Modellierung elasto-plastischen Materialverhaltens und duktiler Porenschädigung metallischer Werkstoffe bei großen Deformationen

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1 Modellierung elasto-plastischen Materialverhaltens und duktiler Porenschädigung metallischer Werkstoffe bei großen Deformationen Vorgelegte Dissertation zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.) der Fakultät für Bauingenieurwesen der Ruhr-Universität Bochum von Dipl.-Ing. Olaf Kintzel Bochum, im 3. Juli 2007

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3 Abstract The present work deals with the modeling of material behavior of ductile metals undergoing large elastic and plastic deformations. For the simulation of quasistatic monotonic or cyclic loading at large plastic yielding reliable material models are required permitting the description of finite elasto-plastic deformations and of the particular damage mechanisms relevant in the regime of low-cycle fatigue. For this purpose, the theory of isochoric finite elasto-plasticity has been recollected and two relevant models of kinematic hardening for the simulation of cyclic loading have been proposed. These models have been formulated with respect to isotropic as well as anisotropic hyperelasticity. Their numerical and algorithmic implementation has been addressed in detail. To achieve this goal, a framework of continuum mechanics has been used which is based on a tensor algebra on dual spaces. This theoretical framework has been considered e.g. for the formulation and consistent linearization of the resulting nonlinear material laws. Futhermore, a tensor formalism and tensor differentiation rules have been proposed which, as a whole, have simplified the analytical derivation process e.g. for the determination of the algorithmic tangent operator considerably. The material damage of ductile metals occuring at large plastic deformations has been considered using the classical isotropic micropore damage models of Gurson and Rousselier. Each model has been formulated in a micromechanically consistent way. Finally, the suitability and capabilities of the elasto-plastic models as well as the coupled elasto-plastic damage model have been analyzed by means of typical benchmark problems from literature for monotonic as well as cyclic loading. An english version of this PhD thesis is also available with the title : Modeling of elasto-plastic material behavior and ductile micropore damage of metallic materials at large deformations

4 Kurzfassung Numerische Traglastanalysen von Stahltragwerken bei quasi-statischer, monotoner und zyklischer Beanspruchung erfordern wirklichkeitsnahe Werkstoffmodelle, die die teilweise lokal auftretenden großen plastischen Verformungen und die Schädigungsentwicklung beschreiben. In dieser Arbeit wurde die Theorie volumenerhaltender elasto-plastischer Deformationen aufbereitet und zwei mögliche Arten der Modellbildung kinematischen Verfestigungsverhaltens zur Simulation zyklischer Plastizität vorgestellt. Bezüglich jeder Modellklasse wurden jeweils unterschiedliche Algorithmen entwickelt, die für den Allgemeinfall anisotropen aber auch den Sonderfall isotropen hyperelastischen Materialverhaltens anwendbar sind, und deren Implementierung im Rahmen eines Finite Elemente Programms detailliert erläutert. Besonderes Merkmal der Entwicklung stellt die Verwendung einer kontinuumsmechanisch dualen Schreibweise und deren Anwendung bei der Formulierung und konsistenten Linearisierung der Materialgleichungen dar. Der in dieser Arbeit entwickelte Tensorformalismus bzw. entsprechende Tensorableitungsregeln erleichterten die Herleitungen z.b. zur Ermittlung des algorithmischen elasto-plastischen Tangentenoperators in analytischer Form erheblich. Desweiteren wurde die Materialschädigung duktiler Metalle in Form isotroper Mikroporenschädigung im Rahmen der klassischen Mikroporenschädigungsmodelle nach Gurson und Rousselier berücksichtigt. Beide Modelle wurden auf Basis der zu Grunde liegenden mikromechanischen Modellvorstellung einer vollplastifizierten Einheitszelle mit Zentrumspore konsistent aufbereitet. Die Eignung der elasto-plastischen Modelle sowie des mit den untersuchten Porenschädigungsmodellen gekoppelten Modells wurde anhand mehrerer, in der Fachliteratur gebräuchlicher Benchmark-Beispiele sowohl für monotone als auch für zyklische Beanspruchungen überprüft.

5 Danksagung Meinem Erstbetreuer Prof. Dr.-Ing. Yavuz Başar gebührt besondere Anerkennung und Dank. Seinen Anregungen und Bemühungen um meine Person verdanke ich es überhaupt, dass mir die Möglichkeit der Promotion eröffnet wurde. Zunächst als Stipendiat des Graduiertenkollegs Computational Structural Dynamics an der Ruhr-Universität Bochum. Nach meinem überraschenden Entschluss im März 2000, meine Promotion vorzeitig abzubrechen, bin ich Prof. Y. Başar sehr dankbar, dass er mir, nachdem ich nach kurzer Zeit meinen Entschluss bereute und er erkannte, dass das Interesse an der Wissenschaft in mir noch brannte, einen zweiten Anlauf im Oktober 2000 mit einer neuen Zielsetzung meiner Arbeit ermöglichte. Dabei kann ich auf eine sehr warmherzige, kooperative und äußerst verständnisvolle persönliche Betreuung während der gesamten Zeit der Zusammenarbeit zurückblicken. Als Mitglied einer kleinen Arbeitsgruppe am Lehrstuhl für Statik und Dynamik unter seiner Führung habe ich viele sehr wertvolle, fachliche wie auch persönliche, Erfahrungen gesammelt. Unerwartet war sein plötzlicher Tod am 30. August 2002 im Alter von 67 Jahren. Ich danke insbesondere auch dem Institutsleiter Herrn Prof. Dr. techn. Günther Meschke, der mich nachfolgend als Doktorand betreute. Insbesondere seine großen Bemühungen um eine Anschlussfinanzierung während der Begutachtungsphase des Teilprojektes C4 im Sonderforschungsbereich 398 Lebensdauerorientierte Entwurfskonzepte sind mir in reger Erinnerung geblieben. Seine außerordentliche organisatorische Begabung als ein Professor neuen Stils, der sich zum Teil als Wissenschafts-Manager versteht, bei der Lenkung und Begleitung einer Vielzahl von zum Teil sehr unterschiedlichen Forschungsprojekten hat mich sehr beeindruckt. Den vielen Diskussionen und seiner immer konstruktiven Kritik verdanke ich viele Anregungen, die in meine Arbeit eingeflossen sind. Herrn Prof. Dr.-Ing. Mikhail Itskov als ein ehemaliger Mitarbeiter der Arbeitsgruppe unter Prof. Başar bin ich persönlich sehr verbunden. Als ein Betreuer meiner Diplomarbeit, war es nur folgerichtig, dass ich ihn, nachdem er auf den Lehrstuhl der Kontinuumsmechanik an der RWTH Aachen berufen wurde, um ein Gutachten meiner Arbeit bat, da nicht zuletzt durch die Fülle seiner wissenschaftlichen Arbeiten mein Interesse an Themen auf einer breiten Palette an mechanischen Gebieten besonders gefördert worden ist. Ganz besonders danke ich allen Mitarbeitern des Lehrstuhls für Statik und Dynamik, die durch ihre ständige Hilfsbereitschaft und durch den stets kooperativen Arbeitsstil ihren Beitrag zum Gelingen der Arbeit leisteten. Spezieller Dank gebührt meiner Familie und insbesondere meiner Schwester, die mich immer beruflich unterstützten und anspornten. Meine Arbeit möchte ich meiner am 13. September 2002 verstorbenen geliebten Mutter widmen. Bochum, im August 2006 Olaf Kintzel Tag der Einreichung : 07. Februar 2006 Tag der mündlichen Prüfung : 13. Juli 2006 Berichter: Prof. Dr. techn. Günther Meschke Prof. Dr. rer. nat. Klaus Hackl Prof. Dr.-Ing. Mikhail Itskov

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7 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Thematik Motivation Zielsetzung der Arbeit Aufbau der Arbeit Tensorformalismus Einführung Grundbegriffe und -definitionen Notationen fürtensorenbisvierterstufe Tensorprodukte und Kontraktionsregeln Einheitstensoren vierter Stufe und Basisneuanordnungen Gruppeneigenschaften Transpositionsoperationen fürvierstufigetensoren Symmetrieeigenschaften vierstufiger Tensoren (Schief-) Symmetrietransformationstensoren Tensordifferentiation in Absolutschreibweise Einführung der Gâteaux-Ableitung Tensordifferentiationsregeln Fundamentale Ableitungsregeln Ableitung nach (schief-)symmetrischen Tensoren Anwendungen Beispiele Tensoralgebra auf Mannigfaltigkeiten Einführung Euklidischer Punkt- und Vektorraum Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Definition Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten Grundlegende Konzepte Konvektive Gauß schebasisvektoren vii

8 viii INHALTSVERZEICHNIS Das innere Vektorprodukt und das Skalarprodukt Metrik Die Duale und die Transponierte Push-Forward- und Pull-Back-Operationen Symmetrische und schief-symmetrische Tensoren Orthogonale Tensoren Der Shifter Die Lie-Ableitung Das Prinzip der Kovarianz Kovarianz von Tensorfunktionen Kovarianz der Zeitableitung einer Tensorfunktion Differentiationsregeln (Schief-)Symmetrietransformationstensoren Basisneuanordnungsoperationen Gültigkeit des Invarianzprinzips Ableitung nach einem Metriktensor Vergleich mit anderen Arbeiten Kontinuumsmechaniche Grundlagen Kinematik Beziehung zwischen Punkt- und Vektorraum Zeit Raum-Zeit-Kontinuum Beobachter Einführung eines materiellen Körpers Beschreibung von Bewegungen Platzierung und Konfiguration eines Körpers Die intrinsische Beschreibung Die Lagrange sche Beschreibung Die Euler sche Beschreibung Deformation und Deformationsgradient Differentielles Volumenelement Differentielles Flächenelement Polarzerlegung des Deformationsgradienten Metrik Geschwindigkeit und Beschleunigung Geschwindigkeitsgradient Verzerrungstensoren

9 INHALTSVERZEICHNIS ix Gauss-Satz Transformationsregeln fürvolumenintegrale Transformationsregeln für Flächenintegrale Piola-Transformation Reynolds-Transport-Theorem Bilanzgleichungen Starke Form der Bilanzgleichung Massenbilanz Impulsbilanz Cauchy-Spannung Drehimpulsbilanz Bilanz der kinetischen Energie Erster Satz der Thermodynamik Zweiter Satz der Thermodynamik Beobachterwechsel Beobachterinvarianz der Bilanzgleichungen Folgerungen für die Helmholtz sche Energiefunktion Thermodynamischer Prozess Wärmeleitungsgesetz Finite Elemente Methode Einleitung Darstellung des Variationsprinzips Locking und die Methode der inkompatiblen Moden Einführung Darstellung des Hu-Washizu-Variationsprinzips Lösung des nichtlinearen Randwertproblems Schalentheorie Mindlin-Reissner-Kinematik und Green-Lagrange-Verzerrungen Beschreibung finiter Rotationen Diskretisierung Stabilisierungsverfahren Schub-Locking Krümmungslocking Membran-Locking Dicken- oder Poisson-Locking Volumenlocking Vermeidung der Singularität bezüglich des Drillfreiheitsgrades

10 x INHALTSVERZEICHNIS Numerische Beispiele Cook s-membran Halbkugel mit Loch Modellierung finiter Elastizität Folgerungen aus der Dissipationsungleichung Historische Entwicklung bezüglich des Problems e = d Kovarianz der Verzerrungsenergiefunktion W Spannungstensoren Allgemeine Anforderungen an W Ableitungen von W Verwendete Materialmodelle St.Venant-Kirchhoff-Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Untersuchung der konjugierten Formulierung Anisotrope Hyperelastizität Anwendung der Regeln Verwendung von konvektiven Koordinatensystemen Beziehungen fürisotropeverzerrungsenergiefunktionen Modellierung finiter Plastizität Stand der Forschung Allgemeines Modellierung finiter elasto-plastischer Deformationen Modellierung kinematischer Verfestigung Berücksichtigung eines plastischen Spin-Tensors Ermittlung des konsistenten Tangentenoperators Verzerrungsbasierte Beschreibung Einführung Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten Definition der Verzerrungsenergiefunktion Kinematische Beziehungen Plastizität mit anisotroper und isotroper Elastizität Das Prinzip der maximalen Dissipation Bestimmung der Evolutionsgleichungen Formulierung in Bezug auf die Zwischenplatzierung

11 INHALTSVERZEICHNIS xi 7.10 Ein einfaches Fliesskriterium für isotrope Plastizität Vereinfachung des elasto-plastischen Modells Modell Modell Isotrope Plastizitätmitkinematischer Verfestigung Modell Modell Modell Modell Numerische Lösungdeselasto-plastischenProblems Der Return-Map Volumetrisch-isochorer Split St.Venant-Kirchhoff-Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Allgemeine Bemerkungen Modell 1 - Referenzplatzierung Modell 1 - Zwischenplatzierung Modell 2 - Zwischenplatzierung Modell 3 - Zwischenplatzierung Modell 4 - Zwischenplatzierung Generalisierte Mittelpunktsregel Mittelpunktsregel - Modell 2 - Zwischenplatzierung Bestimmung des Tangentenoperators Formulierung bezüglichderreferenzplatzierung Formulierung bezüglichderzwischenplatzierung Der elasto-plastische Kontinuums-Tangentenoperator Algorithmischer Tangentenoperator Modell 1 - Referenzplatzierung Modell 1 - Zwischenplatzierung Modell 2 - Zwischenplatzierung Version a Modell 2 - Zwischenplatzierung Version b Modell 3 - Zwischenplatzierung Modell 4 - Zwischenplatzierung Generalisierte Mittelpunktsregel Benchmarks

12 xii INHALTSVERZEICHNIS Monotoner einachsialer Zugversuch Schubversuch Lösung für den elastischen Bereich Diskussion der Ergebnisse Zyklische Tests Ein-Element-Zugversuch Ein-Element-Schubversuch Plastische Anwendungsbeispiele Pinch-Kugel Lochscheibe Modellierung der Porenschädigung Stand der Forschung Schädigungsphänomene bei duktilen Metallen Allgemeines zur Modellierung des duktilen Bruchs Modellierung des duktilen Bruches Der Prozess der Porenentstehung Der Prozess der Koaleszenz Das Gurson-Modell Empirische Verbesserungen bei monotonen Beanspruchungen Erweiterungen zur Simulation zyklischer Beanspruchungen Die Anwendung des Modells bei Bruchberechnungen Einführung Das Gurson-Modell Modellierung des Porenwachstums Schwächen des Gurson-Modells Transformation Cauchy auf Kirchhoff-Spannungen Prozess der Porenschädigung Das Porenwachstum Die Porenentstehung Der Porenzusammenschluss Erweiterung auf kinematische Verfestigung Das Rousselier-Modell Berechnung der äquivalenten plastischen Verzerrung Analytische Integration der Taylor-Reihenentwicklung Numerische Integration Numerische Berechnung der plastischen Verzerrungsinkremente Algorithmische Umsetzung Lokales Newton-Verfahren Algorithmischer Tangentenoperator

13 INHALTSVERZEICHNIS xiii 9 Zusammenfassung und Ausblick Prolog Zusammenfassung Eigene Bewertung der Arbeit Ausblick Literaturverzeichnis 267 Anhang A Grundlagen der Tensorrechnung A-289 A.1 Push-Forward und Pull-Back-Beziehungen A-289 A.2 Lie-Ableitung A-290 A.3 Kovarianz von Tensorfunktionen A-290 A.3.1 Kovarianz einer skalarwertigen Funktion mit 2 Variablen A-290 A.3.2 Kovarianz einer skalarwertigen Funktion mit 3 Variablen A-291 A.3.3 Kovarianz einer Funktion mit einer gemischtvarianten Variablen.. A-292 A.4 Testen einer Tensorgleichung auf ihre Konsistenz A-292 B Reihendarstellungen von Tensoren B-295 C Legendre-Transformation C-301 DKonvexität und Polykonvexität D-303 D.1 Konvexität einer Funktion D-303 D.2 Konvexität einer Funktion W (F) D-303 D.3 Polykonvexität von W (F) D-304 EKugelförmige RVE mit Pore und deren Lösung E-307 E.1 Kinematik E-307 E.2 Das Gleichgewicht und die Fliessbedingung E-309 E.3 Kinematische Verfestigung E-309 E.4 Lösung für <ɛ p eq > r unter vereinfachenden Annahmen E-310 E.5 Analytische Integration unter Verwendung einer Taylor-ReihenentwicklungE-311 E.6 Numerische Integration E-312 E.6.1 Algorithmus zur Berechnung des Integrals E-317 E.7 Linearisierung des linearen Verfestigungsmodells E-319 E.8 Vergleich der Verfahren E-321 F Superposition mehrerer Rückspannungstensoren F-323 G Hilfsmittel zur Latex-Textprogrammierung G-327

14 xiv INHALTSVERZEICHNIS

15 Kapitel 1 Einführung in die Thematik In der Planung und Gestaltung von Bauwerken aus Metall oder von Komponenten im Maschinenbau, die einer komplexen Lastgeschichte unterworfen sind wie z.b. im Rahmen von Füll-, Entleerungs- und Wiederfüllprozessen bei Druckkesseln oder durch wiederholte Belastungen von z.b. Stahlbrücken unter Verkehrslast, spielt die Ermittlung der Lebensdauer unter Wechsellast eine wichtige Rolle. Es ist allgemein bekannt, dass die Lebensdauer unter veränderlichen Lasten gegenüber einer Beanspruchung mit Gleichlasten wie der Eigengewichtslast deutlich herabgesetzt ist. Als Ursache kann eine sich akkumulierende Materialschädigung in Form des Entstehens und Wachsens von Mikrorissen (Anriss) und deren anschließender Zusammenschluss zu einem Makroriss angesehen werden, dessen stabiles und letztlich instabiles Wachstum das globale Versagen herbeiführt. Je nach Entwurfs-Philosophie geht es darum, die Rissentwicklung weitgehend auszuschließen (safe-life) oder durch die gewählte Konstruktion ein sicheres Verhalten des Tragwerkes bei fortschreitender Rissentwicklung zu gewährleisten (fail-safe), um dann im Rahmen von Inspektionen das gefährdete Bauteil zu lokalisieren und zu erneuern. Lebensdaueruntersuchungen basieren üblicherweise auf zwei wesentlichen Konzepten. Man unterscheidet zum einen das globale Konzept, bei dem man die am Bauteil wirkenden Nennspannungen den im Versuch ermittelten Grenzwerten gegenüberstellt, und zum anderen das lokale Konzept (siehe später). Die entsprechenden Grenzwerte werden im Wöhler-Versuch ermittelt. Der typische Wöhler-Versuch hat zum Ziel, die Lebensdauer eines Werkstoffes anhand ungekerbter und polierter Proben unter gleichmäßiger Schwingbeanspruchung zu bestimmen. Die so erhaltenen Diagramme, die auch als S-N -Kurven bezeichnet werden, stellen den Versagenszeitpunkt als Funktion der Höhe der aufgegebenen Spannungsamplitude (S) über die Anzahl an Schwingspielen (N) dar. Neben der Amplitude spielt auch die Höhe einer vorhandenen Mittellast bei Wechselbelastung eine wichtige Rolle. Je nach Versagenszeitpunkt unterscheidet man drei Bereiche: die Kurzzeitfestigkeit, die Langzeitfestigkeit und die Dauerschwingfestigkeit (Radaj 2003; Ellyin 1997; Miller 1991). Die Dauerschwingfestigkeit ist der sich bei einer technischen Grenzschwingspielzahl von N D > bestimmte Versagenszeitpunkt, der zu einer Beanspruchung korrespondiert, die theoretisch beliebig lange ertragen werden kann. Oftmals ist dieser Zeitpunkt auch durch die praktisch begrenzte Versuchsdauer vorgegeben. Oberhalb der Dauerschwingfestigkeit ist ein steiler Abfall der Schwingfestigkeit feststellbar (Langzeitfestigkeit). Im Bereich von Schwingspielen geht die Wöhlerlinie in die flacher verlaufende Kurzzeitfestigkeitslinie über. Die Ermüdungsfestigkeit realer Bauteile kann durch geometrische Fehlstellen wie Kerben oder Formunstetigkeiten, die lokal Spannungserhöhungen verursachen, oder durch die Va-

16 2 KAPITEL 1: EINFÜHRUNG IN DIE THEMATIK riation und Veränderlichkeit der Beanspruchungen deutlich geringer ausfallen als laut dem im normierten Schwingversuch unter gleichmäßiger Amplitude zugeordneten Versagenszeitpunkt. Um die Beanspruchungsabhängigkeit zu erfassen, wendet man üblicherweise zwei Methoden an. Zum einen das Bauteilexperiment eines realen, maßgebenden Bauteils unter der Beanspruchung von definierten Lastkollektiven, die sich aus dem Lastszenario durch Anwendung bestimmter Verfahren ermitteln lassen (Rain-Flow-Verfahren etc.), aus der die so genannte Lebensdauerlinie (Bauteil-Wöhler-Linie) resultiert. Da derartige Experimente relativ aufwändig sind, da für komplexe Beanspruchungen servohydraulische Prüfmaschinen eingesetzt werden müssen, wird alternativ versucht, anhand der Lastkollektive und der normierten Wöhler-Linien eine Abschätzung der Lebensdauer zu erhalten (Fatemi & Yang 1998; Goswami 1997; Yang, Li, Jin & Wang 1997). Dies gelingt über empirische Schadensakkumulationsregeln, deren einfachster Vertreter die Miner-Regel ist, bei der lediglich eine lineare Abhängigkeit zwischen Lebensdauer und Anzahl der Schwingspiele bei gegebener Beanspruchung angenommen wird. Das Versagen tritt ein, wenn die Gesamtschädigung D = n i=1 N i/n Di = 1 erreicht ist, wobei die N Di die zu den entsprechenden Spannungsamplituden korrespondierenden Lebensdauern darstellen. Bei beiden Vorgehensweisen spielt die Berücksichtigung von Reihenfolgeeffekten eine wichtige Rolle, die bei der Anwendung der Miner-Regel unberücksichtigt bleiben. Daher streuen die Ergebnisse letzteren Verfahrens sehr stark im Bereich D = (siehe (Radaj 2003), S. 235) (im Vergleich zur tatsächlichen Gesamtschädigung). Abhilfe schaffen nichtlineare Schadensakkumulationsregeln, die eine nichtlineare Akkumulation vorschreiben oder eine nichtlineare Abhängigkeit von der Beanspruchungshöhe (Spannungsamplitude) aufweisen (Bonora & Newaz 1998; Chow & Wei 1991). Der Einfluss von lokalen geometrischen Fehlstellen kann durch Verwendung lokaler Größen wie der Kerbgrundbeanspruchung anstelle der (Nenn)-Spannungen berücksichtigt werden. Lebensdauerkonzepte, die auf solchen lokalen Beanspruchungsgrößen aufbauen, nennt man auch lokale Konzepte oder örtliche Konzepte. Zur Abschätzung der Lebensdauer kann das Makrorisswachstum auch direkt über Rissfortschrittsregeln simuliert werden wie z.b. durch Anwendung der einfachen Paris-Regel, die einen Zusammenhang zwischen einem stabilen Rissfortschritt und der Anzahl der Lastspiele postuliert (Schütte 2001). 1.1 Motivation Wie den obigen Ausführungen entnehmbar ist, existieren eine Reihe von Unsicherheiten, die zu einer starken Abweichung der vorausgesagten Lebensdauer zur tatsächlich beobachteten Lebensdauer führen können. Dies liegt zum einen in der typischen Variation der Materialkenngrößen und Einwirkungsgrößen begründet, die einen statistischen Ansatz wünschenswert machen lassen, aber vielmehr in der Transformation von globalen oder lokalen Beanspruchungsgrößen über empirische Schadensakkumulationsregeln hin zum werkstoffabhängigen durch, im normierten Versuch gewonnene, Wöhler-Linien bestimmten Versagenszeitpunkt. Insbesondere die nichtlineare Kopplung zwischen Strukturverhalten und Materialschädigung wird so nur ungenau erfasst. Zwar werden in der neueren Praxis z.b. im Behälterbau im Rahmen des globalen bzw. lokalen Lebensdauerkonzeptes durchaus Strukturanalysen (auf Basis rein elastischen bzw. elasto-plastischen Werkstoffverhaltens) mit im maßgebenden Punkt durchgeführten durch ein virtuelles Herausschneiden einer Werkstoffprobe und isoliert gedachter empirischer Schadensakkumulations- oder Rissfortschrittsberechnungen gekoppelt (Rudolph & Weiss 2003; Rudolph & Weiss 2002; Rudolph, Große-Hovest & Weiss 2001), aber die nichtlineare Abhängigkeit zwischen Schädigungs- und Strukturverhalten über die Zeit kann dadurch nicht oder nur annähernd erfasst werden. Trotzdem sind solche Lebensdauervorher-

17 1.1 Motivation 3 sagen in der Praxis anwendbar und sinnvoll. Durch den Fortschritt der numerischen Lösungsverfahren im Rahmen der Finite Elemente Methode und werkstoffabhängiger Materialmodellierungen wird es zunehmend ermöglicht, das entkoppelte semi-empirische Problem durch ein vollständig gekoppeltes Problem zu ersetzen. Ziel dabei ist es, das Schädigungswachstum im Materialpunkt anhand physikalisch oder mikromechanisch motivierter Schädigungsgesetze zu erfassen und deren Kopplung mit dem teilweise komplexen Strukturverhalten durch die Strukturanalyse zu berücksichtigen. Dabei erfordern die einzelnen Bereiche der Ermüdungsfestigkeit unterschiedliche Modellierungen. Die Langzeitfestigkeit ist durch ein über den größten Teil der Lebensdauer fortschreitendes stabiles Risswachstum gekennzeichnet, das schließlich bei spröden Materialien in einem Sprödbruch oder bei eher duktilen Metallen in einem duktilen Restbruch oder einem so genannten Wabenbruch entlang des geschwächten Querschnitts endet. Da sich das Bauteil im Rahmen der Langzeitfestigkeit überwiegend elastisch verformt, genügen die üblichen Verfahren der linearen Bruchmechanik, die gegebenenfalls mit Kontinuumsschädigungsmodellen zur Bestimmung des Anrisses gekoppelt werden können. Die Modellierung eines diskontinuierlichen Makrorisses kann direkt im Rahmen der FE-Methode erfolgen, wobei bei Risswachstum üblicherweise eine Neudiskretisierung und Transformation der relevanten Zustandsvariablen vom alten zum neuen Netz erforderlich wird (Varas 2005). Alternativ kann der diskontinuierliche Riss auch im Rahmen einer starken oder schwachen Diskontinuität (Mosler 2005; Mosler & Meschke 2003; Simo, Oliver & Armero 1993) durch diskontinuierliche Verformungs- oder kontinuierliche Verzerrungsfelder innerhalb von Finiten Elementen beschrieben werden. Im Gegensatz zur zuletzt genannten Modellklasse, bei der oft eine Kondensation der auf Elementebene eingeführten Variablen möglich ist, werden auch Verfahren wie die X-FEM (engl.: extended Finite Element Method) angewendet, bei denen die Diskontinuität (der Riss) direkt auf globaler Ebene beschrieben wird (Möes & Belytschko 2002; Belytschko & Black 1999; Belytschko, Lu & Gu 1994) z.b. im Rahmen element-freier Galerkin-Methoden oder üblicher FE-Methoden, ohne eine Neuvernetzung bei Risswachstum notwendig zu machen. Die Berücksichtigung dreidimensionalen Risswachstums stellt bei allen Verfahren ein wesentliches Problem dar, welches momentan Gegenstand intensiver Forschung ist. Ebenso erfordert der Übergang von einem kontinuierlichen Modell durch Lokalisierung zu einem quasi-diskontinuierlichen Modell spezielle Regularisierungsmethoden (de Borst 2001; de Borst, Sluys, Mühlhaus & Pamin 1993), um die Objektivität der Antwort, d.h. Netzunabhängigkeit und Elliptizität des Differentialgleichungssystems, zu gewährleisten. Das Kurzzeitversagen gehorcht grundsätzlich anderen Schädigungsmechanismen. Bei dem herrschenden hohen Spannungsniveau werden zyklische elasto-plastische Deformationen induziert. Ist auch die Spannungstriaxialität im Materialpunkt entsprechend hoch, so stellt bei duktilen Metallen der duktile Bruch d.h. das Entstehen und Wachstum von Mikroporen ein vorherrschendes Schädigungsphänomen dar, bei dem die Absorption an Bruchenergie höher ist als beim transgranularen Bruch (siehe (Ellyin 1997), S. 19). Mikroporen können z.b. aufgrund einer Separation an der Grenzfläche zwischen Sekundärpartikeln und der umgebenden Matrix, aufgrund eines Partikelbruches eines derartigen Einschlusses oder isoliert direkt als Hohlraum entstehen. Zur Modellierung dieses Schädigungsphänomens stehen verschiedene Modelle zur Verfügung, wobei auch Formänderungsprozesse der Pore Berücksichtigung finden können. In erster Näherung kann man allerdings von einem rein isotropen kugelförmigen Mikroporenwachstum ausgehen (Rice & Tracey 1969). Die Koaleszenz von Mikroporen, hervorgerufen durch ein lokales Versagen des umgebenden Matrixmaterials, definiert die Entstehung eines Mikrorisses (Thomason 1990). Die Koaleszenz von Mikroporen an der Rissspitze kann im Rahmen kombinierter kontinuierlicher

18 4 KAPITEL 1: EINFÜHRUNG IN DIE THEMATIK und diskontinuierlicher Verfahren als Rissfortschritts-Indikator verwendet werden (Varas 2005). Bei typischen Prüfkörpern endet der Bruchprozess typischerweise in einem in 45 zur Prüfkörperoberfläche geneigten Wabenbruch. Werden größere Strukturen betrachtet, so tritt die Schädigung lokalisiert in besonders stark beanspruchten Zonen auf. Die Kopplung des Strukturverhaltens mit dem im maßgebenden Punkt fortschreitenden Schädigungsmechanismus erfolgt im Rahmen der Finite Elemente Methode automatisch. Die Lebensdauer einer Struktur kann abgeschätzt werden als Zeitpunkt, bei dem die Struktur unter den Lasten kollabiert (Versagen, Knicken, Beulen) oder bei fortschreitender Dehnung, wenn ein bestimmter lokaler Versagens-Indikator wie z.b. eine bestimmte Risslänge erreicht ist. 1.2 Zielsetzung der Arbeit Ziel dieser Arbeit stellt dar, ein elasto-plastisches Modell, welches für die Simulation zyklischen Verhaltens anwendbar ist, mit einem duktilen Mikroporenmodell zu koppeln. Ziel der vorstehenden Arbeit ist die Grundlagenforschung auf den genannten Gebieten. Im Zuge der Modellbildungen hat es sich als vorteilhaft erwiesen, eine radikale Abkehr üblicher kontinuumsmechanischer Ansätze hin zu einer mehr kontinuumsmechanisch dualen Schreibweise unter Verwendung so genannter Metriktensoren zu vollziehen. Demzufolge wurde unter Verwendung der Theorie und Schreibweise nach Marsden & Hughes (Marsden & Hughes 1983) der kontinuumsmechanische Rahmen der Tensoralgebra auf Mannigfaltigkeiten erarbeitet und für die Bedürfnisse der vorstehenden Arbeit übernommen. Ebenso wurde ein Konzept nach Itskov (Itskov 2000; Itskov 2002) zur Tensordifferentiation tensorwertiger Funktionen nach einem Tensor zweiter Stufe, die vorteilhafterweise unter Beibehaltung der Absolutnotation durchgeführt werden kann, übernommen und in wesentlichen Punkten erweitert. Letzteres insbesondere durch einen Tensorformalismus, der Tensornotationen für häufig verwendete Tensoroperationen für Tensoren bis vierter Stufe bereitstellt. Beide genannten Arbeiten haben sich in relevanten Veröffentlichungen niedergeschlagen (Kintzel & Başar 2006; Kintzel 2006). Das Konzept der Tensorableitung in Absolutnotation ermöglichte es, den Weg von einer eher komponentenbezogenen Schreibweise hin zu einer absoluten tensorwertigen Darstellung und insbesondere Interpretation zu beschreiten, was zum einen die theoretische Modellbildung, aber vor allem auch die Methodik, d.h. die Art und Weise der numerischen Umsetzung, bereicherte. Unter Anwendung dieser Regeln gelangen eine Reihe von Einsichten, die Ergebnisse anderer Autoren korrigierten oder erweiterten (Kintzel 2006). Zielsetzung bei der theoretischen Modellierung der plastischen Eigenschaften von duktilen Metallen war es, die theoretischen Grundlagen der bekannten von Mises-J 2 -Plastizität für anisotrope und isotrope Hyperelastizität unter Berücksichtigung kinematischer Verfestigung zunächst aufzubereiten und unter strikter Verwendung von Metriktensoren verschiedene numerische Umsetzungen zu erarbeiten. Insbesondere wurde Wert gelegt auf eine konsistente Linearisierung der verwendeten Materialgleichungen und die konsistente Bestimmung des algorithmischen Tangentenoperators. Dies gelang trotz der in dieser Arbeit verwendeten verhältnismäßig komplexen Formulierungen. Zielsetzung bei der Modellierung der Materialschädigung duktiler Metalle war es, den Ermüdungsbruch bei hoher zyklischer Beanspruchung wirklichkeitsnah zu beschreiben. Ziel war es dabei insbesondere, das Schädigungsphänomen der duktilen Porenschädigung

19 1.3 Aufbau der Arbeit 5 im Rahmen eines Kontinuum-Modells zu beschreiben. Die Kopplung mit diskontinuierlichen Modellen zur Bestimmung eines Makrorisswachstums ist nicht Gegenstand dieser Arbeit. Die Materialentfestigung im Materialpunkt, kontrolliert durch den Porenvolumenanteil f, kannalseineüber das Kontinuum verschmierte Schädigung angesehen werden. Zwei wohlbekannte Modelle, die die Materialentfestigung duktiler poröser Materialien unter der Annahme kugelförmiger Poren beschreiben, sind das Gurson- (Gurson 1977) und das Rousselier-Modell (Rousselier 1981). Ziel dieser Arbeit war es, beide Modelle in das elasto-plastische Modell zu integrieren. Das Gurson- und Rousselier-Modell wurden bisher größtenteils bei monotonen Beanspruchungen eingesetzt (siehe z.b. (Eckstein & Başar 2000; Bernauer & Brocks 2002; Zhang 1996; Steglich & Brocks 1998; Howard & Li 2000; He, Steglich, Heerens, Wang, Brocks & Dahms 1998)). Die Verwendung beider Modelle bei zyklischen Beanspruchungen ist aktuell Gegenstand der Forschung (siehe z.b. (Steglich, Pirondi, Bonora & Brocks 2005)). Primäres Ziel dieser Arbeit war es, aufbauend auf Studien von Leblond et al. (Leblond, Perrin & Devaux 1995), die dem Wachstum kugelförmiger Poren zu Grunde liegende mikromechanische Modellvorstellung zu berücksichtigen und anhand derer beide Modelle konsistent und einheitlich in das gekoppelte elasto-plastische Modell zu integrieren. Verfahren, um das Kontinuum-Modell zu regularisieren, bleiben in dieser Arbeit unberücksichtigt. Kürzlich wurde eine Regularisierung des Gurson-Modelles durch ein Gradienten-Verfahren vorgeschlagen (Reusch, Svendsen & Klingbeil 2003b; Reusch, Svendsen & Klingbeil 2003a). Das zeitlich und räumlich gekoppelte System wird im Rahmen der Finite Elemente Methode gelöst. Um die Strukturanalyse metallischer Behälter wie Tanks oder Druckkessel zu ermöglichen, war es ein vorrangiges Ziel zunächst ein für Schalenstrukturen geeignetes robustes Finite Element zu entwickeln, welches für die vorstehenden Untersuchungen eingesetzt werden konnte. Dabei wurde auf eigene Forschungsergebnisse (Başar & Kintzel 2003) und auf Arbeiten von Eckstein (Eckstein & Başar 2000; Başar & Eckstein 2000; Başar, Itskov & Eckstein 2000; Eckstein 1999) und Ding (Başar & Ding 1997; Başar & Ding 1995; Başar, Ding & Schultz 1993; Başar, Ding & Krätzig 1992; Başar & Ding 1992; Başar & Ding 1990) zurückgegriffen. 1.3 Aufbau der Arbeit Die Arbeit gliedert sich in neun Abschnitte. Neben dieser einführenden Einleitung wird im zweiten Kapitel ein Tensorformalismus vorgestellt, welcher Notationen für in der Tensoralgebra häufig verwendete Tensoroperationen für Tensoren bis vierter Ordnung bereitstellt und darüberhinaus die Tensorableitung skalarwertiger oder zweistufiger Tensorfunktionen nach einem zweistufigen Tensor in Absolutnotation zum Thema hat. Dabei wird auf das Konzept der Tensorableitung nach Itskov zurückgegriffen. Die Ableitung nach einem Tensor, z.b. in Komponentendarstellung, gehorcht den üblichen Regeln des Ableitungskalküls und stellt insofern kein großes Problem dar. Die Originalität des angesprochenen Konzeptes besteht darin, dass, wenn die Tensorfunktion nullter oder zweiter Stufe aus einfachen Überschiebungen von zweistufigen Tensoren gebildet wurde, die Tensorableitung auch unter Beibehaltung der Absolutnotation durchgeführt werden kann, derart, dass die Produktregel der Differentialrechnung analog zur Komponentendarstellung weiterhin anwendbar ist. Dies gelingt durch eine innovative Form der Absolutdarstellung des entsprechenden abgeleiteten Tensors zweiter oder vierter Stufe. Darin, dass die Anwendung von solchen Tensorfunktionen,

20 6 KAPITEL 1: EINFÜHRUNG IN DIE THEMATIK die aus einfachen Überschiebungen von Tensoren zweiter Stufe gebildet werden, in der Praxis recht häufig ist, zeigt sich die besondere Revelanz des Verfahrens. Einführend wird zunächst ein Tensorformalismus vorgestellt, der im Vergleich zur originären Arbeit von Itskov drei wesentliche Innovationen beinhaltet. Erstens die Einführung von drei anstatt zwei Tensorprodukten zur Darstellung eines Tensors vierter Stufe, so dass im Prinzip jeder vierstufiger Tensor in Absolutnotation geschrieben werden kann. Zweitens die Einführung von drei Regeln zur doppelten Kontraktion von Tensoren, welche ebenfalls alle möglichen (sinnvollen) Fälle der doppelten Kontraktion vierstufiger Tensoren abdecken, die automatisch das Assoziativitätsgesetz erfüllen. Zur Einhaltung des Assoziativitätsgesetzes müssen die Basisvektoren, die nicht der Kontraktion unterworfen sind, ihre relative Position beibehalten, so dass es praktisch unerheblich ist, ob die doppelte Überschiebung zunächst von links oder von rechts begonnen wird. In diesem Sinne ist der Tensorformalismus komplett und alle eingeführten Tensorprodukte oder Kontraktionsregeln haben ihre Bedeutung im Tensorableitungskalkül. Außerdem können durch die Unterscheidung der Kontraktionsregeln das neue und alte Konzept der Tensorableitung nebeneinander angewendet werden. Basisneuanordnungsoperationen vermitteln zwischen beiden Fällen. Drittens die Behandlung aller wichtigen Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitung nach symmetrischen Tensoren, schief-symmetrischen Tensoren oder der Inversen eines Tensors) unter Anwendung so genannter Transformationstensoren vierter Stufe S bzw. A sowie der Kettenregel der Tensorableitung. Erst durch die erwähnten Erweiterungen wird die wahre Mächtigkeit des Konzeptes nach Itskov tatsächlich ausgenutzt. Im darauffolgenden Abschnitt werden die Tensoralgebra auf Mannigfaltigkeiten oder synonym die Regeln der Differentialgeometrie in Grundzügen eingeführt und erläutert. Die für die widerspruchsfreie Anwendung des Tensorableitungskalküls notwendigen Erweiterungen werden dargestellt. Entgegen den Konzepten der klassischen Tensoranalysis basiert die Tensoranalysis auf Mannigfaltigkeiten auf einer dualen Schreibweise. Zwei Tensoren sind dual, wenn ihre Komponentenvarianz gegensätzlich ist. Die einfache und doppelte Überschiebung von Tensoren wird nur zwischen dualen Tensoren erklärt. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so kommen immer Metriktensoren zur Änderung der Komponentenvarianz ins Spiel. Eine zentrale Stellung nimmt dabei das Prinzip der Kovarianz ein. Das Prinzip der Kovarianz verkörpert das Prinzip der Materialobjektivität für den Fall, dass der physikalische Raum im Rahmen einer nicht-trivialen Mannigfaltigkeit beschrieben ist. Folgender Auszug aus ((Marsden & Hughes 1983), S. 154) mag dies illustrieren: ) O JD A HO HA = JEL EI JE? H HA = JEL EI JE? JD = JF K HF HJI J > A = A J= K C D JJ > A C A A H= E = > A I JD A A H O E C F D O I E? = I F =? A EI = = J K I J- K? E@ A = H A M J E= I F =? A 6 D EI EI = > = I E? A I I = C A M A HA? A EL A BH - E I JA E 1 B=? J D A I = O I HA M D A HA C = H@ = I = HA = JEL EI JE? JD A HO EJI D K F A J HA = JEL EJO > A C A A H= O? L = HE= J A H= JH= I B H = JE I J K I JHEC E@ O JE I In der Tat verdanken wir Einstein eine Fülle an Einsichten. Selbst die Komponentenschreibweise der Tensoralgebra wird manchmal mit seinem Namen verbunden

21 1.3 Aufbau der Arbeit 7 (engl.: Einstein summation convention). In der Regel wird die Invarianz (engl: general coordinate invariance) eines fundamentalen physikalischen Gesetzes in der klassischen Kontinuumsmechanik in Bezug auf Isometrien, also Starrkörperbewegungen, gefordert. Eine wesentliche Einsicht von Einstein war es, diese Invarianz oder Relativität bezüglich beliebiger Transformationen zu fordern, d.h. die Kovarianz (engl.: covariance) eines physikalischen Gesetzes vorauszusetzen. Ohne in dieser Arbeit auch nur ansatzweise die geistigen Leistungen dieses großen Herrn zu erreichen, wird in dieser Arbeit sein Prinzip der Kovarianz als wesentliches Grundprinzip eingeführt. Eine wichtige Erkenntnis ist, dass man das Prinzip der Kovarianz im Rahmen von Pull-Back- oder Push-Forward-Beziehungen interpretieren kann. Eine Tensorfunktion ist dann kovariant, wenn ihr Pull-Back oder Push-Forward identisch ist zu jener Tensorfunktion, die sich durch konsistenten Pull-Back oder Push-Forward all ihrer Argumenttensoren ergibt. Konsistenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Dualität der Argumenttensoren zu beachten ist unter Berücksichtigung sämtlicher Argumenttensoren, auch der eher versteckten Tensoren wie Metriktensoren. Kovarianz ist automatisch erfüllt, wenn die betrachtete Tensorfunktion isotrop ist, d.h. im Rahmen des Repräsentationstheorems für isotrope Tensorfunktionen gebildet wurde (, was bekanntlich die Berücksichtigung einer materiellen Anisotropie nicht ausschließt.). Im vierten Kapitel werden die Grundlagen der Kontinuumsmechanik dargelegt, wobei die in Kapitel zwei und drei erarbeiteten Grundlagen Verwendung finden. Spezielles Merkmal sind eine mathematisch fundierte und ausführliche Darstellung dieses Themengebietes. Im fünften Kapitel wird ganz allgemein auf die Lösung des gekoppelten nichtlinearen Randwertproblems im Rahmen der Finite Elemente Methode eingegangen. Da in den folgenden Kapiteln die einzelnen Themenschwerpunkte mit entsprechenden Vergleichsrechnungen jeweils separat behandelt werden, hat es sich als vorteilhaft erwiesen, die Grundlagen der Finite Elemente Methode bereits frühzeitig an zentraler Position abzuhandeln. Die darauffolgenden Abschnitte befassen sich mit der Materialmodellierung duktiler Metalle. Zunächst wird im sechsten Kapitel die Modellierung elastischen Materialverhaltens besprochen. Nach einer kurzen Einleitung zu wichtigen Themen der finiten Elastizität werden die Grundlagen der Hyperelastizität zusammengestellt und einige wichtige oft verwendete hyperelastische Materialmodelle diskutiert und mit ihren entsprechenden Bestimmungsgleichungen dargestellt. Ein wesentlicher Punkt stellt die korrekte Herleitung der so genannten konjugierten Formulierung auf der Basis des oben besprochenen Tensorableitungskalküls dar, ein Problem, das bisher (Menzel & Steinmann 2003; Miehe 1995a) noch nicht vollständig gelöst worden war. Die Herleitungen ergeben sich ganz allgemein als Folge der Kettenregel der Tensorableitung und sind, obwohl sie im Rahmen der Herleitungen für ein hyperelastisches Potential ermittelt wurden, gültig für beliebige skalarwertige, aber im Prinzip auch höherwertige, kovariante Tensorfunktionen, wenn sie jeweils konsistent unter Beachtung der entsprechenden Komponentenvarianz der beteiligten Tensoren angewendet werden. Die erhaltenen Ergebnisse sind in dieser allgemeinen Form bisher noch nicht in der Literatur zu finden. Bezugnehmend auf die Arbeit (Miehe 1992) werden außerdem weitere wichtige Beziehungen abgeleitet, die bestimmte dort getroffene Behauptungen korrigieren oder relativieren. Das Thema der Modellierung plastischen Materialverhaltens bei finiten Deformationen steht im Zentrum des siebten Kapitels. Nach kurzen einführenden Bemerkungen und einer

22 8 KAPITEL 1: EINFÜHRUNG IN DIE THEMATIK Darstellung des momentanen Stands der Forschung werden die Grundannahmen isochorer Plastizät bei finiten Deformationen erläutert. Dabei werden die maßgebenden Variablen in der Referenz-, der Zwischen- und Momentanplatzierung mitsamt ihren Evolutionsgleichungen unter Anwendung einer exponentiellen Zeitaufleitung (siehe Anhang B) systematisch vorgestellt. Ein wichtiges Thema dieses Kapitels stellt die Formulierung zyklischer Plastizität im Rahmen geeigneter kinematischer Verfestigungsregeln dar. Es werden zwei Modellklassen vorgestellt. Zunächst ein klassisches Materialgesetz in Ratenform, welches als eine nichtlineare Erweiterung eines einfachen linearen Chaboche-Modells interpretiert werden kann. Bezüglich dieser Modellklasse wird die Frage der geeigneten Wahl einer objektiven Zeitrate nicht endgültig geklärt. Um die damit verbundenen Schwächen des Modells entsprechend in Beziehung zu setzen, wird nach Menzel & Ekh (Menzel, Ekh, Runesson & Steinmann 2005; Johansson, Ekh & Runesson 2005) ein innovativer Ansatz gewählt und zu Vergleichszwecken herangezogen. Gemäß diesem Ansatz wird der Rückspannungstensor im Rahmen einer finiten Werkstoffgleichung in Abhängigkeit eines entsprechenden Dehnungstensors bestimmt. Nach Einführung aller relevanten Gleichungen wird abschließend die Durchführung des iterativen Return-Map-Verfahrens unter Anwendung eines lokalen Newton-Algorithmus und die konsistente Ermittlung des algorithmischen Tangentenoperators detailliert erläutert. Die Materialgleichungen werden jeweils bezüglich zweier Platzierungen, der Referenz- und Zwischenplatzierung, formuliert. Insbesondere die absolutwertige Interpretation aller tensoriellen Variablen erlaubt ein tieferes Verständnis für deren funktionelle Abhängigkeiten. Um einen Einblick in die erfolgte numerische Umsetzung zu bekommen, werden die entsprechenden Bestimmungsgleichungen explizit angegeben. Im achten Kapitel wird das für die vorstehenden Untersuchungen bei entsprechend hohen zyklischen Beanspruchungen im Bereich des Kurzzeitversagens relevante Schädigungsphänomen der duktilen Porenschädigung besprochen. Nach einer Diskussion der relevanten Punkte und einer kurzen Literaturrecherche wird aufbauend auf einem mikromechanischen Modell, welches ausführlich in der Arbeit von Leblond, Perrin & Devaux (Leblond, Perrin & Devaux 1995) dargestellt worden ist, eine verbesserte Version des bekannten Gurson-Modelles vorgestellt und dieses Konzept anschließend in analoger Weise auf das bekannte Rousselier-Modell angewendet. Dabei wird das Rousselier-Modell zum ersten Mal in einer Form präsentiert, welche mikromechanisch konsistent, aber im engeren Sinne nicht mehr thermodynamisch orientiert zu nennen ist. Zur Berücksichtigung nichtlinearer Verfestigung auch bei nicht-proportionalen Lastpfaden werden in Erweiterung der originären Arbeit (Leblond, Perrin & Devaux 1995) zwei Verfahren vorgeschlagen, die eine exakte Lösung dieses Problems ermöglichen. Im neunten und letzten Kapitel wird eine kurze Zusammenfassung gegeben und anschließend Entwicklungspotentiale bezüglich der in dieser Arbeit besprochenen Themengebiete aufgezeigt. For the german and english pdf-version of this PhD thesis please go to (electronic dissertation; E Diss) Download of relevant programmes at the site