Wie rechnet ein Rechner? Werner Struckmann Vorkurs Wintersemester 2014/2015

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1 Wie rechnet ein Rechner? Werner Struckmann Vorkurs Wintersemester 2014/2015

2 Was machen wir? Warum sollte man wissen, wie ein Rechner rechnet? Wie rechnet ein Rechner? Speicherung von Zahlen Verarbeitung von Zahlen Fazit Etwas zum Algorithmusbegriff Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 2

3 Wie rechnet ein Rechner? Warum sollte man es wissen, wenn man mit ihm rechnet? Das wollen wir uns ansehen! Ein bisschen rechnen wir erstmal selbst. Dann sehen wir uns an, wie er rechnet. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 3

4 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen =?

5 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen =? 2 7 6

6 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen =?

7 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen =? = (1 10+2) (2 10+3) = ( ) = = 276

8 Beweis der abessinischen Bauernmethode zur Multipliaktion Gegeben: x, y N mit x, y 1. Es gilt die Gleichung: y falls x = 1, x x y = (y + y) falls x > 1 und x gerade ist, 2 y + x 1 (y + y) falls x > 1 und x ungerade ist. 2 Durch diese Gleichung und die Rekursion wird die Multiplikation auf die Addition, Verdoppelung und Halbierung zurückgeführt. Das Einmaleins brauchen wir nicht. Dieses Verfahren war schon im Altertum bekannt. In Deutschland wurde es wohl bis ins Mittelalter verwendet. Wir können also auf mehrere Arten und Weisen multiplizieren. Jetzt sehen wir uns Rechner an. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 5

9 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen

10 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen Mit einem Java-Programm kontrollieren wir unsere Ergebnisse und berechnen außerdem

11 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen public class Mult01 { public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) { System. out. p r i n t l n ( 1 * 1 ) ; System. out. p r i n t l n ( 1 2 * 1 2 ) ; System. out. p r i n t l n (123*123); System. out. p r i n t l n (1234*1234); System. out. p r i n t l n (12345*12345); System. out. p r i n t l n (123456*123456); } }

12 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen public class Mult01 { public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) { System. out. p r i n t l n ( 1 * 1 ) ; System. out. p r i n t l n ( 1 2 * 1 2 ) ; System. out. p r i n t l n (123*123); System. out. p r i n t l n (1234*1234); System. out. p r i n t l n (12345*12345); System. out. p r i n t l n (123456*123456); } } Ausgabe:

13 Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen public class Mult01 { public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) { System. out. p r i n t l n ( 1 * 1 ) ; System. out. p r i n t l n ( 1 2 * 1 2 ) ; System. out. p r i n t l n (123*123); System. out. p r i n t l n (1234*1234); System. out. p r i n t l n (12345*12345); System. out. p r i n t l n (123456*123456); } } Ausgabe: Das Quadrat einer Zahl ist nicht negativ. Hat sich der Rechner verrechnet?

14 Ein zweites Beispiel Wir sehen uns noch ein Beispiel in Java an: public class Mult02 { public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) { i n t z = 256*256*256* ; System. out. p r i n t l n ( z * z ) ; } } Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 8

15 Ein zweites Beispiel Wir sehen uns noch ein Beispiel in Java an: public class Mult02 { public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) { i n t z = 256*256*256* ; System. out. p r i n t l n ( z * z ) ; } } Ausgabe: 1 Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 8

16 Ein zweites Beispiel Wir sehen uns noch ein Beispiel in Java an: public class Mult02 { public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) { i n t z = 256*256*256* ; System. out. p r i n t l n ( z * z ) ; } } Ausgabe: 1 Hat sich der Rechner schon wieder verrechnet? Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 8

17 Ariane-Rakete Der Film zeigte den Start bzw. Absturz einer Ariane-Rakete. Wikipedia: The launch ended in failure due to an error in the software design caused by inadequate protection from integer overflow. This resulted in the rocket veering off its flight path 37 seconds after launch, beginning to disintegrate under high aerodynamic forces, and finally self-destructing by its automated flight termination system. The failure has become known as one of the most infamous software bugs in history. The failure resulted in a loss of more than US $ 370 million. Es war also im Prinzip der gleiche Fehler, den wir eben zweimal gesehen hatten. Jetzt sehen wir uns an, wie es zu solchen Fehlern kommen kann! Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 9

18 Dualzahlen: Darstellung 12 = = = = (1100) = = = = ( ) 2 Außer zur Basis 2 werden auch andere Basen verwendet. Beispiel: 60 = (74) 8 = (3, C) 16 (Oktal- und Hexadezimalzahlen) Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 10

19 Dualzahlen: Speicherung Computer speichern Zahlen meistens als Dualzahlen. Jede Null und jede Eins wird durch ein eigenes Bit repräsentiert. Java: Der Datentyp int soll zum Rechnen mit ganzen Zahlen, d. h. mit einigen Elementen der Menge Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} verwendet werden. Eine Zahl vom Typ int wird durch 32 Bits gespeichert. Deshalb können höchstens 2 32 = Zahlen zum Typ int gehören. Java deckt damit den Bereich von 2 31 = bis = ab. Die Zahl wird maxint genannt. Das Ergebnis der Multiplikation ist Diese Zahl ist größer als maxint und kann daher nicht verarbeitet werden. Das obige Programm hat sich also schon bei einer einzigen Multiplikation um ( ) = , d. h. um 17 Milliarden 179 Millionen 869 Tausend 184, verrechnet.

20 Dualzahlen: Speicherung Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ganze Zahlen als Dualzahlen zu speichern. Eine sehen wir uns an, das. sog. Zweierkomplement: maxint: = minint: = Es geht bei los. In jedem Schritt geht es um eins weiter. So macht es zum Beispiel Java. Für den Datentyp int werden 32 Bits benutzt.

21 Dualzahlen: Speicherung Zugegeben: In Java gibt es den Datentyp long, der größere Zahlen verarbeiten kann. Der Typ nimmt 64 Bits. Aber auch für diesen Datentyp gibt es eine Maximalzahl. Warum verwenden viele Rechner nicht ein Bit als Vorzeichen? Dann hätte die Zahl 0 zwei Darstellungen. Dann müssten viel mehr Prüfungen durchgeführt werden. Nicht alle Programmiersprachen behandeln Zahlen gleich. Es kommt sogar vor, dass eine Programmiersprache Zahlen auf verschiedenen Rechnern unterschiedlich bearbeitet. Computeralgebrasysteme, zum Beispiel Maple, behandeln Zahlen anders:» *123456; » z:=256*256*256* ; z:= » z*z;

22 Wertebereiche Die folgende Tabelle gibt die Wertebereiche der ganzahligen Typen int und long sowie der Gleitkommatypen float und double an: Typ: Wertebereich: int: = long: = float: ± double: ± Gleitkommatypen können also viel größere Zahlen bearbeiten. Jetzt sehen wir uns einen Gleitkommatypen an. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 14

23 Gleitkommazahlen können größere Werte verarbeiten! Ein Java-Beispiel: double a = 1. 0 / 3. 0, b = a 10.0, c ; i f ( a == b ) c = 0; else c = 1 / ( a b ) ; System. out. p r i n t f ( " %20.5 f%n ", c ) ; Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 15

24 Gleitkommazahlen können größere Werte verarbeiten! Ein Java-Beispiel: double a = 1. 0 / 3. 0, b = a 10.0, c ; i f ( a == b ) c = 0; else c = 1 / ( a b ) ; System. out. p r i n t f ( " %20.5 f%n ", c ) ; Ausgabe: Java sagt also: - 1 Billiarde 637 Billionen 672 Milliarden 591 Millionen 771 Tausend und 89,5 Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 15

25 Gleitkommazahlen können größere Werte verarbeiten! Ein Java-Beispiel: double a = 1. 0 / 3. 0, b = a 10.0, c ; i f ( a == b ) c = 0; else c = 1 / ( a b ) ; System. out. p r i n t f ( " %20.5 f%n ", c ) ; Ausgabe: Java sagt also: - 1 Billiarde 637 Billionen 672 Milliarden 591 Millionen 771 Tausend und 89,5 korrekter Wert: 0 Kann der Rechner schon wieder nicht rechnen? Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 15

26 Dezimalzahlen: Rationale Zahlen Die Dezimalbruchentwicklung von rationalen Zahlen, d. h. von Elementen aus Q, ist periodisch: 17 4 = 4, = 4,250 = 4, = 2, = 2, Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 16

27 Dezimalzahlen: Rationale Zahlen Die Dezimalbruchentwicklung von rationalen Zahlen, d. h. von Elementen aus Q, ist periodisch: 17 4 = 4, = 4,250 = 4, = 2, = 2, Die Dezimalbruchentwicklung von irrationalen Zahlen, d. h. von Elementen aus R Q, ist nicht periodisch: 2 = 1, π = 3, e = 2, Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 16

28 Dualzahlen: Rationale Zahlen Die gleichen Aussagen gelten für Dualzahlen: 1 2 = 0, = 0,50 = (0,10) 2 = (0,1) = 3, = 3,750 = (11,110) 2 = (11,11) = 0,1 = (0, ) 2 = (0,00011) = 0,2 = (0, ) 2 = (0,0011) 2 2 = 1, = (10, )2 π = 3, = (11, ) 2 e = 2, = (10, ) 2 Wenn also endlich viele Bits zur Speicherung von rationalen Zahlen in der Dualzahldarstellung benutzt werden, dann kann also nicht einmal die Zahl 0,1 korrekt gespeichert werden.

29 Wie werden rationale Zahlen gespeichert? Die Gleitkommadarstellung ist eine Methode zur näherungsweisen Darstellung von reellen Zahlen auf Rechenanlagen. Man spricht von Pseudoarithmetik: Es lassen sich nur endlich viele Zahlen darstellen. Für sie gelten die bekannten Rechenregeln im Allgemeinen nicht. Inbesondere gibt es Probleme bei der Summe von Zahlen unterschiedlicher Größenordnung (x + y = x, falls x >> y, y muss nicht 0 sein), der Differenz von nahezu gleich großen Zahlen (Auslöschung, s. obiges Beispiel) und dem Test von Zahlen auf Gleichheit (ein Beispiel sehen wir gleich). Bei fast jeder Operation einlesen, berechnen,... entstehen Rundungsfehler. Die Gleitkommadarstellung sehen wir uns kurz an. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 18

30 Gleitkommadarstellung 234, 5678 = 0, Vorzeichen: Mantisse: Exponent: 3 Für Dualzahlen wird es analog gemacht. Als Vorkommastelle wird aber typisch die erste 1 verwendet. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 19

31 Gleitkommadarstellung Wir betrachten ein Beispiel für Dualzahlen: Die Zahl +0,2 hat die Darstellung +0, = +0,0011. Normalisiert ergibt dies: +0, = +0, oder +1, = +1, Vorzeichen: + Mantisse: Exponent: -3 Auf 6 Nachkommastellen gerundet ergibt dies: 0, Zurückkonvertiert: 0, = = 0, Der Test 0,2 = 0, wird daher bei einer Speicherung von nur 6 binären Nachkommastellen leider den Wert true liefern. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 20

32 Gleitkommadarstellung: Speicherung von Werten Java verwendet die beiden IEEE-754-Fließkommatypen für seine Datentypen float und double. float-zahlen werden durch 32 Bits dargestellt. double-zahlen werden durch 64 Bits dargestellt. Die Aufteilung erfolgt folgendermaßen: float double Vorzeichenbit 1 1 Exponent 8 11 Mantisse Anzahl der Bits Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 21

33 Gleitkommadarstellung: Speicherung von float-werten Die interne Darstellung einer Gleitkommazahl vom Typ float in einem 32-Bit-Wort nach dem IEEE-Standard sieht wie folgt aus: V E M Das Vorzeichen V wird durch 1 Bit gespeichert. Der Exponententeil E wird durch 8 Bits dargestellt und liegt im Bereich von 0 bis 255. Die Werte E = 0 und E = 255 sind für spezielle Zahlen (Null, denormalisierte Werte, Unendlich, Not-a-Number) reserviert. Der Mantissenteil M beansprucht 23 Bits. Im Normalfall, das heißt mit Ausnahme der speziellen Zahlen, ist M der Anteil der Mantisse nach dem Dezimalpunkt. Vor dem Dezimalpunkt steht eine 1, die nicht abgespeichert wird. Man sagt, die Mantisse sei normalisiert. Im normalisierten Fall, das heißt 1 E 254, besitzt eine Gleitkommazahl mit dem Vorzeichen V, dem Exponententeil E und dem Mantissenteil M den folgenden Wert: ( 1) V 1.M 2 E 127 Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 22

34 Gleitkommadarstellung: Speicherung von float-werten Durch den Ausdruck wird die Zahl ( 1) V 1.M 2 E 127 0, 2 = +1, als float-wert also wie folgt gespeichert: Vorzeichen: 1 Bit: 0 ( 1) 0 = 1 Exponent: 8 Bits: = Mantisse: 23 Bits: s. oben So sehen die 32 Bits aus: Das letzte Bit wurde aufgerundet: Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 23

35 Gleitkommadarstellung: Speicherung von Werten Gleitkommazahlen sind nicht gleichverteilt. So kann man es sich vorstellen: 0 Es gibt also eine kleinste positive und eine größte negative Gleitkommazahl. Wir haben gesehen, wie ganze Zahlen und rationale Zahlen typischerweise gespeichert werden. Durch die Einschränkung auf größte und kleinste Werte sowie die Genauigkeit kann es zu großen Rechenfehlern führen. Typischerweise bieten Programmiersprachen die Möglichkeit an, die Darstellung auszugeben. Gleich sehen wir es uns etwas an, wie mit diesen Speicherungen gerechnet wird. Andere Systeme, zum Beispiel Computer-Algebra-Systeme, können genauer rechnen als viele Programmiersprachen. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 24

36 Addition Wieviel ist 53+91? 53 = = (110101) 2 91 = = ( ) ( ) 2 = = 144 Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 25

37 Addition Diese Seite habe ich aus dem Informatik-Handbuch von P. Rechenberg und G. Pomberger abgeschrieben: Die Summe zweier einstelliger Dualzahlen kann durch ein Schaltnetz mit logischen Operationen implementiert werden: Summe: Übertrag: a b a XOR b a UND b Solch ein Schaltnetz heißt Halbaddierer. Sollen zwei mehrstellige Dualzahlen addiert werden, wird der Halbaddierer für die letzte Stelle verwendet. Bei den anderen Stellen muss evtl. ein Übertrag berücksichtigt werden. Die Subtraktion, die Multiplikation und die Division lassen sich mithilfe der Addition realisieren.

38 Subtraktion Wie kann man die Subtraktion a b auf die Addition zurückführen? ergänzen die Ziffern von 14 auf (Komplement von 14) Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 27

39 Subtraktion Wie kann man die Subtraktion a b auf die Addition zurückführen? ergänzen die Ziffern von 14 auf (Komplement von 14) Beweis: Komplement: b = 10 k 1 b, 10 k > b, das kleinste solche k. b = 10 k 1 b a b = a (10 k 1 b) = a + b 10 k + 1 (s. obiges Beispiel) Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 27

40 Subtraktion Diesen Algorithmus darf man auch für Dualzahlen verwenden: = 21: ist das Komplement von Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 28

41 Subtraktion Diesen Algorithmus darf man auch für Dualzahlen verwenden: = 21: ist das Komplement von Die Subtraktion von Dualzahlen kann also auf die Addition und das Umwandeln von Bits (logisches NOT) zurückgeführt werden. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 28

42 Was haben wir bis jetzt gesehen? Computer können etliche Rechenaufgaben lösen. Sie speichern Zahlen als Dualzahlen. Die Addition kann auf logische Operationen zurückgeführt werden. Andere Operationen, z. B. die Subtraktion, kann auf die Addition, also auch auf logische Operationen zurückgeführt werden. Dabei können es Probleme geben: Größte, kleinste Zahlen, Genauigkeit, Vergleich, Operationen,... Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 29

43 Multiplikation Wie vorhin gesehen gilt: ( ) 2 = = = 144 Die Verdoppelung und Halbierung ist für Dualzahlen einfach. Eine 0 muss angefügt bzw. gelöscht werden: 1 Bit-Shift nach links bzw. rechts. Die Multiplikation kann also auf Bit-Shifts und die Addition zurückgeführt werden.

44 Division 13 8 = = = (1,101) 2 = 1, = (1101) 2 8 = (1000) : = 1, Die Subtraktion bei der Division kann auf die Addition zurückgeführt werden.

45 Fazit Wir haben also gesehen, dass die Bedienung von Rechnern zu schlimmen Fehlern führen kann. Wenn man mit einem Rechner arbeitet, sollte man sich also die Sprache und die Rechnung genau anschauen erschien das Buch: Christian Hesse: Wer falsch rechnet, den bestraft das Leben. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 32

46 Gibt es weitere Möglichkeiten für Fehler? Ja, dafür gibt es viele. Nur ein Beispiel: Ein Seitenairbag darf nicht eingeschaltet werden, wenn ein Baby auf dem Beifahrersitz sitzt. Richtige Reihenfolge: airbag = ein; if (kindersitz == belegt) { airbag = aus; } Falsche Reihenfolge: if (kindersitz == belegt) { airbag = aus; } airbag = ein; Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 33

47 Gibt es weitere Möglichkeiten für Fehler? Ja, dafür gibt es viele. Nur ein Beispiel: Ein Seitenairbag darf nicht eingeschaltet werden, wenn ein Baby auf dem Beifahrersitz sitzt. Richtige Reihenfolge: airbag = ein; if (kindersitz == belegt) { airbag = aus; } Falsche Reihenfolge: if (kindersitz == belegt) { airbag = aus; } airbag = ein; 1999 wurde dieser Fehler gemacht und führte zum Tode von einem Baby. Der Fehler trat nur in der Software eines speziellen Fahrzeugmodells auf. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 33

48 Der intuitive Algorithmusbegriff Gegeben sei ein Problem. Eine Handlungsvorschrift, deren mechanisches Befolgen ohne Verständnis des Problems zur Lösung des Problems führt, wird Algorithmus genannt. Etwas präziser: Ein Algorithmus ist eine wohldefinierte Rechenvorschrift, die eine (evtl. leere) Menge von Größen als Eingabe verwendet und eine Menge von Größen als Ausgabe erzeugt. Ein Algorithmus ist also eine Abfolge von Rechenschritten, die die (evtl. leere) Eingabe in eine Ausgabe umwandelt. Der Algorithmus muss durch einen endlichen Text in einer wohldefinierten Sprache beschrieben sein. Die Objekte der Berechnung müssen klar sein. Die Operationen müssen mechanisch ausführbar sein. Die Reihenfolge der Operationen muss feststehen. Ein Problem, für dessen Lösung ein Algorithmus existiert, heißt berechenbar. In der Definition wird nicht gefordert, dass die Abfolge der Rechenschritte stets terminiert (Halteproblem). intuitiv = nicht erlernt

49 Churchsche These Gibt es für das Problem einen Algorithmus? Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit. Zur Beantwortung dieser Frage wird eine formale Definition des Algorithmenbegriffs benötigt. Alonzo Church stellte 1936 die folgende These auf, die bisher nicht widerlegt wurde. Church sche These: Der intuitive Algorithmenbegriff wird durch das Modell der Turing-Maschine adäquat definiert. Die Church sche These kann natürlich nicht bewiesen werden, da sie den intuitiven Algorithmenbegriff verwendet. Über intuitive Dinge können keine formalen Beweise geführt werden. Es wurde gezeigt, dass viele formale Algorithmusdefinitionen äquivalent sind. Daher könnte in der Church schen These die Turing-Maschine durch etliche andere formale Definitionen des Algorithmus ersetzt werden. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 35

50 Einige formale Definitionen Es gibt formale Definitionen für den Algorithmus. Einige sind: Turing-Maschine λ-kalkül Markov-Algorithmus Sprache der While-Programme partiell-rekursive (µ-rekursive) Funktionen Registermaschine Post-Kalkül... Man kann beweisen, dass diese Begriffe gleichmächtig sind. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 36

51 Eine formale Definition: Markov-Algorithmus Ein Markov-Algorithmus M = (Σ, P ) besteht aus einem endlichen Alphabet Σ und einer endlichen Menge P von sortierten Ableitungsregeln für Wörter über Σ. Ein Alphabet ist eine Menge von Zeichen. Die Menge der Wörter über Σ bezeichnet man mit Σ. Eine Ableitungsregel v w ist ein Paar (v, w) P Σ Σ. Außerdem ist eine Teilmenge P t P von terminalen Ableitungsregeln gegeben. Die Teilmenge P t der terminalen Ableitungsregeln kann auch leer sein. Ein Markov-Algorithmus sieht die Eingabe e eines Algorithmus als Wort über Σ an, d. h. e Σ. Die Ausgabe wird folgendermaßen durch Anwendungen von Ableitungsregeln berechnet: Es wird die erste Ableitungsregel v w der sortierten Menge P ausgewählt, deren Wort v ein Teilwort des zu bearbeitenden Wortes ist. Das am weitesten links stehende Vorkommen von v wird durch w ersetzt. Dieser Schritt wird wiederholt, bis eine Regel aus P t angewendet wird oder keine Regel aus P mehr anwendbar ist. Das Wort, das nicht mehr verändert wird, ist die Ausgabe a der Eingabe e. Ein Ableitungsschritt wird mit bezeichnet. λ ist das leere Wort. Im folgenden Beispiel zeigen wir, dass ein Markov-Algorithmus zwei Zahlen multiplizieren kann.

52 Ein Beispiel für den Markov-Algorithmus: Multiplikation Gegeben sei der Markov-Algorithmus M = (Σ, P ) mit Σ = {a, A, B, #} und der folgenden Menge der Ableitungsregeln: P Ba ab Aa aba A λ a# #A #a # # λ B a Zudem setzen wir P t =. M übersetzt das Eingabewort a i #a j mit i, j N in das Ausgabewort a k mit k = i j. Als Beispiel berechnen wir das Produkt 2 3: aa#aaa a#aaaa a#abaaa a#ababaa a#aabbaa a#aabbaba a#aababba a#aaabbba a#aaabbb... #aaabbbbbb... #BBBBBB BBBBBB abbbbb... aaaaaa Es gilt also 2 3 = 6. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 38

53 Berechenbarkeit: Satz von Rice Es sei M 0, M 1, M 2,... eine Aufzählung aller Algorithmen. ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2,... seien die zugehörigen berechneten Funktionen. Definition: Eine Menge von Indizes J N respektiert Funktionen, wenn für alle i, j N die Aussage i J, ϕ i = ϕ j j J gilt. Satz: (Henry Gordon Rice, 1953) Es sei J N eine Menge von Indizes, die Funktionen respektiert. Dann gilt J ist entscheidbar J = oder J = N. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 39

54 Satz von Rice: Beispiele Offenbar respektieren die folgenden Indexmengen Funktionen. 1. A = {i 7 liegt im Wertebereich von ϕ i }, 2. B = {i ϕ i ist total}, 3. C = {i ϕ i ist überall undefiniert}, 4. D = {i ϕ i = ξ} für eine gegebene partielle Funktion ξ N N. Da die Mengen A, B, C und D nicht leer und ungleich N sind sowie Funktionen respektieren, sind die folgenden Probleme nicht entscheidbar. 1. Gibt ein beliebiger Algorithmus für eine geeignete Eingabe die Zahl 7 aus? 2. Hält ein beliebiger Algorithmus bei jeder Eingabe? 3. Hält ein beliebiger Algorithmus bei keiner Eingabe? 4. Berechnet ein beliebiger Algorithmus die gegebene partielle Funktion ξ N N? Die Definition und der Satz können auf n-stellige Indexmengen J N n, n 2, übertragen werden. Man erhält beispielsweise, dass die Menge {(i, j) ϕ i = ϕ j } Funktionen respektiert und daher nicht entscheidbar ist. Also ist das Äquivalenzproblem für Algorithmen nicht entscheidbar. Es ist also so gut wie kein Problem algorithmisch lösbar.

55 Dirk W. Hoffmann: Grenzen der Mathematik Die Tragweite des Satzes von Rice ist enorm! In einem Rundumschlag macht er die Hoffnung zunichte, irgendeine nichttriviale funktionale Eigenschaft über Turing-Maschinen algorithmisch entscheiden zu können. Die Grenzen, die uns dieser Satz auferlegt, reichen tief in die Praxis der realen Software-Entwicklung hinein. So folgt daraus unmittelbar, dass es keinen Algorithmus geben kann, der für ein beliebiges Programm verifiziert, ob es sich entsprechend seiner Spezifikation verhält. Selbst so einfache Probleme wie die Frage nach der Existenz von Endlosschleifen entziehen sich einer algorithmischen Lösung. Seine Allgemeinheit macht den Satz von Rice zu einer der wertvollsten Aussagen der Berechenbarkeitstheorie. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 41

56 Kann ein Rechner wenigstens jede Rechenaufgabe lösen? Definition Eine lineare diophantische Gleichung mit zwei Unbekannten x und y ist eine Gleichung der Form ax + by = c (*) für gegebene ganze Zahlen a, b, c. Gesucht werden ganze Zahlen x und y, die die Gleichung erfüllen. Satz Die Gleichung (*) besitzt genau dann eine Lösung, wenn ggt(a, b) c gilt. Beispiel Zum Beispiel besitzt die Gleichung 36x + 52y = 24 eine ganzzahlige Lösung, weil ggt(36, 52) = 4 ein Teiler von 24 ist: = 24. Den größten gemeinsamen Teiler zu berechnen ist einfach: Der euklidsche Algorithmus. Wie solch eine Lösung gefunden wird, lernen Sie im 1. Semester.

57 Kann ein Rechner jede Rechenaufgabe lösen? Definition Eine allgemeine diophantische Gleichung mit den Unbekannten x 1, x 2,..., x n ist eine Gleichung der Form p(x 1, x 2,..., x n ) = 0, wobei p ein ganzzahliges Polynom mit n Variablen ist. Problem Gibt es einen Algorithmus, der entscheiden kann, ob eine allgemeine diophantische Gleichung ganzzahlige Lösungen besitzt? Dies ist das berühmte zehnte Hilbertsche Problem aus dem Jahr Fakt Solch einen Algorithmus gibt es nicht bewies dies Yuri Matijasevič. Es gibt also sehr sehr... sehr viele Probleme, die mit keinem Computer gelöst werden können!

58 Rechnen mit einem Rechner Wir wissen jetzt also: Computer können etliche Rechenaufgaben lösen. Können dabei aber auch Probleme haben: Größte, kleinste Zahlen, Genauigkeit, Vergleich, Operationen,... Es gibt auch Rechenaufgaben, die nicht algorithmisch gelöst werden können. Es gibt auch sehr viele andere Aufgaben, für die kein Algorithmus existiert. Wer mit einem Computer arbeitet, sollte sich also ansehen, wie er arbeitet. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 44

59 Beispiel: Der euklidische Algorithmus in fünf Programmiersprachen Java (objektorientierte Sprache) C-Shell (Skriptsprache) s t a t i c i n t ggt ( i n t a, i n t b ) { i n t r ; while ( b!= 0) { r = a % b ; a = b ; b = r ; } return a ; } Prolog (logische Sprache) ggt (A, 0,A ). ggt (A, B, Z ) : U is A mod B, ggt (B,U, Z ). Haskell (funktionale Sprache) ggt : : Integer > Integer > Integer ggt a b b == 0 = a otherwise = ggt b ( a mod b ) set a =... ; set b =... while ( $b!= r = $a % $b set a = $b set b = $r end echo $a C (imperative Sprache) i n t ggt ( i n t a, i n t b ) { i n t r ; while ( b!= 0) { r = a % b ; a = b ; b = r ; } return a ; }

60 Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Wir freuen uns, dass Sie sich für Braunschweig als Studienort entschieden haben und begrüßen Sie als neue Student(inn)en. Für Ihr Studium wünschen wir Ihnen viel Erfolg. Vorkurs WS 2014/2015 Werner Struckmann Wie rechnet ein Rechner? Seite 46