Computersimulationen biologischer Musterbildung HANS MEINHARDT

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1 Strukturbildungsprozesse Computersimulationen biologischer Musterbildung HANS MEINHARDT INTERNET Mit einfachen Mitteln lassen sich mit dem Computer Prozesse der biologischen Musterbildung simulieren. Biologische Prozesse beruhen auf der Wechselwirkung von Molekülen. Das gilt natürlich auch für solche, die eine Ausbildung lokaler Signale für die Steuerung der Zelldifferenzierung ermöglichen. In dem vorangegangenen Aufsatz (Seite 22) wurde beschrieben, dass diese Prozesse Wechselwirkungen erfordern, bei denen Substanzen direkt oder indirekt eine starke positive Rückwirkung auf ihre eigene Produktion haben. Parallel dazu müssen antagonistische Substanzen synthetisiert werden, die diese selbstverstärkenden Reaktionen in ein neues Gleichgewicht bringen. Unsere Intuition ist ein sehr unvollkommenes Instrument, um die Eigenschaften solcher rückgekoppelten und nicht linearen Systeme vorauszusagen. Wie in anderen Wissenschaften auch ist eine mathematische Formulierung der Hypothesen notwendig. Eine Gleichung ist eindeutig. Im Folgenden soll an einfachen Beispielen gezeigt werden, wie eine solche Formulierung aussehen und wie man sie für eine Computersimulation aufbereiten kann. Mithilfe des einfachen, hier abgedruckten Programms können einige elementare Simulationen ausgeführt werden. Es ist in BASIC geschrieben. Von der BIUZ-Webseite kann ein noch etwas umfangreicheres Programm und eine unter DOS lauffähige Version heruntergeladen werden. Auch die Simulationen können dort eingesehen werden. Wenn während der Entwicklung eines Organismus an einer Stelle etwas geschieht, was an einer anderen Stelle Von der BIUZ-Webseite können Sie ein Programm und eine unter DOS lauffähige Version herunterladen, mit dessen Hilfe einige elementare Simulationen ausgeführt werden können. Die im Artikel vorgestellten Simulationen können dort eingesehen werden. Weitere Simulationen an der Homepage des Max-Planck- Instituts für Entwicklungsbiologie Theoretical aspects of pattern formation and neuronal development. theory.html nicht erfolgt, so müssen wir davon ausgehen, dass unterschiedliche Konzentrationen von Signalmolekülen aufgebaut wurden. Die mathematische Formulierung muss eine Berechnung dieser Konzentrationsverteilungen als Funktion der Zeit ermöglichen. Dazu muss man die Konzentrationsänderungen innerhalb eines kurzen Zeitraums als Funktion der anderen beteiligten Stoffe berechnen. Addiert man diese Änderungen zu gegebenen Ausgangskonzentrationen, so erhält man die Konzentrationsverteilung zu einem etwas späteren Zeitpunkt. Durch vielfache Wiederholung solcher Rechenschritte (Iterationen) erhält man die Konzentrationen der beteiligten Substanzen als Funktion des Ortes und der Zeit. Bei den Konzentrationsänderungen spielen drei Faktoren eine wichtige Rolle: die Produktion, der Abbau und der Austausch mit benachbarten Zellen, beispielsweise durch Diffusion. Gleichung für ein Aktivator-Inhibitor-System Wie in dem vorhergehenden Aufsatz im Detail beschrieben, erfordert eine spontane Musterbildung eine örtlich begrenzte Selbstverstärkung, die mit einer sich schnell ausbreitenden inhibitorischen Reaktion gekoppelt ist. Es bilden sich Muster, weil kleine Abweichungen von einer homogenen Verteilung eine starke positive Rückwirkung auf ihr weiteres Anwachsen haben. Der weitreichende antagonistische Effekt sorgt dafür, dass die selbstverstärkende Reaktion weder beliebig anwachsen noch sich beliebig ausbreiten kann. Das folgende Gleichungssystem beschreibt Konzentrationsänderungen pro Zeiteinheit eines hypothetischen Aktivators a(x) und des entsprechenden Inhibitors b(x) [1, 2, 5]. a s a a = 2 2 b r a D t + b a a + a 2 x 2 b 2 b = sa r b D t b + b 2 x 48 Biologie in unserer Zeit 31. Jahrgang 2001 Nr. 1

2 STRUKTURBILDUNGSPROZESSE DAS EXPERIMENT In diesen Gleichungen bedeutet t die Zeit, x die räumliche Koordinate, D a und D b die Diffusionskoeffizienten, r a und r b die Zerfallsraten von a und b. Solche Gleichungen sind leicht zu lesen. Die erste Gleichung besagt, dass der Aktivator nicht linear auf seine eigene Produktion zurückwirkt (a 2 ). Eine solche Nicht-Linearität entsteht, wenn zwei Aktivatormoleküle einen Komplex bilden müssen, um die Synthese weiterer Moleküle anzuregen. Um die Autokatalyse bei sehr niedrigen Aktivatorkonzentrationen in Gang zu setzen, ist eine kleine aktivatorunabhängige Grundproduktion b a notwendig. Diese spielt eine Rolle beim Zünden neuer Maxima während des Wachstums, für das periodische Aktivieren bei Oszillationen oder bei der Regeneration von Mustern. Die Produktion wird durch den Inhibitor verlangsamt (1/b). Der Faktor s, die Quelldichte, beschreibt die Fähigkeit der Zellen zur Autokatalyse. Die Rate, mit der Moleküle verschwinden, ist in der Regel proportional zur Anzahl der vorhandenen Moleküle (-r a a). Diese Annahme ist unmittelbar einleuchtend. So ist beispielsweise auch die Zahl der Menschen, die im Mittel pro Jahr in einer Stadt sterben, proportional zur Zahl der Einwohner. Musterbildung kann nur stattfinden, wenn die Zellen miteinander Signale austauschen können. Eine Möglichkeit dazu ist die Diffusion. Dieser Austausch ist proportional zur zweiten Ableitung der Konzentrationsänderung. Auch das ist leicht einsehbar. Der Nettoaustausch von Molekülen durch Diffusion ist natürlich null, wenn alle Zellen die gleiche Konzentration besitzen. Er ist jedoch ebenfalls null, wenn zwischen benachbarten Zellen eine konstante Konzentrationsdifferenz besteht, wenn also ein linearer Konzentrationsgradient vorliegt. Dann erhält jede Zelle von ihrer Nachbarzelle mit der höheren Konzentration die gleiche Stoffmenge, die sie an ihre Nachbarzelle mit der niedrigeren Konzentration verliert. Mit anderen Worten, für einen Verlust oder Zuwachs durch Diffusion ist nicht die Konzentrationsänderung, sondern die Änderung der Konzentrationsänderung zwischen Nachbarzellen entscheidend. Die Gleichung für die Änderung der Inhibitorkonzentration kann entsprechend gelesen werden. Sie unterscheidet sich im Wesentlichen nur dadurch, dass die Produktionsrate nur vom Aktivator, nicht aber vom Inhibitor selbst abhängig ist. Berechnung einer Musterentwicklung Um mit Hilfe einer solchen Gleichung die zeitliche Entwicklung eines räumlichen Musters berechnen zu können, müssen zunächst die Konstanten wie die Produktions-, Zerfalls- und Diffusionsraten festgelegt werden. Die Wahl ist natürlich nicht willkürlich. Damit eine räumliche Musterbildung möglich ist, muss der Inhibitor viel schneller diffundieren als der Aktivator (D b >> D a ). Ferner muss der Inhibitor sehr schnell auf eine Veränderung der Aktivatorkonzentration reagieren, sonst beginnt das System zu oszillieren. Das bedeutet, dass die Lebensdauer des Inhibitors kürzer sein muss als die des Aktivators. Das heißt, für die Abbauraten muss die Relation r b > r a gelten. Da die Gleichungen nur Veränderungen beschreiben, müssen bestimmte Anfangskonzentrationen angenommen werden. Von diesen Anfangsverteilungen ausgehend, wird der weitere zeitliche Verlauf berechnet. Um die spontane Musterbildung zu demonstrieren, wird bis auf die kleinen statischen Schwankungen in der Quelldichte s immer von homogenen Anfangsbedingungen ausgegangen. Der Computer kann nicht mit einem kontinuierlichen Feld, sondern nur mit diskreten Zellen rechnen, was für biologische Anwendungen ohnehin nicht ganz falsch ist. Dazu werden in dem Programm die Aktivatorkonzentrationen der einzelnen Zellen in Arrays gespeichert, im Programm heißen diese a(i), b(i) usw. Hierbei gibt i=1 n an, um welche Zelle es sich handelt. Im vorliegenden Programm wird nur von einer Kette von Zellen ausgegangen. ABB. 1 MUSTERBILDUNG Eine schichtartige Ausdehnung wird nicht berücksichtigt. Bevor die jeweilige Rechnung für eine bestimme Zelle und ein bestimmtes Zeitintervall ausgeführt wird, werden die aktuellen Konzentrationen der Substanzen a, b, c,. als a, b, c, zwischengespeichert. Die lokale Produktionsrate (Quelldichte) wird in dem Feld s(i) gespeichert und während einer Simulation nicht verändert. In der Regel wird die Produktionsrate s des Aktivators gleich seiner Zerfallsrate r a gesetzt. Das hat den Vorteil, dass in den Simulationen Absolutkonzentrationen in der Größenordnung von 1 entstehen. Der Wert von s wird lokal noch durch zufällige Schwankungen von 1% moduliert. Mit jeder neuen Simulation werden nach einer Zufallsfunktion neue Fluktuationen festgelegt. Darum kann eine Wiederholung mit gleichen Parametern durchaus zu einem etwas anderen Muster führen. Bei der Berechnung des Austauschs durch Diffusion treten statt der zweiten Ableitungen die Differenz der Kon- Bildschirmkopien von Simulationen, produziert mit dem beschriebenen Programm: Bildung gradierter (obere Reihe) und periodischer Verteilungen (unten). Dargestellt sind die Anfangs-, eine intermediäre und die endgültige stabile Verteilung des Aktivators und des Inhibitors. Die Musterbildung wird jeweils durch kleine statistische Schwankungen (blaue Kurve) ausgelöst. Nr Jahrgang 2001 Biologie in unserer Zeit 49

3 zentrationsdifferenzen zwischen Nachbarzellen auf. Damit erhält man statt der kontinuierlichen Differentialgleichungen diskrete Differenzengleichungen für die Änderungen der Aktivatorkonzentration in einem kleinen Zeitintervall in der jeweiligen Zelle i. Diese Konzentrationsänderungen werden zu den ursprünglichen Konzentrationen addiert und es ergibt sich die neue Konzentrationen a (i) in der Zelle i a (i) = a(i) + s(i) * (a(i) 2 + BA)/b(i)- RA * a(i) + DA * ((a(i-1)-a(i)) + (a(i+1))-a(i)) Zunächst muss in einer Schleife diese neue Konzentration für alle Zellen i, i=1 n ausgerechnet werden. Anschließend werden in einer weiteren Schleife die Konzentrationsänderungen für das nächste Zeitintervall berechnet usw. Der Austausch von Molekülen durch Diffusion zwischen Nachbarzellen erfordert bestimmte Bedingungen für die Zellen am Rand des Feldes. Für Rechnungen auf einem Ring wird angenommen, dass die letzte Zelle n die Zelle 1 als Nachbarn hat. Bei einer offenen Kette von Zellen soll der Rand undurchlässig sein, das heißt, es gehen weder Moleküle durch den Rand verloren noch werden Moleküle von außen aufgenommen. Dazu werden hypothetische Zellen neben den Randzellen angenommen, die immer die gleichen Konzentrationen wie die Randzellen selbst haben. Zwischen Zellen mit gleichen Konzentrationen findet kein Nettoaustausch statt. Damit ist die Bedingung erfüllt, dass durch die Grenzen kein Austausch stattfindet. Die Simulation erfordert kleine Zeitschritte Bei einer solchen Simulation geht man von schrittweisen Änderungen aus. Das ist natürlich nur eine Näherung. Man darf die Schritte also nicht zu groß machen, sonst können numerische Instabilitäten auftreten. Das ist am leichtesten bei den Diffusionskonstanten zu verstehen. Nehmen wir zum Beispiel eine Kette von Zellen an, in der anfänglich nur eine Zelle eine hohe Konzentration hatte. Mit einer numerischen Diffusionskonstante von 1 nimmt diese Zelle nach der ersten Iteration eine negative Konzentration von gleicher Größe an. Dagegen werden die beiden Nachbarzellen die gleiche Konzentration haben wie die ursprüngliche Zelle. Damit ist aber die Konzentrationsdifferenz zwischen benachbarten Zellen auf 2 gewachsen. Das ist natürlich Unsinn, denn durch Diffusion müssen sich Konzentrationsdifferenzen ausgleichen und nicht weiter erhöhen. Um solche numerischen Instabilitäten zu vermeiden, darf der numerische Wert der Diffusionskonstante 0,4 (0,2 bei zweidimensionalen Simulationen) nicht übersteigen. Der numerische Wert besagt ja, wieviel der Substanz während eines Zeitschrittes ausgetauscht wird. Ein kleinerer numerischer Wert entspricht also einer kleineren Schrittlänge. Die Diffusion der schnell diffundierenden Substanz bestimmt also die maximale mögliche Schrittlänge. Ob beispielsweise eine gradierte Verteilung oder eine periodische Verteilung entsteht, hängt von den Reichweiten der beteiligten Substanzen ab (Abbildung 1). Die Reichweite ist die Strecke, die ein Molekül im Mittel zwischen seiner Entstehung und seinem Zerfall zurücklegt, und ist sowohl von der Diffusionsgeschwindigkeit als auch von der Lebensdauer abhängig. Ein Blick auf die im Programm verwendeten Konstanten zeigt, dass die Abbauraten für die Simulation der periodischen Strukturen als wesentlich größer angenommen wurden. Also reicht die Inhibition nicht so weit, und mehrere Maxima haben im gleichen Feld Platz. Umgekehrt, wenn die Reichweite des Aktivators ungefähr der Feldgröße entspricht, ist nur Platz für ein Maximum an einer Seite des Feldes vorhanden. Es bildet sich ein polares Muster aus. Für eine biologische Anwendung ist das sehr wichtig, da so in einem Teil eines sich entwickelnden Embryos eine andere Entwicklung initiiert werden kann als auf der gegenüberliegenden Seite, obwohl in allen Zellen die gleiche genetische Information vorhanden ist. Selbst-löschende Muster Wie im vorangegangenen Aufsatz gezeigt, tritt durch einen weiteren Inhibitor, der eine kurze Reichweite und eine lange Lebensdauer hat, eine Vergiftung eines einmal gebildeten Maximums auf. Das Maximum verschwindet wieder, dafür wird am anderen Ende ein neues gebildet usw. In dem Beispielprogramm wird dieser Inhibitor c(x) durch den Aktivator produziert und wirkt additiv zu dem Inhibitor mit langer Reichweite b(x). Statt 1/b ergibt sich eine Gesamtinhibition von 1/(b+c). Das ist aber nur eine der denkbaren Möglichkeiten. Bei der Simulation treten Maxima abwechselnd an dem einen und anderen Ende des Feldes auf (Abbildung 2). Eine solche Oszillation eines polaren Musters wurde in E.coli als Teil eines Systems gefunden, mit dem das Bakterium seine geometrische Mitte bestimmt. Das ist notwendig, um die nächste Zellteilung zu lokalisieren [3]. Bei einem solchen System bleibt im zeitlichen Mittel die Aktivatorkonzentration in der Mitte des stabförmigen Gebildes am geringsten. Da die abwechselnd gebildeten Maxima notwendigerweise symmetrisch sind, erscheint das Minimum immer genau in der Mitte. In einem weiten Bereich ist diese unabhängig von der tatsächlichen Länge des Bakteriums. Dieses Minimum kann von anderen Komponenten zur Festlegung der Teilungsebene benutzt werden. Wird dagegen die Simulation auf einer ringförmig geschlossenen Kette von Zellen durchgeführt, so erscheinen die Maxima entweder an en, die um jeweils etwa 137,5 versetzt sind, in paarweiser, jeweils um 90 versetzter Anordnung, oder abwechselnd an gegenüberliegenden en. Diese Muster entsprechend den häufigsten phyllotaktischen Anordnungen von Blättern. Die helikale Anordnung kann mit dem Programm, das von der Webseite verfügbar ist, simuliert werden. 50 Biologie in unserer Zeit 31. Jahrgang 2001 Nr. 1

4 STRUKTURBILDUNGSPROZESSE DAS EXPERIMENT ABB. 2 DAS OSZILLIERENDE POLARE MUSTER Zeit Durch einen zweiten Inhibitor (violett), der sich langsam lokal ansammelt, wird ein Maximum kurz nach seiner Bildung vergiftet. Ein neues Maximum entsteht an der gegenüber liegenden Seite. Im weiteren (hier nicht gezeigten) Verlauf wird auch das wieder verschwinden und ein neues Maximum wird an der ursprünglichen Stelle erscheinen usw. Die graphische Darstellung Jeweils nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen sollen die aktuell errechneten Verteilungen dargestellt werden. In dem abgedruckten Programm wird eine Darstellung verwendet, mit der die Konzentrationen in einer Kette von Zellen wiedergeben werden können (Abbildung 1, 2). Dazu wird die jeweilige Aktivatorkonzentration der Zelle i durch ein (grünes) Rechteck dargestellt, dessen Höhe proportional zur aktuellen Konzentration ist. Um Reste früherer Rechtecke zu löschen, wird über diesem Rechteck noch ein weißes Rechteck bis zum oberen Rand gemalt. Da die Inhibitorverteilung die Aktivatorverteilung nicht vollständig überdecken soll, wird diese nur als schmaler (roter) Balken in einer Höhe entsprechend der jeweiligen Konzentration aufgetragen. In Blau ist die lokale Produktionsrate mit ihren minimalen Fluktuationen angegeben. Wie leicht zu sehen ist, ist in diesen Fluktuationen das endgültige Muster nicht schon in einer verborgenen Weise vorhanden. Die Konzentration des langlebigen, vergiftenden Inhibitors, der zu dem dynamischen Auf- und Abbau von Maxima führt, ist violett angegeben (Abbildung 2). In Abbildung 1 ist die ursprüngliche Verteilung, ein Zwischenzustand und die am Ende stabile Verteilung gezeigt. Interessanter ist aber die vollständige dynamische Entwicklung auf dem eigenen Computer zu beobachten. Da die Fluktuationen mit jeder Simulation neu bestimmt werden, ist der detaillierte Verlauf jeweils etwas verschieden. Beispielsweise ist es Zufall, ob sich bei der gradierten Verteilung das Maximum auf der rechten oder der linken Seite bildet. Bei der zweiten Art der graphischen Darstellung wird die Musterbildung in der ringförmigen Blattbildungszone simuliert (siehe Abbildung 3 des vorhergehenden Aufsatzes). Durch die perspektivische Betrachtung erscheinen die Kreise als Ellipsen. Im Laufe der Simulation werden viele solcher Ellipsen jeweils etwas nach oben verschoben übereinander gezeichnet. Dadurch entsteht der Eindruck eines wachsenden Zylinders. Wenn die Aktivatorkonzentration einen bestimmten Wert übersteigt, wird dieser Teil der Ellipse als dicker grauer Strich gemalt. Es erscheint so eine dunkle Fläche auf dem Zylinder entsprechend einem Signal zur Blattbildung. Um den zylinderartigen Eindruck zu verbessern, sind die Flächen, die einer Ansicht auf eine innere Zylinderwand entsprechen, in hellerem Grau gehalten. Gegenständige, kreuzständige und helikale Anordnung können simuliert werden. Wenn man mit statistischen Anfangsbedingungen beginnt, benötigt die Reaktion gegebenenfalls einige Zeit, bis sich das endgültige Muster stabil eingestellt hat. Deshalb sollte man dann mit der Taste w ggf. einen weiteren Satz von Iterationen rechnen. Die Ausbildung des stabilen Musterns ist dabei gut zu beobachten. Vom Programmcode zum ausführbaren Programm Das kurze Programm wurde auf die wesentlichen Elemente beschränkt, damit es leicht zu verstehen ist. Ausführliche Kommentare sind eingefügt, so dass zusammen mit den obigen Erklärungen die einzelnen Teile verständlich sein sollten. Es kann mit den DOS-Programmen der Microsoft Nr Jahrgang 2001 Biologie in unserer Zeit 51

5 DAS COMPUTER-PROGRAMM DEFINT H-N Variablen mit diesen Anfangsbuchstaben sind ganzzahlig i = 1 n= Zellen imax = 200: DIM a(imax), b(imax), c(imax), s(imax) simtyp$ = p Anfang mit periodischer Verteilung start: RANDOMIZE TIMER Durch verschiedene Fluktuationen wird jede Simulation etwas anders Festlegung der Konstanten wie Diffusion, Lebensdauer, etc - SELECT CASE simtyp$ fuer periodische, gradierte und oszilierende Muster CASE p : text$ = Periodisches Muster kt = 100 Zahl der Darstellungen kp = 20 Zahl der Iterationen zwischen den Darstellungen Zahl der Iterationen insgesamt = kt * kp! n = 40 Zahl der Zellen DA =.01 Diffusion des Aktivator RA =.02 Zerfallsrate des Aktivators BA =.001 kleine Aktivator-unabhängige Produktionsrate des Aktivators DB =.4 Diffusion des lokalen Inhibitors B RB =.03 Zerfallsrate des lokalen Inhibitors B RC = 0 Substanz C nicht gebraucht fa = 60: fb = 60: fc = 0 Graphik-Normierung CASE g : text$ = Gradierte Verteilung kt = 50: n = 12: kp = 200 DA =.004: RA =.0015: BA =.0001: DB =.4: RB =.0025: RC = 0 fa = 60: fb = 60: fc = 0 CASE o : text$ = Muster vergiftet sich: 2.Inhibitor = rosa kt = 200: kp = 500: n = 12: DA =.003: RA =.002: BA =.085 DB =.4: RB =.003: DC =.001: RC =.0001: fa = 40: fb = 50: fc = 50 Graph-Normierung CASE ELSE: END jede andere Taste: Ende END SELECT REM - Anfangsbedingungen FOR i = 1 TO n s(i) = RA * ( * RND) Quelldichte = Aktivatorproduktion proportional zur Zerfallsrate + 1% statistische Fluktuationen a(i) = 1 Aktivator, generelle Anfangskonzentration b(i) = 1 Inhibitor, generelle Anfangskonzentration c(i) = 0 NEXT i t = TIMER SCREEN 12: WINDOW (1, 1)-(640, 480) Koordinaten-System continuo: idx = 600 / n Zellenbreite in Pixel fs = 350 / RA Normierung der Quelldichte fuer Darstellung LINE (1, 1)-(640, 480), 15, BF Hintergrund weiss LOCATE 30, 1: PRINT gruen = Aktivator, rot = Inhibitor, blau = Quelldichte ; PRINT jede Taste: Unterbrechung ; LOCATE 1, 1: textprint$ = text$ + SPACE$(80) PRINT LEFT$(textprint$, 80); FOR itot = 0 TO kt Schleifen fuer darzustellende Verteilung FOR iprint% = 1 TO kp Rechnung zwischen den Darstellungen REM Rand-ist-dicht al = a(1): bl = b(1): cl = c(1) al ist die Konzentration einer Zelle links von der aktuellen Zelle = linke Zelle = Rand ist dicht a(n + 1) = a(n) Konzentrationen in einer virtueller Zelle rechts b(n + 1) = b(n) gleich Konzentration der ganz rechten Zelle c(n + 1) = c(n) und das für alle Substanzen REM - Reaktionen in den Zellen 1.n FOR i = 1 TO n i = laufende Zelle, n = rechte Zelle a = a(i) lokale Aktivator-Konzentration b = b(i) lokale Inhibitor1-Konzentration c = c(i) lokale Inhibitor2-Konzentration Ausrechnen der neuen Aktivator- und Inhibitorkonz. in Zelle i Diffaktivator = DA * ((al a) + (a(i + 1) a)) Austausch mit Nachbarz. a(i) = a + s(i) * (a * a + BA) / (b + c) RA * a + Diffaktivator b(i) = b + s(i) * a * a RB * b + DB * ((bl b) + (b(i + 1) b)) IF RC > 0 THEN c nur bei oszillierenden Mustern und Phyllotaxis c(i) = c + RC * (a c) + DC * ((cl c) + (c(i + 1) c)) END IF al = a: bl = b: cl = c Es sind die noch nicht geaenderten Konzentrationen die fuer die Berechnung der Diffusion in der naechsten Zelle NEXT i verwendet werden muessen NEXT iprint% REM Graphische Darstellung = jede Zelle ein Rechteck LINE (20, 45)-(620, 50), 7, BF Basis-Linie blau x1 = 20 des ersten Rechtecks FOR i = 1 TO n x2 = x1 + idx afl = 51 + a(i) * fa: LINE (x1, 51)-(x2, afl), 2, BF (Gruener Block = Aktivator) LINE (x1, afl)-(x2, 462), 15, BF Block weiss malen=alten Wert loeschen bfl = 51 + b(i) * fb: LINE (x1, bfl)-(x2, bfl + 10), 12, BF sfl = 51 + s(i) * fs: LINE (x1, sfl)-(x2, sfl + 3), 1, BF IF RC > 0 THEN nur wenn 2 Inhibitoren verwendet werden cfl = 51 + c(i) * fc LINE (x1, cfl)-(x2, cfl + 3), 13, BF END IF x1 = x2: NEXT DO UNTIL TIMER t >.1: LOOP: t = TIMER Bremse; sonst ggf. zu schnell t = TIMER Neue Zeitmessung IF INKEY$ > THEN EXIT FOR Jeder Tastendruck dazwischen macht Abbruch NEXT itot LOCATE 30, 1: PRINT w = Weiter; n = Neustart; s = Start einer anderen ; PRINT Simulation, andere Taste=Ende ; a$ = : DO UNTIL a$ > : a$ = INKEY$: LOOP Warten auf Taste SELECT CASE a$ CASE c, w, W : GOTO continuo Weiter rechnen CASE n, N : GOTO start Neu anfangen CASE s, S : LOCATE 30, 1: PRINT p = Periodische Verteilung; g = Gradient, ; Auswahl der Muster PRINT o = Oszillierende polare V.; e = Ende ; simtyp$ = : DO UNTIL simtyp$ > : simtyp$ = INKEY$: LOOP Warten auf Taste GOTO start END SELECT 52 Biologie in unserer Zeit 31. Jahrgang 2001 Nr. 1

6 STRUKTURBILDUNGSPROZESSE DAS EXPERIMENT BASIC-Familie (QB oder Professional BASIC) sowie mit Power-BASIC übersetzt werden. Nach leichtem Umbau kann der Code auch in ein Visual Basic Projekt für Windows integriert werden. Auch der Interpreter QBASIC ist geeignet. Er wurde früher standardmäßig mit Windows ausgeliefert (im DOS-Ordner) und ist vermutlich noch auf dem einen oder anderen älteren Rechner verfügbar. Die Ausführungsgeschwindigkeit mit diesem Interpreter ist aber etwas langsamer als bei Verwendung der anderen Compiler. Die fertig übersetzte Version, die vom Internet heruntergeladen werden kann, wurde mit Power-Basic übersetzt (patt-ex.exe; das Programm entpackt sich selbst und stellt dann die lauffähige Version (pattern.exe) und den Quellcode (pattern.bas) zur Verfügung). Da das Programm sehr einfach ist, sollte eine Umsetzung in eine andere Programmsprache keine Schwierigkeiten bereiten. Programme, bei denen die Parameter interaktiv geändert werden können und die auch zweidimensionale Simulationen erlauben, sind an anderer Stelle zu finden [2]. Dieses Programme erlauben auch Manipulationen wie beispielsweise das Entfernen von Zellen, um die Regeneration zu simulieren. Literatur [1] A. Gierer und H. Meinhardt, A theory of biological pattern formation. Kybernetik 1972, 12, (Eine Kopie dieser Arbeit ist über [5] erhältlich). [2] H. Meinhardt, Wie Schnecken sich in Schale werfen, (mit PC- Programmen), Springer-Verlag, Heidelberg, [3] D.M. Raskin and P. de Boer, Rapid pole-to-pole oscillation of a protein required for directing division to the middle of escherichia coli, PNAS 1999, 96, Autor Der Autor ist den Lesern aus BIUZ 2001, 31, Seite 29, bekannt. Anschrift: Prof. Dr. Hans Meinhardt, Max-Planck-Institut für Entwicklungsbiologie, Spemannstraße 35, D Tübingen. Hans.Meinhardt@Tuebingen.mpg.de Nr Jahrgang 2001 Biologie in unserer Zeit 53