL + \ Q L= Die folgende Funktion Potential(n) plottet uns das Potential dieser Ladungsverteilung: 3RW@QBD = &RQWRXU3ORW@(YDOXDWH@&KDUJH@QDD 8[ - Q + < 8\ - - Q ƒ + Q ƒ < 3ORW3RLQWV &RQWRXUV + Q &RORU)XQFWLRQ H5*%&RORU@ - D L $VSHFW5DWLR -> $XWRPDWLFD Sehen wir uns nun das Potential einer einzelnen Punktladung an: 3RW@D ú ContourGraphics ú Die Graphik zeigt konzentrische Kreise, die Bereiche gleichen Potentials, die sogenannten btxlsrwhqwldoolqlhq symbolisieren. Die Feldlinien zu diesem Potential kennen wir bereits, wir können sie gemäß der Formel [16] ebenfalls mit DWKHPDWLFD sichtbar machen:

5 << *UDSKLFVC3ORW)LHOGC = [ \ 8[ - Q + < 8\ - - Q ƒ + Q ƒ <D )LHOG@D ú Graphics ú Die Feldlinien einer Punktladung sind radialsymmetrisch um den Mittelpunkt der Ladung verteilt. Wenn wir die Äquipotentiallinien und die Feldlinien genau vergleichen erkennen wir, dass die Feldlinien die Äquipotentiallinien senkrecht schneiden. Dies verdeutlicht auch noch einmal folgende Abbildung: Anders ausgedrückt: $EELOGXQJÃ

6 Es gibt keine Feldkomponente entlang der Äquipotentiallinien, denn diese würde dann ja in Richtung der Äquipotentiallinie eine Kraft ausüben, ein Widerspruch zur Tatsache, dass sich das Potential in dieser Richtung nicht ändert! Die Feldlinien zeigen in Richtung der maximalen Änderung des Potentials! Wir schliessen daraus, dass eine Ladung entlang einer Äquipotentiallinie bewegt werden kann ohne Arbeit (und damit Energie) aufzuwenden. Wir können noch eine andere Darstellung wählen, die den Potentialcharakter noch deutlicher herausstellt: = 8[ - + Q< 8\ - - Q ƒ + Q ƒ < 3ORW3RLQWV &RORU)XQFWLRQ +XH HVK -> 7UXH 3ORW5DQJH -> $XWRPDWLFD 3RW'@D ú SurfaceGraphics ú Hier wird insbesondere die Interpretation des Feldes oder Potentials als 9HUIRUPXQJGHV5DXPHV deutlich. Die Äquipotentiallinien sind Linien gleicher Höhe, die Feldlinien zeigen in Richtung der stärksten Verformung. Zum besseren Verständnis schauen wir uns nun noch die Äquipotentiallinien und den Feldverlauf mehrerer Punktladungen aufgereiht auf einer Geraden an:

7 ú ContourGraphics ú )LHOG@D ú Graphics ú

8 ú SurfaceGraphics ú Hier noch eine Darstellung der Feldlinien und Äquipotentiallinien eines elektrischen Dipols: $EELOGXQJÃ Weitere Darstellungen von Potentialen sind zu finden unter DWKHPDWLFD1RWHERRN'HPRV

9 Å HWDOOLVFKH/HLWHU Die Oberfläche metallischer Leiter ist immer eine Äquipotentialfläche, d.h. der elektrische Feldvektor steht immer senkrecht auf der Metalloberfläche. Jede Komponente in der Fläche führt zu einer Verschiebung der Ladung, da diese beim Leiter ja frei beweglich ist! Das Feld einer metallischen, geladenen Hohlkugel entspricht ausserhalb der Kugel dem einer äquivalenten Punktladung im Mittelpunkt der Hohlkugel. Im Innern der Hohlkugel verschwindet das elektrische Feld (Warum? Stichwort: Faradayscher Käfig!) Å,QIOXHQ] Bringt man eine Ladung in die Nähe eine metallisch leitenden Metallplatte, in dem die Ladungsträger frei beweglich sind, so führt das elektrische Feld der Ladung zu einer Verschiebung der Ladungsträger im Metall. Die Feldlinien müssen sich derart krümmen, dass sie senkrecht auf der Oberfläche des Leiters stehen: $EELOGXQJÃ Auf der Oberfläche des Leiters werden entgegengesetzte Ladungen gebunden (,QIOXHQ]). Die gebundene Ladung hat die gleiche Größe wie die influenzierende Ladung. Auf der Gegenseite der Platte bildet sich eine influenzierte Ladungsverteilung mit entgegengesetzem Vorzeichen, so dass die Gesamtladung der Platte weiterhin Null bleibt. Man spricht von einer 6SLHJHOODGXQJ. Die Metallplatte hat als Symmetriebene as Potential Null.

10 Zwei Metallplatten, die man im elektrischen Feld zur Berührung bringt und dann wieder trennt, weisen entgegengesetzte Ladungen auf. Warum ist dies so? Wie sieht es in diesem Fall mit der Ladungs- und Energieerhaltung aus? Å.DSD]LWlW3ODWWHQNRQGHQVDWRU Das Potential j einer Punktladung ist ihrer Ladung Q proportional, wie wir oben gesehen haben (Gleichung [8]). Diese Proportionalität gilt für jede Ladungsverteilung, allerdings hängt der Proportionalitätsfaktor von der Gestalt der Ladungsverteilung ab. Man bezeichnet diesen Faktor als.dsd]lwlw. Es gilt also: Q = C j [11] Oder: C = þþþþ Q j A þþþþ C V E [12] Die Einheit der Kapazität ist als Coulomb/Volt. Aus Gleichung [8] können wir damit unmittelbar ablesen, dass für die Kapazität einer geladenen Kugel gegenüber HLQHUXQHQGOLFKZHLWHQWIHUQWHQ:DQGgilt: C = 4 pe R [13] Zwei ebene Metallplatten der Fläche 6 stehen einander im Abstand G(d klein gegenüber der Ausdehnung der Flächen) gegenüber. Man bezeichnet diese Konfiguration als (Platten-)Kondensator: $EELOGXQJÃ Lädt man eine der Platten mit positiven Ladungsträgern entsteht auf der benachbarten Platte aufgrund der Influenz eine entsprechende negative Ladung, zwischen den Platten bildet sich ein elektrisches Feld aus.

11 Bei geringem Abstand der Platten exisitiert ein elektrisches Feld nur zwischen den Platten (warum?, vgl. Definition des elektrischen Flusses) Zwischen den Platten ist das Feld homogen und senkrecht zu den Platten. Der Fluß ist nach Gleichung [8] bzw. [1] aus Script eum1: F = ES = Q þþþþþþ e [14] und damit das Feld E = Q þþþþþþþþþþþþ e S. [15] Die Potentialdifferenz oder Spannung U zwischen den Platten ist (wegen der Homogenität des Feldes) nach Gleichung [3]: U = Ed = Qd þþþþþþþþþþþþ e S. [16] Damit erhält man also für die Kapazität des Plattenkondensators: C = Q þþþþ U = e S þþþþþþþþþ d. [17] Die Kapazität nimmt also mit seiner Fläche zu und mit dem Abstand der Platten ab. é 3DUDOOHOXQG5HLKHQVFKDOWXQJYRQ.RQGHQVDWRUHQ Betrachten wir nun was geschieht, wenn wir Kondensatoren parallel oder in Reihe (Serie) schalten: $EELOGXQJÃ

12 Schaltet man zwei.rqghqvdwruhq mit der Kapazität & 1 und & 2 SDUDOOHO(Abb. 1 links), so muß zwischen beiden die gleiche Spannung liegen und die Ladungen addieren sich, also gilt: Q = Q 1 + Q 2 = C 1 U + C 2 U = CU [18] mit C = C 1 + C 2 [19] Bei der Parallelschaltung addieren sich also die Kapazitäten von Kondensatoren. Bei der 5HLKHQVFKDOWXQJ (Serienschaltung, Abb. 1 rechts) liegen die Verhältnisse anders: hier addieren sich die Einzelspannungen zur Gesamtspannung U während beide Kondensatoren die gleiche Ladung Q (Influenz!) tragen und es gilt: U = U 1 + U 2 = Q þþþþþþþ + þþþþþþþ Q = þþþþ Q C 1 C 2 C [2] also: 1 þþþþ C = 1 þþþþþþþ + þþþþþþþ 1 C 1 C 2 [21] Es addieren sich also bei der Serienschaltung die reziproken Kapazitäten.