8.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm (Tafel 1)

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1 8. Allgemeines Bemessungsdiagramm (Tafel ) Das allgemeine Bemessungsdiagramm deckt nahezu den gesamten Bereich möglicher Dehnungszustände des Querschnitts unter Biegung mit oder ohne Längskraft ab. Es kann für Stahl mit horizontalem oder ansteigendem oberem Ast der Spannungs-Dehnungslinie verwendet werden. Am unteren Rand des Diagramms sind die Grenzwerte des bezogenen Momentes Eds nach Tab. 8 und Tab. 9 markiert. Eine gestrichelte Linie kennzeichnet zusätzlich die Streckgrenze der Zugbewehrung ( s =,7 ). Bei Beanspruchungen oberhalb dieses Wertes sollte aus wirtschaftlichen Gründen Druckbewehrung vorgesehen werden. Für Ablesungen im Bereich überdrückter Querschnitte ist das Diagramm, der steil ansteigenden Kurvenverläufe wegen, weniger gut geeignet. Anwendungsbeispiel a d =5 Baustoffe: A s C5/30, M Ed C =,50; h=50 B500 A s M Ed = 00 knm Bemessung: [cm] b=30 d =5 MEds MEd 00kNm (da NEd =0) MEds 0,00 Eds 0,6 bd fcd 0,30 0,45 4,7 Ablesungen Tafel / C C50: 0,94; 9,3 sd s 500/,5 434,8 MN/m (horiz. Ast) M 0,00 Eds 4 As= 0 5,43 cm sd z 434,8 0,94 0,45 Alternativ: Spannungs-Dehnungslinie des Stahls mit ansteigendem Ast; Ablesung in Tab. 8 (S. 7): Umrechnungsfaktor für s = 9,3 : s = 0,963 A s = 0,963 5,43 = 5,3 cm oder Ablesung in Tab. 8 (S. 7) für s = 9,3 : sd = 45, MN/m (ansteigender Ast) MEds 0,00 4 As= 0 5,4 cm sd z 45, 0,94 0,45 Anwendungsbeispiel b Geometrie und Baustoffe wie Bsp. a Bemessungsmoment M Ed = 300 knm Die Druckzonenhöhe soll auf x /d = 0,45 begrenzt werden, d. h. Eds,lim = 0,96 M Eds = M Ed = 300 knm (da N Ed = 0) 0,300 Eds 0,349 0,96; 0,30 0,45 4,7 Der zu Eds,lim = 0,96 gehörige Dehnungszustand wird festgehalten und das Differenzmoment zu Eds = 0,349 durch Zulagebewehrung oben und unten abgedeckt. Ablesung in Tafel / C C50 bei Eds,lim = 0,96: = 0,8; s = 4,3 ; s =,6 (beide Dehnungswerte oberhalb der Streckgrenze) sd = sd = 434,8 MN/m (horiz. Ast) M Eds,lim = Eds,lim b d f cd = 0,96 0,30 0,45 4,7 = 0,55 MNm M Eds = M Eds M Eds,lim = 0,300 0,55 = 0,045 MNm MEds,lim MEds As sd z d d 0,55 0, ,7 cm 434,8 0,80,45 0,45 0,05 MEds 0,045 4 As 0,6 cm d d 434,8 0,45 0,05 sd Eine Ablesung für den ansteigenden Ast der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls würde wegen der niedrigen Dehnungswerte hier nur minimale Einsparungen bringen. Anwendungsbeispiel c Geometrie s. Bsp. a Baustoffe: C60/75; B500 Bemessungsmoment M Ed = 500 knm M Eds = M Ed = 500 knm (da N Ed = 0) Die Druckzonenhöhe soll auf x /d = 0,35 begrenzt werden, d. h. Eds,lim = 0, 0, 500 Eds = 0,4 0, 0,30 0, 45 34,0 Der zu Eds,lim = 0, gehörige Dehnungszustand wird festgehalten und das Differenzmoment zu Eds = 0,4 durch Zulagebewehrung oben und unten abgedeckt. Ablesung in Tafel / C60 bei Eds,lim = 0,: 30

2 = 0,87; s = 5,4 ; s =,97 sd = 434,8 MN/m (horiz. Ast) sd = 0, = 394 MN/m bzw. (da hochfester Beton) sd cd,s = 36 MN/m (Tab. 9) M Eds,lim = 0, 0,30 0,45 34,0 = 0,436 MNm M Eds = 0,500 0,436 = 0,064 MNm MEds,lim MEds As sd z d d 0,436 0, ,8 0,870,45 0,45 0,05 9,3 cm M A d d Auf die Darstellung der erforderlichen Neuberechnung mit verringerter Nutzhöhe wegen mehrlagigen Einbaus der Zugbewehrung wird hier verzichtet. Anwendungsbeispiel d Geometrie und Beanspruchung wie Bsp. a. Baustoffe: LC5/8 Rohdichteklasse D,6; B500 Zur Ablesung ist die Tafel für die Trockenrohdichte an der unteren Grenze der Rohdichteklasse D,6 (vgl. Tab. 5, S. 7) zu verwenden, d. h. für = 400 kg/m 3. MEds 0,00 Eds 0,3 bd f 0,30 0, 45, 5 cd Ablesungen in Tafel c / LC LC50: = 0,9; s =,8 sd = 444 MN/m (ansteig. Ast, s. Tab. 8) MEds 0,00 As= 0 5, 44 cm z 444 0,9 0,45 sd 4 Anwendungsbeispiel e Geometrie und Beanspruchung wie Bsp. d Baustoffe: B500, LC5/8, jedoch Rohdichteklasse D,0. 0,3 (wie vorher) Eds Die Ablesung erfolgt für die Trockenrohdichte an der unteren Grenze der Rohdichteklasse D,0, d. h. für = 800 kg/m 3 (s. vorher). Ablesungen in Tafel e / LC-LC50: = 0,93; s = 4, sd = 446 MN/m (ansteig. Ast, s. Tab. 8) MEds 0,00 As= 0 5,36 cm z 446 0,930,45 sd 8. k d -Tafeln (Tafeln. und.) 4 Die k d -Tafeln (frühere Bezeichnung: k h -Tafeln) sind in der Praxis seit langem bewährte, dimensionsgebundene Bemessungstafeln für Rechteckquerschnitte, die den Anforderungen des EC -- angepasst wurden. Es wurden zwei unterschiedliche Teilsicherheitsbeiwerte für Beton berücksichtigt (vgl. Tab. ): Tafeln.: C =,50 Tafeln.: C =,35 Die Tafeln für Querschnitte ohne Druckbewehrung reichen bis zur Wirtschaftlichkeitsgrenze. Für Querschnitte mit Druckbewehrung gewährleisten jeweils einzelne Tafeln die Einhaltung eines der Grenzwerte für = x /d gemäß Gl. (8), Gl. () bzw. der Wirtschaftlichkeitsgrenze. Um den Vorteil der Einfachheit des Rechnens mit den k d -Tafeln zu bewahren, wurde der horizontale Ast der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls zugrunde gelegt. Bei Bedarf kann der so ermittelte Bewehrungsquerschnitt mit dem ebenfalls in den Tafeln angegebenen Beiwert s abgemindert werden, um den ansteigenden Ast zu berücksichtigen. Anwendungsbeispiel.a Vorgaben s. Bsp. a M Eds = M Ed = 00 knm (da N Ed = 0) d [cm] 45 kd, 46 M Eds [knm] 00 b [m] 0, 30 In Tafel.a / C C50 ist der zutreffende Wert nicht aufgeführt. Da sich eine Interpolation kaum lohnt, erfolgt die Ablesung des k s -Wertes für den nächstkleineren k d -Wert (k d =,44): k s =,46; s = 0,97 MEds [knm] 00 As [cm ] = ks,46 5,47 cm d [cm] 45 Für die --Linie des Stahls mit ansteigendem Ast erhält man mit dem zuvor bereits abgelesenen s Wert: A s = 0,97 5,47 = 5,3 cm Einführung 3

3 Anwendungsbeispiel.b Vorgaben s. Bsp. c M Eds = M Ed = 500 knm (da N Ed = 0) Tafel.a / C60: k d ,0 0,35 0, 30 Da der vorgegebene Grenzwert = x /d = 0,35 mit einfacher Bewehrung nicht einzuhalten ist, muss Druckbewehrung angeordnet werden. Ablesung in Tafel.b / C60 für = 0,35: k s =,6; k s = 0,33; =,0; =,8 MEds [knm] As [cm ] ks d [cm] 500,0,6 9,4 cm 45 MEds [knm] As [cm ] ks d [cm] 500,8 0,33 4,69 cm 45 Der Ansatz der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls mit ansteigendem Ast lohnt sich bei den gegebenen Dehnungsverhältnissen nicht. 8.3 s -Tafeln (Tafel 3) Die s -Tafeln stellen die dimensionslose Alternative zu den k d -Tafeln dar. Auch hier sind gesonderte Tafeln zur Einhaltung der verschiedenen -Einschränkungen mittels Druckbewehrungszulage vorhanden. As bd fcd NEd sd 0, ,7 5,65 cm 434,8 Bei Ansatz der --Linie des Stahls mit ansteigendem Ast ergibt sich unter Verwendung der abgelesenen Stahlspannung sd : As = 0, ,7 5, 46 cm 450 Anmerkung: Mit dem interpolierten -Wert würde sich A s = 5,46 cm bzw. 5,7 cm ergeben. Anwendungsbeispiel 3b Vorgaben s. Bsp. c MEds 0,500 Eds 0,4 bd fcd 0, 30 0, 45 34, 0 0, Mit dem vorhandenen Eds -Wert würde bei einfacher Bewehrung der vorgegebene Grenzwert = x /d = 0,35 überschritten. Fortsetzung mit Tafel 3c / C60: = 0,77; = 0,043 As bd fcd NEd fyd 0, ,0 9, cm 434, 8 fcd As bd 0, ,53 cm f,79 yd Der Ansatz der --Linie des Stahls mit ansteigendem Ast lohnt sich bei den gegebenen Dehnungsverhältnissen nicht. Anwendungsbeispiel 3a Vorgaben s. Bsp. a M Eds = M Ed = 00 knm (da N Ed = 0) MEds 0,00 Eds 0,6 bd fcd 0,30 0,45 4,7 Unter Vermeidung von Interpolationen wird in Tafel 3a / C C50 für den nächstgrößeren s Wert ( s = 0,) abgelesen: = 0,85 (interpolierter Wert wäre: 0,4); sd = 435 MN/m (horiz. Ast) bzw. sd = 450 MN/m (ansteigender Ast) 8.4 Platten-Tafeln (Tafeln 4, 4. und 4.) Die dimensionsgebundenen Platten-Tafeln erlauben für die im Hochbau häufigen Fälle der Plattenbiegung ohne Normalkraft das direkte Ablesen der erforderlichen Bewehrung ohne Berechnung. Tafel 4 enthält neben einer ausführlichen Erläuterung auch Diagramme für die erforderliche Mindestbewehrung nach EC --. Grenzwerte der Druckzonenhöhe gemäß Abschn. 4. und 4.4 sind nur in Tafel 4. eingetragen und für Tafel 4. zusätzlich zu beachten. Den Tafeln liegt die --Linie des Stahls mit ansteigendem Ast zugrunde. 3

4 Anwendungsbeispiel 4 Plattenstreifen +M Ed A s [cm] b = 00 d = 3 h = 0 Baustoffe: C30/37, C =,50; B500 Bemessungsmoment M Ed = 5 knm Bemessung: d = 0 3 = 7 cm Tafel 4.e / C30: A s = 3,3 cm ; die Anforderungen an die Mindestbewehrung sind erfüllt. Zusätzlich sind auch die Bedingungen gemäß Gl. (8) und Gl. () eingehalten, sofern dies erforderlich wäre. Alternativ: Ablesen der Bewehrung mit den Diagrammen der Tafeln 4.e / C30: Mattenbewehrung Q335 bzw. R335, s. S. 549 oder Stabstahlbewehrung ø 8/5 cm 8.5 s -Tafeln für Plattenbalkenquerschnitte (Tafeln 5) Die Tafeln 5 berücksichtigen die zusätzlichen Bedingungen für Biegung mit Längskraft bei Plattenbalkenquerschnitten (s. Abschn. 5.). In Hinblick auf eine einfache Handhabung der Tafeln wurde die --Linie des Stahls mit horizontalem Ast gewählt. Anwendungsbeispiel 5 Plattenbalkenquerschnitt Baustoffe: C30/37, C =,50; B500 Bemessungsmoment M Ed = 500 knm M Ed h f =5 h=57 A s [cm] 30 b w =30 30 d =7 Bemessung: d = 57 7 = 50 cm h f / d = 5 / 50 = 0,3 b f = 90 cm b f / b w = 90 / 30 = 3 MEds 0,500 Eds 0,3 bf d fcd 0,90 0,50 7,0 Tafel 5 / C C50: = 0,40; fcd As bd 0, ,6 cm f 5,6 yd 8.6 Interaktionsdiagramme für Rechteck-, Kreis- und Kreisringquerschnitte unter einachsiger Biegung mit Normalkraft (Tafeln 6) Die Interaktionsdiagramme gelten für Querschnitte mit symmetrischer Bewehrungsanordnung unter Biegung mit Normalkraft. Allen Interaktionsdiagrammen liegt die --Linie des Stahls mit ansteigendem Ast zugrunde. Hinweis: Bei den bezogenen Schnittgrößen Ed und Ed als Eingangsgrößen der Interaktionsdiagramme geht wie auch bisher üblich die Bauteildicke h (nicht die Nutzhöhe d) ein. Dehnungsangaben im Diagramm sind in [ ] ausgedrückt. Die nach EC --, 6. für Normalbeton bei geringer Ausmitte zugelassene Grenzstauchung von c =, (s. Abschn. 5.) ist berücksichtigt. Dies verringert bei e/h < 0, erforderliche Bewehrungsmenge um bis zu 0 %. Anwendungsbeispiel 6 Rechteck C30/37, C =,50; B500 Schnittgrößen M Ed = 36 knm, N Ed = 670 kn Tafeleingangsgrößen MEd 0,36 Ed 0,5 bh fcd 0,0 0,40 7,0 d =4 A s +M Ed h=40 +N Ed A s [cm] b=0 d =4 NEd 0,670 Ed 0,493 bhfcd 0,0 0,40 7,0 d / h = d / h = 0,0 Ablesung in Tafel 6.b / C C50: tot = 0,34 bd 0 40 As,tot= tot 0, 34 0, 6 cm fyd fcd 5, 6 A s = A s = 5,3 cm 8.7 Interaktionsdiagramme für Rechteckquerschnitte unter zweiachsiger Biegung mit Normalkraft (Tafeln 7) Die Interaktionsdiagramme gelten für Querschnitte mit symmetrischer Bewehrungsanordnung unter schiefer Biegung mit Normalkraft. Im Übrigen gelten die Angaben in Abschn Einführung 33

5 Anwendungsbeispiel 7 Rechteckquerschnitt C30/37, C =,50; B500 Schnittgrößen: M Edy =00 knm, M Edz = 80 knm, N Ed = 400 kn Tafeleingangsgrößen: b =4 d /h = d /h = 0, b=30 b /b = b /b0, MEdy 0,00 Edy bh fcd 0,30 0,40 7,0 MEdz 0,080 Edz b hfcd 0,30 0,40 7,0 = 0,3; = 0,3 NEd 0,400 Ed bhf 0,30 0,40 7,0 cd je /4 A s,tot M Edy M Edz N Ed 0,3 0,3 0,96 d =4 d =4 b =4 Ablesung in Tafel 7.3b / C C50: tot = 0,34 bd As,tot = tot 0,34 6,0 cm fyd fcd 5,6 Bewehrung je Ecke: A si = 4,0 cm h=40 [cm] 8.8 Druckglieder Zentrisch gedrückte Stützen ohne Knickgefahr (Tafeln 8.) Für Rechteck-, Kreis- und Kreisringquerschnitte dienen die Tafeln 8. zur Bestimmung der aufnehmbaren Längsdruckkraft, aufgeteilt in Betonund Bewehrungsanteile unter Ansatz der maximalen Querschnittsstauchung von,. Druckkräfte sind hier ohne Vorzeichen angegeben. Anwendungsbeispiel 8. Rechteckquerschnitt C30/37, C =,50; B500 N Ed =,400 MN Ablesung in Tafel N Ed h=40 [cm] 8.b / C5 C35: F cd =,040 MN b=30 erf. F sd =,400,040 = 0,360 MN gew.: 6 ø 4 ; F sd = 0,40 MN N Rd =, ,40 =,40 MN > N Ed Bemessungsdiagramme nach dem Modellstützenverfahren (Tafeln 8. bis 8.4) Die Tafeln wurden in Anlehnung an [Avak 999] für EC -- aufgestellt. Sie beruhen auf dem Modellstützenverfahren nach EC --, und berücksichtigen die Lastausmitte nach Theorie II. Ordnung e gemäß EC --, 5.8.8: e = K K r K (/r 0 ) l 0 /0 (56) Es sind K = /0,5 K r = (n u n)/(n u n bal ) n u = + = + A s f yd /(A c f cd ) n = N Ed /(A c f cd ) n bal 0,4 (näherungsweise; allg.: Wert von n bei max. Biegetragfähigkeit) (/r 0 ) = yd / (0,45d) K = + ef = 0,35+f ck /00 /50 0 ef = (, t 0 ) M 0,Eperm / M 0,Ed mit M 0,Eperm als Moment unter quasi-ständiger Einwirkung (GZG) und M 0,Ed unter Bemessungseinwirkung (GZT), jeweils nach Theorie I. Ordnung. (Berücksichtigung des Beiwertes K in den Bemessungstafeln s. nachfolgende Erläuterung.) In den Bemessungstafeln 8. bis 8.4 wurde der K r - Wert mit dem obigen Näherungsansatz bestimmt; allerdings wird von der Vereinfachung, n bal 0,4 kein Gebrauch gemacht; es wird vielmehr entsprechend der Definition ( der Wert von n bei maximaler Biegetragfähigkeit ) der Wert jeweils genau bestimmt. Dabei kann n bal insbesondere bei hochfestem Beton den Wert null erreichen oder in Einzelfällen sogar in den positiven Bereich wechseln (s. Bild 4). Für den normalfesten Normalbeton liefern die vorliegenden Bemessungstafeln eine gute Übereinstimmung mit den Bemessungshilfen von [Kordina/Quast 00]; weitere Hinweise zum Modellstützenverfahren siehe dort. EC -- macht beim Modellstützenverfahren keine Einschränkungen bezüglich der Betonfestigkeitsklassen. Es ist jedoch darauf hinzuweisen, dass nach [Kordina/Quast 00] das Verfahren bisher nur für den normalfesten Normalbeton abgesichert ist. Für andere Betonfestigkeitsklassen sollten daher die Tafeln zunächst nur für Vorbemessungen und Kontrollrechnungen angewendet werden. Tafeleingangsgrößen sind das Biegemoment nach Theorie I. Ordnung einschließlich ungewollter Ausmitte und Kriechausmitte sowie die Normalkraft. Der Bereich e /h < 0,, in dem das Modellstützenverfahren zu unwirtschaftlichen Ergebnissen führt, ist in den Diagrammen schattiert dargestellt (auf der Basis der Ausmitte nach Theorie I. Ordnung!). 34

6 Bild 4: Verlauf des Balance-Points beim R4-0,0-Querschnitt und Auswirkung im Knickdiagramm durch örtliche Spreizung der Omega-Kurven (vgl. Tafeln 6.b/C00 und 8.3e/C00) Die Tafeln sind jeweils nur im Bereich des nach EC -- erlaubten Höchstbewehrungsgrads (0,09 A c ) gültig, auch wenn der Ablesebereich zur Vereinheitlichung der Darstellung darüber hinausgehen kann. Konkret sind folgende mechanische Bewehrungsgrade lim einzuhalten (Werte gelten für C =,5 und S =,5; f ck in [N/mm ]). Tabelle 0 Höchstbewehrungsgrade lim f ck lim 5,75 4,3 3,45,76,30 f ck lim,97,73,53,38,6 f ck lim,5 0,99 0,86 0,77 0,69 Am unteren Rand der jeweiligen Diagramme treffen die Bedingungen der Gl. () für den Wegfall des Knicksicherheitsnachweises zu. Der Übergang zum Bereich mit Erfordernis des Knicksicherheitsnachweises ist an einem Sprung der Kurven zu erkennen. Dehnungsangaben sind in [ ausgedrückt. Berücksichtigung des Kriechens Der Kriecheinfluss wird bei der Ausmitte e nach Theorie II. Ordnung durch den Faktor K erfasst K = + ef = 0,35+f ck /00 /50 0 (vgl. auch Erl. zu Gl. (56)). Eine Auswertung von K zeigt, dass der Einfluss mit größer werdender Schlankheit kleiner wird und beispielsweise für Beton C30/37 bei 75 verschwindet (da = 0 und damit K = ). Die nachfolgende Tabelle zeigt die Grenzschlankheiten, ab denen K = wird. Tabelle Grenzwerte für K = f ck K = für f ck K = für f ck K = für

7 In den Bemessungsdiagrammen wird das Kriechen durch die Ersatzschlankheit = (K ) 0,5 erfasst (ohne Kriecheinfluss gilt natürlich = ), ergänzende Diagramme unter Berücksichtigung unterschiedlicher K -Wert sind daher entbehrlich und überflüssig. Biegemoment nach Theorie II. Ordnung Das dem Bemessungsergebnis zugrunde liegende Biegemoment nach Theorie II. Ordnung ist das Tragmoment des Querschnitts für den abgelesenen Bewehrungsgrad tot unter der Normalkraft Ed. Es wird zweckmäßigerweise im Diagramm für = 5, d.h. für die reine Querschnittsbemessung ohne Einfluss von Verformungen ermittelt (s. Beispiel). ungewollte Ausmitte: e i = i l 0 / = 0,0047 4,50 / = 0,006 m M Ed = 300 (0, ,006) = 5, knm MEd 0,05 Ed 0, bh fcd 0,0 0,0 7,0 NEd 0,300 Ed 0,44 bhfcd 0,0 0,0 7,0 Tafel 8.h / C C50 ( = 80): tot = 0,35 bd 0 0 As,tot = tot 0,35 5,5 cm fyd fcd 5,6 Tafel 8.g / C C50 ( = 5): für tot = 0,35 und Ed = 0,44 liest man ab: Anwendungsbeispiel 8.a Rahmenrandstütze im Hochbau, in einer Ebene durch Wände ausgesteift. Rechteckquerschnitt C30/37, C =,50; B500 Schnittgrößen N Ed = 300 kn, M Ed0 = 5 knm, M Ed0 = 30 knm Knicklänge l 0 = l col,0 4,50 = 4,50 m Schlankheit = l 0 / i = 4,50 / (0,89 0,0) = 78 N Ed d =3 e 0 =0 A s l col =450 h=0 e 0 = -5 A s [cm] b=0 d =3 N Ed =-300 kn Die Kriechausmitte e c darf hier vernachlässigt werden (EC --/NA, (4)). Wie aus Tabelle zu entnehmen ist, ergäbe sich allerdings ohnehin K =. Ausmitte im kritischen Schnitt: 0,6 e0 0,4 e0 e0 max 0,4 e0 0,6 0,00 0,4 0,050 0,040 e0 max 0,4 0,00 0,040 e 0 = 0,040 m Schiefstellungswinkel (Abschn. 5..): i lcol a 0, ,50 = 0,4 = Ed Die Zusatzausmitte e nach Theorie II. Ordnung beträgt damit e = h ( Ed Ed ) / Ed = 0,0 (0,4 0,) / 0,44 = 0,058 m Anwendungsbeispiel 8.b Wie Beispiel 8.a, jedoch mit folgenden Abweichungen Stützenlänge l col = 4,00 m Knicklänge l 0 = l col,0 4,00 = 4,00 m Schlankheit = l 0 / i = 4,00 / (0,89 0,0) = 69 Kriechen soll berücksichtigt werden. Die effektive Kriechzahl wird angenommen zu Kriechzahl ef =,0 Ersatzschlankheit = 7 (Ermittelt aus = (K ) 0,5 oder direkt abgelesen in Tafel 8.h / C C50 für Beton C30/37.) Weiterer Rechengang wie im Beispiel 8.a (auf der sicheren Seite kann z. B. wiederum mit dem Diagramm für = 80 bemessen werden, alternativ auch interpoliert werden zwischen den Werten aus den Tafeln für = 70 und = 80) 8.9 Querkraft, Durchstanzen 8.9. Querkraftbeanspruchung (Tafeln 9. und 9.) Anwendungsbeispiel 9. Einfeldrige Platte mit Biegezugbewehrung nach Skizze (vgl. [Goris 04/]); gesucht ist der Tragfähigkeitsnachweis für Querkraft. 36

8 Baustoffe: C0/5; B500 Ein separater Nachweis der Druckstrebe ist nicht erforderlich, da die Ablesung innerhalb des Gültigkeitsbereichs der Tabelle 9.b liegt. Druckstrebenneigungswinkel Falls für weitere Berechnungen der Druckstrebenneigungswinkel cot benötigt wird, kann dieser unmittelbar Tafel 9.b entnommen werden. Für v Ed =,44 MN/m liest man ab cot =,685 Einführung Bemessungsquerkraft: V d,li = (,35 6,5 +,5 5,0) 4,5 / = 36,6 kn/m V Ed = 36,6 (0,08 + 0,8) 6,3 = 3,4 kn/m Bemessungslast Bemessung: Mit l =,85 / (00 8) = 0,006 (Längsbewehrungsgrad, s. Skizze) erhält man für d 0 cm und Beton C0/5 aus Tafel 9.c v Rd,c = v Rd,c,min = 0,443 MN/m V Rd,c,min = 0,443,0 0,8 = 0,0797 MN/m Nachweis: V Ed = 3,4 kn/m < V Rd,c = 79,7 kn/m 8.9. Durchstanzen (Tafeln 9.3) Anwendungsbeispiel 9.3 Mittig belastetes Einzelfundament ([Goris 04/]) L x = L y =,30 m; c x = c y = 0,30 m; d = 0,44 m N Ed = 000 kn C30/37; B500 l = 0,0 % (Vorgabe) Anwendungsbeispiel 9. Für den dargestellten Träger ist die Querkrafttragfähigkeit für lotrechte Querkraftbewehrung nachzuweisen. Baustoffe: C30/37; B500 Bemessungsquerkraft: V Ed,A = (, ,50 30) 7,50/ = 4 kn V Ed = 4 (0,0 + 0,53),5 = 35 kn Bemessungslast Querkraftbewehrung a sw und Bemessungswiderstand V Rd,max v Ed = V Ed / (b w z) = 0,35 / (0,3 0,48) =,44 MN/m Mit Tafel 9.b erhält man: w = 0,34 a sw = 0,34 30 = 9,73 cm /m V Ed =,0,00 =,0 MN Mit L x / c x =,30/0,30 = 7,67 und L x / L y = c x / c y =,0 erhält man aus Tafel 9.4a a crit / c x =,9 V Rd /(v Rd,c d ) = 3,3 a crit =,9 0,30 = 0,39 m < d 37

9 V Rd = 3,3 v Rd,c d v Rd,c = (0,5/ C ) k (00 l f ck ) /3 v min = ( / C ) (k 3 f ck ) 0,5 k = ( + (00 440) 0,5 ) =,67 v Rd,c = 0,,67 (0,0 30) /3 = 0,44 MN/m < 0,035 (, ) 0,5 = 0,39 MN/m V Rd = 9,5 0,39 0,54 = 3,37 MN > V Ed =,3 MN Hinweis: Es ist V Ed einzuhalten (ohne Reduzierung um V Ed ; eine mögliche Reduzierung ist bereits bei V Rd berücksichtigt). 8.0 Gebrauchstauglichkeit 8.0. Spannungsbegrenzung (Tafel 0.) Anwendungsbeispiel 0.a Deckenplatte mit b/h/d = 00/8,0/5,5 [cm] und Biegezugbewehrung gemäß Abbildung. Gegeben M b = 3, kn/m A s = 5,4 cm /m ( 0-5; s. Abb.) Gesucht Betondruck- und Stahlzugspannungen; das Verhältnis der E-Moduln von Betonstahl zu Beton soll mit e = 5 angenommen werden Betondruckspannungen c = M(b x z) x = 4, cm; z = 4, cm (Tafel 0.4b) c = 0,03/(,0 0,04 0,4) = 7,8 MN/m Betonstahlspannungen s = M(A s z) = 0,03 / (5, ,4) = 34 N/mm Ergänzender Hinweis Für die Betondruckspannung ist i.d.r. der Zeitpunkt t = 0 maßgebend mit e < 5. Bei einer Anwendung von Tafel 0.4 muss dann als Eingangswert A s * = A s ( e /5) gewählt werden. Anwendungsbeispiel 0.b Wie Bsp. 0.a, jedoch mit e = 6, für C30/37 A s * = 5,4 (6,/5) =,3 x =,83 cm; z = 4,6 cm c = 0,03/(,0 0,03 0,46) = 4,9 MN/m Anwendungsbeispiel 0.c Rechteckquerschnitt: b / h / d = 30 / 60 / 55 cm Biegezugbewehrung: A s =,0 cm. Für die Schnittgrößen des Gebrauchszustandes M = 300 knm und N = 00 kn (Druck) sollen die Betondruck- und Stahlzugspannungen ermittelt werden. Es wird angenommen, dass das Verhältnis der E-Moduln von Stahl zu Beton e = 5 ist. M s = ,5 = 35 knm N = 00 kn Ablesung von = x / d in Tafel 0.5: N d / M s = 00 0,55 / 35 = 0,69 e = 5 (,0/(30 55)) = 0,0 = 0,48 Druckzonenhöhe x = 0,48 55 = 6,4 cm Hebelarm z = d (x/3) = 55 6,8/3 = 46, cm Stahlspannung s = M s /(A s z) = 35/( 0,46) 00/ = 7,5 kn/cm = 75 MN/m Betonspannung c = M s /(b x z) = 35 / (0,30 6,8 46,) =,75 kn/cm = 7,5 MN/m 8.0. Verformungsbegrenzung (Tafel 0.) Anwendungsbeispiel 0. Einfeldplatte mit leichten Trennwänden (erhöhte Anforderungen an die Durchbiegung) Gegeben Stützweite L = 4,50 m und Nutzhöhe d = 8 cm Belastung q k /g k = 5,0/6,5 [kn/m ] Beton C0/5 Bewehrung A s = 5,6 cm /m = 5,6/(8 00) = 0,003 Nachweis der Biegeschlankheit L /d K k B K /L (vgl. Tafel 0.8) Näherungsweise (i.d.r. sichere Seite) wird der Nachweis zunächst für k =,0 (d. h. Betonstahlspannung unter quasi-ständiger Last 30 N/mm ) geführt. = 0,003; C0/5 B L/d = 5 (Tafel 0.8) K = (Einfeldplatte) L /d = 4,50/0,8 = 5,0 5 = 5 (,0 50/4,5 = 33) Nachweis erfüllt. Soweit der Nachweis nicht erfüllt ist, kann bei einer genaueren Ermittlung der Betonstahlspan- 38

10 nung mit den Beiwert k verbessert werden. Die Ermittlung der Stahlspannung unter der maßgebenden Kombination (i.d.r. quasi-ständige Last) erfolgt näherungsweise mit (s. Tafel 0.8) k = 30/ s mit s (M perm /M Ed ) f yd = (g k + q k )/(,35 g k +,50 q k ) f yd q k /g k = 5,0/6,5 = 0,77 = 0,6 (Annahme: Nutzungskategorie C, z. B. Verkaufsräume) k = 30/ s, (s. Tafel 0.8) L /d = 4,50/0,8 = 5,0, 5 = 30 (,0 50/4,5 = 33) Eine noch einfachere Ermittlung und direkte Ablesung ist mit Tafel 0.8c möglich. Man erhält L i /d W Li /d 50/L i L i = L (Einfeldsystem) W Li /d = 30,6 ( = 0,3 %; = 0,6; q k /g k = 0,77) 50/L i = 33,3 (L = L i = 4,50 m) L i /d = 4,50/0,8 = 5 30,6 (< 33,3) Einführung 39