Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt

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1 Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt Dieses Dokument beinhaltet zusätzliche Informationen zu unseren Stahlbetonprogrammen Friedrich + Lochner GmbH 2011 Frilo im Internet info@frilo.de Handbuch, Revision 1/2011 Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 1

2 Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt Inhaltsverzeichnis Bemessung für Biegung und Längskraft... 3 Bemessungsgrundlagen... 3 Bemessung für ein gegebenes Bewehrungsverhältnis... 7 Bemessung nach kd (kh)-verfahren... 8 Mindestbewehrung für auf Biegung beanspruchte Bauteile Mindestbewehrung für Druckglieder Hebelgesetz Ermittlung der effektiven Steifigkeit Schubbemessung Schubbemessung nach DIN / Schubbemessung nach DIN Schubbemessung nach ÖNORM B Schubbemessung nach EC2 (Italien) Schubbemessung nach BS Schubbemessung nach EN Nachweise der Gebrauchstauglichkeit Rissbreitennachweis nach DIN / Rissbreitennachweis nach DIN Rissbreitennachweis nach ÖNorm B Rissbreitennachweis nach EC2 (Italien) Rissbreitennachweis nach EN Spannungsnachweis nach DIN Spannungsermittlung nach ÖNorm B Spannungsnachweis nach EC2 (Italien) Spannungsnachweis nach EN Außergewöhnliche Bemessungssituation Brand Literatur Siehe auch Normen und Begrifflichkeiten im Dokument B2.pdf 2 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

3 Bemessung für Biegung und Längskraft Bei der Stahlbetonbemessung wird für gegebenen Schnittkräfte bei unbekannter Bewehrung der zum Versagen führende Dehnungszustand ermittelt. Durch die in den Normen definierten Dehnungsverteilungen im GZT ist immer eine der Randdehnungen bekannt. Innere und äußere Kräfte müssen im Gleichgewicht stehen. Daraus ergeben sich zwei, bei Doppelbiegung drei nichtlineare Gleichungen, wobei die inneren Schnittkräfte Funktionen der Randdehnungen und Neigungswinkels der Nulllinie (Doppelbiegung) sind. Die Lösung erfolgt iterativ mit Hilfe des Newtonverfahrens. Für die Biegebemessung kann das kh- (Kd) Verfahren (nur bei einachsiger Beanspruchung)oder das Verfahren mit gegebenen Bewehrungsverhältnis gewählt werden. Bei schwach beanspruchten Querschnitten kann die Einhaltung der Mindestbewehrung (Druck/Biegung) maßgebend werden. Außerdem wird ggf. eine Überschreitung der zulässigen Höchstbewehrung angezeigt Bemessungsgrundlagen Arbeitslinie Beton DIN /88 Richtlinie HLB Bild 11 Bild R1 + Tab. R7 ÖNORM B4700 EC2 Italien DIN BS 8110 EN Bild 7 Bild 4.2 Bild 23 Bild 2.1 Bild 3.3 Spannungsmaximum fcd Grenzstauchung Beton cu Stauchung Ende Parabelbereich c2 R nach Tab.12 R nach Tab.R7 3,5 o/oo betonabh. Tab. R7 2 o/oo betonabh. Tab.R7 Exponent n 2 betonabh. Tab. R7 Arbeitslinie Betonstahl Spannungsmaximum ftd Grenzdehnung Stahl ud Dehnungs- Vert. GZT fck/ c fck/ c fck/ c 0,67 fcu/ m cc fck/ c 3,5 o/oo 3,5 o/oo betonabh. Tab.9,10 2 o/oo 2 o/oo betonabh. Tab.9, Betonabh. Tab.9.10 Bild 12 analog Bild 9 Bild 4.5 mit ftk=fyk 3,5 o/oo betonabh. Tab.3.1 0,00024 (fcu// m) betonabh. Tab betonabh. Tab.3.1 Bild 27 Bild 2.2 Bild 3.8 ßs ßs fyk/ s fyk/ s ftk,cal/ s fy/ m K fyk/ s 5 o/oo 5 o/oo 20 o/oo nach /11/ 20 o/oo 25 o/oo Annahme 10 o/oo NDP Bild 13 Bild R2 -- Bild 4.11 Bild Bild 6.1 Die Spannungsdehnungslinie des Betons ist das Parabel-Rechteck-Diagramm. Für Normalbeton (außer BS 8110) mit c2 = 2 o/oo und Exponent = 2 können die inneren Schnittkräfte bei Rechteck- und Kreisquerschnitt über geschlossene Formeln ermittelt werden ( /2/ ). Für alle anderen Fälle (Hochleistungsbeton, Plattenbalken- und Schichtenquerschnitte, Betone nach BS 8110) erfolgt eine näherungsweise Berechnung durch Aufteilung der Betondruckzone in dünne Schichten. Bei Ortbetonergänzung werden die inneren Schnittkräfte des Betons mit den entsprechenden Arbeitslinien der verwendeten ggf. unterschiedlichen Betone ermittelt. Optional ( Konfiguration Bemessung) kann die vom Stahl in der Druckzone verdrängte Betonfläche berücksichtigt werden. Nach /10/ S.13 ist die bisher übliche Vernachlässigung bei hochbewehrten Querschnitten insbesondere aus hochfestem Beton nicht mehr gerechtfertigt. Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 3

4 DIN /88 Bei Bemessung nach DIN /88 Bild 13 ist ein von den Dehnungen abhängiger summarischer Sicherheitsbeiwert zu beachten. Für Hochleistungsbeton hängt der Bereich von Rechteck und Parabel sowie der Exponent der Funktion vom jeweiligen Beton ab. DIN Nach 10.2.(5) darf bei geringen Ausmitten ed/h < 0,1 c2 mit 2,2 angenommen werden. Dies ist mit Ausnahme von Kreisring- und Rechteckhohlquerschnitten und polygonalen Querschnitten implementiert. Bei diesen Querschnitten wird immer mit c2 nach Tab.9,10 gerechnet. Nach 10.2.(6) ist die Stauchung in der Plattenmitte gegliederter Querschnitte auf c2 nach Tab.9,10 zu begrenzen. Dies ist mit Ausnahme von Kreisring- und Rechteckhohlquerschnitten und polygonalen Querschnitten implementiert. fck Charakteristische Zylinderdruckfestigkeit Beiwert für Langzeitwirkung und zur Umrechnung Zylinderdruckfestigkeit - einachsiale Druckfestigkeit Für Normalbeton 0,85 Für Leichtbeton 0,75 Anmerkung: Bei kurzzeitigen Beanspruchungen wie außergewöhnlicher Bemessungssituation durch Lastanprall (vgl./25/) oder Bemessungssituation für Erdbeben (vgl. /23/ S ) darf erhöht werden (0,85 < <= 1,0). c, s siehe Beton benutzerdefiniert Teilsicherheitsbeiwerte für Beton und Stahl Materialfaktoren nach DIN Die Neigung des oberen Astes der Arbeitslinie des Betonstahles wird berücksichtigt, sofern dies nicht in der Konfiguration abgestellt wurde. Bei Verwendung hochfesten Betons (> C50/60) sollte die Bemessungsoption Berücksichtigung der Netto Betonfläche" ausgewählt sein (vgl. /14/ S.161). ÖNORM B4700 fck Charakteristische Dauerstandsfestigkeit (75% der charakteristischen Würfeldruckfestigkeit fcwk c, s Teilsicherheitsbeiwerte für Beton und Stahl Materialfaktoren nach B4700 Mindestmoment Nach gilt M > N h/10 EC2 Italien fck Charakteristische Zylinderdruckfestigkeit Beiwert für Langzeitwirkung nach (11) = 0,85 c, s Teilsicherheitsbeiwerte für Beton und Stahl siehe Materialfaktoren nach EC2 BS 8110 fcu Charakteristische Würfeldruckfestigkeit m Teilsicherheitsbeiwert Material siehe Materialfaktoren nach BS Frilo - Statik und Tragwerksplanung

5 EN fck Charakteristische Zylinderdruckfestigkeit Klassen nach Tabelle 3.1 cc Beiwert für Langzeitwirkung NDP NDP Normalbeton Leichtbeton Unbewehrt EN 1,0 0,85 0,85 NA_D 0,85 0,75 0,75 NA_GB 0,85 = EN = EN NA_A = EN = EN = EN NA_I 0,85 =EN =EN NA_B 0,85 =EN =EN NA_NL =EN =EN =EN NA_CZ =EN =EN =EN c Teilsicherheitsbeiwerte für Beton NDP Ständig/vorübergehend Außergewöhnlich Erdbeben EN 1,5 1,2 1,5 NA_D = EN 1,3 1,5 NA_GB = EN = EN = EN NA_A = EN = EN =1,3 NA_I = EN 1,0 =EN NA_B =EN =EN =EN NA_NL =EN =EN =EN NA_CZ =EN =EN =EN Mögliche Reduzierung nach Anhang A A2.1 reduzierte geometrische Abweichungen durch Kontrolle c,red1 A2.2 (1) gemessene oder verminderte geometrische Daten c,red2 A2,2 (2) Variationskoeffizient der Betonfestigkeit < 10 % c,red3 A2.3 Betonfestigkeit im Betonwerk bestimmt Abminderung Faktor ( c,red* ) A2.3 Minimum c ( c,red4) EN 1,4 1,45 1,35 0,85 1,30 NA_D 1,5 1,5 1,5 0,9 1,35 NA_GB = EN = EN = EN = EN = EN NA_A = EN = EN = EN = EN = EN NA_I 1,4 Nicht erlaubt Nicht erlaubt Nicht erlaubt 1,4 NA_B =EN =EN =EN =EN =EN NA_NL Nicht erlaubt Nicht erlaubt Nicht erlaubt Nicht erlaubt Nicht erlaubt NA_CZ =EN =EN =EN =EN =EN Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 5

6 c2: NA_D: Bei geringen Ausmitten ed/h < 0,1 kann c2 mit 2,2 angenommen werden. Dies ist mit Ausnahme von Kreisring- Rechteckhohl- und polygonalen Querschnitten implementiert. Bei diesen Querschnitten wird immer mit c2 nach Tab.9,10 gerechnet. cu: Alle : Nach 6.1. (5) ist die Stauchung in der Plattenmitte gegliederter Querschnitte auf c2 nach Tab. 3.1 zu begrenzen. Dies ist mit Ausnahme von Kreisring- Rechteckhohl- und polygonalen Querschnitten implementiert. fyk ftk Charakteristischer Wert der Streckgrenze k fyk charakteristische Zugfestigkeit s: Teilsicherheitsbeiwerte für Betonstahl NDP Ständig/vorübergehend Außergewöhnlich Erdbeben EN 1,15 1,0 1,15 NA_D = EN = EN = EN NA_GB = EN = EN = EN NA_A = EN = EN =1,0 NA_I =EN =EN =EN NA_B =EN =EN =EN NA_NL =EN =EN =EN NA_CZ =EN =EN =EN Mögliche Reduzierung nach Anhang A A2.1 reduzierte geometrische Abweichungen durch Kontrolle s,red1 A2.2 (1) gemessene oder verminderte geometrische Daten c,red2 NA_EN 1,10 1,05 NA_D 1,15 1,15 NA_GB =EN2 =EN2 NA_A =EN2 =EN2 NA_II nicht möglich nicht möglich NA_B =EN =EN NA_NL nicht möglich nicht möglich NA_CZ =EN =EN Die Neigung des oberen Astes der Arbeitslinie des Betonstahles wird berücksichtigt, sofern dies nicht in der Konfiguration abgestellt wurde. Mindestmoment: Nach 6.1 (4) gilt M > N max(2 cm, h/30) NA_D: Nicht erforderlich bei Berechnung nach Theorie II. O. 6 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

7 Bemessung für ein gegebenes Bewehrungsverhältnis Dient vorzugsweise der Bemessung für Druckkraft mit geringer Ausmitte, kann aber auch universell eingesetzt werden, z.b. bei mehrachsiger Beanspruchung und bei Kreisquerschnitten. Die Ermittlung des Bruchzustandes erfolgt iterativ unter Vorgabe einer Bewehrungsanordnung (zweiachsige Beanspruchung) bzw. des Verhältnisses von gezogener zur gedrückter Bewehrung (einachsige Beanspruchung). Durch Wahl eines bestimmten Bewehrungsverhältnisses oder Anordnung kann die erforderliche Stahlmenge reduziert werden. Mindestbewehrung Bei Druckgliedern (ed/h < 3,5) wird automatisch überprüft, ob eine Bemessung der Mindestbewehrung maßgebend wird. Bei den Bemessungstypen einachsige Bemessung Plattenbalken, Rechteck und Schichtenquerschnitt wird außerdem geprüft, ob die erforderliche Mindestbewehrung für auf Biegung beanspruchte Bauteile maßgebend wird. Bei den Bemessungstypen zweiachsige Bemessung Rechteckquerschnitt und Kreisquerschnitt bleibt diese Mindestbewehrung z.zt. unberücksichtigt. Die Berücksichtigung beider Mindestbewehrungen ist optional deaktivierbar Konfiguration Bemessung. DIN /88 Heft 220 des DAfStb Rechteck, einachsige Beanspruchung Tafeln Rechteck, mehrachsige Beanspruchung Tafeln Kreis/Kreisring Tafeln Für Hochleistungsbeton finden sich analoge Bemessungstafeln in / 3 /. DIN Tafeln für symmetrisch bewehrte Querschnitte aus Normalbeton, hochfesten und Leichtbeton nach DIN finden sich in / 10 /. ÖNORM B4700 Tafeln für symmetrisch bewehrte Querschnitte finden sich in / 11 /. EC2 Italien Tafeln für symmetrisch bewehrte Querschnitte sind nicht bekannt. Vergleiche unter Beachtung der Abweichungen bei den Materialparametern sind bedingt mit / 11 / möglich. BS 8110 Tafeln für symmetrisch bewehrte Querschnitte finden sich in BS , hier jedoch noch mit s = 1,15 entsprechend BS 8110 (1985). EN NA_D: Tafeln für einachsige Beanspruchung in /46/ (fck <= 50 N/mm 2 ) Kreis- und Rechteckquerschnitte mit d1/h = 0,05...0,20 NA_A: Tafeln für einachsige Beanspruchung in /48/ (fck <= 50 N/mm 2 ) Kreis- und Rechteckquerschnitte mit d1/h = 0,05...0,20 NA_GB: Tafeln für einachsige Beanspruchung in /50/ (fck <= 50, fck = 90 N/mm 2 ) Kreis- und Rechteckquerschnitte mit d1/h = 0,05...0,20 Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 7

8 NA_I: eine exemplarische Tafel für einachsige Beanspruchung in /58/ (fck=30 N/mm 2 ) Rechteckquerschnitt mit d1/h = 0,1 NA_NL Tafeln für einachsige Beanspruchung in /60/ (fck <= 50 N/mm 2 ) Rechteckquerschnitte mit d1/h = 0,1 und 0,20 hinsichtlich der getroffenen Annahmen (fcd, fyd) identisch mit den Tafeln zum NA_A NA_B nicht bekannt, aber hinsichtlich der getroffenen Annahmen (fcd, fyd) identisch mit den Tafeln zum NA_D NA_CZ nicht bekannt, aber hinsichtlich der getroffenen Annahmen (fcd, fyd) identisch mit den Tafeln zum NA_A Bemessung nach kd (kh)-verfahren kh- bzw. kd-verfahren sind inhaltlich gleich. Die Benennung kd beruht auf der geänderten Bezeichnung der Nutzhöhe mit d anstelle von h (DIN , EN ). Das Verfahren dient der Bemessung für einachsig beanspruchte Querschnitte und ist vorzugsweise für Biegung und Längskraft mit großer Ausmitte geeignet. k h = dcm [ ] Ms[ knm] bm [ ] ist dabei das Maß der Querschnittsbeanspruchung. Zunächst wird nur von der Anordnung einer Zugbewehrung ausgegangen. Über das Gleichgewicht der Momente bzgl. der Bewehrungslage wird das für einen Dehnungszustand aufnehmbare Moment ermittelt. Soll die Bewehrung voll ausgenutzt werden, ergibt sich der Dehnungszustand mit dem maximal möglichen Moment mit der Betongrenzstauchung auf der Druckseite und der Fließdehnung in Höhe der Stahllage. Liegt das aufzunehmende Moment unter diesem, ergibt sich der Bruchzustand aus der iterativen Herstellung des Gleichgewichtes der Momente und Normalkräfte. Liegt das aufzunehmende Moment über dem Grenzmoment, wird der oben beschriebenen Dehnungszustand angenommen. Das Differenzmoment wird durch eine Druckbewehrung abgedeckt. Für den Fall, dass sich keine Betondruckspannungen ergeben, erfolgt die Bemessung nach dem Hebelgesetz. Bei linear- elastischer Berechnung von Durchlaufträgern ist die Druckzonenhöhe zu begrenzen, sofern keine konstruktiven Maßnahmen ergriffen werden. Die Einhaltung des Kriteriums wird durch eine entsprechend modifizierte Stahlgrenzdehnung erreicht, ab der eine Druckbewehrung ermittelt wird. Mindestbewehrung Bei Druckgliedern (ed/h < 3,5) wird automatisch überprüft, ob eine Bemessung der Mindestbewehrung maßgebend wird. Bei den Bemessungstypen einachsige Bemessung Plattenbalken, Rechteck und Schichtenquerschnitt wird außerdem geprüft, ob die erforderliche Mindestbewehrung für auf Biegung beanspruchte Bauteile maßgebend wird. Die Berücksichtigung beider Mindestbewehrungen ist optional deaktivierbar Bemessung - Konfiguration. Besonderheiten nach DIN /88 Die Stahlgrenzdehnung wird mit 3 /oo angenommen. Druckbewehrung bei überwiegender Biegung sollte nur bis 1% von Ab in Rechnung gestellt werden, eine Druckbewehrung größer als die Zugbewehrung ist nach DIN /88 (2) unzulässig, d.h., es muss mit dem Verfahren für ein gegebenes Bewehrungsverhältnis bemessen werden. Tafeln finden sich in Heft 220 (Tafel 1.a, 1.b) 8 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

9 Besonderheiten nach DIN Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern: x/d <= 0,45 (Normalbeton) bzw. <= 0,35 (C55 und höher) In der Norm wird die Größe der Druckbewehrung nicht begrenzt. Wird die Druckbewehrung größer als die Zugbewehrung, sollte jedoch mit dem Verfahren für ein gegebenes Bewehrungsverhältnis bemessen werden. Tafeln für Querschnitte aus Normalbeton, hochfesten- und Leichtbeton nach DIN finden sich in / 10 /. Besonderheiten nach EC2 (Italien) Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern: x/d <= 0,45 (Normalbeton) bzw. <= 0,35 (C55 und höher) Besonderheiten nach B4700 Druckbewehrung ergibt sich, wenn die Stahlfließdehnung nicht mehr ausgenutzt werden kann. Dabei ist zu beachten, dass nach (4) bei Platten mit h < 25 cm keine Druckbewehrung in Rechnung gestellt werden darf. Bei solchen Beanspruchungen sollte ein geeigneteres Material oder ein größerer Querschnitt gewählt werden. Anstelle von kh wird als Maß der Querschnittsbeanspruchung in den Tabellen d γ= verwendet. Ms b f cd Tafeln für Querschnitte ohne Druckbewehrung finden sich in /12/ Tab.27 Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern mit Schnittkraftumlagerung: x/d <= 0,45 (Normalbeton) bzw. <= 0,35 (C55 und höher) Besonderheiten nach BS 8110 Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern: x/d <= 0,5 (siehe /20/) Besonderheiten nach EN Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern: NAD_D x/d < (1,0-0,64) / 0,8 = 0,45 fck > 50 N/mm 2 oder Leichtbeton: x/d < 0,35 NAD_GB BS: x/d < (1,0-0,40) / 1,0 = 0,6 fck > 50 N/mm 2 x/d = f( cu2) C90: x/d= (1-0,4) / 1,13 = 0,53 NA_0, NAD_A, NA_I, NA_NL, NA_B, NA_CZ x/d < (1,0-0,44) / 1,25 = 0,45 fck > 50 N/mm 2 x/d= f( cu2) C90: x/d= (1-0,44) / 1,41 = 0,39 Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 9

10 Mindestbewehrung für auf Biegung beanspruchte Bauteile DIN Für überwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile ist zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens nach eine Mindestbewehrung vorzusehen. In Anlehnung an /29/ ist diese Mindestbewehrung bei folgenden Beanspruchungen zu berücksichtigen: - Reine Biegung - Biegung mit Längsdruck, sobald im Zustand I Randzugspannungen entstehen - Biegung mit Längszug, sobald im Zustand I Randdruckspannungen entstehen Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt entsprechend /14/ über das Rissmoment. Dabei werden Längszugkräfte berücksichtigt, die günstige Wirkung einer Druckkraft jedoch nicht. Der innere Hebelarm wird mit 0,9 d angenommen. EC2 / B4700 Bei überwiegend auf Biegung beanspruchten Bauteilen (e/h > 3,5) wird überprüft, ob eine Mindestbewehrung nach / maßgebend wird. BS 8110 Bei auf Biegung oder Zug beanspruchten Bauteilen wird überprüft, ob eine Mindestzugbewehrung nach Tab.3.25 (reiner Zug, gezogener Steg, gezogener Gurt T- Querschnitt) maßgebend wird. EN Der Mindestwert einer auf Zug beanspruchten Längsbewehrung nach ist ein NDP Asmin EN = 0,26 fctm/fyk bt d > 0,0013 bt d NA_D = (fctm+ N/Ac) Wc / (fyk 0,9 d) Siehe /14/ NA_GB = EN NA_A = EN NA_I =EN NA_B =EN NA_NL = 0,26 fctm/fyk bt d > 0,0013 bt d < 1.25 erf.as NA_CZ =EN 10 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

11 Mindestbewehrung für Druckglieder Als Druckglieder eingestuft werden entsprechend Definition in DIN auf Druck beanspruchte Querschnitte mit einer bezogenen Lastausmitte im Grenzzustand der Tragfähigkeit von ed/h <= 3,5. Bei zweiachsiger Beanspruchung muss das Kriterium wenigstens in einer Richtung erfüllt sein. DIN /88 Für Druckglieder ist nach eine Mindestbewehrung von 0,4% auf der weniger gedrückten Seite bzw. 0,8% insgesamt, bezogen auf die statisch erforderlichen Querschnittsfläche einzuhalten. Bei Wänden (b0/d0 > 5) beträgt die Mindestbewehrung nach insgesamt 0,5%. Bei Hochleistungsbeton gemäß Anwenderrichtlinie beträgt die Mindestbewehrung für Druckglieder 1% ( ), für Wände ergibt sie sich nach Tabelle R12. Mit dieser Bewehrung, zunächst bezogen auf den reellen Querschnitt ermittelt, wird der Bruchdehnungszustand gesucht, aus dem sich wiederum die aufnehmbare Längskraft ergibt. Ist sie größer oder gleich der vorhandenen Längskraft, wird die Mindestbewehrung maßgebend. Da auf den statisch erforderlichen Querschnitt bezogen, wird die Bewehrung im Verhältnis von vorhandener zur aufnehmbaren Längskraft abgemindert. DIN Stützen nach : Wände (b/h > 4) nach : DIN (2001): DIN (2008): MinAs = 0,15 Nsd/fyd MinAs = 0,0015 Ac, schlanke Wände oder NEd > 0,3 fcd Ac MinAs = 0,003 Ac MinAs=0,15 Nsd/fyd > 0,0015 Ac Ac: Betonquerschnitt schlanke Wände oder NEd > 0,3 fcd Ac MinAs = 0,003 Ac ÖNORM B4700 Stützen nach : MinAs = 0,15 Nsd/fyd > 0,0028 Ac Wände (b/h > 4) nach : MinAs = 0,0028 Ac Ac: Betonquerschnitt EC2 (Italien) Stützen nach : MinAs = 0,15 Nsd/fyd > 0,003 Ac Wände (b/h > 4) nach : MinAs = 0,004 Ac BS 8110 Nach Tabelle 3.25 (Annahme Acc=Ac) MinAs= 0,004 Ac Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 11

12 EN Die Mindestbewehrungen für Stützen nach (2) und für Wände nach sind NDP As,min Stützen Wände EN = 0,10 NEd/ fyd > 0,002 Ac = 0,002 Ac NA_D = 0,15 NEd/fyd > Ac = 0,15 NEd/fyd > 0,0015 Ac schlanke Wände oder NEd > 0,3 fcd Ac MinAs = 0,003 Ac NA_GB = EN2 = EN2 NA_A = EN2 = EN2 NA_I =0,10 NEd/ fyd > 0,003 Ac =0,004 Ac NA_B =EN =EN NA_NL =EN 0 NA_CZ =EN =EN Hebelgesetz Falls die Resultierende Längszugkraft innerhalb der Bewehrungslagen liegt, ergibt sich keine Betondruckzone. Vereinfachend gilt die Annahme, dass die Bewehrung oben und unten die Fließgrenze erreicht. Die Größe der Bewehrung ist dann nur noch vom auf den Querschnittsschwerpunkt bezogenen Bewehrungsabstand und der Ausmitte der Resultierenden abhängig und kann nach dem Hebelgesetz ermittelt werden (DafStb H ). Siehe weiterhin Ermittlung der effektiven Steifigkeit 12 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

13 Ermittlung der effektiven Steifigkeit Es wird der Dehnungszustand gesucht, wo zwischen äußeren Schnittkräften und inneren Schnittkräften ein Gleichgewicht herrscht. Daraus ergeben sich drei nichtlineare Gleichungen, bei denen 3 Randdehnungen die Unbekannten darstellen. Die Lösung erfolgt iterativ mit Hilfe des Newtonverfahrens. Die effektive Steifigkeit bei Biegung ergibt sich dann aus den Dehnungen zu EIy,eff= My / ( 1-3). und EIz,eff= Mz B / ( 1-2). H,B: Abmessungen des umschließenden Rechteckes des Querschnittes 1: Dehnung mit maximalen Druck 2: Dehnung in der benachbarten Ecke in x-richtung 3: Dehnung in der benachbarten Ecke in y-richtung Hinweis für polygonale Querschnitte: Bei allgemeinen Querschnitten können durch einachsige Beanspruchung auch Krümmungen in die Richtung entstehen, wo das Moment Null ist. Aus diesem Grunde sollten bei Verformungsberechnungen nicht die effektiven Steifigkeiten, sondern die Krümmungen zum Ansatz kommen. Äußere und innere Schnittkräfte Optional ist einstellbar, ob die effektive Steifigkeit im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG) oder im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) ermittelt werden soll ( siehe Konfiguration Bemessung). Die inneren Schnittkräfte ergeben sich entsprechend den Arbeitslinien für Beton und Stahl. DIN /88 Arbeitslinie Stahl Durchgehend lineares Verhalten des Stahles Betonarbeitslinie Parabel-/Rechteckdiagramm Schnittkräfte Unter Gebrauchslasten ist der summarische Sicherheitsbeiwert 1,0 Unter Bruchlasten ist der summarische Sicherheitsbeiwert 1,75. DIN / EC2 (Italien) / B4700 / BS8100 / EN Im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit GZG sind die Materialbeiwerte zu 1,0 sonst entsprechend der Bemessungssituation des GZT gesetzt. Arbeitslinie Stahl Bilineare Spannungsdehnungslinie Betonarbeitslinie GZT: Parabel-/Rechteckdiagramm GZG: lineare Arbeitslinie mit Ecm Schnittkräfte Im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit werden die Bemessungsschnittkräfte des Grenzzustandes der Tragfähigkeit GZT mit einem in der Konfiguration definierten Faktor dividiert oder die Schnittkräfte der quasi-ständigen Lastkombination verwendet siehe Konfiguration. Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 13

14 Besonderheit DIN Arbeitslinie Stahl Falls die Spannungsdehnungslinie zur Schnittgrößenermittlung aktiviert ist, gilt die Arbeitslinie Stahl nach Bild 26 mit ansteigendem oberen Ast: f y = 1,1 f yk / s und f t ( uk )= fy 1,05 bzw. f y 1,08 ( uk nach Tabelle 11) Bei Zusatzoption Mittelwerte der Baustoffgrößen gilt f y = 1,1 f yk und f t ( uk )= fy 1,05 bzw. f y 1,08 ( uk nach Tabelle 11) siehe Konfiguration. Betonarbeitslinie Falls die Spannungsdehnungslinie zur Schnittgrößenermittlung aktiviert ist, gilt die Betonarbeitslinie nach Bild 22 und (7) mit f c = f cm / c und k = E c0 / c c1 / f c (E c0, f cm, c1 und c1u nach Tab.9 bzw. Tab. 10). Bei Zusatzoption Mittelwerte der Baustoffgrößen gilt f c = 0,85 fck k = E cm c1 / f c (E cm, c1 und c1u nach Tab 9 bzw. 10) nach (4) Besonderheit EN Arbeitslinie Stahl Nach (3) gilt eine bilineare Arbeitslinie nach Bild 3.8 mit Bemessungswerten fyd (Fließgrenze) und ftd( ud). NA_D: Bild 3.8 DE, NCCI f y = 1,1 f yk / s und f t ( uk )= fy k ( uk, k nach Anhang C) Zusatzoption Mittelwerte der Baustoffgrößen f y = f yk und f t ( uk )= fy k ( uk, k nach Anhang C) NA_D: Bild 3.8 DE, NCCI f y = 1,1 f yk und f t ( uk )= fy k ( uk, k nach Anhang C) Betonarbeitslinie Falls die Spannungsdehnungslinie zur Schnittgrößenermittlung aktiviert ist ( siehe Konfiguration), gilt die Betonarbeitslinie nach Bild 3.2 und (3) mit f c = fcd und k = E cm / ce c1 / f c (E cm, c1 und c1u nach Tab.3.1 bzw. Tab , ce ist NDP ). fc ce EN fcd 1,2 NA_D fcm/ c 1,5 NA_GB =EN = EN NA_A =EN = EN NA_I = EN = EN NA_NL = EN = EN NA_B = EN = EN NA_CZ = EN = EN Zusatzoption Mittelwerte der Baustoffgrößen NA_D: 5.7 (6) ff. ergänzende NCCI f c = 0,85 cc fck k = E cm c1 / f c (E cm, c1 und c1u nach Tab.3.1 bzw. Tab ). andere NA wie NA_D 14 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

15 Kriechen und Schwinden Falls in Konfiguration aktiviert, werden bei der Steifigkeitsermittlung Kriechen und Schwinden wie folgt berücksichtigt: Kriechen : Bei nichtlinearer Spannungsdehnungslinie des Betons (i.d.r. GZT) erfolgt bei der Ermittlung der inneren Schnittkräfte des Betons eine Modifikation der Dehnungen = /(1+ ) (EN : (4)) : Kriechzahl DIN : = (t0, ) nach /14/ S.59 ff. Eine Berücksichtigung der abgeminderten Kriechzahl eff nach DIN (2008) (10) ist durch deren manuelle Eingabe möglich siehe Umweltbedingungen/Kriechzahl EN : = (t0, ) nach Anhang B Eine Berücksichtigung der abgeminderten Kriechzahl eff nach ist durch deren manuelle Eingabe möglich siehe Umweltbedingungen/Kriechzahl Bei linearer Spannungsdehnungslinie und bei der Ermittlung der Krümmungen im Zustand I erfolgt eine Reduzierung des Elastizitätsmoduls des Betons Eceff = Ecm/(1+ ) (EN : Gl. 7.20) Schwinden im Zustand I: Das Schwinden wird über eine zusätzliche Krümmung 1/rS = cs Es/Eceff S/I (EN : Gl. 7.21) cs: Schwindmaß DIN : nach /14/ S.65 ff. EN : nach Anhang B S: statisches Moment der Bewehrung bezogen auf die Schwerachse (Zust. I) bzw. Nulllinie (Zust. II) I: Trägheitsmoment des Querschnittes (Zust. I) Schwinden im Zustand II: Die Berücksichtigung des Schwindens erfolgt nach /24/ S.18 über eine negative Druckvordehnung in Höhe von cs (Schwindmaß nach /14/ S.65 ff.) bei der Ermittlung der inneren Schnittkräfte des Stahles. Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 15

16 Zugversteifung Falls in Konfiguration aktiviert, wird die Zugversteifung oder Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen über eine Modifizierung der Arbeitslinie des Betonstahles (vgl. /14/ S.35) berücksichtigt. In Abhängigkeit vom Verhältnis der Stahlspannung unter Last im Zustand II zur Stahlspannung unter Rissschnittgrößen reduziert sich die Stahldehnung infolge Zugversteifung nach /14/ Bild H.8-3 zu sm. Bauteilsteifigkeit: nur bei Querschnittstypen Rechteck 1-achsig, Plattenbalken und Schichtenquerschnitt. Mit dem Verteilungsbeiwert erfolgt eine Wichtung zwischen den Krümmungen im Zustand II. 1/rII = ( 2-1 ) / h) und Krümmungen im Zustand I 1/rI = M /(Ii Eceff )+ 1/rS zu einer mittleren Krümmung 1/rm = 1/rII + (1- ) 1/rI) DIN : = sm / s2 (vgl. /5/ S.292) sm: abhängig von Verhältnis s/ sr s2: Stahldehnung im Zustand II Kurzzeitbeanspruchung: ßt= 0,4 (GZT) Langzeitbeanspruchung: ßt= 0,25 (GZG) EN : =1 - ß ( s/ sr) 2 Gl sr: Stahlspannung Zustand II unter Rissschnittgrößen ermittelt mit fctk0,05 (Standard) bzw. fctm (Option) siehe Bemessungskonfiguration s: Stahlspannung Zustand II unter der Last, für die die Steifigkeit ermittelt wird (Standard) bzw. in der seltenen Lastkombination (Option) siehe Bemessungskonfiguration Kurzzeitbeanspruchung: ß = 1,0 (GZT) Langzeitbeanspruchung: ß = 0,5 (GZG) EIeff = My/(1/rm) Querschnittssteifigkeit: Die effektive Steifigkeit ergibt sich aus den Krümmungen im Zustand II über den Faktor k = ( sm- c2) / ( s2 - c2) zu EIeff = M/ (k 1/rII) (vgl. /22/ S. 303) 16 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

17 Schubbemessung Schubbemessung nach DIN /88 Der Grundwert der Schubspannung ergibt sich zu Tau0= Qz/(bw kz d). Der bezogene Hebelarm kz kann aus der Biegebemessung direkt übernommen oder vorgegeben werden. Die Breite bw entspricht bei Plattenbalken der Stegbreite b0, bei Schichtenquerschnitten der geringsten Breite im Querschnitt. Beim Kreisquerschnitt ergibt sich nach / 4/ Tau0 mit der Breite b0 in Höhe der Nulllinie. Beton bis B55 Die Schub- und Torsionsbemessung erfolgt nach den Regeln von DIN Es kann mit voller oder verminderter Schubdeckung im Schubbereich 2 gerechnet werden (Bemessungsoptionen), bei Längszug mit der Nulllinie außerhalb des Querschnittes wird generell mit voller Schubdeckung gerechnet. Bei Platten wird der Faktor k1 nach Gl.14 berücksichtigt. Gilt Tau0 < k1 Tau011, ist keine Schubbewehrung erforderlich. Tau011 wird entsprechend den Bemessungsoptionen für durchgehende (Zl.1b) bzw. teilweise im Feldbereich verankerte Bewehrung (Zl.1a) gesetzt. Werden die Höchstwerte der zulässigen Schubspannungen überschritten, wird die Bemessung als unzulässig markiert und es muss der Querschnitt vergrößert werden. MaxTau entspricht Tau02 bei Platten, Biegung mit Längszug und Nulllinie außerhalb Querschnitt oder Balken mit d0 < 30 cm, andernfalls gilt MaxTau=Tau03. Bei Längsdruck mit Nulllinie außerhalb des Querschnittes ergibt sich der Bemessungswert Tau aus der Hauptzugspannung nach Zustand I (nach H.400 S.80 : SigI= f(sigx,tau0) >= 0,4 Tau0). Außerdem muss SigII < 2 Tau03 erfüllt sein ( SigII = Tau0/(tan cot ) nach H.400 S.80: tan = f(sigi,tau0) > 0,4). Die Torsionsschubspannung ergibt sich zu TauT= Mt/Wt. Der Querschnitt wird auf die Abmaße des Steges reduziert und Wt für Rechteckquerschnitte nach DafStb H.220 ermittelt. Falls TauT > Tau02 wird die Bemessung als unzulässig markiert und es muss der Querschnitt vergrößert werden. Entsprechend H.220, Gl.3.4 ergibt sich eine Torsionsbügelbewehrung Abü, nach Gl. 3.5 eine zusätzliche Längsbewehrung AsL. Ak und Uk ergeben sich aus den Kernabmessungen des von der Torsionslängsbewehrung umschlossenen Betons. Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich asbt= 2 Abü. Für TauT < 0,25 Tau02 ist keine zusätzliche Bewehrung erforderlich. Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist die Interaktion nach Gl einzuhalten. Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asb(q+t)= asbq+ asbt. Hochfester Beton ab B65 Die Schub- und Torsionsbemessung erfolgt nach DafStb- Richtlinie für hochfesten Beton. Die Druckstrebentragfähigkeit wird nachgewiesen durch Tau0 < TauQD (R15) Die Tragfähigkeit des Betons alleine, TauQB ergibt sich nach Gl. R8. Sie wird durch die gewählte Zugbewehrung und durch die vorhandene Längskraft maßgeblich beeinflusst. Eine Erhöhung infolge auflagernaher Einzelasten wird nicht berücksichtigt. Bei Tau0 > TauQB ist eine rechnerische Bügelbewehrung nach Gl. R13 erforderlich, ansonsten mit Ausnahme von Platten eine Mindestbewehrung nach Gl. R20. Die Torsionsschubspannung ergibt sich nach Gl.R16 zu TauT= Mt/(2 Ak t), wobei für Vollquerschnitte t=ab/ub gilt. Zur Berechnung Ab und Ub ergibt sich nur aus den Abmessungen des Steges. Falls TauT > TauTD nach Gl. R17 wird die Bemessung als unzulässig markiert und es muss der Querschnitt vergrößert werden. Analog DIN ( ) Gl. 108 ergibt sich eine Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 17

18 Torsionsbügelbewehrung Abü, nach Gl.109 eine zusätzliche Längsbewehrung AsL. Ak und Uk ergeben sich aus den Kernabmessungen d0-t und b0-t. Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich asbt= 2 Abü. Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist die Interaktion nach Gl. R18 einzuhalten. Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asb(q+t)= asbq+ asbt. Schubbemessung nach DIN Querkraft Die Querkrafttragfähigkeit wird über ein Fachwerkmodell mit Betondruckstreben und Stahlzugstreben nachgewiesen. Ein Minimum an Schubbewehrung ergibt sich mit der flachest möglichen Druckstrebenneigung. Diese ist u.a. von der Beanspruchung des Querschnittes im Verhältnis zur Rissreibungskraft des Betons und den Längsspannungen im Querschnitt abhängig. Durch eine flachere Neigung reduziert sich jedoch die Druckstrebenkraft. Diese ist durch die Betonklasse und die kleinste Querschnittsbreite begrenzt. Außerdem erhöhen sich auch die Kräfte im Zuggurt, was seinen Niederschlag in der Erhöhung des Versatzmaßes findet. Die Schubbewehrung besteht i.d.r. aus Bügeln, die senkrecht zur Bauteillängsachse stehen. Im Falle von Elementdecken (Fertigteilplatten mit Ortbetonergänzung und b/h > 5 bzw. entsprechend definiert in Bemessung - Konfiguration), die eine Schubbewehrung mit Gitterträgern erhalten, sind einige Besonderheiten zu beachten siehe Abschnitt Schubbemessung für Elementdecken mit Gitterträgern" weiter unten. Querkraft zweiachsig für Rechteckquerschnitte Mit einem in /39/ beschriebenen Verfahren wird der Nachweis über Anpassungsfaktoren bezüglich der Druckstreben- und Bügeltragfähigkeit auf den einachsigen Fall zurückgeführt. Der Grenzfall 1 ist die einachsige Beanspruchung mit v = 0, der Grenzfall 2 die zweiachsige Beanspruchung mit einem Lastangriff der Resultierenden genau über Eck, d.h. v = 1. Die Kraft im Bügel ist für Fall 2 nach /39/ 2 V 2 z V Ed 2 F bi HG K J h 1, also um den Faktor 2 b h 2 F I HG K J 1 größer als bei Fall 1. Die größte Beanspruchung der Betondruckstrebe ergibt sich im Fall 2 an Stelle der Einleitung der Druckstrebe in den Zuggurt, wo sich die Breite beff nach /39/ auf konserativ abgeschätzte 0,6 b einschnürt. Bei Annahme eines gleichen Hebelarmes ergibt sich gegenüber Fall 1eine um den Faktor b/beff höhere Druckstrebenbeanspruchung. Zwischen diesen beiden Fällen erfolgt nun eine Interpolation, entsprechend der vorhandenen Neigung v mit Hilfe der folgenden Beziehungen: 2 2 Edy Edz V Ed : resultierende Querkraft V V v: bezogene Querkraftneigung, V Edy h V b h: Seitenlänge in z-richtung b: Seitenlänge in y-richtung wenn 0 <= v <=1, dann Tragfähigkeitsnachweis mit bw = b, sonst v = 1/ v und Tragfähigkeitsnachweis mit bw = h, Edz 18 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

19 V Asw VEd sw f z 1, yd cot k Rd sy asw Interpolationsfaktor Schubbewehrung k V asw Rd,max 1 F HG 2 2 F bi HG h K J I KJ v fcd b z c k cot 1 cot vmax Interpolationsfaktor Druckstrebentragfähigkeit k vmax 1 F HG 1 b I v b, K J z Hebelarm der inneren Kräfte, d.h. der Abstand zwischen Zug- und Druckresultierender der inneren Schnittkräfte wie er sich aus der Biegebemessung ergibt. Bei unbekanntem Hebelarm erfolgt eine Interpolation zwischen z = 0,9 (h-d1) für v = 0 und z = 0,9 (h-d1+b-b1)/2 für v = 1,0 bzgl. dem vorhandenen v. z < d - 2 nomc (DIN ) Diese Begrenzung soll vermeiden, dass der Abstand der Druckresultierenden vom Druckrand nicht kleiner 2 nomc ist. d ist demzufolge der Abstand der Zugresultierenden vom Druckrand in Richtung des Hebelarmes. V Rdct wird näherungsweise mit bw = 0,6 bw(fall1) und d = z ermittelt Schubbemessung für vertikale Schubbewehrung (Bügel): VEd Bemessungswert der Querkraft (Grund- bzw. außergewöhnlichen Kombination) VRd,ct Die Querkrafttragfähigkeit ohne Bewehrung ergibt sich unter der Annahme eines gerissenen Querschnittes (Standardfall) aus Gl.70. Wesentliche Parameter sind: - Betonfestigkeit - Längsbewehrungsgrad der um das Maß d + lb,erf hinausgeführten Zugbewehrung Asz (Eingabewert gew. As ) - Betonspannung im Schwerpunkt (Druck günstig) - Bauteilhöhe (ungünstig) Für Leichtbeton Abminderung mit Eta1 nach Tab.10 DIN (2008): Der Vorfaktor 0,15 / c ermöglicht ggf. die Berücksichtigung der außergewöhnlichen Bemessungssituation. Nach Gl. 70a gilt ein von der Längsbewehrung unabhängiger Mindestwert für VRdct. Alternativ ist eine Berechnung nach Gl. 72 möglich, wenn Betonrand- und Hauptzugspannungen kleiner als fctk 0,05/ c sind ( c = 1,8 für unbewehrten Beton), d.h. der Querschnitt sich im Zustand I befindet. siehe Bemessungsoptionen DIN Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 19

20 Cot Druckstrebenneigungswinkel nach Gl. 73 Der Druckstrebenwinkel wird von folgenden Parametern beeinflusst: - Sigcd: Spannung im Schwerpunkt (Druck günstig) - VRd,c: Rissreibungskraft Beton nach Gl. 74, günstige Wirkung Ein Optimum für die Bügelbewehrung ergibt sich durch Wahl des größtmöglichen Wertes. Es sind folgende Grenzen einzuhalten: - Normalbeton: 0,58 <= Cot <= 3,0 - Leichtbeton: 0,58 <= Cot <= 2,0 - Einhaltung der Druckstrebentragfähigkeit - Längszug: Cot <= 1 (vgl. Empfehlung /14/ zu (3)) Optional nach Gl.73 ( Bemessungsoptionen DIN ) Alternativ kann der Druckstrebenwinkel auch vom Nutzer vorgegeben werden ( Bemessungsoptionen DIN ), z.b. wenn weitere Schnitte mit dem am maßgebenden Schnitt geltenden Druckstrebenwinkel nachgewiesen werden sollen. Dieser darf aber nicht flacher als der sich nach Gl. 73 bzw. bei Ortbetonergänzung nach Gl. 86 ergebende sein. z Hebelarm des angenommenen Fachwerkmodelles entsprechend Biegebemessung (falls nicht bekannt, Annahme von 0,9 d bzw. bei Kreisquerschnitten 0,55 d) und Begrenzung nach (2) z < d - 2 nomc (nomc der Längsbewehrung in der Druckzone, nach /26/ gilt für nomc > 3cm eine Begrenzung von z < d - nomc - 3cm) oder nutzerdefiniert. Anmerkung: Regel (2) kann für Querschnitte mit geringer Nutzhöhe und hohen Anforderungen an die Mindestbetondeckung zu sehr geringen Hebelarmen führen. Von Anwendungsregeln darf der Nutzer in begründeten Fällen in eigener Verantwortung abweichen (siehe Bemessung - Ergebnisse). aswq Rechnerische Schubbewehrung nach Gl. 75 für senkrecht stehende Bügel. Es wird geprüft, ob eine Mindestschubbewehrung nach (4) für Balken bzw für Platten maßgebend wird. Diese wird für eine mittlere Stegbreite ermittelt (beim Kreisquerschnitt bws= Ac/Da). Platten mit b/h > 5 (bzw. Platten, die unter dem Menüpunkt >>Bemessung - Konfiguration so definiert wurden): wenn VEd < VRd,ct, ist keine Schubbewehrung erforderlich, andernfalls ist eine Mindestbewehrung in Höhe des 0,6-fachen Wertes bei Balken zu berücksichtigen Übergangsbereich 4 < b/h < 5: wenn VEd < VRd,ct, ergibt sich die Mindestbewehrung aus der Interpolation zwischen dem nullfachen (b/h = 5) und dem einfachen Wert (b/h = 4), andernfalls aus der Interpolation zwischen dem 0,6 fachen (b/h = 5) und dem einfachen Wert (b/h = 4) Bei Kreisquerschnitten wird in Anlehnung an /31/ ein die erforderliche Schubbewehrung vergrößernder Wirksamkeitsfaktor für Rundbügel ermittelt. Dieser berücksichtigt, dass die angreifende Schubkraft i.d.r. nicht parallel zur aufnehmbaren Kraft des Rundbügels verläuft. Je nach betrachtetem Schnitt verläuft diese in einem anderen Winkel zur Senkrechten. VRd,max Die Druckstrebentragfähigkeit ergibt sich nach Gl Frilo - Statik und Tragwerksplanung

21 bw: Ist VRd,max kleiner als der Bemessungswert der Querkraft, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu erhöhen. Bei Leichtbeton gilt ein mit 1 reduziertes c. Beim Rechenwert der Betondruckfestigkeit fcd werden ggf. die reduzierten Teilsicherheitsbeiwerte infolge Fertigteil oder außergewöhnlicher Bemessungssituation berücksichtigt. Die Breite bw entspricht bei Plattenbalken der Stegbreite b0, bei Schichtenquerschnitten der geringsten Breite im Querschnitt. Bei Kreisquerschnitten entspricht bw nach /27/ der geringsten Breite zwischen Druck- und Zugresultierender. Bei unbekannter Lage der Resultierenden (Moment und Normalkraft sind Null) wird unter der sicheren Annahme eines Abstandes der Druckresultierenden von Da/40 gerechnet. smax maximaler Bügelabstand nach Tabelle 31 VEd < 0,3 VRdmax smax = 0,7 h Balken: < 30 cm (> C50/60: < 20 cm) VEd < 0,6 VRdmax smax = 0,5 h Balken: < 30 cm (> C50/60: < 20 cm) VEd > 0,6 Vrdmax smax = 0,25 h Balken: < 20 cm VRdmax darf nach /14/ S. 212 mit = 40 angenommen werden. Schubbemessung für Elementdecken mit Gitterträgern nach /33/ - /38/: Gitterträger sind Fachwerkträger bestehend aus Druckgurt, Zuggurt und Streben. Die Streben können entweder die Form gleichschenkliger Dreiecke haben (Neigungswinkel 45 <= < 90 z.b. /33/, /35/, /37/ im folgenden System gleichschenkliges Dreieck" genannt) oder bestehen aus einem vertikalen Pfosten und einer geneigten Diagonale (Neigungswinkel 45 <= 1 < 90, Neigungswinkel 2 = 90 z.b. /34/, /36/, /38/, im folgenden System Pfosten/Diagonale" genannt). Achtung: Der Nachweis von Gitterträgern beruht auf Zulassungen basierend auf dem Schubnachweis und der Rauigkeitsdefintion nach DIN (2001). Wenn VEd < VRdct gilt, sind auch Neigungswinkel < 45 zugelassen. Es gelten folgende Einschränkungen: - zulässig nur für Platten (b/h > 5 bzw. Option wie Platte") - Mindestdicke 4 cm, für nicht vorwiegend ruhende Verkehrslasten 6 cm - Betone < C50/60 bzw. < LC50/55 mit Rohdichteklasse D1.2 - System gleichschenkliges Dreieck" nur für vorwiegend ruhende Verkehrslasten VRd,ct Die Querkrafttragfähigkeit ohne Bewehrung ergibt sich aus Gl abweichend gilt bei Betondruckspannungen im Schwerpunkt cd = 0 Cot Druckstrebenneigungswinkel nach Gl abweichend gilt bei Betondruckspannungen im Schwerpunkt cd = 0 - VRd,c: Rissreibungskraft Beton nach Gl. 74, cd analog Es sind folgende Grenzen einzuhalten: Cot <= 3,0 (<= 2,0 Leichtbeton) Cot >= 1,0 (System gleichschenkliges Dreieck: >=1,2 wenn < 55 ) Alternativ kann der Druckstrebenwinkel auch vom Nutzer vorgegeben werden ( Bemessungsoptionen DIN ), z.b. wenn weitere Schnitte mit dem am Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 21

22 maßgebenden Schnitt geltenden Druckstrebenwinkel nachgewiesen werden sollen. Dieser darf aber nicht flacher als der sich nach Gl. 73 bzw. bei Ortbetonergänzung nach Gl. 86 ergebende sein. z Hebelarm des angenommenen Fachwerkmodelles entsprechend Biegebemessung (falls nicht bekannt, Annahme von 0,9 d) und Begrenzung nach (2) z < d - 2 nomc (nomc der Längsbewehrung in der Druckzone, nach /26/ gilt für nomc > 3cm eine Begrenzung von z < d - nomc - 3cm) oder nutzerdefiniert. aswq Rechnerische Schubbewehrung nach Gl. 77, für das System Pfosten/Diagonale wird 50 % der Schubbewehrung mit 1 und 50 % der Schubbewehrung mit 2 angenommen. Werden die Streben aus glatten Betonstahl Bst 500 G oder profilierten Betonstahl Bst 500 P hergestellt, so darf nur fyd= 365 N/mm² in Rechnung gestellt werden. Es wird geprüft, ob eine Mindestschubbewehrung nach für Platten maßgebend wird. Platten mit b/h > 5 (bzw. so definiert in >>Bemessung - Konfiguration): wenn VEd < VRd,ct, ist keine Schubbewehrung erforderlich, andernfalls ist eine Mindestbewehrung in Höhe des 0,6-fachen Wertes bei Balken zu berücksichtigen Übergangsbereich 4 < b/h < 5: wenn VEd < VRd,ct, ergibt sich die Mindestbewehrung aus der Interpolation zwischen dem nullfachen (b/h=5) und dem einfachen Wert (b/h=4), andernfalls aus der Interpolation zwischen dem 0,6 fachen (b/h=5) und dem einfachen Wert (b/h=4) VRd,max Die Druckstrebentragfähigkeit ergibt sich nach /33/ - /38/, wobei Gl.78 einen zusätzlichen Faktor k = 1+ sin ( - 55 ) > 1,0 in Abhängigkeit zur Neigung der Gitterstrebe erhält. System gleichschenkliges Dreieck": Wie auch nach (3) muss VEd < 0,3 VRdmax gelten. System Pfosten/Diagonale": Wegen der unterschiedlichen Neigungen der Streben wird der Nachweis mit einer Interaktionsgleichung (VRdsy, i / VRdmax, i ) <= 1,0 geführt. VRdsy, i : Tragfähigkeitsanteil der Strebe mit dem Winkel i VRdmax, i : Druckstrebentragfähigkeit bei Annahme eines Strebenwinkels i Ist der Nachweis nicht eingehalten, so ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu erhöhen. smax maximaler Abstand der Diagonalen in Stützrichtung nach /33/ - /38/ smax= (cot + cot ) z <= 20 cm Ortbetonergänzung Nachweis der Schubkraftübertragung in der Fuge nach DIN (7-2001) ved zu übertragende Schubkraft je Längeneinheit in der Fuge nach Gl.83 VEd: Bemessungswert der Querkraft Z: Hebelarm der inneren Kräfte, siehe oben. Für die Bedingung, ob Verbundbewehrung erforderlich ist (vrd,ct > ved), entfällt die Hebelarmbegrenzung nach (2) (vgl. /26/ S.52). 22 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

23 Fcdj/Fcd: Verhältnis Druckkraft im Ortbeton / Gesamtdruckkraft (Annahme 1,0) ND Normalspannung senkrecht zur Fuge mit ND = ned/bj > -0,6 fcd ned: Bemessungswert (Druck: unterer, Zug: oberer) der Normalkraft senkrecht zur Fuge je Längeneinheit, Druck negativ. bj: wirksame Fugenbreite, ggf. durch aufliegende Fertigteilschalung reduzierte Gesamtbreite. ct Rauhigkeitsbeiwert entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13 wenn ND > 0 ist entsprechend (4) ct = 0 Reibungsbeiwert entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13 vrd,ct ohne Verbundbewehrung aufnehmbare Schubkraft in der Fuge nach Gl. 84 asw die Fuge kreuzende erforderliche Bügelbewehrung nach Gl.85 wenn vrd,ct < ved Der Hebelarm z wird entsprechend (2) begrenzt. Cot : Druckstrebenwinkel nach Gl.86. entsprechend /26/ und /28/. vrd,ct: darf nur ohne Berücksichtigung von ND angesetzt werden. cd : Fugenausbildungen, für die sich Cot < 1,0 ergibt, sind unzulässig. Ist der für den Gesamtquerschnitt nach Gl. 73 ermittelte Druckstrebenwinkel steiler, so ist dieser maßgebend. Nach /26/ darf die Längsnormalspannung im Gesamtquerschnitt nicht angesetzt werden. Nachweis der Schubkraftübertragung in der Fuge nach DIN (2008) v Ed < v Rdj v Ed zu übertragende Schubkraft je Längeneinheit in der Fuge v Ed = ß V Ed / z Gl. 83 V Ed : Bemessungswert der Querkraft z: Hebelarm der inneren Kräfte, siehe Nachweis Querkraftragfähigkeit Falls V Rd,ct > V Ed, entfällt die Hebelarmbegrenzung mit c v. ß: Verhältnis Normalkraft im Ortbeton / Gesamtdruckkraft (Annahme 1,0) vrdj Bemessungswert des Schubkraftwiderstandes der Fuge v Rdj = (c 1 f ctd - nd ) b + a s f yd (1,2 sin + cos v Rdj,max Gl.84 b: wirksame Fugenbreite, ggf. durch aufliegende Fertigteilschalung reduzierte Gesamtbreite. nd n Ed : c Normalspannung senkrecht zur Fuge mit ND = n Ed /b > - 0,6 f cd Bemessungswert (Druck: unterer, Zug: oberer) der Normalkraft senkrecht zur Fuge je Längeneinheit, Druck negativ. Rauigkeitsbeiwert, entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13 C sehr glatt glatt rauh Verzahnt 0,1 0,20 0,40 0,50 Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 23

24 Reibungsbeiwert, entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13 sehr glatt glatt rauh Verzahnt 0,5 0,6 0,7 0,9 v Rdj,max = 0,5 b f cd Gl. 86 sehr glatt glatt rauh Verzahnt 0 0,2 0,5 0,75 Nachweis am Gesamtquerschnitt Bei unterschiedlichen Betonsorten ist diejenige mit der kleineren Festigkeit maßgebend. Ergibt sich beim Nachweis der Fuge ein steilerer Druckstrebenwinkel als am Gesamtquerschnitt, so ist dieser für die Nachweise am Gesamtquerschnitt zu verwenden (vgl. /9/ S.7-21). Bei günstigen Fugenausbildungen kann für die Ermittlung der Schubbewehrung auch der Nachweis am Gesamtquerschnitt maßgebend werden. Torsion Gelten die Bedingungen nach Gl.87 und 88 ist für annähernd rechteckige Vollquerschnitte nur die Mindestbügelbewehrung erforderlich. Die Torsionsbemessung erfolgt über einen Ersatzhohlquerschnitt. Die Wanddicke t ergibt sich aus dem doppelten Bewehrungsabstand, bei Hohlquerschnitten wird t jedoch nicht größer als die vorhandene Wanddicke gesetzt. Bei gegliederten Querschnitten wird näherungsweise nur der Stegquerschnitt angesetzt. Cot Nach (2) darf der Druckstrebenwinkel für den Anteil aus Torsion mit Cot = 1,0 (45 Grad) angenommen werden. Für reine Torsion ergibt sich hier für Bügel und zusätzliche Längsbewehrung ein Bewehrungsminimum. Sollen flachere Druckstreben zum Ansatz kommen, so ist für jeden Teilquerschnitt der Druckstrebenwinkel getrennt zu ermitteln und der maßgebende größte auszuwählen, mit dem dann sowohl die Torsions- als auch die Querkraftbewehrung ermittelt wird. Damit ergibt sich aber nicht zwangsläufig ein Bewehrungsminimum, da der Anteil der Torsionslängsbewehrung mit flacheren Druckstreben stark steigt. TRd,max Die Druckstrebentragfähigkeit ergibt sich nach Gl.93 Ist TRd,max kleiner als der Bemessungswert des Torsionsmomentes, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu vergrößern. aswt Die erforderliche Bügelbewehrung infolge Torsion ergibt sich nach Gl. 91 Ak und Uk ergeben sich aus den Kernabmessungen d0-t und b0-t. Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich asbt= 2 Abü. Die Mindestschubbewehrung nach (4) für Stäbe bzw für Platten wird maßgebend, falls aswq+ aswt < aswmin AsL Die zusätzliche Längsbewehrung infolge Torsion ergibt sich nach Gl.92 Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist die Interaktion nach Gl. 94 (Kompaktquerschnitte) bzw. Gl.95 (Kastenquerschnitte) einzuhalten. Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asb(q+t)= asbq+ asbt. 24 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

25 Schubbemessung nach ÖNORM B4700 Querkraft Die Querkrafttragfähigkeit wird über ein Fachwerkmodell mit Betondruckstreben und Stahlzugpfosten (Bügel) nachgewiesen. Ein Minimum an Bügeln ergibt sich mit der flachest möglichen Druckstrebenneigung. Durch eine flachere Neigung reduziert sich jedoch die Druckstrebenkraft. Diese ist durch die Betonklasse und die kleinste Querschnittsbreite begrenzt. Außerdem erhöhen sich auch die Kräfte im Zuggurt, was seinen Niederschlag in der Erhöhung des Versatzmaßes findet. Vsd Bemessungsquerkraft Querkraft (Grund- bzw. außergewöhnlichen Kombination) VRd1 Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung nach Gl. 39 Wesentliche Parameter sind: - Taud nach Tabelle 4 - Längsbewehrungsgrad der um das Maß d + lb,erf hinausgeführten Zugbewehrung Asz (Eingabewert gew. As) - Betonspannung im Schwerpunkt (Druck günstig) - Bauteilhöhe (ungünstig) tan Druckstrebenneigung nach (7) und (8) Es wird die nach Gl.23 bzw. Gl.24 sowie für die Einhaltung der Druckstrebentragfähigkeit flachestmögliche Druckstrebenneigung angenommen oder ein vorgegebener Neigungswinkel berücksichtigt siehe Bemessungsoptionen B4700 Querkrafttragfähigkeit aswq Rechnerische Schubbewehrung nach Gl.29 mit Vsd= VRds für senkrecht stehende Bügel. Es wird geprüft, ob eine Mindestschubbewehrung nach (2) maßgebend wird. Diese wird für eine mittlere Stegbreite ermittelt (beim Kreisquerschnitt bws= Ac/Da). Bei Platten (b/h > 4 bzw. so definiert in >>Bemessung - Konfiguration) wird nach keine Schubbewehrung erforderlich, wenn Vsd < VRd1. kz: bezogener Hebelarm der inneren Kräfte, kann aus der Biegebemessung direkt übernommen oder vorgegeben werden. VRdc Druckstrebentragfähigkeit nach Gl.27 Bei Längsdruck erfolgt eine Abminderung nach Gl. 27a Dabei kann eine günstig wirkende Druckbewehrung (im Programm gew. Aso bzw. Asu) berücksichtigt werden. Ist VRdc < Vsd, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu erhöhen. bw: Die Breite bw entspricht bei Plattenbalken der Stegbreite b0, bei Schichtenquerschnitten der geringsten Breite im Querschnitt, bei Kreisquerschnitten der geringsten Breite zwischen Druck- und Zugresultierender. smax: Maximaler Bügelabstand nach (11) Vsd < VRdc/5: smax= 0,8 d < 30 cm Vsd < 2/3 VRdc smax= 0,6 d < 30 cm Vsd > 2/3 VRdc smax= 0,3 d < 20 cm Außerdem ist infolge Rissbreitenbeschränkung nach Tabelle 11 ein von der Bügelspannung s= fyd (0,9 cot - 3,5 aswmin/asw) asw/vorhasw (Gl.68) abhängiger Maximalabstand zwischen 30 cm ( s=75 N/mm²) und 10 cm ( s= 300 N/mm²) einzuhalten, falls asw > 2,5 aswmin. Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 25