Folie 1 Heute möchte ich einen Vortrag über Schieberegister und ihre Anwendungen halten.

Transkript

1 Proseminar Kodierverfahren Dr. Ulrich Tamm Vortrag Schieberegister von Oleksiy Shepelyanskiy (zum Verstehen dieses Textes ist die beigelegte PowerPoint Präsentation erforderlich) Folie 1 Heute möchte ich einen Vortrag über Schieberegister und ihre Anwendungen halten. Folie 2 Im Laufe des Vortrages gehe ich auf folgende Themen ein: Was sind Schieberegister, welche Arten von Schieberegistern gibt es und wie kann man diese einordnen. Danach betrachten wir die technische Realisierung von Schieberegistern. Anschließend will ich auf mathematische Aspekte von Schieberegistern eingehen und ein kleineres Beispiel vorstellen. Ein wichtiger Punkt bei Verwendung von Schieberegistern ist die Rückkopplung. Ich zeige was damit gemeint ist und wie man rückgekoppelte Schieberegister verwenden kann. Vorletzter Punkt meines Vortrages wird ein Scrambler/Descrambler sein wie er zur Signalverarbeitung in diversen Modems eingesetzt wird. Und als letztes zeige ich die 2 wichtigsten Arten von Digitalfiltern. Folie 3 Im allgemeinen bestehen Schieberegister aus Speicherzellen.(auf dem Bild durch s1-s6 dargestellt). Ein Schieberegister heißt Schieberegister weil er die Inhalte der Speicherzellen verschieben kann. Man kann bei den Registern folgende Klassifikation vornehmen: Nach Richtung der Verschiebung also links rechts oder beides( was man dann als reversiv bezeichnet.). Eine weitere Möglichkeit ist, die Register nach Art der Eingabe und Ausgabe zu unterscheiden - also ob es sequentiell(d.h. nacheinander) oder parallel geschieht. Hier sind unterschiedliche Kombinationen möglich z.b. parallele Eingabe, sequentielle Ausgabe (wird z.b. in Geräten eingesetzt die von parallelen Schnittstellen auf serielle wandeln müssen - da wird synchroner Schieberegister eingesetzt: im ersten Takt werden die Daten reingeschoben und dann in mehreren Takten rausgeschoben). Oder sequentielle Eingabe und sequentielle Ausgabe: damit realisiert man eine Warteschlange (LIFO), man nimmt dafür meistens mehrere Schieberegister nebeneinander und steuert die mit gleichem Taktsignal an. Die Anzahl der Schieberegister entspricht dann einem Wort. Die verwendeten Bezeichnungen für solche Register sind SISO(serielle Eingabe, serielle Ausgabe) SIPO (serielle Eingabe, parallele Ausgabe) PISO (parallele Eingabe, serielle Ausgabe) und PIPO ( parallele Eingabe, parallele Ausgabe.) Folie 4 Man kann außerdem Schieberegister nach Vorhandensein der Rückkopplung unterscheiden (auf dem Bild ist ein Register mit Rückkopplung dargestellt) Rückkopplung im allgemeinen ist eine boolesche Funktion die eine Abhängigkeit des Einganges vom Zustand des Registers darstellt. Also f(s1,...,s6), da aber s1=f(s1,..s6), ist diese Funktion rekursiv. Ein rückgekoppeltes Schieberegister kann also eindeutig mit Hilfe einer rekursiven Funktion beschrieben werden. Man unterscheidet auch synchrone und asynchrone Register. Auf dem Bild ist ein synchroner PISO (also mit parallelen Eingängen und seriellem Ausgang) Register dargestellt. Wie man leicht erkennen kann, ist an jede Speicherzelle ein Synchronisationssignal angeschlossen. Nur sobald dieses den Wert 1 bekommt, werden die Speicherzellen aus den Dateneingängen gefüllt.

2 Folie 5 Hier sehen wir nur ein ganz einfaches Schieberegister, was aus mehreren hintereinander geschalteten Flipflops besteht. Jeder Eingang ist auf den Ausgang des vorherigen Flipflops geschaltet. Das sind MS-Flipflops. Das muss man in der Praxis so machen. Wenn man gewöhnliche Flipflops hintereinander schaltet, wäre das zu unsicher, denn durch Lauf- und Schaltzeiten kann es vorkommen, dass ein Bit eine Stelle zu weit geschoben wird. Man will ja, dass mit jedem Takt definiert um eine Position verschoben wird. Dieser Register kann nur Daten durchschieben und eventuell parallel ausgeben. Das ist aber vollkommen ausreichend für viele Anwendungen z.b. kann man damit einen Seriell-Parallel-Wandler bauen wie er in diversen seriellen Schnittstellen (com/usb) eingesetzt wird - wenn man viele solche Schieberegister nacheinander schaltet bekommt man ein FIFO. Folie 6 Auf diesem Schaltplan sehen wir einen reversiven Schieberegister. Da man nicht für jede Anwendung einen eigenen Register bauen will, nimmt man solche universell einsetzbare Schieberegister. Wie man hier leicht erkennen kann, ist die Steuerung durch mehrere Multiplexer realisiert. Eingang DSR wird verwendet, wenn die Daten nach rechts geschoben werden sollen und DSL ist der Eingang für Linksschieben. C ist der Takteingang, mit ~R kann man den Register reseten ( also überall 0 reinschreiben). Man beachte, dass der ~R Eingang invertiert ist, also bei Normalbetrieb auf 1 stehen muss.d1..d3 sind parallele Eingänge und Q1..Q3 parallele Ausgänge. Schließlich dienen M0 und M1 zur Steuerung des Schieberegisters - und zwar folgendermaßen: Wenn M0=1 und M1=0, wird der erste Eingang des Multiplexers auf jeweils folgenden durchgeschaltet. Also werden die Daten vom jeweils linken Nachbar kopiert. Der Register führt eine Verschiebung nach Rechts durch. Für M0=0 und M1=1 wird Eingang 2 des Multiplexers durchgeschaltet, es wird also analog eine Verschiebung nach links ausgeführt. Wenn die Eingänge M0=M1=1 sind, ist es paralleles Laden mit der nächsten Taktflanke wird D0...D3=Q0...Q3 geschrieben. M0=M1=0 steht für Speichern. In diesem Zustand wird der Eingang C(also Takt) wegen der OR und AND Verknüpfung nicht durchgereicht, so bleibt der Register im aktuellen Zustand. Folie 7 Auf der Menge werden Verknüpfungen und definiert; hierbei entspricht die Verknüpfung der Addition modulo 2 bzw. dem logischen Exklusiv-Oder, die Verknüpfung entspricht der Multiplikation bzw. dem logischen Und. Def.: Verknüpfungen und in Die Menge bildet mit diesen Operationen einen Körper, d.h. eine mathematische Struktur, in der man nach den gewohnten Rechenregeln addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Im folgenden betrachten wir Polynome über dem Körper (,, ).

3 Die Menge [x] aller Polynome über ist ein Ring, d.h. eine Struktur, in der man addieren, subtrahieren und multiplizieren kann (z.b. ist die Menge der ganzen Zahlen auch ein Ring). Die Rechenoperationen in [x] gehen aus den Rechenregeln des Körpers hervor. Im allgemeinten heißt dieser Ring Galois Field(2). Beispiel: (Polynom-Addition in [x]) f = x 2 x = 0 x 3 1 x 2 1 x 1 0 x 0 g = x 3 x = 1 x 3 0 x 2 1 x 1 0 x 0 f g = x 3 x 2 = 1 x 3 1 x 2 0 x 1 0 x 0 Beispiel: (Polynom-Multiplikation in [x]) f= x 3 x g= x 2 1 f g = x 5 x 3 x 3 x = x 5 x Anders als in einem Körper kann man aber in einem Ring nicht dividieren, sondern es gibt (wie in ) nur eine Division mit Rest. Satz: Seien f und g Polynome, g 0. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung f = q g + r mit grad(r) < grad(g) d.h. das Polynom r ist der Rest bei Division von f durch g, das Polynom q ist der Quotient. Beispiel: (Division mit Rest in [x]) f= x 5 g= x 2 1 f= q g r = (x 3 x) (x 2 1) x Folie 8 Ein binäres Wort der Länge n kann durch ein Polynom c(x) über dem Ring B[x] vom Grad n- 1 dargestellt werden. Die einzelnen Bitpositionen des Wortes sind dabei die Koeffizienten des Polynoms, die Hilfsgröße x dient zur Festlegung der Stellenposition. Der Sinn dieser Darstellung lieg darin das man sehr einfach einen zyklischen Code erzeugen kann, indem man Ein Informationspolynom mit dem Generatorpolynom multipliziert. Dabei muss man beachten das wenn das Informationspolynom Grad m-1 hat und man ein Codewortpolynom vom Grad n-1 erhalten will, das Generatorpolynom den Grad n-m haben wird. So kann man die Anzahl der redundanten Bits festlegen. Das Generatorpolynom ist ein irreduzibler Teiler von ((x^n)-1). Umgekehrte Umwandlung vom Codewort zum Informationswort erfolgt durch Division durch das Generatorpolynom. Beispiel:

4 Es soll ein zyklischer Code gebildet werden, der Informationsworte der Länge 4 mit 3 redundanten Bits codiert. Es ist n = = 7, man sucht also ein Generatorpolynom, das irrreduzibles Teilerpolynom von (x 7-1) ist und Grad 3 hat. Die Zerlegung von (x 7-1) ergibt: (x 7-1) = (x + 1) (x 3 + x + 1) (x 3 + x 2 + 1) Das Polynom (x 3 + x + 1) erfüllt alle Voraussetzungen, die an ein Generatorpolynom gestellt werden: es ist irrreduzibler Teiler von (x 7-1) und normiert. Man wählt also g(x) = (x 3 + x + 1) Nun entstehen alle Codewörter dieses Codes durch Multiplikation von g(x) mit den 16 Informationsworten a(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Die Codeworte haben also die Form c(x) = g(x) a(x) = (x 3 + x + 1) (a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) = a 3 x 6 + a 2 x 5 + (a 1 + a 3 ) x 4 + (a 0 + a 2 + a 3 ) x 3 + (a 1 + a 2 ) x 2 + (a 0 + a 1 ) x + a 0 Aus dieser Darstellung wird deutlich, dass der Code nicht systematisch ist, da a 1 im Codewort nur implizit, d. h. mit den anderen Stellen verknüpft, vorkommt. Für das Informationswort 1011 ergibt sich hiermit: a(x) = x 3 + x + 1 als Informationswortpolynom und das Codewortpolynom c(x) = g(x) a(x) = x 6 + x also das Codewort Entsprechend lassen sich alle 16 Codewörter durch Multiplikation mit g(x) erzeugen. Was nun, wenn ein so codiertes Wort fehlerhaft empfangen wird? Diesen Fall stellt man sich so vor, dass zu dem ursprünglich vorhandenen Codewort c(x) bei der Übertragung ein Fehlerwort f(x) addiert worden ist. Man erhält also ein c'(x) der Form: c'(x) = c(x) + f(x). Wird nun ein Codewort empfangen und durch g(x) geteilt, dann entsteht bei der Division kein Rest, falls das empfangene Codewort korrekt übertragen wurde. Selbstverständlich besteht theoretisch die Möglichkeit, dass f(x) ein anderes gültiges Codewort oder ein Vielfaches von g(x) ist und man als c'(x) wieder ein gültiges Codewort erhält. In diesem Fall würde ein Fehler nicht erkannt werden können, eine Korrektur wäre nicht möglich. Wie die allgemeinen linearen Codes sind die zyklischen Codes in der Lage, in Abhängigkeit von ihrer Hammingdistanz Fehler zu erkennen oder zu korrigieren. Zudem können sogenannte Bündelfehler erkannt werden, das bedeutet, dass im gestörten Codewort über mehrere Bitpositionen hinweg nur die Werte 0 oder 1 auftreten.

5 Dividiert man das gestörte Codewortpolynom c'(x) wieder durch g(x), so ergibt sich ein Divisionsrest in Form eines Polynoms dessen Koeffizienten aus den Koeffizienten des Fehlerpolynoms f(x) zusammengesetzt sind. c'(x) c(x) + f(x) = = q(x) Rest s(x) g (x) g (x) Dieser Rest wird Syndrom(polynom) genannt. Anhand der allgemeinen Form des Syndroms bei gestörtem Codewort lassen sich im speziellen Fall Fehler erkennen und eventuell korrigieren. Folie 9 Die Abbildung zeigt ein Schieberegister zur Multiplikation eines Eingabepolynoms a(x) mit dem Generatorpolynom g(x) = g 3 x 3 + g 2 x 2 + g 1 x + g 0. Die Codierung eines gegebenen Informationswortes läuft nun folgendermaßen ab: Zu Beginn enthalten alle Speicherelemente den Wert 0. Das zu codierende Informationswortpolynom wird nun schrittweise, der Koeffizient höchsten Grades voran, in die Schaltung geschoben. Der an der Eingabe anliegende Koeffizient wird im ersten Taktschritt mit den Koeffizienten von g(x) multipliziert, die Ergebnisse werden modulo 2 zu den in den Speicherelementen vorhandenen Werten (also 0) addiert und einen Speicherbaustein weiter abgelegt. Nach dem ersten Taktzyklus kann also bereits das Produkt der jeweils höchsten Koeffizienten von a(x) und g(x) an der Ausgabe abgelesen werden. Sobald das eingegebene Polynom ganz in die Schaltung geschoben worden ist, ist das Codewort bereits berechnet und die höchsten Koeffizienten sind ausgegeben. Betrachtet man wie im obigen Beispiel die Codierung eines Informationswortpolynoms vom Grad drei, lässt sich an folgender Tabelle leicht nachvollziehen was in den einzelnen Taktschritten passiert. Man erkennt, dass nach dem vierten Taktschritt alle Koeffizienten des Produkts a(x) g(x) in absteigender Reihenfolge berechnet worden sind (grau unterlegt). Die letzten (im Beispiel vier Stück) Koeffizienten stehen noch in den Speicherzellen des Registers und können durch Eingabe von weiteren (vier) Nullen durchgeschoben werden, an ihren Werten ändert sich dadurch nichts mehr. Folie 10 Auch hier steht zu Beginn in allen Speicherstellen des Registers der Wert 0. Man erkennt sofort, dass während der ersten vier Taktzyklen am Ausgang der Wert 0 anliegt. Im fünften Schritt erscheint dann die höchste Stelle des Eingabewortes, die gleichzeitig mit den Koeffizienten g 2, g 1 und g 0 multipliziert und zu den nachfolgenden Stellen des Codewortes addiert wird. Man beachte hierbei, dass g 3 = 1 sein muss und die Addition und Subtraktion in GF(2) das selbe sind. Wie oben macht man sich klar, dass dieses Schieberegister eine Division durch g(x) realisiert. Wird ein gestörtes Codewort in dieser Schaltung dividiert, dann bleibt der bei der Division durch das Generatorpolynom entstehende Rest in den Speicherzellen des Schieberegisters stehen, nachdem das Codewort abgearbeitet. Nur wenn ein korrektes Codewort eingegeben wurde ist der Wert in allen Speicherzellen nach der

6 Division Null. Dieser Divisionsrest, der auch Signatur des Polynoms oder Syndrompolynom genannt wird, kann dann wie im Beispiel zur Auswertung eines eventuell aufgetretenen Fehlers im Codewort verwendet werden. Hier sieht man ein paar Beispiele wie die in Praxis verwendet werden. Also konkret für Ethernet und Disketten. Folie 11 Um viele Anwendungen von Schieberegistern zu Verstehen braucht man den Begriff der Rückkopplung. Eine Rückkopplung ist, wie oben schon erwähnt, eine boolesche Funktion. Diese Funktion ist, wie man bei diesem konkreten Beispiel sieht, rekursiv. Grundsätzlich existieren zwei Arten von Rückkopplungen: lineare und nichtlineare Rückkopplung. Eine Rückkopplung ist dann linear, wenn sie durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. Auf dem Beispiel sehen wir eine einfache lineare Rückkopplung: das letzte Bit wird mit einer Konstante 1 multipliziert und auf die erste Stelle geschrieben oder umgekehrt je nach Laufrichtung. Es handelt sich hier wie man sieht um einen reversiven SISO Register. In der Praxis werden aber auch oft nichtlineare Rückkopplungen verwendet. Wie man hier sieht, kann man aus der Ausgabe alle weiteren Werte erraten. Das ist aber bei Zufallsgeneratoren, die für Verschlüsselung eingesetzt werden, eher nicht wünschenswert. Dort verwendet man nichtlineare Einweg-Funktionen. Eine Einweg-Funktion ist eine Funktion die nicht umkehrbar ist. Folie 12 In vielen Anwendungen werden Zufallszahlen verwendet. Eine große Rolle spielen sie in Computersimulationen - dort werden sehr hohe Anforderungen an die Qualität gestellt. Insbesondere sollen die Zahlen keine Korrelation besitzen, d.h. sie sollen unabhängig sein voneinander, und eine Zahl soll nicht so sein, dass man daraus die nächste ableiten kann. Daneben gibt es aber auch ganz andere Anwendungen, in denen Zufallszahlen gebraucht werden, die für den Benutzer eines Gerätes zufällig und nicht nachvollziehbar wirken, für die Software des Gerätes aber berechenbar und nachvollziehbar sind. Solche Zahlen lassen sich schnell und einfach erzeugen, wie im folgenden beschrieben wird. Für die Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen gibt es verschiedene Verfahren. In diesem Vortrag wird die Erzeugung mittels rückgekoppelter Schieberegister besprochen. Ein Prozessor oder Computer kann keine wirklich zufälligen Zahlenfolgen erzeugen. Sie sind immer von irgendwelchen Anfangsbedingungen abhängig. Es können aber Pseudo- Zufallszahlen erzeugt werden, die ähnlich wie echte Zufallszahlen sind und auch zufällig wirken. Solche Folgen weisen aber eine Periodizität auf, im Gegensatz zu den echten Zufallsfolgen, bei denen keine Gesetzmäßigkeit zu erkennen ist. Oft ist es aber auch gerade erwünscht, Zahlen zu erzeugen, die zwar zufällig und unvorhersehbar wirken, aber reproduzierbar sind. Gerade für Sicherheitsfunktionen, an die zwar nicht höchste Ansprüche gestellt werden, die aber doch nicht einfach zu durchschauen sind, sind Pseudo-Zufallszahlen zweckmässig. Ein Gerät kann eine Pseudozufallsfolge nicht von einer wahren Zufallsfolge unterscheiden, wenn die Periodenlänge grösser ist als seine Speicherkapazität.

7 Bei dieser und ähnlichen Schaltungen muss der Zustand unterdrückt werden. Dieser ist nämlich stabil und ergibt immer nur Zu Beginn muss also in mindestens einem Bitspeicher ein Wert 1 vorhanden sein. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das rückgekoppelte Schieberegister mittels Software zu erzeugen. In einer Variablen oder einem Register kann der Bitspeicher untergebracht sein. Bei einer Grösse von 20 (20 Bitspeicher) könnte man z.b. eine Integer-Variable von 32 Bit verwenden. Je nach angestrebter Periodenlänge kann man mit wesentlich kleineren Speichern arbeiten; z.b. mit 16 Bit. Zu Beginn muss die Variable mit einem Wert gefüllt werden, der beliebig ist, aber nicht Null sein darf. Folie 13 Wenn man Daten über eine fehleranfällige Leitung überträgt, sollte das Signal bestimmte Eigenschaften haben. Z.b. soll die Anzahl von 0en und 1en ungefähr gleich und Wechsel zwischen 0 und 1 sollte so oft wie möglich erfolgen. Das ist aber bei zu übertragender Information eher selten der Fall, da die Information ja meist nicht zufällig ist. Bei einem Bitmap bzw. Bild passiert es sehr oft, dass eine größere Fläche mit einer Farbe vorhanden ist. Da ist diese Eigenschaft nicht mehr gegeben. Deswegen setzt man in Übehrtragungsgeräten bzw Modems Scrambler/Descrambler ein. Als Beispiel ist hier ein selbstsynchronisierender Scrambler/Descrambler dargestellt. Die Anfangseinstellung kann beliebig sein. Man sollte aber beachten, dass man mindestens ein volles Wort durchschicken muss, damit die Schieberegister sich synchronisieren können. Dieses Wort kommt dann natürlich nicht richtig an. Wie man sieht, ist es egal, was man überträgt - die Verteilung von 0 und 1 ist immer ungefähr gleich. Die Rückkopplungsfunktion beider Schieberegister erinnert an einen Zufallsgenerator wie er im vorherigen Beispiel gezeigt wurde. Scrambler/Descrambler bedient sich desselben Prinzips - die beiden Schieberegister generieren die selbe pseudozufällige Folge die aber von den zu übertragenden Daten abhängt. Folie 14 Bei dem heutigen Stand der Entwicklung geht der Trend wegen besserer Qualität und Reproduzierbarkeit der Ergebnisse in Richtung digitale Signalverarbeitung. Und die hauptsächliche Aufgabe der digitalen Signalverarbeitung ist das Filtrieren einer sehr langen Folge von Zahlen. Die Länge dieser Folge ist vorher unbekannt und kann als unendlich angenommen werden. Ein digitaler Filter ist ein Gerät oder ein Algorithmus, der unendliche Zahlenketten nach vorgegebenen Vorschriften verarbeiten kann. Hier sehen wir die zwei wichtigsten Arten von digitalen Filtern. Den Finite-Impulse-Response-Filter und den Infinite- Impulse-Response-Filter Beide Basieren auf Schieberegistern. Der Zweite besitzt eine Rückkopplung. Die konstanten g0-gn und h1-hl geben die Bildungsvorschrift an. Folie 15 Hier ist mein Literaturverzeichnis. Hiermit möchte ich meinen Vortrag beenden.