2 Kinetik des Massenpunktes

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1 59 Kinetik des Massenpunktes Als Aufgabe der Kineatik haben wir herausgestellt, eine Bewegung öglichst einfach und vollständig zu beschreiben. In der Kineatik wird nicht untersucht, welche Ursachen für die Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers verantwortlich sind und nach welchen Gesetzen eine Bewegung erfolgt. Die Ursachen für die Bewegungsänderung eines Körpers nennen wir Kräfte. Die Aufgabe der Kinetik ist nun, den Zusaenhang zwischen den auf einen Körper wirkenden Kräften und der unter de Einfluss dieser Kräfte ablaufenden Bewegung zu eritteln. Diese Aufgabe hat Newton (1643 bis 177) durch das von ih angegebene Grundgesetz gelöst, inde er den Kraftbegriff it de kineatischen Begriff Beschleunigung verknüpfte. Die Kinetik wird durch das Newtonsche Grundgesetz und die anderen Newtonschen Axioe beherrscht..1 Das Newtonsche Grundgesetz.1.1 Das Grundgesetz und die Axioe der Kinetik Durch das erste Newtonsche Axio das Trägheitsaxio (s. Band Statik, Abschn...1) wird der Begriff Kraft eingeführt. Das Trägheitsaxio lautet: Jeder Körper verharrt i Zustand der Ruhe oder der gleichförigen geradlinigen Bewegung, solange er nicht durch Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern. Bei geradliniger gleichföriger Bewegung ist der Geschwindigkeitsvektor v konstant. Ändert sich der Geschwindigkeitsvektor bei einer Bewegung, d. h., wird der Körper beschleunigt ( a ), so wird nach de Trägheitsaxio die Ursache für die Beschleunigung als Kraft bezeichnet. Das Trägheitsaxio sagt jedoch nichts darüber aus, wie an Kräfte iteinander vergleichen, d. h. essen kann. Dies geschieht in de zweiten Newtonschen Axio, de Newtonschen Grundgesetz. Wir erläutern das Newtonsche Grundgesetz an Hand eines Experientes. Auf einen leicht beweglichen Wagen (Schienenführung, Kugellager) wird ein Körper K I gelegt (Bild.1). Der Wagen wird durch ein über eine Rolle führendes Seil it eine zweiten Körper Q 1 verbunden. K III K II K I Bild.1: Versuche zu Newtonschen Grundgesetz Q 1 Q Q 3 G. Holzann et al., Technische Mechanik Kineatik und Kinetik, DOI 1.17/ _, Springer Fachedien Wiesbaden 1

2 6 Kinetik des Massenpunktes Überlässt an dieses Körpersyste sich selbst, so kot der Wagen in Bewegung. Durch Messen stellt an fest, dass seine Beschleunigung a I1 konstant ist. Nach de Trägheitsaxio ist die Ursache für die Beschleunigung eine Kraft. Die Ursache für die Beschleunigung des Wagens ist offenbar der angehängte Körper Q 1. Also übt der Körper Q 1 auf den Wagen eine Kraft aus, die wir it F 1 bezeichnen wollen. Wir wiederholen den Versuch, inde wir auf den Wagen verschiedene Körper legen und an das Seil verschiedene Körper hängen. 1. Versuchsreihe Wir hängen an das Seil nacheinander die Körper Q 1, Q, Q 3,... Dabei stellen wir fest, dass jedesal die Beschleunigung des Wagens, also auch die auf den Wagen wirkende Kraft, eine andere ist, wie die Verlängerung der Feder zeigt. Wir setzen fest: Festsetzung 1. Die Kraft soll der durch sie hervorgerufenen Beschleunigung des Wagens proportional sein F ~ a (.1) Erteilt z. B. der Körper Q de Wagen it de Körper K I eine dreial so große Beschleunigung wie der Körper Q 1, so soll nach dieser Festsetzung die Kraft F, die der Körper Q auf den Wagen ausübt, das Dreifache der Kraft F 1 betragen. Die Beziehung Gl. (.1) können wir auch in der For einer Gleichung schreiben a = c 1 F c 1 Proportionalitätskonstante (.) Aufgrund der vorstehenden Festsetzung können wir Kräfte iteinander vergleichen, wenn sie auf denselben Körper wirken.. Versuchsreihe Wir legen auf den Wagen verschiedene Körper K I, K II, K III,... und wählen für die Beschleunigung solche Körper Q i, dass die Verlängerung der Feder zwischen Wagen und Seil während des Beschleunigungsvorgangs jedesal dieselbe ist (Bild.1). Die Beschleunigung des Wagens ist also bei jede Versuch wiederu eine andere. Da die Verlängerung der Feder gleich bleibt, folgern wir, dass bei jede Versuch auf den Wagen dieselbe Kraft ausgeübt wird. Dieser Versuch zeigt: Verschiedene Körper erfahren durch die Wirkung derselben Kraft verschiedene Beschleunigungen. Die Eigenschaften der Körper, durch gleiche Kräfte verschieden beschleunigt zu werden, wird als träge Masse bezeichnet. Wir setzen fest, dass Körper, die durch die Wirkung derselben Kraft eine kleinere Beschleunigung erfahren, eine größere träge Masse besitzen oder genauer: Festsetzung. Die trägen Massen der Körper sind den Beschleunigungen, die diese Körper durch dieselbe Kraft erfahren, ugekehrt proportional ~ 1 (.3) a Auch diese Festsetzung können wir in For einer Gleichung schreiben 1 c oder a c c Proportionalitätskonstante (.4) a

3 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 61 Die Beziehungen Gl. (.1) und (.3) sagen aus, dass die Beschleunigung eines Körpers der auf ihn wirkenden Kraft proportional und seiner trägen Masse ugekehrt proportional ist. Sie können zu einer Beziehung F a c c Proportionalitätskonstante (.5) zusaengefasst werden. Setzt an in Gl. (.5) die Konstante c = 1 und definiert die Kraft als vektorielle Größe, die die Richtung der Beschleunigung hat, so folgt aus Gl. (.5) das Newtonsche Grundgesetz F = a (.6) Die an eine Körper angreifende Kraft und die durch sie hervorgerufene Beschleunigung sind gleichgerichtet und einander proportional. Das Newtonsche Grundgesetz wird auch als dynaisches Grundgesetz bezeichnet. Die in Gl. (.6) als Proportionalitätskonstante auftretende träge Masse ist, wie die Versuche zeigen, von der Gestalt, der Teperatur, de Aggregatzustand usw. des Körpers unabhängig. Sie ist eine Größe, die geeignet ist, die Stoffenge zu essen. Durch das Newtonsche Grundgesetz werden zugleich zwei Größen Kraft und träge Masse eingeführt und durch die kineatische Größe Beschleunigung iteinander verknüpft. Die Einheiten für Kraft und träge Masse können daher nicht unabhängig voneinander festgelegt werden. I Internationalen Maßsyste wählt an als dritte Grundgröße der Mechanik neben Länge und Zeit die träge Masse. Ihre Einheit nennt an das Kilogra (kg). Ein Kilogra ist die träge Masse eines in Paris aufbewahrten Noralkörpers aus Platin- Iridiu, das Urkilogra. Die Kraft ist dait i Internationalen Maßsyste eine abgeleitete Größe. Ihre Einheit ist das Newton (N). Nach de Grundgesetz folgt it F = a kg 1 N 1 kg 1 /s 1 (.7) s Ein N ist die Kraft, die der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 /s erteilt. Vielfache dieser Einheit sind: 1 N = 1 kn (Kilonewton), 1 6 N = 1 MN (Meganewton). Lässt an einen Körper aus der Ruhelage frei fallen, so bewegt er sich beschleunigt in Richtung auf die Erdoberfläche. Wie Versuche zeigen, erfahren dabei alle Körper in Erdnähe a gleichen Ort (i luftleeren Rau) dieselbe Beschleunigung, die Noralfallbeschleunigung g = 9,8665 /s 9,81 /s (a Äquator ist g = 9,781 /s und an den Polen 9,831 /s ).

4 6 Kinetik des Massenpunktes Wir schließen daraus, dass die Erde auf die Körper eine Anziehungskraft ausübt, diese wird als Gravitations- oder Gewichtskraft bezeichnet. Da verschiedene Körper bei freien Fall die gleiche Beschleunigung erfahren, schließen wir: Die Gewichtskraft F G ist der trägen Masse der Körper proportional. Der Vektor der Gewichtskraft ist it de Vektor der Fallbeschleunigung gleichgerichtet. F G = g und F G = g (.8) Mit g = 9,81 /s können aus Gl. (.8) it für technische Belange ausreichender Genauigkeit bei bekannter Gewichtskraft die Masse und bei bekannter träger Masse die Gewichtskraft der Körper berechnet werden. Massenpunkt Führt ein Körper eine reine Parallelverschiebung aus (wie z. B. der Wagen in Bild.1), so haben alle seine Punkte die gleiche Geschwindigkeit und Beschleunigung. Zur Beschreibung der Bewegung des Körpers genügt es dann, die Bewegung eines seiner Punkte anzugeben. Die Untersuchung der Bewegung des Körpers kann in eine solchen Fall durch die Untersuchung der Bewegung eines geoetrischen Punktes ersetzt werden, an de an sich die Kraft angreifend denkt und de die gesate träge Masse des Körpers zugeordnet wird. Das idealisierte Gebilde (Modellvorstellung) aus de geoetrischen Punkt it der zugeordneten trägen Masse bezeichnet an als Massenpunkt. Bei allgeeiner Bewegung eines starren Körpers haben alle seine Punkte verschiedene Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Wie später gezeigt wird (Abschn. 5), kann jedoch die Bewegung eines starren Körpers durch die seines Schwerpunktes und eine Drehung u eine durch den Schwerpunkt gehende Achse beschrieben werden. Interessiert an sich nur für die Bewegung des Schwerpunktes, so kann die Untersuchung dieser Bewegung dadurch erfolgen, dass an de Schwerpunkt die gesate träge Masse des Körpers zuordnet und die Bewegung des so erhaltenen Massenpunktes untersucht. Ein Fahrzeug auf der Straße oder ein Flugzeug in der Luft kann an z. B. als Massenpunkt ansehen, sofern ihre Drehungen nicht interessieren. In diese Abschnitt wollen wir uns ausschließlich it solchen Probleen befassen, bei denen die Idealisierung des Körpers als Massenpunkt zulässig ist. Die Axioe der Statik (s. Band Statik, Abschn..) behalten auch in der Kinetik ihre Gültigkeit. Neben de schon erwähnten Trägheitsaxio sind dies das Reaktionsaxio (actio = reactio), das Parallelograaxio und, sofern die Kräfte an eine starren Körper angreifen, das Verschiebungsaxio. Das Axioensyste der Statik wird soit in der Kinetik nur durch das Newtonsche Grundgesetz erweitert. Greifen an eine Massenpunkt ehrere Kräfte F 1, F, F 3,..., F n an, so können diese nach de Parallelograaxio zu einer Resultierenden F R zusaengefasst werden (Vektoraddition) F R F (i = 1,, 3,..., n) (.9) i

5 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 63 F 1 Bild.: Mehrere Kräfte und ihre Resultierende a Massenpunkt F3 F F5 a FR F4 Das Newtonsche Grundgesetz kann also auch in der For geschrieben werden F i a (.1) Die Beschleunigung eines Massenpunktes ist der Resultierenden der an ih angreifenden Kräfte proportional und ihr gleichgerichtet. Die Proportionalitätskonstante ist die träge Masse. Bei der Behandlung eines Probles ist es zweckäßig, die Kräfte in äußere und innere zu unterteilen. Äußere Kräfte sind solche, die von außen her auf ein echanisches Syste einwirken, also alle Kräfte, die an bei Freiachen des Systes feststellt. Diese werden von Körpern ausgeübt, die nicht zu de abgegrenzten echanischen Syste gehören. Die Kräftesue auf der linken Seite von Gl. (.1) ist gleich der Resultierenden der äußeren Kräfte. Innere Kräfte wirken innerhalb eines Systes zwischen den Teilen des Systes, sie haben keine Wirkung nach außen. Sie haben also keinen Einfluss auf den Bewegungsablauf des ganzen Systes. Bei Zerlegung des Systes in Teilsystee üssen sie jedoch an den Trennstellen an jede der beiden Schnittufer in entgegengesetzter Richtung und it gleiche Betrag angesetzt werden. Die inneren Kräfte des Gesatsystes werden so zu äußeren Kräften der freigeachten Teilsystee. Die Unterteilung der Kräfte in äußere und innere ist davon abhängig, wie an ein echanisches Syste abgrenzt, und daher relativ. Man denke an die Kraft in der Kupplung zwischen Motorwagen und Anhänger eines Lastzuges. Betrachtet an den ganzen Lastzug, ist die Kraft eine innere. Durch einen gedachten Schnitt kann sie zu einer äußeren geacht werden und hat dann sehr wohl einen Einfluss auf die Bewegung des Motorwagens für sich oder seines Anhängers. Wie wir später sehen werden (s. Abschn. 5.4), hat das Grundgesetz nicht in allen Bezugssysteen Gültigkeit. Systee, in denen das Grundgesetz gilt, nennt an Inertialsystee 1). 1) Inertia = Trägheit (lat.)

6 64 Kinetik des Massenpunktes Für die in der Technik betrachteten Bewegungen von Fahrzeugen und Maschinen kann die Erde i Allgeeinen als Inertialsyste angesehen werden..1. Das Grundgesetz in Koponentenfor Sind zu jede Zeitpunkt alle auf einen Massenpunkt einwirkenden Kräfte z. B. als Funktion der Zeit oder des Ortes bekannt, so kann sein Bewegungsablauf unter Berücksichtigung gewisser Bedingungen (z. B. Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit) it Hilfe des Grundgesetzes vorausberechnet werden. Gl. (.1) wird daher auch als Bewegungsgleichung bezeichnet. Für zahlenäßige Berechnungen sind Koordinatensystee erforderlich. Wir denken uns it der Erde ein kartesisches x, y, z-koordinatensyste verbunden und in ih den Kraftund Beschleunigungsvektor in Koponenten zerlegt. Unter Berücksichtigung von Gl. (1.47) gilt dann Fix x FR Fi Fiy y a (.11) F z iz Dieser einen Vektorgleichung entsprechen die drei skalaren Gleichungen Fix x Fiy y Fiz z (.1) In dieser Gleichung ist z. B. F ix = F x die Sue der x-koponenten aller a Massenpunkt angreifenden äußeren Kräfte. Sie ist gleich de Produkt aus der Masse und der x- Koponente des Beschleunigungsvektors a x = x (Bild.3a). Deentsprechend kann an den Kraft- und den Beschleunigungsvektor auch in natürlichen Koordinaten in Koponenten zerlegen. Mit Gl. (1.71), (1.7) erhält an (Bild.3b) F t F it v s at Fn Fin a n (.13) Bei einer Zerlegung in ebenen Polarkoordinaten gewinnt an it Gl. (1.147), (1.148) (Bild.3c) F ( r Fir r r ) F Fi ( r r ) (.14) Für den Sonderfall der ungleichförigen Kreisbewegung folgt aus Gl. (.13) oder (.14) it = r = const und =, = (s. auch Gl. (1.8), (1.83)) Ft Fit r at F Fn Fin r an Fr (.15) Bei einer Bewegung auf gekrüter Bahn ist F n ier von Null verschieden (falls v ), denn nach Gl. (.13) ist F n ~ 1/. Falls F n = ist, bewegt sich der Massenpunkt geradlinig. Die Bewegung auf der Bahn wird durch die tangentiale Koponente der Kraft bestit. Dabei

7 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 65 kann das Kraftgesetz der tangentialen Koponente F t auf verschiedene Weise gegeben sein, danach richtet sich der Lösungsweg. Wir wollen folgende Fälle hervorheben: y Fy y K y ay Fn a) ax Fx x an F a t Ft ar a Fr r b) x c) x Bild.3: Zerlegung von Kraft- und Beschleunigungsvektor a) in kartesischen Koordinaten b) in natürlichen Koordinaten c) in Polarkoordinaten 1. Die Bahnkoponente F t der auf einen Massenpunkt einwirkenden Kraft ist konstant (freier Fall in Erdnähe bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes), s. Abschn Die Kraft ist als Funktion des Ortes gegeben (Federgesetze), s. Abschn Die Kraft ist als Funktion der Geschwindigkeit gegeben (Bewegung eines Fahrzeuges in Luft oder Wasser); s. Abschn Die Kraft ist als Funktion der Zeit gegeben (der Treibsatz einer Rakete brennt nach einer bestiten Zeitfunktion ab), s. Abschn..4. Die Lösung einer Bewegungsgleichung kann sehr aufwendig sein, wenn die Abhängigkeit der Kraft von Ort, Zeit und Geschwindigkeit gleichzeitig auftritt..1.3 Beerkungen zu Lösen von Aufgaben der Kinetik In der Kinetik koen eistens zwei Arten von Aufgaben vor: Entweder ist bei bekannte Kraftgesetz nach de Bewegungsablauf gefragt (freier Fall, Wurf) oder bei vorgeschriebene Bewegungsablauf nach den Kräften (Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung). I ersten Fall epfiehlt sich folgender Lösungsweg (s. auch Band Statik, Abschn..3.3): 1. Abgrenzen Es wird festgelegt, welcher Teil eines echanischen Systes betrachtet werden soll.. Einführen eines geeigneten Koordinatensystes 3. Freiachen d. h., an befreit den betrachteten Körper oder den Teil eines echanischen Systes durch gedachte Schnitte von seinen Bindungen zu anderen Körpern, die auf den betrachteten Kräfte ausüben. Die vorher in den Bindungen übertragenen inneren Kräfte lässt an als äußere Kräfte auf den betrachteten Körper einwirken. Man beachte, dass z. B. durch das Freiachen von der Erde auch die Bindung zur Erde gelöst wird. In diese Fall treten Gewichtskräfte als äußere Kräfte auf.

8 66 Kinetik des Massenpunktes 4. Aufstellen der Bewegungsgleichungen Dabei ist bei Vorzeichenfestlegung zu beachten: Kraft-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungskoponenten sind positiv, wenn die zugehörigen Vektoren in Richtung positiver Koordinatenachsen weisen. Ist bei vorgeschriebene Bewegungsablauf nach den Kräften gefragt, so wird an nach Einführen des Koordinatensystes zuerst den kineatischen Teil der Aufgabe erledigen, also z. B. aus de gegebenen Bewegungsablauf die Beschleunigung eritteln (vgl. Beispiel.). Der Richtung nach unbekannte Kräfte nit an zweckäßig positiv, d. h. in Richtung positiver Koordinaten an. War die Annahe der Richtung falsch, erscheinen die Kräfte i Ergebnis it negative Vorzeichen..1.4 Bewegung bei konstanter Bahnkoponente der Kraft Ist die Bahnkoponente der resultierenden äußeren Kraft konstant, so ist nach Gl. (.13) auch die Tangentialbeschleunigung a t = a = const, d. h., der Massenpunkt bewegt sich gleichförig beschleunigt. Bezeichnet an die konstante Bahnkoponente der resultierenden äußeren Kraft it F, dann lautet die Bewegungsgleichung in Bewegungsrichtung dv dv F a F oder a d t d t Sind zur Zeit t = die Geschwindigkeit v und der Ort s, so erhält an nach ein- bzw. zweialiger Integration F F vv t at oder v v t F t F t ss vt oder s s vt Beispiel.1: Freier Fall. Auf den Körper (Bild.4) wirkt senkrecht nach unten die Gewichtskraft F G. Man stelle die Bewegungsgleichung auf. Da die Ortskoordinate nach unten positiv eingeführt wurde, ist neben Geschwindigkeit und Beschleunigung auch die Kraft in dieser Richtung positiv zu zählen. Dait lautet die Bewegungsgleichung FG a = F G oder a = g s s v a FG Fh Fr1 Fn1 FG Fr Fn Bild.4: Körper i Schwerefeld Bild.5: Kräfte a anfahrenden Fahrzeug

9 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 67 Erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage (v =, s = ), so erhält an durch Integration wieder die Gleichungen i Beispiel 1.3, S. 11. Man beachte, dass hier bei bekannte Kraftgesetz nach de Bewegungsablauf gefragt ist. Beispiel.: Ein Fahrzeug it der Masse = 1 kg soll auf ebener Straße in t 1 = 6 s gleichförig beschleunigt die Geschwindigkeit v 1 = 54 k/h erreichen. Wie groß ist seine Beschleunigung a, und welche Antriebskraft ist an den Hinterrädern erforderlich, wenn die Fahrwiderstandszahl r =,15 ist und der Luftwiderstand vernachlässigt wird? Hier ist bei vorgeschriebene Bewegungsablauf nach den Kräften gefragt. Die Beschleunigung kann allein it Hilfe der Kineatik erittelt werden. Wir wollen an diese Beispiel den in Abschn..1.3 angegebenen Lösungsweg erläutern 1). 1. Abgrenzen: Betrachtet wird das Fahrzeug als Ganzes.. Die positive Koordinatenrichtung wählt an zweckäßig in Bewegungsrichtung (Bild.5). Aus Gl. (1.) erhält an nun die Beschleunigung v1 (54/3,6) /s a,5 t 1 6 s s 3. In Bild.5 ist das freigeachte Fahrzeug gezeichnet. Die Haftkraft ist die äußere Antriebskraft F h, die das Fahrzeug beschleunigt. Die Rollreibungskraft F r wirkt der Bewegungsrichtung entgegen. 4. Die Bewegungsgleichung lautet also a = F h F r it F r = F r1 + F r = r (F n1 + F n ) = r F G = r g Aus dieser Gleichung erhält an die Antriebskraft F h = a + r g = (a + r g) = 1 kg (,5 /s +,15 9,81 /s ) = 3177 N Beispiel.3: Eine Kiste gleitet aus der Ruhelage heraus eine schiefe Ebene it de Neigungswinkel herab. Man bestie den Bewegungsablauf, wenn a) die Bewegung reibungsfrei und b) it Reibung erfolgt (Gleitreibungskoeffizient ). a) In Bild.6a und b sind die positiv angenoene Ortskoordinate s und die a freigeachten Körper angreifenden Kräfte eingetragen. Für die Bewegungsrichtung erhält an die Bewegungsgleichung a = F G sin = g sin oder a = g sin (.16) Nach ein- bzw. zweialiger Integration folgt it den Aufgangsbedingungen v = und s = v = g sin t und t s g sin (.17) Der Bewegungsablauf ist also von der Größe der Masse unabhängig. 1) Man beachte die 4 Schritte des Lösungsweges auch bei den folgenden Beispielen. Wegen der gedrängten Darstellung ist es nicht öglich, in jede Beispiel die 4 Schritte besonders herauszustellen. Durch Kursivdruck wird aber i Allgeeinen auf die einzelnen Schritte hingewiesen.

10 68 Kinetik des Massenpunktes h a) b) c) Bild.6: a) Kiste auf schiefer Ebene b) Kiste freigeacht, ohne Reibung c) it Reibung Aus den beiden letzten Gleichungen gewinnt an durch Eliination der Zeit t das Geschwindigkeit-Ort- Gesetz g sin v v 1 s sin g g sin Berücksichtigt an, dass s sin = h die Höhendifferenz ist, so folgt v s sin h oder v g h (.18) g Der Massenpunkt erreicht also unabhängig vo Neigungswinkel nach eine Höhenverlust h die gleiche Geschwindigkeit v, die er auch erfährt, wenn er die Höhe h frei durchfällt (vgl. Beispiel 1.3, S. 11, und Abschn...3). Allerdings ist hier die Richtung der Gleitgeschwindigkeit parallel zur schiefen Ebene, während sie bei freien Fall senkrecht nach unten weist. Die Zeit t = v / g sin zu Erreichen der Geschwindigkeit v nit it wachsender Neigung ab. b) Aus der Gleichgewichtsbedingung der Kräfte senkrecht zur Bahn folgt die Noralkraft F n = F G cos. Mit dieser ist die Gleitreibungskraft nach de Coulobschen Gesetz F r = F n (.19) Sie ist der Geschwindigkeitsrichtung entgegengerichtet (Bild.6c). Die Bewegungsgleichung lautet jetzt a = F G sin F r = F G sin F G cos = g (sin cos ) a = g (sin cos ) = g cos (tan ) (.) Nach dieser Gleichung ist der Bewegungsablauf auch bei Berücksichtigung der Reibung unabhängig von der Größe der Masse. Die Kiste kann sich nur aus der Ruhelage in Bewegung setzen (a > ), falls tan > (.1) Auf Landstraßen wird die Steigung tan gewöhnlich in % angegeben. Da für < 1 näherungsweise cos = 1 gesetzt werden kann, gilt dann it ausreichender Genauigkeit a g (tan ) (.) Beispiel.4: An einer Seilrolle hängen zwei Körper it den Massen 1 = kg und = 175 kg, die sich aus der Ruhelage in Bewegung setzen (Bild.7). Die Masse der Rolle und des Seiles sei klein gegen die Massen 1 und und werde vernachlässigt, das Seil ist biegeweich und nicht dehnbar. Unter Vernachlässigung der Reibung berechne an a) die Beschleunigung a der beiden Körper, b) die Seilkraft F s, c) die Lagerkraft F A und d) die Zeit t 1, in der die Masse 1 den Fallweg s 1 = 1 zurücklegt.

11 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 69 a) Das Grundgesetz gilt für einen einzelnen Massenpunkt. Als solche dürfen die beiden einzeln betrachteten Körper aufgefasst werden. Durch gedachte Schnitte trennt an die Körper vo Seil und stellt alle auf sie einwirkenden Kräfte fest (Bild.7). Da F G1 > F G, wählt an zweckäßig die Ortskoordinate s 1 nach unten und s nach oben positiv, d. h. in Richtung der zu erwartenden Bewegung. Die Bewegungsgleichungen für die beiden freigeachten Körper lauten dann 1 a 1 = F G1 F s1 a = F G + F s Da die Reibung vernachlässigt und die Rolle als asselos angesehen wird, folgt aus de Gleichgewicht der Moente der Kräfte an der Rolle u ihren Mittelpunkt: F s1 r = F s r, d. h., F s1 = F s = F s. Weiterhin sind die Wege der beiden Massenpunkte gleich, s 1 = s, weil das Seil keine Verlängerung erfährt. Daraus ergibt sich s 1 = a 1 = s = a = a. Setzt an dies in die Bewegungsgleichungen ein, so erhält an durch Addition der beiden Gleichungen ( 1 + ) a = F G1 F G = g ( 1 ) a ( 175) kg 1 g 9,81 /s,654 1 ( 175) kg s b) Setzt an a z. B. in die erste der Bewegungsgleichungen ein, so ist die Seilkraft F s = F G1 1 a = 1 (g a ) = kg (9,81,654) /s = 1831 N c) Die Auflagerkraft F A gewinnt an aus de Gleichgewicht der Kräfte an der Rolle (Bild.7) F A = F s = 366 N d) Die Zeit t 1 folgt aus Gl. (1.3) s1 1 t 1 5,53 s a,654 /s Fs1 Fs1 FA Fs Fs s Bild.7: Zwei Körper an einer Seilrolle s 1 FG1 1 FG.1.5 Prinzip von d Alebert Die Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt Gl. (.1) kann an in der For schreiben Fi ( a) (.3) Diese Gleichung ist in ihre Aufbau von der gleichen Art wie die Gleichgewichtsbedingungen der Statik; an könnte sie kinetische Gleichgewichtsbedingung nennen. Die Größe ( a ) hat die Einheit einer Kraft, sie wird als Trägheits- oder Massenkraft bezeichnet. Soit sagt Gl. (.3) aus:

12 7 Kinetik des Massenpunktes Die Sue der äußeren Kräfte F i hält der Trägheitskraft ( a ) a Massenpunkt das Gleichgewicht. Oder: Die Sue aller a Massenpunkt angreifenden Kräfte (einschließlich der Trägheitskraft) ist Null. Diese Aussage wird als d'alebertsches Prinzip 1) bezeichnet. Mit Hilfe dieses Prinzips kann jedes kinetische Proble foral auf ein statisches zurückgeführt werden. Man würde die Arbeit d'aleberts gering achten, wollte an sie nur in einer Ustellung des Newtonschen Grundgesetzes sehen. Die Tragweite seiner Überlegungen ist erst bei der Untersuchung der Bewegung von Massenpunkthaufen und Körpern zu erkennen, vgl. [1]. Für den einzelnen Massenpunkt erscheint das Prinzip in der Tat nur als andere Schreibweise und Deutung des Grundgesetzes. Entsprechend Gl. (.1), (.13) und (.14) kann an das d'alebertsche Prinzip in Koponentenfor schreiben. In kartesischen Koordinaten erhält an die drei skalaren Gleichungen Fix ( x ) Fiy ( y ) Fiz ( z ) (.4) in natürlichen Koordinaten ist F it ( at ) F in ( an ) (.5) und in ebenen Polarkoordinaten F ir ( r r ) Fi ( r r ) (.6) Die Trägheitskraft F F = ( a n ) in Gl. (.5) wird auch als Flieh- oder Zentrifugalkraft bezeichnet (fugere = fliehen). Sie hat eine der Noralbeschleunigung a n entgegengesetzte Richtung, ist also vo Krüungsittelpunkt weggerichtet. Die Zentripetal- oder Noralkraft F n = F in (petere = streben nach) ist it der Fliehkraft i Gleichgewicht (Bild.11). Die Kraft F n ist F F entgegengesetzt gleich. Für ihren Betrag gilt Fn v FF an (.7) I Fall der Kreisbewegung ist dann (s. auch Beispiel.8, S. 73) Fn v FF r r (.8) Bei der praktischen Anwendung des d'alebertschen Prinzips epfiehlt sich folgendes Vorgehen (s. auch Abschn..1.3): 1) d Alebert (1717 bis 1783)

13 .1 Das Newtonsche Grundgesetz Abgrenzen d. h. Festlegen, welcher Teil eines Systes betrachtet werden soll.. Geeignetes Koordinatensyste einführen. 3. Freiachen d. h. Lösen des betrachteten Teils von seinen Bindungen und Einführen aller Kräfte. Die in den Bindungen übertragenen Kräfte werden dait zu äußeren Kräften, die auf das betrachtete Syste einwirken. Die Trägheitskräfte werden den positiven Beschleunigungen, also den Koordinatenrichtungen entgegen angenoen. Dann darf an die Trägheitskräfte nur noch der Betrag geschrieben werden, weil durch den Pfeil schon die Richtung, also das negative Vorzeichen, berücksichtigt ist. War die Annahe falsch, erscheinen die Trägheitskräfte i Ergebnis it negative Vorzeichen. 4. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen wie in der Statik Dabei sind die Trägheitskräfte wie äußere Kräfte zu behandeln. Häufig kann it Vorteil die Moentegleichgewichtsbedingung statt der Kräftegleichgewichtsbedingung benutzt werden (vgl. Beispiel.6). 1) Beispiel.5: Man löse die Aufgabe in Beispiel., S. 67, it Hilfe des d'alebertschen Prinzips 1). In Bild.5 ist bereits eine Koordinate eingeführt und das Fahrzeug freigeacht. Die Trägheitskraft it de Betrag a ist der positiven Ortskoordinate entgegen anzunehen, da die Beschleunigung positiv in Richtung der positiven Ortskoordinate gezählt wird (Bild.8). Dann verlangt die Gleichgewichtsbedingung der Kräfte in Bewegungsrichtung it F r = F r1 + F r F h F r a = Die weitere Lösung verläuft wie in Beispiel.. a s a Bild.8: Äußere Kräfte und Trägheitskraft a Fahrzeug Fh Fr1 Fn1 FG Fr Fn Beispiel.6: Man löse die Aufgabe in Beispiel.4, S. 68, it Hilfe des d Alebertschen Prinzips. Betrachtet wird das ganze Syste. Die Koordinaten und die äußeren Kräfte übernit an aus Bild.7. In Bild.9 sind neben den äußeren Kräften auch die Trägheitskräfte entgegen den Koordinatenrichtungen eingetragen. Da das ganze Syste betrachtet wird, sind die Seilkräfte innere Kräfte. Sie haben keinen Einfluss auf das Gleichgewicht des ganzen Systes. Beachtet an, dass a 1 = a = a ist, so verlangt das Gleichgewicht der Moente u den Mittelpunkt der Rolle oder M ( F a ) r ( F a ) r i G1 1 G a ( 1 + ) = F G1 F G 1) Vgl. Fußnote S. 67.

14 7 Kinetik des Massenpunktes Die weitere Lösung verläuft wie i Beispiel.4. Ihr gegenüber hat an zur Bestiung der Beschleunigung nur eine Bewegungsgleichung zu lösen. Die Seilkraft erhält an aus de Gleichgewicht an eine der beiden freigeachten Massenpunkte zu F s = F G + a = F G1 1 a = 1 (g a ) Fs 1 a 1 1 a 1 FA a s Fs Fs FA A Fs Fs Fs a a FG1 s 1 a 1 FG1 FG FG s Bild.9: Syste wie in Bild.7, jedoch it Trägheitskräften Bild.1 Kräfte a Syste Beispiel.7: Für das Syste in Bild.1 bestie an it Hilfe des d Alebertschen Prinzips a) die Bewegungsgleichung, b) die Seilkraft F s, c) die Lagerreaktion in A, d) die Geschwindigkeit v 1 und e) den Weg s 1 der Masse 1 nach t 1 = 5 s ( 1 = 1 kg, = kg, = 3º, =,3). Die Rollen werden als asselos angesehen, die Reibung in ihren Zapfen sei vernachlässigt. a) Betrachtet werden die beiden Körper it den Massen 1 und, die an als Massenpunkte auffassen darf. In Bild.1 sind die positiven Koordinatenrichtungen und die an den beiden freigeachten Massen angreifenden äußeren Kräfte sowie die Trägheitskräfte eingetragen. Da die Reibung in den Zapfen der Rollen vernachlässigt wird und diese als asselos angesehen werden, ist die Seilkraft an allen Stellen des Seiles gleich groß. Bewegt sich 1 u s 1 aufwärts, dann legt den Weg s = s 1 / zurück. Daraus folgt a = a 1 /. Die Gleitreibungskraft F r = F n an 1 ist der Noralkraft F n = F G1 cos proportional. Aus de Gleichgewicht der Kräfte in Bewegungsrichtung ergibt sich für die beiden Massenpunkte F s = F G1 sin + F r + 1 a 1 = F G1 sin + F G1 cos + 1 a 1 F s = F G a Daraus folgt g a1 / Fs 1 g (sin cos ) 1 a1 / 1 (sin cos) a1 g 1 / 4 1 kg 1 kg (,5,3,866) a1 g,5 g,51 (1 5) kg s a a1 /, 55 /s

15 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 73 b) Die Seilkraft gewinnt an aus einer dieser Gleichungen FG a F s ( g a) 1 kg (9,81,55) /s 956 N c) Das Gleichgewicht der Kräfte an der Festrolle erfordert für die horizontale bzw. vertikale Richtung FAx Fs cos 956 N, N F F sin F F (1 sin ) 956 N 1, N Ay s s s FA FAx FAy 1656 N d) Die Bewegung ist gleichförig beschleunigt, und aus Gl. (1.) folgt die Geschwindigkeit nach t 1 = 5 s v 1 = a 1 t 1 = (,51 /s ) 5 s =,55 /s e) In dieser Zeit legt 1 nach Gl. (1.3) den Weg s 1 zurück a 1,51 /s 1 t1 s 5 s 6,38 Beispiel.8: Welche Fliehkraft erzeugt die Schaufel a Läufer der Dapfturbine des Beispiels 1.17, S. 43, wenn sie die Masse = kg hat und ihr ittlerer Abstand von der Drehachse r =,8 beträgt (n = 3 in 1 )? In Bild.11 ist die freigeachte Schaufel dargestellt. Die Noralbeschleunigung a n zeigt auf den Drehpunkt. Die Trägheitskraft ( a n ) ist die Fliehkraft, sie ist a n entgegen radial nach außen gerichtet. Dieser hält die Zentripetalkraft F n (= Noralkraft) das Gleichgewicht, und nach Gl. (.8) ist F n = a n = r (.9) Für n = 3 in 1 ( = 314 s 1 ) erhält an F n = kg,8 314 s = 158 kn Da die Turbine gleichförig uläuft, ist die Tangentialkraft F t =. Bild.11: Flieh- und Zentripetalkraft an einer Turbinenschaufel v Beispiel.9: Ein Fahrzeug durchfährt eine u % überhöhte Kurve it de Krüungsradius r = (Bild.1). Bei welcher Geschwindigkeit v wird das Fahrzeug aus der Kurve getragen, wenn die Haftzahl =,7 beträgt? In Bild.1 ist das Fahrzeug freigeacht. Die an ih angreifenden Kräfte sind eingetragen. A Fahrzeug halten sich die Gewichtskraft F G, die Fliehkraft F F = v /r, die Noralkraft F n = F n1 + F n und die Haftkraft F h = F h1 + F h das Gleichgewicht. Das Fahrzeug beginnt zu rutschen, wenn die Wirkungslinie der Resultierenden F = F G + F F außerhalb des Reibungskegels (s. Band Statik, Abschn. 1.) liegt. R

16 74 Kinetik des Massenpunktes Liegt F R i Grenzfall gerade auf de Mantel des Reibungskegels (tan = ), so entnit an de Bild.1b die Beziehung F v r v F / tan ( ) (.3) FG g r g Mit = arctan = 35,º und = arctan, = 11,3º ist tan ( + ) = tan 46,3º = 1,5. Man erhält die Grenzgeschwindigkeit v tan ( ) 1,5 9,81 /s r g 45,4 /s 163 k/h FF FF a) FG b) Fn FG Bild.1: a) Fahrzeug in überhöhter Kurve b) Kräfteplan.1.6 Bahnkoponente der Kraft abhängig vo Ort, freie Schwingungen Wir betrachten einen Wagen, der sich unter der Wirkung einer Federkraft reibungsfrei auf einer horizontalen Ebene bewegt. In Bild.13b ist der Wagen in seiner Ruhelage gezeichnet, die Feder ist entspannt (Bild.13a). Von dieser Lage aus zählen wir die Koordinate x. Nit an eine Feder it lineare Kraftgesetz an, dann ist die Federkraft F der Auslenkung x proportional F = c x (.31) Darin ist c die Federkonstante; sie kann experientell als Quotient aus der Federkraft und de Federweg bestit werden, c = F/x. a) c b) c) d) x x c x Bild.13: Feder-Masse-Syste a) Feder entspannt b) Ruhelage des Wagens c) Wagen in ausgelenkter Lage d) Kräfte a freigeachten Wagen In Bild.13c ist der Wagen in einer ausgelenkten Lage dargestellt, und in Bild.13d sind die an ih in Richtung der Bahn angreifenden Kräfte eingetragen. Die Federkraft F ist auf die

17 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 75 Ruhelage hin gerichtet. Die Trägheitskraft hat an der positiven Beschleunigung, also der positiven Koordinatenrichtung entgegen anzunehen. Nach de d Alebertschen Prinzip verlangt das Gleichgewicht der Kräfte in x-richtung x c x oder x c x (.3) Aus der letzten Gleichung erkennt an, dass bei positiver Auslenkung eine negative Beschleunigung auftritt und ugekehrt. Der Massenpunkt wird also ier auf seine Ruhelage hin beschleunigt durch eine Kraft, die der Auslenkung proportional ist. Zur Vereinfachung teilen wir Gl. (.3) auf beiden Seiten durch die Masse und setzen c (.33) x x oder x (.34) x Diese Gleichung besagt, dass die zweite Ableitung der Lösungsfunktion x (t) nach der Zeit der Funktion x (t) proportional ist. Der Proportionalitätsfaktor ist. Funktionen, die diese Eigenschaften haben, sind (vgl. auch Beispiel 1.9, S. 17) cos t und sin t Multipliziert an diese beiden Funktionen it den willkürlichen Konstanten A und B und addiert sie, so ist auch die Funktion x = A cos t + B sin t (.35) für beliebige Werte der Konstanten A und B Lösung von Gl. (.34). Wir prüfen dies, inde wir Gl. (.35) zweial differenzieren x = A sin t + B cos t.36) x = A cos t B sin t = (A cos t + B sin t) (.37) Ersetzt an den Klaerausdruck der letzten Gleichung nach Gl. (.37) durch x, so folgt Gl. (.34). Diese wird als Differenzialgleichung der freien ungedäpften Schwingungen bezeichnet. In der Theorie der Differenzialgleichungen zeigt an, dass es keine Lösungen von Gl. (.34) gibt, die nicht in der Gestalt von Gl. (.35) geschrieben werden könnten. Daher heißt Gl. (.35) die allgeeine Lösung der Differenzialgleichung (.34). Durch entsprechende Wahl der Konstanten A und B, die an als Integrationskonstanten bezeichnet, kann die allgeeine Lösung verschiedenen Anfangsbedingungen angepasst werden. Nit an z. B. an, dass der Massenpunkt vor Beginn der Bewegung u x ausgelenkt und dann losgelassen wird, so sind die Anfangsbedingungen: zur Zeit t = ist x = x und x = v = (.38)

18 76 Kinetik des Massenpunktes Mit diesen Bedingungen folgt aus Gl. (.35) x = A 1 + B, d. h. A = x, und aus Gl. (.36) = A + B 1 d. h. B =. Mit diesen Werten für die Integrationskonstanten A und B lautet die spezielle Lösung, die den Anfangsbedingungen Gl. (.38) genügt x = x cos t (.39) x x a) x x 3 t b) x c) x 3 3 t t Bild.14: a) Ort-, b) Geschwindigkeit-, c) Beschleunigung-Zeit-Diagra einer schwingenden Bewegung (für t = ist x = x und x = ) Für die Geschwindigkeit x bzw. Beschleunigung x folgt aus Gl. (.39) durch Differenzieren x = x sin t (.4) x = x cos t (.41) Das Ort-Zeit-, Geschwindigkeit-Zeit- und Beschleunigung-Zeit-Diagra dieser Bewegung zeigt Bild.14. (Als Abszisse ist statt der Zeit die einheitenlose Größe t gewählt.) Der Massenpunkt vollführt eine haronische Bewegung. Seine größte Verschiebung beträgt x = x, sie wird als Aplitude der Schwingung bezeichnet. Die axiale Geschwindigkeit ist v = x und die axiale Beschleunigung a = x. Nach einer vollen Schwingung erreicht der Massenpunkt wieder seine Ausgangslage. Die dafür erforderliche Zeit nennt an die Schwingungsdauer T. Das Arguent der Funktion cos t ist in der Zeit T u gewachsen, und es gilt t = oder T (.4) Unter Berücksichtigung von Gl. (.33) ist T / (.43) c Der Faktor heißt die Kreisfrequenz der Schwingung. Sie wird i Allgeeinen in der Einheit 1/s angegeben. Der Reziprokwert der Schwingungsdauer T ist die Frequenz 1 n T (.44)

19 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 77 Sie gibt die Anzahl der Schwingungen in der Zeiteinheit an und wird eist in Hertz (Hz) 1) geessen. Es ist 1 Hz = 1 Schwingung/s. Aus Gl. (.43) erkennt an, dass die Schwingungsdauer nur von der Masse und der Federkonstante c abhängig ist. Sie wird klein, wenn die Masse klein und die Federkonstante groß ist, während eine große Masse und eine kleine Federkonstante (weiche Feder) eine große Schwingungsdauer ergeben. Den allgeeinsten Fall der Bewegung erhält an, wenn an den Massenpunkt zu Beginn der Bewegung auslenkt und ih dann durch Anstoß die Geschwindigkeit v erteilt. Die Anfangsbedingungen lauten dann zur Zeit t = ist x = x und x = v (.45) und aus Gl. (.35) bzw. Gl. (.36) erhält an A = x und B = v /. Die Ort-Zeit-Funktion genügt dann der Gleichung v x x cos t sin t (.46) Schreibt an dafür x = C sin ( t + ) und entwickelt nach de Additionstheore, so folgt x = (C sin ) cos t + (C cos ) sin t Durch Koeffizientenvergleich it Gl. (.46) gewinnt an die beiden Gleichungen C sin = x C cos = v / (.47) Durch Quadrieren und Addieren der linken und rechten Seiten dieser Gleichungen erhält an wegen sin + cos = 1 die Aplitude der Schwingung v x C x Den Nullphasenwinkel erhält an aus de Quotienten C sin /C cos x tan oder v (.48) x arctan (.49) v Die allgeeine Lösung der Differenzialgleichung (.34) kann dait in den Foren geschrieben werden cos v sin v x x t t x sin ( t ) (.5) 1) Heinrich Hertz (1857 bis 1894)

20 78 Kinetik des Massenpunktes Die Ort-Zeit-Linie ist u den Nullphasenwinkel gegenüber der Sinuslinie x = B sin t voreilend (sie ist auf der Zeitachse nach links verschoben) (Bild.15). Bei einfachen Schwingungsprobleen interessiert oft nur die Frequenz der freien Schwingungen. Das sind solche, die z. B. nach eine einaligen Anstoß auftreten, wenn der schwingende Körper sich selbst überlassen bleibt. Ihre Kreisfrequenz kann aber bereits aus der Gl. (.34) entnoen werden. Ein Schwingungsproble ist daher häufig als gelöst zu betrachten, wenn es gelungen ist, die Bewegungsgleichung auf die Noralfor der Gl. (.34) zurückzuführen. x x x 3 t Bild.15: Ort-Zeit-Diagra für beliebige Anfangsbedingungen (für t = ist x = x und x = v ) Beispiel.1: Ein Körper it der Masse a Ende einer Feder (Federkonstante c) vollführt vertikale Schwingungen i Schwerefeld der Erde (Bild.16). Gesucht ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Unter der Wirkung der Gewichtskraft allein verlängert sich die Feder u f st. In dieser Lage ist die Federkraft c f st it der Gewichtskraft F G i Gleichgewicht (Bild.16b). c f st = F G = g (.51) Die Koordinate der Verschiebung y zählt an bei Schwingungsprobleen zweckäßig von der statischen Ruhelage des Massenpunktes aus (Bild.16a). In Bild.16c ist der Körper u y ausgelenkt und in Bild.16d freigeacht. Die Feder ist u (y + f st ) gespannt. Das Gleichgewicht der Kräfte verlangt y + c (y + f st ) F G = y + c y + (c f st F G ) = Wegen Gl. (.51) verschwindet der letzte Klaerausdruck, also ist y + c y = oder c y y (.5) Daraus folgt c / Der Körper schwingt also i Schwerefeld it der gleichen Frequenz, wie in einer horizontalen Ebene. Wählt an die Anfangsbedingungen nach Gl. (.38), so ist y = y cos t Die Schwingung erfolgt it der Aplitude y = y u die statische Ruhelage als Gleichgewichtslage (Bild.16e). Die Schwerkraft bewirkt lediglich eine Verschiebung der statischen Ruhelage u f st, sie hat keinen Einfluss auf die Frequenz der Schwingungen. Aus Gl. (.51) folgt c/ = g/f st. Setzt an dies in Gl. (.43) ein, so erhält an die Schwingungsdauer fst T (.53) c g Die statische Durchsenkung eines Feder-Masse-Systes kann vielfach experientell bestit werden. Dait gewinnt an aus der letzten Gleichung in einfacher Weise die Schwingungsdauer.

21 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 79 c c fst fst statische Ruhelage FG y a) b) c) d) FG e) y c ( y + fst ) y y t Bild.16: Feder-Masse-Syste i Schwerkraftfeld a) Feder entspannt b) statische Ruhelage c) ausgelenkte Lage d) Massenpunkt freigeacht e) Ort-Zeit-Kurve Beispiel.11: Matheatisches Pendel. Ein Körper it der Masse hängt an eine asselosen Faden und schwingt in einer Ebene i Schwerefeld. Man bestie die Kreisfrequenz und die Schwingungsdauer T bei Beschränkung auf kleine Schwingungen. Da sich der Massenpunkt auf einer Kreisbahn bewegt, beschreibt an die Bewegung zweckäßig in Polarkoordinaten. Die Lage des Massenpunktes ist in jede Augenblick durch den von der statischen Ruhelage aus gezählten Winkel festgelegt. In Bild.17b ist der Massenpunkt freigeacht. Neben der Gewichtskraft F G und der Noralkraft F n (Fadenkraft) greifen an ih die tangentiale Trägheitskraft l = l und die Fliehkraft l = l an. Die Erste ist der Koordinate und die Zweite der Noralenrichtung entgegen (also radial nach außen) anzunehen, d. h. entgegen der positiven Tangential- und Noralbeschleunigung. Für den Bewegungsablauf interessiert nur das Gleichgewicht der Kräfte in tangentialer Richtung l + F G sin = (.54) Teilt an die einzelnen Glieder dieser Gleichung durch l, so folgt it F G = g g sin (.55) l Dies ist eine nichtlineare Differenzialgleichung, auf deren Lösung wir hier verzichten 1). Beschränkt an sich auf kleine Auslenkungen, so kann an it ausreichender Genauigkeit sin durch das Bogenaß des Winkels ersetzen (an spricht vo Linearisieren der Bewegungsgleichung) und erhält g (.56) l Diese Gleichung stit it der Noralfor der Schwingungsdifferenzialgleichung (.34) überein, wenn an g (.57) l setzt. Mit Gl. (.4) erhält an die Schwingungsdauer für kleine Schwingungen l T (.58) g 1) Ihre Lösung führt auf elliptische Integrale.

22 8 Kinetik des Massenpunktes l h a) b) FG Bild.17: a) Matheatisches Pendel b) Kräfte a Massenpunkt Die Schwingungsdauer ist also nur von der Fallbeschleunigung g und der Fadenlänge l abhängig, sie nit it wachsender Fadenlänge zu. Ist die Schwingungsdauer eines atheatischen Pendels durch Messen bekannt, so kann it Hilfe von Gl. (.58) die Fallbeschleunigung bestit werden. Beispiel.1: Auf zwei gleiche Walzen, die sich i Abstand l it der konstanten Winkelgeschwindigkeit gegenläufig drehen, wird ein dünner Balken it der Masse gelegt (Bild.18). Man stelle die Bewegungsgleichung des Balkens auf und diskutiere sie. In Bild.18b ist der Balken freigeacht. Die Schwerpunktkoordinate x des Balkens ist von der Mitte zwischen den Walzen aus gezählt. Infolge der Gewichtskraft F G üben die Walzen auf den Balken die Auflagerkräfte FG FG Fn1 ( l x) und Fn ( l x) l l aus. Die Gleitreibungskräfte sind daher F r1 = F n1 und F r = F n wobei die Gleitreibungszahl ist. Die Reibungskräfte sind der relativen Verschiebung in 1 und entgegen gerichtet. In Bild.18b sind alle a Balken angreifenden äußeren Kräfte und die Trägheitskraft x (entgegen x) eingetragen. Die Gleichgewichtsbedingung der Kräfte in Bewegungsrichtung erfordert FG g g x Fr1 Fr ( Fn1 Fn) x x x x l l l Die letzte Gleichung ist die Noralfor der Schwingungsdifferenzialgleichung. Der Balken vollführt also eine haronische Bewegung it der Kreisfrequenz und der Schwingungsdauer T, wobei g l T (.59) l g ist. Bei bekannter Schwingungsdauer kann it Hilfe der letzten Gleichung der Gleitreibungskoeffizient zwischen Balken und Walze bestit werden. Dait in jeder Lage x Gleiten zwischen Balken und Walze stattfindet, uss die Ufangsgeschwindigkeit r der Walze größer als die axiale Geschwindigkeit x des Balkens sein r > x (.6)

23 .1 Das Newtonsche Grundgesetz 81 Bezeichnet an die Aplitude der Schwingungen it x, so gewinnt an aus Gl. (.5) durch Differenzieren und Berücksichtigung der Gl. (.48) x = x. Dait folgt aus Gl. (.6) x x r r g l x b) Fn1 Fr1 x Fr FG Fn Bild.18: a) Brett auf sich gegenläufig drehenden Walzen b) Brett freigeacht a) l S l r.1.7 Aufgaben zu Abschnitt.1 1. Die Masse eines Zuges beträgt ohne Lokootive = kg. Bei Anfahren erreicht er gleichförig beschleunigt auf ebener Bahn nach einer Strecke von s 1 = 9 die Geschwindigkeit v 1 = 54 k/h, die Fahrwiderstandszahl ist r =,5. Wie groß ist die in der Kupplung der Lokootive übertragene Kraft F, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt wird?. a) Wie groß ist die Zugkraft F a Ufang der Treibräder der Lokootive in der vorstehenden Aufgabe, wenn die Masse der Lok L = 1, 1 5 kg ist und der Zug die Geschwindigkeit v 1 = 54 k/h unter gleichen Bedingungen bei 1 % Steigung erreicht? b) Wie groß uss die Haftzahl indestens sein, dait die Treibräder nicht durchrutschen? (Ann.: Treibräderbelastung L g). 3. Welche Zugkraft F s wirkt in de Seil des Förderkorbes ( = kg) von Beispiel 1.7, S. 15, in den drei Bewegungsabschnitten? (Reibung wird vernachlässigt.) 4. Man bestie die Beschleunigung a 1 und die Seilkraft F s des Systes in Bild.19 für 1 = kg und = 4 kg. Die Reibung in den Rollen und die Rollenassen seien vernachlässigt. 1 Bild.19: Syste zu Aufgabe 4 Bild.: Syste zu Aufgabe 5 5. Welche Beschleunigung erfahren die beiden Körper in Bild., wenn die Masse der Rolle und die Zapfenreibung vernachlässigt werden ( =,3 zwischen Masse und Bahn)? 6. Wie groß uss die Masse in Bild.1 sein, wenn der Wagen in t 1 = 3 s den Weg s 1 = 9 aus der Ruhelage zurücklegt ( 1 = 1 3 kg, r =,3)? Die Masse der Rollen und die Reibung in den Zapfen sei vernachlässigt ( = 3º).

24 8 Kinetik des Massenpunktes s 1 1 Bild.1: Syste zu Aufgabe 6 7. Welche Massenkraft F tritt a Kolbenbolzen in Aufgabe 7, S. 53, i unteren bzw. oberen Totpunkt auf, wenn der Kolben die Masse =,5 kg hat? 8. Ein Fahrzeug durchfährt eine Kurve (Krüungsradius = ) it v = 1 k/h (vgl. Beispiel.9, S. 73). Welche Überhöhung (tan ) uss die Kurve haben, wenn die Resultierende F R aus der Fliehkraft F F und der Gewichtskraft F G senkrecht zur Fahrbahn liegen soll (Bild.1)? 9. Bei welcher Drehzahl n verögen die Fliehgewichte des Fliehkraftreglers ( = 1 kg) in Bild. die Muffe ( = 1 kg) aus der gezeichneten Lage ( = 3º, l = c) anzuheben? Das Eigengewicht der Stangen und Reibung werden vernachlässigt. 1. Ein Pkw fährt it konstanter Geschwindigkeit v über eine Bergkuppe. Die Bergkuppe hat in der Vertikale den Krüungsradius = 1 (Bild.3). Bei welcher Geschwindigkeit v hebt das Fahrzeug i Punkt A von der Bahn ab? A A v B l Q Bild.: Syste eines Fliehkraftreglers Bild.3: Fahrzeug fährt über eine Bergkuppe 11. Bei welcher Grenzbeschleunigung a beginnt die Ladung des Lkw i Bild.4 zu rutschen, wenn die Haftzahl =,5 beträgt? 1. An einer vertikal gelagerten Welle ist über einen Stab der Länge l = 3 c (it vernachlässigbar kleiner Masse) eine Masse gelenkig angeschlossen (Bild.5). a) Bei welcher Drehzahl n bildet der Stab it der Achse der Welle den Winkel = 3º? b) Von welcher Winkelgeschwindigkeit an ist überhaupt eine Auslenkung des Stabes öglich? a Bild.4: Last auf Lkw Bild.5: Fliehkraftpendel an sich drehender Welle

25 .1 Das Newtonsche Grundgesetz Man berechne die Fadenlänge für ein atheatisches Sekundenpendel. Erläuterung: Ein Sekundenpendel hat die Schwingungsdauer T = s. 14. Ein Güterwagen = kg fährt it der Geschwindigkeit v gegen einen ungefederten Prellbock. Die Federkonstante einer seiner Pufferfedern beträgt c = kn/c. a) Wie groß ist die Stoßdauer t s, wenn elastische Verforung der Feder vorausgesetzt wird? Unter Stoßdauer t s wird die Zeit verstanden, in der sich Wagen und Prellbock berühren. b) Ist die Stoßdauer bei elastischer Verforung der Feder von der Geschwindigkeit v abhängig? Reibung sei vernachlässigt. c) Wie groß sind der axiale Federweg x, die axiale Federkraft F und d) die axiale Bresverzögerung a, falls v = 1 /s ist? Anleitung: Man beachte, dass der Wagen eine schwingende Bewegung ausführt. 15. Man stelle die Bewegungsgleichungen der Feder-Masse-Systee in Bild.6 auf und bestie die Kreisfrequenz der kleinen Schwingungen. Die Masse der Rollen und Reibung werden vernachlässigt. 16. Welche Kraft F B wirkt i Gleitlager B der Kreuzschubkurbel des Bildes 1.38, wenn diese gleichförig it der Drehzahl n A = 144 in 1 angetrieben wird? Die Masse der hin- und hergehenden Teile ist = 4 kg und der Kurbelradius r = 1 c. Reibung in den Lagern sei vernachlässigt (Bild 5.68). c a) c b) c c) d) c Bild.6: Feder-Masse-Systee a l F K B c A Bild.7: Zweipunkt-Fliehkraft-Drehzahlregler 17. Bild.7 zeigt das Schea eines Fliehkraft-Drehzahlreglers, wie er zu Konstanthalten der Drehzahl an kleineren E-Motoren verwandt wird. Bei Überschreiten der Solldrehzahl n K öffnet der Kontakt K und schaltet den Motor aus und bei Unterschreiten von n K wieder ein. U welchen Betrag f K uss die Feder (Federkonstante c = 1 N/c) vorgespannt sein, wenn die Solldrehzahl n K = 1 in 1 beträgt? (a = 7, l = 15, r = OB = 1, = 4º, = g). Die Masse des Kontaktares AB und die Wirkung der Schwerkraft werden vernachlässigt. 18. Bei welcher Bahngeschwindigkeit v kann sich ein Satellit in der Höhe h = 8 k auf einer Kreisbahn u die Erde bewegen? Erläuterung: Die Fallbeschleunigung g ändert sich it de Abstand r vo Erdittelpunkt nach der Gleichung

26 84 Kinetik des Massenpunktes R g r g (.61) Darin sind der Erdradius R = 6371 k und g = 9,81 /s die Fallbeschleunigung in Erdnähe. 19. In welcher Höhe h oberhalb der Erdoberfläche kann ein Satellit relativ zur Erde in Ruhe sein? (Vgl. Erläuterung zu Aufgabe 18.). Arbeit, Energie, Leistung Problee der Mechanik können allein it Hilfe der Newtonschen Axioe gelöst werden. Jedoch zeigt es sich, dass durch Einführung der Begriffe Arbeit, Energie und Leistung viele Problee einfacher und übersichtlicher dargestellt werden können. Diese Begriffe spielen in der Anwendung eine große Rolle, z. B. auch bei Größenvergleich von Maschinen und Anlagen...1 Arbeit einer Kraft Arbeit einer konstanten Kraft auf gerader Bahn. Wir betrachten den Wagen in Bild.8a, der sich infolge der konstanten Kraft F geradlinig bewegt 1). Die Kraft greift i Punkte P des Wagens an, und zwischen zwei Lagen und 1 erfährt der Kraftangriffspunkt die Verschiebung PP 1 = s. Der Kraftvektor schließt it der Verschiebungsrichtung den Winkel ein. Dann definiert an: Die Arbeit W der Kraft F ist das Produkt aus der Kraftkoponente F cos in Verschiebungsrichtung und de Weg s, den der Kraftangriffspunkt bei der Verschiebung zurücklegt. W = F s cos (.6) Weist der Kraftvektor in eine Sonderfall in Richtung der Verschiebung ( =, cos = 1), so ist die Arbeit W = F s. Steht er senkrecht auf der Verschiebungsrichtung ( = /, cos = ), so ist die Arbeit W =. Die Kraft F ist in diese Fall nicht in der Lage, den Wagen in Richtung seiner Bahn zu bewegen. F Fn P s P1 Ft a) s 1 - s b) Fr Fn FG Fr1 Fn1 Bild.8: a) Kraft F an eine Wagen b) Wagen freigeacht 1) An de Wagen greifen während der Bewegung auch andere Kräfte an. Hier interessieren wir uns nur für die Kraft F.

27 . Arbeit, Energie, Leistung 85 Die Kraft F kann in Koponenten in Richtung und senkrecht zur Richtung der Verschiebung zerlegt werden Ft F cos F Fn F sin Mit F t = F cos erhält an dann für Gl. (.6) W = F t s (.63) Es verrichtet also nur die Kraftkoponente F t in Richtung der Verschiebung eine Arbeit. Die Verschiebung des Kraftangriffspunktes von P nach P 1 kann durch den Verschiebungsvektor s angegeben werden (Bild.8a). Man bezeichnet die Operation in Gl. (.6), nach der de Kraftvektor F und de Verschiebungsvektor s die skalare Größe W (die Arbeit) zugeordnet wird, als skalares oder inneres Produkt (s. Band Statik, Abschn und Brauch, W.; Dreyer, H.-J.; Haacke, W.: Matheatik für Ingenieure, 11. Aufl., Wiesbaden 6) und schreibt W = F s = F s cos = F t s (.64) Die Arbeit kann in verschiedenen Einheiten angegeben werden. In der Mechanik wird das Newtoneter (N) verwandt. Das Newtoneter gestattet eine leichte Urechnung auf andere Maßeinheiten; denn ein Newtoneter ist gleich eine Joule (J) und dies gleich einer Wattsekunde (Ws) 1 N = 1 J = 1 Ws (.65) Trägt an die Bahnkoponente F t über der Ortskoordinate s auf, so ist die Arbeit W = F t s = F t (s 1 s ), die die Kraft bei der Verschiebung des Angriffspunktes von der Stelle s zu der Stelle s 1 verrichtet, der Rechteckfläche unter der Kraft-Ort-Kurve proportional (Bild.9). Die Arbeit ist positiv, wenn die Bahnkoponente der Kraft it der Verschiebung gleichgerichtet ist. Wirkt F t der Verschiebungsrichtung 3 entgegen, so ist die Arbeit negativ ( für ist cos ). Bild.9: Kraft-Ort-Diagra bei konstanter Bahnkoponente der Kraft Ft W Ft s s 1 - s s 1 s Beispiel.13: An de Wagen (Bild.8) it der Masse = 5 kg greift unter de Winkel = 3º die Kraft F an. a) Wie groß ist F, wenn sich der Wagen gleichförig bewegt und der Koeffizient der rollenden Reibung μ r =,3 beträgt? b) Welche Arbeit verrichtet die Kraft F auf de Weg s = 1? a) Wegen der gleichförigen Bewegung treten keine Trägheitskräfte auf, und das Gleichgewicht der Kräfte in Bewegungsrichtung (Bild.8b) bzw. senkrecht dazu verlangt it (F r1 + F r ) = F r und (F n1 + F n ) = F n F t = F cos = F r = r F n und F n = F G F sin