Sichtbarkeitsbestimmung

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1 Sichtbarkeitsbestimmung Oliver Deussen Sichtbarkeit

2 Problemdefinition Szenario: Gegebene Objektmenge wird von einem Augenpunkt aus betrachtet (perspektivische Projektion) Gegeben: Eine Menge M von Objekten im R k, M = n, ein Augenpunkt a Gesucht: Punkte p ɛ P der Oberflächen von Objekten aus M, die von a aus sichtbar sind Oliver Deussen Sichtbarkeit 2

3 hierbei wird unterschieden in: Löschen verdeckter Kanten (Hidden line elimination) Löschen verdeckter Flächen (Hidden surface removal) Definition: Sichtbarkeit Ein Punkt p aus einer Menge der Objektoberflächen ist von einem Punkt a aus sichtbar, wenn die Strecke ap von keinem anderen Objekt geschnitten (d.h. p verdeckt) wird. Oliver Deussen Sichtbarkeit 3

4 Repräsentation der Objektmenge: Menge von Strecken Menge von Flächen bzw. Polygonen punktweise evtl. Berechnung R n Projektionsebene nur für graphische Anwendungen interessant. (Frage nach Sichtbarkeit meint normalerweise Rundumsicht) Oliver Deussen Sichtbarkeit 4

5 Zwei Klassen von Algorithmen: Objektraumalgorithmen Berechnungen in Weltkoordinaten des jeweiligen Modells Vorteile: hohe Detailauflösung und Genauigkeit Beispiel: Plotterdarstellungen analytische Angabe der Resultate Nachteile: komplexe Verfahren schwer parallelisierbar / schwer in Hardware zu implementieren Oliver Deussen Sichtbarkeit 5

6 Bildraumalgorithmen Berechnungen in Bildschirmkoordinaten Vorteile: einfache Verfahren parallelisierbar / in Hardware zu implementieren Nachteile: beschränkte Genauigkeit hohes Daten-/Speicherplatzaufkommen Oliver Deussen Sichtbarkeit 6

7 Objektraumalgorithmen Schema eines Objektraumalgorithmus: for jedes Objekt der Szene do begin end; Bestimme die sichtbaren Teile des Objekts, die nicht von ihm selbst oder anderen Objekten überdeckt werden; Zeichne diese Teile in der entsprechenden Farbe; Darstellung sichtbarer Teile als: Menge von Strecken Bei Parameterdarstellung aller Strecken s(λ) = p + λ(p 2 p ), λ [0, ] Oliver Deussen Sichtbarkeit 7

8 als Menge von λ-intervallen S = {[λ, λ 2 ], [λ 2, λ 22 ],.., [λ m, λ m2 ]} P Menge von Flächen z.b. über Eckpunktfolgen mit Zeiger auf das Ausgangspolygon P 2 Grobe Aufwandsabschätzung (n Polygone): O(n 2 ) Oliver Deussen Sichtbarkeit 8

9 Bildraumalgorithmen Transformation des Problems in den Bildraum R k Genauigkeit des Algorithmus wird auf Pixelauflösung des Ausgabegerätes (z.b. Monitor) abgestimmt. Heute zumeist eingesetzt, weil gut in Hardware zu realisieren (insbesondere Tiefenpuffer) Oliver Deussen Sichtbarkeit 9

10 Schema eines Bildraumalgorithmus for jedes Pixel des Bildes do begin end; Lege einen Projektionsstrahl durch das Pixel Bestimme das vom Projektionsstrahl getroffene Objekt, das dem Betrachter am nächsten liegt; Zeichne das Pixel in der entsprechenden Farbe; Darstellung sichtbarer Teile als Pixel Grobe Aufwandsabschätzung (n Polygone, p Pixel): O(n p) Oliver Deussen Sichtbarkeit 0

11 Generelle Optimierungsmöglichkeiten Kostspielige Operationen: Prüfung auf Schnitt von Projektionsstrahl mit einem Objekt Prüfung auf Schnitt zweier Objekte (ob und wo) Bestimmung des dem Augenpunkt am nächsten gelegenen Objekts unterschieden werden zweierlei Maßnahmen: Laufzeit verbessern (Konstanten verbessern) Laufzeit asymptotisch verbessern ( O-Kalkül) Oliver Deussen Sichtbarkeit

12 Optimierungsmöglichkeiten: Kohärenzeigenschaften (Kanten-, Flächen-, Tiefen-, und Framekohärenz) Tests über Hüllobjekte umschreibende Würfel, Kugeln, Zylinder (a) (b) (c) Oliver Deussen Sichtbarkeit 2

13 Entfernen der Rückseiten geschlossene Polyeder werden vorausgesetzt Lösche Flächen, deren Normalen vom Augenpunkt wegzeigen (Skalarprodukt von Normalenvektor und Augenstrahl kleiner null) Halbierung des Darstellungsaufwands (O-Betrachtung unverändert) Räumliche Unterteilung Zellraster, BSP-Trees, Octrees, Quadtrees (Divide & Conquer) i.a. Veränderung des asymptotischen Aufwands Oliver Deussen Sichtbarkeit 3

14 Algorithmen mit Prioritätslisten Grundidee: Polygone in abnehmender Entfernung zum Augenpunkt zeichnen Aufstellung einer Sichtbarkeitsordnung dies ist möglich, wenn keine zyklische Überlappung oder Durchdringung vorliegt Mischform von Objekt- und Bildraumalgorithmus: Objektraum: Tiefenvergleiche, Sortierung (Prioritätsliste) Bildraum: Sichtbarkeitsbestimmung Oliver Deussen Sichtbarkeit 4

15 Der Painter s Algorithmus intuitiver Ansatz: Strategie der Ölmaler () Sortiere die darzustellenden Flächen (Polygone) nach dem Abstand zum Augenpunkt. (Verwende kleinste z-koordinate jedes Polygons.) (2) Beginne mit dem entferntesten Polygon und male fortlaufend die ausgefüllten projizierten Polygone auf den Bildschirm. Der Algorithmus endet mit dem Polygon, das dem Auge am nächsten liegt. Problem: Überlappung oder Durchdringung Fehler kann bei kleinen Objekten jedoch oft toleriert werden. Beseitigung: Algorithmus von Newell, Newell und Sancha Oliver Deussen Sichtbarkeit 5

16 Algorithmus mit Tiefensortierung () Sortiere die Polygone nach der jeweils kleinsten z-koordinate. (2) Nehme entferntestes, nichtmarkiertes Polygon P i (3) P i schneidet oder überlappt sich mit keinem Polygon P j in z-richtung: Ausgegeben und als bearbeitet markieren. Weiter bei (2). (4) Solange es ein Polygon P j gibt, mit dem sich Polygon P i in z-richtung überlappt oder schneidet, prüfe:. Bounding-Boxes in xy-ebene schneiden + überlappen sich nicht. 2. Alle Eckpunkte von Polygon P i liegen hinter der Ebene durch P j 3. Alle Eckpunkte von Polygon P j liegen vor der Ebene durch P i 4. Polygone überlappen sich nicht in der xy-ebene Oliver Deussen Sichtbarkeit 6

17 (4a) (4b) Eine Bedingung erfüllt keine Umordnung Weiter bei (4) mit nächstem P j. Keine Bedingung erfüllt und P i wurde noch nicht bewegt: Vertausche P i und P j in der Prioritätsliste Markiere P j als bewegt Weiter bei (2) mit P j. (4c) Ansonsten: zyklische Überlappung Teile P i entlang der Überlappungsgrenze mit P j Weiter bei (2) mit dem entfernteren Teil von P i. (5) Falls für alle P j eine der Bedingungen erfüllt ist: gebe P i aus und markiere als bearbeitet Weiter bei (2). Oliver Deussen Sichtbarkeit 7

18 x x P i P i P j P j z (a) (a) Bedingung 2 ist erfüllt; (b) Bedingung 2 ist nicht erfüllt, Bedingung 3 ist erfüllt. z (b) Oliver Deussen Sichtbarkeit 8

19 Implementierung: erste Bedingung: jeweils ein Überlappungstest in x- und in y-richtung zweite und dritte Bedingung: Verwendung der impliziten Ebenengleichungen vierte Bedingung: Untersuchung aller Polygonkanten auf Schnitte Markierung der bewegten Flächen ist wegen zyklischer Überlappungen nötig Oliver Deussen Sichtbarkeit 9

20 Der Tiefenpuffer-Algorithmus Behandlung von Überlappungen und Überschneidungen im Bildraum Zeichne Pixel nur, wenn dessen Tiefe geringer als bisher gezeichnete (Painters-Algorithmus auf Pixelebene) Benötigt wird: Bildspeicher + Tiefenpuffer Tiefenpuffer als Float oder Integer Kodierung im Tiefenbuffer linear oder nichtlinear Oliver Deussen Sichtbarkeit 20

21 Algorithmus: Initialisierung Tiefenpuffer (z-buffer) () Färbe den Bildspeicher (framebuffer) mit der Hintergrundfarbe. (2) Initialisiere den Tiefenpuffer (zbuffer) mit dem maximalen Abstand. für alle Flächen F der Szene do begin für alle Pixel(x,y) in der Projektion von F do begin Bestimme die Tiefe d von F für Pixel(x,y); if d < zbuffer [x, y] then begin zbuffer [x, y] := d; framebuffer (x,y) := Farbe für Pixel (x,y); end; end; end; Oliver Deussen Sichtbarkeit 2

22 Ausnutzung der Tiefenkohärenz: Schwenke Sweep-Line in aufsteigender x-richtung über Szene Ebenengleichung: A x + B y + C z + D = 0 bzw. z = A x + B y + D C für benachbarte Punkte (x i, y j ) und (x i+, y j ) = (x i +, y j ) gilt: z k+ = z k A C Oliver Deussen Sichtbarkeit 22

23 Varianten des Tiefenpuffer-Algorithmus: Beispiele: pro Pixel Liste aller Pixel mit Objektzugehörigkeit (gut für Transparenz-, Clipping- und Mengenoperationen) Tiefenpuffer für Constructive Solid Geometry Sweep-Line z-buffer (Tiefenpuffer nur für Zeile): Oliver Deussen Sichtbarkeit 23

24 Sortiere die Polygone nach erster und letzter Sweep-Line, die sie schneiden, in eine verkettete Liste; (* die Liste liefert alle an einer y-koordinate aktiven Polygone *) for alle Sweep-Lines l do begin framebuffer(l) := background; zbuffer(l) := d max ; for alle Polygone, die die Sweep-Line l schneiden do begin Berechne die Tiefe d für P ixel(x, l); if d < zbuffer[x, l] then begin zbuffer(x,l) := d; Berechne die Farbe c für Pixel(x,l); framebuffer(x,y) := c; end; end; end; Oliver Deussen Sichtbarkeit 24

25 Algorithmus von Roberts sehr alter Objektraumalgorithmus alle Kanten müssen Teil eines konvexen Polyeders sein Algorithmus von Roberts () Bestimme alle Rückseiten der Polyeder und entferne alle Kanten, die einem Paar von rückwärtigen Polygonen gemeinsam sind. (2) Vergleiche alle verbleibenden Kanten auf Verdeckung mit allen in Frage kommenden Polyedern (Bounding-Box Test). (3) Vergleiche die verbleibenden Kantenstücke weiter auf Verdeckung mit den noch nicht getesteten Polyedern. (4) Im Fall von Durchdringung oder Schnitt werden die Schnittkanten eingefügt. Oliver Deussen Sichtbarkeit 25

26 Algorithmus von Appel Strecken sind Kanten von durchdringungsfreien Polygonen definiert quantitative Unsichtbarkeit eines Punktes auf einer Kante (Anzahl der Vorderseiten, die ihn verdecken) Quantitative Unsichtbarkeit einer Strecke außerdem Konturkante (zwischen Polygonen auf Vorder- und Hinterseite) Oliver Deussen Sichtbarkeit 26

27 Algorithmus von Appel () Bestimme für einen beliebigen Knoten eines Objekts die quantitative Unsichtbarkeit. (2) Bestimme die quantitative Unsichtbarkeit entlang der von diesem Knoten ausgehenden Kanten durch Erhöhen oder Erniedrigen des initialen Wertes, falls die Kante hinter eine Konturkante läuft (Ausnutzung der Kantenkohärenz). (3) Bestimme die quantitative Unsichtbarkeit für den jeweiligen Endpunkt und wiederhole (2) und (3) bis alle Kanten abgearbeitet sind. (4) Alle Segmente, die jetzt eine quantitative Unsichtbarkeit von 0 haben, sind sichtbar. Oliver Deussen Sichtbarkeit 27

28 Problem: Optimierung: verschiedene initale quantitative Unsichtbarkeit bei Punkten, durch die eine Konturkante läuft räumliche Unterteilung für Schnittests Oliver Deussen Sichtbarkeit 28

29 Algorithmus von Warnock wie Teilen und Herrschen, aber andere Entscheidungsfunktion:. Es liegt kein Polygon im Fenster 2. Fenster enthält genau ein Polygon (entweder vollständig im Fenster, vollständig über dem Fenster oder das Fenster schneidend) 3. Ein Polygon liegt vollständig über dem Fenster und überdeckt alle anderen Polygone im Fenster. 4. Fenster hat die Größe eines Pixels. Trifft keine der obigen Bedingungen zu, so wird unterteilt. Oliver Deussen Sichtbarkeit 29

30 außen innen außen P Abschneidetechnik, Blocking-Face-Technik bisher Objektraumalogithmus, aber Unterteilung stoppt am Pixel (für ein Raster von sind 0 Unterteilungsschritte nötig) Oliver Deussen Sichtbarkeit 30

31 Algorithmus von Weiler & Atherton Variante des Algorithmus von Warnock vollständiger Objektraumalgorithmus unterteilt entlang von Polygonkanten (Minimierung der Anzahl von Unterteilungsschritten) - Verwendet Polygon- bzw. Prioritätsliste - Liste innerer und äußerer Polygone. - Stack zur Erkennung zyklischer Überlappungen Oliver Deussen Sichtbarkeit 3

32 Algorithmus von Weiler & Atherton () Sortiere die Polygone nach der jeweils kleinsten z-koordinate. (Aufbau einer Prioritätsliste) (2) Bestimme das Polygon P 0 mit geringster Tiefe und verwende es als Clipping-Polygon. (3) Unterteile das Fenster entlang der projizierten Polygonkanten von P 0 in zwei Bereiche (Listen), die je die Polygonstücke innerhalb und außerhalb von P 0 enthalten. (Polygone, die P 0 schneiden, werden an dessen Kanten getrennt, um eine eindeutige Zuordnung zu ermöglichen.) (4) Entferne alle Polygonstücke, die von P 0 verdeckt werden, aus der inneren Liste. Oliver Deussen Sichtbarkeit 32

33 (5) Für alle Polygone der inneren Liste, die vor dem Clipping-Polygon liegen und nicht im Stack sind, wird rekursiv weiter unterteilt, d.h. dieses Polygon wird zum Clipping-Polygon für die Polygone der inneren Liste. Vor der Rekursion wird das alte Clipping-Polygon auf den Stack gelegt und danach wieder vom Stack gelöscht. (6) Falls die rekursive Unterteilung beendet ist, wird die innere Liste angezeigt. (7) Wiederhole ab (2) mit der äußeren Liste als neuer Prioritätsliste. weniger Unterteilungsschritte, aber dafür komplexer Oliver Deussen Sichtbarkeit 33