Praktikumsprotokoll: Galton-Brett

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1 Praktikumsprotokoll: Galton-Brett Robin Marzucca, Andreas Liehl 26. November 2010 Protokoll zum Versuch Galton-Brett, durchgeführt am an der Universität Konstanz im Rahmen des physikalischen Anfängerpraktikums I von Robin Marzucca und Andreas Liehl unter Tutor Bernhard Herzog. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Grundlagen Zentraler Grenzwertsatz Binomialverteilung Normalverteilung und Mittelwert Standardabweichung und Varianz Der Versuch Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Verhalten der Kugeln im Labyrinth Messungen Auswertung Theoretische Verteilung Aufgabe Aufgabe Experimentelle Bestimmung der Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel nach rechts abgelenkt wird Verringern der Standardabweichung Fehlerfortpflanzung Fragen und Antworten 13 1

2 1 Einleitung Das Galton-Brett, benannt nach dem engl. Statistiker und Wissenschaftler Sir Francis Galton ist ein zentraler Versuch der Statistik. Dabei fallen Kugeln unter Einfluss der Erdgravitation durch ein Labyrinth nach unten und sammeln sich in Fächern. Man beobachtet in der Regel, dass die meisten Kugeln in die Mitte fallen und die Anzahl nach außen hin stark abnimmt. Diese Verteilung nennt man die sog. Binomialverteilung oder auch Normalverteilung, die bei wissenschaftlichen Experimenten häufig auftritt sie wird durch die Kugeln veranschaulicht. Somit ist der Versuch für das Grundverständnis von experimentalphysikalischer Arbeit enorm wichtig, da sich bei vielen Versuch jeglicher Art die Normalverteilung nach und nach einstellt, wiederholt man das Experiment nur häufig genug. Der genaue Ablauf des Versuchs zum Galton- Brett, sowie deren Theorie und Praxis wird im Folgenden genauer erläutert. 2 Grundlagen 2.1 Zentraler Grenzwertsatz In der Experimentalphysik entstehen bei einem Versuch in der Regel viele verschiedene Messwerte, die immer etwas vom wahren Wert abweichen. Bei der Abweichung vom wahren Wert unterscheidet man zwischen semantischen Fehlern und statistischen Fehlern. Semantische Fehler lassen sich vermeiden, sie sind bedingt durch einen fehlerhaften Versuchsaufbau oder eine fehlerhafte Messung. Statistische Fehler hingegen sind nicht Ursache eines falschen Versuchsaufbaus oder einer fehlerhaften Messung, sondern sie kommen durch Einflüsse von außerhalb zufälliger Natur zustande. Überlagert man nun die Messwerte bei einem Versuch frei von semantischen Fehlern, so erhält man näherungsweise den wahren Wert. Dieser Sachverhalt wird durch den Zentralen Grenzwertsatz wie folgt definiert: Eine Messgröße möge aus der additiven Überlagerung von vielen zufälligen Einzelgrößen entstehen, die statistisch unabhängig voneinander sind und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen jeweils eine endliche Varianz haben, aber sonst beliebig und möglicherweise auch verschieden verteilt sind. Dann ist die Messgröße näherungsweise normalverteilt. Die Näherung gilt umso besser, je mehr zufällige Einzelgrößen einwirken. Mit diesem Hintergrund kann man theoretisch den wahren Wert bei N Versuchsdurchläufen nur für N erhalten. Bei statistischen Fehlern ist entscheidend, dass sie durch unabhängige, verschiedene physikalische Einflüsse bedingt sind. Liegt kein semantischer Fehler vor, sondern nur statistische, so sagt man, die Messergebnisse sind normalverteilt. Dann werden die Messwerte durch die sog. Normalverteilung (siehe 2.3) beschrieben. 2.2 Binomialverteilung Die Binomialverteilung beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Zufallsexperiment. Dabei wird das Experiment N-mal hintereinander ausgeführt, wobei jeweils nur zwei mögliche 2

3 Ereignisse eintreten können. Entscheidend dabei ist, dass die Experimente unabhängig voneinander sind. Man berechnet die Wahrscheinlichkeit p, dass bei N-maliger Ausführung n-mal das Ereignis eintritt über die Binomialverteilung mit der Formel: ( ) N p N (n) = (1 p) N n p n (1) n Beim Galtonschen Brett ist das Messergebnis binomialverteilt (s.u.). 2.3 Normalverteilung und Mittelwert Wie bereits in der Einleitung erwähnt, so stellt sich für N nach und nach die sog. Normalverteilung (oder auch Gauss-Verteilung) ein. Die Dichte der Normalverteilung ist eine Kurve, die an die Binomialverteilung angenähert ist und berechnet sich durch die Funktion f(n) = 1 σ 2π (n µ) 2 e 2σ 2 (2) wobei σ die Standardabweichung (siehe 2.4) und µ der zu erwartende Mittelwert der Messwerte ist. Aufgrund ihrer Form, die dem Querschnitt einer Glocke ähnelt, wird diese Kurve auch als die Glockenkurve bezeichnet. Über Integration von a bis b dieser Dichtefunktion lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte im Intervall [a; b] berechnen. Dementsprechend ist logischerweise: f(n) = 1 Mittels Differentialrechnung erhält man das Maximum dieser Funktion, was bei f (n) = 1 σ 2π f (n) = 0 n = µ 2 (n µ) 2σ 2 e (n µ) 2 2σ 2 liegt. Entsprechend lassen sich die Wendepunkte bei n = µ ± σ, d.h. jenseits der Standardabweichung flacht die Kurve auf beiden Seiten ab. Interessant wäre noch zu wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Messwert innerhalb der Standardabweichung bzw. der doppelten Standardabweichung landet. Man berechnet: n+σ n σ n+2σ n 2σ f(n) 68, 3% (3) f(n) 95, 4% (4) Man nennt diese Intervalle auch den sog. Vertrauensbereich. 3

4 Aber Vorsicht! Diese Funktion ist keine exakte Reproduktion, sondern nur eine Näherung der Binomialverteilung und deshalb nicht immer problemlos anwendbar. Die Funktion ist leider nicht sehr präzise für p > 99% p < 1%. Diese Normalverteilung, die den Sachverhalt des Zentralen Grenzwertsatzes beschreibt, spielt wie bereits erwähnt in der Experimentalphysik eine wichtige Rolle. Erhält man bei einem Versuch eine Reihe von an Messwerten, x 1, x 2, x 3,..., x N, so geht man sofern das Versuch frei von semantischen Fehlern ist davon aus, dass die Werte normalverteilt sind und man kann den Mittelwert berechnen durch: x = 1 N N i=1 x i Führt man den Versuch des Galton-Bretts häufig genug aus, so lässt sich der Grenzwertsatz mathematisch auch auf diese Messwerte anwenden und die Anzahl der Kugeln in den einzelnen Fächern lässt sich näherungsweise durch die Funktion für die Normalverteilung beschreiben. Der zu erwartende Mittelwert bei N Ablenkungen pro Kugel berechnet sich dann durch die Formel µ = N p N (n) n = N p (6) i=1 und die Standardabweichung gemäß σ = N p (1 p) (7) Nun haben wir bereits einen Begriff vorweg genommen, die sog. Standardabweichung. Was genau die Standardabweichung ist, soll nun kurz erläutert werden. (5) 2.4 Standardabweichung und Varianz Standardabweichung und Varianz sind Größen, die die Streuung, also konkret die Abweichungen vom wahren Wert, beschreiben. Zwar erhält man bei vielen Versuchsdurchläufen, die frei von semantischen Fehlern sind, in der Regeln über den Mittelwert der Messwerte näherungsweise den wahren Wert, jedoch muss man davon ausgehen, dass man letztendlich noch noch minimal daneben liegt. Deshalb kann man den endgültigen Wert nur ungefähr angeben. Man rechnet dann mit der Standardabweichung, welche sich bei N Versuchsdurchläufen mit den Messwerten x 1, x 2,..., x N allgemein berechnet durch: σ x = 1 N 1 N (x i x) 2 (8) i=1 wobei man für den Mittelwert die empirische Standardabweichung des Mittelwerts berechnen muss mittels der Formel: σ x = σ x 1 N (x i x) N N(N 1) 2 (9) i=1 Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. 4

5 3 Der Versuch In einem Versuch mit dem Galton-Brett sollen nun die beschriebenen Zusammenhänge veranschaulicht und überprüft werden. Das Galton - Brett ist hierfür besonders gut geeignet, da schon der Aufbau eine sehr gute Binomialverteilung verspricht. 3.1 Versuchsaufbau Abbildung 1: Aufbau des Galton-Bretts mit N + 1 = 11 Fächern [1] Gearbeitet wird mit einem Galtonschen Brett aus präzisionsgefrästem Plexiglas (siehe Abb. (1)), in welchem sich 256 Kugeln befinden. Der Aufbau des Galtonschen Brettes lässt sich in drei Teile gliedern. Oben befindet sich der Kugelspeicher, in dem sich bei Versuchsbeginn die 256 Edelstahlkügelchen befinden. Von dort rollen die Kügelchen in das Labyrinth, das den mittleren Teil des Brettes darstellt. Es besteht aus 10 Ebenen, die die Kugeln durchlaufen, wobei sie auf jeder Ebene entweder nach rechts oder nach links abgelenkt werden. Anders, als beim original Galton-Brett wird die Ablenkung hier durch Sechsecke, statt durch Nägel hervorgerufen. Nach diesem Labyrinth werden die Kügelchen im dritten Teil des Galton schen Brettes, in den elf verschiedenen Fächern aufgefangen. 3.2 Versuchsdurchführung Im Laufe des Versuches werden die 256 Kügelchen zehnmal komplett in das Labyrinth geleitet, worauf nach jedem Durchlauf die Verteilung auf die 11 Fächer notiert wird. 5

6 Im Anschluss soll auf Basis der Messwerte auf das Verhalten der Kügelchen an den Abzweigungen des Labyrinths geschlossen werden Verhalten der Kugeln im Labyrinth Die Kügelchen gelangen zu Beginn über eine treppenähnliche gestufte Bahn in das Labyrinth, die dafür sorgt, dass die Kugeln mit einem gewissen zeitlichen Abstand in das Labyrinth gelangen und sich somit nicht gegenseitig beeinflussen. Gleich zu Beginn gelangt die Kugel an den ersten sog. Prellstreuer, der von einer Ecke, den beiden benachbarten Kanten des Sechsecks und von den beiden benachbarten Sechsecken gebildet wird. Hier prallt die Kugel nun so lange von den Seitenwänden ab, bis sie schließlich entweder nach rechts oder nach links abgelenkt wird. Für den Weg zurück nach oben hat sie auf Grund der vielen unelastischen Stöße an den Seitenwänden des Labyrinths zu wenig kinetische Energie. Jetzt gelangt die Kugel weiter zu einem sog. Prelltrichter, in welchem sie wiederum auch so lange an den Kanten benachbarter Sechsecke abprallt, bis sie schließlich nach unten zum nächsten Prellstreuer weitergeleitet wird. Dieser Vorgang wird in Abb. (??) veranschaulicht. Das Ganze wiederholt sich nun für jede Kugel zehnmal, bis sie schließlich, je nach Weg, den sie genommen hat, in einem der elf Fächer landet. Abbildung 2: Elementarprozess: eine Kugel fällt auf den Prellstreuer und wird dann in einen der beiden Prelltrichter weitergeleitet [1] Zwar ist es in der Theorie möglich von den genauen Anfangsbedingungen, also Ort und Impuls auf das Fach zu schließen, in dem die Kugel letztendlich landet, man kann jedoch dennoch von einem Zufallsexperiment sprechen, da sich einerseits Ort und Impuls niemals beliebig genau bestimmen lässt, und auf der anderen Seite sich die geringsten äußeren Einflüsse letztlich exponentiell auswirken und es somit unmöglich für uns ist eine Bewegungsgleichung für die einzelnen Kugeln zu erstellen. Wir können die Ablenkung am Prellstreuer also als rein Zufällig ansehen, wobei sich unter idealen Bedingungen eine Wahrscheinlichkeit für die Ablenkung nach rechts p r = p l = (1 p r ) = 0, 5 (10) unabhängig vom vorherigen Weg ergibt. 6

7 Nach jeder Ablenkung bleibt also die Informationsmenge 1 bit erhalten, und wir können den Weg eines Kügelchens als 10-Stelligen Binärcode angeben, wobei die 1 eine Ablenkung nach rechts und die 0 für eine Ablenkung nach links repräsentiert. Am Ende bleibt als Information noch die Nummer des Fachs übrig (siehe auch das Beispiel in Abb. (3)). Abbildung 3: Beispiel für eine Kugel, die im Fach 6 landet. Der Binärcode ist dementsprechend [1] Messungen Bei der Durchführung des Versuchs wurden insgesamt 10 Versuchdurchläufe getätigt, wobei in jedem Versuch 256 Kugeln durch das Labyrinth in die Fächer liefen. In der folgenden Tabelle sind die Verteilungen der Kugeln auf die 11 Fächer in den einzelnen Versuchsdurchläufen aufgelistet. Nach rechts sind die jeweiligen Fachnummern F n aufgetragen und nach unten die Nummer des Versuchsdurchlauf. 7

8 Nr. / F n Gesamt Mittelwert 0,4 4,3 11, , ,2 31,6 12 3,7 0,4 Tabelle 1: Messwerte bei den 10 Versuchsdurchläufen. Die letzte Spalte zeigt den Mittelwert der 10 Messdaten der Kugeln im Fach n, gemäß Gleichung (5). Diese Werte können wir nun zur Veranschaulichung in einem Diagramm darstellen: Abbildung 4: Darstellung der Messwerte im Diagramm. Man kann hier schon näherungsweise die Binomialverteilung erkennen. 8

9 Im Folgenden Vergleichen wir die von uns gemessenen Verteilungen mit den Idealwerten der theoretischen Verteilung auf Grund der Betrachtung der einzelnen, unabhängigen Zufallsexperimente, die schließlich den Weg der Kugel bestimmen. 4 Auswertung 4.1 Theoretische Verteilung Wie in Abschnitt bereits geschrieben, lässt sich das Fach, in dem die Kugel letztlich landet in Abhängigkeit der Anzahl der Ablenkungen nach Rechts bzw. nach links und damit schließlich als Binärcode darstellen. Man kann also, da wir als Wahrscheinlichkeit für eine Ablenkung nach rechts p r = p l = 0.5 annehmen (Gleichung (10)) können, die theoretische Verteilung anhand des Binomialkoeffizienten errechnen. Dafür betrachten wir zunächst die Anzahl der möglichen Wege, die zu einem Feld führen. So ist es zum Beispiel nur möglich in das Feld ganz links zu gelangen, wenn die Kugel an jeder Abzweigung nach links abgelenkt wird. Wenn wir für jede Linksablenkung eine 0 registrieren und für jede Rechtsablenkung eine 1, so können wir die Wege über den Binärcode darstellen. Demnach wäre der Binärcode für den Weg zum Fach 0 ist also , der zum 10. Fach entsprechend Die Anzahl der 1en im Binärcode gibt also die Nummer de Faches an, in dem die Kugel landet. Die Anzahl der Wege zum Fach n der insgesamt N + 1 = 11 Fächer erhalten wir schließlich über den Binomialkoeffizienten ( N n ) = N! n! (N n)! Da die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen möglichen Weg gleich ist genügt es nun die Anzahl der möglichen Wege zu einem jeden Fach durch die Gesamtzahl der Wege insgesamt (2 N = 2 10 ) zu teilen und wir erhalten die Wahrscheinlichkeit p mit der eine Kugel im Fach n landet: p n = ( N n ) 1 2 N = ( 10 n ) (11) (12) Die theoretisch zu erwartende Verteilung der Kugeln in einem Versuchsdurchlauf mit M = 256 Kugeln berechnet sich durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeit p für das Fach n mit 256: ( ) ( ) N 1 10 µ n = M p n = M n 2 N = n 2 10 (13) F n p n 0,001 0,0097 0,044 0,117 0,205 0,246 0,205 0,117 0,044 0,0097 0,001 1 µ n Tabelle 2: Erwartungswerte für die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Kugel im Fach n landet und theoretisch zu erwartende Anzahl Kugeln im Fach n bei einem idealen Durchlauf. 9

10 Diese Binomialverteilung kann nun nach dem zentralen Grenzwertsatz mit der Normalverteilung genähert werden, wobei sich für den Erwartungswert gemäß Gleichung (6) µ n = 5 und für die Standardabweichung nach Gleichung (7) σ n = 2, 5 1, 58 ergibt. Damit ist mit einer recht großen Abweichung von der Normalverteilung zu rechnen, da die Näherung nur für viele Versuchsdurchläufe und σ > 3 als gute Näherung angewandt werden kann. 4.2 Aufgabe 1 Nun wollen wir die Messwerte mit den Erwartungswerten vergleichen. Dazu verwenden wir die Mittelwerte aus Tabelle (1). Da aber nur 10 Versuchdurchläufe getätigt wurden, müssen wir natürlich mit einer Abweichung rechnen. Hierzu verwenden wir die Standardabweichung nach Gleichung (8). F n f(n) 0,44 2,63 10,68 29,02 52,88 64,59 52,88 29,02 10,68 2,63 0,44 µ n m 0,4 4,3 11, , ,2 31,6 12 3,7 0,4 σ n 0,16 0,83 0,59 1,24 2,21 2,29 1,45 2,24 0,84 0,42 0, Tabelle 3: Werten gemäß Normalverteilung berechnet durch Einsetzen von n in Gleichung (2), theoretisch zu erwartende Anzahl Kugeln im Fach n, gemessene Mittelwerte gemäß Messdaten in Tabelle (1) und berechnete Standardabweichung. 10

11 Das Histogramm sieht dann wie folgt aus: Abbildung 5: Dargestellt sind im Vergleich die Messwerte und die Idealwerte aus Tabelle (3). Bei den Mittelwerten, die aus den Messwerten hervorgehen ist jeweils die Standardabweichung aufgetragen. Leider ist sie an den Rändern so klein, dass sie kaum noch zu erkennen ist. 4.3 Aufgabe Experimentelle Bestimmung der Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel nach rechts abgelenkt wird Die experimentelle Bestimmung der Wahrscheinlichkeit verwendet ausschließlich die Messwerte aus Tabelle (1). Insgesamt gab es in den K = 10 Versuchsdurchläufen T = K N M = Ablenkungen. Nun summieren wir die Ablenkungen T r nach rechts und teilen durch die Gesamtzahl der Ablenkungen, wodurch wir den Mittelwert der Wahrscheinlichkeit erhalten, dass eine 11

12 Kugel nach rechts abgelenkt wird, wobei k die Nummer des Versuchsdurchlaufes und m(k, n) die Anzahl der Kugeln im Fach n im k-ten Versuch bezeichnetd: p r = T r T = N n=0 [n K k=1 m(k, n) ] = , 501 (14) Um den Vertrauensbereich für 68% auszurechnen benötigen wir die einfache Standardabweichung (siehe Gleichung (3)). Zur Vereinfachung benutzen wir die Näherungen: für viele Messungen (in unserem Fall 25600) gilt näherungsweise: T (T 1) T 2 p r p 0, 5 T r T l T 2 Daraus ergibt sich als empirische Standardabweichung des Mittelwerts gemäß Gleichung (9): σ p = 1 T (x t p) T (T 1) 2 T l (0 p) 2 + T r (1 p) 2 T l T r (T l + T r ) 2 = (15) (T l T r ) t=1 Aufgrund der letzten Näherung, die wir verwenden, vereinfacht sich der Rechenausdruck zu σ p 1 2 T (16) was uns die empirische Standardabweichung des Mittelwerts σ p 0, 003 liefert, d.h. wir können zu einer 68%igen Wahrscheinlichkeit sagen, dass der "wahre Wert"für p im Intervall [0,498; 0,504] liegt. Entsprechend können wir zu einer 95%igen Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass p im Intervall [0,495; 0,507] liegt. Hier rechnet man mit der doppelten Standardabweichung gemäß Gleichung (4). Anhand dieser Werte ist die Wahrscheinlichkeit, dass p > p + σ p aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Normalverteilung lediglich 1 0,68 2 = 0, Verringern der Standardabweichung Nun ist die Standardabweichung mit 0,3% allerdings noch relativ hoch. Um mit 95%iger Sicherheit einen Vertrauensbereich von p ± 0, 001 zu erhalten, hätten wir den Versuch jedoch öfters durchführen müssen. Wir berechnen, wie oft wir den Versuch hätten durchführen müssen mit: 2σ p! = 0, 001 T = 10 6 Nun ist aber auch T = K M N, und wir erhalten für die Anzahl K der Versuchsdurchläufe K = T M N = 391 d.h. wir hätten den Versuch 391 mal wiederholen müssen um mit 95%iger Sicherheit die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nach rechts abgelenkt wird mit 0,1%iger Sicherheit angeben zu können. 12

13 4.3.3 Fehlerfortpflanzung Anhand der gemessenen Wahrscheinlichkeit p wollen wir nun noch den Mittelwert µ und die Standardabweichung σ der Binomialverteilung der Kugeln in den Fächern berechnen. Allerdings müssen wir nun beachten, dass die gemessene Wahrscheinlichkeit p nicht exakt ist, d.h. wir müssen mit einem Fehler rechnen. Dazu verwenden wir die empirische Standardabweichung des Mittelwerts. Gemäß Gleichung (6) ergibt sich dann für den Mittelwert µ: µ = N p = N (p ± σ p ) = 10 (0, 501 ± 0, 003) = 5, 01 ± 0, 03 und für die Standardabweichung σ nach Formel (7): σ = N p (1 p) = 1, 581 ± δσ wobei wir noch den Fehler δσ berechnen müssen: also ist: δσ = σ p σ p 0, σ = 1, 581 ± 0, Fragen und Antworten Zum Schluss noch ein paar Erläuterungen auf die gestellten Fragen, sowie deren Antworten. a Zunächst ist gefragt, wie viele verschiedene Versuchsergebnisse bei unserer Ausführung des Galton-Bretts (11 Fächer und 256 Kugeln) möglich sind, wenn man die Kugeln unterscheidet. Dann hat jede der 256 Kugeln 11 verschiedene Möglichkeiten, wo sie im Endeffekt landet und es gibt demnach: N M = = 3, verschiedene Versuchsergebnisse. b Nun ist nach der Anzahl der Versuchsergebnisse gefragt, wenn man die Kugeln nicht unterscheidet. In diesem Fall, ist nur noch entscheidend, wie viele Kugeln in den einzelnen Fächern sind. Also gibt es: ( ) ( ) N + M 266 = = 4, N 10 verschiedene Versuchsergebnisse. 13

14 Anhang Literatur [1] pompe/scripts/galton-studentenfassung.pdf [2] [3] [4] [5] http : //de.wikipedia.org/wiki/zentraler_grenzwertsatz Abbildungsverzeichnis 1 Aufbau Galton-Brett [1] Prellstreuer und Prelltrichter 1 [1] Weg einer Kugel [1] Messwert-Diagramm Histogramm: Erwartungswerte vs Messwerte Tabellenverzeichnis 1 Messwerte Erwartungswerte Vergleichswerte