3. Durchführung Modul 1: Winkelfunktionen am Einheitskreis Modul 2: Sinus- und Kosinusfunktionen

Transkript

1 3. Durchführung Alle Unterrichtsmaterialien sind so gestaltet, dass ein eigenständiges Lernen innerhalb einer Arbeitsgruppe oder alleine möglich ist. Die Schülerinnen und Schüler versuchen zunächst die gestellten Aufgaben auf den Arbeitskarten und den Aufgabenkarten innerhalb ihrer Arbeitsgruppe oder alleine zu lösen. Wenn sie nicht weiterkommen, fragen Sie andere Gruppen oder die Lehrkraft. Sie haben jederzeit die Möglichkeit, eine Selbstkontrolle durch Vergleichen der eigenen Ergebnisse mit anderen Gruppen oder Anschauen der Musterlösungen durchzuführen Modul 1: Winkelfunktionen am Einheitskreis Die Schülerinnen und Schüler haben im ersten Schritt dieses Moduls die Kenntnisse aus der Sekundarstufe I über die Sinus- und Kosinuswerte innerhalb eines rechtwinkeligen Dreiecks auf den ersten Quadranten des Einheitskreises übertragen. Danach wurden die gewonnenen Kenntnisse des ersten Quadranten sukzessive auf den zweiten, dritten und vierten Quadranten erweitert. Dabei wird das Dreieck aus dem ersten Quadranten an der y-achse, am Ursprung und an der x-achse gespiegelt. Die Schülerinnen und Schüler benutzten dafür das bereitgestellte Arbeitsblatt Winkelfunktionen im Einheitskreis. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiteten sich erste Symmetrieeigenschaften über die Rückführung der Sinuswerte (Kosinuswerte) beliebiger Winkel auf die Sinuswerte (Kosinuswerte) spitzer Winkel. Auf der letzten Arbeitskarte entdeckten die Schülerinnen und Schüler einen Zusammenhang zwischen den Sinus- und Kosinuswerten innerhalb eines Dreiecks. Die Zusammenfassung wurde von den Schülerinnen und Schülern in ihr Regelheft übertragen. Über die Aufgabenkarten wurden die gewonnenen Erkenntnisse geübt und vertieft Modul 2: Sinus- und Kosinusfunktionen In den ersten beiden Teilschritten des ersten Arbeitsschritts dieses Moduls haben die Schülerinnen und Schüler mithilfe der Leisten, des Gatt-Winkels, des Maßbandes und der Scheiben ein Koordinatensystem erstellt. Auf der y-achse wurde in beide Richtungen in Einheiten von jeweils einem Zentimeter zehn Zentimeter abgetragen. Zum Abtragen der Maßeinheiten auf der x-achse haben die Schülerinnen und Schüler zunächst die große Korkscheibe benutzt. Auf dieser befindet sich eine Papierscheibe, auf der die Winkel 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330 und 360 abgetragen sind

2 Trifft beim Abrollen der Scheibe entlang der x-achse einer dieser Winkel senkrecht auf die x-achse, so wird der gemeinsame Schnittpunkt von Scheibe und x-achse markiert und mit dem zugehörigen Winkel bezeichnet. Auf diese Weise ist auf der x-achse eine Einteilung in Winkel entstanden. Das gleiche wurde mit der negativen x-achse vollzogen, wobei hier die Scheibe entgegen dem Uhrzeigersinn abgerollt und die auf der Scheibe markierten negativen Winkel auf der x-achse abgetragen wurden. Danach haben die Schülerinnen und Schüler für jeden auf der x-achse abgetragenen Winkel mithilfe des Zollstocks den Abstand zum Ursprung des Koordinatensystems gemessen und die Einheit in Zentimeter neben dem zugehörigen Winkel auf der x-achse eingetragen. Als Ergebnis erhielten die Schülerinnen und Schüler eine zweite Maßeinteilung in Zentimetern auf der x-achse. Der Abstand des Winkels zum Ursprung des Koordinatensystems wurde zusätzlich in das Protokollblatt 1 eingetragen. In den Teilschritten 3 und 4 des ersten Arbeitsschritts dieses Moduls haben die Schülerinnen und Schüler für die auf der Scheibe vorgegebenen Winkel mithilfe des Gatt-Winkels die Sinuswerte gemessen. Dabei wird die Scheibe Winkel für Winkel so gedreht, dass die Horizontale der Ausgangslage (die Linie 0) zunächst im Uhrzeigersinn wandert. Der Gatt-Winkel wird auf der Scheibe so angelegt, dass der Griff und der Maßstab zusammen mit der Linie 0 ein rechtwinkeliges Dreieck ergeben. sin α α Auf dem Maßstab des Gatt-Winkels haben die Schülerinnen und Schüler den Sinuswert abgelesen und ihn in das Protokollblatt 1 eingetragen. Für Winkel zwischen 0 und 180 wird der Gatt-Winkel so angelegt, dass der Maßstab in positive y-richtung, für Winkel zwischen 210 und 360 in negative y-richtung zeigt. Damit ist den Schülerinnen und Schülern klar geworden, dass die zugehörigen Sinuswerte ebenfalls ein Vorzeichen besitzen. Auch in diesen Teilschritten haben die Schülerinnen und Schüler die Sinuswerte sowohl für positive als auch für negative Winkel gemessen. Aufgrund der gemessenen und protokollierten Werte haben alle Gruppen selbständig eine Hypothese über die Regelmäßigkeit der gemessenen Werte und Vorzeichen, z.b. bei 60, 120, 240 und 300, feststellen und anhand weiterer Messwerte verifizieren können. Im folgenden Teilschritt des ersten Arbeitsschritts dieses Moduls haben die Schülerinnen und Schüler die Messwerte aus dem Protokollblatt auf das Papier übertragen und damit eine Sinusfunktion mit einer Periode von ca. 62,5 cm und einer Amplitude von ca. 9,8 cm gezeichnet

3 In Teilschritt 6 des ersten Arbeitsschritts dieses Moduls haben die Schülerinnen und Schüler die Kosinuswerte der großen Scheibe auf ähnliche Weise gemessen, in das Protokollblatt 1 eingetragen und auf das Papier übertragen. Die Aufgabe in Teilschritt 7 des ersten Arbeitsschritts dieses Moduls bestand darin, die Sinuswerte auf der großen Scheibe diesmal allerdings für einen kleineren eingezeichneten Kreis mit Durchmesser 9,8 cm zu messen, die Messwerte in Protokollblatt 2 einzutragen und dann die Sinusfunktion für den kleineren Kreis zu zeichnen. Im Teilschritt 8 des ersten Arbeitsschritts dieses Moduls widmeten sich die Schülerinnen und Schüler der zweiten, kleinen Scheibe. Analog zur großen Scheibe wurde durch Abrollen der kleinen Scheibe entlang der x-achse die Winkel sowie deren Abstände vom Ursprung des Koordinatensystems auf der x-achse markiert und bezeichnet. Für die kleine Scheibe haben die Schülerinnen und Schüler erneut die Sinuswerte gemessen, in Protokollblatt 3 eingetragen und anschließend die Sinusfunktion auf dem Papier gezeichnet. Als komplettes Ergebnis des ersten Arbeitsschritts dieses Moduls haben die Schülerinnen und Schüler insgesamt drei Sinusfunktionen und eine Kosinusfunktion gezeichnet. In dieser Phase war ein hohe Interaktion über die Arbeitsgruppen hinweg zu beobachten. Messergebnisse wurden gruppenübergreifend miteinander abgeglichen und Hypothesen gegenseitig ausgetauscht, bestätigt oder widerlegt. Der Begriff der Periode war allen Schülerinnen und Schülern während der Erstellung der Funktionen durch Äußerungen wie Ich muss die Scheibe ja nicht noch mal abrollen. Es kommt doch sowieso das gleiche heraus. intuitiv klar geworden. Auch der Begriff der Amplitude als den maximalen Ausschlag der y-werte um die x-achse war den Schülerinnen und Schülern anschaulich verdeutlicht. In der darauf folgenden angeleiteten Diskussion des nächsten Arbeitsschritts erkannten Sie, dass die zwei Sinusfunktionen aus Protokollblatt 1 und 2 die gleiche Periode, aber eine unterschiedliche Amplitude, besitzen. Die gleiche Periode ist auf die Verwendung der gleichen Scheibe, die unterschiedliche Amplitude auf das Messen der Werte an verschieden großen Kreisen zurückzuführen. Damit konnten die Schülerinnen und Schüler auch die unterschiedlichen Perioden jedoch gleichen Amplituden der zwei Sinusfunktionen aus Protokollblatt 2 und 3 erklären: Es wurden die Werte an zwei Krei

4 sen mit gleichem Radius gemessen, die Kreise befanden sich jedoch auf Scheiben mit unterschiedlichem Durchmesser. Im folgenden Arbeitsschritt haben die Schülerinnen und Schüler für jede der vier gezeichneten Funktionen den Definitions- und Wertebereich bestimmt, die Hoch- und Tiefpunkte sowie die Nullstellen auf dem Plakat eingezeichnet. In der Diskussion des nächsten Arbeitsschritts haben sich die Schülerinnen und Schüler über die Maßeinheit der x-achse Gedanken gemacht. Durch das Abrollen der beiden Scheiben mit unterschiedlichen Radien sind je Winkel zwei Markierungen an unterschiedlicher Stelle auf der x-achse entstanden. Eigentlich darf es den Winkel 30 ja gar nicht zwei Mal auf der x-achse geben war die Äußerung einer Schülerin. Eine Einteilung in Zentimetern wurde als bessere, vor allem eindeutige Maßeinheit angesehen. Zumal in dem Fall auch andere Funktionen, wie beispielsweise Polynomfunktionen, in das gleiche Schaubild gezeichnet werden können. Die Schülerinnen und Schüler hatten durch das Abrollen der Scheiben entlang der x-achse keine Schwierigkeiten mit der Interpretation der Werte auf der x-achse und somit mit der Einführung des Begriffs Bogenmaß. Über die zwei folgenden Arbeitsschritte haben sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Zusammenhang zwischen Winkel, Bogenmaß und der Zahl π am Einheitskreis beschäftigt. Sie haben eine Formel zur Umrechnung von Winkel- in Bogenmaß und umgekehrt entwickelt sowie alle beim Zeichnen der Funktionen verwendeten Winkel als rationale Vielfache von π dargestellt. Über die restlichen Arbeitskarten dieses Moduls haben sich die Schülerinnen und Schüler auf die Bearbeitung der Sinus- und Kosinusfunktion mit ihrem GTR konzentriert. Mit dessen Hilfe haben sie eine Wertetabelle für die Sinus- und Kosinusfunktion erstellt. Sie rechneten die als rationale Vielfache von π dargestellten Werte in Zentimeter um und ermittelten die zu diesen Stellen gehörenden Sinus- und Kosinuswerte. Dabei stellten sie ihren GTR auf Bogenmaß um. Anhand der Wertetabelle haben die Schülerinnen und Schüler die Sinus- und Kosinusfunktion für den Einheitskreis zunächst per Hand gezeichnet. Danach haben die Schülerinnen und Schüler die Sinus- und Kosinusfunktion mit ihrem GTR gezeichnet, wobei sie ihren GTR für weitere speziellen Anforderungen der trigonometrischen Funktionen einstellen mussten. Im letzten Arbeitsschritt dieses Moduls haben die Schülerinnen und Schüler anhand der im ersten Arbeitsschritt erstellten Messdaten der Protokollblätter 1, 2 und 3 für die vier gezeichneten Funktionen die Funktionsgleichungen mittels trigonometrischer Regression aufgestellt. Die Schülerinnen und Schüler haben die Bandolos zum Üben der Umrechnung von Grad- in Bogenmaß und umgekehrt benutzt. Die Funktionsweise war ihnen bekannt. Der Umgang mit diesem Spiel hat den Schülerinnen und Schülern sehr viel Spaß bereitet: Solche Bandolos habe ich als Kind schon gehabt. Das ist ja cool, dass es das auch für Mathematik gibt

5 Über die Aufgabenkarten haben die Schülerinnen und Schüler Funktionsgleichungen vom Typ a sin(b x) und a cos(b x) mit vorgegebenen Parametern a und b auf Definitions- und Wer-tebereich, Periode und Amplitude, Hoch- und Tiefpunkte sowie auf Nullstellen mithilfe ihres GTRs untersucht. Die Angabe der Hoch- und Tiefpunkte sowie der Nullstellen als rationale Vielfache von π für alle x R hat den Schülerinnen und Schülern große Schwierigkeiten bereitet. Mathematische Schreibweisen wie Die Nullstellen der Funktion sin(x) befinden sich an den Stellen xk = k π, k Z oder Die Nullstellen der Funktion cos(x) befinden sich an den Stellen xk = 2 k + 1 π, 2 k Z wurden von der Lehrkraft in Einzel- und Gruppengesprächen erläutert. Die Übertragung dieser Schreibweisen auf andere trigonometrische Funktionen - wie beispielsweise sin(2 x) - ist nicht bei allen Schülerinnen und Schülern geglückt. In der letzten Aufgabe haben die Schülerinnen und Schüler die Funktionsgleichungen der vier auf dem Plakat gezeichneten trigonometrischen Funktionen auf Basis der Erkenntnisse der Amplitude und Periode und deren Auswirkung auf die Parameter a und b der Funktionsgleichung bestimmt und mit den durch die letzte Arbeitskarte durchgeführten trigonometrischen Regressionen abgeglichen. Die Zusammenfassung dieses Moduls wurde von den Schülerinnen und Schülern in ihr Regelheft übertragen Modul 3: Verschiebung, Streckung und Spiegelung der Sinusund Kosinusfunktion Entsprechend dem Fahrplan für dieses Modul hatten die Schülerinnen und Schüler zunächst die Aufgabe, sich die Grundlagen der Verschiebung, Streckung und Spiegelung der Sinusund Kosinusfunktion anhand der blauen Arbeitskarten zu erarbeiten. Dafür haben Sie die Ausdrucke der Schaubilder der verschiedenen Sinus- und Kosinusfunktionen auf gelbem Papier und Folie verwendet. Die Auswirkung der Verschiebung einer Sinusfunktion auf die Funktionsgleichung wurde von den Schülerinnen und Schülern anhand konkreter Beispiel praktisch durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler haben dafür beispielsweise den Ausdruck des Schaubildes der Funktion sin(x) auf Folie durch Auflegen auf den Ausdruck des Schaubildes der Funktion sin(x) auf Papier zur Deckung gebracht und dann die Folie um vorgegebene Einheiten in Richtung der x- und y-achse verschoben. Als Nächstes haben sie eine Vermutung über die Funktionsgleichung des verschobenen Schaubildes formuliert. Anschließend haben sie durch Ablesen bestimmter Werte des verschobenen Schaubildes eine Wertetabelle erstellt, mit deren Hilfe sie abschließend mittels trigonometrischer Regression ihre Hypothese überprüfen konnten

6 Im nächsten Schritt haben die Schülerinnen und Schüler für die Funktion sin(x - c) + d die Auswirkungen der Parameter c und d untersucht. Eigentlich funktioniert das genauso, wie bei den Polynomfunktionen war die sinngemäße Äußerung einiger Schülerinnen und Schüler. Die Streckung einer trigonometrischen Funktion beispielsweise der Form sin(x) in Richtung der Koordinatenachsen wurden ebenfalls zunächst anhand eines konkreten Beispiels untersucht. Auch hier galt es, für konkret gegebene Streckfaktoren eine Hypothese über die Funktionsgleichung aufzustellen und diese dann anhand einer Wertetabelle und einer trigonometrischen Regression zu prüfen. Auch bei der Streckung wurden anschließend die allgemeinen Fälle a sin(x) und sin(b x) für für a, b > 0 und 0 x 2π untersucht. Die Schülerinnen und Schüler haben für die Ausgangsfunktion sin(x) und die gestreckten Funktionen die Definitions- und Wertebereiche angegeben, die Amplitude bestimmt und die Periode berechnet sowie die Hoch- und Tiefpunkte und die Nullstellen angegeben. Durch eine Gegenüberstellung der Untersuchung der Ausgangsfunktion und der gestreckten Funktion haben sie die Auswirkungen der Parameter a und b auf die Bereiche, Eigenschaften, Werte und Stellen direkt ablesen können. Die Analogie zu den Polynomfunktionen war auch in diesem Fall vielen Schülerinnen und Schülern schnell ersichtlich. Trotzdem taten sich einige Schülerinnen und Schüler mit der Streckung in Richtung der x-achse und der Auswirkung auf den Parameter schwer. Bei der Formulierung der Hypothesen über die entlang der Koordinatenachsen verschobenen und gestreckten Funktionen haben die Schülerinnen und Schüler auf ihre Eintragungen aus dem Regelheft zum Thema Verschiebung und Streckung von Polynomfunktionen zurückgegriffen. Im nächsten Schritt haben die Schülerinnen und Schüler die Ausdrucke auf gelbem Papier und Folie der Funktionen verwendet, um durch Übereinanderlegen der auf Papier und Verschieben der auf Folie gedruckten Schaubilder der Funktionen Beziehungen, wie beispielsweise sin(x) = cos(x - 1 π), zwischen diesen Funktionen zu entdecken und aufzustellen. 2 Die Schülerinnen und Schüler haben im letzten Schritt der Arbeitskarten erneut mithilfe der Ausdrucke auf Papier und Folie folgende Aussagen verifiziert: Strecken in Richtung der y-achse mit dem Faktor -1 entspricht einem Spiegeln des Funktionsgrafen an der x-achse. Strecken in Richtung der x-achse mit dem Faktor -1 entspricht einem Spiegeln des Funktionsgrafen an der y-achse. Entsprechend Arbeitsauftrag 2 des Fahrplanes haben die Schülerinnen und Schüler die Zusammenfassung dieses Moduls in ihr Regelheft übertragen

7 Der dritte Arbeitsauftrag bestand darin, das Kartenspiel Streckung Trigonometrischer Funktionen entsprechend der Anleitung - je nach Dauer - ein bis zwei Mal zu spielen. Die Schülerinnen und Schüler hatten bei der Behandlung von Polynomfunktionen ein Kartenspiel mit ähnlichen Regeln gespielt, daher waren ihnen die Regeln vertraut. Die spielerische Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten hat den Schülerinnen und Schülern auch dieses Mal großen Spaß bereitet: Cool, wir dürfen im Matheunterricht wieder Karten spielen!, war die Äußerung eines Schülers. Nach Abschluss des Kartenspiels haben die Schülerinnen und Schüler zur weiteren Übung und Festigung der Inhalte des Moduls die Joker aus dem Spiel genommen und alle passenden Karten wie ein Puzzle zusammen gesucht. Sie haben ihr Ergebnis mit der Musterlösung, die sie auf Anfrage von der Lehrkraft erhielten, verglichen. Das Ergänzen der fehlenden Lücken innerhalb des Arbeitsblattes war der vorletzte Arbeitsauftrag dieses Moduls. Die Schülerinnen und Schüler haben innerhalb ihrer Gruppe zunächst mögliche Lösungsstrategien diskutiert, wie die fehlenden Informationen ermittelt oder berechnet werden können. Nach dem Ausfüllen des Arbeitsblattes haben die Schülerinnen und Schüler ihre Version mit der Musterlösung, die sie auf Anfrage von der Lehrkraft erhielten, verglichen. Mit der Bearbeitung der in diesem Modul abschließenden Aufgabenkarten hat keine Schülerin und kein Schüler in der angegebenen Zeit dieser Dokumentationsarbeit begonnen