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3 Kapitel 11 3D-Grundlagen Fur 3-dimensionale Objekte gibt es mehrere Moglichkeiten der Reprasentation (d.h. Denition des Objekts) und der Darstellung (d.h. Projektion des Objekts auf den Bildschirm) Reprasentation und Darstellung Reprasentation Elementarobjekt mit Denitionspunkten, Drahtmodell mit Kantenliste, Flachenmodell mit Flachenliste, Flachenmodell mit Halbkantendarstellung, CSG (constructive solid geometry) mit mengentheoretischer Verknupfung von Elementarobjekten. Darstellung Drahtmodell mit samtlichen Kanten, Drahtmodell mit Entfernung verdeckter Kanten, Flachenmodell mit Schattierung, ohne abgewandte Flachen, Flachenmodell mit Berechnung von Lichtreektion, ohne verdeckte Teile von Flachen, Korpermodell mit Berechnung von Schattenbildung, Spiegelungen und Brechungen. 147

4 148 KAPITEL 11. 3D-GRUNDLAGEN D-Koordinatensystem Weit verbreitet ist das kartesische Koordinaten-System, z.b. in der rechtshandigen Form. Bei gespreizten Fingern der rechten Hand zeigt der Zeigenger in x-richtung, der Mittelnger in y-richtung, der Daumen in z-richtung. y hinten z vorne x 11.3 Lange und Kreuzprodukt Gegeben sei ein 3D-Vektor Seine Lange ist deniert als jvj := v = v 1 v 2 v 3 1 A q v v v 2 3 Gegeben seien zwei 3D-Vektoren v = v 1 v 2 v A und w w 1 w 2 w 3 Das Kreuzprodukt von v und w ist deniert als v w = v 2 w 3, v 3 w 2 v 3 w 1, v 1 w 3 v 1 w 2, v 2 w 1 Der Vektor vw steht senkrecht auf v und steht senkrecht auf w. Seine Lange entspricht der Flache des durch v und w aufgespannten Parallelogramms, d.h. jv wj = jvjjwjsin() 1 A 1 A

5 11.4. SKALARPRODUKT 149 v w v w In einem rechtshandigen Koordinatensystem entspricht bei gespreizten Fingern der Zeigenger v, der Mittelnger w, der Daumen v w. Anwendung des Kreuzprodukts Gegeben sei eine Flache durch 3 nicht kollineare Punkte P 1 ;P 2 ;P 3. P 3 P 1 P 2 Der Vektor (P 2, P 1 ) (P 3, P 1 ) bildet den Normalenvektor zur Flache. Ist eine Ebene durch ihre Ebenengleichung Ax + By + Cz + D =0gegeben, so ergibt sich der Normalenvektor als (A; B; C). Ist ein Normalenvektor (A; B; C) gegeben, so errechnet sich D durch Einsetzen eines beliebigen Punktes der Ebene. Ein Punkt (x; y; z) liegt oberhalb der Ebene, falls Ax + By + Cz + D>0 unterhalb der Ebene, falls Ax + By + Cz + D<0 in der Ebene, falls Ax + By + Cz + D = Skalarprodukt Gegeben seien zwei n-dimensionale Vektoren v; w. Das Skalarprodukt lautet: v w := Fur Vektoren a; b; c und s 2 R gilt: nx i=1 v i w i

6 150 KAPITEL 11. 3D-GRUNDLAGEN a b = b a (Symmetrie) (a + c) b = a b + c b (Linearitat) (sa) b = s(a b) (Homogenitat) jbj = p b b (euklidische Norm) Anwendungen des Skalarprodukts: Gegeben zwei Vektoren v; w. Fur den Winkel zwischen v und w gilt: cos() = v w jvjjwj : v w Es gilt: v w<0, v und w sind mehr als 90 auseinander v w =0, v steht senkrecht auf w v w>0, v und w sind weniger als 90 auseinander Es gilt: n r = D beschreibt eine Ebene fur D 2 R und Normalenvektor n. Alle Losungsvektoren r liegen (als Punkte aufgefat) auf der Ebene. Das Skalarprodukt aller Ebenenpunkte (als Vektoren geschrieben) mit dem Normalenvektor ist konstant Matrixinversion Analog zum zweidimensionalen Fall werden die dreidimensionalen Transformationen durch Verknupfung homogener Koordinaten mit 4 4-Transformationsmatrizen dargestellt. Sei A =(a ik ), 1 i; k 4, eine 4 4-Matrix: A = 0 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 1 C A Ist D = det A = ja ik j die Determinante von A, so bezeichnet man als Unterdeterminante des Elementes a ik diejenige 3-reihige Determinante, die aus D durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte hervorgeht. Unter der Adjunkten A ik des Elementes a ik versteht man die mit dem Faktor (,1) i+k versehene Unterdeterminante von a ik.

7 11.5. MATRIXINVERSION 151 Beispiel: A 23 =, a 11 a 12 a 14 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44 =,[a 11 (a 32 a 44, a 34 a 42 ), a 12 (a 31 a 44, a 34 a 41 )+a 14 (a 31 a 42, a 32 a 41 )] Fur die inverse Matrix A,1 gilt: A,1 = 1 det A 0 A 11 A 21 A 31 A 41 A 12 A 22 A 32 A 42 A 13 A 23 A 33 A 43 A 14 A 24 A 34 A 44 Fur die Entwicklung der Determinante von A nach der ersten Zeile konnen die Adjunkten benutzt werden. Es gilt: det A = 4X k=1 a 1k A 1k 1 C A

8 152 KAPITEL 11. 3D-GRUNDLAGEN

9 Kapitel 12 3D-Reprasentation Die Reprasentation dreidimensionaler Objekte in der Computergrak teilt sich in verschiedene Reprasentationsklassen, die hierarchisch aufgebaut sind Elementarobjekte Fur den Benutzer sollte die Beschreibung einer Szene durch Elementarobjekte erfolgen. Diese konnen unterschiedlich kompliziert sein, sollten aber durch wenige Parameter beschrieben werden konnen. Eine Kugel z.b. ist bereits durch Mittelpunkt und Radius eindeutig im Raum plaziert. Es ist sinnvoll, jedes Objekt in seinem eigenen, lokalen Modellkoordinatensystem zu denieren. Dessen Ursprung wird im Inneren des Objekts gewahlt und das gesamte Objekt in ein Einheitsvolumen (z.b.,1 x; y; z +1) eingeschlossen. Fur Orts- und Groenveranderungen sind Transformationen zustandig Drahtmodell In der nachsten Reprasentationsklasse wird das Elementarobjekt als Drahtmodell durch eine Liste von Kanten reprasentiert. Jede Kante besteht aus zwei Punkten im kartesischen Koordinatensystem. Beim Wurfel verbinden die Kanten die Eckpunkte, bei einer Kugel werden die Langenund Breitenkreise durch n-ecke angenahert, wobei mit n die Gute der Approximation steigt. Das Drahtmodell skizziert nur die Umrisse eines Objekts und enthalt keine zusatzlichen Flachen- oder Volumeninformationen Flachenmodell Beim Flachenmodell werden Objekte durch approximierte oder analytische Flachen, z.b. durch eine Liste von konvexen Polygonen, reprasentiert. Ein solches Polygon wird durch seine Eckpunkte beschrieben, die durch Kanten verbunden sind. 153

10 154 KAPITEL 12. 3D-REPR ASENTATION Punkteliste Kantenliste Flachenliste P 1 :(x 1 ;y 1 ;z 1 ) k 1 : P 1 ;P 2 F 1 : k 1 ;k 2 ;k 3 P 2 :(x 2 ;y 2 ;z 2 ) k 2 : P 2 ;P 3 F 2 : k 1 ;k 6 ;k 4 P 3 :(x 3 ;y 3 ;z 3 ) k 3 : P 3 ;P 1 F 3 : k 2 ;k 6 ;k 5 P 4 :(x 4 ;y 4 ;z 4 ) k 4 : P 1 ;P 4 F 4 : k 3 ;k 4 ;k 5 k 5 : P 4 ;P 3 k 6 : P 4 ;P 2 P 4 k 5 F 3 k 6 P 3 k 4 F 2 k 2 P 2 F 4 k 3 F 1 k 1 P 1 Abbildung 12.1: Tetraeder als Flachenmodell Zur vollstandigen Beschreibung einer Flache gehort noch die Angabe, welche Seite \innen" und welche Seite \auen" liegt. Dies geschieht durch Angabe des Normalenvektors: Er steht senkrecht auf der Flache und zeigt von innen nach auen. Fur die Approximation gekrummter Flachen wird haug pro Eckpunkt eine Normale verwendet. Abbildung 12.2: Wurfel mit Normalenvektoren

11 12.4. CSG (CONSTRUCTIVE SOLID GEOMETRY) CSG (constructive solid geometry) Jedes Objekt wird beschrieben durch einen binaren Baum, dessen Blatter beschriftet sind mit Elementarobjekten und dessen innere Knoten beschriftet sind mit den Mengenoperationen [ (Vereinigung), \ (Durchschnitt), n (Dierenz). \ n Abbildung 12.3: CSG-Reprasentation eines Korpers Abbildung 12.4: Darstellung des resultierenden Korpers

12 156 KAPITEL 12. 3D-REPR ASENTATION 12.5 Flachenmodell mit Halbkantendarstellung Jedes Objekt enthalt eine Liste von Flachen, die von Halbkanten begrenzt werden. Die Halbkanten sind von auen betrachtet im Uhrzeigersinn orientiert und zeigen auf ihre jeweils linke Nachbarache sowie ihre Anfangs- und Endpunkte. Die Halbkantendarstellung eignet sich zur ezienten Entfernung von verdeckten Kanten und Flachen. Eine Kante zwischen Punkt P 1 und Punkt P 2, welche die Flachen F 1 und F 2 trennt, taucht einmal als Halbkante (P 1 ;P 2 ) in der Kantenliste zu F 2 auf mit einem Verweis auf die Nachbarache F 1 und ein weiteres Mal als (P 2 ;P 1 ) in der Kantenliste zu F 1 mit einem Verweis auf die Nachbarache F 2. Werden nun alle Halbkanten einer Flache F 1 bearbeitet, so regelt die Sichtbarkeit von F 1 und die Sichtbarkeit der jeweils anstoenden Flache die Sichtbarkeit der jeweiligen Halbkante. Das doppelte Zeichnen einer Kante lat sich vermeiden, indem bei jeder Flache vermerkt wird, ob ihre Halbkanten bereits bearbeitet wurden. Auch die Flachennormalen konnen in der Datenstruktur gespeichert werden. P 4 h 11 h 12 F 3 P 2 h 10 h 2 P 3 F 1 h 9 h 7 h 1 h 3 h 4 h 5 F 4 F 2 h 8 h 6 P 4 P 1 P 4 Abbildung 12.5: Tetraeder mit 4 Knoten, 12 Halbkanten, 4 Flachen

13 12.5. FL ACHENMODELL MIT HALBKANTENDARSTELLUNG 157 P 1 h 1 P 3 P 2 h 2 P 4 h 3 F 1 h 4 h 5 F 2 h 6 F 3 F 4 Flachenliste Punkteliste