Biochemische Oszillationen

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1 Biochemische Oszillationen Al-Aifari Reema 16. November 2008 Bakkalaureatsarbeit aus Mathematische Modelle in der Technik, Johannes Kepler Universität Linz, WS 2007/08. Name: Al-Aifari Reema Matr.Nr.: SKZ: 201

2 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiel: Oszillation während der Zellteilung 4 2 Zwei einfache Reaktionen 5 3 Qualitative Änderungen durch unterschiedliche Parameterwahl Stabilität von Equilibriumspunkten Anwendung auf das Beispiel des Aktivator-Inhibitor Prozesses 12 Literaturverzeichnis 14 2

3 Einleitung Liegt bei einem biochemischen Vorgang ein periodisches Verhalten der Konzentration einer Substanz vor, spricht man von einer biochemischen Oszillation. Beispielsweise ist der Vorgang der Glycolyse, bei dem Zucker zur Energiegewinnung abgebaut wird, ein immer wieder auftretender, periodischer Prozess. Die Zellteilung zeigt ebenfalls periodisches Verhalten in Wachstum und Teilung der Zelle. Biochemische Oszillationen kommen nicht nur in allen lebenden Organismen vor, vielmehr wird durch sie Leben erst ermöglicht. Es stellt sich die Frage, unter welchen Umständen diese Oszillationen stattfinden oder nicht vorkommen. Dies ist eine vor allem für die Medizin sehr zentrale Frage. Zum Beispiel wäre es erstrebenswert, den Vorgang der Zellteilung in Krebszellen, der ein Beispiel für eine biochemische Oszillation ist, zu stoppen. Andererseits kann es, wie zum Beispiel bei der Behandlung der Parkinson-Krankheit, wünschenswert sein, bestimmte Oszillationen hervorzurufen. Ob Oszillationen letztendlich stattfinden oder nicht, hängt stark von verschiedenen Parameterwerten im Organismus ab. Interessant ist nun, wie sich durch Änderung der Parameterwerte der Organismus bezüglich Oszillationen verhält. In dieser Arbeit wird ein erster Eindruck vermittelt, wie die mathematische Beschreibung von Reaktionsnetzwerken aussieht und wie sich dieses mathematische System bezüglich Änderungen der Parameterwerte verhält. Im ersten Kapitel wird ein Beispiel für einen biochemischen Vorgang und seine mathematische Beschreibung gegeben. Anhand zweier sehr einfacher Reaktionen, die keinen oszillierenden Charakter haben, wird im zweiten Kapitel gezeigt, wie man zu einer Reaktion die dazugehörigen Differentialgleichungen erhalten kann. Im letzten Kapitel wird zuerst allgemein, und dann anhand des Beispiels aus Kapitel 1, die Auswirkung von Parameteränderungen auf das System besprochen. 3

4 1 Beispiel: Oszillation während der Zellteilung Die Zellteilung ist die Voraussetzung für das Entstehen von Leben und die periodische Veränderung der Zelle durch Wachstum und Teilung ist womöglich das interessanteste Beispiel für eine biochemische Oszillation. Wir werden uns hier nicht direkt mit dem Vorgang der Zellteilung beschäftigen, sondern mit dem oszillierenden Verhalten der Konzentrationen zweier Substanzen (es handelt sich hierbei um zwei Cyclinarten), das während der Zellteilung beobachtet werden konnte. Jede dieser beiden Substanzen aktiviert ihren eigenen Aufbau und hemmt gleichzeitig den Aufbau der anderen. Somit entsteht eine Wechselwirkung, sodass die Konzentrationen der beiden Substanzen schwanken und eine Oszillation vorliegt. Dieses Verhalten wird auch allgemein als Aktivator-Inhibitor Prozess bezeichnet. Mathematisch lässt sich dieses Reaktionsnetzwerk durch ein System zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen beschreiben, das wie folgt aussieht: dx dt = ɛ2 + x x y ax, τ dy dt = b y 1 + cx 2, (1.1) wobei x und y die Konzentrationen der beiden Substanzen X und Y bezeichnen und t die Zeit ist. Weiters sind a, b, c, ɛ und τ Parameter des Systems. Bevor wir dieses System näher untersuchen, stellt sich vorerst die Frage, wie man aus einer biochemischen Reaktion solch eine mathematische Beschreibung erhalten kann. Die Konzentration x einer Substanz X ändert sich mit der Zeit t und hängt dabei von den Reaktionen ab, die X konsumieren bzw. produzieren. Seien nun ν in1, ν in2,... die Raten der Reaktionen, bei denen X aufgebaut wird und ν out1, ν out2,... die Raten der Reaktionen, bei denen X zerfällt. Diese hängen von kinetischen Parametern ab, die aus Reaktionsraten zusammengesetzt sind, die durch die Wirkung von Enzymen charakterisiert sind. Allgemein lassen sich die Raten der Reaktionen, in denen die Substanz X involviert ist, zu einer nichtlinearen Funktion zusammenfassen, die von x und den kinetischen Parametern, zusammengefasst in einen Vektor p, abhängt: dx dt = ν in1 + ν in ν out1 ν out2... = f(x; p). (1.2) 4

5 Allgemeiner können alle zeitabhängigen Komponenten des Reaktionsnetzwerks bestehend aus den Substanzen X i, i = 1, 2,..., n zu einem Vektor x mit den Komponenten x i zusammengefasst werden, sodass f nun eine vektorwertige Funktion ist. Man erhält also ein Gleichungssystem mit den Komponenten dx i dt = f i(x 1, x 2,..., x n ; p 1, p 2,..., p r ), i = 1, 2,..., n. (1.3) Lösungen, die sich im Gleichgewicht befinden, bezeichnen wir mit (x 1, x 2,..., x n). Diese sind Equilibriumspunkte von (1.3) und erfüllen daher die Gleichungen f i (x 1, x 2,..., x n ; p 1, p 2,..., p r ) = 0, i = 1, 2,..., n. (1.4) Diese Equilibriumspunkte hängen natürlich, genau wie alle anderen Lösungen, von den Parameterwerten ab, also x i = x i (p 1,..., p r ). Im Allgemeinen (und auch in unserem Beispiel des Aktivator-Inhibitor Prozesses) ist es sehr schwierig, die Funktion f(x; p) zu ermitteln. Wir werden hier lediglich versuchen, anhand sehr einfacher Reaktionen, die kein oszillierendes Verhalten aufweisen, zu zeigen, wie man Gleichungen wie in 1.3 herleiten kann. Es soll dadurch auch veranschaulicht werden, warum die mathematische Beschreibung von Reaktionen durch gewöhnliche Differentialgleichungen gegeben ist. 2 Zwei einfache Reaktionen Wir betrachten eine einfache Reaktion, bei der eine Substanz X zu Substanz Y übergeht. Eine Rückreaktion, also von Y wieder zu X, ist nicht möglich. Das zugehörige chemische Reaktionsschema ist X Y. Wir nehmen an, dass die Substanzen gasförmig sind und verwenden zur Herleitung der Differentialgleichungen die von Ludwig Boltzmann entdeckte kinetische Gastheorie. Sie besagt, dass bei konstantem Druck, konstantem Volumen und konstanter Temperatur, die Anzahl von Stößen zwischen zwei Gasmolekülen pro Volums- und Zeiteinheit konstant ist. Weiters treffen wir die zusätzliche Annahme, dass bei jedem Stoß zwischen zwei Molekülen des Gases X, die Reaktion X Y mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit abläuft, also unabhängig von Details des individuellen Stoßes. Seien nun n 1 5

6 und n 2 die Teilchenzahlen der Gase X und Y in einem Volumen V. Dann gilt für die Änderung n 1 im Zeitintervall t die Proportionalität n 1 n 1 t. (2.1) Wegen Teilchenerhaltung ist die Änderung in n 2 gleich der negativen Änderung in n 1, also n 2 = n 1. (2.2) Unter Betrachtung von (2.1) und (2.2) erhalten wir mit t 0 die Differentialgleichungen dn 1 dt = kn 1, dn 2 dt = kn 2. Wir haben hier vernachlässigt, dass n 1 und n 2 Teilchenzahlen, und somit diskrete Größen, sind. Dies ist wegen der großen Anzahl von Molekülen in Gasen (bei gängigen Drücken) zulässig. Die auftretende Proportionalitätskonstante k wird im Allgemeinen Reaktionskoeffizient genannt. Wir bezeichnen nun mit x und y die Konzentrationen von X und Y, also die Teilchenzahlen pro Volumseinheit: x = n 1 V, y = n 2 V. Hierbei setzen wir das Volumen V (t) = V als konstant voraus, sodass wir für die Konzentrationen folgende Differentialgleichungen erhalten: dx dt = kx, dy dt = ky. Sei nun auch eine Rückreaktion, also der Übergang von Y zu X möglich. Weiters sei k 1 der Reaktionskoeffizient der Reaktion X Y und k 1 der Reaktionskoeffizient von Y X. Das Reaktionsschema lautet also: X k 1 FGGGGG GGGGGB Y. k 1 Für die Konzentrationen x(t) und y(t) von X und Y zum Zeitpunkt t mit Anfangskonzentration x(0) = x 0 von X gilt wegen Teilchenerhaltung x(t) = x 0 y(t). 6

7 Die zeitliche Änderung der Konzentration y(t) ergibt sich durch die Beiträge der Hin- und Rückreaktion, also dy dt = k 1x k 1 y = k 1 (x 0 y) k 1 y = k 1 x 0 (k 1 + k 1 )y. Analoges gilt für x(t). Insgesamt erhalten wir folgendes System gewöhnlicher Differentialgleichungen: dx dt = k 1x 0 (k 1 + k 1 )x, dy dt = k 1x 0 (k 1 + k 1 )y. Entsprechend der Notation in 1.3 ist hier also mit p = (k 1, k 1 ) f 1 (x, y; p) = p 2 x 0 (p 1 + p 2 )x, f 2 (x, y; p) = p 1 x 0 (p 1 + p 2 )y. 7

8 3 Qualitative Änderungen durch unterschiedliche Parameterwahl Kehren wir wieder zum Beispiel des Aktivator-Inhibitor Prozesses zurück. In 1.1 sind mehrere Parameter aufgetaucht, die von verschiedenen Reaktionsraten abhängen. Die Substanzen X und Y regen ihren eigenen Aufbau an und hemmen sich gegenseitig. In diesem Wechselspiel treten also prinzipiell vier Raten auf, die wiederum durch Enzyme reguliert werden. Die Parameter spielen eine entscheidende Rolle im Verhalten des Systems. Wir veranschaulichen dies, indem wir für den Parameter b zwei unterschiedliche Werte einsetzen und untersuchen dabei das Verhalten des Systems. Seien die Parameter zuerst wie folgt gewählt: a = 0.1, b = 1.5, c = 100, ɛ = 0.1 und τ = 5. Löst man dieses System in MATLAB mit Startkonzentrationen x 0 = 0.5 und y 0 = 3.5, so erreicht man damit einen stabilen Gleichgewichtszustand, es finden keine Oszillationen statt (siehe Abb. 1). Abbildung 1: Konzentrationen konvergieren gegen einen Gleichgewichtszustand Verändert man jedoch den Parameterwert für b zu unter Beibehaltung der restlichen Parameterwerte und dem Startvektor ändert sich das Verhalten der Lösung. Die Konzentrationen schwanken, es finden also Oszillationen statt (siehe Abb. 2). Durch Variation der Parameter kann sich also die Lösung des Systems 8

9 Abbildung 2: Oszillation in den Konzentrationen qualitativ ändern. Es stellt sich die Frage, wie durch Veränderung der Parameter Oszillationen entstehen können. 3.1 Stabilität von Equilibriumspunkten Um das Verhalten des Systems zu untersuchen, betrachtet man das linearisierte System. Das heißt, man geht von einem Equilibriumspunkt (x 1, x 2,..., x n) aus und untersucht dessen Stabilität. Hierzu bestimmt man die Jacobimatrix J an der Stelle (x 1, x 2,..., x n) und betrachtet ihre Eigenwerte. Man unterscheidet drei Arten von Equilibriumspunkten: (i) Ein Equilibriumspunkt heißt stabiler Knoten, wenn die Realteile aller Eigenwerte negativ sind. (ii) Sind die Realteile aller Eigenwerte positiv, handelt es sich um einen instabilen Knoten. (iii) Von einem Sattelpunkt spricht man, wenn mindestens ein Eigenwert mit positivem und ein Eigenwert mit negativem Realteil existiert. Um eine Oszillation hervorzurufen, geht man von einem stabilen Knoten aus und versucht durch Parametervariation zu einem instabilen Zustand zu 9

10 gelangen. Von dem Punkt ausgehend, in dem die Eigenwerte rein imaginär sind, können dann Oszillationen stattfinden. Diese Vorgehensweise ist durch folgenden Satz motiviert: Satz 3.1 (Bifurkationssatz von Hopf). Für dx dt = f(x; p) sei x (p) ein isolierter Fixpunkt und J(p) die Matrix des linearisierten Systems in x (p). Es sei α(p)±iω(p) ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte von J und es existiere ein p 0, das folgende Voraussetzungen erfüllt: (i) α(p 0 ) = 0, (ii) ω(p 0 ) = ω 0 > 0, (iii) ν := dα(p)/dp p=p0 0, (iv) J(p 0 ) hat keine anderen Eigenwerte mit Realteil 0. Dann gilt: Das System hat einen isolierten Grenzzyklus für kleines p p 0, wobei entweder p > p 0 oder p < p 0. Die Größe des Grenzzyklus ist proportional zu p p0 und die Frequenz ist in der Größenordnung von ω 0. Betrachten wir nun ein System wie in 1.3 in zwei Dimensionen: dx = f(x, y; p) dt (3.1) dy dt = g(x, y; p) Sei (x, y ) ein Equilibriumspunkt von 3.1, das heißt f(x, y ; p) = 0, g(x, y ; p) = 0. Um die Stabilität des Equilibriumspunktes zu untersuchen, bestimmen wir die Jacobimatrix J: ( ) ( ) fx (x J =, y ; p) f y (x, y ; p) a11 a g x (x, y ; p) g y (x, y = 12. ; p) a 21 a 22 10

11 Die Eigenwerte λ 1 bzw. λ 2 sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung λ 2 (a 11 + a 22 ) λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = 0, also Falls λ 1/2 = 1 2 (a 11 + a 22 ± (a 11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 12 a 21 ). a 11 a 22 a 12 a 21 = det(j) < 0, so ist (a11 + a 22) 2 4(a 11a 22 a 12a 21) > a 11 + a 22. Damit ist ein Eigenwert negativ und einer positiv, es handelt sich also bei diesem Equilibriumspunkt um einen Sattelpunkt. Ist det(j) > 0 und a 11 + a 22 = tr(j) < 0, so unterscheiden wir zwei Fälle: Falls (a 11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 12 a 21 ) 0, ist der Realteil der Eigenwerte Ist jedoch so erhalten wir wegen det(j) > 0 und somit insgesamt Re(λ 1/2 ) = 1 2 (a 11 + a 22 ) < 0. (a 11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 12 a 21 ) > 0, (a11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 12 a 21 ) < a 11 + a 22, λ 1/2 = a 11 + a 22 ± (a 11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 12 a 21 ) < 0. In beiden Fällen sind die Realteile der Eigenwerte also negativ, der Equilibriumspunkt ist somit stabil. Im Fall det(j) > 0 und tr(j) > 0 ist bei einer negativen Diskriminante Re(λ 1/2 ) = 1 tr(j) > 0. Ist die Diskriminante positiv, so ist wegen 2 (a11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 12 a 21 ) < a 11 + a 22 ebenfalls Re(λ 1/2 ) > 0. Es handelt sich also um einen instabilen Punkt. Die Funktionen f und g hängen von kinetischen Parametern ab. Wir nehmen an, dass diese Funktionen hinreichend glatt sind, sodass in Folge sowohl Spur 11

12 als auch Determinante der Matrix J stetig von diesen Parametern abhängen. Variiert man einen dieser Parameter, wobei stets det(j) > 0 erhalten bleiben soll, sodass tr(j) vom Negativen ins Positive wechselt, geht die Stabilität des Equilibriumpunktes bei tr(j) = 0 verloren. An dieser Stelle sind die Eigenwerte rein imaginär. Sind in J beide Diagonalelemente negativ, ist tr(j) immer negativ und somit wäre kein Zustandswechsel möglich. Haben a 11 und a 22 unterschiedliches Vorzeichen, muss dies auch für a 12 und a 21 gelten, damit det(j) > 0. Es ergeben sich also zwei wesentliche Vorzeichenmuster für J: ( + + J = ) (3.2) und J = ( + + ). (3.3) 3.2 Anwendung auf das Beispiel des Aktivator-Inhibitor Prozesses Wir haben bei der Betrachtung des Systems 1.1 mit der Parameterwahl b = 1.5 einen Equilibriumspunkt gefunden. Die Werte dieses Punktes sind x = und y = Betrachten wir für diesen Punkt die Jacobimatrix J, so erhalten wir: J = ( sie entspricht also keinem der beiden Vorzeichenmuster 3.2 und 3.3. Von diesem Equilibriumspunkt aus kann also keine Oszillation erreicht werden. Um einen geeigneten Equilibriumspunkt zu finden, nehmen wir das Softwarepaket Cl MatCont zuhilfe. Damit können Parameter kontinuierlich variiert und Lösungen gefunden werden. Man kann ausgehend von einem stabilen Knoten angeben, welcher Parameter variiert werden soll und dann eine Kurve von Equilibriumspunkten bestimmen. Wenn wir dies auf unser Beispiel anwenden, erhalten wir die Kurve in Abbildung 3. Mit H werden sogenannte Hopf-Punkte bezeichnet, die Equilibriumspunkte mit rein imaginären Eigenwerten sind. Wir berechnen die Jacobimatrix J für den zweiten berechneten Hopf-Punkt (x, y) = ( , ), ), 12

13 Abbildung 3: Bestimmung einer Kurve von Equilibriumspunkten b = und erhalten J = ( Hier hat die Jacobimatrix das Vorzeichenmuster 3.3. Die Berechnungen stimmen also mit den vorherigen Überlegungen überein. Man kann nun weiters mithilfe von Cl MatCont von diesem Knoten ausgehend, oszillierende Lösungen finden (siehe Abb. 4). Für die mit LP C (LimitP ointcycle) bezeichneten Punkte nimmt b den Wert an. Wir haben diesen Parameterwert bereits zu Beginn als Beispiel für oszillierendes Verhalten des Systems angegeben. ). 13

14 Abbildung 4: Grenzzyklus ausgehend vom zweiten Hopf-Punkt Literatur [1] C. P. Fall, E. S. Marland, J. M. Wagner and J. J. Tyson, Computational Cell Biology, Springer, [2] B. Alberts, A. Johnson, J. Lewis, M. Raff, K. Roberts and P. Walter, Molecular Biology of the Cell, Garland Science, [3] P. Deuflhard, F. Bornemann, Numerische Mathematik II, Gruyter, [4] W. Müller-Esterl, Biochemie - Eine Einführung für Mediziner und Naturwissenschaftler, Elsevier (Spektrum Akademischer Verlag), [5] M. B. Elowitz, S. Leibler, A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators, Nature Vol. 403,