Spiel- und Entscheidungstheorie

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1 Spiel- und Entscheidungstheorie Herbsttrimester 2014 Stand: 24. November 2014 Prof. Dr. Gabriel Frahm Helmut-Schmidt-Universität Fächergruppe Mathematik/Statistik Lehrstuhl für Angewandte Stochastik und Risikomanagement

2 Infos zur Veranstaltung Zur Veranstaltung Name: Zielgruppe: Spiel- und Entscheidungstheorie Master BWL im 10. Trimester in den Studienschwerpunkten MOIN, LM und RM Vorlesung: Montags, 17:30 19:00 Uhr im Raum 301 Beginnt am Übung: Donnerstags, 10:45 12:15 Uhr im Raum 101 Beginnt am Prüfung: Klausur am Infos: 1/274

3 Infos zur Veranstaltung Literatur Entscheidungstheorie: Eisenführ, F., Weber, M. und Langer, T. (2010): Rationales Entscheiden, 5. Auflage, Springer. Peterson, M. (2009): An Introduction to Decision Theory, Cambridge University Press. Spieltheorie: Rieck, C. (2010): Spieltheorie, 11. Auflage, Christian Rieck Verlag. Osborne, M.J. (2009): An Introduction to Game Theory, Oxford. 2/274

4 Entscheidungstheorie Leonard J. Savage ( ) John von Neumann ( ) Oskar Morgenstern ( ) 3/274

5 Gliederung Entscheidungstheorie 4/ Motivation 1.1. Problemanalyse 1.2. Der Rationalitätsbegriff Prozedurale Rationalität Konsistenz 1.3. Entscheidungssituationen Entscheidungen unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit 1.4. Verzerrte Wahrnehmung 1.5. Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Die Multiplikationsregel Die Additionsregel Der Satz von Bayes 2. Die Komponenten eines Entscheidungsproblems 2.1. Ziele und Präferenzen Zusammenhang Zielkonflikte

6 Gliederung Title Zeitpräferenzen Risikopräferenzen Nutzenfunktionen 2.2. Handlungsalternativen Die Alternativenmenge Strategien 2.3. Umweltzustände Die Ergebnismenge Szenarien 2.4. Handlungskonsequenzen 3. Problemstrukturierung 3.1. Problemvereinfachung Ereignisbaum Ursachenbaum Einflussdiagramm 3.2. Problemdarstellung Entscheidungsmatrix 5/274

7 Gliederung Title 6/ Entscheidungsbaum 3.3. Zusammenfassung 4. Das Dominanzprinzip 5. Entscheidungen unter Ungewissheit 5.1. Die Maximin-Regel 5.2. Die Regel des kleinsten Bedauerns 6. Entscheidungen unter Risiko 6.1. Das Sankt-Petersburg-Paradoxon 6.2. Der Erwartungsnutzen Das Vollständigkeits- und Transitivitätsaxiom Das Konvexitätsaxiom Das Unabhängigkeitsaxiom Herleitung der Nutzenfunktion 6.3. Die Einstellung zum Risiko Sicherheitsäquivalent Risikoprämie

8 Gliederung Title Die drei Risikotypen 6.4. Nutzeninvarianz Lage- und Skaleninvarianz Das Arrow-Pratt-Maß Konstante Risikoaversion 6.5. Ausgewählte Nutzenfunktionen Quadratische Nutzenfunktion CARA-Nutzenfunktion CRRA-Nutzenfunktion HARA-Nutzenfunktion 7. Ermittlung der optimalen Alternative 7.1. Entscheidungsmatrix 7.2. Entscheidungsbaum 8. Fazit 7/274

9 Motivation Problemanalyse Problemanalyse Jedes Entscheidungsproblem lässt sich zunächst in einzelne Komponenten zerlegen: 1. Ziele und Präferenzen: Welche Ziele verfolgt der Entscheidungsträger und wie wägt er zwischen den einzelnen Zielen ab? 2. Handlungsalternativen: Welche Möglichkeiten stehen dem Entscheidungsträger zur Verfügung? 3. Umweltzustände: Welche Zustände können in der Zukunft eintreten und wie wahrscheinlich sind diese? 4. Handlungskonsequenzen: Welche Konsequenzen hat sein Handeln in Verbindung mit den wahrscheinlichen Zuständen? 8/274

10 Motivation Problemanalyse Typischerweise herrscht Unsicherheit bezüglich der möglichen Handlungskonsequenzen, sowie der künftigen Umweltzustände. Die Handlungskonsequenzen sind desto unsicherer, je komplexer die Entscheidungssituation ist. Meistens kann man den künftigen Umweltzuständen keine objektive Wahrscheinlichkeit beimessen. Die Anzahl der Handlungsalternativen kann entweder zu klein ( Dilemma ) oder zu groß ( Qual der Wahl ) sein. Oft verfolgt man mehrere Ziele gleichzeitig, welche jedoch im Konflikt zueinander stehen können. Menschen tun sich außerdem schwer damit, ihre Präferenzen klar zu artikulieren. Daher versagt der gesunde Menschenverstand in komplexen Entscheidungssituationen. 9/274

11 Motivation Problemanalyse Man unterscheidet zwischen der präskriptiven und der deskriptiven Entscheidungstheorie. Die präskriptive Entscheidungstheorie schreibt vor, wie ein Individuum zu entscheiden hat. Die deskriptive Entscheidungstheorie beschreibt hingegen, wie Individuen tatsächlich ihre Entscheidungen herbeiführen. Die präskriptive Entscheidungstheorie spielt in vielen Disziplinen eine wichtige Rolle, z. B. in der Ökonomie Politik Medizin Ingenieurwissenschaft Wir konzentrieren uns in dieser Vorlesung auf die präskriptive Entscheidungstheorie. Dabei setzen wir voraus, dass der Entscheidungsträger eine rationale Entscheidung anstrebt. 10/274

12 Motivation Der Rationalitätsbegriff Der Rationalitätsbegriff Rationales Vorgehen verbessert tendenziell die Erfolgsaussicht einer Entscheidung. Rationalität ist allerdings kein klarer Begriff. Dieser muss zunächst definiert werden. Man spricht von einer rationalen Entscheidung, wenn sie bestimmten Kriterien genügt. Im Folgenden werden zwei Kriterien vorgestellt, anhand derer man feststellen kann, ob eine Entscheidung rational ist oder nicht: 1. Prozedurale Rationalität und 2. Konsistenz. Eine rationale Entscheidung muss beiden Kriterien genügen. 11/274

13 Motivation Der Rationalitätsbegriff Prozedurale Rationalität 1. Problemrelevanz: Löst der Entscheider das richtige Problem? 2. Nutzenorientierung: Ist er sich über seine eigenen Ziele und Präferenzen im Klaren? 3. Informationsverarbeitung: a) Diligenz: Hat er in die Beschaffung und Verarbeitung von Informationen genügend Ressourcen investiert? b) Objektivität: Hat er dabei versucht, relevante und objektive Informationen in Betracht zu ziehen? c) Invarianz: Ist seine Entscheidung von der Darstellungsform des Problems unabhängig? d) Neutralität: Ist er neutral gegenüber künftigen Umweltzuständen oder lässt er sich von Furcht bzw. Hoffnung treiben? 12/274

14 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel: Diligenz Sie überlegen, sich ein neues Handy zu kaufen. Verfügen Sie über eine profunde Marktübersicht? Haben Sie alle geeigneten Produkte unter die Lupe genommen? Wie sieht es mit Test- und Erfahrungsberichten aus? Sind Sie sich über die technische Ausstattung der einzelnen Modelle im Klaren? Haben Sie Erwartungen hinsichtlich der künftigen Kompatibilität bezüglich Soft- und Hardware? Falls Sie auch einen (neuen) Handy-Vertrag ins Auge fassen: Kennen Sie sich im Tarif-Jungle aus? 13/274

15 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel: Objektivität Ist die Information relevant? Nein Ja Ist die Information objektiv? Nein Ja Information verifizieren wahr falsch Information verwenden Information verwerfen 14/274

16 Motivation Der Rationalitätsbegriff Gegenbeispiel: Subjektivität Subjektivität spielt eine große Rolle im Entscheidungsprozess. Sie beeinflusst sowohl die Formulierung von Zielen und Präferenzen, als auch die Bildung von Erwartungen hinsichtlich künftiger Zustände. In vielen Situationen sind objektive Informationen zwar relevant, jedoch schlichtweg nicht verfügbar. In diesen Fällen kann man auf subjektive Informationen zurückzugreifen. Eine rationale Entscheidung, welche auf subjektiven Informationen beruht, muss von einem objektiven Standpunkt aus betrachtet nicht zwangsläufig optimal sein! Optimalität ist stets eine Frage der zugrundeliegenden Informationen und damit von Natur aus relativ. 15/274

17 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel: Invarianz Entscheidungsprobleme lassen sich oft auf unterschiedliche Weisen darstellen. Z. B. kann die Wirkung einer Impfung gegen eine Epidemie als Prozentsatz der durch die Impfung Geretteten oder als Prozentsatz der trotz Impfung Gestorbenen ausgedrückt werden. Die Darstellung des Entscheidungsproblems ist äquivalent. Die Entscheidung zugunsten oder gegen eine Impfung darf demnach nicht von der gewählten Darstellungsform abhängen. 16/274

18 Motivation Der Rationalitätsbegriff Angenommen, der Ausbruch einer ungewöhnlichen Asiatischen Krankheit steht bevor. Sie wird vermutlich 600 Todesopfer fordern. Zwei Gegenmaßnahmen stehen zur Verfügung: 1. Maßnahme A: 200 Menschen werden gerettet. 2. Maßnahme B: Mit Wahrscheinlichkeit 1/3 werden alle gerettet und mit Wahrscheinlichkeit 2/3 wird keiner gerettet. Die meisten Menschen werden Maßnahme A bevorzugen. Wenn Aussage 1 durch 1. Maßnahme A: 400 Menschen werden sterben. ersetzt wird, fällt die Entscheidung allerdings öfter zugunsten von Maßnahme B aus. 17/274

19 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel: Neutralität Ein Anleger will Aktien, die derzeit bei 300 E notieren, nicht verkaufen, weil er die Aktien vor einem Jahr für 400 E gekauft hat. Er hofft nun, dass das alte Preisniveau wieder erreicht wird. Bei dem Kursrückgang von 400 E auf 300 E handelt es sich um sogenannte Sunk Costs. Angenommen der Anleger hätte sich geirrt und er stellt auf einmal fest, dass er die Aktien in Wahrheit für 150 E gekauft hat. Daraufhin entscheidet er sich nun doch, die Aktien zu verkaufen, weil er befürchtet, dass ihm der Gewinn entgeht. In beiden Fällen handelt der Entscheider irrational, denn seine Entscheidung beruht auf der Hoffnung auf eine positive bzw. der Furcht vor einer negativen Preisentwicklung. 18/274

20 Motivation Der Rationalitätsbegriff Konsistenz Konsistenz bedeutet Widerspruchsfreiheit. Damit sind die einer Entscheidung zugrundeliegenden Prämissen gemeint. Dies betrifft insbesondere den Umgang mit 1. Wahrscheinlichkeiten und 2. Präferenzen. Wir werden im Folgenden hauptsächlich von subjektiven Wahrscheinlichkeiten Gebrauch machen. Präferenzen sind bereits per definitionem subjektiv. 19/274

21 Motivation Der Rationalitätsbegriff Konsistente Wahrscheinlichkeiten Sei (Ω, A, P) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum. Hierbei ist Ω eine Ergebnismenge, A eine Ereignismenge und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß. D. h. es gilt Ω sowie 1. Ω A, 2. A A A A und 3. A 1, A 2,... A i=1 A i A. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist konsistent, wenn es den Kolmogoroffschen Axiomen genügt: 1. P(Ω) = 1, 2. P(A) 0 für alle A A und 3. P ( i=1 A i) = i=1 P(A i) für alle paarweise disjunkten Ereignisse A 1, A 2,... A. Daraus folgen die üblichen Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten (siehe z. B. Formelsammlung). 20/274

22 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel Linda ist 31 Jahre alt, Single, geradeheraus und sehr intelligent. An der Uni hatte sie Philosophie als Hauptfach. Sie zeigt ein großes soziales Engagement (z. B. setzt sie sich gegen Diskriminierung ein und nimmt an Anti-Atom-Demonstrationen teil). Welche Feststellung ist wahrscheinlicher? 1. Linda ist Bankkassiererin oder 2. Linda ist Bankkassiererin und aktiv in der Frauenbewegung tätig. 21/274

23 Motivation Der Rationalitätsbegriff Einige Menschen würden intuitiv die zweite Feststellung für wahrscheinlicher halten. Dieser Vermutung liegt allerdings ein inkonsistenter Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. Feststellung 2 beinhaltet nämlich 1 und damit gilt P(2) P(1). Es könnte aber auch sein, dass die erste Feststellung in vielen Fällen einfach falsch interpretiert wird, nämlich im Sinne von 1. Linda ist Bankkassiererin und nicht aktiv in der Frauenbewegung tätig. 22/274

24 Motivation Der Rationalitätsbegriff Konsistente Präferenzen Die Präferenzen eines Entscheiders sind konsistent, wenn sie den Von-Neumann-Morgenstern-Axiomen genügen: 1. Vollständigkeit: Für alle gegebenen Alternativen a und b muss der Entscheider entweder a oder b vorziehen. 2. Transitivität: Zieht der Entscheider a gegenüber b vor und b gegenüber c, so muss er auch a gegenüber c vorziehen. 3. Konvexität: Zieht der Entscheider a gegenüber b vor und b gegenüber c, so muss es eine konvexe Kombination von a und c geben, die gleichwertig zu b ist. 4. Unabhängigkeit: Die Präferenz von a gegenüber b darf nicht von einer dritten Alternativen c abhängen. 23/274

25 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel: Vollständigkeit Angenommen Sie sitzen in einem Restaurant und studieren die Speisekarte. Sie wählen nun willkürlich zwei Gerichte aus: Seezunge und Hamburger. Entweder Sie finden nun die Seezunge besser als den Hamburger oder den Hamburger besser als die Seezunge. Sie dürfen auch indifferent, also gleichgültig gegenüber den beiden Alternativen sein. Vollständigkeit setzt voraus, dass Sie für jedes beliebige Paar von Gerichten auf der Speisekarte eine Präferenz besitzen. 24/274

26 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel: Transitivität Mag man Seezunge lieber als Hamburger und Hamburger lieber als Grießbrei, so sollte man die Seezunge auch dem Grießbrei vorziehen. Gegenbeispiel: Ein Professor schaut sich nach einer anderen Stelle um. Das Gehalt wird bei seiner Entscheidung die Hauptrolle spielen. Falls die gehaltlichen Unterschiede nicht allzu groß sind, wird er sich für die Uni mit dem besseren Prestige entscheiden. Sind die Präferenzen des Professors rational? 25/274

27 Motivation Der Rationalitätsbegriff Uni Gehalt Prestige E niedrig E hoch E mittel Stellenangebote Wegen des größeren Gehalts zieht er 1 gegenüber 2 vor. Er zieht 2 gegenüber 3 vor, weil der Gehaltsunterschied zwischen diesen beiden Unis nicht allzu groß ist. Allerdings zieht er 3 gegenüber 1 vor. Begründung: Der Gehaltsunterschied ist hierbei ebenfalls klein, allerdings hat 3 das bessere Prestige. Somit hat er keine konsistenten Präferenzen. 26/274

28 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel: Konvexität Gegeben seien die drei folgenden Urlaubsorte: a. Malediven b. Ostsee c. Irak Angenommen Sie finden die Malediven besser als die Ostsee und die Ostsee besser als den Irak. Sie wägen nun ab, ob Sie entweder b. mit Sicherheit an die Ostsee fahren oder d. mit der Wahrscheinlichkeit p auf die Malediven und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1 p in den Irak fliegen. Es muss nun eine Wahrscheinlichkeit p [0, 1] geben, so dass Sie indifferent hinsichtlich der beiden Alternativen b und d sind. Alternative d wird als konvexe Kombination bezeichnet. 27/274

29 Motivation Der Rationalitätsbegriff Beispiel: Unabhängigkeit Auf der Speisekarte stehen lediglich Lachs und Wiener Schnitzel. Ein Gast bestellt den Lachs. Daraufhin teilt ihm der Kellner mit, dass es heute ausnahmsweise auch Kassler gibt. Der Gast befürchtet, dass der Kellner ihm irrtümlicherweise den Kassler servieren wird und überdenkt seine Wahl. Daraufhin revidiert er seine Entscheidung zugunsten des Wiener Schnitzels. Ein solches Verhaltensmuster ist nicht rational. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Kellner sich irrt, nicht von der Bestellung des Gastes abhängt. 28/274

30 Motivation Entscheidungssituationen Entscheidungen unter Sicherheit 29/274

31 Motivation Entscheidungssituationen Entscheidungen unter Unsicherheit Künftige Ereignisse können oft nicht vorhergesehen werden. Man muss dann eine Entscheidung unter Unsicherheit treffen. Hierbei wird unterschieden, ob 1. die künftigen Umweltzustände bekannt und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten gegeben sind (Risiko), 2. die Umweltzustände bekannt, jedoch die Wahrscheinlichkeiten nicht gegeben sind (Ungewissheit), oder 3. sogar die Umweltzustände unbekannt sind (Unkenntnis). 30/274

32 Motivation Entscheidungssituationen Unsicherheit 31/274

33 Motivation Entscheidungssituationen Risiko 32/274

34 Motivation Entscheidungssituationen Ungewissheit 33/274

35 Motivation Entscheidungssituationen Unkenntnis 34/274

36 Motivation Entscheidungssituationen Beispiele Risiko: Der Ausgang eines Roulette-Spiels kann durch 0, 1,..., 36 gekennzeichnet werden. Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d. h. die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beträgt 1/37. Ungewissheit: Die künftige Rendite einer Aktie kann lediglich ein Wert im Intervall [ 1, [ sein ( 1 bedeutet hierbei Insolvenz). Die Verteilung der Rendite ist allerdings unbekannt. Unkenntnis: Der Ausgang eines Spiels hängt von einem Würfel ab. Der Spieler weiß allerdings nicht, wie viele Seiten der Würfel hat. 35/274

37 Motivation Verzerrte Wahrnehmung Outcome Bias Die Güte einer Entscheidung unter Unsicherheit kann nicht an ihrem Erfolg oder Misserfolg gemessen werden! Z. B.: Spekulation am Kapitalmarkt. Selbst eine gute Investition kann zu einem Verlust führen. Outcome Bias: Die Neigung des Menschen, die Güte einer Entscheidung an ihrem Erfolg oder Misserfolg zu messen. Hierbei werden Erfolg und Rationalität miteinander verwechselt. Wir gehen allerdings davon aus, dass Erfolg und Rationalität positiv korreliert sind. D. h. Rationalität verbessert i. d. R. die Erfolgsaussicht einer Entscheidung. 36/274

38 Motivation Verzerrte Wahrnehmung Hindsight Bias Durch das Ergebnis einer Entscheidung unter Unsicherheit werden oft neue Informationen offen gelegt. Z. B.: Elfmeterschießen im Fußball. Im Nachhinein ist immer klar, in welche Richtung der Ball geschossen wurde. Hindsight Bias: Die Neigung des Menschen, hinterher zu glauben, er oder andere hätten es vorher besser wissen müssen. Hierbei wird das A-Priori-Wissen des Entscheidungsträgers mit dem A-Posteriori-Wissen verwechselt. Sowohl der Outcome Bias als auch der Hindsight Bias sind typische Phänomene bei Stammtischen und in Expertenrunden. 37/274

39 Motivation Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Die Multiplikationsregel Im Folgenden seien A, B A zwei Ereignisse mit P(A), P(B) > 0. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A und B wird mit P(A B) symbolisiert. Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B beträgt P(A B) = P(A B) P(B). Daraus folgt die Multiplikationsregel P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A). 38/274

40 Motivation Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Beispiel Die Variable X bezeichne die wirtschaftliche Entwicklung eines Landes: 1, Depression, X = 2, Stagnation, 3, Aufschwung. Darüber hinaus stehe Y für den Ausgang der nächsten Parlamentswahl: { 1, konservativ, Y = 2, sozialistisch. 39/274

41 Motivation Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Es seien die folgenden (subjektiven) Wahrscheinlichkeiten gegeben: P(X = 1) = 0.2, P(X = 2) = 0.65, P(X = 3) = Der Wahlausgang hängt von der wirtschaftlichen Entwicklung ab. Es ist zu vermuten, dass die Sozialisten eine größere Chance haben, wenn sich die Wirtschaft schlecht entwickelt. Um diesen Effekt zu quantifizieren, bildet man subjektive bedingte Wahrscheinlichkeiten. 40/274

42 Motivation Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Die bedingten Wahrscheinlichkeiten seien P(Y = 1 X = 1) = 0.4, P(Y = 2 X = 1) = 0.6, P(Y = 1 X = 2) = 0.5, P(Y = 2 X = 2) = 0.5, P(Y = 1 X = 3) = 0.6, P(Y = 2 X = 3) = 0.4. Daraus lassen sich mittels der Multiplikationsregel alle weiteren notwendigen Wahrscheinlichkeiten herleiten. Z. B. beträgt die Wahrscheinlichkeit für Aufschwung und sozialistischer Wahlsieg P(X = 3, Y = 2) = P(Y = 2 X = 3) P(X = 3) = Man erhält damit eine Wahrscheinlichkeitstabelle. 41/274

43 Motivation Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Y 1 2 Σ X Σ Wahrscheinlichkeitstabelle 42/274

44 Motivation Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Stochastische Unabhängigkeit Die Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn Es gilt dann P(A B) = P(A) P(B). P(A B) = P(A) und P(B A) = P(B). D. h. im Falle der Unabhängigkeit hängt die Wahrscheinlichkeit von A nicht von B ab und vice versa. Die Kenntnis von B liefert also keine zusätzliche Information bezüglich der Wahrscheinlichkeit von A und umgekehrt. 43/274

45 Motivation Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Die Additionsregel Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A oder B wird mit P(A B) symbolisiert. Die dazugehörige Wahrscheinlichkeit lässt sich mit Hilfe der Additionsregel berechnen: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Damit lässt sich P(A B) durch einfache Addition, z. B. in einer Wahrscheinlichkeitstabelle, berechnen. Eine andere Variante der Additionsregel ist P(A B) = 1 P(A B) = 1 P(Ā B). 44/274

46 Motivation Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Die Bayes-Formel Die Wahrscheinlichkeit von A gegeben B lässt sich auch mit der Bayes-Formel berechnen: P(A B) = P(B A) P(A) P(B). Die Bayes-Formel ist nützlich wenn man die sogenannte Likelihood P(B A) bereits kennt. Hierbei wird P(A) als A-Priori-Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Ferner ist P(B) die Evidenz und das gesuchte Ergebnis P(A B) nennt man A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit. 45/274

47 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Problemzerlegung Entscheidungsprobleme lassen sich in Komponenten zerlegen: 1. Ziele und Präferenzen, 2. Handlungsalternativen, 3. Umweltzustände, 4. Handlungskonsequenzen. Man modelliert zunächst die einzelnen Komponenten und fügt die entsprechenden Modelle anschließend zusammen. Auf diese Weise erhält man ein Gesamtmodell für das Problem. 46/274

48 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Ziele und Präferenzen Zusammenhang von Zielen und Präferenzen Ziele: Die vom Entscheidungsträger angestrebten Konsequenzen seiner Entscheidung. Präferenz: Die persönliche Einstellung des Entscheidungsträgers gegenüber den möglichen Konsequenzen seiner Entscheidung. Entscheidungsträger sind sich über ihre eigenen Ziele und Präferenzen oft nicht im Klaren. Beispiel: Ist ein Investor nur am monetären Aspekt interessiert oder verfolgt er darüber hinaus auch moralische Ziele? Beispiel: Ist er profitorientiert oder eher konservativ? Nachdem man die Menge der relevanten Ziele bestimmt hat, muss man festlegen, wie diese gemessen werden sollen. 47/274

49 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Ziele und Präferenzen Beispiel: Soll ein Vermögen in E oder in $ bewertet werden? Solche Messgrößen werden als Zielgrößen oder Zielvariablen bezeichnet. Hingegen wird die Realisation einer Zielvariablen als Wert bezeichnet und im Folgenden mit x symbolisiert. Oft steigt oder fällt die Wertschätzung monoton mit x. Beispiele: Je mehr Geld, desto besser; je weniger Schmerzen, desto besser; etc. Manchmal ist die Wertschätzung keine monotone Funktion von x. Beispiel: Strandurlaub. Kälte ist schlecht, zu viel Hitze aber auch. 48/274

50 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Ziele und Präferenzen Zielkonflikte Verfolgt man mehrere Ziele gleichzeitig, so stehen diese oft in einem Konflikt zueinander. Beispiel I: Bei einer Kapitalanlage möchte man auf der einen Seite viel Profit erzielen, auf der anderen Seite jedoch wenig Risiko in Kauf nehmen. Beispiel II: Man möchte als Chef einen kompetenten und zugleich einen teamfähigen Mitarbeiter gewinnen. 49/274

51 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Ziele und Präferenzen Zeitpräferenzen Die Folgen einer Entscheidung können sich über einen bestimmten Zeitraum erstrecken. Menschen sind i. d. R. nicht indifferent hinsichtlich der zeitlichen Verteilung von Handlungskonsequenzen. Beispiel: Jemand überlegt, ob er einen Teil seines Einkommens in die Altersvorsorge investiert oder lieber gleich ausgibt. Die meisten Menschen wollen einen gegebenen Geldbetrag lieber frühzeitig zur Verfügung haben (Liquiditätspräferenztheorie). Die Wirkung von Zeitpräferenzen auf die Zinsstruktur wird in der Vorlesung Finanz- und Versicherungsmathematik diskutiert. 50/274

52 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Ziele und Präferenzen Risikopräferenzen Bei Entscheidungen unter Unsicherheit spielt die Einstellung des Entscheiders zum Risiko eine bedeutende Rolle. Jede Alternative repräsentiert ein Bündel möglicher Konsequenzen (mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten). In der Entscheidungstheorie spricht man dabei von Lotterien. Beispiel: 1. Lotterie: Risikolose Anleihe mit einem Zinssatz von 5%, 2. Lotterie: Aktie mit einer erwarteten Rendite von 10% und einer Volatilität von 20%. Wir konzentrieren uns im Folgenden auf Risikopräferenzen und blenden Zeitpräferenzen aus. 51/274

53 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Ziele und Präferenzen Nutzenfunktionen In der Entscheidungstheorie wird die Präferenz eines Entscheidungsträgers durch eine Nutzenfunktion ausgedrückt: u : R R x u(x). Deswegen wird u(x) als Nutzen ( Utility ) von x bezeichnet. Die Nutzenfunktion eines Entscheidungsträgers kann auf Basis von Axiomen rationalen Handelns hergeleitet werden. Wir gehen im Folgenden o. B. d. A. lediglich von einer einzigen Zielvariablen aus und nehmen an, dass u streng monoton steigt. 52/274

54 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Ziele und Präferenzen Vorteile gegenüber Ad-Hoc-Regeln: 1. Nutzenfunktionen bilden die tatsächlichen Präferenzen des Entscheiders ab und 2. die Bewertung der Alternativen lässt sich axiomatisch, d. h. auf der Grundlage allgemein anerkannter Postulate, begründen. Wir werden uns im Laufe der Vorlesung mit diversen Nutzenfunktionen und deren Eigenschaften auseinandersetzen. 53/274

55 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Handlungsalternativen Die Alternativenmenge 54/274 Der Entscheidungsträger hat die Möglichkeit, sich für eine Handlungsalternative (kurz: Alternative ) zu entscheiden. Wir bezeichnen die Alternativenmenge mit A und einzelne Alternativen mit a, b, c,... A. Eine Entscheidung bedeutet die Auswahl einer Alternative aus der gegebenen Alternativenmenge. Alternativen müssen sich gegenseitig ausschließen. Mittags essen gehen und Abends fernsehen sind also keine Alternativen. Man kann allerdings Mittags essen gehen und Abends fernsehen zu Alternativen kombinieren: a. Mittags essen gehen und Abends fernsehen. b. Mittags essen gehen und Abends lesen. c. Mittags zuhause essen und Abends fernsehen. d. Mittags zuhause essen und Abends lesen.

56 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Handlungsalternativen Title Alternativen sind oft natürlich gegeben. Beispiel: Ein Manager möchte pünktlich um 9:00 Uhr zu einem Meeting gelangen. Seine Alternativen sind: 1. Fahre mit dem Auto um 8:00 Uhr, 2. fahre mit dem Zug um 7:49 Uhr oder 3. fahre mit einem früheren Zug um 7:28 Uhr. Manchmal muss man erst nach geeigneten Alternativen suchen. Beispiel: Autokauf. In diesem Fall muss man eine Menge an geeigneten Angeboten zusammenstellen. Möglicherweise muss man Alternativen sogar generieren. Beispiel: Ein Gesellschaftsvertrag soll aufgesetzt werden, ohne Verwendung eines Mustervertrags. In der Praxis stellt die Konstruktion der Alternativenmenge wiederum ein Entscheidungsproblem dar: Man muss sich entscheiden, wann man damit aufhört. 55/274

57 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Handlungsalternativen Title Oft ist die Alternativenmenge sogar zu groß, um die einzelnen Alternativen vernünftig abzuwägen. Beispiel: Man erhält Hunderte von Bewerbungen auf eine Stellenausschreibung. In diesen Fällen muss man eine Vorauswahl treffen. 56/274

58 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Handlungsalternativen Strategien Oft zieht eine Handlung die Nächste nach sich. Beispiele: Schach gegen den Computer, Studium, Kapitalanlage über mehrere Perioden. Mehrfache Entscheidungen werden als Strategien bezeichnet. Eine Strategie ist also eine Folge von bedingten Entscheidungen. D. h. die Entscheidung hängt von einer vorherigen Entscheidung oder einem realisierten Ereignis ab. Beispiel: Man besitzt eine Aktie. Steigt der Kurs, liquidiert man den Kursgewinn, sinkt er, kauft man die Aktie nach. 57/274

59 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Umweltzustände Die Ergebnismenge Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Die Ergebnismenge Ω kann endlich, abzählbar oder überabzählbar sein. Der Einfachheit halber gehen wir im Folgenden meistens von einer endlichen Ergebnismenge aus. Jedes Element ω Ω stellt einen Umweltzustand (kurz: Zustand ) dar. Die Zustände sind für den Entscheider i. d. R. nicht vorhersehbar. Die Ereignismenge A beinhaltet alle interessanten Teilmengen von Ω. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ordnet schließlich jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu. 58/274

60 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Umweltzustände Szenarien Genauso wie Entscheidungen können auch Ereignisse mehrfach erfolgen. D. h. basierend auf einem bereits realisierten Ereignis oder einer getroffenen Entscheidung wird ein weiteres Ereignis realisiert. Solche mehrfachen Ereignisse werden als Szenarien bezeichnet. Ein Szenario ist also eine Folge von bedingten Ereignissen. Beispiele: Schach gegen den Computer, Studium, Kapitalanlage über mehrere Perioden. Szenarien können als Strategien der Umwelt aufgefasst werden. 59/274

61 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Umweltzustände Beispiel Sie spielen Schach gegen einen Computer und überlegen, ob Sie zuerst Bauer e2 e4 oder Springer b1 c3 spielen sollen. Der Computer kann sich in Abhängigkeit von Ihrem Zug für einen bestimmten Gegenzug entscheiden. Diese Entscheidung erfolgt (zumindest am Anfang des Spiels) auf Basis eines Zufallsgenerators. Eine Kombination möglicher Gegenzüge des Computers bildet aus Ihrer Sicht ein Szenario. Ein Szenario beinhaltet also für jeden eigenen Zug einen bestimmten Gegenzug des Computers! 60/274

62 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Handlungskonsequenzen Wirkungsmodell Jede Kombination von Alternative und Zustand führt zu einer bestimmten Handlungskonsequenz (kurz: Konsequenz ). Die Konsequenz manifestiert sich gerade im Wert der gegebenen Zielgrößen. In komplexen Situationen ist die Konsequenz einer Handlung jedoch nicht immer klar. In diesen Fällen benötigt man ein Wirkungsmodell. Das Wirkungsmodell ordnet jeder Kombination aus Alternative und Zustand eben genau eine Konsequenz zu. Ein solches Modell kann z. B. eine einfache Gleichung, ein Gleichungssystem oder ein komplizierter Algorithmus sein. 61/274

63 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Handlungskonsequenzen Beispiel Der Gewinn nach Steuern (G) eines Exportunternehmens hängt von den folgenden Variablen ab: 1. Einkaufspreis (k) 2. Verkaufspreis (p) 3. Absatzmenge (q) 4. Steuersatz (s) 5. Wechselkurs (w) Die Absatzmenge ist eine Funktion des Preises, z. B. q(p) = a + bp, a > 0, b < 0. 62/274

64 Die Komponenten eines Entscheidungsproblems Handlungskonsequenzen Das Wirkungsmodell lautet somit G(p) = (1 s) q(p) (pw k) = (1 s) (a + bp) (pw k) = (1 s) (apw ak bkp + bwp 2). Hierbei ist p eine Handlungs- oder Kontrollvariable. Die Größen s, w, k spiegeln hingegen Zustandsvariablen wider. 63/274

65 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Ereignisbaum Ein Ereignisbaum ist eine grafische Verknüpfung mehrerer unsicherer Ereignisse. Auf diese Weise können endlich viele Ereignisse miteinander verknüpft werden. Als Folge dessen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Szenarien anschaulich berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei anhand der Multiplikationsregel. 64/274

66 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Beispiel 65/274

67 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Ursachenbaum Beim Ursachenbaum dreht man den Ereignisbaum gewissermaßen um. Ausgehend von einem gegebenen Ereignis analysiert man sukzessive die dafür in Frage kommenden Ursachen. Auf diese Weise erhält man eine Wahrscheinlichkeit für das betreffende Ereignis. Ursachenbäume werden u. A. zur Risikoeinschätzung von Reaktorunfällen, Flugzeugabstürzen, etc. verwendet. In diesen Zusammenhängen werden sie auch als Fehlerbäume bezeichnet. 66/274

68 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Beispiel Eine Aktiengesellschaft (AG) A besitzt 20% der Anteile an einer AG B, welche eine wesentliche Konkurrenz für A darstellt. Die Manager von A denken daher über ein öffentliches Übernahmeangebot nach. D. h. man möchte den Aktionären von B einen attraktiven Preis für Ihre Anteile anbieten. Nichtsdestotrotz könnte die Übernahme scheitern. Die Gründe hierfür können vielfältig sein. Die Satzung von B enthält eine Stimmrechtsbeschränkung. Das Kartellamt kann die Übernahme verbieten. Der Bundeswirtschaftsminister hat jedoch das Recht, trotz eines Verbots eine Sondererlaubnis für die Übernahme zu erteilen. 67/274

69 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Die Übernahme kann damit an den folgenden Hürden scheitern: I. Eventuell führt der Kauf nicht zu der erhofften Stimmenmehrheit: I.I. Bei der nächsten Hauptversammlung kommt es nicht zu der erhofften Abschaffung der Stimmrechtsbeschränkung. I.II. Es kommt keine Kapitalmehrheit zustande. II. Die Übernahme könnte untersagt werden: II.I. Das Kartellamt verbietet den Zusammenschluss. II.II. Der Bundeswirtschaftsminister erteilt keine Sondererlaubnis für die Übernahme. Diese möglichen Ursachen sind entweder durch ein logisches UND oder ein logisches ODER miteinander verknüpft. 68/274

70 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Ursachenbaum 69/274

71 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Einflussdiagramm Einflussdiagramme dienen ebenso der Problemvereinfachung und werden daher in der frühen Phase eines Entscheidungsproblems eingesetzt. Die Entscheidungsmenge wird hierbei durch ein Viereck symbolisiert. Die Ereignismenge wird durch ein Oval dargestellt. Eine Handlungskonsequenz wird durch eine Raute oder ein Sechseck symbolisiert. 70/274

72 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Komponenten eines Einflussdiagramms 71/274

73 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Beispiel Ein Zulieferer der Automobilindustrie hat ein neues Produkt entwickelt. Er möchte wissen, wie groß seine Produktionskapazität sein soll. Der Preis und die Produktionskosten stehen bereits fest. In Abhängigkeit vom Absatz auf einem lokalen Testmarkt schätzt er die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Absatzmenge im gesamten Bundesgebiet. Er trifft seine Kapazitätsentscheidung anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung. Einzige Zielgröße ist der Gewinn. 72/274

74 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Einflussdiagramm des Zulieferers 73/274

75 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Beurteilung möglicher Standorte für eine Atommülldeponie (Teil I) 74/274

76 Problemstrukturierung Problemvereinfachung Beurteilung möglicher Standorte für eine Atommülldeponie (Teil II) 75/274

77 Problemstrukturierung Problemdarstellung Entscheidungsmatrix Im Folgenden bezeichnen a 1,..., a m A gegebene Alternativen und s 1,..., s n S sind die betrachteten Zustände. Es wird angenommen, dass mit jeder Alternative a i und Zustand s j genau eine Konsequenz x ij (i, j = 1, 2,..., m, n) verbunden ist. Die Entscheidungsmatrix stellt die möglichen Konsequenzen der gegebenen Alternativen dar. Falls die Entscheidung unter Risiko erfolgt, sind darin auch die Zustandswahrscheinlichkeiten p j (j = 1,..., n) enthalten. Entscheidungsmatrizen werden zur Darstellung einfacher Entscheidungen verwendet. 76/274

78 Problemstrukturierung Problemdarstellung Schema einer Entscheidungsmatrix s 1 s 2 s n p1 p2 pn a 1 x 11 x 12 x 1n a 2 x 21 x 22 x 2n.... a m x m1 x m2 x mn 77/274

79 Problemstrukturierung Problemdarstellung Beispiel Ein Verleger steht vor der Frage, wie hoch die Auflage eines Buches sein soll. Als Alternativen betrachtet er Auflagen in Höhe von a {5000, 7000, 9000}. Der Verleger geht davon aus, dass möglicherweise s {4000, 5000,..., 9000} Bücher nachgefragt werden. Er verfolgt lediglich das Ziel der Gewinnmaximierung. Der Verkaufspreis beträgt 15 E, die Fixkosten betragen E und die Produktionskosten je Buch betragen 10 E. Das dazugehörige Wirkungsmodell lautet also G(a, s) = 15 min{a, s} 10 a /274

80 Problemstrukturierung Problemdarstellung Entscheidungsmatrix 79/274

81 Problemstrukturierung Problemdarstellung Entscheidungsbaum Ein Entscheidungsbaum besteht aus den folgenden Symbolen: 1. Vierecke (sog. Entscheidungsknoten), 2. Kreise (sog. Ereignisknoten) und 3. Dreiecke (sog. Endknoten). Von jedem Knoten gehen Linien aus, die zu weiteren Entscheidungs- oder Ereignisknoten führen können. Die Linien münden schließlich in einem Endknoten. Entscheidungsbäume werden zur Darstellung sequentieller Entscheidungen (d. h. Strategien) verwendet. 80/274

82 Problemstrukturierung Problemdarstellung Beispiel Ein Unternehmen steht vor der Frage, ob eine Produktentwicklung fortgesetzt oder abgebrochen werden soll. Annahme I: Die Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Entwicklung (d. h. das Produkt geht in Serie) beträgt 30%. In diesem Fall müsste man entscheiden, ob man eine kleine oder große Produktionskapazität wählt. Annahme II: Die Wahrscheinlichkeit einer großen Nachfrage beträgt 60%. Annahme III: Die Nachfrage hängt nicht von der gewählten Produktionskapazität ab. 81/274

83 Problemstrukturierung Problemdarstellung 82/274

84 Problemstrukturierung Problemdarstellung Eine Strategie besteht aus einer vorgegebenen Abfolge von Entscheidungen als Reaktion auf jedes mögliche Ereignis bzw. jede vorher getroffene Entscheidung. Es handelt sich damit also um eine bestimmte Kombination von verfügbaren Entscheidungen. Ein Szenario besteht dementsprechend aus einer vorgegebenen Kombination von Ereignissen. Szenarien können damit wie bereits erwähnt als Strategien der Umwelt interpretiert werden. Aus dem Zusammentreffen von Strategie und Szenario ergibt sich genau eine Konsequenz. 83/274

85 Problemstrukturierung Problemdarstellung Strategie 84/274

86 Problemstrukturierung Problemdarstellung Szenario 85/274

87 Problemstrukturierung Problemdarstellung Strategie und Szenario 86/274

88 Problemstrukturierung Problemdarstellung Jede Entscheidungsmatrix kann unmittelbar in Form eines Entscheidungsbaums dargestellt werden. Umgekehrt kann auch jeder Entscheidungsbaum in einer Entscheidungsmatrix abgebildet werden. Zu diesem Zweck berechnet man zu jeder Strategie/Szenario-Kombination die entsprechende Konsequenz. Anhand der im Entscheidungsbaum dargestellten bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustände in der Entscheidungsmatrix ermitteln. Allerdings ist die Transformation der Wahrscheinlichkeiten vom Entscheidungsbaum in die Entscheidungsmatrix im Allgemeinen nicht eindeutig! 87/274

89 Problemstrukturierung Problemdarstellung Beispiel a b /274

90 Problemstrukturierung Problemdarstellung Dazugehörige Entscheidungsmatrizen s s s s a b s s s s a b s s s s a b s s s s a b /274

91 Problemstrukturierung Zusammenfassung Zusammenfassung Entscheidungsprobleme werden entweder in Form von Matrizen oder Bäumen dargestellt: Einfache Entscheidungen werden anhand einer Entscheidungsmatrix dargestellt, während mehrfache Entscheidungen mit Hilfe von Entscheidungsbäumen veranschaulicht werden. Prinzipiell kann jeder Entscheidungsbaum in eine Entscheidungsmatrix übersetzt werden und umgekehrt. Die Transformation vom Entscheidungsbaum in die Entscheidungsmatrix ist jedoch i. d. R. nicht eindeutig und man verliert die sequentielle Struktur des Entscheidungsproblems! 90/274

92 Problemstrukturierung Zusammenfassung Nomenklatur Problem Entscheider Umwelt Alternative Zustand einstufig mehrstufig einstufig mehrstufig Entscheidung Strategie Ereignis Szenario 91/274

93 Das Dominanzprinzip Das Dominanzprinzip Ein rationaler Entscheidungsträger muss dem Dominanzprinzip gehorchen: Beinhaltet die Alternative a 1. in allen wahrscheinlichen Umweltzuständen mindestens den gleichen Wert wie die Alternative b und 2. in mindestens einem wahrscheinlichen Umweltzustand einen größeren Wert als b, so dominiert a über b und wird darum vorgezogen. Beachte: Das Dominanzprinzip bezieht sich nur auf Zustände mit Wahrscheinlichkeit größer 0 (wahrscheinliche Zustände). Hingegen spielen unwahrscheinliche Zustände (d. h. solche mit Wahrscheinlichkeit 0) keine Rolle und sollten ignoriert werden! Beachte: Das Dominanzprinzip gilt unabhängig von den individuellen Präferenzen des Entscheiders. 92/274

94 Das Dominanzprinzip Beispiel Sie möchten eine bestimmte Menge Geld anlegen und suchen nach der Investition mit der höchsten erwarteten Rendite. Es gibt n wahrscheinliche Umweltzustände s 1, s 2,..., s n. Die Wahrscheinlichkeit für den Zustand s j beträgt P(s j ) (j = 1, 2,..., n). Die Rendite R einer Investition im Zustand s j wird mit r j symbolisiert (j = 1, 2,..., n). Die erwartete Rendite der betrachteten Investition beträgt damit E(R) = n P(s j ) r j. j=1 Beachte: Die tatsächliche Realisation von R weicht in aller Regel vom Erwartungswert ab! 93/274

95 Das Dominanzprinzip Investition a beinhalte in den künftigen Umweltzuständen mindestens genauso viel Rendite wie Investition b. Außerdem gäbe es einen Zustand, in dem a mehr Rendite abwirft, als b. Damit dominiert Investition a über die Investition b. Man spricht hierbei von einer Arbitragemöglichkeit. D. h. durch einen Kauf von a und einen (Leer-)Verkauf von b kann man eine risikolose Rendite ohne Kapitaleinsatz erzielen. In diesem Fall ist die erwartete Rendite von a zwangsläufig größer, als die von b. Ergo: Der Erwartungswert ist mit dem Dominanzprinzip vereinbar. 94/274

96 Entscheidungen unter Ungewissheit Die Maximin-Regel Die Maximin-Regel Man wählt jene Alternative, die im schlechtesten Fall den größten Wert aufweist. Man bildet also das Maximum aller Minima, kurz: Maximin. Falls die Entscheidung nicht eindeutig ist, sucht man sich die betreffenden Alternativen aus und orientiert sich jeweils am zweitschlechtesten Zustand, etc. (Leximin-Regel). Dies ist eine sehr pessimistische Entscheidungsregel, da man immer vom schlimmsten Fall ausgeht. Beachte: Die Zustandswahrscheinlichkeiten sind hierbei zwar nicht bekannt, nichtsdestotrotz darf man nur wahrscheinliche Zustände in Betracht ziehen! 95/274

97 Entscheidungen unter Ungewissheit Die Maximin-Regel Beispiel Zinsen steigen Zinsen stagnieren Zinsen fallen Aktien Anleihen Geldmarkt Investment-Alternativen und deren Konsequenzen Zinsen Zinsen Zinsen Minimum Aktien Anleihen Geldmarkt Beste Alternative nach der Maximin-Regel 96/274

98 Entscheidungen unter Ungewissheit Die Regel des kleinsten Bedauerns Die Regel des kleinsten Bedauerns Zunächst berechnet man die Opportunitätskosten aller verfügbaren Entscheidungen bezogen auf den ersten Zustand. Das Gleiche macht man bezogen auf den zweiten Zustand, etc., bis alle Opportunitätskosten feststehen. Anschließend wählt man jene Alternative, die im schlimmsten Fall die geringsten Opportunitätskosten aufweist. Die Regel des kleinsten Bedauerns wird daher auch als Minimax-Regret bezeichnet. Sie ist nicht so pessimistisch wie die Maximin-Regel. 97/274

99 Entscheidungen unter Ungewissheit Die Regel des kleinsten Bedauerns Beispiel Zinsen Zinsen Zinsen Aktien Anleihen Geldmarkt Die besten Konsequenzen eines jeden Zustandes Zinsen Zinsen Zinsen Maximum Aktien 3 ( 4) = Anleihen Geldmarkt Opportunitätskosten und Minimax-Regret 98/274

100 Entscheidungen unter Risiko Entscheidungen unter Risiko Im Folgenden wird eine Alternative a A als Zufallsvariable X im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgefasst. Eine Alternative ist somit eine Abbildung X: Ω R. Die Realisation X(ω) spiegelt gerade die Konsequenz der gewählten Alternative wider, falls der Zustand ω Ω eintritt. Eine Realisation von X wird mit x j R (j = 1, 2,..., n) symbolisiert. Jede Alternative beinhaltet damit ein Tupel (x 1, x 2,..., x n ) R n möglicher Konsequenzen. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2,..., p n folgen aus dem (subjektiven) Wahrscheinlichkeitsmaß P. 99/274

101 Entscheidungen unter Risiko Das Sankt-Petersburg-Paradoxon Das Sankt-Petersburg-Paradoxon Eine naheliegende Möglichkeit besteht darin, der Alternative a ihren Erwartungswert beizumessen, d. h. E(X) = n p j x j. j=1 D. h. eine Alternative a 1 würde genau dann gegenüber einer Alternativen a 2 vorgezogen werden, wenn E(X 1 ) > E(X 2 ). Wir haben ja bereits festgestellt, dass der Erwartungswert dem Dominanzprinzip genügt. Nichtsdestotrotz hat Daniel Bernoulli bereits im 18. Jahrhundert gezeigt, dass der Erwartungswert kein zufriedenstellendes Kriterium ist. 100/274

102 Entscheidungen unter Risiko Das Sankt-Petersburg-Paradoxon Beim St. Petersburger Spiel wird eine Münze mit den möglichen Ausprägungen Kopf (K) oder Zahl (Z) geworfen. Erscheint beim ersten Wurf Z, so erhält man 2 E und das Spiel ist bereits vorbei. Andernfalls wird die Münze ein weiteres Mal geworfen. Erscheint beim nächsten Wurf Z, so erhält man 4 E und das Spiel ist beendet. Ansonsten geht es so lange weiter, bis schließlich beim n-ten Wurf Z erscheint. Auf diese Weise erhält man am Ende 2 n E. 101/274

103 Entscheidungen unter Risiko Das Sankt-Petersburg-Paradoxon Das St. Petersburger Spiel 102/274

104 Entscheidungen unter Risiko Das Sankt-Petersburg-Paradoxon Der Erwartungswert der Auszahlung nach n Schritten beträgt also n i=1 ( ) 1 i 2 i = 2 n i=1 ( ) 2 i = 2 n 1 = n. i=1 Für n strebt die Folge {n} gegen unendlich. D. h. der Erwartungswert der Auszahlung bezogen auf das gesamte Spiel ist unendlich groß. Dies suggeriert, dass der Entscheider bereit ist, jeden erdenklichen Betrag einzusetzen, denn es gilt Erwarteter Gewinn = Erwartete Auszahlung Einsatz =. 103/274

105 Entscheidungen unter Risiko Das Sankt-Petersburg-Paradoxon Diesen Effekt wird man im wirklichen Leben jedoch kaum beobachten. Es handelt sich hierbei um das Sankt-Petersburg-Paradoxon. Die im Erwartungswert enthaltene Risikopräferenz spiegelt also nicht das intuitive Entscheidungsverhalten von Menschen wider. Gibt es eine andere Entscheidungsregel, welche die individuelle Risikopräferenz des Entscheiders realitätsnah in den Kalkül einbezieht? Unter realitätsnah versteht man hierbei die Tatsache, dass der Entscheider üblicherweise nicht bereit ist, unendlich viel Geld im St. Petersburger Spiel einzusetzen. 104/274

106 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Der Erwartungsnutzen Die im Folgenden dargestellte Erwartungsnutzentheorie wurde 1944 von John von Neumann und Oskar Morgenstern begründet. Es handelt sich um einen axiomatischen Ansatz. Das bedeutet, man legt eine Menge von Regeln fest und leitet daraus einen geeigneten Kalkül ab. Die besagten Regeln werden hierbei als Postulate rationalen Verhaltens interpretiert. Es handelt sich dabei im Wesentlichen um die bereits erwähnten Kriterien einer rationalen Entscheidung. 105/274

107 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Die Risikopräferenz des Entscheidungsträgers muss demnach die folgenden vier Eigenschaften erfüllen: 1. Vollständigkeit, 2. Transitivität, 3. Konvexität und 4. Unabhängigkeit. Sind diese Eigenschaften erfüllt, so existiert eine Nutzenfunktion u, welche die Risikopräferenz des Entscheiders adäquat abbildet. Vorteil: Beim axiomatischen Ansatz muss der Begriff des Nutzens nicht ontologisch bestimmt werden ( Was ist Nutzen? ). 106/274

108 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Das Vollständigkeits- und Transitivitätsaxiom Es wird eine vollständige und transitive Ordnung der Alternativen vorausgesetzt, d. h. für jedes Paar a 1, a 2 A von Lotterien gilt entweder a 1 a 2 oder a 1 a 2 und für alle Lotterien a 1, a 2, a 3 A folgt aus a 1 a 2 und a 2 a 3 zwangsläufig a 1 a 3. Man sagt der Entscheider ist indifferent hinsichtlich der Lotterien a 1 und a 2, falls sowohl a 1 a 2 als auch a 1 a 2. In diesem Fall schreibt man a 1 a 2 und die beiden Lotterien werden als gleichwertig oder äquivalent bezeichnet. 107/274

109 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Das Konvexitätsaxiom Angenommen Alternative a 1 wird mit Wahrscheinlichkeit p gewählt (0 p 1), ansonsten entscheidet man sich für a 3. Solch eine zufällig generierte Entscheidung stellt ebenfalls eine Lotterie dar. Man spricht hierbei von einer konvexen Kombination und schreibt p a 1 + (1 p) a 3. Axiom: Für alle Lotterien a 1, a 2, a 3 A mit a 1 a 2 a 3 existiert eine Wahrscheinlichkeit 0 p 1, so dass a 2 p a 1 + (1 p) a 3. Vergleiche dazu das Beispiel mit den Urlaubsorten. 108/274

110 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Das Unabhängigkeitsaxiom Für alle Lotterien a 1, a 2, a 3 A mit a 1 a 2 und alle Wahrscheinlichkeiten 0 p 1 gilt p a 1 + (1 p) a 3 p a 2 + (1 p) a 3. D. h. die Präferenz von a 1 gegenüber a 2 wird durch die Beimischung einer dritten Lotterie a 3 nicht verändert. Vergleiche dazu das Beispiel mit dem Kellner. 109/274

111 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Ein weiteres Beispiel Gegeben sei die Lotterie a mit X = und die Lotterie b mit Y = { 100, q = 0.5, 0, 1 q = 0.5, { 60, q = 0.7, 10, 1 q = 0.3. Der Entscheider bevorzuge a gegenüber b, d. h. a b. Außerdem sei eine weitere Lotterie c mit der sicheren Auszahlung 50 gegeben. 110/274

112 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Title Dann muss der Entscheider für alle 0 p 1 die Lotterie gegenüber der Lotterie präferieren. p a + (1 p) c p b + (1 p) c Die konvexen Kombinationen setzen sich in diesem Beispiel also aus einer riskanten und einer risikolosen Lotterie zusammen. 111/274

113 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Das Unabhängigkeitsaxiom (Teil I) 112/274

114 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Das Unabhängigkeitsaxiom (Teil II) 113/274

115 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Das Unabhängigkeitsaxiom (Teil III) 114/274

116 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Falls der Entscheider indifferent hinsichtlich a und b ist, folgt aus dem Unabhängigkeitsaxiom insbesondere p a + (1 p) c p b + (1 p) c. In diesem Fall kann a in einer konvexen Kombination durch b ausgetauscht werden, ohne dass sich die Rangordnung unter allen gegebenen Lotterien ändert. Das Unabhängigkeitsaxiom wird deswegen oft auch als Substitutionsaxiom bezeichnet. 115/274

117 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Beispiel einer Substitution 116/274

118 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Das Allais-Paradoxon 1 Mio. 98% 2 Mio. 2% 0 Welche Lotterie würden Sie bevorzugen? 117/274

119 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen 50% 1 Mio. 50% 0 49% 2 Mio. 51% 0 Welche Lotterie würden Sie nun bevorzugen? 118/274

120 Entscheidungen unter Risiko Der Erwartungsnutzen Das Allais-Paradoxon beschreibt Situationen, in denen das Unabhängigkeitsaxiom verletzt ist. Es handelt sich dabei um eine verzerrte Wahrnehmung von Wahrscheinlichkeiten. Grund: Viele Menschen nehmen Wahrscheinlichkeiten nicht absolut sondern relativ wahr. Dieser Effekt wird durch die Postulate rationalen Verhaltens nicht abgebildet. Das Allais-Paradoxon wird im Rahmen der deskriptiven Entscheidungstheorie zur Erklärung irrationalen Verhaltens herangezogen. 119/274