Differentialgleichungen

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1 Differentialgleichungen Franz Gutsch und Franziska Flegel 14. Oktober 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Der freie Fall Begriffsbildung Ordnung einer Differentialgleichung Lineare Differentialgleichungen Homogene Differentialgleichungen Lösung homogener linearer Differentialgleichungen Erschöpfendes Erraten Der harmonische Oszillator Der Exponentialansatz Nocheinmal der harmonische Oszillator Lösung inhomogener linearer Differentialgleichungen 8 Freier Fall mit Stokesscher Reibung Variation der Konstanten Nocheinmal freier Fall mit Stokesscher Reibung Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen Trennung der Variablen Ein letztes Mal freier Fall mit Stokesscher Reibung Freier Fall mit Newtonscher Reibung

2 Differentialgleichungen 2 1 Einführung Es ist sicher nicht übertrieben zu sagen, dass Differentialgleichungen das Herzstück der Newtonschen Mechanik darstellen. Zuerst einmal braucht man nur einen Blick auf die typischen Größen dieses Themengebietes werfen: Beispiel. Eine Kastanie, die aus 10 Metern Höhe ungebremst (das heißt auch ohne Reibung) auf die Erde fällt, braucht dazu ungefähr 1,4 Sekunden. Sie hatte also eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 7,14 m/s. Das heißt natürlich nicht, dass sie immer diese Geschwindigkeit innehatte, sondern um den genauen Verlauf des Fallens zu beschreiben, müssen wir etwas über die Momentangeschwindigkeit der Kastanie aussagen. Ist x(t) nun der Weg, den die Kastanie zur Zeit t zurückgelegt hat, dann erhalten wir die Momentangeschwindigkeit v(t) durch Differenzieren nach der Zeit: v(t) = dx(t)/dt = ẋ. Ganz genauso erhalten wir die Änderung der Geschwindigkeit wieder durch Differenzieren und nennen das Ergebnis dann Beschleunigung a(t) = dv(t)/dt = v = ẍ. Wir sehen also, dass man schon um ganz einfache Phänomene der Natur zu beschreiben, die Differentialrechnung benötigt. Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz F = ma, (1.1) das die Beschleunigung a in Relation zu der wirkenden Kraft F setzt, läuft das Lösen von fast jedem mechanischen Problem nun auf das Lösen einer Gleichung hinaus, in der nicht nur die gesuchte Funktion auftaucht, sondern auch ihre Ableitungen. Der freie Fall. In unserem Beispiel der reibungslos fallenden Kastanie sieht die betreffende Gleichung allerdings noch sehr einfach aus: Die wirkende Kraft ist die Gewichtskraft F G = mg 1 der Kastanie und somit gilt nach Gl. (1.1) woraus direkt folgt, dass a = g bzw. mẍ = ma = F G = mg, ẍ = g. (1.2) Das ist sehr wohl noch ein simpler Vertreter der Differentialgleichungen. Die Lösung erhält man durch zweifaches Integrieren: t 0 ẍ(t )dt = t ẋ(t) ẋ(0) = gt Die Variable t wird statt t verwendet, um Verwechslungen auszuschließen. Wir setzen ẋ(0) = v 0 und später x(0) = x 0 0 gdt t 0 ẋ(t) v 0 = gt (ẋ(t ) v 0 ) dt = t x(t) v 0 t x 0 = gt2 2 0 gt dt 1 Das Minuszeichen bedeutet hier, dass die Kraft nach unten wirkt. Man muss es nicht verwenden, wenn man sein Koordinatensystem passend wählt, wir wollen hier allerdings annehmen, dass die positive Richtung nach oben zeigt.

3 Differentialgleichungen 3 Also x(t) = gt2 2 + v 0t + x 0. Wir können die Differentialgleichung (1.2) auch anders schreiben, wenn wir von Anfang an nicht nach dem Weg x(t) sondern nach der Geschwindigkeit v(t) = ẋ(t) fragen: v = dv(t) dt = g (1.3) Weil hier nur eine erste Ableitung auftaucht, heißt sie Differentialgleichung erster Ordnung. 2 Begriffsbildung Wie bereits angedeutet ist eine Differentialgleichung eine Relation, in der verschiedene Ableitungen einer Funktion vorkommen. Das entscheidende und unverkennbare Charakteristikum einer Differentialgleichung ist jedoch ihr Zweck: sie wird stets ausgewertet, um eine Lösungsfunktion zu erhalten, welche die durch die Differentialgleichung gegebenen Bedingungen erfüllt. Meist geht man sogar noch weiter und maßt sich an, alle Lösungen zu finden. Dazu jedoch in Kapitel 3 mehr. Im Allgemeinen lässt sich eine Differentialgleichung für die gesuchte Funktion x(t) wie folgt darstellen: ( ) f x (n) (t), x (n 1) (t),..., x (1) (t), x(t), t = 0 (2.1) f, x : R R. Hierbei ist x (n) die n-te Ableitung unserer gesuchten Funktion und f eine irgendwie geartete Vorgabe, wie sich die einzelnen Ableitungen zueinander zu verhalten haben. Ein physikalisches Problem, welches sich mit dem Ort x(t) eines Teilchens beschäftigt, könnte also zum Beispiel folgendes von uns verlangen (t sei die Zeit): 5x(t) ẍ(t) = 42. (2.2) Der Übersichtlichkeit halber ist es üblich, alle Differentialgleichungen kurz DGL (oder ODE im englischen von ordinary differential equation) in die Form (2.1) zu bringen, und zwar nach der Höhe der Ableitung geordnet. Unser Beispiel (2.2) würde also wie folgt umgeformt werden: ẍ(t) + 5x(t) 42 = 0. (2.3) Da die Vorschrift (2.1) noch relativ viel Freiheiten lässt, ist es notwendig, die verschiedenen Typen von Differentialgleichungen weiter zu kategorisieren. 2.1 Ordnung einer Differentialgleichung Definition 1. Die Höhe der höchsten Ableitung einer Differentialgleichung bestimmt deren sogenannte Ordnung. Gleichung (2.3) zum Beispiel ist somit von der Ordnung zwei, da die zweifache Zeitableitung ẍ(t) auftaucht. 2.2 Lineare Differentialgleichungen Definition 2. Jede Differentialgleichung, die sich in der Form a n x (n) (t) + a n 1 x (n 1) (t) + + a 0 x(t) + a abs = 0 (2.4)

4 Differentialgleichungen 4 mit nicht von x abhängigen Koeffizienten a i darstellen lässt, heißt lineare Differentialgleichung. Jede Differentialgleichung, die nicht linear ist, heißt nichtlineare Differentialgleichung. Eine explizite Abhängigkeit a i = a i (t) ist hingegen möglich (vgl. (2.5)). Zur Veranschaulichung seien ein paar Beispiele für lineare und nichtlineare ẍ(t) + 4x(t) 42 = 0 atẍ(t) bx(t) + ct + d = 0 (2.5) ẍ 2 (t) + 5x(t) 42 = 0 atẍ(t) b sin (x(t)) + ct + d = 0 Differentialgleichungen genannt. 2.3 Homogene Differentialgleichungen Desweiteren ist eine Unterscheidung nach dem absoluten Glied a abs (aus (2.4)) zu treffen. Definition 3. Eine lineare Differentialgleichung der Form (2.4), für die a abs 0 gilt, heißt homogene lineare DGL. Alle anderen linearen DGL heißen inhomogene lineare DGL. Zur Verdeutlichung hier einige homogene und inhomogene 2ẋ(t) + x(t) = 0 (2.6) x (5) (t) = 0 ẍ(t) + 4x(t) 42 = 0 (2.7) atẍ(t) bx(t) + t = 0 lineare Differentialgleichungen. Jetzt, da alle Differentialgleichungen, mit denen wir es zu tun haben werden, ausreichend klassifiziert sind, können wir uns daran machen, Lösungsmethoden zu entwickeln. 3 Lösung homogener linearer Differentialgleichungen Für viele einfache Differentialgleichungen lässt sich durch geschicktes hinschauen eine Lösungsfunktion erraten alle homogenen linearen DGL lassen sich zum Beispiel trivial durch die Nullfunktion x(t) 0 lösen. Offensichtlich lässt sich damit noch kein Blumentopf gewinnen. Das Ziel bei der Arbeit mit Differentialgleichungen liegt vielmehr darin, alle Lösungsfunktionen einer gegebenen DGL zu bestimmen. Doch nach wievielen hart erratenen Lösungen können wir sichergehen, wirklich alle gefunden zu haben? Über eine Betrachtung der Freiheitsgrade eines gegebenen Systems lässt sich der folgende Satz zeigen: Satz 1. Weist die Lösungsfunktion x allg (t) einer gegebenen Differentialgleichung n-ten Grades n freie, von einander unabhängige Parameter auf, so lassen sich durch Variation dieser Parameter alle Lösungen der DGL finden.

5 Differentialgleichungen 5 Hilft uns das in der Praxis weiter? Betrachten wir hierzu das einleitende Beispiel der fallenden Kastanie: hier hatten wir für den Fallweg x in Abhängigkeit von der Zeit t die (allgemein bekannte) Lösungsfunktion x(t) = g 2 t2 + v 0 t + x 0 (3.1) gefunden. Offenbar weist diese zwei freie Parameter x 0 und v 0 auf. Somit können wir sicher sagen, dass alle Lösungen der gegebenen Differentialgleichung zweiten Grades ẍ(t) + g = 0 (3.2) diesem Muster genügen und uns vorerst zurücklehnen. Das führt zu folgender Definition. Definition 4. Eine Lösung x allg wie in Satz 1 heißt allgemeine Lösung der DGL. Eine Lösung, die die Bedingung aus Satz 1 nicht erfüllt, heißt spezielle Lösung der DGL. Was ist jedoch, wenn wir die allgemeine Lösung nicht oder nur umständlich finden können? Auch wenn wir nur spezielle Lösungen kennen, können wir uns daran in manchen Fällen aus dem Sumpf ziehen. Eine wichtige Eigenschaft der homogenen linearen DGL ist hierbei eine große Hilfe, wie folgender Satz zeigt. Satz 2. Sind x 1 (t) und x 2 (t) spezielle Lösungsfunktionen einer homogenen linearen Differentialgleichung, so ist auch jede beliebige Linearkombination der beiden a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t) Lösung dieser DGL, wobei a 1 und a 2 von t unabhängige Koeffizienten sind. Dieser Satz lässt sich mit der Linearität der DGL beweisen und führt zum ersten Rundum- Sorglos-Rezept: 3.1 Erschöpfendes Erraten Man finde durch irgendwie geartete kluge Gedanken (dazu später mehr) n voneinander linear unabhängige, spezielle Lösungen x 1 (t) bis x n (t) einer homogenen linearen DGL n-ter Ordnung. Nun kann man die allgemeine Lösung ohne weitere Rechnung als Linearkombination der speziellen Lösungen schreiben: x allg = a 1 x 1 (t) + + a n x n (t), (3.3) wobei die a i die freien Parameter darstellen, die wir vorweisen müssen, um behaupten zu dürfen, dass unsere Lösung die allgemeine sei. Dieses Rezept folgt mit einiger Überlegung aus den Sätzen 1 und 2 und soll nun an einem prominenten Beispiel demonstriert werden. Der harmonische Oszillator. Die Methode des Ratens ist vorallem dann von Vorteil, wenn man wie in der experimentellen Physik schon eine Vorstellung davon hat, wie die gesuchte Funktion aussehen wird, wie bei dem Beispiel des ungedämpften Federpendels. Die Kraft, die die Feder auf ein Massestück auswirkt, ist proportional zur Auslenkung: F = kmx, wobei x die Auslenkung, m die Masse und k ein Proportionalitätsfaktor ist. (Das Produkt m k ist weithin als Federkonstante bekannt.) Mit dieser Kraft wird das Massestück also auch beschleunigt: a = d2 x dt 2 = kx

6 Differentialgleichungen 6 Bringen wir die Gleichung noch in Form (2.1): d 2 x + kx = 0 (3.4) dt2 Und welche Funktionen reproduzieren bei zweifacher Differentiation ihr Negatives bis auf einen konstanten Faktor k? Zum Bespiel diese: sin kt, cos kt, aber auch sin kt + 2 cos kt. Wenn wir nun also die Funktionen sin kt und cos kt miteinander kombinieren, erhalten wir nach Satz 2 die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: x allg (t) = a sin( kt) + b cos( kt) Das sollte einem aus der Schule bekannt vorkommen. Manchmal findet man jedoch keine Lösung durch Hinschauen oder man mag Raten nicht. Das führt uns zum nächsten Kapitel. 3.2 Der Exponentialansatz Der Exponentialansatz (im Folgenden kurz: e-ansatz) ist eine häufig verwendete Methode, um Lösungen von homogenen linearen Differentialgleichungen zu finden. Betrachten wir zur Veranschaulichung des nun folgenden Konzepts einfaches biologisches Beispiel: Beispiel. Exponentielles Wachstum. Nehmen wir uns als ein ganz einfaches Beispiel eine Baktierienkolonie vor, die sich in einer Nährflüssigkeit befindet und zur Zeit t die Größe P (t) hat. In der Zeit t wächst sie um P (t) = P (t+ t) P (t). Für eine genügend kleine Zeitspanne t darf man annehmen, dass P (t) αp (t) t. Das heißt: P (t) t Und wenn man t gegen Null laufen lässt: dp (t) dt αp (t) = αp (t) = P (t) (3.5) Die Hauptanforderung an die zu findende Lösungsfunktion springt sofort ins Auge: Sie sollte sich beim Ableiten bis auf einen Vorfaktor α reproduzieren. Praktischerweise kommt für diese Anforderung eine leicht handhabbare Funktionenklasse wie gerufen die Exponentialfunktionen: ae λt. Man nimmt nun an, dass sich die gesuchte Lösungsfunktion P (t) wie folgt als e-funktion darstellen lässt. P (t) = ae λt (3.6) Diese Annahme wird meist als Exponential- oder e-ansatz bezeichnet. Man setzt nun diese Funktion in Gl. (3.6) und ihre erforderlichen Ableitungen in die Differentialgleichung ein und verifiziert den so entstandenen Ausdruck. Probieren wir das mal mit unserem Beispiel (3.5): P (t) = αp (t) aλe λt = αae λt λ = α P (t) = ae λt 1 ae λt

7 Differentialgleichungen 7 Offensichtlich konnten wir a unterwegs befreien, doch mussten λ festsetzen, um eine wahre Aussage zu behalten. Da uns jedoch nach Satz 1 für diese DGL erster Ordnung schon ein freier Parameter genügt, haben wir somit die allgemeine Lösung der DGL (3.5) bestimmt: P allg (t) = ae αt. (3.7) Um das noch unbestimmte a festzulegen, benötigt man allerdings sogenannte Anfangsbedingungen, die dann zusammen mit der Differentialgleichung das Anfangswertproblem stellen. Eine Anfangsbedingung ist eine Bedingung, die man an eine allgemein gelöste DGL (genauer: an ein allgemein gelöstes Problem) stellt. Sie ist eine zusätzliche Information, die man benötigt, um die freien Parameter aus der allgemeinen Lösung durch konkrete, situationsspezifische Werte zu ersetzen und somit schlussendlich verwertbare Lösungen zu erhalten. Unser Beispiel macht dies deutlich: Selbst nachdem das Bakterienproblem nun allgemein gelöst ist (3.7) und selbst wenn wir die Wachstumsrate α kennen, können wir auf die Frage Wie viele Bakterien habe ich drei Tage nach Zuchtbeginn? nicht antworten. Was uns fehlt ist eine Anfangsbedingung wie Zu Zuchtbeginn (t = 0) habe ich P (t = 0) = 1000 Organismen in die Nährlösung gegeben. Mit dieser entscheidenden Zusatzinformation können wir trivial die Populationsstärke P (t) zu jedem beliebigen Zeitpunkt angeben und das konkrete Problem ist gelöst. Man nennt diese von freien Parametern befreite Lösung oft die vollständige Lösung. Entgegen der Suggestion des Namens muss ein Anfangswertproblem nicht zwingend eine Aussage über die Situation zum Zeitpunkt t = 0 treffen. Auch P (t = 5) = 70 wäre eine zur vollständigen Lösung ausreichende Information. Üblich sind Vorgaben wie x(t = 0) =: x 0 ẋ(t = 0) =: v 0 etc. Dieses einfache Beispiel illustriert gut den Grundgedanken des e-ansatzes: es wird eine allgemeine e-funktion für die Lösungsfunktion eingesetzt und anschließend überprüft, ob dieser Ansatz haltbar ist. In komplizierteren Fällen muss man auch mal einen Umweg über die komplexen Zahlen machen, wie das folgende Beispiel zeigt. Nocheinmal der harmonische Oszillator. Auch das Beispiel des ungedämpften Federschwingers bzw. des harmonischen Oszillators lässt sich mit dem Exponentialansatz lösen. Dazu betrachten wir nocheinmal Gl. (3.4): Mit dem Ansatz x = ae λt erhalten wir: d 2 x dt 2 + kx = 0 aλ 2 e λt + ake λt = 0 λ 2 + k = 0 : ae λt k λ 2 = k () λ 1/2 = ±i k Das heißt, wir erhalten zwei spezielle Lösungen: x 1 (t) = e i kt und x 2 (t) = e i kt und die vollständige Lösung dieses Problems wird wie vorher auch aus einer Kombination dieser beiden bestehen: x(t) = a 1 e i kt + a 2 e i kt

8 Differentialgleichungen 8 Wie werden a 1 und a 2 bestimmt? Ja, wieder durch vorgegebene Anfangsbedingungen, allerdings benötigen wir diesmal zwei davon, da wir ja auch zwei freie Parameter a 1 und a 2 haben. Nehmen wir uns diesmal diese: x(0) = x 0 ẋ(0) = 0 (Was bedeutet das?) Aus der ersten Bedingung gewinnen wir das: x 0 = a 1 e i k 0 + a 2 e i k 0 x 0 = a 1 + a 2 Mit ẋ(t) = a 1 i k e i kt a 2 i k e i kt erhalten wir aus der zweiten Bedingung: 0 = a 1 i k e i k 0 a 2 i k e i k 0 0 = a 1 a 2 Es ist also a 1 = a 2 = x 0 /2 und damit lautet unsere vollständige Lösung: x(t) = x 0 kt 2 ei + x 0 kt 2 e i Wer sich noch an die Eulerformel e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ erinnern kann, der wird hier feststellen, dass unsere Lösung nichts anderes bedeutet als das: x(t) = x 0 2 (cos kt + i sin kt) + x 0 2 (cos kt i sin kt) x(t) = x 0 cos kt, was uns nun endgültig an die Formel, die wir einmal in der Schule gelernt haben, erinnern sollte. Man beachte, dass die komplexen Zahlen hier nur ein Hilfsmittel waren, um zur Lösung zu gelangen. Sie tauchen in der endgültigen Lösung nicht mehr auf. 4 Lösung inhomogener linearer Differentialgleichungen Bisher haben sich alle besprochenen Methoden auf die Lösung homogener linearer DGL bezogen. Wir wollen nun unser Repertoire aufstocken und werden vorerst inhomogene lineare DGL betrachten um danach mit den nichtlinearen Differentialgleichungen die letzte Lücke zu schließen. Zuerst ein notwendiger Begriff: Definition 5. Zu jeder inhomogenen linearen DGL der Form (2.4) lässt sich ein sogenannter homogener Fall der Gleichung angeben, indem das absolute Glied des Terms also a abs in (2.4) schlicht gestrichen wird. Die ursprüngliche Form der DGL wird manchmal auch als inhomogener Fall bezeichnet. Statt Fall wird oft auch Form geschrieben. Zur Verdeutlichung: zu der inhomogenen DGL (2.7) lautet der homogene Fall ẍ(t) + 4x(t) = 0, die -42 wurden also schlicht weggelassen. Diese Form der Vereinfachung führt mit dem folgenden Satz zur entscheidenden Vereinfachung der Lösung inhomogener linearer DGL.

9 Differentialgleichungen 9 Satz 3. Sei x hom (t) allgemeine Lösung des homogenen Falls einer linearen DGL und x inh (t) spezielle Lösung des inhomogen Falls, dann ist allgemeine Lösung des inhomogenen Falls. x allg (t) = x hom (t) + x inh (t) Dass die Summe der Lösungen überhaupt Lösung des inhomogenen Falls ist, lässt sich über die Linearität zeigen. Dass sie jedoch eine allgemeine Lösung ist, folgt unmittelbar aus der Anzahl der freien Parameter, da ja schon x hom allgemeine Lösung war und somit n freie Parameter aufweisen muss. Dieser Satz wird nun helfen, das folgende Beispiel zu lösen. Freier Fall mit Stokesscher Reibung. Kommen wir nun zu unserer Kastanie zurück. Es ist sicherlich unrealistisch, dass sie so ganz ohne Reibung vom Baum nach unten fällt. Ein schönes Beispiel für eine inhomogene lineare Differentialgleichung erhalten wir, wenn wir annehmen, dass sie durch eine Reibungskraft F R gebremst wird, die proportional zu ihrer Geschwindigkeit v ist 2 : F R = αv. Diese Reibungskraft addieren wir nun einfach zur Gewichtskraft hinzu: m v = F G + F R = mg αv Weil wir jetzt gleich durch die Masse m teilen, führen wir bequemerweise eine neue Variable β = α/m ein. Das ist so üblich um später Schreibarbeit zu sparen und Übertragungsfehler zu minimieren. Also: m v = mg mβv v = g βv v + βv = g : m + βv Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Im ersten Schritt lösen wir nun die homogene Gleichung mit dem Exponentialansatz: v + βv = 0 (4.1) Der Ansatz geht so: Sei v von der Form ae γt. Dann ist v = aγe γt, also: aγe γt + βae γt = 0 γ + β = 0 γ = β : ae γt β Also wissen wir schon einmal: v hom = ae βt. Im zweiten Schritt finden wir nun eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung v+βv = g, d.h. wir erraten eine. Die Funktion v inh = g β erfüllt die Gleichung und damit ist der zweite Schritt auch schon fertig. Zum Schluss addieren wir noch beide Lösungen: v(t) = v hom (t) + v inh (t) v(t) = ae βt g β (4.2) 2 Hier bedeutet das Minuszeichen, dass die Kraft der Geschwindigkeit entgegen wirkt, also eigentlich: F R = α ( v).

10 Differentialgleichungen 10 Allerdings bleibt noch die Frage nach dem unbestimmten Parameter a. Dieser ist nur dann eindeutig, wenn wir für ein festes t 0 noch einen Anfangswert v(t 0 ) = v 0 vorgegeben. Sagen wir t 0 = 0 und v(t = 0) = 0, dann erhalten wir eine zweite Bestimmungsgleichung aus Gl. (4.2), indem wir genau das einsetzen: v(0) = a g β! = 0 + g β a = g β Damit erhalten wir unsere komplette Lösung: v(t) = g β e βt g β (4.3) Mit Hilfe des Satzes 3 lässt sich die Lösung inhomogener linearer DGL also auf homogene DGL zurückführen, gegeben sei der Fall, man errät eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Kann man jedoch keine Lösung erraten, sei einem folgende Methode an die Hand gegeben. 4.1 Variation der Konstanten Dieses seltsam klingende Rezept dient dazu, aus der bekannten allgemeinen Lösung des homogenen Falls einer DGL die allgemeine Lösung des inhomogenen Falls abzuleiten. Hierzu setzt man die bekannte allgemeine Lösungsfunktion in die inhomogene DGL ein und versucht, derart raffinierte Werte für die freien Konstanten herauszubekommen, dass auch die inhomogene Gleichung gelöst wird. Der entscheidende Trick hierbei ist, dass den Konstanten eine mögliche t-abhängigkeit eingeräumt wird. Sie werden quasi als Funktionen betrachtet und müssen deshalb leider auch bei der Ableitung entsprechend berücksichtigt werden. Wir werden dieses Konzept erläutern, indem wir den freien Fall mit Stokes scher Reibung noch einmal lösen wie man ihn lösen würde, wenn man die spezielle Lösung nicht erraten hätte. Nocheinmal freier Fall mit Stokesscher Reibung. Vorher sind wir von dem Ansatz ausgegangen, dass v von der Form ae γt ist und haben herausgefunden, dass γ = β. Dann hatten wir im zweiten Schritt eine erratene spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung dazu addiert und die Konstante a über die Anfangsbedingung bestimmt. Stattdessen wollen wir jetzt im zweiten Schritt davon ausgehen, dass a gar keine Konstante ist, sondern auch eine Funktion von t: a = a(t). Dann wäre v(t) = a(t) e βt und v(t) = ȧ(t) e βt a(t) βe βt. Das setzen wir jetzt in die inhomogene Gleichung ein: v(t) + βv(t) ȧ(t) e βt a(t) βe βt + a(t) βe βt = g = g ȧ(t) e βt = g e βt ȧ(t) ȧ(t)dt = ge βt = g e βt dt a(t) = g β eβt + c

11 Differentialgleichungen 11 c ist eine Integrationskonstante, die wiederum durch das Anfangswertproblem festgelegt wird. Über unsere Geschwindigkeit wissen wir nun: ( v(t) = g ) β eβt + c e βt was äquivalent zu Gleichung (4.2) ist. = ce βt g β, 5 Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen Da der Begriff nichtlineare DGL schlicht bedeutet, dass die behandelte DGL nicht vom einfachst denkbaren Typus ist, öffnet sich hier das Themengebiet sämtlicher höherer DGL. Die Vielfalt der möglichen Probleme und Lösungsansätze dieses quasi nach oben offenen Themengebietes kann hier nicht einmal skizziert werden. Wir werden uns daher in dieser Vorlesung auf die Vorstellung einer einzigen, doch recht potenten und vielseitigen Methode beschränken: der Methode der Trennung der Variablen. 5.1 Trennung der Variablen Mit der Methode der Trennung der Variablen ist es in vielen Fällen möglich, die Lösung einer Differentialgleichung auf eine oder mehrere mehr oder weniger einfache Integrationsvorgänge herunterzubrechen. Vorab sei gewarnt, dass wir in diesem Kapitel sehr leger mit dem Begriff des Differentials umgehen werden. dx und dt werden gekürzt, multipliziert, dividiert und integriert, wie es vorerst nicht hinterfragt werden sollte. Es geht irgendwie und unter dem Strich kommen feine Ergebnisse heraus. Das Einführungsbeispiel der reibungsfrei fallenden Kastanie (Kapitel 1) stellte streng genommen schon eine einfache Form der Variablentrennung dar: hier wurde nur integriert und am Ende war die Differentialgleichung gelöst. Wir schauen uns das Konzept nun anhand eines etwas interessanteren Beispiels an. Nehmen wir hierzu an, dass uns ein atemberaubendes physikalisches Problem mit der folgenden Charakterstik konfrontiert: cos 2 (x(t)) 2tẋ(t) = 0 (5.1) Die allgemeine Lösung x(t) = arctan(ln(c t)) springt nicht sofort ins Auge, lässt sich jedoch mit Variablentrennung erfreulich einfach ermitteln. Wir werden in der folgenden Rechnung die Abhängigkeit x = x(t) nicht mehr hinschreiben, x bleibt jedoch das gleiche, was es auch bisher war: unsere Lösungsfunktion. Die bisherige Notation würde in dieser Rechnung einfach ein verwirrendes Schriftbild ergeben. cos 2 (x) 2tẋ = 0 ẋ = dx dt cos 2 (x) = 2t dx dt dt 2t cos 2 (5.2) (x) 1 2t dt = 1 cos 2 (x) dx 1 2 ln(t) + c = tan(x) x = arctan ln(c t)... ; c = const. (5.3) arctan(... ); log Gesetze; c = e c (5.4)

12 Differentialgleichungen 12 Der entscheidende Schritt wurde hier beim Übergang zwischen Zeile (5.2) und (5.3) vorgenommen: alle nicht explizit von t anhängigen Terme Terme also, die ausschließlich von x und somit nur implizit von t abhängen wurden zusammen mit dem dx auf eine Seite der Gleichung gebracht. Der Rest samt dt bleibt auf der anderen Seite zurück. Was dabei herauskommt, sind zwei sauber getrennte differenzielle Größen, die nur danach schreien, formal integriert zu werden. Nachdem wir diese Integration durchgeführt haben ((5.3) zu (5.4)), besteht der Rest aus Termumformungen. Die Integrationen in diesem Beispiel waren zugegebenermaßen recht freundlich gewählt, doch mit etwas Routine im Integrieren erweist sich die Variablentrennung als mächtiges Werkzeug. Erfreulicherweise kann man sie sogar bei linearen DGL ohne weiteres anwenden, was in vielen Fällen die Rechnung vereinfacht. Ein letztes Mal freier Fall mit Stokesscher Reibung. Gleichung (4.1) einmal mit diesem Ansatz lösen: dv dt + βv = 0 dv dt = βv dv v = βdt dv v = βdt ln v = βt + c Wir wollen deshalb die homogene βv dt v exp() Sei c = e c. v = ce βt Im zweiten Schritt lösen wir wieder die inhomogene Gleichung, indem wir aus der Konstanten eine Funktion machen: c = c(t). Das ist das gleiche Vorgehen wie unter 4.1 Schritt 2. Vergleichen wir das Ergebnis mit Gl. (4.3), so sehen wir, dass sowohl der Exponentialansatz als auch die Variablentrennung auf das gleiche Ergebnis führen. Freier Fall mit Newtonscher Reibung. Statt von Stokes scher Reibung F R = αv kann man auch von Newtonscher 3 ausgehen: F R = αv 2. Ersetzt man wieder β = α/m, so erhält man eine (echte) nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung: m v = mg + αv 2 v = g + βv 2 In diesem Fall bleibt einem (meist) nur der direkte Weg: : m dv dt = g + dt βv2 g βv 2 dv g + βv 2 = dt dv g + βv 2 = t + c 3 Hier steht kein Minuszeichen, weil durch das Quadrieren der (negativen) Geschwindigkeit das Minus bereits verschwindet. Genauer: F R = α v v = αv 2, weil v < 0

13 Differentialgleichungen 13 Nun haben wir statt der Differentialgleichung nur noch ein etwas schwierigeres Integral zu lösen. Nach längerem Suchen wird man irgendwoher herausfinden 4, dass ( ) dv Artanh β g + βv 2 = g v. gβ Jetzt muss man noch umformen: ( ) Artanh β g v = t + c gβ ( ) β ( Artanh g v = ) gβ (t + c) tanh() β (( g v = tanh ) ) g gβ (t + c) β v = g ( β tanh ) gβ (t + c) ( ) gβ (5.5) Mit dem Anfangswertproblem v(t = 0) = v 0 bestimmt man aus Gl. (5.5) auch gleich c: g v = β tanh gβ t v = ( Artanh β gβ g v 0 ( ( ) g β tanh β Artanh g v 0 ) gβt ) Man sollte sich hier von den großen Termen nicht abschrecken lassen. So etwas kann passieren. 4 Dazu muss man vorher wissen, dass tanh(x) = ei e ix und Artanh die Umkehrfunktion dazu ist. e i +e ix