Prof. Dr. J. Böhm-Rietig Mathematik 3 / Statistik FH-Köln, FB 19 Schließende Statistik 02261/

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1 Parametertests Induktive Statistik / Hypothesentests / Signifikanztests Philosophie Der Begriff der statistischen Signifikanz: Statistische Signifikanz befaßt sich mit der Frage, ob es in ausreichendem Maße unwahrscheinlich ist, daß die Ergebnisse von Stichproben zufällig auftraten, um daraus zu schließen, daß eine andere Erklärung gerechtfertigt ist. Beispiel Produktionsqualität Angenommen, ein Drittel der Produktion ist jeweils (zufällig) defekt. Angenommen, Ingenieure haben maßgebliche Veränderungen zur Q- Verbesserungen vorgenommen Sie planen eine Zufalls-Stichprobe vom Umfang 5 (Stück mit Zurücklegen Bin.Vert.) zur Überprüfung. Ohne Veränderungen erwarten (Sie jeweils %): k= P(X=k) 0,,7 6,0 3,0 9,5,4 7,9,5 5,7, 0,7 0, 0,0 P(X k) 0,,9 7,9 0,9 40,4 6,8 79,7 9, 96,9 99, 99, Erwarten Sie nun 0 Fehler? Würden nur zwei Fehler einen deutlichen Hinweis für eine echte Prozeßverbesserung ergeben? Würden Sie sich trotz Überarbeitung über 5 Fehler wundern? Was würden Sie denken, wenn in einer (0*5=) 50er-Stichprobe 0*5=50 Fehler auftreten würden? Unterschied? Was heißt eigentlich maßgebliche Verbesserung? [Parametertests.doc] S. [ ]

2 Wenn die Ingenieure die Veränderungen vornehmen und dann eine Stichprobe ohne Defekte finden, dann gibt es nur nur zwei logische Erklärungen: oder a) der Prozeß ist nicht verbessert worden und eine extrem unwahrscheinliche Stichprobe ist gewählt worden, b) der Prozeß ist verbessert worden, und der Anteil der Defekte in der Population ist unter ein Drittel gesunken. Bei oder Fehlern gilt dies abgeschwächter genauso! Achtung: Man kann b) nicht beweisen, obgleich a) sehr unwahrscheinlich ist. Man kann a) nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit ( 0,%) ausschließen. Philosophie In der Wissenschaft kann man nie etwas bestätigen, sondern man ist gehalten, die eigenen Vorurteile ("Hypothesen") zu widerlegen! Trick: Man darf natürlich das Gegenteil vom Gewünschten unterstellen und dann versuchen, dies zu widerlegen : "(schwacher) indirekter Beleg durch Widerspruch" Z.B. Mordprozess: Wenn der Verdächtige nicht der Einzeltäter war, dann war er zu dieser Zeit nicht am Tatort. Er war nach seiner Aussage am Ort X. Am Ort X war aber der Kommissar zu dieser Zeit und hat ihn nicht dort gesehen, also lügt derverdächtige. Evtl. war der Mörder aber trotzdem eine andere Person (z.b. der Kommissar!) Im Beispiel: Fehler in der Stichprobe gleichbleibende Qualität kann man nur mit 7,9% Irrtumswahrscheinlichkeit ausschließen! [Parametertests.doc] S. [ ]

3 "Richtige" Vereinbarung für eine Qualitätsstichprobe: Nach der Verbesserungsmaßnahmen wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang 5 genommen. Wenn diese weniger als 3 Fehler enthält, gehen wir von einer tatsächlichen, maßgeblichen Verbesserung aus. Risiko einer fehlerhaften Abnahme der Verbesserung: 7,9%. Risiko eine fehlerhaften Annahme : komplizierter, s.u.! Konzept Planung und Durchführung eines (einseitigen) Parametertests für den unbekannten Anteilswert p bei Binomialverteilung (n groß). Kontrolle der methodischen Voraussetzung: Liegt Binomialverteilung vor? Kann zufälliges Ziehen mit Zurücklegen gewährleistet werden? Was ist der vorgegebene (vorherige) Parameterwert p 0?. Festlegung der Stichprobenziehung unter Vermeidung von Verzerrungen. Festlegung von n, Festlegung einers Signifikanzniveaus (Irrtumswahrscheinlichkeit) α (z.b. α=5% oder α=%). 3. Wir gehen von der Hypothese aus, dass k (Anzahl der Fehler in der Stichprobe) binomialverteilt ist und dass sich das aktuelle Qualitätsniveau p nicht verbessert hat p = p 0. Uns interessiert nur die Verbesserung, also würden wir p<p 0 gerne als Alternative annehmen, wenn die Stichprobe stark genug in diese Richtung weist. 4. Festlegung einer Testvariablen : Wenn p=p 0, wird das aktuelle k nach BV verteilen und Pˆ =k/n eine gute Schätzung für p0 sein. n Genauer: U:= Pˆ p 0 ist SNV wenn n p p 0 ( p 0 ) 0 (-p 0 )>9, Pˆ : ist die Stichprobenmaßzahl (k/n). p 0 : ist der vorausgesetzte Wert (Hypothese) [Parametertests.doc] S. 3 [ ] -/Ablehnungsgrenze estvariablen U

4 Ansonsten ist U:= k (=n Pˆ ) auf jeden Fall binomialverteilt mit EW(n Pˆ )=n p0 und Var(n Pˆ )=n p0 ( - p 0 ). 5) Aufgrund der Voraussetzungen kann man nun einen kritischen Wert c bestimmen mit P( U c ) = α (oder P( c U ) = - α). Beispielsweise α=5% und U ist SNV : 0,05 = P( U c ) = Φ(c) c = Φ - (0,05)= -,645 oder α=5% und U ist binomialverteilt mit p 0 =/3: 5 k n 5 5 k P(U=k)= p k 5 0 ) n p k 0 ( = = k k 3 k 3 k 3 5 Die Invertierung der Binomialverteilung ist nur iterativ möglich : k 0 P(U=k) 0,003 0,07 0,0599 P(U k) 0,003 0,094 0,0793 0,05 = P( U c ) c =,... Wegen Ganzzahligkeit c=. Annahme-/Ablehnungsgrenze der Zählgröße k 6. Erhebung der Stichprobe; Berechnung des Schätzwertes (k: Anz. der "Erfolge") und des Test-/Prüfwertes: û der Testvariable. 7. Testentscheidung: k pˆ : = n c û so bleibt man beim Parameterwert p=p 0. Aus dieser Stichprobe läßt sich kein Widerspruch zur Grundannahme ableiten! û < c so stellt diese Stichprobe einen signifikanten Widerspruch zur Voraussetzung p=p 0 dar, d.h. der wahre Populationsparameter ist p<p 0 mit Irrtumswahrscheinlichkeit α, [Parametertests.doc] S. 4 [ ]

5 Annahme- und Ablehnungsbereiche bei einseitigen Parametertests: 5% 0% 5% 0% 5% Kritischer Wert (Anzahl der Erfolge, Binomialverteilung) Ist die Qualität unverändert? Wahrscheinlichkeit Ablehnung Annahme 0% Anzahl Fehler Kritischer Wert (standardisierte Testvariable mit SNV) Ablehnung Annahme 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0, c U Beispiel Gummibärchen: Der Anteil roter Gummibärchen soll mindestens 33% betragen. In einer 00g Tüte befinden sich etwa 43 bis 45 Gummibären. Mit einem Signifikanztest könnte man diese Vorgabe mit einer verbleibenden Irrtumswahrscheinlichkeit ablehnen, wenn die Anzahl roter Bären geringer als... (?) ist!. Binomialverteilung liegt vor; wegen großer Stückzahlen ist eine Tüte sicher wie eine Stichprobe "mit Zurücklegen" zu betrachten. [Parametertests.doc] S. 5 [ ]

6 . Stichprobenziehung ohne Verzerrung ist schwer zu garantieren (z.b. "Verkäufer ist selber Fan von roten GB"). α=5% Signifikanz. 3. Grundhypothese: p 0 =33,3% ist das zu widerlegende Vorwissen. H 0 : p = p 0 = 33,3% Abweichungen in beide Richtungen könnten uns zur Abkehr davon bewegen: H (Alternative): p p 0 = 33,3% (als p<p 0 oder p>p 0 ) 4. Wegen 45 (/3) (/3)=0>9 kann man mit der SNV-Testvariablen rechnen: U := 45 Pˆ (für n=45) kritischer Wert einseitig : c=,645 (für α=5%, s.o.) kritischer Wert richtig gemäß H zweiseitig: c= Φ ( α /) =, Stichprobe wird ausgezählt: von 45 sind rot. û = = -0,949 9 k pˆ : = = n Testentscheidung: wegen c < û (einseitig) bzw. û c (-seitig!) können wir die Herstellerangaben nicht widerlegen (obgleich recht wenig rote Bären in der Tüte waren). Frage: Wieviel müßten denn in der Tüte liegen, damit die Entscheidung kippt? Man muß den kritischen Wert zurück in die Anzahlen-Dimension rechnen: û = c pˆ 45 9 =, 645 pˆ =,8% k=9,8 3 Unterhalb von 0 roten Bären wird man die Herstellerangabe also in Zweifel ziehen (α=5% Irrtums-W'K, einseitig). [Parametertests.doc] S. 6 [ ]

7 Zweiseitiger Parametertest Den Hersteller interessiert jede Abweichung vom veröffentlichten Wert, also nach unten und nach oben! Es gibt kritische Werte: c u und c o : P( c u U c o ) = - α Achtung: Übereinstimmung mit Vertrauensintervall! Bestimmung von c u und c o mittels SNV (also wieder nur n p (-p)>9) genau wie beim K.I. : c u = Φ - (α/) (= -,960 für α=5%) und c o = Φ - (-α/) (=,960 für α=5%) Mit den entsprechenden Quantilen für die Binomialverteilung, wenn SNV nicht einsetzbar ist. Testentscheidung: û c o ( c u û c o ) keine Abweichung feststellbar; û > c o ( û < c u oder c o < û ) Herstellerangaben sind (mit Irrtums-W'K α) falsch. Zweiseitiger Test (standardisierte Testvariable mit SNV) 0,50 0,40 Ablehnung 0,30 0,0 Annahmebereich 0,0 Ablehnung 0, U 3 Ansonsten keine Änderung zu Obigem! Zweiseitige Tests : H 0 : p=p 0 Einseitige Tests : H 0 : p p 0 (oder p p 0 ) [Parametertests.doc] S. 7 [ ]

8 Allgemeine Formulierung eines Signifikanz-/Parametertests. Feststellung der zugrundeliegenden Population und ihrer Verteilung. Festlegung einer Arbeitshypothese ("was soll widerlegt werden?") Nullhypothese H 0 : p=p 0 (oder p p 0 oder p p 0 oder p p 0 ) Die Alternative ist wichtig für den Ablehnungsbereich ("was wollen wir indirekt bestätigen?") Alternativhypothese (H a ) H : p p 0 (oder entsprechend passend). Festlegung des Parameterschätzers und der Testvariable. Festlegung der Stichprobengewinnung, "n" und Beschreibung weiterer Voraussetzungen (z.b. für die Näherung mittels SNV) 3. "α" Signifikanzniveau festlegen (. und 3. vertauschbar!). α ist die W'K dafür, daß H 0 fälschlicher Weise abgelehnt wird, obgleich sie zutrifft (Fehler. Art)! 4. Bestimmung der kritischen Werte (wenn die Verteilung des Parameterschätzers bekannt ist, sonst näherungsweise). 5. Durchführung des Tests, der Stichprobenziehung und Bestimmung des Wertes der Testvariable. 6. Testentscheidung:. Fall: H 0 bleibt weiterhin bestehen, wenn die Testvariable die kritischen Werte nicht über- bzw. unterschreitet: "H 0 kann nicht abgelehnt werden".. Fall: Die Testvariable liegt im Ablehnungsbereich, "H 0 wird zugunsten von H verworfen". (Das hat uns dann wahrscheinlich gefreut, denn die Widerlegung ist oft das gewünschte Ziel!) Man sagt nicht: H wird angenommen/h ist damit bewiesen! Im anderen Fall sagt man nicht: H 0 ist bewiesen! Höchstens etwas bedauernd: H 0 konnte nicht abgelehnt werden auf diesem Signifikanzniveau (α=...) [Parametertests.doc] S. 8 [ ]

9 Typen von Parametertests Test-Art testet Voraussetzung Testgröße Verteilung f= ) Gauss µ NV mit σ bekannt; BV mit n p (-p)>9 ) Student t-test µ NV u = t = x µ 0 σ/ n SNV x µ 0 Student-t n- s/ n 3) χ σ NV z = (n ) s 0 σ χ n- 4) Gauss µ -µ NV; σ,σ bekannt; verbundene Stichproben! wie oben () mit u= x x n σ + σ SNV 5) t-test "Doppel-t- Test" µ -µ NV verbundene Stichproben! wie oben () mit x u= x n s s + Student-t n- 6) Gauss µ -µ NV; σ,σ bekannt; unverbundene Stichproben! x u = x σ σ σ := σ + n n SNV 7) t-test "Doppel-t- Test" µ -µ NV; unverb.; n n x x σ =σ unbek.! s n + n s := (n )s n + (n )s + n Student-t n + n - [Parametertests.doc] S. 9 [ ]

10 4) bis 7) sind natürlich -seitige Tests! Hinweise: ) Binomialverteilung: Unter Ausnutzung der Approximation der BV durch die NV kann man für n p (-p)>9 diese annähernd SNVverteilte Testvariable verwenden (siehe Papula S. 589): u := p p 0 p 0 ( p ) 0 n, wenn p 0 der hypothetische Wert ist. ) χ : Es handelt sich nicht um einen sogenannten χ -Test! Das Heraussuchen der Grenzquantile erfolgt genauso, wie es bei den Konfidenzintervallen geübt wurde! Siehe Papula, Band3, III ) In der Praxis ist der F-Test zum Vergleich zweier Varianzen sehr verbreitet, der leider keine Erwähnung in Papula findet: Zwei nicht verbundene Stichproben (diskrete oder stetige Zufallsvariablen) aus einer (hinreichend annähernd) normalverteilten Grundgesamtheit werden hinsichtlich der Gleichheit ihrer Varianzen s getestet mit der Testvariable f:= (immer umstellen zu s s >s ) unter Zuhilfenahme der Quantile der F-Verteilung (mit den Freiheitsgraden n - und n -). Es wird somit geprüft, ob dieser Quotient signifikant von verschieden (größer) ist. Mögliche Fehlerquellen bei einem Parametertest. Man kann H 0 fälschlich ablehnen, obgleich es richtig ist. Die W'K dafür ist α. Fehler. Art. Da Produzenten und Abnehmern derartige Test zur Qualitätskontrolle verabreden und ein Fehler.Art zu Lasten des Lieferanten geht, nennt man α das Produzenten-/Lieferantenrisiko. [Parametertests.doc] S. 0 [ ]

11 . Man kann H 0 fälschlich bestätigen, obgleich es nicht gilt. Die W'K dafür ist nur unter Zuhilfenahme einer festen Gegenhypothese zu berechnen : "β", Fehler. Art. Gemäß obiger Konvention nennt man β das Konsumenten-/Abnehmerrisiko. Bei einseitigen Test kann man die Fehler recht anschaulich darstellen: µ 0 ist der per Hypothese vorausgesetzte Wert, links die unterstellte Verteilung, aufgrund derer "c" berechnet wird. Die rechte (Dichte-) Kurve stellt die tatsächliche Verteilung mit einem tatsächlichen Erwartungswert µ dar. f(x) angenommene, hypothetische Verteilung tatsächliche Verteilung µ 0 c Man sieht mit einem Blick: β α µ verändert man den kritischen Wert "c" zugunsten des Lieferanten (Verkleinerung von α), so vergrößert man das Konsumentenrisiko (Vergrößerung von β) und umgekehrt! Man bestimme also immer erst "α", berechne daraus den kritischen Wert "c" und versuche dann, "β" sinnvoll abzuschätzen (s.u.). Ist "β" zu groß, beginnt man neu mit einem größeren "α" bis zum Ausgleich der Interessen zwischen Produzent und Abnehmer : [Parametertests.doc] S. [ ]

12 Bestimmung des Fehlers.Art ("b"): Man kann b nur immer in Abhängigkeit des unbekannten tatsächlichen Parameterwertes (in der Skizze µ ) bestimmen!! Beispiel: einfacher, einseitiger Gauss-Test (µ<=µ 0 ) mit α=5%, µ 0 =5 und σ=3,63 (s.o. entspricht Gummibärchentest mit p 0 =/3 und n=45). c kritisch =,645 als oberster zulässiger Wert für die Testvariable u= x 5. 3, 63 c kritisch = c 5 c =,645 3,63+ 5=0,0 3,63 (Beim Gummibärchentest wäre x die Anzahl roter Bären in einer Tüte mit 45 Stück). u > c liegt im Ablehnungsbereich (mit α-fehler) u c ist der Annahmebereich (mit β-fehler in Abhängigkeit von µ ) Für eine tatsächliche Verteilung mit µ >µ 0 (bei gleichem σ!) gilt : X µ c µ c µ β( µ = µ σ = =Φ ) P NV( ; ) (X c) P SNV : σ σ σ µ c µ σ 0,696 0,064-0,569 -,0 -,834 β(µ ) 75,7% 5,5% 8,5%,5% 3,3% binomial 77,8% 56,% 3,8% 4,8% 4,9% Die letzte Zeile zum Vergleich die Berechnung mittels Binomialverteilung mit einer Verschiebung aufgrund diskreter Werte. Man nennt den Zusammenhang β=β(µ ) die Operationscharakteristik des Parametertests. [Parametertests.doc] S. [ ]

13 Der einzige Weg, um gleichzeitig beide Fehlerarten also sowohl α als auch ß zu reduzieren besteht darin, die Stichprobengröße zu erhöhen. Dies ist in dieser Skizze angedeutet (n=90 für Tüten mit verringertem σ). ß - Fehler ß( µ) 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% ß(µ) (a=5%) ß(µ) (a=0%) ßn(µ) (a=5%) σ/wurzel() --> σ µ Je größer die Stichprobe, desto steiler die Operationscharakteristik. Mit "n" wächst die Trennschärfe des Parametertests, da man µ 0 und µ besser durch den Test "unterscheiden" kann. Zum Vergleich hier die Darstellung der Binomialverteilungen mit p 0 =33,3% (entsprechend µ 0 =5) und p =48,9% (entsprechend µ =): Gummibärchen in 45er Tüten (p=/3) Wahrscheinlichkeit 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 p(k) p0=33,3% p(k) p=48,9% Anzahl rote Bären [Parametertests.doc] S. 3 [ ]

14 Gummibärchen: H 0 : µ µ 0 (=5) H : µ = µ ( µ 0 ) σ = 3,68 bekannt ( 45schon verrechnet). ( Binomialvert.: n=45, p 0 = /3) α=5% φ - (-α) =,645 c krit = 0,0 [Parametertests.doc] S. 4 [ ]

15 Zufällige Fehlerquellen bei einem Parametertest. H 0 ablehnen, obgleich es richtig ist. Die W'K dafür ist α. Fehler. Art. Produzenten-/Lieferantenrisiko.. H 0 bestätigen, obgleich es nicht gilt. Die W'K dafür "β" (Operationscharakteristik: β=β(µ )) Fehler. Art. Konsumenten-/Abnehmerrisiko". Einseitigen Test : c ist der kritsche Wert f(x) angenommene, hypothetische Verteilung tatsächliche Verteilung µ 0 c Man sieht mit einem Blick: β α µ α(c) β(c) c [Parametertests.doc] S. 5 [ ]

16 Verhandlungssache: Bestimme erst "α", berechne daraus "c", versuche dann, "β" abzuschätzen (bezogen auf Toleranzen). "β" zu groß, größeres "α" nochmal b-fehler : WK für x c krit. β-fehler 00% 80% 60% 40% 0% Operations-Charakteristik P(X<c), α=5% β-fehler α=0% β-fehler α=5% n=90, MW von Tüten verdreht gegenüber oben! 0% Für eine tatsächliche Verteilung mit µ >µ 0 (bei gleichem σ!) gilt : X µ c µ c µ β( µ = µ σ = =Φ ) P NV( ; ) (X c) P SNV : σ σ σ µ c µ σ µ 0,696 0,064-0,569 -,0 -,834 β(µ ) 75,7% 5,5% 8,5%,5% 3,3% binomial 77,8% 56,% 3,8% 4,8% 4,9% [Parametertests.doc] S. 6 [ ]

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