Wozu braucht man Vektorrechnung bei der Datenübertragung?

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1 Wozu braucht man Vektorrechnung bei der Datenübertragung? Henrik Schulze Fachhochschule Südwestfalen Meschede Nürnberg,

2 Überblick Eigenschaften von Vektoren Signale als Vektoren Projektion, Skalarprodukt und Orthogonalität Detektoren und Matched Filter Interferenzfreiheit und orthogonale Signale ( OFDM) Gaußsches Rauschen als Vektor Physikalische Messung und mathematisches Modell Optimale Empfänger und Projektionen Kanalcodierung und Vektoren im R N Zusammenfassung und Ausblick

3 Vektoren Vektoren a, b, c haben jeweils eine Richtung und einen Betrag (eine Länge ) a, b, c. Man kann sie a b addieren c = a+b mit einer Zahl (einem Skalar) σ a multiplizieren b = 5 2 a und und erhält wieder Vektoren, wobei die üblichen Rechengesetze gelten (Distributiv-, Assoziativ-, Kommutativgesetz). Vektorraum-Struktur

4 Diskrete Signale sind Vektoren Nicht nur die vertrauten 2D- oder 3D- Vektoren haben diese Struktur, sondern auch N-dimensionale diskrete Signale s[n] s (Audiosamples o.ä.): s = s 1 s 2. s N mit s 1 = s[1], s 2 = s[2],... Unendliche Dimension (N ) ist möglich: Diskrete Signale endlicher Energie E s = s n 2 < n=1 bilden einen Vektorraum, weil E s, E r < E s+r < und E σs <

5 Zeitsignale als Vektoren Nicht nur diskrete Signale haben diese Struktur, sondern auch (diverse Klassen von) von Signalen (z.b. die stetigen Funktionen). Man kann sie genauso addieren und mit Skalaren multiplizieren. Funktionen mit gewissen Eigenschaften sind Vektoren! Die quadratintegrablen Funktionen sind Vektoren Das sind gerade die Signale s(t) mit endlicher Energie E s = s(t) 2 dt < Denn: Bei Addition und Multiplikation mit einem Skalar bleibt die Energie endlich: E s, E r < E s+r < und E σs <

6 Koordinatensysteme: Kraftvektor Beispiel: Kraftvektor im 3D F = F 1 e 1 + F 2 e 2 + F 3 e 3 e 1, e 2, e 3 : F 1, F 2, F 3 : Basis eines kartesischen Koordinaten-Systems Koordinaten in dieser Basis (=Projektionen) F 2 F e 2 e 1 F 1

7 Koordinatensysteme: Signalvektor Beispiel: Übertrage Vorzeichen-Symbole s i mit dem Puls g(t) im Symboltakt T : s(t) +g(t) +g(t T) +g(t 3T) 0 T 2T 3T 4T g(t 2T) t s(t) = s 0 g(t)+s 1 g(t T)+s 2 g(t 2T)+...+s L g(t LT) Die verzögerten Pulse g i (t) = g(t it) sind die Basis und die Symbole s i sind die Koordinaten in dieser Basis. s(t) = s 0 g 0 (t)+s 1 g 1 (t)+...+s L g L (t)

8 Skalarprodukt geometrisch Im euklischen Raum (z.b. 3D): u v = u v cosϕ u ϕ v u cosϕ Mit Skalarprodukten beschreibt man Projektionen: F v ϕ F F F = (v F) v ist die Komponente der Kraft F parallel zum Einheitsvektor v

9 Das Skalarprodukt in Dirac- Schreibweise Die Bra-Ket-Notation der Quantenmechanik Schreibweise: u v u v Bracket: u nennt man Bra-Vektor, v nennt man Ket-Vektor. Projektion der Kraft auf den Einheitsvektor v: F = v(v F) F = v v F ist die Komponente der Kraft F parallel zum Einheitsvektor v und P v = v v ist der Projektor auf den (Einheits-) Vektor v. Projektion = Multiplikation mit einem Bra-Vektor v

10 Berechnung des Skalarproduktes; Orthogonalität Für (komplexe) Vektoren u, v mit Koordinaten u i und v i : u v = i u ( ) i v i Für (komplexe) Signale u u(t) und v v (t) endlicher Energie: u v = u ( ) (t) v (t) dt Definition: u und v nennt man orthogonal, falls u v = 0 Schreibweise: u v

11 Orthogonalität der Quadraturkomponenten Quadraturmodulation der Tiefpass-Signale x (t) und y (t): s(t) = 2 x (t) cos(2πf 0 t) 2 y (t) sin(2πf 0 t) y(t) t x(t) x (t) cos(2πf 0 t) y (t) sin(2πf 0 t) z(t) = x (t)+jy (t) s(t) = ( x (t) y (t) )

12 Orthonormale Basis und Koordinaten als Projektionen Orthonormale 1 Basisvektoren e i : e i e k = δ ik Entwicklung nach einer orthonormalen Basis: u = k e i u = k u k e k (Projektion auf e i ) u k e i e k (wegen e i e k = δ ik ) u i = e i u Die u i sind die Projektionen auf die Basisvektoren e i. 1 Orthonormal steht für orthogonal und normiert

13 Signale als diskrete, endlich-dimensionale Vektoren Die Signale s(t) = s = L s i e i (t) bzw. i=1 L s i e i kann man sich als Vektoren im L - dimensionalen Raum vorstellen: i=1 s 2 s e 2 e 1 s 1 Wegen s i = e i s ist e i der Detektor für das Symbol s i. In der Nachrichtentechnik nennt man ihn Matched Filter

14 Trennbarkeit: Freiheit von Intersymbolinterferenz (ISI) Trennbarkeit =Orthogonalität. Grundprinzip: s 1 e 1 (t) s 2 e 2 (t) s 3 e 3 (t)... e 1 (t)( )dt s 1 k s ke k (t) e 2 (t)( )dt s 2 e 3 (t)( )dt s 3... Orthogonale Detektoren Der Detektor e i e i (t)( ) dt filtert die Information s i zu Puls Nr. i heraus und blendet alle anderen aus, wie ein Polarisationsfilter Stichworte: Matched-Filter (MF) - Empfänger, Korrelationsempfänger, OFDM-Filterbank

15 Beispiele für orthonormale Basis (-Signale) Basis-Signale e i (t), die die Orthonormalitätsbedingung e i e k = e ( ) i (t) e k (t) dt = δ ik erfüllen: h(t) 1 Pulse g(t) im Symboltakt T : e i (t) = g(t it) T 0 T 2T 3T Orthogonalitätsbedingung h(t) = g ( ) ( t) g(t) erfüllt die Nyquistbedingung h(it) = δ i0 2 Die Fourier-Basissignale e k (t) = 1 T exp ( j2πk t ) T für das Intervall [0, T] sind orthonormal OFDM = Orthogonal Frequency Division Multiplexing t

16 OFDM= Orthogonal Frequency Division Multiplexing Fourier-Basissignale auf [0, T] : e k (t) = 1 T e j2πf k t mit f k = k T Sendesignal mit Daten in {s k } K/2 k= K/2 : s = K/2 k= K/2 s k e k Fourieranalyse (=Projektion) liefert die Koordinaten zurück: s k = e k s = T 0 1 T e j2πf k t s(t) dt

17 Übertragung mit Rauschen Without noise, communication is no fun! (James Massey) Betrachte reellen AWGN (additive white Gaussian noise)-kanal: r (t) = s(t)+n(t) Das Sendesignal s(t) ist endlich-dimensional, aber das weiße Rauschen n(t) ist kein anständiges Signal: Weißes Rauschen gibt es physikalisch nicht (P = ) AWGN ist eine mathematische Fiktion 2, ähnlich demδ-puls es ist als Grenzwert anständiger Signale zu erklären oder man muss mit anständigen Signalen multiplizieren und überintegrieren Filtern Außerdem ist das weiße Rauschen ein stochastischer Prozess. 2 eine verallgemeinerte Funktion oder Distribution

18 Wie definiert man (reelles) AWGN? Skizze einer mathematischen Formulierung durch eine physikalische Messvorschrift Definition AWGN der Dichte N 0 ist ein (distributiver) stochastischer Prozess n(t) mit folgender Eigenschaft: Für ein beliebiges reelles Signal g(t) mit endlicher Energie ist n g g n = g(t) n(t) dt eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsvariable (GZV) der Varianz { } E ng 2 = N 0 g g. 2 Das Rauschen ist also durch seine Detektor-Outputs definiert! Diese liefert z.b. ein Spectrum Analyser

19 Exkurs: Prinzip eines (linearen) Messgerätes Ein Messgerät liefert aus viele (lineare) Messungen zu jeder Messung gehört ein Detektor Messgerät Detektor g 1 Messwert 1 Signal Detektor g 2 Messwert 2... Detektor g 3 Detektoren Messwert 3 (ggf. + Statistik) Die Menge aller theoretisch möglichen Messwerte 3 legt das Signal fest, aber kein Gerät kann diese alle messen! Manche Signale sind nicht unterscheidbar man nennt das begrenztes Auflösungsvermögen Deshalb darf man auch mit fiktiven Signalen wie δ(t) oder n(t) rechnen: Der Fehler ist nicht messbar! 3 ggf. + deren Statistik

20 Detektion des Rauschen mit orthonormaler Basis Betrachte orthonormale Basis von Pulsen e i (t) e i und die zugehörigen Detektoren e i. Detektor-Outputs sind die GZV n i = e i n = e i (t) n(t) dt mit der Varianz { } E ni 2 = N 0 2. Satz Die GZV n i sind unkorreliert (und damit statistisch unabhängig): E{n i n k } = N 0 2 δ ik

21 Einschub: Beweis durch Charakteristisches Funktional Beweis. Für AWGN gilt nach Definition { C[g] = E e j g n } = e 1 2 σ2 g g, σ 2 = N 0 /2. Berechne C[λ 1 g 1 +λ 2 g 2 ] λ1,λ 2 =0 und erhalte E{ g 1 n n g 2 } = σ 2 g 1 g 2 Mit g 1 = e 1 und g 2 = e 2 folgt die Behauptung.

22 Was braucht der Empfänger? Sendesignal: s(t) = Empfangssignal: L s k e k (t) mit e i e k = δ ik k=1 r (t) = s(t)+n(t) Detektor-Outputs r i = e i r diskreter Kanal: r i = s i + n i bzw. als Vektoren geschrieben: r = s+n Problemstellung: Welche Folge {s k } L k=1 wurde am wahrscheinlichsten gesendet? Enthalten die {r k } L k=1 alle nötige Information, um diese zu ermitteln?

23 Sufficient Statistics der MF-Outputs Die Antwort ist Ja! Satz Die Folge {r k } L k=1 (bzw. der Vektor r) enthält alle Information zur optimalen Schätzung der wahrscheinlichsten Sendefolge {s k } L k=1 (des wahrscheinlichsten Sendevektors r).

24 Sufficient Statistics der MF-Outputs Beweisskizze Gegeben: Die Detektor-Outputs r i zu e i (t) (i = 1,..., L); gedachte zusätzliche Detektoren e L+1 (t),... orthogonal zu e 1 (t),..., e L (t) liefern Outputs n L+1,... (n L+1,...) Zusätzliche Detektoren Rauschvektor (alle Dimensionen). s n (r 1,..., r L ) Dimensionen zu den Detektoren 1 bis L

25 Sufficient Statistics der MF-Outputs Beweisskizze Gegeben: Die Detektor-Outputs r i zu e i (t) (i = 1,..., L); gedachte zusätzliche Detektoren e L+1 (t),... orthogonal zu e 1 (t),..., e L (t) liefern Outputs n L+1,... (n L+1,...) Zusätzliche Detektoren Rauschvektor (alle Dimensionen). s n (r 1,..., r L ) Dimensionen zu den Detektoren 1 bis L Damit erhält man aber nicht mehr brauchbare Information als durch den Vektor r = s+n

26 Sufficient Statistics der MF-Outputs Beweisskizze Gegeben: Die Detektor-Outputs r i zu e i (t) (i = 1,..., L); gedachte zusätzliche Detektoren e L+1 (t),... orthogonal zu e 1 (t),..., e L (t) liefern Outputs n L+1,... (n L+1,...) Zusätzliche Detektoren Rauschvektor (alle Dimensionen). s n (r 1,..., r L ) Dimensionen zu den Detektoren 1 bis L Damit erhält man aber nicht mehr brauchbare Information als durch den Vektor r = s+n Denn: Wegen der Orthogonalität sind die n L+1,... statistisch unabhängig von s und r Pr(s r, n L+1,...) = Pr(s r)

27 Maximum Likelihood Sequence Estimation (MLSE) Diskreter, L-dimensionaler AWGN-Kanal: r = s+n Annahme: Alle Sendevektoren s sind gleich wahrscheinlich. Die bedingte Wahrscheinlichkeit für s bei gegebenem Detektor-Output r lautet: ( ) Pr(s r) p(r s) = (πn 0 ) N 2 exp r s 2 N 0 Maximal, wenn r s! = min Man schreibt auch für den wahrscheinlichsten Sendevektor ŝ = arg min( r s ) s

28 MLSE geometrisch Minimiere die quadratische euklidische Distanz (QED): r s 2 = ŝ s 1 s 3 s 4 ŝ = arg min s ( r s ) = s 2 ist der ML-Vektor

29 Paarfehlerwahrscheinlichkeiten im AWGN-Kanal Fehlerereignis: Sende s 1, aber Empfänger entscheidet auf s Entscheiderschwelle 10 1 s 2 = ŝ r n 12 s 1 Paarfehlerwahrsch Fehlerwahrscheinlichkeit: /N0 12 [db] Pr(s 1 s 2 ) = 1 e 1 x N 2 0 dx = 1 2 πn erfc 12 N 0

30 MLSE geometrisch Korrelationsempfänger bei Signalen gleicher Energie Es gibt M mögliche Sendesignale. Wichtiger Spezialfall: s 1 2 = s 2 2 =... = s M 2 alle Signale haben die gleiche Energie. Dann gilt 4 : ŝ ŝ = arg min( r s ) s = arg max(s r) s Maximiere die Korrelation minimiere den Winkel: s 2 = ŝ r ϕ 2 ϕ 1 s 1 4 Binomische Formel: r s 2 = r r 2s r+s s

31 Das Prinzip der Kanalcodierung geometrisch interpretiert (Informationstheorie; Shannon 1948) In höher-dimensionalen Räumen ist viel Platz! Kann große Distanzen zwischen Vektoren s k erzielen Betrachte z.b. 2 K Sendevektoren der Länge N s 1k s 2k s k =., s ik {±1} (BPSK) s Nk und übertrage damit nur K statt N Bits (K < N). 2 K statt 2 N Vektoren; Codematrix S = [s 1,..., s N ] (N, K)-Blockcode mit N K Bits Redundanz Redundanz vergrößert Distanzen, verringert aber die Bitrate.

32 Beispiel: Tetraeder-Code = (3,2)-SPC-Code SPC=Single Parity Check 3D Konstellation bei SNR I =10 db r r r 1 2 S =

33 Decodierbeispiel für den Tetraeder-Code Empfangsvektor: r = ( ) T MLSE-Skalarprodukte stehen in der Zeile r T S = ( ) ist der ML-Vektor. = ( ) s 3 = Der SPC-Code kann Fehler korrigieren, wenn man den richtigen Decoder verwendet!

34 Zusammenfassung und Anmerkungen Vektoren in der Signaltheorie: Die Anschauung erleichtert den Formalismus Oft reichen Bilder in zwei Dimensionen Viele moderne Übertragungsverfahren lassen sich geometrisch veranschaulichen. Beispiel: Mehrfach-Antennensysteme (MIMO) Übrigens: Schon Shannon hat seine berühmte Formel zur Kanalkapazität geometrisch erklärt