Oberflächenrekonstruktion aus Punktwolken

Transkript

1 Oberflächenrekonstruktion aus Punktwolken Betreuer: Dominik Fritz Seminar Medizinische Simulationssysteme SS 2005

2 Gliederung 1 2 Der - 3 Der von Hoppe 4 Der -

3 Gliederung 1 2 Der - 3 Der von Hoppe 4 Der -

4 Bildgebende Verfahren 3D-Modelle sind Grundlage für viele moderne Anwendungen der Medizin CT- und MRT-Daten Laserscanner und Digitalkameras tasten Modelle ab Daten liegen als unstrukturierte Punktwolke vor 3D-Fläche des abgetasteten Objektes muss daraus rekonstruiert werden

5 Anwendung: Operationsplanung 3D-Modell ermöglicht Planung der Operation am Rechner: beliebig oft simulierbar Orientierung für Chirurgen während der Operation minimalinvasiv operieren

6 Anwendung: Simulation Physikalische Simulation von Körperteilen benötigt 3D-Modell, z.b. Deformation und Bewegung der Wirbelsäule mit Finite Element-Methode Krümmungsanalyse der Knorpelschicht im Kniegelenk liefert Informationen über Belastung

7 Anwendung: Implantate Bei manchen Operationen müssen Knochenstücke zerstört werden um Entstellungen zu vermeiden, vor der OP künstliches Implantat aus 3D-Modell herstellen ähnlich: Nachbildung von Organen zu Lehrzwecken

8 Gliederung 1 2 Der - 3 Der von Hoppe 4 Der -

9 Grundidee Verwendet einen Satz von Schnittbildern aus CT oder MRT. Gewebetypen durch Grauwerte unterschieden: Wandern entlang der Pixel ergibt Fläche mit festem Grauwert.

10 Wandernde Würfel Lokalisiere die Fläche innnerhalb eines logischen Würfels aus Pixeln von zwei Schnittbildern: Schnitt 1 Würfel aus 8 Pixeln Schnitt 2 Pixel Markiere Würfelecken: 1, wenn Grauwert dem gesuchten Grauwert, sonst 0 Schnitt von Fläche mit Würfel

11 : Resultate liefert gute Trennung von Knochen und Weichgewebe K n o c h e n W e ic h g e w e b e K o m b i n ie r t e D a r s t e l l u n g

12 Gliederung 1 2 Der - 3 Der von Hoppe 4 Der -

13 Grundidee gegeben: Datenpunkte x 1,..., x n auf einer Fläche S gesucht: Approximation von S durch eine implizite Fläche: S Z(f) := {x Ê 3 : f(x) = 0} f approximiert die orientierte Abstandsfunktion von S liefert Triangulierung von Z(f)

14 Tangentialebenen Approximiere orientierte Abstandsfunktion lokal durch Projektion auf Tangentialebene. Abstand ist Länge des Lotes auf Tangentialebene, Normalenvektor n i legt Orientierung fest. n i p T(x i ) S x i aber: Tangentialebene im Datenpunkt x i unbekannt! wähle als Approximanten die Ausgleichsebene der k nächsten Nachbarpunkte von x i

15 Einheitliche Orientierung Lokale orientierte Abstandsfunktionen sollen global zu f fortgesetzt werden Tangentialebenen müssen einheitlich orientiert sein, damit f keine Sprünge hat n i n + j konsistent orientiert T(x i ) x i n j x j T(x j ) nicht konsistent orientiert Benutze Riemann-Graph: Knoten = Tangentialebenen, Kanten zwischen benachbarten Ebenen Orientierung wird entlang der Kanten des Graphen weitergegeben

16 Orientierte Abstandsfunktion Für beliebiges p Ê 3 bestimme Projektion q auf die nächstgelegene Tangentialebene. Orientierte Abstandsfunktion f : f(p) := (±1) p q p f(p) q T(x i ) approximiert S T(x i ) S Zum Schluss: Trianguliere Z(f) mit ; statt Grauwerte verwende Werte von f.

17 : Resultate U r s p r ü n g l i c h e F l ä c h e A p p r o x i m a t i o n n a c h H o p p e

18 Gliederung 1 2 Der - 3 Der von Hoppe 4 Der -

19 Grundidee Finde mit Hilfe der Datenpunkte x 1,..., x n eine Schar von einhüllenden Kugeln für S eine Schar von aufspannenden Kugeln für S Rekonstruiere S als Grenzfläche dieser beiden Kugelscharen.

20 Mediale Achse Die mediale Achse besteht aus den Punkten im Ê 3, die von mehr als einem Punkt der Fläche S den gleichen Abstand haben. mediale Achse S Die Mediale Achsen-Transformation (MAT) ist die Menge der Kugeln, die S berühren und den Mittelpunkt auf der medialen Achse haben.

21 a Voronoi-Diagramm Idee: Berechne Voronoi-Diagramm von x 1,..., x n Knoten der Voronoi-Gebiete approximieren mediale Achse b

22 Polarkugeln Die Pole von x i sind die am weitesten entfernten Voronoi-Knoten, je ein innerer und ein äußerer. Innere/äußere Polarkugel enthält x i und hat inneren/äußeren Pol als Mittelpunkt. Voronoi-Gebiet von x i Pole x i S mediale Achse von S innere Polarkugel Polarkugeln von x 1,..., x n approximieren MAT

23 Power-Diagramme Definiere Power-Distanz als Abstand von Punkt y zu Kugel B(x, r): pow(y,b(x, r)) := x y 2 r 2 Power-Diagramme sind Voronoi-Diagramme bzgl. der Power-Distanz gleicher zur Berechnung Power-Diagramm zerfällt in Polyeder Und wofür brauchen wir das?

24 Beobachtung: Punkte innerhalb (außerhalb) von S liegen in den Power-Gebieten innerer (äußerer) Polarkugeln Seitenflächen, die innere und äußere Power-Gebiete trennen, approximieren S Die Fläche, die aus diesen Seiten besteht, heißt Power Crust. S x i x i 1 äußere Polarkugel innere Polarkugel

25 : Resultate (I)

26 : Resultate (II) erzeugt immer geschlossene Flächen sehr große Polarkugeln liefern Hinweis auf Löcher

27 Oberflächenrekonstruktion hat viele nützliche Anwendungen in der Medizin : Approximation durch implizite Fläche, Grundlage für viele neuere Algorithmen : MAT und Power-Diagramme liefern Flächenapproximation durch einhüllende und aufspannende Kugelschar