Festkörperoptik. genannt werden. Setzt man in diese die Feldkomponenten E und H ein erhält man die Dispersionsrelation nach [1]

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1 Betreuer: Dr. Carsten Deibel Festkörperoptik Tilman Birnstiel und Sebastian Lange Universität Würzburg Physikalisches Institut (Datum: 6. April 26) In diesem Versuch wird das Reflexions- und Transmissionsverhalten von dotierten und undotierten GaAs-, sowie Si-Proben im Wellenzahlbereich von 3-15 cm 1 mit einem Fourier-Transformations-Spektrometers untersucht. Anhand dieser Untersuchungen konnten u.a. die Bandlücken von undotiertem GaAs (ν g = (11165 ± 1) cm 1 ), n-dotiertem GaAs (ν g = (117 ±8) cm 1 ) und undotiertem Si (ν g = (885 ±5) cm 1 ) bestimmt werden, sowie die Dotierungskonzentrationen von GaAs (n e = (1. ±.5) 1 18 cm 3 ) und Si (n e = (62 ±3) 1 18 cm 3 ). Versuchsdatum: 4. April 26 Protokollabgabe: 6. April 26 I. EINLEITUNG Strahlt man in einen Halbleiterkristall Licht ein, so kann es abhängig von der Wellenzahl absorbiert, transmittiert oder reflektiert werden. Dabei hängen die einzelnen Effekte von den Halbleitereigenschaften, wie dem Impulsmatrixelement, was die Absorptionswahrscheinlichkeit bestimmt, oder der Bandlücke des Halbleiters ab, welche es zu ermitteln galt. Zu diesem Zweck wurden die Spektren von verschiedenen Halbleiterproben (GaAs und Si) im Wellenzahlbereich von 3-15 cm 1 mit dem FT - Spektrometer Vektor 33 der Marke Bruker mit Hilfe des Computerinterface Opus aufgenom- men. Daraus wurden die Brechzahlen und Extinktionskoeffizienten, sowie die komplexe Dielektrizitätsfunktion der Proben (außer Si hochdotiert) bestimmt. Aus der Dielektrizitätsfunktion wurde schließlich das Impulsmatrixelement ( p cv,undotiert = (1.93 ±.8) 1 25 kg m s, 25 kg m p cv,dotiert = (2.2 ±.5) 1 s ), sowie die Bandlücke (ν g,undotiert = (11165 ± 1) cm 1, ν g,dotiert = (117 ±8) cm 1 ) für die GaAs - Proben bestimmt. Aus dem Absorptionskoeffizienten ließen sich Informationen über die Bandlücke (ν g = (885±5) cm 1 ) und die charakterisische Phononenfrequenz (ν ph = (44±5) cm 1 ) der Si - Probe gewinnen. Des Weiteren wurde untersucht, wie freie Ladungsträger in Metallen die Reflexionseigenschaften beeinflussen und letztendlich die Intrabandabsorption der beiden dotierten Proben, woraus man die Dotierungsdichten für GaAs mit n e = (1. ±.5) 1 18 cm 3 und für Si mit n e = (62 ± 3) 1 18 cm 3 erhielt. Weitere Details sind im experimentellen Teil vermerkt. Im Folgendem Theorieteil werden nähere Diskussionen zu den verwendeten Formeln, sowie Modellen geführt. II. THEORIE Um die Festkörperoptik zu verstehen, benötigt man Kenntisse über die Ausbreitung und Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen in Materie. Diese Eigenschaften werden durch die Maxwell - Gleichungen (MG), welche in jeder Standardliteratur der Elektrodynamik diskutiert werdenm, gänzlich bestimmt. Um die Ausbreitungseigenschaft zu beschreiben werden die MG zu Wellengleichungen umgeformt, welche Telegraphengleichungen genannt werden. Setzt man in diese die Feldkomponenten E und H ein erhält man die Dispersionsrelation nach [1] q 2 = ω2 c 2 [ ǫ g + iσ ], (1) ωǫ wobei σ die Leitfähigkeit und ǫ g der Gitterbeitrag im Festkörper ist. Die Lichtgeschwindikeit c ist durch c = 1 ǫµ gegeben. Damit eine Aufspaltung der Beiträge freier und gebundener Ladungsträger, sowie des Gitters zu vermeiden, wird eine komplexe Dielektrizitätsfunktion eingeführt: ǫ(ω) = ǫ (ω) iǫ (ω) = ǫ g + iσ ωǫ. (2) Dabei errechnet sich der Realteil zu und der Imaginärteil zu ǫ (ω) = n 2 κ 2 (3) ǫ (ω) = 2nκ. (4) Die Größe n ist hierbei der Brechungsindex und κ wird als Extinktionskoeffizient bezeichnet. Durch Einführen eines komplexen Brechungsindexes lässt sich Gl. 1 linearisieren: N(ω) = (ǫ(ω)) 1/2 = n + iκ, (5) q = ωn(ω) c = ω [n(ω) + iκ(ω)]. (6) c Der Übergang einer elektromagnetischen Welle vom Vakuum in einen homogenen, isotropen Festkörper

2 2 (Halbraum) wird durch den Intensitätsreflexionskoeffizienten R und den Intensitätstransmissionskoeffizient T als Eigenschaften des Festkörpers bestimmt. Dies erfolgt unter Berücksichtigung der Stetigkeit der E- und H - Felder an der Grenzfläche: wobei R = 1 N N 2 2 und T(z) = 4 N N 2 2 e βz (7) β = 2ωκ c (8) der Absorptionskoeffizient ist. Der Brechungsindex von Luft 1 ist und N 2 stellt den Brechungsindex im Festkörper dar. In den Gl. 7 sieht man, dass die Transmission der Intensität wegabhängig ist und anhand Gl. 8 erkennt man, dass die Kenntnis des Brechungsindexes, der Extinktion κ und der Frequenz der e.m. Welle die beiden Koeffizienten völlig bestimmen. Die Kenntis des Brechungsindexes und der Extinktion ist bei der Dynamik von e.m. Wellen von großer Bedeutung, da viele Berechnungen darauf zurückgeführt werden können. Es ist sogar nur die Kenntnis einer der beiden Größen notwendig, da nach der Kramers - Kronig - Relation aus dem Imaginärteil der dielektrischen Funktion der Realteil (und umgekehrt) nach einem Integralsatz berechnet werden kann (siehe [1]). Darauf soll aber hier nicht weiter eingegangen werden. Die Reflexion ist bei Halbleitern und Metallen nahezu 1, bis sie die sogenannte Plasmakante erreicht, bei der die Elektronen im jeweiligen Festkörper anfangen in Phase zu schwingen. Diese Schwingungsfrequenz nennt man Plasmafrequenz, die sich durch ω 2 p = Ne2 m ǫ ǫ (9) definiert. Dabei ist N die Teilchenzahldichte und m die effektive Masse. In diesem Zustand können Elektronen die Photonen, wegen ihrer Trägheit nicht mehr absorbieren und somit verliert der Festkörper schlagartig seine hohe Reflexion, wie er im gleichen Maße an Transmission gewinnt. Beim Halbleiter ist die Plasmafrequenz geringer, da diese noch durch den Gitterbeitrag ǫ G geteilt werden muss, der beim Metall 1 ist. Oberhalb der Plasmakante steigt die Reflexion bei Halbleitern wieder und nimmt einen nahezu konstanten Wert an, der im Falle starker Absorption durch (ǫ 1) 2 (ǫ + 1) 2 (1) bestimmt wird. Die dielektrische Funktion (Gl. 2) spiegelt den Einfluss freier Ladungsträger wieder, wobei σ ω = Ne2 τ 1 m L 1 iωτ die Hochfrequenzleitfähigkeit darstellt. Hierbei ist τ die Stromrelaxationszeit und m L die Leitfähigkeitsmasse. In einem isotropen und parabolischen Band kann die Leitfähigkeitsmasse m L mit der effektiven Masse m genähert werden. Im Falle anisotroper Bänder (wie z.b. im Silizium) ist der Zusammenhang gegeben durch: ( 1 m L = ) 1, (11) m long m trans mit der longitudinalen (m long ) Richtung [1] und der transversalen (m trans ) Richtung [senkrecht zu 1]. Wird statt eines unendlich ausgedehnten Mediums eine planparallele Platte verwendet, so müssen sowohl bei der Reflexion als auch bei der Transmission Mehrfachreflexionen in der Schicht der Dicke d berücksichtigt werden. Es ergibt sich in diesem Fall ohne Berücksichtigung der Wellenphasen: bzw. R = R 11 + (1 R 11) 2 R 12 e 2βd 1 R 11 R 12 e 2βd (12) T = (1 R 11) (1 R 12 ) e βd 1 R 11 R 12 e 2βd (13) mit den Reflexionen R 11 für die vordere Grenzfläche und R 12 für die hintere Grenzfläche. Aufgrund von Interferenz der Strahlen in der planparallelen Schicht zeigen die Reflexion und die Transmission eine nahezu periodische Modulation. Der Abstand der Interferenzmaxima kann also genutzt werden, um die Brechzahl der Schicht zu ermitteln. Für konstruktive Interferenz gilt bei senkrechtem Einfall: 2d = m 1 n ν mit m = 1, 2, 3,..., der Brechzahl n, der Schichtdicke d und der Wellenzahl ν = 1/λ. Daraus folgt für die Brechzahl in Abhängigkeit vom Abstand der Interferenzmaxima: n = 1 2d ν (14) Wie bereits erwähnt sind die Größen der Brechzahl und des Extinktionskoeffizienten von entscheidender Bedeutung. Durch Vergleich von experimenteller Transmission (te) und Reflexion (re) in einem weiten Wellenzahlbereich einer planparallelen Probe mit einem theoretischen Modell kann die Wellenzahlabhängigkeit von n und κ bestimmt werden, wenn das theoretische Modell die Transmission (tt) und Reflexion (rt) in Abhängigkeit von n und κ angibt. Durch eine Nullstellensuche werden nun die gesuchten Größen bestimmt, wobei n und κ so bestimmt werden, dass te tt(n, κ) = und re rt(n, κ) = (15) erfüllt sind. In diesem Versuch werden als Festkörperproben die Halbleiter Si und GaAs verwendet. Halbleiter sind dadurch gekennzeichnet, dass sie bei tiefen Temperaturen Nichtleiter sind, jedoch bei steigender Temperatur zunehmend gut leiten. Ein damit verbundenes charakteristisches Merkmal von Halbleitern ist, dass die Bandlücke,

3 3 also die Energiediffenrenz zwischen Valenz- und Leitungsband, in einem Bereich liegt, in dem Atome thermisch angeregt werden können. Unterschieden wird dabei zwischen direkten (z.b. GaAs) und indirekten Halbleitern (z.b. Si). Für direkte Halbleiter kann die Größe der Bandlücke auf einfache Weise bestimmt werden: Die Übergangsenergie verhält sich entsprechend Lichtquelle Apertur Fourier Spektrometer fester Spiegel beweglicher Spiegel ω(k) = E g + 2 k 2 2µ, (16) Strahlteiler L wobei µ die reduzierte Masse aus den effektiven Massen in Leitungs- und Valenzband und E g die Energie der Energielücke ist. Für den Imaginärteil der dielektrischen Funktion gilt dabei: ǫ direkt(ω) = e2 (2µ) 3/2 p cv 2 hǫ m 2 e ω Eg ( ω) 2, (17) wobei p cv der Betrag des Übergangsmatrixelementes ist. Ein indirekter Übergang ist nur möglich, wenn die Impulserhaltung durch ein Phonon gewahrt wird, welches je nach Photonenenergie und Bandlücke absorbiert oder emittiert werden muss. Die Wahrscheinlichkeit wird dabei durch das Übergansmatrixelement x ij = ψ j xψ idv bestimmt. Für indirekte Übergänge gilt der Zusammenhang β ω = β em + β abs mit den Phononenemissions-(β em ) und Phononenabsorptions-Beiträgen (β abs ) zum Absorptionskoeffizient. Wird β ω ω 2 gegen ω aufgetragen und aus den daraus entstehenden zwei Geraden durch Extrapolation die Energien E(ω) = ω ± ω ph (18) gewonnen (ω ph ist dabei die Phononenfrequenz), so können aus den Energien die Bandlücke und die charakteristischen Phononenfrequenzen bestimmt werden. Durch Dotieren von Halbleitern, d.h. Einbringen von Fremdatomen, die als Donator (n - leitend) oder Akzeptor (p - leitend) wirken, kann die Leitfähigkeit von Halbleitern verändert werden. Die im Versuch verwendeten Proben, sind teilweise auch dotiert, so dass dieser Effekt auch untersucht werden kann. Bei der Bestimmung der Bandlücke kann die Dotierung eines Materials stören, da diese, am Beispiel eines Donators, ein Energieniveau unterhalb der Bandlücke darstellt und man bei der Messung dieses erfassen kann. Es gibt noch weitere störende Effekte bei der Bestimmung der Bandlücke. Beispielsweise der Urbach-tail, welcher aufgrund von Einflüssen einer Störung der Periodizität im Kristallaufbau entsteht, bringt exponentiell abfallend weitere Zustände in die Bandlücke, unterhalb von E g. Des Weiteren können spezielle Elektronen - Loch Paare, sogenannte Exzitonen die Messung verfälschen. Eine Art von Exzitonen, die schwach gebundenen Wannier oder Mott - Exzitonen, die als mit dem Modell des Wasserstoffatoms beschrieben werden können, erzeugen Energie- Interferogramm Abb. 1: Das Michelsoninterferometer als Hauptbestandteil des Fourier-Spektrometers. Im Detektor entsteht aufgrund der durch den beweglichen Spiegel einstellbaren Wegdifferenz zwischen den beiden, durch den Strahlteiler aus dem einen Strahl der Quelle erzeugten, Teilstrahlen ein Interferenzbild. zustände unterhalb der Bandlücke, die analog dem Wasserstoffmodell durch gegeben ist, wobei E = E g R n 2 (19) R µ = 13.6eV m e ǫ 2 s (2) die Rydbergkonstante des Exzitons ist. Aufgrund der schwachen Bindung (mev Bereich) der Mott - Exzitonen, ist dieser Effekt recht klein, da diese bei Raumtemperatur schnell zerfallen. III. EXPERIMENT Die eigentliche Versuchsapperatur ist das FT - Spektrometer Vektor 33 der Firma Bruker, die ebenfalls die dazugehörige Software Opus entwickelt hat, mit der die Messdaten aufgenommen werden und das Spektrometer gesteuert wird. Das Spektrometer basiert auf einem Michelson-Interferometer (siehe Abb. 1), wobei der bewegliche Spiegel während eine Messung kontinuierlich von der Ausgangs- zur Endstellung durchgefahren wird (Rapid-Scan-Methode siehe [2]). Beim Detektor handelt es sich um einen pyroelektrischen (DTGS) Detektor, welcher bei Raumtemperatur arbeitet. Daraus resultiert zwar eine geringere Empfindlichkeit, jedoch kann dieser in einem weiten Spektralbereich (fernes bis nahes Infrarot) verwendet werden. Dabei können Quelle und Strahlteiler im Michelson-Interferometer ausgetauscht werden, wobei sich je nach Kombination ein anderer Wellenzahlbereich ergibt. Für die Verbindung aus Globar-Stab- Quelle und KBr-Strahlteiler (GK) ist der Bereich 3-8 cm 1, während die Kombination Wolfram-Quarz

4 4 Aufgabe 3: Es wurde die TRE eingesetzt und die normierte Reflexion in Kombination GK mit hoher Auflösung an den Proben 1 (GaAs undotiert, Dicke d = 47 µm), 2 (GaAs n - dotiert, d = 44 µm) und 3 (Si undotiert, d = 53 µm) gemessen. Aus dem Abstand der Vielfachinterferenzen wurden die Dielektrizitätskonstanten und die Brechzahlen bestimmt. Aufgabe 4: Im letzten experimentellen Teil wurde die normierte Reflexion, sowie die normierte Transmission in niedriger Auflösung (.8cm 1 ) bei GK der Proben 1,2,3 und 4 (Si hochdotiert) gemessen. Diese Messung wurde für die Kombination TQ wiederholt. Abb. 2: Die Reflexions - Transmissionseinheit (TRE) des Fourier - Spektrometers. Der Motor des Umschaltspiegels kann über den Computer mit der Software Opus angesteuert werden, um die TRE zwischen Transmissions- und Reflexionsmessung umzustellen. (TQ) einen Wellenzahlbereich von 1-15 cm 1 abdeckt. Der Spektralbereich des FT-Spektrometers hängt also stark vom Strahlteiler, der Quelle und dem Detektor ab. Eine Folge davon ist, dass in der Praxis zusätzlich zum Probenspektrum (S) meist auch ein Referenzspektrum (R) aufgenommen wird. Das Spektrum ergibt sich dann zu S/R. Als Referenz wird bei der Reflexion ein Metallspiegel aus Gold verwendet und bei der Transmission wird mit Hilfe einer Messung ohne Probe normiert. Für die Messungen an den Proben wird eine Reflexions - Transmissionseinheit (TRE), ebenfalls von der Firma Bruker, verwendet (siehe Abb. 2), die in das Vektor 33 an die vorgesehene Stelle eingesetzt wird. Die TRE kann über den Computer zwischen Reflexions- und Transmissionsmessung umgestellt werden. Es wurden für die Auswertung vier Messaufgaben erledigt, die im Folgenden umrissen werden. Anschließend werden die restlichen Aufgaben besprochen. Aufgabe 1: Im ersten Versuchsteil wurde die TRE entfernt und in der Quelle - Strahlteile - Kombination GK bei hoher Auflösung (.3 cm 1 ) die Gasabsorption der Umgebungsluft gemessen. Aufgabe 2: Im nächsten Teil wurde die Messung bei geringer Auflösung (.8 cm 1 ) wiederholt. Dabei wurden jedoch drei Messungen für unterschiedliche Spiegeldurchläufe (Scans) N = 1, 5 und 1 gemacht um zu verifizieren, dass sich das Signal - Rauschverhältnis mit N verbessert. Aufgabe 5: Aus den Spektren werden durch Vergleich Theorie - Experiment (siehe Theorieteil, speziell Gl.15) die Brechzahlen n, sowie die Extinktionskoeffizienten κ ermittelt und anschließend der Absorptionskoeffizient bestimmt. Aufgabe 6: Es wurden die Bandlücken und die Impulsmatrixelemente für Probe 1 und 2 bestimmt. Aufgabe 7: Es wurde die Bandlücke und die charakteristische Phononenfrequenz für Probe 3 bestimmt. Aufgabe 8: Es wurde im Rahmen des Drude Modells (klassisches Auffassen der Bindung eines Elektrons an das Atom als Mechanisches System, verbunden mit einer Feder [1]) der Beitrag der freien Ladungsträger zur Reflexion am Metall und Halbleiter untersucht. Aufgabe 9: Die Intrabandabsorption für Probe 2 und 4 wurde untersucht und daraus die Leitfähigkeitsmassen, die Stromrelaxationszeit und die Dotierungskonzentration bestimmt. IV. AUSWERTUNG Aufgabe 1: In Abb. 3 erkennt man sehr gut die Gasabsorption im Spektrum. Weiterhin ist zu erkennen, dass in den Bereichen von ν = 135 cm 1 bis 19 cm 1 (Bereich 1), sowie ν = 23 cm 1 bis 238 cm 1 (Bereich 2) und ν = 355 cm 1 bis 395 cm 1 (Bereich 3) eine besonders starke Absorption vorherrscht. Die in Bereich 1 und 3 vorherrschende Absorption wird von H 2 O Dampf verursacht (siehe [3]), da Wasserdampf in diesem Bereich die Absorption dominiert. In Bereich 2 ist CO 2 für die Absorption verantwortlich. Aufgabe 2: Zur Bestimmung des Rauschverhältnisses wurden die Da-

5 5 Wellenzahl [cm -1 ] Transmission gemessenes Spektrum Abb. 3: Zu Aufgabe 1. Das Gasabsorptionsspektrum. Die 3 erkenntlichen Bereiche mit stark ausgeprägten Absorptionslinien werden durch unterschiedliche Gase verursacht (siehe Auswertung). Tabelle I: Die Standardabweichungen σ des normierten Spektrums bei Gasgemisch (Luft) im Wellenzahlbereich von 1-6 cm 1 in Abhängigkeit der Anzahl der Scans (N). N σ σ N Tabelle II: Brechzahl von undotiertem GaAs der Dicke 47µm in Abhängigkeit von der Wellenzahl ν, ermittelt aus dem Abstand der Vielfachinterferenzen der normierten Reflexion. Dabei war es nicht möglich Werte über 5 cm 1 abzulesen, da ab diesem Bereich das Rauschen in die Größenordnung der Oszillationen kam. ν/cm 1 Abstand der Peaks/ ν Brechzahl ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±.22 Tabelle III: Brechzahl von n - dotiertem GaAs der Dicke 44µm in Abhängigkeit von der Wellenzahl ν, ermittelt aus dem Abstand der Vielfachinterferenzen der normierten Reflexion. Dabei war es nicht möglich Werte über 5 cm 1 abzulesen, da ab diesem Bereich das Rauschen in die Größenordnung der Oszillationen kam. ν/cm 1 Abstand der Peaks/ ν Brechzahl 1 3.3± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±.14 ten im Bereich von 1 cm 1 bis 6 cm 1 ausgewertet und deren Standardabweichung errechnet, welche das Rauschen repräsentiert. Es wird also ein Konstanter Wert erwartet, wenn man die Standardabweichung mit N multipliziert, falls das Signal - Rausch - Verhältnis mit N besser wird. Dies kann anhand Tab. I bestätigt werden. Es kann jedoch nicht davon ausgegangen werden, dass sich das Verhältnis allgemein mit N verbessert, da eine höhere Anzahl von Scans auch mehr Zeit benötigt, in der sich lokale Gegebenheiten im Spektrometer ändern können. Aufgabe 3: Mit Gl. 14 wurden die Brechzahlen bestimmt, dabei wurde jeweils über 5 Perioden gemittelt. Die Ergebnisse sind in Tab. II, Tab. III und Tab. IV einzusehen. Tabelle IV: Brechzahl von undotiertem Si der Dicke 53µm in Abhängigkeit von der Wellenzahl ν, ermittelt aus dem Abstand der Vielfachinterferenzen der normierten Reflexion. Dabei war es nicht möglich Werte über 45 cm 1 abzulesen, da ab diesem Bereich das Rauschen in die Größenordnung der Oszillationen kam. ν/cm 1 Abstand der Peaks/ ν Brechzahl ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±.23 Aufgabe 4: Die Spektren sind in Abb. 4 erkenntlich. Für hochdo-

6 6 Reflektion GaAs GaAs, n-dotiert Si Si, hochdotiert Im(ε) GaAs GaAs, n-dotiert Si Transmission Re(ε) Abb. 4: Normierte Reflexions- und Transmissionsspektren bei geringer Auflösung (.8 cm 1 ). Es wurde in der Quelle - Strahlteiler - Kombination GK (3 bis 8 cm 1 ) und TQ (1 bis 15 cm 1 ) aufgenommen. Abb. 6: Bestimmung des Real- und Imaginärteils der Dielektrizitätsfunktion aus den Gl. 3 und 4 Abhängig von der Wellenzahl. Die starken Einbrüche folgen somit aus Abb. 5 und sind ebenso unphysikalisch. Extinktionskoeffizient Brechungsindex GaAs GaAs, n-dotiert Si Absorptionskoeffizient GaAs GaAs, n-dotiert Si Abb. 5: Ermittlung der Extinktionskoeffizienten κ und der Brechzahlen n, abhängig von der Wellenzahl. Zur Berechnung wurden zur Anpassung an die Theorie die Nullstellen gesucht (siehe Gl. 15). Die starken Einbrüche kommen daher, dass die Summe von Transmission und Reflexion an diesen Stellen größer 1 ist und sind Messfehlern zu zuschreiben, haben also keinen physikalischen Hintergrund. tiertes Si wurde, wie erwartet, keine Transmission festgestellt, da durch die hohe Dotierung so viele Ladungsträger vorhanden sind, die dementsprechend viele Photonen absorbieren können. Aufgabe 5: Die Ergebnisse sind in den Abb. 5, 6 und 7 dargestellt. Aufgabe 6: Es wurde nach Gl. 17 ausgewertet und dabei E g und p cv an die Messwerte angepasst (Ausgleichsgerade). Es ergab sich eine Bandlücke von ν g = (11165 ± 1) cm 1 Abb. 7: Zur Bestimmung des Absorptionskoeffizienten aus κ nach Gl. 8 bei verschiedenen Wellenzahlen. Die Graphen repräsentieren die Proben 1 bis 3. für Probe 1 und ν g = (117 ± 8) cm 1 für Probe 2. Das Impulsmatrixelement ergab sich zu für Probe 1 und für Probe kg m p cv = (1.93 ±.8) 1 s 25 kg m p cv = (2.2 ±.5) 1 s (21) (22) Aufgabe 7: Für die Bandlücke und Phononenfrequenz des Siliziums

7 7 6e+56 5e+56 Messkurve Ausgleichsgerade 1 Metall mit τ = 1 ns Halbleiter mit τ =.1 ns (ε ω 2 ) 2 in s -4 4e+56 3e+56 2e+56 Reflektion e ν / ν P Abb. 8: Bestimmung von Bandlücke und Impulsmatrixelement. Der Fehler ergibt sich aus der minimalen und maximalen Steigung der Fitgeraden. Reflektion τ =.1 ps τ =.5 ps τ =.1 ps τ =.1 ps ν / ν P Abb. 9: Reflexion am Metall in Abhängigkeit der Photonenfrequenz normiert auf die Plasmafrequenz bei verschiedenen Stromrelaxationszeiten. Dabei ist erkenntlich, dass höhere Relaxationszeiten eine scharfe Kante ergeben und mit zunehmender Zeit immer weicher werden. Der Grund dafür ist im Lorentz - Drude Modell zu suchen, denn größere Zeiten bedeuten geringere Dämpfung, was die Plasmafrequenz schärfer definiert. errechnet nach Gl. 18 sich ein Wert von: und Aufgabe 8: ν g = (885 ± 5) cm 1 (23) ν ph = (44 ± 5) cm 1 (24) Es war die Reflexion im Zusammenhang mit den freien Ladungsträgern und in Variation der Stromrelaxationszeit zu untersuchen. Die Reflexion bei verschiedenen Abb. 1: Reflexion am Halbleiter in Abhängigkeit der Photonenfrequenz normiert auf die jeweilige Plasmafrequenz im Vergleich zur Metallplasmakante. Der Theorie gemäß steigt die Reflexion des Halbleiters nach Einbruch bei der Plasmakante wieder und nimmt einen Konstanten Wert an, während beim Metall keine Steigung mehr zu erkennen ist. Stromrelaxationszeiten am Metall ist in Abb. 9 zu erkennen, die am Halbleiter in Abb. 1 ersichtlich. Erkenntlich beim Metall ist die zunehmende Schärfe der Plasmakante bei zunehmender Stromrelaxationszeit. Man kann dies mit dem Lorentz - Drude Modell erklären, da höhere Relaxationszeiten eine kleinere Dämpfung der Elektronenschwingung bedeuten. Dadurch ist bei hoher Dämpfung (kurze Relaxationszeit) eine weichere Kante zu erkennen, da die Plasmaschwingungen schnell abgedämpft werden. Des Weiteren ersichtlich ist der Anstieg der Reflexion bei Halbleitern nach Einbruch an der Plasmakante wieder steigt und gegen einen konstanten Wert geht. Aufgabe 9: Es wurde mit den Gl. 7, 12, 13 und 2 ausgewertet, unter Benutzung der Beziehung N = ǫ(ω). Aus diesem theoretischen Modell lassen sich die gesuchten Werte berechnen. Dabei ist beim GaAs eine Dotierungsdichte von n e = (1. ±.5) 1 18 cm 3 (25) berechnet worden, sowie eine Stromrelaxationszeit von und eine Leitfähigkeitsmasse τ = (.8 ±.3) 1 12 s (26) m L = (.67 ±.2) m e (27) Für das hochdotierte Silizium ergab sich n e = (62 ± 3) 1 18 cm 3 (28) τ = (.11 ±.5) 1 12 s (29) m L = (.26 ±.5) m e. (3)

8 8.8.7 Messung Theorie V. ZUSAMMENFASSUNG Reflektion Abb. 11: Experimentelle und theoretische Reflexionskurve der Probe 4. Dabei wurden die Kurven durch Variation der Parameter so gut es ging aneinander angepasst. Dabei ist die Leitfähigkeitsmasse des Si gemäß der Theorie nach Gl. 11 berechnet worden. Die dazugehörigen Graphen finden sich in Abb. 11. Es konnte verifiziert werden, dass das Signal - Rausch - Verhältnis mit N besser wird, wobei eine längere Messzeit wieder neue Fehler mit sich bringt. Die Ergebnisse der Brechzahlen liegen in Realistischen Größenordnungen und werden durch die Fehler der Ableseungenauigkeit der Wellenzahl sowie der Bestimmung der Peakanzahl beieinflusst. Dabei ist letzterer Fehler nicht zu unterschätzen, da bei zunehmenden Wellenzahlen das Rauschen die Oszillationen immer stärker störte und ein Ablesen erschwerte. Die Fehler bei den Bandlücken werden gemäß der Theorie durch den Urbach - Tail, sowie evtl. Exzitonen verursacht. weitere Fehler resultieren aus dem Konfidenzbereich der einzelnen Parameter. Der große Fehler von 11.4% den man bei der Phononenfrequenz (ν ph = (44 ± 5) cm 1 ) erhält, rühert daher, dass der Fit sich nur wenig verändert, wenn man die Phononenfrequenz variiert. Die Fehler beim Angleichen der Theorie- und Experimentkurven wird durch die Subjektivität bei der Wahl der Parameter bestimmt. [1] Batke, Edwin: Festkörperoptik [2] Batke, E. ; Reinert, F.: Fortgeschrittenenpraktikum SS [3] htm#absorptionsbande