4L Die Normalverteilung

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1 L. Normalverteilung L Die Normalverteilung Zufallsverteilungen lassen sich in der Natur gut beobachten, denn die Natur setzt bei ihrer Fortpflanzungsstrategie auf den totalen Überfluss. So ergab zum Beispiel eine Kastaniensammlung der Klasse IMM der Ma Eth Schule Kassel im September, bei der die Massen gewogen wurden, folgendes Ergebnis. Wie schwer ist eine Kastanie? 5 Anzahl der Kastanien Masse in g Bild L: Verteilung von augelesenen Kastanien Gauß kam dem Zufall auf die Spur Immer dann, wenn nur der Zufall entscheidet, entsteht die Normalverteilung. Sie ist also so alt wie die Natur. Es ist das Verdienst von Carl Friedrich Gauß ( ) dass er diese Zufallsverteilung berechenbar gemacht hat. Seine berühmte Formel war auf dem letzten,dmschein aufgedruckt. Y = π σ e (µ σ i ) Normalve.dtp Seite L

2 L. Normalverteilung Kennzeichen der Normalverteilung Wenn nur zufällige Fehler auftreten, so ergibt sich bei unendlich vielen Messungen stets eine Normalverteilung nach Gauß (Glockenkurve). Das Galton'sche Nagelbrett gilt als Hilfsmittel zur modellmäßigen Darstellung einer Normalverteilung. Die Eigenschaften der Gaußschen Kurve Sie ist smmetrisch zum Mittelwert Beide Äste nähern sich asmptotisch der Messwertachse Beide Äste durchlaufen einen Wendepunkt Der Wendepunkt liegt immer in 6% der Scheitelhöhe Der Abstand beider Wendepunkte vom Mittelwert wird als Standardabweichung bezeichnet Zwischen den durch die einfache Standardabweichung (Wendepunkte) gekennzeichneten Messwerten liegen stets 68,6% der Teile. Diese Prozente muss man sich merken! Zwischen quer +/ s liegen stets 68,6% der Teile Abb.: Galtonbrett als Modell für Normalverteilung Zwischen quer +/ s liegen stets 95,% der Teile Zwischen quer +/ s liegen stets 99,7% der Teile Zwischen quer +/ s liegen stets 99,99% der Teile Tabelle l: Prozentsätze der Normalverteilung Die Normalverteilung zeigt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit (g() die einzelnen Messwerte vom Mittelwert µ abweichen. Sie ist eindeutig bestimmt durch die Parameter Mittelwert und Standardabweichung. quer = Mittelwert einer Stichprobe µ = Mittelwert einer Gesamtheit s = Standardabweichung einer Stichprobe σ = Standardabweichung einer Gesamtheit Normalve.dtp Seite L

3 L. Normalverteilung Die Verteilungsprozente Wird zum Beispiel die Forderung gestellt, dass bei einer Stichprobe der sbereich innerhalb der Toleranzgrenzen liegen soll, so beträgt der maimale Fehleranteil,7%. Wenn quer +/ s im Toleranzbereich liegt, dann ist Prozessfähigkeit gegeben, da cp >, ist. Dann ist die Fehlerprozentzahl,6%. Diese kleine Prozentzahl wird häufig in ppm (parts per million) ausgedrückt (siehe Kasten). Regel: % * = ppm 6,6% =,6 = = 6 ppm Übungsbeispiel L: Bei einer Fertigungsserie wurden der Mittelwert mit, und die Standardabweichung mit, ermittelt. Geben Sie bitte an, wieviel % der Teile über dem Wert, zu erwarten sind und wieviele Teile in % unter, erwartet werden. Normalve.dtp Seite L

4 L. Normalverteilung Die graphische Darstellung der Normalverteilung Die Darstellung von Funktionen ist aus der Mathematik geläufig. Hier sind zunächst einige Beipiele der Darstellung mit Wertetabellen. Sie zeigen die Einordnung der Normalverteilung in diesen Kontet. Die Gerade = Die Parabel = Die Hperbel =,5,5,5 Der Kreis Die efunktionen Normalverteilung = = e = e = e (quer ) s,5,7,7,8,5,5,7,7,8 Normalve.dtp Seite L

5 L. Normalverteilung Graphische Darstellung der Normalverteilung Aufgabe: Zeichnen Sie eine Normalverteilungskurve Gegeben: Die Auswertung einer Stichprobe hat folgendes Ergebnis gebracht: Spezifikation 8 +/,5 mm Mittelwert quer = 8, mm Standardabweichung s =, mm Verwenden Sie zur punktweisen Berechnung die Wertetabelle und die Formel L = 8 e Formel L (quer ) s Wertetabelle: Hier die Punkte einzeichnen X Y 7,6,9 7,7, ,8, ,9, ,95, , ,5 6, , 7, ,5 7, , 8 8,5 7, , 7, , 7,6 7,8 8 8, 8, 8,6 8,8 8,5 6, ,, ,5, Beispiel für ersten Punkt (7,6): 8,5, ,6,86866 (7,6) = 8 e (8, 7,6), =,889 Normalve.dtp Seite L 5