Spule und induktivität

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1 Spule und induktivität Martin Schlup 4. März 216 Inhaltsverzeichnis 1 Induktivität Selbstinduktivität Gegentinduktivität Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen Selbstinduktion Gegeninduktion Verhalten bei harmonischer Anregung Schaltvorgänge Energiegehalt 7 4 Schaltungen mit Induktivitäten Serieschaltung Verlustloser, induktiver Spannungsteiler

2 1 Induktivität Magnetische Felder sind eine Begleiterscheinung von Strom, egal ob Leitungs- oder Verschiebungsstrom. Sie sind aussserdem Energieträger, d. h. die Änderung der Stromstärke wird durch eine Freisetzung oder Bindung von Energie begleitet. Ein Magnetfeld führt in einer Leiterschleife zu einem magnetischen Fluss, unabhängig davon, ob der verursachende Strom in der Schleife selbst oder ausserhalb dieser Schleife fliesst. Nach dem Induktionsgesetz führt eine Änderung dieses Flusses zu einer Spannung im durchfluteten Stromkreis. Da in der Praxis Spannung und Stromstärke und nicht der Fluss von Bedeutung sind, wird die Induktivität als Verhältnisfaktor zwischen Fluss (Wirkung) und Stromstärke (Ursache) eingeführt. Dabei wird zwischen Selbst- und Gegeninduktivität unterscheiden, je nachdem, ob der verursachende Strom in der betrachteten Leiterschleife fliesst oder in einem externen Leiter. 1 Induktivität Untersucht man den Zusammenhang zwischen dem magnetischen Fluss Φ durch eine Leiterschleife und der erzeugenden Stromstärke I, so stellt man fest, dass im Allgemeinen 1 Proportionalität zwischen diesen beiden Grössen herrscht. Dieses Verhältnis wird Induktivität (Englisch: inductivity) genannt: L = Φ I (1) Die Induktivität hat folgende Einheit: [L] = VsA 1 = H (Henry 2 ). Übliche Grössenordnungen: Spulen für Transformatoren und Übertrager, Drosselspulen H und mehr Spulen für elektronische Schaltungen, Schwingkreise mh Übersprechen von parallelen Leitungen µh (micro 1 6 ) Anschlussleitungsstücke nh (nano 1 9 ) Die Induktivität ist eine Eigenschaft der geometrischen Form der Schleife oder der gegenseitigen Anordnung der Schleife und des stromführenden Leiters. Insbesondere ferromagnetische Materialien können sie ebenfalls beeinfussen, da diese das Magnetfeld bestimmen. 1.1 Selbstinduktivität Gewickelte Leiterschleifen welche eine bestimmte Induktivität aufweisen sollen, bezeichnet man als Spulen (Englisch: coil oder inductor). Im Allgemeinen werden die Windungen dicht einoder mehrlagig gewickelt. Die Serieschaltung von mehreren Schleifen erhöht den Fluss um die Windungszahl N. Man spricht dann von Verkettungsfluss Ψ = N Φ. Ist der magnetische Fluss eine Folge des spuleneigenen Stroms, so spricht man von Eigenoder Selbstinduktivität. Die Selbstinduktivität einer Spule nimmt mit der Windungszahl quadratisch zu und mit der Spulenlänge ab. Die Bezugsrichtung des magnetischen Flusses wird in der Regel so gewählt, dass sie mit der Richtung der magnetischen Feldlinien bei positiver erzeugender Stromstärke übereinstimmt. Somit ist die Induktivität eine positive Grösse. Das Einfügen eines ferromagnetischen Kerns in die Wicklung erhöht die Induktivität auf Kosten der Linearität: Bei ferromagnetischen Spulenkernen ist die Induktivität stark abhängig 1 d. h. in Abwesenheit von ferromagnetischen Materialien, wie z. B. Eisen 2 nach Joseph Henry ( ) 2

3 1 Induktivität von der Stromstärke. Da zur Realisierung von grösseren Induktivitätswerten ferromagnetische Materialien unerlässlich sind, wird die Linearität in der Praxis durch Einfügen eines Luftspalt im Magnetkreis mehr oder weniger wieder hergestellt. Beispiel: Lineare Luftspule (ohne Herleitung) Für eine gegenüber ihrem Durchmesser lange 3, einlagig gewickelte Spule ohne ferromagnetischen Kern gilt für die Selbstinduktivität: L = µ N 2 A l (2) Legende: N Anzahl der Windungen A durch eine Windung aufgespannte Fläche in m 2 l Spullenlänge in m µ magnetische Feldkonstante, µ = 4π 1 7 Vs/Am H/m Ende Beispiel Luftspule Beispiel: Selbstinduktivität einer Zweidrahtleitung (ohne Herleitung) Zwei parallele Drähte der Länge l mit Abstand a und Drahtdurchmesser d besitzen folgenden Induktivitätsbelag (Induktivität pro Längeneinheit in H/m): L = L l = µ ( ln a d/2 + 1 ) (3) π d/2 4 Ende Beispiel Zweidrahtleitung 1.2 Gegentinduktivität Ein magnetisches Feld kann auch eine externe Ursache aufweisen, also durch eine fremde Stromstärke zu einem Fluss in der Spule führen, dann spricht man von Fremd- oder Gegeninduktivität. L 12 = Ψ 12 I 2 (4) Der erste Index bezieht sich auf den Ort, wo der Fluss betrachtet wird (Ort der Wirkung), der zweite auf den Ort wo der Strom fliesst (Ort der Ursache). Werden die Orte der Ursache und der Wirkung vertauscht, so gilt die selbe Gleichung mit vertauschten Indizes. Gelegentlich wird anstelle von L 12 auch das Symbol M für die Gegeninduktivität benutzt (mutual inductivity). Im Gegensatz zur Selbstinduktivität, welche bei einem Verbraucherbezugspfeilsystem immer ein positives Vorzeichen aufweist, ist die Gegeninduktivität vorzeichenbehaftet, je nachdem wie die Bezugsrichtungen der Ströme in den beiden Kreisen festgelegt werden: Falls diese bei positiver Stromstärke zu einem Fluss führt, welcher den Fluss der Selbstinduktivität verstärkt, so ist L 12 positiv, andernfalls negativ. Allgemein gilt bei zwei magnetisch gekoppelten Spulen und linearen Verhältnissen, folgende Gleichung (ohne Herleitung): L 21 = L 12 = M (5) 3 Für kürzere Spulen muss noch ein Korrekturfaktor berücksichtigt werden. 3

4 2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen Ferner gilt unter den selben Bedingungen auch L 12 = M L 1 L 2 (6) Wobei das Gleichheitszeichen nur im Idealfall einer vollständigen magnetischen Kopplung zwischen den beiden Stromkreisen gilt, was in der Praxis nur näherungsweise vorkommen kann. 2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen 2.1 Selbstinduktion Die ideale Spule besitzt ausschliesslich die Eigenschaft der Induktivität welche den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Verkettungsfluss ψ(t) und der Stromstärke i(t) nach der Definitionsgleichung (1) beschreibt. Das Verhältnis ist also zu jedem Zeitpunkt dasselbe: L = ψ(t) i(t) Mit dem Induktionsgesetz 4 erhält man folgende grundlegende (differentielle) Beziehung zwischen Stromstärke und Spannung, sofern die Induktivität unabhängig von der Stromstärke ist: u(t) = dψ(t) = d (L i(t)) = L di(t) u(t) = L di(t) (7) Bemerkungen: Die obige Abbildung zwischen u(t) und i(t) ist linear, da die Bildung der Ableitung eine lineare Operation ist. Diese Eigenschaft ist unabhängig vom zeitlichen Verlauf der Stromstärke i(t)! Die Spannung ist proportional zur (momentanen) Stromstärkenänderung. Kausaler Zusammenhang: Eine zeitliche Änderung des magnetischen Feldes und damit des entsprechenden Flusses bedingt eine Spannung zusammen mit einer Stromstärkenänderung. Dies bedingt aber einen Energie Zu- oder Abfluss. Da dies nicht verzugsfrei geschehen kann, ist auch ein unstetiger Stromverlauf, bzw. ein Sprung im zeitlichen Verlauf der Stromstärke i(t) physikalisch nicht möglich. Der Strom in einer (idealen) Spule kann nicht springen. Hängt die Induktviität von der Stromstärke ab, so gilt (Kettenregel): u = dψ = dψ di di = d (Li) ( ) di dl di di = di i + L 4 Die Änderungsrate des Flusses erzeugt eine Spannung. 4

5 2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen 2.2 Gegeninduktion Magnetisch gekoppelte Leiteranordnungen lassen sich schematisch wie in der Abb. 1 darstellen. Die Bezugsrichtungen sind für beide Seiten als Verbraucherfpeilsystem gewählt. Ob die Gegeninduktivität positiv oder negativ ist, hängt von der Art der magnetischen Kopplung ab: Mit- oder Gegenkopplung. Dies wird falls nötig mit Kopplungspunkten angegeben. Abbildung 1: Ersatzschema zweier magnetisch gekoppelten induktiven Elementen Die magnetische Kopplung ist hier aus dem Schema nicht ersichtlich, da die Kopplungspunkte fehlen. Die Strom- Spannungsbeziehungen lauten wie folgt: di 1 u 1 (t) = L 1 + L di 2 12 u 2 (t) = L 12 di 1 + L 2 und etwas kompakter in Matrixform: ( ) ( u1 L1 L = 12 u 2 L 12 L 2 di 2 ) ( i 1 i 2 ) (8) 2.3 Verhalten bei harmonischer Anregung Bei einer harmonischen Anregung z. B. mit der sinusförmigen Stromstärke i(t) = Î sin(ωt) liegt gemäss Gleichung (7) auch eine sinusförmige Spannung an der idealen Spule 5 : u(t) = L di(t) = ωlî cos(ωt) = Û cos(ωt) Das Verhältnis der Amplitude der Spannung zur Amplitude der Stromstärke ist frequenzabhängig und beträgt Z = Û Î = ωl Y = Î Û = 1 ωl Das Verhältnis (9) wird Impedanz oder Scheinwiderstand Z genannt. Das reziproke Verhältnis (1) wird Admittanz oder Scheinleitwert Y genannt. Zeitlich eilt die Spannung dem Strom um π/2 voraus. 5 Bei Schaltungen mit linearen Bauelementen werden bei harmonischer Anregung nach einer transienten Phase (Übergangs-, Einschwingphase) alle Spannungs- und Stromstärkeverläufe ebenfalls harmonisch sein. (9) (1) 5

6 2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen 2.4 Schaltvorgänge Das Schalten 6 einer idealen Spule kann anhand folgender Schaltung untersucht werden: Abbildung 2: Prinzipschaltung für das Ein- und Ausschalten des Stroms in einem induktiven Element Die konstante Quellenstromstärke wurde mit I bezeichnet, um hervorzuheben, dass dieser Wert nach langer Zeit im induktiven Ast fliessen wird. Zum Zeitpunkt t = s wird der Schalter geschlossen. Unmittelbar vor dem Umschalten soll die Stromstärke in der Spule i() betragen (Anfangsbedingung 7 ). Letztere kann beliebige Werte annehmen. Da die Stromstärke in einer Spule nicht springen kann, hat sie unmittelbar nach dem Umschalten denselben Wert wie davor. Für das Ausschalten des Spulenstroms wird die Quellenstromsärke I = A gesetzt. Dabei wird vorausgesetzt, dass beim Schliessen des Schalters in der Spule die Anfangsstromstärke i() = I fliesst. Nach dem Schliessen des Schalters liefert der Knotensatz für die Schaltung aus Abb. 2 zusammen mit Gleichung (7): L R u(t) R + i(t) = I di(t) + i(t) = I Mit der Zeitkonstante τ = L/R kann diese Gleichung in normierter Form wie folgt geschrieben werden: τ di(t) + i(t) = I (11) Damit diese Gleichung 8 eine eindeutige Lösung hat, muss noch die Anfangsbedingung i() = I gegeben sein. Die Kombination einer Differentialgleichung mit Anfangsbedingung wird Angfangswertproblem genannt. Dieses hat hier folgende allgemeine und eindeutige Lösung: ( ) i(t) = I + (I I ) 1 exp( t/τ) ) = I (1 exp( t/τ) + I exp( t/τ) für t (12) 6 Dabei wird ganz allgemein das Ein- und Ausschalten eines Stroms gemeint. 7 Die Anfangsbedingung gibt (indirekt) an, welche Energie ursprünglich im Magnetfeld der Spule enthalten war: W () = L i() 2 /2. 8 Es handelt sich hier um eine lineare, nicht-homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die gesuchte Lösung dieser Differentialgleichung ist die Funktion i(t). 6

7 3 Energiegehalt Daraus kann durch Ableitung nach der Zeit der Spannungsverlauf berechnet werden: u(t) = L di(t) = L 1 τ ( I + I ) exp( t/τ) = R (I I ) exp( t/τ) (13) Bemerkungen: Beide Lösungen für i(t) und u(t) nach Gl. (12) und (13) bestehen aus zwei Teilen: die erzwungene und die freie Antwort. Bei linearen Systemen gilt das Superpositionsprinzip: das Laden bei anfänglich stromloser Spule und das Ausschalten können getrennt voneinander betrachtet werden (siehe die beiden nächsten Punkte): Für den Sonderfall einer anfänglich stromlosen Spule ergibt sich mit I = : ) i(t) = I (1 exp( t/τ) u(t) = R I exp( t/τ) Für den Sonderfall Ausschalten des Stroms ergibt sich mit I = und I : i(t) = I exp( t/τ) u(t) = R I exp( t/τ) Der Anfangswert der Spannung nach dem Schliessen des Schalters macht einen Sprung nach u() = R I. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Spannung entgegen der in der Abb. 2 eingetragenen Bezugsrichtung zeigt. Die Einschalt- oder Ausschaltzeit, bzw. die Geschwindigkeit mit welcher die Exponentialfunktion asymptotisch zu ihrem Endwert strebt, hängt nur von der Zeitkonstante τ = L/R ab. Zum erreichen des Endzustands wird in der Praxis die Zeit 5 τ angegeben. Nach dieser Zeitspanne ist der Endwert bis zu einem Rest von e 5.7 =.7% der Differenz Start- zu Endwert erreicht. 3 Energiegehalt Die Zunahme der in einer Spule gespeicherten elektrischen Energie kann aus dem Energiefluss (Leistung) an den Klemmen (Pole) und dem Induktionsgesetz berechnet werden: dw = p(t) = i(t) u(t) = i(t) dψ Die infinitesimale Energiezunahme dw entspricht dem Produkt des momentanen Werts i(t) der Spannung mit der infinitesimalen Veränderung dψ des magnetischn Flusses. Diese Beziehung ist allgemeingültig und gilt auch bei nicht-proportionalität zwischen i(t) und ψ(t). Die insgesamt bei der Stromstärke I, bzw. beim Fluss Ψ gespeicherte elektrische Energie kann aus der Summe (Integral) der einzelnen Beiträge dw bestimmt werden. Dabei muss natürlich berücksichtigt werden, dass der Stromwert i(t) vom Fluss ψ(t) abhängt. Bei Proportionalität ergibt sich: Ψ W = dw = i(t) dψ = 1 Ψ ψ dψ = 1 Ψ 2 L 2 L 7

8 3 Energiegehalt und folglich W = 1 2 Ψ I = 1 2 L I2 (14) Bemerkungen: Die gespeicherte elektrische Energie ist proportional zum Quadrat der herrschenden Stromstärke. Dieses Ergebnis gilt für beliebige Spulen, die eine stromunabhängige Induktivität aufweisen (lineare Bauelemente). In Anwesenheit von ferromagnetischen Materialien ist die Induktivität nicht unabhängig von der Spannung. In diesem Fall kann das Integral nicht geschlossen gelöst werden und das obige Endergebnis gilt nicht mehr. Das Ergebnis ist unabhängig von der der Art und Weise wie der magnetische Fluss in der Spule aufgebaut wurde, d. h. unabhängig von seiner Entstehungsgeschichte. Insbesondere ist es unabhängig von der Zeit die benötigt wurde, um diesen Fluss (bzw. das magnetische Feld) aufzubauen. In Fall von zwei magnetisch gekoppelten, linearen Spulen muss auch der Einfluss der Gegeninduktivität berücksichtigt werden: daraus ergibt sich dw = i 1 u 1 + i 2 u 2 = i 1 (L 1 di 1 + L 12 di 2 ) + i 2 (L 12 di 1 + L 2 di 2 ) = L 1 i 1 di 1 + L 2 i 2 di 2 + L 12 (i 1 di 2 + i 2 di 1 ) = L 1 i 1 di 1 + L 2 i 2 di 2 + L 12 d(i 1 i 2 ) I1 I2 I1 I 2 W = dw = L 1 i 1 di 1 + L 2 i 2 di 2 + L 12 d(i 1 i 2 ) W = 1 2 L 1 I L 2 I L 12 I 1 I 2 (15) 8

9 4 Schaltungen mit Induktivitäten 4 Schaltungen mit Induktivitäten Beim Zusammenschalten zweier induktiven Elementen kann eine Ersatzinduktivität bestimmt werden. Zusätzlich zu den Selbstinduktivitäten L 1 und L 2 muss noch die magnetische Kopplung mit die Gegeninduktivität L 12 berücksichtigt werden. 4.1 Serieschaltung Durch zwei in Serie geschaltete, ideale Spulen fliesst der gemeinsame Strom i(t). Die Spannung über der ganzen Schaltung ist die Summe der über den einzelnen Spulen liegenden Spannungen: u(t) = u 1 (t) + u 2 (t) = L 1 i(t) + L 12 i(t) + L 2 i(t) + L 12 i(t) u(t) = (L L 12 + L 2 ) i(t) = L i(t) 4.2 Verlustloser, induktiver Spannungsteiler L = L 1 + L L 12 (16) Der induktive Spannungsteiler ist im Fall von Spartransformatoren von Bedeutung. Bei diesen ist die Primär- und die Sekundärwicklung eine einzige Spule mit einem festen Primärabgriff und einem beweglichen Schleifer als Sekundärabgriff. Das Ersatzschema ist in der Fig. 3 dargestellt. Abbildung 3: Ersatzschaltung eines Spartransformators induktiver Spannungsteiler Primärseite: u 1 (t), i 1 (t); Sekundärseite: u(t), i 2 (t) (mit den hier gewählten Bezugsrichtungen der Ströme und den Kopplungspunkten ist L 12 > ) u 1 (t) = L 1 ( i 1 (t) + i 2 (t) ) + L 12 i 2 (t) = L 1 i 1 (t) + (L 1 + L 12 ) i 2 (t) u(t) = u 1 (t) + u 2 (t) = L 1 ( i 1 (t) + i 2 (t) ) + L 12 i 2 (t) + L 2 i 2 (t) + L 12 ( i 1 (t) + i 2 (t) ) = (L 1 + L 12 ) i 1 (t) + (L 1 + L L 12 ) i 2 (t) für i 2 (t) ergibt sich u(t) L 1 + L 12 u 1 (t) > u 1 (t) L 1 9