1 Einführung in die Thematik Motivation Zielsetzung der Arbeit Aufbau der Arbeit... 5

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Thematik Motivation Zielsetzung der Arbeit Aufbau der Arbeit Tensorformalismus Einführung Grundbegriffe und -definitionen Notationen fürtensorenbisvierterstufe Tensorprodukte und Kontraktionsregeln Einheitstensoren vierter Stufe und Basisneuanordnungen Gruppeneigenschaften Transpositionsoperationen fürvierstufigetensoren Symmetrieeigenschaften vierstufiger Tensoren (Schief-) Symmetrietransformationstensoren Tensordifferentiation in Absolutschreibweise Einführung der Gâteaux-Ableitung Tensordifferentiationsregeln Fundamentale Ableitungsregeln Ableitung nach (schief-)symmetrischen Tensoren Anwendungen Beispiele Tensoralgebra auf Mannigfaltigkeiten Einführung Euklidischer Punkt- und Vektorraum Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Definition Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten Grundlegende Konzepte Konvektive Gauß schebasisvektoren vii

2 viii Das innere Vektorprodukt und das Skalarprodukt Metrik Die Duale und die Transponierte Push-Forward- und Pull-Back-Operationen Symmetrische und schief-symmetrische Tensoren Orthogonale Tensoren Der Shifter Die Lie-Ableitung Das Prinzip der Kovarianz Kovarianz von Tensorfunktionen Kovarianz der Zeitableitung einer Tensorfunktion Differentiationsregeln (Schief-)Symmetrietransformationstensoren Basisneuanordnungsoperationen Gültigkeit des Invarianzprinzips Ableitung nach einem Metriktensor Vergleich mit anderen Arbeiten Kontinuumsmechaniche Grundlagen Kinematik Beziehung zwischen Punkt- und Vektorraum Zeit Raum-Zeit-Kontinuum Beobachter Einführung eines materiellen Körpers Beschreibung von Bewegungen Platzierung und Konfiguration eines Körpers Die intrinsische Beschreibung Die Lagrange sche Beschreibung Die Euler sche Beschreibung Deformation und Deformationsgradient Differentielles Volumenelement Differentielles Flächenelement Polarzerlegung des Deformationsgradienten Metrik Geschwindigkeit und Beschleunigung Geschwindigkeitsgradient Verzerrungstensoren

3 ix Gauss-Satz Transformationsregeln fürvolumenintegrale Transformationsregeln für Flächenintegrale Piola-Transformation Reynolds-Transport-Theorem Bilanzgleichungen Starke Form der Bilanzgleichung Massenbilanz Impulsbilanz Cauchy-Spannung Drehimpulsbilanz Bilanz der kinetischen Energie Erster Satz der Thermodynamik Zweiter Satz der Thermodynamik Beobachterwechsel Beobachterinvarianz der Bilanzgleichungen Folgerungen für die Helmholtz sche Energiefunktion Thermodynamischer Prozess Wärmeleitungsgesetz Finite Elemente Methode Einleitung Darstellung des Variationsprinzips Locking und die Methode der inkompatiblen Moden Einführung Darstellung des Hu-Washizu-Variationsprinzips Lösung des nichtlinearen Randwertproblems Schalentheorie Mindlin-Reissner-Kinematik und Green-Lagrange-Verzerrungen Beschreibung finiter Rotationen Diskretisierung Stabilisierungsverfahren Schub-Locking Krümmungslocking Membran-Locking Dicken- oder Poisson-Locking Volumenlocking Vermeidung der Singularität bezüglich des Drillfreiheitsgrades

4 x Numerische Beispiele Cook s-membran Halbkugel mit Loch Modellierung finiter Elastizität Folgerungen aus der Dissipationsungleichung Historische Entwicklung bezüglich des Problems e = d Kovarianz der Verzerrungsenergiefunktion W Spannungstensoren Allgemeine Anforderungen an W Ableitungen von W Verwendete Materialmodelle St.Venant-Kirchhoff-Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Untersuchung der konjugierten Formulierung Anisotrope Hyperelastizität Anwendung der Regeln Verwendung von konvektiven Koordinatensystemen Beziehungen fürisotropeverzerrungsenergiefunktionen Modellierung finiter Plastizität Stand der Forschung Allgemeines Modellierung finiter elasto-plastischer Deformationen Modellierung kinematischer Verfestigung Berücksichtigung eines plastischen Spin-Tensors Ermittlung des konsistenten Tangentenoperators Verzerrungsbasierte Beschreibung Einführung Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten Definition der Verzerrungsenergiefunktion Kinematische Beziehungen Plastizität mit anisotroper und isotroper Elastizität Das Prinzip der maximalen Dissipation Bestimmung der Evolutionsgleichungen Formulierung in Bezug auf die Zwischenplatzierung

5 xi 7.10 Ein einfaches Fliesskriterium für isotrope Plastizität Vereinfachung des elasto-plastischen Modells Modell Modell Isotrope Plastizitätmitkinematischer Verfestigung Modell Modell Modell Modell Numerische Lösungdeselasto-plastischenProblems Der Return-Map Volumetrisch-isochorer Split St.Venant-Kirchhoff-Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Hyperelastisches Materialmodell Allgemeine Bemerkungen Modell 1 - Referenzplatzierung Modell 1 - Zwischenplatzierung Modell 2 - Zwischenplatzierung Modell 3 - Zwischenplatzierung Modell 4 - Zwischenplatzierung Generalisierte Mittelpunktsregel Mittelpunktsregel - Modell 2 - Zwischenplatzierung Bestimmung des Tangentenoperators Formulierung bezüglichderreferenzplatzierung Formulierung bezüglichderzwischenplatzierung Der elasto-plastische Kontinuums-Tangentenoperator Algorithmischer Tangentenoperator Modell 1 - Referenzplatzierung Modell 1 - Zwischenplatzierung Modell 2 - Zwischenplatzierung Version a Modell 2 - Zwischenplatzierung Version b Modell 3 - Zwischenplatzierung Modell 4 - Zwischenplatzierung Generalisierte Mittelpunktsregel Benchmarks

6 xii Monotoner einachsialer Zugversuch Schubversuch Lösung für den elastischen Bereich Diskussion der Ergebnisse Zyklische Tests Ein-Element-Zugversuch Ein-Element-Schubversuch Plastische Anwendungsbeispiele Pinch-Kugel Lochscheibe Modellierung der Porenschädigung Stand der Forschung Schädigungsphänomene bei duktilen Metallen Allgemeines zur Modellierung des duktilen Bruchs Modellierung des duktilen Bruches Der Prozess der Porenentstehung Der Prozess der Koaleszenz Das Gurson-Modell Empirische Verbesserungen bei monotonen Beanspruchungen Erweiterungen zur Simulation zyklischer Beanspruchungen Die Anwendung des Modells bei Bruchberechnungen Einführung Das Gurson-Modell Modellierung des Porenwachstums Schwächen des Gurson-Modells Transformation Cauchy auf Kirchhoff-Spannungen Prozess der Porenschädigung Das Porenwachstum Die Porenentstehung Der Porenzusammenschluss Erweiterung auf kinematische Verfestigung Das Rousselier-Modell Berechnung der äquivalenten plastischen Verzerrung Analytische Integration der Taylor-Reihenentwicklung Numerische Integration Numerische Berechnung der plastischen Verzerrungsinkremente Algorithmische Umsetzung Lokales Newton-Verfahren Algorithmischer Tangentenoperator

7 xiii 9 Zusammenfassung und Ausblick Prolog Zusammenfassung Eigene Bewertung der Arbeit Ausblick Literaturverzeichnis 267 Anhang A Grundlagen der Tensorrechnung A-289 A.1 Push-Forward und Pull-Back-Beziehungen A-289 A.2 Lie-Ableitung A-290 A.3 Kovarianz von Tensorfunktionen A-290 A.3.1 Kovarianz einer skalarwertigen Funktion mit 2 Variablen A-290 A.3.2 Kovarianz einer skalarwertigen Funktion mit 3 Variablen A-291 A.3.3 Kovarianz einer Funktion mit einer gemischtvarianten Variablen.. A-292 A.4 Testen einer Tensorgleichung auf ihre Konsistenz A-292 B Reihendarstellungen von Tensoren B-295 C Legendre-Transformation C-301 DKonvexität und Polykonvexität D-303 D.1 Konvexität einer Funktion D-303 D.2 Konvexität einer Funktion W (F) D-303 D.3 Polykonvexität von W (F) D-304 EKugelförmige RVE mit Pore und deren Lösung E-307 E.1 Kinematik E-307 E.2 Das Gleichgewicht und die Fliessbedingung E-309 E.3 Kinematische Verfestigung E-309 E.4 Lösung für <ɛ p eq > r unter vereinfachenden Annahmen E-310 E.5 Analytische Integration unter Verwendung einer Taylor-ReihenentwicklungE-311 E.6 Numerische Integration E-312 E.6.1 Algorithmus zur Berechnung des Integrals E-317 E.7 Linearisierung des linearen Verfestigungsmodells E-319 E.8 Vergleich der Verfahren E-321 F Superposition mehrerer Rückspannungstensoren F-323 G Hilfsmittel zur Latex-Textprogrammierung G-327

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