Elastizität und Bruchmechanik - 3.Projektaufgabe (B)

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1 Elastizität und Bruchmechanik - 3.Projektaufgabe (B) Prof. K. Weinberg Prof. W. Brocks Dr. R. Wille Gruppenmitglieder: Fevzi Kücükel, Fatma Tas, Buket Korkmaz, Melike Özsu, Wladislaw Warnken,

2 J-Integral Die Wegunabhängigkeit des J-Integrals Beurteilung der Schädigung durch J-Integralkonzept Virtuelle Rissverlängerung Gebietsintegral ABAQUS-Rechnung Mode I Mixed Mode Schlussfolgerung 2

3 Schwierigkeit bei der Berechnung der Spannung und Verschiebung bei nichtlinearem Materialverhalten Lösung: Methode von J.R.Rice, der das Randwertproblem umgeht Entwurf einer Linienintegral (J-Integral) 3

4 Bedingungen für die Wegunabhängigkeit: (1) zeit-unabhängige Prozesse, keine Volumenkräfte (2) kleine Deformationen (3) homogenes hyperelastisches Material (4) ebene Spannungs- und Verschiebungsfelder (5) gerade und spannungsfreie Rissflanken parallel zu x1 4

5 Das Linienintegral führt durch das zweidimensionale Spannungsfeld J-Integral nimmt immer den gleichen Wert an 2D-Material/Scheibe Weg um den Kerben plastische Zone 5

6 Homogener Körper aus linearem oder nichtlinearem elastischen Material Es wirken keine Volumenkräfte Zweidimensionale Deformationszustände (ESZ,EVZ), die von den kartesischen Koordinaten abhängig sind Kerb verläuft parallel zur x1 -Achse Kerb Γ = geschlossene Kurve n= Normalenvektor 6

7 Betrachtung einer beliebigen geschlossenen Kurve Γ* um die Rissspitze, die eine Fläche A* umschließt Verzerrungsenergiedichte Linearer Verzerrungstensor J-Integral n= Normalenvektor u= Verschiebungsvektor 7

8 Integrand des J-Integrals soll in ein Oberflächenintegral umgeschrieben werden STOKESschen Satz Spezialisierung auf x1, x2 -Ebene GREENscher Satz A= stetig differenzierbares Vektorfeld N= Normalenvektor S= Fläche 8

9 Anwendung des GREENscher Satzes zur Umformung des Linienintegrals in Oberflächenintegral: erhalten nach einsetzen in das J-Integral: 9

10 nach A1 und A2 aufgelöst, folgt: erhalten nach einsetzen: Ausnutzung der Symmetrie des Spannungstensors aufgrund Terme heben sich gegeneinander auf: 10

11 Betrachtung von zwei Wegen Γ1 und Γ2,die die Kerbspitze umrunden Längs dieses Weges verschwindet das Integral über Lastfreier Kerb dx2=0 es folgt: oder: 11

12 Feststellung: J-Integral hat immer den selben Wert gleichgültig, welcher Weg Γ gewählt wurde Somit ist die Wegunabhängigkeit bewiesen Kerb 12

13 Das J-Integral ist wegunabhängig und liefert für jede beliebige Kontur den gleichen Wert Linearelastischen Fall entspricht dem J-Integral der Energiefreisetzungsrate G (mit der Eigenschaft einer Rissfortschrittskraft hat [N/mm]) Die Berechnung eines Linienintegrals ist in der FEM unvorteilhaft, weil Koordinaten und Verschiebungen auf Knotenpunkte, Spannungen und Verzerrungen auf GAUSS-Punkte bezogen sind. Spannungsfelder sind über die Elementgrenzen hinweg unstetig die Extrapolation von Spannungen auf Knotenpunkte macht zusätzliche Annahmen erforderlich Deshalb wird üblicherweise eine Gebietsintegralmethode zur Berechnung von J benutzt 13

14 Linienintegralmethode Gebietsintegralmethode Quelle: FEM-Analysen von Rissproblemen bei nichtlinearem Materialverhalten, W. Brocks 14

15 Durch Anwendung des GAUSSschen Divergenzsatzes kann das Linienintegral in ein Gebietsintegral über ein endliches Gebiet um die Rissspitze herum umgeformt werden Diese Methode ist numerisch robust und liefert auch für grobe Netze genaue Werte Sie wurde zuerst von PARKS [1977] vorgeschlagen und später von DELORENZI [1982] weiter ausgearbeitet. m j x 2 n j C 0 C p C m x 1 A Γ Gebietsintegralrepräsentation 15

16 Mit den aus der FEM bekannten Ansatzfunktionen Und deren partiellen Ableitungen 16

17 Im kommerziellen FEM-Programm ABAQUS wird das J- Integral mit Hilfe der Methode der virtuellen Rissausbreitung nach Parks und delorenzi berechnet (Virtual Crack Extension Method) 17

18 Mode I Zuglast Mixed Mode Zug- und Schublast Kraft F = 500 N Kraft F = 500 N Kraft F = 500 N Kraft F = 500 N Mode I (vertikale Kraft) mixed Mode (vertikale und horizontale Kraft) 18

19 Zoomen der Verformungsstelle 19

20 Material: E-Modul: N/mm 2 Poissonzahl: 0,3 Kraft (Zuglast (Punktbelastung)): 500 N J-Wert: 1,49 20

21 Zoomen der Verformungsstelle 21

22 Material: E-Modul: N/mm 2 Poissonzahl: 0,3 Kraft (Zug- & Schublast (Punktbelastung)): 500 N J-Wert: 3,70 22

23 Die mathematischen Lösungen sind der nummerischen Lösung (ABAQUS) annähernd gleich Für nummerische Lösungen in der Bruchmechanik ist das Programm ABAQUS geeignet Sie liefert exakte und schnelle Lösungen mit graphischen Darstellungen 23

24 Brocks, W und Scheider, I, 2001: Numerical Aspects of the Path- Dependence of the J-Integral in Incremental Plasticity, How to calculate reliable J-values in FE analyses, Institut für Werkstoffforschung, GKSS- Forschungszentrum Geesthacht, Technical Note GKSS/WMS/01/08, Internal Report Zehnder, T. A., 2007: Lecture Notes on Fracture Mechanics, Dept. of Theoretical and Applied Mechanics, Cornell University, 2008 Schimpfke, T., 2002: Numerische Untersuchungen zur J- Integralerweiterung für elastisch-plastisches Material im Hinblick auf die Integrität des Reaktordruckbehälters, Fakultät Energietechnik, Staatliche Materialprüfungsanstalt (MPA) Universität Stuttgart, Dissertation 2002 Telgkamp, J., 2000: Untersuchung zur elastisch-plastischen Bruchmechanik der Grenzflächenrisse mittels des Moiréverfahrens und der FEM, Fakultät für Maschinenbau und Verfahrenstechnik, Technische Universität Chemnitz, Dissertation

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